Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường Trung học Cơ sở - Nguyễn Thị Thanh Tâm

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2016-0047 Educational Sci., 2016, Vol. 61, No. 6, pp. 43-52 This paper is available online at BỒI DƯỠNG THỦ PHÁP BỔ SUNG YẾU TỐ PHỤ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ Nguyễn Thị Thanh Tâm Khoa Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Hà Tĩnh Tóm tắt. Thủ pháp bổ sung yếu tố phụ đóng vai trò quan trọng trong giải quyết vấn đề Toán học nói chung và Hình học nói riêng. Khi học sinh biết sử dụng các yếu tố phụ một cách hợp lí sẽ tạo được “cầu nối” liên hệ giữa các yếu tố đã cho, tri thức đã biết với các yếu tố cần tìm, cần giải quyết giúp họ thuận lợi trong việc chứng minh định lí và giải toán hình học. Trong bài viết này, chúng tôi đưa ra một số biện pháp nhằm bồi dưỡng cho học sinh thủ pháp bổ sung yếu tố phụ trong dạy học Hình học ở trường Trung học cơ sở. Từ khóa: Thủ pháp; bổ sung yếu tố phụ; bồi dưỡng; học sinh; dạy học Hình học; trung học cơ sở. 1. Mở đầu Trong chứng minh định lí hay giải bài tập Hình học, thủ pháp (TP) bổ sung yếu tố phụ (như vẽ hình phụ, bài toán phụ ...) đóng vai trò là yếu tố trung gian quan trọng giúp tìm ra lời giải hoặc lời giải ngắn gọn, độc đáo và sáng tạo. Nghiên cứu của Trần Luận [4], đã đưa ra một số phương pháp vẽ hình phụ đơn giản thường được vận dụng trong các chủ đề “Tứ giác” và “Đường tròn”, như: vẽ các hình phụ bằng hoặc tỉ lệ (hoặc có diện tích bằng hoặc tỉ lệ với các hình có trong kết luận; vẽ đường tròn phụ, ... Các tác giả nghiên cứu [5], [6] đã đưa ra một số ví dụ về vẽ hình phụ minh họa cho các kĩ thuật nhằm kết nối tri thức và việc khai thác sâu các định lí trong sách giáo khoa. Nguyễn Đức Tấn [7], đã trình bày những lời giải hay của các bài toán hình học thể hiện được sự độc đáo và tính hiệu quả của việc sử dụng hình phụ. Nhưng hướng dẫn về cách thức làm thế nào để học sinh (HS) có thể kẻ thêm hình phụ có lợi cho việc giải bài toán thì vẫn còn bỏ ngỏ. Trong [8], tác giả đã sử dụng các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp để vẽ tìm cách vẽ hình phụ trong giải toán Hình học 9. Như vậy, các tác giả đó đều khẳng định, việc bổ sung các yếu tố phụ thể hiện sự khéo léo, độc đáo và mang tính nghệ thuật, giúp giải quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả nhưng chưa đưa ra các cách thức chung để trang bị TP này cho HS Trung học cơ sở (THCS). Tuy nhiên, qua các nghiên cứu trên chúng ta nhận thấy, để tìm được yếu tố phụ có lợi trong việc giải quyết vấn đề (GQVĐ) thì người giải toán phải dựa trên cơ sở xem xét, tìm hiểu đặc điểm của các đối tượng được đề cập đến, biết biến đổi đối tượng một cách phù hợp và biết đặt nó trong mối liên hệ với các đối tượng có liên quan... Trên cơ sở đó, bài viết này đề cập đến một số cách thức bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho HS trong dạy học Hình học nhằm giúp các em có thể nhanh chóng tìm ra giải pháp GQVĐ và có thể độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập. Ngày nhận bài: 15/3/2016. Ngày nhận đăng: 25/6/2016. Liên hệ: Nguyễn Thị Thanh Tâm, e-mail: tam.nguyenthithanh@htu.edu.vn 43 Nguyễn Thị Thanh Tâm 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Thủ pháp bổ sung yếu tố phụ trong dạy học Hình học ở trường THCS 2.1.1. Quan niệm về thủ pháp bổ sung yếu tố phụ Chúng tôi quan niệm, yếu tố phụ là những chi tiết mới, được đưa vào vấn đề ban đầu (ngoài những yếu tố đã cho), để giúp những yếu tố đã cho, những tri thức đã biết “xích lại” gần hơn với cái cần giải quyết. Do đó, yếu tố phụ trong toán học là bài toán phụ, hình phụ, ẩn phụ. Từ góc độ Triết học duy vật biện chứng, việc bổ sung yếu tố phụ được đặt trong mối quan hệ với quy luật lượng - chất của quá trình vận động, phát triển của sự vật, hiện tượng. Do đó, người học cần bổ sung các yếu tố phụ một cách khéo léo để tạo sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất nhằm đưa vấn đề phức tạp ban đầu về dạng quen thuộc, có thể vận dụng các tri thức đã có. G. Polya [3] cho rằng, những hoạt động trí tuệ của quá trình giải toán có thể biểu diễn trong sơ đồ hình vuông sau (Hình 1). Trong đó, thao tác “bổ sung” được ghi trên cạnh nối các đỉnh “tổ chức” và “liên kết”. Theo tác giả, “bổ sung” là thêm những chi tiết mới, đưa vào những yếu tố phụ, những hiểu biết của chúng ta về bài toán để khắc phục các “lỗ hổng” và làm cho bài toán được hoàn thiện nhất định.Từ đó, chúng ta đã có được “một ý chói lọi” trong quan niệm mới về bài toán sau khi bổ sung những phần tử phụ nhất định. Hình 1. Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải Toán [3, tr16] Như vậy, bản chất của việc phát hiện, bổ sung đúng đắn các yếu tố phụ là việc tìm tòi các tri thức trung gian nhằm giúp HS dễ dàng kết nối tri thức đã có với tri thức cần tìm theo một hệ thống liên hệ nhân quả, phụ thuộc lẫn nhau tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đúng đắn cách giải quyết các vấn đề toán học. Việc khai thác tư tưởng này, nhằm khắc sâu nguyên tắc hệ thống của tri thức trong dạy học toán. Trong nghiên cứu này, trên cơ sở các nghiên cứu [1], [6], [9], chúng tôi quan niệm “TP bổ sung yếu tố phụ là cách khéo léo, linh hoạt đưa các đối tượng toán học (bài toán phụ, hình phụ, ẩn phụ) vào các yếu tố đã cho của VĐ cần giải quyết làm “cầu nối” gắn kết các tri thức đã biết với các tri thức cần tìm, cần khám phá; tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đúng đắn cách giải quyết vấn đề”. 2.1.2. Một số yếu tố phụ thường sử dụng trong dạy học Hình học ở trường THCS Có nhiều yếu tố phụ được dùng nhằm mục đích tạo ra đối tượng mới hữu ích hơn để dễ dàng giải quyết được vấn đề ban đầu trong dạy học Hình học ở trường THCS [7], [8], theo chúng tôi một số yếu tố phụ thường sử dụng, đó là: i) Các bài toán phụ: bài toán tương đương, bài toán 44 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường ... thành phần..; ii) Hình phụ: điểm (trung điểm, điểm chia trong, chia ngoài đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước...); tia (tia đối của một tia, tia phân giác của một góc, tia hợp với một tia cho trước một góc cho trước...); đoạn thẳng (đoạn thẳng nối hai điểm cho trước, đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước, đoạn thẳng bằng k lần đoạn thẳng cho trước, dây cung chung của hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm của hai đường tròn...); góc (góc bằng k lần góc cho trước, góc có số đo đặc biệt...); đường thẳng (đường thẳng qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước, đường thẳng đi qua một điểm cho trước là tiếp tuyến của một đường tròn...); đường tròn (nội tiếp, ngoại tiếp một đa giác...). Chúng ta sẽ thấy rõ các minh họa cho những yếu tố phụ này trong mục 2. 2.2. Một số biện pháp bồi dưỡng TP bổ sung yếu tố phụ cho HS trong dạy học Hình học ở trường THCS 2.2.1. Tập luyện cho học sinh phân tích yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong tình huống cần giải quyết bằng cách khai thác mối liên hệ nhân quả của yếu tố đã cho, kiến thức đã biết và yếu tố cần tìm nhằm phát hiện ra yếu tố phụ cần bổ sung Theo [2, tr. 12] “Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trí tuệ”. Trên cơ sở tính khách quan, tính phổ biến của mối liên hệ nhân quả theo quan điểm duy vật biện chứng, cụ thể: một nguyên nhân có thể sinh ra nhiều kết quả và một kết quả cũng có thể do nhiều nguyên nhân gây ra, GV tập luyện cho HS thói quen vận dụng liên tưởng nhân quả để