Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên Sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lí cosin cho tứ diện - Lê Văn Cường

50 HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: 10.18173/2354-1075.2018-0061 Educational Sciences, 2018, Volume 63, Issue 5, pp. 50-58 This paper is available online at PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG TÁI KHÁM PHÁ ĐỊNH LÍ COSIN CHO TỨ DIỆN Lê Văn Cường1, Trần Cường2 1Trường THCS&THPT Nguyễn Tất Thành, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi tìm hiểu về một số phiên bản khác nhau của định lí cosin trong không gian, thiết kế nội dung cho tình huống học tập tái khám phá định lí nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho người học. Một hoạt động thực nghiệm được thiết kế và tổ chức cho 81 sinh viên K65 (năm thứ ba) ngành Toán ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, cho phép bước đầu đánh giá về khả năng - thói quen tiến hành hoạt động tương tự hóa ở người học, kéo theo những kết luận đầu tiên về tính khả thi, hiệu quả của tình huống. Từ khoá: Tư duy sáng tạo, sinh viên sư phạm toán, định lí cosin, tứ diện. 1. Mở đầu Tổng quan về lịch sử nghiên cứu sự sáng tạo trong khoa học giáo dục [1] cho thấy, mặc dù sáng tạo mới chỉ trở thành một khái niệm khoa học trong vòng hơn một thế kỉ, song trong nhiều cuộc thảo luận, tranh luận về triết học, tâm lí học, giáo dục học,... đã được nhen nhóm từ hàng nghìn năm trước. Freud, Piaget, Rogers và Skinner đã nghiên cứu và khám phá những quy luật khoa học đầu tiên vào đầu thế kỷ XX (Albert & Runco, 1999). Từ sau đó, rất nhiều các nghiên cứu trong lĩnh vực nghệ thuật, giáo dục học, nhận thức luận,... ngày càng làm sáng rõ bản chất của sự sáng tạo, chẳng hạn Finke và cộng sự (1996) đã chỉ ra sự liên quan mật thiết giữa sự sáng tạo và những trải nghiệm của chủ thể nhận thức. Bách khoa toàn thư về giáo dục toán học [2] cũng đề cập tới rất nhiều công trình về sáng tạo: năm 2002, Treffinger và cộng sự đã thống kê được hơn 100 quan niệm khác nhau cho sáng tạo toán học, có thể được chia thành hai xu hướng: Feldman, Csikczentmihalyi & Gardner (1994) dùng thuật ngữ sáng tạo lớn để chỉ sự tạo ra những tri thức, sản phẩm mới có tác dụng thay đổi thế giới quan của cộng đồng, nhân loại, trong khi thuật ngữ sáng tạo nhỏ gần với khung cảnh trường học được đưa ra bởi Kauffman (2009). Nhiều tác giả cũng gắn sáng tạo với lĩnh vực tri thức liên quan để nói về sáng tạo trong những lĩnh vực chuyên biệt (domain specific) và sáng tạo chung (domain general). Dù là sáng tạo lớn hay nhỏ, ở lĩnh vực chuyên biệt hay chung chung, tất cả các quan niệm đều nhấn mạnh ở sản phẩm cần có tính mới và tính có ý nghĩa (Kaufman & Sternberg, 2006). Mới và có ý nghĩa, tất nhiên cũng có mức tương đối, trong giáo dục toán học, đối với học sinh phổ thông, sáng tạo có thể xem là quá trình sản sinh ra một ý tưởng, giải pháp mới cho một vấn đề toán học hoặc sự hình thành những câu hỏi mới. Ngày nhận bài: 6/4/2018. Ngày sửa bài: 23/05/2018. Ngày nhận đăng: 30/5/2018. Tác giả liên hệ: Trần Cường, email: trancuong@hnue.edu.vn. Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine 51 Ở nước ta, sáng tạo được coi là một phẩm chất của con người mới. Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo. “Làm thế nào phát triển tư duy sáng tạo cho người học?” là câu hỏi nhận được quan tâm rộng khắp của cộng đồng nghiên cứu: tìm kiếm tiếng Việt trên Google với từ khóa tư duy sáng tạo cho gần 9 triệu kết quả, tìm kiếm từ khóa sáng tạo tại thư viện quốc gia cho gần 800 ngàn kết quả trong các tóm tắt tài liệu; trên trang web của Tạp chí giáo dục trả về 345 bài báo khoa học có liên quan. Một số tác giả đã dành mối quan tâm tới việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán. Trong [3] (2010), B. V. Nghị đã đề xuất biện pháp rèn luyện phương pháp sáng tạo bài toán cho sinh viên sư phạm toán thông qua nội dung Tọa độ trong không gian: dựa trên một số dữ kiện (tọa độ, phương trình) cho trước, thảo luận để đặt ra bài tập mới. Cách làm này khiến cho giờ Lý luận dạy học trở nên sôi nổi, hấp dẫn, sinh viên hoạt động tích cực, đề ra được nhiều bài tập thú vị. Tuy nhiên bài báo chưa quan tâm tới khía cạnh thể thức hóa, quy trình hóa để có một phương pháp chung sáng tạo bài tập mới trong những tình huống khác nhau. B. D. Hưng ([4], 2011) đã đề xuất các hướng khai thác bài tập toán THPT và cách tổ chức rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu bài toán cho sinh viên. Một số ví dụ điển hình được đưa ra cùng những phân tích về sự biến đổi bằng suy luận có lí, cùng quy trình dạy khai thác bài toán cho sinh viên. Cách làm này tập trung vào một số bài toán giàu tiềm năng được lựa chọn kỹ càng từ trước, nhưng không đề cập đến quá trình làm việc cùng những kết quả trung gian của sinh viên. Việc triển khai dạy sáng tạo trong nhà trường sư phạm còn rất cần được tiếp tục nghiên cứu, cải thiện. Mục đích của bài báo này là thiết kế một tình huống giúp sinh viên sư phạm toán khám phá lại định lí cosin trong Hình học không gian. Xuất phát từ định lí cosin trong Hình học phẳng bằng cách sử dụng tương tự hóa và một số hoạt động trí tuệ cơ bản khác - lấy ý tưởng từ cách làm của Polya - hướng tới phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên. Bằng các phương pháp Nghiên cứu lí luận, Tổng kết kinh nghiệm và Thực nghiệm sư phạm, nghiên cứu trả lời những câu hỏi sau: (1) Tư duy sáng tạo có những đặc trưng gì? (2) G. Polya quan niệm thế nào về những suy luận có lí? (3) Định lí cosin có những phiên bản nào, quá trình hình thành phát triển ra sao? (4) Có thể hướng dẫn người học tái khám phá định lí cosin như thế nào để rèn luyện các hoạt động thuộc về tư duy sáng tạo? 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Tư duy sáng tạo 2.1.1. Tư duy Theo [5] (1999), tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan. Hai thuộc tính quan trọng của tư duy là: 1- tính có vấn đề, tức là tư duy chỉ nảy sinh trong hoàn cảnh chứa đựng mục đích, vấn đề, cách thức mới mà những kinh nghiệm, hiểu biết cũ không đủ để giải quyết. Vấn đề phải được nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân; 2- tính gián tiếp, ngụ ý tư duy phát hiện được bản chất nhờ các phương tiện, công cụ, kết quả của nhận thức cảm tính, dựa trên kinh nghiệm của chủ thể. Ngoài ra, tư duy còn có tính trừu tượng, khái quát, liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, Muốn thúc đẩy người học tư duy phải đặt họ vào tình huống có vấn đề, phát triển tư duy phải song song với trang bị tri thức, phải gắn với trau dồi ngôn ngữ và rèn luyện cảm giác, tri giác, tính nhạy cảm, năng lực quan sát và trí nhớ. Có 5 nhóm hoạt động trí tuệ gắn với nội dung môn Toán: nhận diện - thể hiện; hoạt động toán học phức hợp; hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán; hoạt động trí tuệ chung; hoạt động ngôn ngữ ([6, ch. 2], 2017). Lê Văn Cường, Trần Cường 52 Trong các hoạt động trí tuệ chung, ngoài phân tích, tổng hợp, so sánh,..., G. Polya đặc biệt quan tâm tới khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự. Trong [7], (1954), tác giả coi “hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng”. Tương tự hóa thường dùng trong suy luận bằng quy nạp, tìm tòi lời giải,... Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hợp tác với nhau trong việc giải quyết các vấn đề toán học, chúng “kết hợp một cách tự nhiên trong khi cố gắng tìm kiếm lời giải của bài toán”, giúp hình thành khái niệm và các tri thức lí thuyết, mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức, về lâu dài, hình thành các phẩm chất trí tuệ cho người học, đặc biệt là tư duy sáng tạo (TDST). 2.1.2. Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị [8]. Những dấu hiệu quan trọng của TDST là (i) Sự tự lực chuyển các tri thức, kỹ năng sang một tình huống mới; (ii) Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết đúng quy cách; (iii) Nhìn thấy một chức năng mới của một đối tượng quen biết; (iv) Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tượng đang nghiên cứu; (v) Có khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau; (vi) Biết kết hợp những phương thức đã biết thành một phương thức mới; (vii) Tạo ra cách làm độc đáo tuy đã biết nhiều cách khác. Trí tưởng tượng không gian là một trong những tiền đề quan trọng của TDST. Nó được thể hiện ở khả năng nhận thức cấu trúc thực tế của hình khối, nhận ra mối quan hệ giữa các đường, mặt, các hình, dễ dàng nhìn nhận chúng dưới nhiều góc độ, theo sự thay đổi hướng nhìn và hướng xoay của bản thân hình được xét cùng các bộ phận của nó. “Trí tưởng tượng còn quan trọng hơn cả kiến thức. Kiến thức thì hạn chế. Trí tưởng tượng lại bao quanh cả thế giới” (A. Einstein). Cấu trúc của TDST được phân tích kỹ bởi nhiều tác giả quốc tế, chẳng hạn Renzulli (1990) đã đưa ra 5 thuộc tính quan trọng cơ bản: (1) Tính linh hoạt (flexibility) biểu hiện bởi khả năng nhanh chóng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; (2) Tính nhuần nhuyễn (fluency) là “đạt đến thành thạo, vận dụng một cách rất tự nhiên”; (3) Tính độc đáo (orginality) "thể hiện rõ nét ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới”; (4) Tính hoàn thiện (elabolation) đặc trưng bởi khả năng lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động trong cả một quá trình để đạt hiệu quả cao nhất, nhìn các sự vật hiện tượng một cách toàn diện, khách quan và trong sự vận động, trong các mối quan hệ, “thấy được cả mâu thuẫn và thống nhất, cái chung và cái riêng, nội dung và hình thức”; (5) Tính nhạy cảm vấn đề (problem’s sensibility), tức nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, liên tưởng tốt các mối quan hệ mà thậm chí không cần suy luận. Theo tâm lí học, nhạy cảm là đặc điểm riêng biệt, tương đối bẩm sinh, nhưng có thể được bồi đắp thông qua rèn luyện thường xuyên, khoa học. Một số thuộc tính khác của TDST cũng đáng quan tâm có thể kể tới như: tính chính xác (precise), năng lực định giá (ability to valued), phán đoán (decide), năng lực định nghĩa lại (redefinition). 2.2. Tái khám phá định lí cosin trong không gian Có một số phiên bản khác nhau của định lí cosin trong toán sơ cấp: Định lí 1. (định lí cosin cho tam giác) Trong mọi tam giác ABC a 2 = b2 + c2 - 2bccos A. (1) Định lí 2. (định lí cosin cho góc tam diện) Gọi A, B, C là các góc phẳng, còn a ,b ,g là các góc nhị diện tương ứng đối diện của cùng một góc tam diện thì: cos A = cos BcosC + sin BsinC cosa ; cosa = -cosb cosg + sinb sing cos A. (2) Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine 53 Định lí 3. (định lí cosin cho lăng trụ tam giác) Trong lăng trụ tam giác ABCA'B'C' gọi Sa, Sb, Sc lần lượt là diện tích các mặt BCC'B', CAA'C', ABB'A' và g A ,g B ,g C lần lượt là các góc nhị diện cạnh AA', BB', CC' thì: Sa 2 = Sb 2 + Sc 2 - 2SbSc cosg A . (3) Trong tứ diện ABCD ký hiệu SA, SB, SC, SD lần lượt là diện tích các mặt BCD, ACD, ABD, ABC còn q AB là góc nhị diện cạnh AB và tương tự với q AC ,q AD ,q BC ,qCD ,qBD . Định lí 4. (định lí cosin I cho tứ diện) SA 2 + SB 2 - 2SASB