Luận văn Xấp xỉ và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HỒ CHÍ MINH Lê Thu Vân XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Luận văn Thạc sỹ Toán học Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 1.01.01 Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Thành Long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2001 1 Luận văn được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán- tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1 :.. ... ... Người nhận xét 2 :.. ... ... Học viên cao học: Lê Thu Vân Trường Phổ thông Trung học Lê Quý Đôn, Q.3, TP. Hồ Chí Minh. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Nhà Nước tại Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. vào lúc giờngày ..tháng..năm 2001 Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2001 2 MỤC LỤC Chương 1: Phần tổng quan.trang 1 Chương 2: Các ký hiệu, các không gian hàm, công cụ cơ bản....trang 4 Chương 3: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm..trang 7 Chương 4: Điều kiện đủ cho thuật giải hội tụ cấp hai...trang 10 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé....trang 20 Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể.trang 27 Chương kết luận. ....trang 38 Tài liệu tham khảotrang 39 3 Chương 1 TỔNG QUAN Trong luận văn nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây ∑∑ = = = m k n j ijkjijki xSfaxf 1 1 2 ))(()( ε )())(( 1 1 xgxSfb i m k n j ijkjijk ++∑∑ = = . (1.1) niRx p ,...,1; =⊂Ω∈∀ trong đó là một miền compact hay không compact của , a là các hằng số thực cho trước; , là các hàm số liên tục cho trước và là các ẩn hàm, là một tham số bé. Ω pR ijkijk b, Rgi →Ω: R Ω→Ω:ijkS εfi →Ω: Trong [1], các tác giả C.Q.Wu, Q.W.Xuan, D.Y.Zhu (1991) nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với , , , và là các nhị thức bậc nhất. 1=p ],[ bb−=Ω 2== nm 0=ijka ijkS  (1.2)   +++ +++= +++ +++= ),()( )()()( ),()( )()()( 22323223 222212221211212 11313213 121221211111111 xgcxbfa cxbfacxbfaxf xgcxbfa cxbfacxbfaxf với mọi , trong đó, các hằng số , cho trước thỏa các điều kiện: ],[ bbx −=Ω∈ ijij ba , ijc b        < −≥ < ∑ = ,1)(max ], 1 [max ,1 3 1 , j ij i ij ij ji ij a b c b b (1.3) 4 các hàm số liên tục cho trước và là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn định đối với các . 21, gg 21, ff ig Trong [4] , các tác giả Nghĩa, Khôi (2000) đã xét hệ phương trình hàm cụ thể sau đây để làm kiểm tra một thuật toán số          ++++ ++= +++++ ++= ),() 4 3 4 ( 200 1) 2 ( 100 1 ) 3 1 2 ( 200 1) 4 ( 100 1)( ),() 4 1 3 ( 100 1) 4 1 4 ( 100 1 ) 2 1 3 ( 200 1) 2 ( 100 1)( 222 112 122 111 xgxfxf xfxfxf xgxfxf xfxfxf (1.4) với mọi ]1,1[−∈x trong đó             +−−−−=        +−+−−= . 4 3 2 399 3 22 800 1 2 , 4 1 316 )1( 2 1 3 596 400 1 1 2 2 22 xxx(x)g xxx(x)g  (1.5) Hệ nầy có nghiệm chính xác là 2 )(1 xxf = ; 4 )( 2 2 xxf = . (1.6) Trong [2], các tác giả Long, Nghĩa, Ruy, Khôi (1998) đã nghiên cứu một trường hợp riêng của (1.1) với và Ω hay là khoảng không bị chận của . 1=p ],[ bb−= Ω R Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, các tác giả trong [2] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm . ig Trong trường hợp và là các nhị thức bậc nhất, và các tác giả trong [2] đã thu được một khai 0=ijka ],bb ijkS );( nr RCg Ω∈ [−=Ω 5 triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp . Hơn nữa, nếu là các đa thức bậc r , thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r . Kế đó, nếu là các hàm liên tục, nghiệm của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng trong [3] bởi các tác giả Long, Nghĩa (2000) cho miền nhiều chiều và là các hàm affine. Hơn nữa, trong [3] cũng cho một điều kiện đủ về hội tụ bậc hai của hệ phương trình hàm [3]. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo của Long, Diễm [5] (2001). r ig Ω ig f ⊂ pR ijkS ε 1 Luận văn nầy được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết qủa đã có trước đó và một số nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn. Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. Trong chương 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ(1.1). Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé . Khi đó một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp theo ε thu được, với ε đủ nhỏ. +N Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể trong miền hai chiều, ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ. Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. 6 CHƯƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. 2.1. Các ký hiệu. Một điểm trong được ký hiệu bởi .Ta gọi là một đa chỉ số và ký hiệu để chỉ đơn thức , có bậc pR ),...,( 1 pxxx = αx),...,( 1 pααα = p pxx αα ...11 pZ+∈ −p ∑ = p i 1 α= iα . Tương tự, Nếu j j x D ∂ ∂= . với 1 , thì pj ≤≤ ppDDD ααα ...11= = p pxx αα α ∂∂ ∂ ...11 ký hiệu một toán tử vi phân cấp α . Ta cũng ký hiệu . !!...! 1 pααα = Với là tập con compact của , ta ký hiệu là không gian Banach của các hàm số liên tục trên Ω đối với chuẩn Ω pR f );( nRCX Ω= nR→Ω:),...,( 1 nff= ∑ =Ω∈ = n i i x X xff 1 )(sup . (2.1) Khi Ω không compact, ta ký hiệu là không gian Banach của các hàm số liên tục, bị chận trên đối với chuẩn (2.1). pR⊂ );( nb RCX Ω= nRf →Ω: Ω Ta chú ý rằng, khi là mở, các hàm trong C không nhất thiết bị chận trên . Nếu bị chận và liên tục đều trên Ω , khi đó nó có duy nhất một nới rộng liên tục, bị chận trên bao đóng Ω Ω pR⊂ );( nRΩ ∈f );( nRC Ω Ω của . Do đó, ta định nghĩa không gian vectơ Ω );( nRC Ω gồm tất cả các hàm sao cho bị chận và liên tục đều trên . Không gian nầy là không gian Banach với chuẩn cho bởi (2.1). ∈f );( nRC Ω f Ω 7 Tương tự, với số nguyên không âm , ta đặt m C ),;(:);(),...,({);( 1 RCfDRCfffR i n n nm Ω∈Ω∈==Ω α },...,1, nim =≤α với Ω một miền trong , và pR⊂ pR ),;(:);(),...,({);( 1 RCfDRCfffR in nm Ω∈Ω∈==Ω αC },...,1, nim =≤α . Với một tập mở trong . Ω pR⊂ pR );( nm RΩC cũng là một không gian Banach đối với chuẩn: );( nm RCf Ω = ∑=Ω∈≤ n i i xm xfD 1 )(supmax α α . (2.2) Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong : );( nRCX Ω≡ (2.3) gBfAff ++= ε trong đó , , ),...,( 1 nfff = ))(,...,)(( 1 nAfAfAf = ))(,...,)(( 1 nBfBfBf = với ( , ∑∑ = = = m k n j ijkjijki xSfaxAf 1 1 2 ))(()() , (1 ) với mọi . ∑∑ = = = m k n j ijkjijki xSfbxBf 1 1 ))(()()( ni ≤≤ Ω∈x 2.2 Định lý điểm bất động Banach Chúng ta thường sử dụng định lý điểm bất động Banach sau : 8 Định lý 2.1.Cho là không gian Banach với chuẩn X . , là tập đóng. Cho T là ánh xạ thỏa mãn XK ⊂ KK: → Tồn tại số thực σ sao cho 10, <≤ σ gfTgTf −≤− σ , ∀ . (2.4) Kgf ∈, Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất sao cho . Kf ∈ Tff = (ii) Với mỗi , xét dãy { cho bởi Kf ∈)0( })(νf ,...2,1,)1()( == − ννν Tff ta có (j) 0)( =−∞→ f ν νlim f , (jj) σ σνν −−≤ 1 )0()0( Tfff−)(f , ν ,...2,1= (jjj) )1()()( 1 −−−≤− ννν σ σ ffff , ν ,...2,1= Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về nhập môn giải tích. „ 9 CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương nầy, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3) . Đặt ][ ijkb = ijk n i m k nj b∑∑ = = ≤≤1 1 1 max . Đầu tiên, ta cần bổ đề sau. Bổ đề 3.1. Giả sử ][ ijkb 1< và liên tục. Khi đó: Ω→Ω:ijkS i) XijkX fbBf ][≤ ∀ . (3.1) Xf ∈ ii) Toán tử tuyến tính là khả đảo và BI − XX →: ][1 1)( 1 ijkb BI −≤− − . Chứng minh bổ đề nầy không phức tạp và chúng ta bỏ qua chi tiết. „ Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.1) như sau: . (3.2) )()( 1 gAfBIf +−= − ε Tf≡ Ta thành lập các giả thiết sau: (H1) liên tục; Ω→Ω:ijkS (H2) ; Xggg n ∈= ),...,( 1 (H3) 1][ <ijkb ; 10 (H4) ( ) Xijk ijk ga b ][8 ][1 2 0 −<< ε0 ; (H5) , 21 MMM << trong đó ][4 ][8)][1(][1 0 0 2 1 ijk Xijkijkijk a gabb M ε ε−−−−= , ][4 ][8)][1(][1 0 0 2 2 ijk Xijkijkijk a gabb M ε ε−−+−= . Đặt }:{ MfXfK XM ≤∈= . Khi đó, ta có bổ đề sau đây. Bổ đề 3.2. Giả sử (H1),(H2) đúng. Khi đó, ta có i) ][2 ijkX aMAf ≤ ∀ . MKf ∈ ii) XijkX ffaMfAAf ~][2~ −≤− . MKff ∈∀ ~, Chứng minh bổ đề nầy không phức tạp và chúng ta bỏ qua chi tiết. „ Khi đó, ta có định lý sau đây. Định lý 3.1. Giả sử (H1)-(H5) đúng. Khi đó, với mỗi ε , với 0εε ≤ , hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất . MKf ∈ε Chứng minh. Hiển nhiên rằng Tf , với mọi . Xét , ta dễ dàng nghiệm lại rằng, do bổ đề 3.1 và 3.2, rằng X∈ Xf ∈ MKff ∈~, 11 )()()()( 11 XXXX gAfBIgAfBITf +−≤+−= −− εε ≤ ][1 ][20 ijk Xijk b gaM − +ε , (3.3) XXX fAAfBIfAAfBIfTTf ~)()~()(~ 10 1 −−≤−−=− −− εε X ijk ijk ff b aM ~ ][1 ][2 0 −−≤ ε . (3.4) Chú ý rằng, từ (H2)-(H5) ta có 0)][1(][ 20 <+−− Xijkijk gMbMaε2 . (3.5) Ta suy từ (3.3),(3.4),(3.5), rằng T là ánh xạ co. Khi đó, sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm sao cho .„ MM KK →: MKf ∈ε εε Tff = Chú thích 3.1. Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm của hệ (3.2) được xấp xỉ bởi thuật giải sau: εf , (3.6) )()( )1(1)1()( gAfBITff +−≡= −−−νν ε ν cho trước. MKf ∈)0( Khi đó trong khi ν , (3.7) εν ff →)( X +∞→ và νν σσ− − ≤− 1 )0()0( )( X X Tff ff , ∀ν , (3.8) ,...2,1= với 1 ][1 ][2 0 <−= ijk ijk b aMεσ . 12 CHƯƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong định lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1.Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1) . Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau. 4.1. THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Xét hệ phương trình hàm ∑∑ = = = m k n j ijkjijki xSfaxf 1 1 2 ))(()( ε )())(( 1 1 xgxSfb i m k n j ijkjijk ++∑∑ = = . (1.1) niRx p ,...,1; =⊂Ω∈∀ Ta dựa vào xấp xỉ sau đây : ( ) . (4.1) ( 2)1()()1(2)( 2 −− −≅ νννν jjjj ffff ) Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1) i) Cho trước ( ) Xfff n ∈= )0()0(1)0( ,..., . ii) Giả sử biết ta xác định ,),...,( )1()1(1 )1( Xfff n ∈= −−− ννν ( ) Xfff n ∈= )()(1)( ,..., ννν bởi ( )∑∑ = = −−    −= m k n j ijkjijkjijkjijki xSfxSfxSfaxf 1 1 2)1()()1()( ))(())(())((2)( νννν ε , (4.2) )())(( 1 1 )( xgxSfb i m k n j ijkjijk ++∑∑ = = ν ,...2,11 =≤≤Ω∈ ν , , nix 13 Ta viết lại (4.2) dưới dạng ),())(()()( )( 1 1 )()()( xgxSfxxf i n j m k ijkjijki νννν α += ∑∑ = = (4.3) ,...2,11 =≤≤Ω∈ ν , , nix trong đóα , phụ thuộc vào như sau: )(νijk )(νig )1( −νf α , (4.4) ))((2)( )1()( xSfabx ijkjijkijkijk −+= νν ε ( )∑∑ = = −−= m k n j ijkjijkii xSfaxgxg 1 1 2)1()( ))(()()( νν ε . (4.5) )()()( )1( xAfxg ii −−= νε Khi đó ta có định lý sau: Định lý 4.1. Giả sử (H1), (H2) là đúng . Nếu thỏa Xf ∈− )1(ν 1)(supmax 1 1 )( 1 <≡ ∑∑ = = Ω∈≤≤ n j m k ijk xnj xνν αα . (4.6) Khi đó tồn tại duy nhất là nghiệm của (4.3)−(4.5) . Xf ∈)(ν Chứng minh. Hệ (4.3) được viết lại như sau: , (4.7) )()( ννν fTf = Với ( ),())(()()() )( 1 1 )( xgxSfxxfT i n j m k ijkjijki ννν α += ∑∑ = = , . (4.8) ,...2,11 =≤≤Ω∈ ν , , nix Xfff n ∈= ),...,( 1 Khi đó ta nghiệm lại không khó rằng T thỏa XX →:ν XX hfhTfT −≤− ννν α ,∀ . (4.9) Xhf ∈, Sử dụng định lý điểm bất động Banach, định lý 4.1 được chứng minh. „ 14 Định lý 4.2. Giả sử (H1),(H2),(H3 ) đúng. Cho . Khi đó, tồn tại hai hằng số ,ε , sao cho: Raijk ∈ 0>M 0> Với cho trước, hệ (4.3)−(4.5) tồn tại duy nhất nghiệm thỏa điều kiện MKf ∈)0( )(νf , ∀ν (4.10) MKf ∈)(ν ,...2,1,0= Chứng minh. Giả sử , với hai hằng số ,ε mà ta sẽ chọn sau. MKf ∈)0( 0>M 0> Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng: . (4.11) MKf ∈− )1(ν Ta sẽ chứng minh rằng . MKf ∈)(ν Với mọi , ta có từ (4.3) rằng: Ω∈x ∑∑∑∑ == = == +≤ n i i n i n j m k ijkjijk n i i xgxSfxxf 1 )( 1 1 1 )()( 1 )( )())(()()( νννν α∑ X n i m k n j ijkjijknj gxSfx )( 1 1 1 )()( 1 ))(()(max νννα +≤ ∑∑ ∑ = = =≤≤ XX n i m k ijk xnj gfx )()( 1 1 )( 1 )(supmax νννα +∑∑ = = Ω∈≤≤ ≤ . (4.12) Do đó XX n i m k ijk xnjX gfxf )()( 1 1 )( 1 )( )(supmax νννν α +≤ ∑∑ = = Ω∈≤≤ . (4.13) Mặt khác, với mọi , ta có từ (4.4), (4.11) , rằng: Ω∈x ))((2)( )1()( xSfabx ijkjijkijkijk −+≤ νν εα Xijkijk fab )1(2 −+ νε≤ ijkijk aMb ε2+≤ . (4.14) 15 Ta suy từ (4.14) rằng: ∑∑ = = Ω∈≤≤ n j m k ijk xnj x 1 1 )( 1 )(supmax να ][2][ ijkijk aMb ε+≤ . (4.15) Mặt khác, ta cũng có từ (4.5) và bổ đề 2, (i), chương 3, rằng: XXX Afgg )1()( −+≤ νν ε ][2 ijkX aMg ε+≤ . (4.16) Từ (4.13) , (4.15) và (4.16), ta được: ][)][2][( 2)()( ijkXXijkijkX aMgfaMbf εε νν +++≤ . (4.17) Nếu ta chọn được ,ε thỏa hai điều kiện sau: 0>M 0> 1][2][ <+ ijkijk aMb ε , (4.18) 0)][1(][2 ≤+−− Xijkijk gMbaMε3 . (4.19) Khi đó, ta suy ra từ (4.17),(4.18) và (4.19) rằng: M aMb aMg f ijkijk ijkX X ≤−− +≤ ][2][1 ][2)( ε εν . (4.20) Điều nầy khẳng định (4.10). Bây giờ ta chỉ ra cách chọn ,ε thỏa (4.18) và (4.19). 