GQVĐ. Khi HS giải quyết một bài toán, cần tập luyện cho HS biết phân tích yếu tố cần tìm của bài toán một cách toàn diện, đầy đủ để tìm ra yếu tố phụ cần bổ sung trên cơ sở những yếu tố đã cho và kiến thức đã biết. Các tình huống trong dạy học Hình học, có thể có nhiều cách khác nhau để bổ sung yếu tố phụ nhờ mối liên hệ nhân quả. Bởi vậy, trong dạy học Hình học GV cần tập luyện cho HS một số cách định hướng hữu ích để HS có thể nhanh chóng xác định được các yếu tố phụ thích hợp, chẳng hạn: + Nếu điều kiện cần tìm liên quan đến độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của góc thì chúng ta thường sử dụng các tam giác bằng nhau, tính chất các đường đặc biệt của tam giác, hình bình hành (chữ nhật, thoi, vuông), đường tròn. . . ; nếu điều cần chứng minh liên quan đến tích độ dài ta thường sử dụng tam giác đồng dạng. . . + Nếu các yếu tố đã cho có trung điểm của một cạnh thì có thể liên hệ với đường với đường trung tuyến (của tam giác), đường trung bình đi qua nó (tam giác, hình thang), tâm của hình bình hành nhận cạnh đó làm một đường chéo. . . ; nếu cho dây cung ta nghĩ đến đường kính, bán kính đi qua trung điểm hoặc qua đầu dây cung; hai đường tròn thường liên hệ với đường nối tâm, tiếp tuyến chung, dây cung; cho tam giác hoặc tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o (hay có hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới các góc bằng nhau) ta thường nghĩ đến đường tròn ngoại tiếp. . . Trong biện pháp này, chúng tôi đề ra 3 hướng thực hiện: 1) Tập luyện cho HS khai thác đặc điểm, tính chất của yếu tố đã cho để tìm định hướng bổ sung yếu tố phụ có liên quan đến vấn đề cần giải quyết; 2) Tập luyện cho HS phân tích yếu tố cần tìm trong mối liên hệ với yếu tố đã cho để xác định các hướng có thể bổ sung yếu tố phụ nhằm tìm cách đưa vấn đề về dạng quen thuộc; 3) Tập luyện cho HS khai thác, phát triển các vấn đề nhằm khắc sâu việc bổ sung yếu tố phụ từ vấn đề ban đầu. Để minh họa cho các ý tưởng trên, chúng tôi dẫn ra đây ví dụ chứng minh định lí đường trung bình của hình thang trong sách giáo khoa Toán 8: Ví dụ 1. “Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy”. 45 Nguyễn Thị Thanh Tâm Hình 1.1. Trong sách giáo khoa, định lí được chứng minh bằng cách: Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AF và DC.Suy ra ∆FBA = ∆FCK, rồi áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ∆ADK, ta có điều phải chứng minh. Điều chứng minh này ngắn gọn và đa số HS có thể hiểu được khi nắm vững các kiến thức đã có. Nhưng nếu GVchỉ trình bày như vậy thì nhiều HS sẽ không hiểu được vì sao lại lại bổ sung yếu tố phụ là điểm K như trên? Và có thể bổ sung yếu tố phụ nào khác hay không? Tuy nhiên, nếu GV để HS tự khám phá ra việc bổ sung yếu tố phụ thì họ sẽ biết vì sao lại bổ sung điểm K như trên và có thể nhận ra được những cách bổ sung yếu tố phụ khác nữa. Khảo sát thực tế cho thấy, một số HS đã bổ sung yếu tố phụ theo hướng sau “kéo dài EF và lấy điểm G sao cho EG = 2EF và tìm cách chứng minh EG = AB + CD”. Khi đó, GV giúp HS nhận ra theo hướng này thì sẽ không chứng minh được bằng những kiến thức đã biết mà phải dùng đến kiến thức chưa được học (đó là tính chất hình bình hành). Từ đó, GV có thể kích thích sự tích cực học tập của HS trong việc phân tích mối liên hệ giữa cái cần tìm với cái đã cho, tri thức đã biết để bổ sung yếu tố phụ thích hợp bởi các câu hỏi, gợi ý, chẳng hạn: Biểu thức cần chứng minh EF//AB, EF//CD và EF = 1 2 (AB + CD) gợi cho em liên tưởng đến tính chất, định lí nào đã biết? Một định lí nào quen thuộc trong tam giác? Chúng ta mong đợi HS sẽ trả lời rằng: Đó là định lí về đường trung bình của tam giác. “Trong hình vẽ, đã có đường trung bình của tam giác hay chưa? (Chưa có) Em có thể bổ sung yếu tố phụ như thế nào để có thể áp dụng được định lí đường trung bình của tam giác không?”