cosqCD = 1 4 AB.CD.sin( AB,CD)éë ùû 2 . (4) Định lí 5. (định lí cosin II cho tứ diện) SA 2 = SB 2 + SC 2 + SD 2 - 2SBSC cosq AD - 2SCSD cosq AB - 2SDSB cosq AC . (5) 2.2.1. Định lí cosin trong lịch sử toán Định lí 1 là một kết quả cổ điển trong hình học phẳng: một đơn vị kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học 10: kết quả vận dụng của khái niệm tích vô hướng trong mặt phẳng, mở rộng tự nhiên của định lí Pythagoras, hệ thức lượng trong tam giác, cùng với định lí sine làm thành hai công cụ chính của phương pháp giải tam giác có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Mặc dù khái niệm cosin chưa xuất hiện ở thời đại của Euclid (khoảng thế kỷ thứ 3 trCN), nhưng kết quả tương đương đã có trong bộ Elements. Hai trường hợp tam giác nhọn và tam giác tù được trình bày riêng rẽ trong quyển 2, dưới dạng phát biểu bằng lời. Chẳng hạn: Trong tam giác tù, bình phương cạnh đối diện với góc tù lớn hơn tổng bình phương hai cạnh còn lại một lượng gấp đôi diện tích hình chữ nhật dựng bởi các kích thước: chiều dài bằng một trong hai cạnh góc tù chiều, rộng bằng hình chiếu của cạnh góc tù còn lại trên đó. Thời kì môn lượng giác, hệ quả của những nghiên cứu về thiên văn học, phát triển vượt bậc ở khu vực Tiểu Á, Al-Battani (thế kỉ X) đã khái quát kết quả của Euclid trong hình học cầu khi tính toán khoảng cách giữa các ngôi sao. Trở lại dạng phẳng với phát biểu gần giống ngày nay là công lao của Al-Kashi (sách Samarqand, thế kỷ XV – ở Pháp, định lí cosin được gọi là định lí Al- Kashi). Tới thế kỷ XVI, F. Viète đã học tập và truyền bá định lí về châu Âu. Tác phẩm sớm nhất ở châu Âu trình bày định lí giống hiện nay dường như là phần phụ lục về lượng giác trong sách Elements of Geometry: Containing the First Six Books of Euclid (J. Playfair, 1804). Tên gọi Định lí cosin (law of cosin), ban đầu được dùng cho một định luật trong quang học về mối liên hệ giữa cường độ ánh sáng chiếu tới một đơn vị diện tích trên hai bề mặt, được giới thiệu bởi Lambert (1870). Đến năm 1889, trong công trình [9], J. Casey mới dùng law of cosin trong hình học cho các Định lí 1, 2, 5, còn Định lí 4 chỉ là một bài tập. Là một cuốn sách thuần túy khoa học tự nhiên, [9] hoàn toàn không giải thích làm thế nào mà J. Casey (hoặc các nhà toán học trước đó) đã tới được các định lí cosin cho tứ diện. Tuy nhiên, với tiêu đề A treatise on spherical trigonometry and its applications on geodesy and astronomy, có căn cứ để tin rằng các định lí cosin trong không gian liên quan và có nguồn gốc từ các bài toán trong kỹ thuật hàng hải, trắc địa, thiên văn học; Tất nhiên, cũng không loại trừ khả năng các nhà toán học phát minh ra chúng nhờ sự mở rộng hoàn toàn lí thuyết (trong lời nói đầu, Casey gọi [9] là kế thừa tự nhiên của tác phẩm trước đó A Treatise on Plane Trigonometry, Containing an Account of Hyperbolic Functions). Lê Văn Cường, Trần Cường 54 2.2.2. Tái khám phá định lí cosin trong không gian Trong không gian có nhiều hình tương tự như tam giác trong mặt phẳng. Liệu trên những hình đó, có kết quả giống với định lí cosin trong tam giác không? * Hình không gian tương tự với tam giác - Nếu nhìn tam giác là hình phẳng gồm 3 đoạn thẳng "gắn" với nhau tại các đầu mút thì trong không gian có thể chọn: lăng trụ tam giác là hình được tạo thành nhờ "dán" 3 hình bình hành tại các "mép" là những đoạn thẳng bằng nhau; góc tam diện cũng được tạo thành khi "dán" 3 góc phẳng chung đỉnh. - Nếu nhìn tam giác như hình tạo bởi một phần của đường thẳng làm đáy với một điểm ở ngoài đường thẳng làm đỉnh thì trong không gian có thể chọn: Hình nón, thu được khi lấy một hình tròn làm đáy, một điểm nằm ngoài mặt phẳng hình tròn làm đỉnh. Đoạn