0>M 0> Ta chú ý rằng (4.19) dẫn đến (4.18), bởi vì (4.19) tương đương với: MaMbaMg ijkijkijkX )][2][1(][ 2 εε −−≤+ . (4.21) 16 Như vậy, ta chỉ cần chọn ,ε thỏa (4.19). 0>M 0> Ta coi vế trái của (4.19) như là một tam thức bậc hai theo . Do M 1][ <ijkb , tam thức nầy sẽ có hai nghiệm dương phân biệt : ][6 ][1 1 ijk ijk a b ε ∆−−=M , ][6 ][1 2 ijk ijk a b M ε ∆+−= , (4.22) nếu ta chọn ε đủ nhỏ sao cho 0> ( ) 0][12][1 2 >−−=∆ Xijkijk gab ε . (4.23) Như vậy (4.19) xảy ra nếu ta chọn nằm trong khoảng hai nghiệm : M 21,MM M . (4.24) 21 MM << Định lý 4.2 được chứng minh hoàn tất. „ Định lý 4.3. Giả sử (H1), (H2), (H3 ) đúng. Cho . Khi đó, tồn tại hai hằng số , , sao cho: Raijk ∈ 0>M 0>ε (i) Với cho trước, dãy { xác định bởi hệ (4.3)−(4.5) là dãy lặp cấp hai. Chính xác hơn, ta có MKf ∈)0( })(νf ,...2,1 2)1()( =∀−≤− − νβ νν , XMX ffff (4.25) trong đó 0 ][2][1 ][ >−−= ijkijk ijk M aMb a ε εβ (4.26) và f là lời giải của hệ (1.1). (ii) Nếu được chọn đủ gần f sao cho )0(f 1)0( <− XM ffβ , (4.27) thì dãy { hội tụ đến cấp 2 và thỏa một đánh giá sai số })(νf ,...2,11 )0()( =∀   −≤− νββ ν ν , 2 XMMX ffff (4.28) Chứng minh. 17 (i) Đặt e , từ (1.1) và (4.2) ta thu được )()( νν ff −= )()()( )()( xfxfxe iii νν −= ( )∑∑ = = −+= m k n j ijkjijkjijk xSfxSfa 1 1 2)1(2 ))(())(([ νε − ))](())((2 )()1( xSfxSf ijkjijkj νν − + ∑∑ = = m k n j ijkjijk xSeb 1 1 )( ))((ν ( )∑∑ = = −+= m k n j ijkjijkjijk xSfxSfa 1 1 2)1(2 ))(())(([ νε − ))](())((2))(())((2 )()1()()1( xSexSfxSfxSf ijkjijkjijkjijkj νννν −− − ∑∑ = = −++ m k n j ijkjijkjijkijk xSexSfab 1 1 )()1( ))(())]((2[ ννε = ( )∑∑ = = −+ m k n j ijkjijkjijk xSfxSfa 1 1 2)1(2 ))(())(([ νε − ))](())((2 )1( xSfxSf ijkjijkj −ν ∑∑ = = + m k n j ijkjijk xSex 1 1 )()( ))(()( ννα . (4.29) ( )∑∑ = = −= m k n j ijkjijk xSea 1 1 2)1( ))((νε ∑∑ = = + m k n j ijkjijk xSex 1 1 )()( ))(()( ννα vậy e . )()( xi ν ∑∑ = = = m k n j ijkjijk xSex 1 1 )()( ))(()( ννα ( )∑∑ = = −+ m k n j ijkjijk xSea 1 1 2)1( ))((νε Với mọi , ta có từ (4.29) rằng: Ω∈x ∑∑∑ = = == ≤ n i n j m k ijkjijk n i i xSexxe 1 1 1 )()( 1 )( ))(()()( ννν α∑ ( )∑∑∑ = = = −+ n i m k n j ijkjijk xSea 1 1 1 2)1( ))((νε 18 ∑∑ ∑ = = =≤≤ ≤ n i m k n j ijkjijknj xSex 1 1 1 )()( 1 ))(()(max ννα ( )∑∑ ∑ = = = − ≤≤ + n i m k n j ijkjijknj xSea 1 1 1 2)1( 1 ))((max νε X n i m k ijk xnj ex )( 1 1 )( 1 )(supmax ννα∑∑ = = Ω∈≤≤ ≤ ∑∑ ∑ = = = − ≤≤      + n i m k n j ijkjijknj xSea 1 1 2 1 )1( 1 ))((max νε X n i m k ijk xnj ex )( 1 1 )( 1 )(supmax ννα∑∑ = = Ω∈≤≤ ≤ ∑∑ = = − ≤≤ + n i m k X ijk nj ea 1 1 2)1( 1 max νε X n i m k ijk xnj ex )( 1 1 )( 1 )(supmax ννα∑∑ = = Ω∈≤≤ ≤ 2)1(][ Xijk ea −νε+ . (4.30) Vậy X e )(ν X n i m k ijk xnj ex )( 1 1 )( 1 )(supmax ννα∑∑ = = Ω∈≤≤ ≤ 2)1(][ Xijk ea −+ νε . (4.31) Chú ý rằng, do và (4.4) , ta có MKf ∈− )1(ν ∑∑ = = Ω∈≤≤ n j m k ijk xnj x 1 1 )( 1 )(supmax να ][2][ ijkijk aMb ε+≤ . (4.32) Ta suy ra từ (4.31), (4.32) rằng X e )(ν Xijkijk eaMb )()][2][( νε+≤ 2)1(][ Xijk ea −+ νε . (4.33) 19 Điều nầy dẫn đến 2)1( 2)1( )( ][2][1 ][ XMijkijk Xijk X e aMb ea e − − ≡−−≤ ν ν ν βε ε , (4.34) hay ,...2,1 2)1()( =∀−≤− − νβ νν , XMX ffff với 0 ][2][1 ][ >−−= ijkijk ijk M aMb a ε εβ . (ii) Từ (4.34) ta có 22)2(2)1()(   ≤≤ −− XMMXMX eee ννν βββ ( ) ( ) 22 22)3(212)2(21   ≤= −+−+ XMMXM ee νν βββ ( ) 32 2)3(221 XM e −++ νβ= ( ) ννβ 2)0(2...221 12... XM e −++++≤≤ ( ) ννν βββ 2 )0(2)0( 21 21 1   =− − XMMX M