. GV dẫn dắt để HS biết cách bổ sung yếu tố phụ là tạo tam giác có đường trung bình EF và đáy bằng AB+CD; hoặc chia đoạn EF thành hai đoạn tương ứng bằng đường trung bình của các tam giác có cạnh đáy là AB, CD. Từ đó, HS biết bổ sung yếu tố phụ theo hai hướng: Hình 1.2. Thứ nhất, tạo một tam giác có đường trung bình là EF và đáy bằng AB + CD bằng bốn cách bổ sung yếu tố phụ, đó là giao điểm K của AF và DC (hình 1.1) (hoặc giao điểm K1 của DF và AB; hay giao điểm K2 của BE và CD; haygiao điểm K3 của DE và BA). Thứ hai, tạo các đường trung bình tương ứng với các cạnh đáy AB, CD của hai tam giác nào đó và chứng tỏ EI + IF = EF bằng hai cách bổ sung yếu tố phụ là trung điểm I của AC (hình 1.2) (hoặc trung điểm J của BD). Như vậy, các em đã tự mình khám phá được nhiều cách bổ sung yếu tố phụ và phát huy tính độc lập, sáng tạo trong học tập nhờ khai thác mối liên hệ nhân quả. Ngoài ra, để khắc sâu việc vẽ hình phụ, GV có thể gợi ý cho HS khai thác phát triển các bài toán từ định lí trên. Trong hình vẽ chứng minh định lí trên, giả thiết gồm hai yếu tố: “Tứ giác ABCD là hình thang” và “E, F tương ứng là trung điểm của AD, BC”, GV gợi ý cho HS thay đổi các giả thiết để phát triển thành các bài toán mới. Chẳng hạn: - GV có thể gợi ý cho HS thay điều kiện “Tứ giác ABCD là hình thang” bởi một “tứ giác bất kì” thì kết luận sẽ thay đổi như thế nào nhằm khắc sâu việc bổ sung hình phụ với các bài toán có giả thiết là trung điểm các cạnh, sử dụng dụng định lí đường trung bình của tam giác. . . 46 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường ... Bằng cách vẽ hình phụ tương ứng theo hai hướng như trên, HS dễ dàng tìm ra được: Theo hướng thứ nhất, bổ sung yếu tố phụ là giao điểm K của AF và DC, các em dễ dàng chứng minh được: EF = 1 2 DK, mà DK ≤ AB + CD nên EF ≤ 1 2 (AB + CD) . Theo hướng thứ hai, bổ sung yếu tố phụ là trung điểm I của AC, các em dễ dàng chứng minh được: EI = 1 2 CD, IF = 1 2 AB mà EF ≤ EI + IF nên EF ≤ 1 2 (AB + CD) . Từ đó, có bài toán mới: Bài toán 1.1. Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. a) Chứng minh rằng EF ≤ 1 2 (AB + CD) . b) Tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EF = 1 2 (AB + CD)? (Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển toán 8, tập 1, bài tập 16, tr. 78) - Hoặc, sau khi học xong phần định lí Ta-lét, GV gợi ý để HS khai thác định lí trên bằng cách viết giả thiết “E, F tương ứng là trung điểm của AD, BC” dưới dạng “E, F là các điểm trên cạnh AD, BC sao cho: AE AD = BF BC = 1 2 ” thay đổi giả thiết này bởi “E, F là các điểm trên cạnh AD, BC sao cho: AE AD = BF BC = k, với 0 < k < 1” bằng cách bổ sung yếu tố phụ như trên để chứng minh, ta có bài toán: Bài toán 1.2. Cho hình thang ABCD có AB // CD. Gọi E, F theo thứ tự là các điểm thuộc AD, BC sao cho AE AD = BF BC = k, với 0 < k < 1. Chứng minh EF = k (AB + CD) . Chúng ta xét thêm một bài toán khác: Hình 2.1. Hình 2.2. Ví dụ 2. Cho góc xOy và điểm I thuộc miền trong của góc đó. Dựng đường thẳng d đi qua I lần lượt cắt các cạnh Ox, Oy tại các điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. Đối tượng nhận thức trong tình huống này là: Phương pháp dựng đường thẳng qua I cắt hai nửa đường thẳng giao nhau tại M, N sao cho IM = IN. Như vậy, điểm M, N cần dựng có thể được xuất phát từ các nguồn gốc sau: i) M, N là hai đỉnh đối diệncủa hình bình hành có tâm là I, khi đó vẽ hình phụ là hình bình hành, bằng cách: Xác định O′ trên đường thẳng OI sao cho IO = IO′,O′ nằm khác phía O đối với I và dựng qua O′ các đường thẳng lần lượt song song với Oy và Ox (hình 2.1). ii) M là ảnh đối xứng của N qua phép đối xứng tâm I, khi đó hình phụ là ảnh O′y′ của Oy qua phép đối xứng tâm I, suy raM = Ox ∩O′y′ (hình 2.2). iii) IM, IN là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Ta bổ sung yếu tố phụ là điểm O’ trên tia đối của IO sao cho IO’ = IO, dựng đường thẳng O’y’//Oy cắt Ox tại M; MI cắt Oy tại N (DeltaOIN = DeltaO’IM) (hình 2.2). 