Chứng minh một số trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski - Nguyễn Thanh Phong

CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI Nguyễn Thanh Phong - Trần Ngọc Quốc1 Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh một vài trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski về bài toán "Số điểm của một lưới nguyên nằm trong một tập compact lồi trong không gian Euclide Rn". Từ khóa: Lattices, Minkowski’s theorem, Minkowski’s conjecture. 1. Giới thiệu Một trong những vấn đề cơ bản của Hình học số là nghiên cứu số điểm chung của một lưới nguyên với một tập đo được trong Rn. Nếu C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì Hermann Minkowski phỏng đoán rằng số điểm chung của một lưới nguyên Λ và C là một số hữu hạn và số điểm chung là một hàm đếm G(C,Λ) = card(C ∩ Λ) bị chặn trên. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ giới thiệu lại giả thuyết Minkowski và kiểm chứng kết quả đúng trong một số trường hợp riêng. 2. Kiến thức chuẩn bị Trong bài báo này, Rn là không gian Euclide với tích vô hướng được định nghĩa〈 x, y 〉 = n∑ i=1 xiyi. Định nghĩa 2.1. Cho {λ1, . . . , λn} là họ các vectơ độc lập tuyến tính trong Rn. Tập hợp tất cả các điểm x = u1λ1 + · · ·+ unλn với {u1, . . . , un} là họ những số nguyên, được gọi là một lưới nguyên trong Rn của cơ sở {λ1, . . . , λn}, ký hiệu Λ := Zλ1 + · · ·+ Zλn, với Z là tập hợp các số nguyên. Định nghĩa 2.2. Cho Λ là lưới nguyên trong Rn và C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Số thực λi(C,Λ) = inf{r ∈ R∗+/ rC chứa ít nhất i điểm độc lập tuyến tính của Λ}, ở đây i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n và rC = {rx với x ∈ C}, được gọi là cực tiểu thứ tự thứ i của lưới nguyên Λ tương ứng với tập C. 1Trường Đại học Quảng Nam CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI Nhận xét 2.3. Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi đó, ta có 0 < λ1(C,Λ) ≤ λ2(C,Λ) ≤ · · · ≤ λn(C,Λ) < +∞. Nhận xét 2.4. Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi đó, ta có λ1(C,Λ) là số thực nhỏ nhất sao cho λ1(C,Λ)C có điểm chung khác 0 với Λ. Giả thuyết 2.5 (Giả thuyết Minkowski). Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Gọi G(C,Λ) là hàm đếm số điểm của lưới nguyên Λ trong tập C, tức là G(C,Λ) = card(C ∩ Λ). Khi đó, ta có G(C,Λ) ≤ n∏ i=1 ⌊ 2 λi(C,Λ) + 1 ⌋ ; ở đây, b·c là ký hiệu phần nguyên dưới của một số thực. Trên cơ sở những lý thuyết chuẩn bị trên, chúng tôi sẽ sử dụng các tính chất của không gian định chuẩn Rn để chứng minh một số trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski. 