thẳng trên đường thẳng hay hình tròn trên mặt phẳng đều là các hình cầu: Trên đường thẳng d cho hai điểm A, B cách nhau một khoảng 2R rồi gọi J là trung điểm của AB thì AB = {M, JM ≤ R} là hình cầu 1 chiều. Còn trên mặt phẳng cho điểm J thì hình tròn tâm J bán kính R được định nghĩa bởi tập hợp {M, JM ≤ R} là hình cầu 2 chiều; Hình chóp thu được khi lấy một đa giác phẳng làm đáy, một điểm nằm ngoài mặt phẳng đa giác làm đỉnh. Đoạn thẳng trên đường thẳng hay đa giác trên mặt phẳng đều là các đơn hình, tức giao một số hữu hạn các nửa không gian. - Nếu nhìn miền tam giác như hình phẳng giới nội tạo bởi 3 đường thẳng (không thể ít hơn 3) thì trong không gian, cần ít nhất 4 mặt phẳng mới có thể tạo được một phần không gian như vậy, đó là một miền tứ diện. Cả tam giác và tứ diện, trong không gian của mình, đều là những hình giới nội tạo bởi một số tối thiểu các siêu phẳng trong không gian tương ứng. * Quy trình phát triển các giả thuyết Trên những hình vừa chọn, với một quy trình thích hợp, có thể đưa ra một số phán đoán giống với Định lí 1. Bước 1. Phân tích và so sánh tìm sự giống nhau để tương tự hóa các từ khóa. Bảng 1. Hình tương tự với tam giác trong không gian Tam giác ABC Lăng trụ ABCA'B'C' Tứ diện ABCD Cấu tạo 2 cạnh bên b, c "chụm lại" ở đỉnh A tạo với nhau góc A và "căng ra" đoạn BC 2 mặt bên AA'C'C và AA'B'B "chụm lại" ở AA', tạo với nhau góc Ag và "căng ra" mặt BCC'B' 2 mặt bên CDB, CDA "chụm lại" ở CD, tạo với nhau góc CDq và "căng ra" đoạn AB 3 mặt bên ABC, ACD, ADB "chụm lại" ở đỉnh A, đôi một tạo với nhau các góc , ,AB AC ADq q q và "căng ra" mặt BCD Bước 2. Tổng hợp các yếu tố mới theo cấu trúc cũ từ mệnh đề gốc để phát biểu các giả thuyết. (Mệnh đề gốc, Định lí 1.) Trong tam giác, bình phương cạnh đáy bằng tổng bình phương hai cạnh bên trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc ở đỉnh. Giả thuyết 1. Trong lăng trụ tam giác bình phương diện tích mặt bên bằng tổng bình phương diện tích hai mặt bên còn lại trừ đi hai lần tích với cosin góc giữa hai mặt đó, công thức (3). Giả thuyết 2. Trong tứ diện, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương diện tích hai mặt bên trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc nhị diện giữa hai mặt đó: 2 2 2 2 cos .A B A B CDAB S S S S q= + - (6) Giả thuyết 3. Trong tứ diện, bình phương diện tích mặt đáy bằng tổng bình phương diện tích ba mặt bên trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc tam diện xác định ở đỉnh đối diện: Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine 55 2 2 2 2 2 cos .A B C D B C DS S S S S S S A= + + - (7) Bước 3: Dùng các hoạt động trí tuệ để kiểm chứng các giả thuyết Nhiều giả thuyết không hợp lí có thể dễ dàng sơ loại bằng hai nhận xét sau đây: - Tính đối xứng giữa các biến phải được đảm bảo; - Thứ nguyên (đơn vị) của hai vế phải cân bằng (ta sẽ đơn vị đo độ dài là metre – m). Những giả thuyết không vượt qua "vòng sơ loại" sẽ bị bỏ đi hoặc được hợp lí hóa, sau đó chuyển sang bước kiểm chứng (chứng minh hoặc bác bỏ) các giả thuyết hợp lí. Quy trình 3 bước nói trên cho phép tạo ra phát biểu mới, có khả năng trở thành một sáng tạo nhỏ. Tiếp theo ta sẽ phân tích làm rõ tiềm năng dạy tư duy sáng tạo ở bước 3 (kiểm chứng giả thuyết), qua đó dựng lại một con đường tự nhiên để tái khám phá ra các định lí. * Hợp lí hóa các giả thuyết Giả thuyết 1 đảm bảo được cả hai điều kiện: phân tích và so sánh ta thấy đối với Sa làm đáy, vai trò của Sb, Sc như nhau, đều là các mặt bên, cho nên vế phải cần một biểu thức đối xứng với Sb, Sc. Cả hai vế đều có bậc thứ nguyên là m4; Giả thuyết 2 không hợp lí, dù vế phải đảm bảo tính đối xứng đối với SA, SB nhưng lại có thứ nguyên m4, trong khi vế trái chỉ có thứ nguyên m2. Tổng hợp lại và phân chia trường hợp để hợp lí hóa Giả thuyết 2, ta có thể bổ sung một đại lượng có thứ nguyên m2 vào vế trái mà vẫn đảm bảo tính đối xứng. Nếu nhân thêm yếu tố nào thuộc mặt bên BCD thì đồng thời cũng phải lấy yếu tố tương tự của mặt bên ACD; Cũng có thể chỉ cần nhân thêm yếu tố thứ nguyên m2 thuộc về cặp đối diện AB, CD là đảm bảo được tính đối xứng. Đơn giản, hợp lí nhất là nhân thêm CD2 vào vế trái: 2 2 2 2. 