47 Nguyễn Thị Thanh Tâm Hình 2.3. Hình 2.4. Hoặc, qua I kẻ đường thẳng bất kì cắt Oy tại P, trên tia đối IP lấy điểm Q sao cho IP = IQ, kẻ Qz//Oy cắt Ox tại M; MI cắt Oy tại N ta có ∆IMQ = ∆INP (hình 2.3). iv) MN là cạnh của một tam giác nhận đường thẳng qua I song song với Ox (Oy) làm đường trung bình . Do đó, bằng cách vẽ đường thẳng IK//Ox ( K ∈ Oy) ta có K xác định. Trên Oy lấy điểm N nằm khác phía O đối với K, sao cho OK = KN. Từ đó suy ra cách dựng d đi qua N và I (hình 2.4). Mặt khác, điều kiện “I là trung điểm của đoạn MN” có thể viết dưới dạng “ IM IN = 1”. Từ đó, có thể khuyến khích HS khá, giỏi phát hiện bài toán tương tự hay bài toán tổng quát và bổ sung hình phụ như iv) rồi áp dụng định lí Ta-lét để chứng minh, chẳng hạn: Bài toán 2.1. Cho góc xOy và điểm I thuộc miền trong của góc đó. Dựng đường thẳng d qua I sao cho d cắt Ox, Oy tại các điểm tương ứng M, N và IM = 2.IN. Bài toán 2.2. Cho góc xOy và điểm I thuộc miền trong của góc đó. Dựng đường thẳng d qua I sao cho d cắt Ox, Oy tại các điểm tương ứng M, N và IM IN = k (k > 0 cho trước). Qua các ví dụ trên, cho thấy việc phân tích mối liên hệ giữa yếu tố cần tìm với yếu tố đã cho, kiến thức đã biết và liên tưởng đến những kiến thức liên quan giúp người học biết bổ sung yếu tố phụ hợp lí để có thể tìm được nhiều cách khác nhau; từ đó, có được lời giải tối ưu cho mỗi vấn đề. Tuy nhiên, để HS có nhiều sự liên tưởng thì họ phải có nhiều “hình ảnh” liên quan đến đối tượng nghiên cứu. Do đó, trong quá trình dạy học, GV thường xuyên phải hình thành và trang bị cho họ nền kiến thức vững chắc và tích lũy nhiều kĩ năng, kinh nghiệm để khi gặp tình huống cụ thể các em có thể rút ra và vận dụng thích hợp, giúp bức tranh về đối tượng nghiên cứu hoàn thiện hơn nhằm giải quyết hiệu quả vấn đề. 2.2.2. Tập luyện cho HS bổ sung yếu tố phụ nhờ chuyển đổi hình thức của vấn đề khi gặp chướng ngại, khó khăn trong việc liên hệ yếu tố cần tìm với những yếu tố đã cho, kiến thức đã biết Thực hiện biện pháp này, giúp HS biết biến đổi đối tượng bằng cách chuyển hóa hình thức của đối tượng cho phù hợp với nội dung (dựa trên cơ sở của quan điểm triết học duy vật biện chứng: cùng một nội dung, trong quá trình phát triển có thể được thể hiện dưới nhiều hình thức và ngược lại), để “bóc trần” nội dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức đã có của HS nhằm gợi ra hướng bổ sung các yếu tố phụ và từ đó đi đến việc GQVĐ. Mặt khác, trong hoạt động nhận thức, lúc đầu đối tượng có thể tồn tại độc lập với chủ thể HS. Do đó, để chủ thể có thể xâm nhập vào đối tượng (hiểu, giải thích và vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm thực sự của hoạt động) thì họ phải tiến hành biến đổi đối tượng sao cho dễ dàng huy động các kiến thức đã có. Việc biến đổi bài toán (đặc biệt là biến đổi kết luận về dạng tương đương là phương thức đơn giản, thường được “thử nghiệm” đầu tiên) từ chỗ chưa nhìn thấy hướng giải, hướng sử dụng yếu tố phụ thành dạng có hy vọng gợi ra hướng bổ sung yếu tố phụ để đi đến lời giải là điều hết sức cần thiết đối với các em. G. Polya cho rằng: “Thành công trong việc giải bài toán phụ thuộc vào việc chọn con đường đúng và phụ thuộc vào việc ta tấn công pháo đài có đúng 48 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường ... mặt yếu của nó hay không. Để thấy được con đường nào đúng hơn, phía nào dễ qua hơn, ta phải xét bài toán theo nhiều quan điểm khác nhau, đề cập