3. Các kết quả chính Trong nội dung này, chúng tôi sẽ chứng minh 2 trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski. Nhận xét 3.1. Cho C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ trên Rn. Khi đó, tồn tại một chuẩn trên Rn sao cho C = {x ∈ Rn/ ‖x‖C ≤ 1}. Thật vậy, với mọi x ∈ Rn, ta định nghĩa ‖x‖C = inf { 1 t với t ∈ R∗+ thỏa tx ∈ C } . Ta dễ dàng chứng minh chuẩn được định nghĩa như trên thỏa Nhận xét 3.1. Nhận xét 3.2. Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi đó, với mọi x ∈ Λ\{0}, ta luôn có ‖x‖C ≥ λ1(C,Λ). Thật vậy, ta giả sử tồn tại x0 ∈ Λ \ {0} thỏa mãn ‖x0‖C < λ1(C,Λ). Đặt r0 = ‖x0‖C, suy ra 0 6= x0 ∈ Λ ∩ r0C. Bởi định nghĩa λ1(C,Λ), ta được λ1(C,Λ) ≤ r0 < λ1(C,Λ), (Mâu thuẫn). Vậy, với mọi x ∈ Λ \ {0}, ta luôn có ‖x‖C ≥ λ1(C,Λ). 160 NGUYỄN THANH PHONG - TRẦN NGỌC QUỐC Định lý 3.3. Cho C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Nếu Λ là một lưới nguyên thỏa mãn λ1(C,Λ) = λ2(C,Λ) = · · · = λn(C,Λ); thì ta có G(C,Λ) ≤ n∏ i=1 ⌊ 2 λi(C,Λ) + 1 ⌋ . Chứng minh. Ta đặt p = ⌊ 2 λ1(C,Λ) + 1 ⌋ . Xét ánh xạ f : C ∩ Λ −→ (Z/pZ)n x = u1λ1 + · · ·+ unλn 7−→ f(x) = (u1 mod p, . . . , un mod p). Ta sẽ chứng minh được f là một đơn ánh. Thật vậy, gọi {λ1, λ2, . . . , λn} là một cơ sở bất kỳ của Λ. Giả sử tồn tại x = u1λ1 + u2λ2 + · · ·+ unλn và y = v1λ1 + v2λ2 + · · ·+ vnλn; là 2 điểm thuộc C ∩ Λ thỏa x 6= y và ui ≡ vi(modp), ∀i = 1, .., n. Ta đặt z = 1 p (x− y) = u1 − v1 p λ1 + u2 − v2 p λ2 + · · ·+ un − vn p λn. Vì x 6= y nên z 6= 0. Mặt khác, ta có ui ≡ vi(modp), (∀i = 1, .., n), nên ui−vip ∈ Z, (∀i = 1, .., n). Suy ra z ∈ Λ. Từ nhận xét (3.1), vì x, y ∈ C nên ‖x‖C ≤ 1 và ‖y‖C ≤ 1. Lúc đó, ta có ‖z‖C = ‖1 p (x− y)‖C ≤ 1 p (‖x‖C + ‖y‖C) ≤ 2 p < λ1(C,Λ). Từ nhận xét (3.2), suy ra λ1(C,Λ) ≤ ‖z‖C < λ1(C,Λ). (Mâu thuẫn) Suy ra f là một đơn ánh, hay card(C ∩ Λ) ≤ card (Z/pZ)n = pn. Vậy, ta được kết quả cần chứng minh G(C,Λ) ≤ (⌊ 2 λ1(C,Λ) + 1 ⌋)n = n∏ i=1 ⌊ 2 λi(C,Λ) + 1 ⌋ . 161 CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI Định lý 3.4. Cho C là hình cầu đơn vị đóng trong Rn, tức là C = {x ∈ Rn thỏa ‖x‖ ≤ 1}. Nếu Λ là một lưới nguyên trong Rn thỏa mãn tồn tại một cơ sở {λ1, λ2, . . . , λn} là một hệ trực giao thì ta có G(C,Λ) ≤ n∏ i=1 ⌊ 2 λi(C,Λ) + 1 ⌋ . Bổ đề 3.5. Cho C là hình cầu đơn vị đóng trong Rn và lưới nguyên Λ trên Rn với cơ sở {λ1, λ2, . . . , λn} là một hệ trực giao thỏa ‖λi‖ ≤ ‖λi+1‖, (1 ≤ i ≤ n−1). Khi đó, ta có ‖λi‖ = λi(C,Λ), (1 ≤ i ≤ n). Chứng minh. Theo giả thiết, ta có ‖λi‖ ≤ ‖λj‖, (1 ≤ i ≤ j ≤ n). Với k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n, ta đặt Rk = {r ∈ R∗+/ rC