2 cos .A B A B CDAB CD S S S S q= + - (8) Giả thuyết 3 đáp ứng tính đối xứng, nhưng vi phạm điều kiện về thứ nguyên, sơ sài về hình thức, vì cos A không được định nghĩa cho một góc tam diện. Cần phát biểu thận trọng hơn sao cho vế phải là biểu thức đối xứng của ba biến SB, SC, SD với thứ nguyên m4 giống như vế trái. Để giống (1) cần có yếu tố nào đó của tứ diện giống như cosin góc tạo bởi hai cạnh bên AB, AC trong tam giác. Theo suy nghĩ này, hệ thức (5) xuất hiện như Giả thuyết 4, kết quả điều chỉnh Giả thuyết 3, một cách rất tự nhiên và "đẹp". * Kiểm chứng các giả thuyết - Lăng trụ: Không khó khăn để chứng minh Định lí 3. - Tứ diện là phần còn lại của lăng trụ tam giác sau khi "bớt đi" hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh bên. Chẳng hạn, bớt hai đỉnh B', C' ta thu được tứ diện A'ABC. Làm như vậy, diện tích các mặt bên bị "mất đi" một nửa, chỉ còn lại: SA' AB = 1 2 SA' ABB ' , SA' AC = 1 2 SA' ACC ', trong khi SBCC'B' = BC.BB'.sin(BC,BB') = BC.AA'.sin(BC,AA') do AA' song song và bằng BB'. Từ (3), trong tứ diện bất kỳ A'ABC: SA' AB 2 + SA' AC 2 - 2SA' ABSA' AC cosg A = 14 AA'.BC.sin( AA ', BC)éë ùû 2 . Thay tên điểm A' bởi D để dùng những ký hiệu của tứ diện ABCD ta có Định lí 4. Định lí 4 là một tiền đề thuận lợi tạo đà kiểm chứng Giả thuyết 4 vì đã có sẵn bình phương các diện tích, ta cần tính 2AS bởi một biểu thức đối xứng bậc hai của SB, SC, SD. Muốn đối xứng hóa SB, SC, SD cách tự nhiên nhất là áp dụng (6) đủ 3 lần khi các mặt ABC, ACD, ADB lần lượt "tựa trên" mặt BCD rồi cộng vế theo vế các đẳng thức thu được: SA 2 + SB 2 - 2SASB cosqCD = 14 AB.CD.sin( AB,CD)éë ùû 2 Lê Văn Cường, Trần Cường 56 SA 2 + SC 2 - 2SASC cosqBD = 14 AC.BD.sin( AC, BD)éë ùû 2 SA 2 + SD 2 - 2SASD cosqBC = 14 AD.BC.sin( AD, BC)éë ùû 2 dẫn tới             22 2 , , , , , , , , , , , , 13 2 cos . .sin( , . 4A X A X YZX B C D X Y Z B C D X Y Z T A B C D S S S S XY ZT XY ZTq  = =   + - =       Mặt khác SA = SB cosqCD + SC cosqBD + SD cosqBC nên ta có:         22 , , , , , , , , , 1 . .sin( , ) . 4XX A B C D X Y Z T A B C D S XY ZT XY ZT  = =  (9) Việc cô lập AS với , ,B C DS S S bằng cách lần lượt "tựa" cả ba mặt bên lên mặt đáy BCD chưa dẫn tới hiệu quả, nên có thể lật ngược vấn đề, đối xứng hóa bằng cách không dùng mặt đáy nữa mà lần lượt cho ba mặt bên "tựa lên nhau" theo vòng: SC 2 + SD 2 - 2SCSD cosq AB = 14 AB.CD.sin( AB,CD)éë ùû 2 , SD 2 + SB 2 - 2SDSB cosq AC = 14 AC.BD.sin(BD, AC)éë ùû 2 , SB 2 + SC 2 - 2SBSC cosq AD = 14 AD.BC.sin(BC, AD)éë ùû 2 , rồi cộng vế theo vế các đẳng thức này để có:            22 , , , , , , , , , , , , 12 2 cos . .sin( , ) . 4X X Y AZX B C D X Y Z B C D X Y Z T A B C D S S S XY ZT XY ZTq  = = - =   (10) Từ (9) và (10), Định lí 5 được chứng minh. 2.3. Thực nghiệm và bàn luận 2.3.1. Thực nghiệm Để kiểm nghiệm tiềm năng tổ chức hoạt động tái khám phá như đã trình bày, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 81 sinh viên (SV) sư phạm toán K65 trong giờ học chính khóa học phần Lý luận dạy học môn toán, tháng 3/2018, tại khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội bằng Phiếu bài tập có nội dung dưới đây, được trả lời trong 50 phút. Hai yêu cầu được in trên 2 mặt giấy