bài toán theo nhiều cách, phải biến đổi bài toán.” [5, tr. 45]. Như vậy, bằng cách biến đổi bài toán nói riêng (vấn đề nói chung), nhằm chuyển hướng (khi cần thiết) trong tư duy của người học mang lại những chi tiết mới, những khả năng mới để làm xuất hiện các liên tưởng trong trí nhớ những cái liên quan tới bài toán của ta. Đặc biệt, đối với nhiều vấn đề Hình học thì đây là cơ sở giúp HS có thể phát hiện và lựa chọn được các yếu tố phụ thích hợp cần bổ sung để GQVĐ. Sau đây là ví dụ sau minh họa: Ví dụ 3. ChoDeltaABC có ABAC, vẽ hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng AB + CE > AC + BD (1). Trong thực tiễn dạy học không ít HS lúng túng khi giải bài toán này, nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng bằng AB + CE và một đoạn thẳng khác bằng AC + BD thì cũng khó để tìm được điều cần chứng minh. Để có thể tháo gỡ được điều đó, chúng tôi đã yêu cầu người học phát biểu các điều kiện tương đương với kết luận để có thể vận dụng được các kiến thức đã học. Mong đợi của GV ở đây là với giả thiết ABAC, HS thay đổi kết luận và phát biểu được bài toán phụ tương đương với bài toán ban đầu như sau: “Cho DeltaABC có ABAC. Vẽ hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng AB− AC > BD− CE”. Hình 3. Biến đổi bài toán như vậy sẽ “gợi ý” cho người giải vẽ đường phụ bằng cách đặt đoạn AB’ = AB chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC (hình 3), đó là: CB ′ = AB ′ −AC = AB−AC. Ta có DeltaABB’ cân tại A. Từ B ′ kẻ B ′ H⊥AB và CF⊥B ′ H. Đến đây, ta thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng. Ta chỉ cần chứng minh BD = B′H và CEHF là hình chữ nhật. Từ đó, suy ra B′F = BD− CE. Cuối cùng bài toán đưa về việc so sánh B′F với B′C trong DeltaCFB’. Qua việc giải bài toán trên, HS nhận ra rằng, nhiều khi để chứng minh một bài toán hình học (đặc biệt là chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức), nên bổ sung yếu tố phụ bằng cách đưa những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi (một hình mới) làm cho chúng có liên hệ với nhau. 2.2.3. Tập luyện cho HS bổ sung yếu tố phụ trên cơ sở cấu trúc lại yếu tố đã cho đặt trong kiến thức đã có nhằm tạo ra cấu trúc mới phù hợp với tình huống cần giải quyết Trong dạy học hình học ở trường THCS, HS có thể gặp tình huống, bài toán là chướng ngại nhận thức đối với các em; tri thức đã có chưa thể giải đáp được yêu cầu của bài toán hay nói cách khác tri thức đã có không tương thích với tình huống mới. Khi đó, việc cấu trúc lại các đối tượng, tạo cho HS có điều kiện gắn kết giữa kiến thức, kinh nghiệm đã có với yếu tố cần tìm, khắc phục chướng ngại trong bài toán nhằm dễ dàng chiếm lĩnh kiến thức. Do đó, trong quá trình dạy học Hình 4. Hình học GV cần giúp HS biết đặt đối tượng nghiên cứu trong mối quan hệ với các đối tượng khác, tránh tình trạng HS thường nhìn nhận sự vật, hiện tượng một cách đơn lẻ dẫn đến khó tìm được yếu tố phụ cần thiết để bổ sung. Ví dụ sau đây minh họa cho điều này: Ví dụ 4. Chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm”. Thực tiễn giảng dạy cho thấy, học sinh 7 THCS gặp khó khăn khi chứng minh định lí này. Tuy nhiên các 49 Nguyễn Thị Thanh Tâm em có thể giải quyết được bài toán, nếu được GV hướng dẫn làm sáng tỏ các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác A1B1C1, với A1,B1,C1 lần lượt là giao điểm của các đường thẳng qua A,B,C lần lượt song song với BC,AC,AB (hình 4). Như vậy, nhờ bổ sung yếu tố phụ là tam giác A1B1C1 cho phép chuyển việc chứng minh tính chất đồng quy của ba đường cao trong tam giác ABC về một định lí quen thuộc là tính chất đồng quy của ba đường trung trực. 2.2.4. Tập luyện cho HS phát hiện yếu tố phụ cần bổ sung bằng cách xét các vị trí đặc biệt của các yếu tố hình học có