chứa ít nhất k điểm độc lập tuyến tính của Λ}. Cho r ∈ Rk và ta giả sử {y1, y2, . . . , yk} là k điểm độc lập tuyến tính trong rC∩Λ. Ở đây, yj ∈ Λ, (1 ≤ j ≤ k), nên có dạng yj = n∑ i=1 ujiλi, uji ∈ Z. Khi đó, tồn tại uj0i0 6= 0, (1 ≤ j0 ≤ k ≤ i0 ≤ n). Suy ra r2 ≥ ‖yj0‖2 = ∥∥∥∥∥ n∑ i=1 uj0iλi ∥∥∥∥∥ 2 = n∑ i=1 |uj0i|2‖λi‖2 ≥ |uj0i0|2‖λi0‖2 ≥ ‖λi0‖2. Vì i0 ≥ k, nên r2 ≥ ‖λi0‖2 ≥ ‖λk‖2. Hay ‖λk‖ ≤ r, ∀r ∈ Rk. Mà λk(C,Λ) = infRk, suy ra ‖λk‖ ≤ λk(C,Λ). Mặt khác, họ {λ1, λ2, . . . , λk} là họ k điểm độc lập tuyến tính trong ‖λk‖C ∩ Λ, nên từ định nghĩa λk(C,Λ), ta suy ra λk(C,Λ) ≤ ‖λk‖. Vậy, ta có ‖λk‖ = λk(C,Λ). Như vậy, ta đã chứng minh được ‖λi‖ = λi(C,Λ), (1 ≤ i ≤ n). Chứng minh định lý 3.4. Không mất tính tổng quát, ta giả sử ‖λi‖ ≤ ‖λj‖, (1 ≤ i ≤ j ≤ n). Áp dụng bổ đề 3.5, ta có ‖λi‖ = λi(C,Λ), (1 ≤ i ≤ n). 162 NGUYỄN THANH PHONG - TRẦN NGỌC QUỐC Cho x = n∑ i=1 uiλi là điểm bất kỳ thuộc C ∩ Λ. Ta có |uj|2‖λj‖2 ≤ n∑ i=1 |ui|2‖λi‖2 = ‖x‖2 ≤ 1, (1 ≤ j ≤ n). Hay |uj| ≤ 1‖λj‖ = 1 λj(C,Λ) , (1 ≤ j ≤ n). Mà uj ∈ Z, (1 ≤ j ≤ n), nên |uj| ≤ ⌊ 1 λj(C,Λ) ⌋ , (1 ≤ j ≤ n). Suy ra C ∩ Λ ⊂ { x = n∑ i=1 uiλi ∈ Rn với ui ∈ Z thỏa |ui| ≤ ⌊ 1 λi(C,Λ) ⌋ , (1 ≤ i ≤ n) } . Vậy, ta có G(C,Λ) = card(C ∩ Λ) ≤ n∏ i=1 card { z ∈ Z thỏa |z| ≤ ⌊ 1 λi(C,Λ) ⌋} = n∏ i=1 ( 2 ⌊ 1 λi(C,Λ) ⌋ + 1 ) ≤ n∏ i=1 ⌊ 2 λi(C,Λ) + 1 ⌋ . 4. Kết luận Qua bài báo, chúng tôi đã nêu ra và chứng minh đúng cho hai trường hợp riêng là Định lý (3.3) và Định lý (3.4) của Giả thuyết Minkowski (2.5). TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.W.S.Cassels (1971),An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer- Verlag, New York. [2] M. Henk (2002), Successive minima and lattice points, Rend. Circ. Mat. Palermo Ser. II Suppl., 70(I): 377-384. [3] P. Gruber(1993), Convex and discrete geometry, Grundlehren der Mathema- tischen Wissenschaften, volume 336. Springer. 163 CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI [4] R. Malikiosis. An optimization problem related to Minkowski’s successive minima, Discrete Comput. Geom., 43: 784-797, 2010. [5] U. Betke, M. Henk, J.M.Wills (1993), Successive - minima - type inequalities, Discrete Comput. Geom., 9(2): 165-175. Title: PROOF OF SOME SPECIAL CASES OF MINKOWSKI’S CONJECTURE NGUYEN THANH PHONG - TRAN NGOC QUOC Quang Nam University Abstract: In this paper, we prove of some special cases of Minkowski’s con- jecture on the problem of " The number of integer lattice points contained in a convex body - compact convex set - in the n-dimensional Euclidean space Rn". Key words: Lattices, Minkowski’s theorem, Minkowski’s conjecture. 164