riêng, gấp đôi và ghim kín lại để người tham gia không đọc trước được Yêu cầu 2. Tiến trình tổ chức hoạt động như sau: (i)- Trả lời câu hỏi 1. (ii) Thảo luận kết quả câu hỏi 1, giảng viên dẫn dắt phân tích các thông tin về các hình không gian tương tự với tam giác, sau đó đặt câu hỏi để loại ra những SV đã biết và nhớ chính xác phát biểu của định lí cosin cho tứ diện (kết quả không cần loại SV nào). (iii) Trả lời theo các bước ở yêu cầu 2. Tất cả các phiếu trả lời được giữ nguyên trạng sau khi đã đánh giá, phân loại. Kết quả khảo sát là ý nghĩa và tin cậy vì nhiệm vụ được giao như một bài tập điểm danh, lấy điểm tính vào điểm học phần chính khóa, nên thực tế hoạt động đã diễn ra nghiêm túc, sôi nổi. Yêu cầu 1. Những hình nào trong không gian tương tự với tam giác trong mặt phẳng? Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine 57 Kết quả trả lời của SV được thể hiện trong Bảng 2. Chỉ có 9 SV » 11,11% đưa ra giải thích tốt cho phương án (giải thích tốt nghĩa là nội dung toán học cơ bản đạt được phân tích trong mục 2.2.2), đáng chú ý có 4 giải thích ( » 4,94%) độc đáo: a- lăng trụ tam giác là do các tam giác xếp chồng lên nhau, b- thiết diện theo phương nhất định luôn là tam giác hay c- mọi đa giác chia được thành các tam giác, mọi đa diện chia được thành các tứ diện. Yêu cầu 2. Hãy dự đoán định lí cosin trong không gian theo 3 bước. Mặc dù có 27 SV đã từng nghe nói tới định lí cosin trong tứ diện (trả lời bằng giơ tay) nhưng tất cả đều khẳng định chưa từng học và không thể phát biểu lại được chính xác. Tổng cộng 145 giả thuyết đã được phát biểu, trong đó: 53 SV » 65,43% đoán đúng công thức (3), chỉ 10 SV » 12,35% đoán đúng công thức (5) và không SV nào đoán được công thức (4) cho tứ diện; có 3 dự đoán không đối xứng, cũng không cân bằng thứ nguyên (của 3 SV » 3,70%); có 4 dự đoán đối xứng nhưng không cân bằng thứ nguyên (của 4 SV » 4,94%); 55 dự đoán đã cân bằng thứ nguyên nhưng không đối xứng (của 53 SV » 65,43%). 2.3.2. Bàn luận Một số thông tin đáng chú ý: - Phần lớn (64/81 » 79,01%) số SV nhận ra tứ diện tương tự với tam giác; một nửa (40/81 » 49,38%) số SV đưa ra được lăng trụ tam giác; - Hơn một phần ba (30/81 » 37,04%) số SV tới được câu trả lời mong đợi, gồm cả lăng trụ tam giác và tứ diện; - Một phần tư (21/81 » 25,93%) số SV nghĩ đến hình chóp; hơn một phần ba (34/81 » 41,98%) số SV nhận thấy hình nón tương tự với tam giác; vẫn còn (3/81 » 3,70%) SV không nhận ra hình chóp tam giác chính là tứ diện; - Hơn một phần ba (55/145 » 37,93%) số lượng các dự đoán không đảm bảo tính đối xứng; - Hai phần ba (51/81 » 62,96%) số SV đoán đúng Định lí cosin cho lăng trụ tam giác; Hơn một phần mười (10/81 » 12,35%) số SV đoán được Định lí cosin II cho tứ diện; Không SV nào đoán được Định lí cosin I cho tứ diện. - Chỉ gần một phần mười số SV giải thích được sự tương tự giữa các hình. Bảng 2. Kết quả trả lời yêu cầu 1 Kết quả 81 SV Toán K65 Tỷ lệ Số luợng 1. Không trả lời 1,23% 1 2. Có trả lời 98,77% 80 2.0. Giải thích tốt 11,11% 9 2.1. Hình chóp 25,93% 21 2.2. Tứ diện 79,01% 64 2.3. Chóp tam giác 9,88% 8 Phiếu bài tập 1- Những hình nào trong không gian tương tự với hình tam giác trong mặt phẳng? Tại sao? 2- Hãy dự đoán định lý cosine trong không gian theo các bước sau: Bước 1. Phân tích các từ khóa có mặt ở định lý cosine trong tam giác a 2 = b2 + c2 - 2bccos A Bước 2. Liệt kê các yếu tố trong không gian tương tự với các yếu tố của tam giác vào bảng sau (cố gắng đưa các ký hiệu một cách có hệ thống): Tam giác ABC Lăng trụ ABCA'B'C' Tứ diện ABCD Cạnh BC = a Cạnh CA = b Lê Văn Cường, Trần Cường 58 3. Kết luận Tình huống tái khám phá định lí cosin trong không gian có thể được tổ chức hiệu quả cho sinh viên sư phạm toán để góp phần rèn luyện khả năng sáng tạo trong toán phổ thông, đồng thời trang bị cho họ một con đường dạy sáng tạo dưới hình thức tái khám phá để trong tương lai có thể vận dụng trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông khi trở thành giáo viên. Về tri thức, khi tìm một số hình không gian tương tự với tam giác, khái niệm tứ diện xuất hiện rất dễ dàng, tự nhiên; khái niệm lăng trụ tam giác và hình chóp có thể được liên tưởng một cách rất thuận lợi và khái niệm hình nón là thuận lợi; Với lăng trụ tam giác, Định lí 2 có thể được dự đoán một cách rất dễ dàng, tự nhiên, Định lí 4 khó khăn hơn nhưng nhóm khá, giỏi, hoặc có năng khiếu vẫn có thể dự đoán được, riêng Định lí 3 để phát biể được là rất khó khăn, đòi hỏi mức độ hoàn thiện, mềm dẻo cao trong tư duy. Về nhóm thực nghiệm, nói chung sinh viên toán K65 có thể nhận ra được những sự tương tự từ mặt phẳng sang không gian, nhưng khả năng diễn đạt, giải thích là rất hạn chế, hoặc, kiến thức về cơ sở hình học (nắm chắc, biết nhận diện, thể hiện các khái niệm chiều không gian, mặt phẳng, siêu phẳng, hình cầu, đơn hình,...) chưa vững chắc; khả năng nhìn một sự vật hiện tượng (yếu tố đối diện) còn thiếu và yếu; thẩm mỹ và trực giác toán học (cảm quan về tính đối xứng của các biểu thức) còn tương đối hạn chế; vẫn còn sinh viên năm thứ 3 bị hổng một đơn vị kiến thức toán phổ thông cơ bản. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Robyn McCarthy & Sharon Pittaway, 2014. An Historical Exploration of Creativity Research, (The Future of Educational Research Perspectives from Beginning Researchers), Sense Publisher, pp. 111-120. [2] Bharath Sriraman, Per Haavold & Kyeonghwa Lee, 2014. Creativity in Mathematics Education, (Encyclopedia of Mathematics Education), Springer Reference, pp. 109-115. [3] Bùi Văn Nghị, 2010. Rèn luyện phương pháp sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán ở trường đại học sư phạm, Tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm Hà Nội, số 55, kỳ 4, tr. 3-8 [4] Bùi Duy Hưng, 2011. Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên sư phạm toá, Tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm Hà Nội, số 56, kỳ 4, tr. 3-12. [5] Nguyễn Quang Uẩn (chủ biên), 1999. Tâm lí học đại cương, NXB ĐHQG [6] Nguyễn Bá Kim, 2017. Phương pháp dạy học môn toán, NXB ĐHSP Hà Nội [7] George Polya, 1954. Mathematics and Plausible Reasoning – Vol. I: Induction and Analogy in Mathematics, Princeton University Press. [8] Đức Uy, 1999. Tâm lí học sáng tạo, Nxb. Giáo dục, Hà Nội. [9] John Casey, 1889. A treatise on spherical trigonometry and its applications on geodesy and astronomy. University press of Dublin. ABSTRACT Enhancing creative thinking for pre-service mathematics teachers through rediscovering The law of cosine for tetrahedron Le Van Cuong1, Tran Cuong2 1Nguyen Tat Thanh High School, Hanoi National University of Education 2Faculty of Mathematics, Hanoi National University of Education In this article, we try to explore different versions of the law of cosine in 3-space, and design contents for learning situations in which learners will be encouraged to rediscover the theorems in order to enhance their creative thinking. An experimental activity has been designed and organized for 81 pre-service mathematics teachers in Hanoi University of Education) and allows us to conduct a first assessment of their ability and habit to draw analogies in mathematics, leading to our first conclusions about the feasibility and effectiveness of those learning situations. Keywords: Creative thinking, pre-service mathematics teachers, law of cosine, tetrahedron.