trong vấn đề cần giải quyết Mục đích của biện pháp này là giúp HS biết xét các vị trí đặc biệt của các yếu tố hình học có trong vấn đề cần giải quyết, để phát hiện và sử dụng các yếu tố phụ một cách hợp lí dựa trên cơ sở cặp phạm trù cái chung, cái riêng của triết học duy vật biện chứng. Hình 5. Ví dụ 5. Cho góc xOy, trên Ox lấy hai điểm A, B và trên Oy lấy hai điểm C, D sao cho AB = CD. Gọi M và N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh đường thẳng MN song song với phân giác góc xOy. Chúng ta thấy, vị trí đặc biệt nhất của CD là khi CD đối xứng với AB qua phân giác Ot của góc xOy. Dẫn đến ta lấy các điểm phụ là các điểm C’, D’ đối xứng của A và B qua Ot. Gọi E, F là giao điểm của AC’ và BD’ với Ot. Khi đó E, F là trung điểm của AC’ và BD’ (hình 5). Như vậy, việc chứng minh MN song song với Ot trở thành cần chứng minh MN song song với EF. Điều này dễ dàng có được nhờ tính chất của đường trung bình trong tam giác và tính chất hình bình hành. Cần lưu ý rằng, trên đây là cách bổ sung yếu tố phụ bằng việc xét các trường hợp đặc biệt. Ngoài ra, nhờ mối liên hệ nhân quả chúng ta sẽ có nhiều cách bổ sung yếu tố phụ khác để chứng minh bài toán này, chẳng hạn: chứng minh một cát tuyến nào đó cắt các đường thẳng Oz, MN có các góc ở vị trí đồng vị, so le trong (ngoài) bằng nhau; chứng minh các đường thẳng Oz, MN cùng song song với một đường thẳng nào đó; hay chứng minh các đường thẳng Oz, MN cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó. . . Chúng ta xét thêm một ví dụ khác: Hình 6.1. Ví dụ 6. Cho tam giác đều ABC. Chứng minh rằng: Tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi ba cạnh và cả trên ba cạnh của tam giác đến AB, BC, CA là không đổi. Bài toán này đối với HS không phải là dễ. Khó khăn thứ nhất là kết luận bài toán không nói rõ tổng các khoảng cách đó bằng bao nhiêu. Để giải quyết khó khăn này, ta lấy trường hợp riêng để soi sáng trường hợp chung. Nếu như tổng số các khoảng cách từ bất kì điểm nào trong tam giác đều tới các cạnh của nó là không đổi, thì với trường hợp đặc biệt, khi điểm M trùng với một đỉnh (giả sử M ≡ A), tổng đó cũng không đổi. Mà tổng khoảng cách từ A đến các cạnh bằng đường cao AA1. Từ đó, suy ra cần chứng minh: MP+MQ+MK = AA1. 50 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường ... Hình 6.2. Hình 6.3. GV gợi ý để HS nhận ra MP, AA1 là các đường cao tương ứng của hai tam giác chung đáy BC nên MP AA1 = MP.BC AA1.BC = S∆MBC S∆ABC và tương tự cho các biểu thức còn lại, nên người học nghĩ đến việc bổ sung các yếu tố phụ là các đoạn thẳng MA, MB, MC và vận dụng tỉ số diện tích để chứng minh (hình 6.1). Một hướng suy nghĩ khác: Nếu trên A1A ta đặt một đoạn A1N = MP, vậy thì để chứng minh MP + MQ + MK = AA1 ta chỉ cần chứng minh được MQ + MK = AN? Để giải quyết khó khăn này, người giải lại vận dụng một trường hợp riêng nữa để soi sáng trường hợp chung. Bây giờ, ta lấy điểm đặc biệt là M trên một cạnh (giả sử M ∈ BC). Khi đó, HS dễ dàng chứng minh MQ + MK = BB1 bằng cách chia đoạn thẳng BB1 thành các đoạn thẳng bằng MQ, MK bởi việc bổ sung các yếu tố phụ đó là MI⊥BB1 và chứng minhMK = BI;MQ = IB1 (hình 6.2). Từ đó, người giải biết việc bổ sung yếu tố phụ đề giải bài toán đã cho là vẽ đường thẳng qua M vuông góc với AA1 cắt AB, AC, AA1 lần lượt tại B’, C’, N; rồi chứng minh MQ + MK bằng đường cao B’B1 của tam giác đều AB’C’. Lại kẻ đường phụ MI⊥B′B1 ta suy ra điều phải chứng minh (hình 6.3). Hơn nữa, khi thay đổi vị trí của điểm M thuộc ngoài phần mặt phẳng giới hạn bởi ba cạnh với các trường hợp cụ thể chúng ta sẽ có nhiều bài toán mới hoặc khi thay giả thiết tam giác đều bởi tam giác cân và điểm M thuộc cạnh đáy của nó chúng ta cũng có thể giải quyết các bài toán đó bằng cách bổ sung