ee= , (4.35) tức là (4.28). Bất đẳng thức đánh giá nầy cho phép ta kết luận dãy { hội tụ đến cấp 2 đến lời giải của hệ (1.1) nếu được chọn thỏa (4.27). „ })(νf f )0(f Chú thích 4.1: Về việc chọn bước lặp ban đầu thỏa (4.27) ta tiến hành như sau: Trước hết ta lấy , ta xây dựng dãy lặp đơn { liên MKf ∈)0( Xz ∈)0( })(ηz kết với ánh xạ co T (như trong định lý 3.1, chương 3): MM KK →: ,η . (4.36) )()( )1(1)1()( gAzBITzz +−≡= −−−ηη ε η ,...2,1= 20 Khi đó dãy { })(ηz hội tụ trong về lời giải của (1.1) và ta có một đánh giá sai số X f ,...2,1 1 )0()0()( =∀−×−≤− ησ σηη , XX Tzzzf (4.37) với 1 ][1 ][2 <−= ijk ijk b aMεσ . (4.38) Từ (4.37) ,(4.38), ta chọn η đủ lớn sao cho: 0 N∈ 1 <−×−≤− σ σββ ηη 1 0 0 )0()0()( XMXM Tzzzf . (4.39) Vậy ta chọn .„ )()0( 0ηzf = 21 CHƯƠNG 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chương nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé ε . Khi đó một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp theo ε thu được, với ε đủ nhỏ. 1+N Trong phần nầy, ta giả sử rằng các hàm , và các số thực ,b , ε , thỏa các giả thiết (H1)-(H5), lần lượt. ijkS g ijka ijk 0 M Ta xét hệ bị nhiễu (3.2), trong đó ε là một tham số bé, ε . Đặt . ≤ 0ε BIL −= Ta hãy xét dãy hàm { }][rf , r , ( với hằng số thích hợp ) được xác định bởi các hệ sau: N,...,2,1,0= Mr Kf ∈][ 0>M , (5.1) ]0[]0[ PgLf ≡= , (5.2) ]0[]1[]1[ AfPLf ≡= , r , (5.3) ][][ rr PLf = N,...,3,2= trong đó , (5.4) ∑∑ = = = m k n j jjijki ffaP 1 1 ]1[]0[]2[ 2 với , Ns ,...,4,3= =][siP ∑∑ = = m k n j ijka 1 1 ∑ − −− −11 11 ,..., ]1[]1[ 11 )...()( !!... 2 s ss jj s ff γγ γγ γγ + , (5.5) ]1[]0[ 1 1 2 − = = ∑∑ sjjm k n j ijk ffa 22 các số nguyên không âm γ thỏa 11,..., −sγ , γ . 2... 121 =+++ −sγγγ 1)1(...2 121 −=−+++ − ss sγγ Đặt h , (5.6) Ufff N r rr +≡+= ∑ = ]0[ 1 ][]0[ ε khi đó , (5.7) hfffv N r rr −≡−= ∑ = εε ε 0 ][ thỏa hệ , (5.8) εε EAhhvALv +−+= ])([ trong đó . (5.9) ∑ = −−+= N r rr PfAUfAE 2 ][]0[]0[ )]()([ εεε Bây giờ, ta đặt các ký hiệu sau: Với một đa chỉ số γ , ta đặt NN Z+∈= ),...,( 1 γγ γ = , !!...! 1 Nγγ Nγγγ ++= ...1 , η ∑ = = N i ii 1 )( γγ , ),...,,( ][]2[]1[ Njjjj ffff = r . (5.10) NNjjjj ffff γγγγ )...()()( ][]2[]1[ 21=r Khi đó, ta có bổ đề sau đây. Bổ đề 5.1. Giả sử (H1)-(H5) đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số sao cho )1( NC 1)1( +≤ NNX CE εε , (5.11) 23 trong đó là một hằng số chỉ phụ thuộc vào , )1(NC N ][ ijka , X rf ][ , . Nr ,...,1,0= Chứng minh. Trong trường hợp , chứng minh của bổ đề 5.1 thì dễ dàng, do đó ta bỏ qua chi tiết, mà ta chỉ chứng minh với Ta có 1=N .2≥N ε )())()(( ]0[]0[ xfAUfA i−+ = , (5.12) ∑∑ = = −+ m k n j jjjijk fUfa 1 1 2]0[2]0[ ](..))((..))(..)[(ε trong đó, ta ký hiệu . Bằng việc khai triển Maclaurin của hàm xung quanh điểm , sau khi sắp xếp lại theo bậc của , ta thu được ( ta bỏ qua đối số trong các cách viết) ))(((..) ]0[]0[ xSff ijkjj = fAUfA ))()(( ]0[]0[ −+ ε i ]0[f )(xSijk )())()(( ]0[]0[ xfAUfA i−+ε = ∑∑∑ = = + = m k n j ijk N s a 1 1 12 3 s s jf εγγηγ γ     ∑ −== 1)(,2 ! !2 r + . (5.13) ssj m k n j ijk N s fa ε    − = = + = ∑∑∑ ]1[ 1 1 1 2 2 Ta suy ra từ (5.4), (5.5), (5.12), (5.13) rằng ∑ = −−+= N r r i r iii PfAUfAE 2 ][]0[]0[ ))()(( εεε = ∑∑∑ = = + += m k n j ijk N Ns a 1 1 12 1 s s jf εγγηγ γ     ∑ −== 1)(,2 ! !2 r + . (5.14) 1][]0[ 1 1 2 + = = ∑∑ NNjjm k n j ijk ffa ε 24 Do đó, ta suy ra từ (5.14) rằng ∑ = n i i xE 1 )(ε s n i m k s j n j ijk nj N Ns fa εγγηγ γ∑∑ ∑∑∑ = = −===≤≤ + += ≤ 1 1 1)(,211 12 1 (..) ! !2max r 1][]0[][2 +N X N Xijk ffa ε+ . (5.15) Mặt khác, với mỗi , ta có 121 +≤≤+ NsN ∑ −=== 1)(,21 (..) ! !2 s j n j f γηγ γ γ r∑ ∑∑∑ == = ≤≤ N X n j N j fNfN 1 2][ 1 1 2][ (..) ν ν ν ν . (5.16) Khi đó, ta có từ (5.15), (5.16) rằng ∑ = n i i xE 1 )(ε s n i m k N Xijknj N Ns fNa ε ν ν∑∑ ∑∑ = = =≤≤ + += ≤ 1 1 1 2][ 1 12 1 max 1][]0[][2 +N X N Xijk ffa ε+ . (5.17) 1)1( +≤ NNC ε Vậy XEε 1)1( +≤ NNC ε . Bổ đề 5.1 được chứng minh hoàn tất. „ Định lý sau đây cho một kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm theo ε . Định lý 5.1. Giả sử (H1)-(H5) đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số sao cho, với mỗi ε , với 01 >ε 1εε ≤ , hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 như sau: MKf ∈ε 25 1)1(1 0 ][ 2 +− = ≤− ∑ NN X N r rr CLff εεε , (5.18) các hàm là các lời giải của các hệ (5.1)-(5.5), lần lượt. Nrf r ,...,1,0,][ = Chứng minh. Đặt v ∑ = −= N r rr ff 0 ][εε hf −≡ ε Ta có , εε EAhhvALv +−+= ])([ v . (5.19) ( ) ])([1 εε EAhhvAL +−+= − Do đó, ta suy từ bổ đề 5.1 rằng ])([1 XXX EAhhvALv εε +−+≤ − ])([ 1)1(1 +− +−+ NNX CAhhvAL εε≤ . (5.20) Mặt khác Mfhv XX ≤=+ ε , Mfh N r X r X ~ 0 ][ ≡≤ ∑ = . (5.21) Ta suy từ (5.21) rằng XijkX vaMMAhhvA ][) ~()( +≤−+ . (5.22) Từ (5.20), (5.22) ta thấy rằng ]][)~([ 1)1(1 1 +− ++≤ NNXijkX CvaMMLv εε . (5.23) Chọn sao cho: 010 εε << 2 1][)~( 11 ≤+ −LaMM ijkε . (5.24) 26 Do đó, ta có từ (5.23), (5.24) rằng 1)1(12 +−≤ NNX CLv ε , hay 1)1(1 0 ][ 2 +− = ≤− ∑ NN X N r rr CLff εεε . Định lý 5.1 được chứng minh hoàn tất. „ Chú thích 5.1. Với và cho trước, giả thiết Raijk ∈ Xggg n ∈= ),...,( 1 1][ <ijkb dẫn đến sự tồn tại của hai số dương ε thỏa các giả thiết M,0 (H4) và (H5), lần lượt. Khi đó, ta có kết quả sau: Định lý 5.2. Giả sử (H1)-(H3) đúng. Cho trước . Khi đó, tồn tại hai hằng số ,ε , sao cho, với mỗi , với Raijk ∈ 0>M 01 > ε 1εε ≤ , hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm có một khai triển tiệm cận đến cấp N+1 như (5.18), trong đó các hàm là các lời giải của các hệ (5.1)-(5.5), lần lượt. „ MKf ∈ε Nrf r ,...,1,0,][ = 27 CHƯƠNG 6 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần nầy chúng tôi xem xét qua một số ví dụ dựa trên một số hệ phương trình hàm cụ thể. Qua đó chúng tôi xét sự hội tụ của dãy lặp cấp hai liên kết với hệ phương trình hàm nầy. Vẫn trong phần nầy chúng tôi cũng tính toán một số khai triển tiệm cận đến một cấp cho trước của nghiệm theo một tham số bé ε . 6.1. KHẢO SÁT THUẬT GIẢI CẤP HAI. Chúng tôi xét hệ (1.1) ứng với ,2,1 === pnm }1:),({ 211 2 21 ≤+=∈==Ω xxxRxxx , , (6.1) )()()()( 2 1 2 1 2 xgxsfbxsfaxf i j ijjij j ijjiji ++= ∑∑ == ε , i , ∈x Ω 2,1= trong đó ∑∑ == −−= 2 1 1 2 1 2 11 )()()( j j ijij j j ijij i i xsbxsaxxg ε , (6.2) và , , là các số thực cho trước thỏa ija ijb ijs 1max][ 2 1 21 <= ∑ = ≤≤ ij i j ij bb , 1≤ijs , (6.3) Các hàm , thỏa các giả thiết , . xsxS ijij =)( )(xgi )( 1H )( 2H Hằng số được chọn nằm trong khoảng sau: 0>M M , (6.4) 21 MM << trong đó 28        ∆−−+−= ∆−−−−= , ][6 ][12)][1(][1 , ][6 ][12)][1(][1 0 0 2 2 0 0 2 1 ij gijijij ij gijijij a abb M a abb M ε ε ε ε , (6.5) ( ) gij ij a b ∆ −<< ][12 ][1 0 2 0ε , 0εε ≤ , (6.6) g ji j ijij j ijijX sbsag ∆≡++≤ ∑= 2 1, 2 0 ))((2 ε . (6.7) Nghiệm chính xác của hệ (6.1) là ii xxf )()( 1= , i . (6.8) 2,1= Như trong chương 4, ta cụ thể lại thuật giải cấp hai cho hệ (6.1) như sau: ( )∑ = −−    −= 2 1 2)1()()1()( )()()(2)( j ijjijjijjiji xsfxsfxsfaxf νννν ε , (6.9) )()( 2 1 )( xgxsfb i j ijjij ++∑ = ν ,...2,12,1 ==Ω∈ ν , , ix Nếu ta chọn bước lặp ban đầu sao cho ),( )0(2 )0( 1 )0( fff = Mf X ≤)0( và 1)0( <− XM ffβ , (6.10) với 0 ][2][1 ][ >−−= ijkijk ijk M aMb a ε εβ , (6.11) khi đó, ta có ,...2,11 )0()( =∀   −≤− νββ ν ν , 2 XMMX ffff (6.12) 29 Chọn : Ta xây dựng dãy lặp { xác định bởi )0(f })(ηz MK⊂ , (6.13) ( )∑ = −= 2 1 2)1()( )()( j ijjiji xszaxz ηη ε )()( 2 1 )( xgxszb i j ijjij ++∑ = η , ,...2,12,1 ==Ω∈ η , , ix trong đó . )0,0(),( )0(2 )0( 1 )0( ≡= zzz Khi đó dãy { })(ηz hội tụ trong về lời giải của (6.1) và ta có một đánh giá sai số X f X zf )(η− σ ση −×−≤ 1 )0()0( X Tzz ησσ −1 M≤ ,∀η (6.14) ,...2,1= với 1 ][1 ][2 <−= ij ij b aMεσ . (6.15) Từ (6.14) ,(6.15), ta chọn η khá lớn sao cho: 0 N∈ 1 <−≤− 00 1 )( ηη σσ ββ M XM Mzf . (6.16) Vậy ta chọn .„ )()0( 0ηzf = 6.2. KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Ta vẫn xét hệ (6.1) , (6.1) )()()()( 2 1 2 1 2 xgxsfbxsfaxf i j ijjij j ijjiji ++= ∑∑ == ε ∈x }1:),({ 211221 ≤+=∈==Ω xxxRxxx , i , 2,1= 30 trong đó và a ,b , là các số thực cho trước thỏa (6.3). Các hàm , cho trước độc lập với ε , thỏa các giả thiết ( , ij gi ij )(x ijs xsxS ijij =)( )1H )( 2H . A. Khảo sát nghiệm của hệ (6.1) trong trường hợp ε . 0= Trường hợp ε , hệ (6.1) là hệ tuyến tính sau: 0= , (6.17) )()()( 2 1 xgxsfbxf i j ijjiji += ∑ = ∈x }1:),({ 211221 ≤+=∈==Ω xxxRxxx , i , 2,1= A.1. Giả sử là đa thức theo hai biến có bậc nhỏ hơn hay bằng : )(xgi r ∑∑ ≤+ + ∈=≤ == r Z i r ii xxdxdxg 21 2 21 21 ),( 21)( γγ γγγ γγγ γ γγ , i . (6.18) 2,1= Theo một kết quả trong ( Long, Nghĩa [3], (2000)), nghiệm của hệ (6.17) cũng là các đa thức. Ta tìm nghiệm của (6.17) theo dạng: ∑∑ ≤+ + ∈=≤ == r Z i r ii xxcxcxf 21 2 21 21 ),( 21)( γγ γγγ γγγ γ γγ , i . (6.19) 2,1= Thay vào (6.17) ta thu được ( là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính )(xfi ), 21 γγ cc γγ γ γ i j jijiji dcsbc =−∑ = 2 1 , i ,2,1= r≤γ . (6.20) Giải hệ (6.20), ta được: 31          ≤ −−− −+= −−− +−= ., , )1)(1( )1( , )1)(1( )1( 2112211222221111 2111112121 2 2112211222221111 2121212222 1 r ssbbsbsb dsbdsb c ssbbsbsb dsbdsb c γ γγγγ γ γ γ γ γ γγγγ γ γ γ γ γ (6.21) A.2. Giả sử . Gọi là nghiệm đa thức của hệ (6.17) tương ứng với , trong đó: ),(),( 221 RCggg q Ω∈= (~g = )~,~(~ 21 fff = )2~,~1 gg ∑ −≤ = 1 )0( ! 1)(~ q ii xgDxg γ γγ γ ∑ −≤+ + ∈= ∂∂ ∂×= 121 2 21 21 21 ),( 21 2121 )0,0( !! 1 q Z i xx xx g γγ γγγ γγ γγ γ γγ , i . (6.22) 2,1= Theo kết quả trong (Long, Nghĩa [3], (2000)), cũng đã khẳng định rằng: Sai lệch giữa hai nghiệm , của hệ (6.17) lần lượt, tương ứng với , , được cho bởi đánh giá: f f~ g g~ ∑ = ×−≤− q XijX gD b ff γ γ γ ! 1 ][1 1~ (6.23) trong đó ∑ −≤ = 1 )(~ q ii xcxf γ γγ , i , (6.24) 2,1= 32          −≤ −−− −+ = −−− +− = .1, , )1)(1( )0( ! 1)1()0( ! 1 , )1)(1( )0( ! 1)0( ! 1)1( 2112211222221111 2111112121 2 2112211222221111 2121212222 1 q ssbbsbsb gDsbgDsb c ssbbsbsb gDsbgDsb c γ γγ γγ γγγγ γγγγ γ γγγγ γγγγ γ (6.25) A.3. Ta xét một ví dụ với hàm cụ thể như sau: ),( 21 ggg = 2121 21 9 9 9 1 1),()( xxi i i xx xxgxg ii −−+ += + +− == , (6.26) , i . Ω∈= ),( 21 xxx 2,1= Ta viết lại như sau: )(xgi ∑∞ =    + += + +− = 0 21 21 9 9 1 1)( j j i i xx i xx xg ∑∑ ∞ = − =    + ++   + += qj jq j j i xx i xx 99 21 1 0 21 . (6.27) Ta chú ý rằng ∑∑ ==+ ==+ jj j xxxjxx γ γ γγ γγ γ γ γγ ! ! !! !) 21 21 21 21 21( . ∑ ∑∑ − = = − = + =   + + 1 0 1 0 21 ! ! )9( 1 9 q j j j q j j x ii xx γ γ γ γ ∑ ∑− = = + 1 0 )9( ! ! 1q j j x iγ γ γ γ γ= ∑−≤≡ 1 )0(! 1 q i xgD γ γγ γ . (6.28) Đặt 33 )(][ xP qi ∑ ∑− = = + = 1 0 )9( ! ! 1q j j x iγ γ γ γ γ , (6.29) ta có )()( ][ xPxg qii − ∑∞ =    + += qj j i xx 9 21 ∑∑ ∞ = ∞ = + ≤+ qj jqj j j ii x )9( 1 )9( 1≤ 1)9)(8( 1 −++ qii= , ∀ . (6.30) Ω∈= ),( 21 xxx Do đó ∑ =Ω∈ −=− 2 1 ][][ )()(sup i q ii xX q xPxgPg 0 10 1 11.10 1 10.9 1 111 →≤+ −−− qqq≤ khi . (6.31) +∞→q Ta gọi là nghiệm đa thức của hệ (6.17) tương ứng với . )~,~(~ ][2 ][ 1 ][ qqq fff = ),( ][2 ][ 1 ][ qqq PPP =g = Vậy: , )~,~(~ ][2 ][ 1 ][ qqq fff = ∑ −≤ = 1 )(~ q ii xcxf γ γγ , i , (6.32) 2,1= trong đó, các hệ số được tính theo công thức (6.25) với ),( 21 γγ cc γ γ γ )9( ! )0( i gD i + = , 1−≤ qγ , i , (6.33) 2,1= tức là 34          −≤ −−− −+ ×= −−− +− ×= .1, , )1)(1( 11 )1( 10 ! ! , )1)(1( 1110 )1( ! ! 2112211222221111 11112121 2 2112211222221111 12122222 1 q ssbbsbsb sbsb c ssbbsbsb sbsb c γ γ γ γ γ γγγγ γ γ γ γ γ γγγγ γ γ γ γ γ (6.34) Mặt khác, từ các hệ sau đây: , gBff += , ][][][ ~~ qqq PfBf += ta suy ra rằng: . ][][][ )~(~ qqq PgffBff −+−=− Vậy: X q X q X q PgffBff ][][][ )~(~ −+−≤− X q X q PgffB ][][~ −+−≤ X q X q ij Pgffb ][][~][ −+−≤ . (6.35) Suy ra: 0 ][1 10 ][1 1~ 1][][ →−≤−−≤− − ij q X q ijX q b Pg b ff , (6.36) khi , do (6.31). „ +∞→q 35 B. Khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (6.1) theo ε . Trong phần nầy chúng ta sẽ sử dụng các công thức (5.1)-(5.5) trong chương 5 để xác các thành phần trong khai triển tiệm cận. Ta giả sử rằng ,b , là các số thực cho trước thỏa (6.3) . Các hàm thỏa