hình phụ tương tự nhờ xét các trường hợp riêng. Qua các ví dụ trên chúng ta nhận thấy, để GQVĐ phức tạp có thể phải xét các trường hợp riêng, các trường hợp đặc biệt của nó làm điểm tựa. Đặc biệt, với nhiều bài toán hình học việc xét các trường hợp đặc biệt đã gợi ý cho người giải biết bổ sung yếu tố phụ một cách hợp lí giúp họ giải quyết hiệu quả các vấn đề đã cho. Những ví dụ minh họa của các biện pháp trên, cho chúng ta thấy một yếu tố phụ được bổ sung vào đối tượng nhằm GQVĐ phải từ xuất phát một nguyên nhân nào đó, đúng như Polya đã khẳng định “Cái lí do buộc phải đưa vào phần tử phụ nào đó có thể khác nhau nhưng lí do đó là phải có. Không nên đưa vào một phần tử phụ mà không có một lí do nào cả” [3]. 3. Kết luận Trong dạy học hình học, TP bổ sung yếu tố phụ có vai trò như tri thức phương pháp dạng tìm đoán. Để bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ GV cần tập luyện cho HS các hoạt động bổ sung các yếu tố phụ một cách hợp lí thông qua giải quyết các tình huống trong học tập Hình học. Từ đó, hình thành cho HS cách thức bổ sung yếu tố phụ phù hợp trong chứng minh định lí và giải toán Hình học, giúp HS nhận thức sâu sắc ý nghĩa, tầm quan trọng của TP này trong học tập Hình học; qua đó góp phần hình thành và phát triển năng lực GQVĐ - một năng lực quan trọng của người học theo định hướng đổi mới giáo dục hiện nay. 51 Nguyễn Thị Thanh Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dự án Việt - Bỉ, 2000. Dạy học các kĩ năng tư duy. Hà Nội. [2] Phan Trọng Ngọ (Chủ biên), Dương Diệu Hoa, Nguyễn Lan Anh, 2001. Tâm lí học trí tuệ. Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội. [3] G. Polya, 1979. Sáng tạo toán học, Tập 3. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [4] Trần Luận, 1996. Vận dụng tư tưởng sư phạm của G.Pôlya xây dựng nội dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II. Luận án Phó Tiến sĩ Khoa học Sư phạm – Tâm lí, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội. [5] Đào Tam, 2014. Bồi dưỡng năng lực kết nối tri thức trong dạy học toán ở trường Phổ thông theo hướng nâng cao hiệu quả hoạt động tìm tòi trí tuệ của học sinh. Kỉ yếu Hội thảo khoa học quốc gia - Nghiên cứu giáo dục toán học theo hướng phát triển năng lực người học, giai đoạn 2014-2020, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội, Tr. 12-22. [6] Đào Tam, Nguyễn Thị Thanh Tâm, 2016. Hình thành và khắc sâu một số thủ pháp giải quyết vấn đề trong dạy học toán ở trường THCS. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Hà Tĩnh Số 7, Tr. 3-9. [7] Nguyễn Đức Tấn, 2012. Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải toán hình học phẳng. Nxb Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh. [8] Bạch Phương Vinh, 2013. Rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh lớp 9 thông qua các bài toán giải bằng phương pháp vẽ thêm hình phụ. Tạp chí Giáo dục, Tr. 42-45. [9] Pimpaka Intaros et al., 2014. Students’ problem solving strategies in problem solving - mathematics classroom. Procedia - Social and Behavioral Sciences, 116, tr. 4119-4123. ABSTRACT Tactics for teaching the addition of sub-elements to secondary school geometry students Tactics of adding sub-elements play an important role in solving math problems in general and geometry in particular. When students use sub-elements appropriately, they create a link between given elements, given knowledge and elements to be explored, which enables students to justify a theorem and solve geometric problems. In this paper, we suggest ways to help students use tactics toadd sub-elements when teaching geometry at lower secondary schools. Keywords: Tactics, adding sub-elements, develop, students, teaching geometry, lower secondary schools. 52