giả thiết . ija ij ijs xsxS ijij =)( )( 1H Giả sử là đa thức theo hai biến cho trước độc lập với ε như sau: )(xgi ∑∑ ≤+ + ∈=≤ == r Z i r ii xxdxdxg 21 2 21 21 ),( 21)( γγ γγγ γγγ γ γγ , i . (6.37) 2,1= Áp dụng công thức (6.18), (6.19), (6.21), nghiệm của hệ (6.1) ứng với (tức là hệ (6.17)) cũng là các đa thức: 0=ε , gLfff 1]0[2 ]0[ 1 ]0[ ),( −== với ∑∑ ≤+ + ∈=≤ == r Z i r ii xxcxcxf 21 2 21 21 ),( 21 ]0[ )( γγ γγγ γγγ γ γγ , i , (6.38) 2,1= trong đó cho bởi ),( 21 γγ cc          ≤ −−− −+= −−− +−= ., , )1)(1( )1( , )1)(1( )1( 2112211222221111 2111112121 2 2112211222221111 2121212222 1 r ssbbsbsb dsbdsb c ssbbsbsb dsbdsb c γ γγγγ γ γ γ γ γ γγγγ γ γ γ γ γ (6.39) Gọi là nghiệm của hệ (6.17) ứng với , tức là ]1[f ]0[Afg = 36 , (6.40) ]0[1]1[ 2 ]1[ 1 ]1[ ),( AfLfff −== mà (6.41) ))(,)(( 2 ]0[ 1 ]0[]0[ AfAfAf = với ∑ = = 2 1 2]0[]0[ ))(()()( j ijjiji xsfaxAf ∑ ∑ = ≤      2 1 2 j r ijjij xsca γ γγγ= (6.42) Ta lại có ∑∑ ≤≤ ++ ≤ =    rr ijjj r ijj xsccxsc βα βαβαβα γ γγγ , 2 γ γ γ γβ βγβ xscc r ijjj∑ ∑ ≤ ≤ − 2 )(= . (6.43) )()( ]0[ xAf i ∑ ∑ = ≤      2 1 2 j r ijjij xsca γ γγγ= γ γ γ γβ βγβ xscca r ijjj j ij ∑ ∑∑ ≤ ≤ − = 2 2 1 )(= ∑ ∑∑ ≤ ≤ − = = r jjij j ij xccsa 2 2 1 )( γ γ γβ βγβγ γ γ γ xd r i∑ ≤ 2 )1(≡ , (6.44) trong đó, ta đã đặt ∑∑ ≤ − = = γβ βγβγγ jjij j iji ccsa 2 1 )1(d , r2≤γ . (6.45) Từ (6.21) ta có biểu thức của cho bởi công thức ),( ]1[2 ]1[ 1 ]1[ fff = ∑∑ ≤+ + ∈=≤ == r Z i r ii xxcxcxf 221 2 21 21 ),( 21 )1( 2 )1(]1[ )( γγ γγγ γγ γ γ γγ , (6.46) 37 trong đó cho bởi công thức (6.21), với và lần lượt thay bởi và ( , với ),( )1(2 )1( 1 γγ cc )γ ),( 21 γγ cc ))1(2γ,( 21γ dd ),( )1( 2 )1( 1 γγ cc , )1( 1γ dd r2≤γ , như sau:          ≤ −−− −+= −−− +−= .2, , )1)(1( )1( , )1)(1( )1( 2112211222221111 )1( 21111 )1( 12121)1( 2 2112211222221111 )1( 21212 )1( 12222)1( 1 r ssbbsbsb dsbdsb c ssbbsbsb dsbdsb c γ γγγγ γ γ γ γ γ γγγγ γ γ γ γ γ (6.47) Theo kết quả của định lý 5.2, chương 5, ta có một đánh giá một khai triển tiệm cận cấp 2 theo ε đủ nhỏ như sau: )()()( ]1[]0[ xfxfxf iii ε−− 21 2 )1( 2)( εε γ γγ γ γγ − ≤≤ ≤−−= ∑∑ LCxcxcxf r i r ii , (6.48) với mọi , , và với ε đủ nhỏ, Ω∈x 2,1=i 0>C là hằng số độc lập với , và ε .„ x 38 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé cho hệ phương trình hàm phi tuyến bậc hai trong một miền compact hay không compact của . Ω pR Phần chính của luận văn nằm ở các chương 3, 4, 5 và 6. Trong chương 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ phương trình hàm trong một quả cầu đóng trong C . Kết quả thu được ở đây chứa đựng kết quả của C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu đã khảo sát trong trường hợp , , , và là các nhị thức bậc nhất, như là một trường hợp riêng. );( nRΩ == nm1=p ],[ bb−=Ω 2 0=ijka ijkS Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ phương trình hàm. Chương 5 là phần nghiên cứu hệ phương trình hàm bị nhiễu bởi một tham số bé ε . Khi đó chúng tôi cho một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ nầy đến cấp theo ε , với ε đủ nhỏ. 1+N Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể trong miền hai chiều, ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ. 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu, The system of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA. Bull.Math. 15 (1991), 109 -115. [2] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa, Nguyễn Kim Khôi, Đinh Văn Ruy, On a system of functional equations, Demonstration Math. 31 (1998). 313-324. [3] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa, On a system of functional equations in a multi-dimensional domain, Z . Anal . Anw. 19 (2000), 1017- 1034. [4] Nguyễn Hội Nghĩa, Nguyễn Kim Khôi, Về một hệ phương trình hàm tuyến tính, Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol. 3, No. 7&8, (2000), 18-24. [5] Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm, Asymptotic expansion of the solution for system of functional equations, (Submitted). 40