Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm – Tích phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ----------------o0o------------------ HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG KHẢO SÁT MỘT LỚP CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Toán Giải tích Mã số : 1. 01. 01 Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ----------------o0o------------------ KHẢO SÁT MỘT LỚP CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành Toán Giải tích Mã số : 1. 01. 01 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM Học viên: Huỳnh Thi Hoàng Dung Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004 Luận văn được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán –Tin học, Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết, Khoa Toán –Tin học, Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Huỳnh Thị Hoàng Dung Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Vào lúc .giờ ngày..tháng ..năm 2004. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc. Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ khác về tinh thần và tư liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc. Chân thành cảm ơn các Thầy, Cô trong ban chủ nhiệm Khoa Toán –tin học, các Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập. Chân thành cảm ơn các Thầy PGS.TS. Lê Hoàn Hoá, PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, TS. Đậu Thế Cấp, TS. Trần Minh Thuyết đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Chúng tôi cám ơn chân thành đến Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Khoa học Cơ bản trường Đại học Kiến Trúc, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi mọi mặt để tôi yên tâm học tập và làm việc, đặc biệt là hai Thầy Ninh Quang Thăng và Thầy Bùi Tiến Dũng với lời biết ơn chân thành nhất. Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các Bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 12 đã luôn động viên và quan tâm giúp đỡ tôi trong thời gian học tâp và làm luận văn, tôi cũng không quên cám ơn người em Nguyễn Văn Hản đã giúp tôi rất nhiều trong công việc in ấn luận văn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2004 Huỳnh Thị Hoàng Dung. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 1 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN ---------o0o-------- Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm – tích phân sau: ( ) ( ) ),()( )())((,)( 1 1 )( 0 1 11 1 xgdttfc xSfbxRfxaxf i m k n j xX jijk m k n j ijkjijk m k n j ijkjijki ijk ++ +Φ= ∑∑ ∫ ∑∑∑∑ = = = == = ε (1.1) ,,...,1; nix =Ω∈∀ trong đó ],[ ba=Ω hoặc Ω là một khoảng không bị chận của ,IR ijkijkijk cba , , là các hằng số thực cho trước; ,: IRgi →Ω ,:,, Ω→Ωijkijkijk XSR và IRIR→×ΩΦ : là các hàm số liên tục cho trước thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm IRfi →Ω: là các ẩn hàm, ε là một tham số bé. Trong [9], các tác giả C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu (1991) nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với ,2],,[ ==−=Ω nmbb 0=ijka và ijkS là các nhị thức bậc nhất. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++++++= ++++++= , , 22323223222222221211212 11313113121221211111111 xgcxbfacxbfacxbfaxf xgcxbfacxbfacxbfaxf (1.2) với mọi ],,[ bbx −=Ω∈ trong đó, các hằng số bcba ijijij ,,, cho trước thỏa các điều kiện: ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −≥< ij ij jiij b c bb 1 max,1 , , 1max 3 1 <⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∑ =j iji a . (1.3) Các hàm số 21 , gg liên tục cho trước và 21 , ff là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn định đối với các .ig Trong [4], Long, Danh, Khôi (2002) đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân tuyến tính Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 2 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ),()())(()( 2 1 )( 0 2 1 xgdttfxSfaxf i j xX jij j ijjiji ij∑ ∫∑ == ++= α (1.4) ,,2,1 IRxi ⊂Ω∈= trong đó Ω là một khoảng đóng bị chận hoặc khoảng không bị chận của .IR Các hàm Ω→Ω→Ω :,,: ijiji XSIRg là các hàm số liên tục cho trước, IRa ijij ∈α, là các hằng số và 21 , ff là các ẩn hàm. Trong [2], Danh, Dung, Long (2003) đã khảo sát hệ (1.1) tương ứng với ,0≡Φ )(),( xXxS ijkijk là các nhị thức bậc nhất, mà cụ thể có dạng như sau ( ) ),()()( 1 1 0 xgdttfcxbfaxf i m k n j x jijkijkijkjijki ijkijk +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= ∑∑ ∫ = = +γβ α (1.5) ].,[,,...,2,1 bbxni −=Ω∈= Với IRgi →Ω: là các hàm liên tục, nghiệm của hệ (1.5) được xấp xỉ bằng một dãy các đa thức hội tụ đều [2, 7], trong đó IRcba ijkijkijkijkijkijk ∈γβα ,,,,, là các hằng số thực cho trước thỏa các điều kiện: ( ) ,1max,1,1 1 1 1 <+<< ∑∑ = = ≤≤ ijkijk m k n i nj ijkijk bab αβ bb b c ijk ijk mknji ijk ijk mknji ≤−≤− ≤≤≤≤≤≤≤≤ β γ 1 max; 1 max 1,,11,,1 . Trong [8], Long (2004) đã nghiên cứu hệ phương trình hàm phi tuyến ( ) ,)())(())(()( 1 11 1 ∑∑∑∑ = == = ++Φ= m k i n j ijkjijk m k n j ijkjijki xgxSfbxRfaxf ε (1.6) ,,,...,2,1 Ω∈= xni trong đó Ω là một khoảng đóng bị chận hoặc khoảng không bị chận của .IR Các hàm Ω→Ω→Ω :,,: ijkijki SRIRg và IRIR →Φ : là các hàm số liên tục cho trước; IRba ijkijk ∈, là các hằng số. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.6) theo một tham số béε cũng được xem xét trong bài báo [8]. Trong [3], các tác giả Nghĩa, Khôi (2000) đã xét hệ phương trình hàm cụ thể để kiểm tra một thuật toán số. Trong [5], các tác giả Long, Nghĩa, Khôi, Ruy (1998) đã nghiên cứu một trường hợp riêng của (1.1) với 1=p và ],[ bb−=Ω hay Ω là khoảng không bị chận của .IR Bằng cách sử dụng định lí điểm bất động Banach, các tác giả trong [5] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm .ig Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 3 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trong trường hợp 0=ijka và ijkS là các nhị thức bậc nhất, );( nr IRCg Ω∈ và ],[ bb−=Ω các tác giả trong [5] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp .r Hơn nữa, nếu ig là các đa thức bậc ,r thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc .r Kế đó, nếu ig là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng trong [6] bởi các tác giả Long, Nghĩa (2000) cho miền nhiều chiều pIR⊂Ω và ijkS là các hàm affine. Hơn nữa, điều kiện đủ về hội tụ cấp hai của hệ phương trình hàm cũng được đề cập [6]. Một phần kết quả trong luận văn chúng tôi đã công bố trong [1, 2]. Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã có trước đó và một số nội dung trình bày trong các chương của luận văn. Trong chương 2, là phần giới thiệu về các kí hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. Trong chương 3, dựa vào định lí điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm– tích phân (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé ε . Ở đây chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp 1+N theo ,ε với ε đủ nhỏ. Trong chương 6, nghiên cứu tính khả vi của nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi của các hàm .,,,, ijkijkijki XSRgΦ Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 4 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung CHƯƠNG 2 CÁC KÍ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM ---------o0o--------- Trong chương 2, là phần giới thiệu về các kí hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. 2.1. Các kí hiệu Ta kí hiệu ],[ ba=Ω hay Ω là khoảng không bị chặn trong .IR Với ],,[ ba=Ω ta kí hiệu );( nIRCX Ω= là không gian Banach của các hàm số )...,,,( 21 nffff = nIR→Ω: liên tục trên Ω đối với chuẩn .)(sup 1 ∑ =Ω∈ = n i i x X xff (2.1) Khi Ω là khoảng không bị chặn, ta kí hiệu );( nb IRCX Ω= là không gian Banach của các hàm số nIRf →Ω: liên tục, bị chặn trên Ω đối với chuẩn (2.1). Tương tự, với số nguyên không âm ,r ta đặt { }.1,0),;(:);();( )( nirkIRCfIRCfIRC kinnr ≤≤≤≤Ω∈Ω∈=Ω Với Ω là khoảng không bị chặn, ta kí hiệu { }.1,0),;(:);();( )( nirkIRCfIRCfIRC bkinbnrb ≤≤≤≤Ω∈Ω∈=Ω );( nr IRC Ω và );( nrb IRC Ω cũng là các không gian Banach đối với chuẩn .)(supmax 1 )( 1 ∑=Ω∈≤≤= n i k i xrk r xff (2.2) Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong );( nIRCX Ω= ,gBfAff ++= ε (2.3) trong đó ,)...,,( 1 nfff = ),)(,...,)(( 1 nfAfAfA = ),)(,...,)(( 1 nfBfBfB = Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 5 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung với ( ),))((,)()( 1 1 ∑∑ = = Φ= m k n j ijkjijki xRfxaxAf ,)1( ,)())(()()( 1 1 )( 01 1 nidttfcxSfbxBf m k n j xX jijk m k n j ijkjijki ijk ≤≤+= ∑∑ ∫∑∑ = == = .Ω∈∀x 2.2. Định lí điểm bất động Banach Định lí sau đây là một công cụ được sử dụng trong toàn bộ luận văn mang tên định lí điểm bất động Banach và được phát biểu dưới dạng: Định lí 2.1: Cho X là không gian Banach với chuẩn . , XK ⊂ là tập đóng và .: KKT → Giả sử tồn tại số thực )1,0[∈σ sao cho ,gfTgTf −≤− σ với mọi ., Kgf ∈ Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất Kf ∈ sao cho .Tff = (ii) Với mỗi ( ) ,0 Kf ∈ xét dãy }{ )(νf cho bởi ( ) ( ) ,1−= vv fTf ,...2,1=ν ta có (j) ( ) ,0lim =−∞→ ff v v (jj) ( ) ( ) ( ) , 1 00 σ σ −−≤− v v Tffff ,...2,1=ν (jjj) ( ) ( ) ( ) , 1 1−−−≤− vvv ffff σ σ ,...2,1=ν Chứng minh định lí 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về nhập môn giải tích. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 6 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÍ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM -------------o0o------------- Trong chương này, dựa vào định lí điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3). Đặt .max][ 1 1 1 ijk n i m k nj ijk bb ∑ ∑ = = ≤≤ = Đầu tiên, ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.1. Giả sử 1][][ <+ ijkijk cbb và Ω→Ω:, ijkijk XS liên tục. Khi đó i) ( ) XijkijkX fcbbBf ][][ +≤ .Xf ∈∀ (3.1) ii) Toán tử tuyến tính XXBI →− : là khả đảo và . ][][1 1)( 1 ijkijk cbb BI −−≤− − Chứng minh bổ đề 3.1. i) Với mọi ,Xf ∈ ta có ∑ =Ω∈ = n i i x X xBfBf 1 )()(sup ( ) ( )∑ ∑ ∑ ∫∑ ∑ = = == =Ω∈ += n i m k n j xX jijkijkj m k n j ijk x ijk dttfcxSfb 1 1 1 01 1 )()(sup ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +≤ ∑∑∑ ∫∑∑∑ = = == = =Ω∈ n i m k n j xX jijk n i ijkj m k n j ijk x ijk dttfcxSfb 1 1 1 )( 01 1 1 )()(sup ( )∑∑∑ =Ω∈= = ≤≤ ≤ n 1j1 1 1 )(supmax xSfb ijkj x n i m k ijknj ∫∑∑∑ == = Ω∈≤≤ + )( 011 1 1 )(supmax xX j n j n i m k x ijknj ijk dttfc ( ) . ][][ Xijkijk fcbb +≤ ii) Trước hết, ta chứng minh toán tử Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 7 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ),)(,...,)(( : 1 nBfBfBff XXB = → a với ( ) ∑∑ ∫∑∑ = == = += m k n j xX jijk m k n j ijkjijki ijk dttfcxSfbxBf 1 1 )( 01 1 )()()()( thỏa .1<B Thật vậy, theo (i) ta có ( ) . ][][ XffcbbBf XijkijkX ∈∀+≤ Do đó .1][][sup 0 <+≤= ∈≠ ijkijkX X Xf cbb f Bf B Tiếp theo, ta chứng minh rằng nếu 1<B thì )( BI − khả nghịch, hay với mỗi ,Xg ∈ phương trình gBff += có nghiệm duy nhất .Xf ∈ Đặt gBffTf XXT += → ~ :~ a thì T~ là một ánh xạ co. Thật vậy, với mọi ,~, Xff ∈ ta có .~)~(~~~ XXX ffBffBfTfT −≤−=− Vậy phương trình gBff += có nghiệm duy nhất một nghiệm XgBIf ∈−= −1)( tương ứng với .Xg∈ Từ đây ta có , XXXX gfBgBff +≤+= hay . 1 B g f X X −≤ Vì gBIf 1)( −−= nên . 1 )( 1 B g gBI X X −≤− − Do đó . ][][1 1 1 1)(sup)( 1 0 1 ijkijkX X Xg cbbBg gBI BI −−≤−≤ −=− − ∈≠ − Bổ đề (3.1) đã được chứng minh. Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.3) như sau: Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 8 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung TfgAfBIf ≡+−= − )()( 1 ε . (3.2) Ta thành lập các giả thiết sau: )( 1H Ω→Ω:,, ijkijkijk XSR liên tục; )( 2H Xggg n ∈= ),...,( 1 ; )( 3H 1][][ <+ ijkijk cbb ; )( 4H IRIR→×ΩΦ : thỏa điều kiện Lipschitz địa phương theo biến thứ hai, tức là, với mọi ,0>M tồn tại hằng số 0)(1 >MC sao cho .],,[,)(),(),( 2121121 Ω∈∀−∈∀−≤Φ−Φ xMMyyyyMCyxyx )( 5H ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Φ+ −−<< −−> Ω∈ . ][)0,(sup)(2 ][][1 0 , ][][1 2 1 0 ijk x ijkijk ijkijk X axnMMC cbbM cbb g M ε Với mỗi ,0>M ta đặt }:{ MfXfK XM ≤∈= . Khi đó, ta có bổ đề sau đây. Bổ đề 3.2. Giả sử )( 1H - )( 4H đúng. Khi đó, ta có i) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ Φ+≤ Ω∈ )0,(sup)(][ 1 xnfMCaAf x XijkX ,MKf ∈∀ ii) XijkX ffaMCfAAf ~][)(~ 1 −≤− MKff ∈∀ ~, . Chứng minh. i) ,MKf ∈∀ ta có ( ) ( ) )0,()0,())((,))((, xxxRfxxRfx ijkjijkj Φ+Φ−Φ=Φ . Từ giả thiết )( 4H ta có Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 9 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ( ) ( ) .)0,(sup))(()( )0,()0,())((,))((, 1 xxRfMC xxxRfxxRfx x ijkj ijkjijkj Φ+≤ Φ+Φ−Φ≤Φ Ω∈ Suy ra ( )∑∑∑∑ = = == Φ≤ n i m k n j ijkjijk n i i xRfxaxAf 1 1 11 ))((,)()( ∑∑∑ = = = ≤ n i m k n j ijkjijk xRfMCa 1 1 1 1 ))(()( ∑∑∑ = = = Ω∈ Φ+ n i m k n j x ijk xa 1 1 1 )0,(sup ∑∑ ∑ = = =Ω∈≤≤ ≤ n i m k n j ijkj x ijknj xRfaMC 1 1 11 1 ))((supmax)( ∑∑∑ = = = Ω∈ Φ+ n i m k n j x ijk xa 1 1 1 )0,(sup ∑∑ = = ≤≤ ≤ n i m k Xijknj faMC 1 1 1 1 max)( ∑∑∑ = = = Ω∈ Φ+ n i m k n j x ijk xa 1 1 1 )0,(sup Xijk faMC ][)(1≤ )0,(sup][ xan x ijk Φ+ Ω∈ .)0,(sup)(][ 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ Φ+≡ Ω∈ xnfMCa x Xijk Vậy ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ Φ+≤ Ω∈ )0,(sup)(][ 1 xnfMCaAf x XijkX MKf ∈∀ . (ii) ,~, MKff ∈∀ sử dụng giả thiết )( 4H một lần nữa, ta được ( ) ( )∑∑∑ ∑ = = = = Φ−Φ≤ − n i m k n j ijkjijkjijk n i ii xRfxxRfxa xfAxAf 1 1 1 1 ))((~,))((, )()~()()( ∑∑ ∑ = = =Ω∈≤≤ −≤ n i m k n j jj y ijknj yfyfaMC 1 1 11 1 )( ~)(supmax)( .~][)(1 Xijk ffaMC −= Vậy .~][)( )()~()()(sup~ 1 1 Xijk n i ii xX ffaMC xfAxAffAAf −≤ −=− ∑ =Ω∈ Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 10 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Bổ đề 3.2 được chứng minh.„ Khi đó, ta có định lí sau đây. Định lí 3.1. Giả sử )( 1H - )( 5H đúng. Khi đó, với mỗi ,ε với ,0εε ≤ hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất .MKf ∈ Chứng minh. Hiển nhiên rằng ,XTf ∈ với mọi .Xf ∈ Xét ,~, MKff ∈ ta dễ dàng suy ra từ do bổ đề 3.1 và 3.2 rằng )()()()( 11 XXXX gAfBIgAfBITf +−≤+−= −− εε ≤ ,)0,(sup)(][ ][][1 1 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Φ+−− Ω∈ Xxijkijkijk gxnMMCa cbb ε (3.3) XXX fAAfBIfAAfBIfTTf ~)()~()(~ 10 1 −−≤−−=− −− εε .~ ][][1 ][)(10 X ijkijk ijk ff cbb aMC −−−≤ ε (3.4) Chú ý rằng, từ )( 5H ta có ( )][][1)0,(sup)(][ 10 ijkijkX x ijk cbbMgxnMMCa −−≤+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Φ+ Ω∈ ε hay . ][][1 )0,(sup)(][ 10 M cbb gxnMMCa ijkijk X x ijk ≤−− +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Φ+ Ω∈ ε (3.5) Từ đây ta suy ra .1 ][][1 ][)(10 <−− ijkijk ijk cbb aMCε (3.6) Ta suy từ (3.3), (3.5), rằng MM KKT →: và từ (3.4), (3.6) ta có T là ánh xạ co. Khi đó, sử dụng định lí điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm MKf ∈ sao cho .Tff = Vậy định lí 3.1 được chứng minh.„ Chú thích 3.1. Nhờ định lí điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) được xấp xỉ bởi thuật giải sau: ),()( )1(1)1()( gAfBITff +−≡= −−− ννν ε (3.7) MKf ∈)0( cho trước. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 11 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Khi đó ff →)(ν trong X khi ,+∞→ν (3.8) và , 1 )0()0()( σ σ νν −−≤− XX Tffff ,...2,1=∀ν , (3.9) với .1 ][][1 ][)(10 <−−= ijkijk ijk cbb aMCεσ Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 12 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung CHƯƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI --------o0o-------- Trong định lí 3.1 cho ta một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.7), theo nguyên tắc ánh xạ co (chú thích 3.1), sự hội tụ của dãy lặp }{ )(νf về nghiệm f của hệ (3.2) cũng là hội tụ cấp 1. Sự hội tụ nầy thể hiện qua đánh giá sai số ,)( νν σCff X ≤− ,...2,1=∀v (4.1) trong đó ,10 C là các hằng số độc lập với .ν Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1), tức là thiết lập một dãy lặp dãy lặp }{ )(νf thỏa bất đẳng thức ( ) ( ) ,21 X v X v ffff −≤− −β ,...2,1=∀v (4.2) trong đó 0>β là hằng số độc lập với .ν Một dãy lặp }{ )(νf như vậy còn gọi là dãy lặp cấp hai. Nếu bước lặp ban đầu ( )0f được chọn đủ gần f sao cho ( ) ,10 <−≡ X ffβσ (4.3) thì dãy ( ){ }vf hội tụ về f và thoả một đánh giá sai số cấp 2 ,1 2)( νσβ ν ≤− ff ,....2,1=∀v (4.4) Rõ ràng bất đẳng thức (4.4) cho sự hội tụ của dãy ( ){ }vf về f nhanh hơn so với dãy ( ){ }vf thỏa bất đẳng thức (4.1). Xét hệ phương trình hàm ( ) ),()( ))(())((,)( 1 1 )( 0 1 11 1 xgdttfc xSfbxRfxaxf i m k n j xX jijk m k n j ijkjijk m k n j ijkjijki ijk ++ +Φ= ∑∑ ∫ ∑∑∑∑ = = = == = ε (1.1) .,...,1; nix =Ω∈∀ Ta giả sử rằng ).;(1 IRIRC ×Ω∈Φ Sử dụng xấp xỉ sau đây: Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 13 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ),)(,(),(),( )1()()1()1()( −−− −∂ Φ∂+Φ≅Φ ννννν jjjjj fffxyfxfx (4.5) trong đó )),(()()( xRff ijkjj νν = ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1) Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1) i) Cho trước .),...,( )0()0(1)0( Xfff n ∈= ii) Giả sử biết ,),...,( )1()1(1)1( Xfff n ∈= −−− ννν ta xác định Xfff n ∈= ),...,( )()(1)( ννν bởi ∑∑ = = Φ= m k n j ijkijki xWaxf 1 1 )()( ))(()( νν ε [ ]∑∑ = = −−∂ Φ∂+ m k n j ijkjijkjijkijk xRfxRfxWy a 1 1 )1()()( ))(())(())(( νννε ∑∑ = = + m k n j ijkjijk xSfb 1 1 )( ))((ν ),()( 1 1 )( 0 )( xgdttfc i m k n j xX jijk ijk ++∑∑ ∫ = = ν ,...2,1,1, =≤≤Ω∈ νnix , (4.6) trong đó ))).((,()( )1()( xRfxxW ijkjijk −= νν Ta viết lại (4.6) dưới dạng ∑∑ = = ∂ Φ∂= m k n j ijkjijkijki xRfxWy axf 1 1 )()()( ))(())(()( ννν ε ∑∑ = = + m k n j ijkjijk xSfb 1 1 )( ))((ν ∑∑ ∫ = = + m k n j xX jijk ijk dttfc 1 1 )( 0 )( )(ν ∑∑ = = − ∂ Φ∂− m k n j ijkjijkijk xRfxWy a 1 1 )1()( ))(())(( ννε ),())(( 1 1 )( xgxWa i m k n j ijkijk +Φ+ ∑∑ = = νε ,...2,1,1, =≤≤Ω∈ νnix , hay Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 14 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ),())(( )())((),()( )( 1 1 )( 1 1 )( 0 )( 1 1 )()()( xgxSfb dttfcxRfxxf i n j m k ijkjijk m k n j xX jijk n j m k ijkjijki ijk νν νννν εα ++ += ∑∑ ∑∑ ∫∑∑ = = = == = (4.7) ,...2,1,1, =≤≤Ω∈ ν nix trong đó ),,()( xijk εα ν )()( xgiν phụ thuộc vào )1( −νf như sau: )),((),( )()( xW y ax ijkijkijk νν εεα ∂ Φ∂= (4.8) ,))((),())((()()( 1 1 )1()( 1 1 )()( ∑∑∑∑ = = − = = −Φ+= n j m k ijkjijk n j m k ijkijkii xRfxxWaxgxg νννν εαε (4.9) ,...2,1,1, =≤≤Ω∈ ν nix Khi đó ta có định lí sau: Định lí 4.1. Giả sử )()( 31 HH − là đúng. Nếu Xf ∈− )1(ν thỏa .1][][),(supmax 1 1 )( 1 <++≡ ∑∑ = = Ω∈≤≤ ijkijk n j m k ijk xnj cbbxεαγ νν (4.10) Khi đó tồn tại duy nhất Xf ∈)(ν là nghiệm của (4.7)−(4.9). Chứng minh. Hệ (4.7) được viết lại như sau ,)()( ννν fTf = (4.11) với ),())(( )())((),()()( )( 1 1 1 1 )( 01 1 )( xgxSfb dttfcxRfxxfT i n j m k ijkjijk m k n j xX jijk n j m k ijkjijki ijk ν ν ν εα ++ += ∑∑ ∑∑ ∫∑∑ = = = == = ,...2,1 ,1 , =≤≤Ω∈ νnix , .),...,( 1 Xfff n ∈= (4.12) Khi đó ta kiểm tra rằng XXT →:ν thỏa , XX hfhTfT −≤− ννν γ ., Xhf ∈∀ (4.13) Thật vậy Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 15 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Xvv hTfT − ∑ =Ω∈ −= n i ii x xhTxfT 1 )()()()(sup νν ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))()(),(sup 1 11 xRhxRfx ijk v jijk v j n j m k v ijk n ix −≤ ∑ ∑∑ = ==Ω∈ εα ( ) ( )( )∑ ∑ ∫∑ = ==Ω∈ −+ n j m k xX v j v jijk n ix ijk dtthtfc 1 1 )( 01 )()(sup ( ) ( ) ( ) ( ))()(sup 1 11 xShxSfb ijk v jijk v j n j m k ijk n ix −+ ∑ ∑∑ = ==Ω∈ ( ) ),(maxsup 1 1 1 xvijk n i m k njx εα∑ ∑ = = ≤≤Ω∈ ≤ ( ) ( ) ( ) ( )∑ =Ω∈ −× n j ijk v jijk v j x xRhxRf 1 )()(sup ( ) ( )( )∑ ∑ ∫∑ = = =Ω∈≤≤ −+ n i m k xX v j v j n jx ijknj ijk dtthtfc 1 1 )( 01 1 )()(supmax ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑ =Ω∈= = ≤≤ −+ n j ijk v jijk v j x ijk n i m k nj xShxSfb 11 1 1 )()(supmax ( ) Xijkijk v ijk n i m k xnj hfbcbx −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++≤ ∑ ∑ = = Ω∈≤≤ ][][),(supmax 1 1 1 εα . Xv hf −≡ γ Sử dụng định lí điểm bất động Banach, định lí 4.1 được chứng minh.„ Định lí 4.2. Giả sử ),;(2 IRIRC ×Ω∈Φ và )()( 31 HH − đúng. Cho .IRaijk ∈ Khi đó, tồn tại hai hằng số ε,M sao cho, nếu MKf ∈)0( cho trước, hệ (4.7)− (4.9) tồn tại duy nhất nghiệm )(νf thỏa điều kiện ,)( MKf ∈ν ,...2,1,0=∀ν (4.14) Chứng minh. Giả sử ,)0( MKf ∈ với hai hằng số ε,M mà ta sẽ chọn sau. Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng: .)1( MKf ∈−ν (4.15) Ta sẽ chứng minh rằng .)( MKf ∈ν Với mọi ,Ω∈x ta có từ (4.7) rằng: Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 16 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ∑∑∑∑ ∑∑∑ ∫ ∑∑∑∑ == = = = = = = = == ++ + ≤ n i i n i n j m k ijkjijk n i n j m k xX jijk n i n j m k ijkjijk n i i xgxSfb dttfc xRfxxf ijk 1 )( 1 1 1 )( 1 1 1 )( 0 )( 1 1 1 )()( 1 )( )())(( )( ))((),()( νν ν ννν εα X n i m k n j ijkjijknj n i n j m k ijkjjijkijk n i m k n j ijkjijknj gxSfb xXtfxXc xRfx )( 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 )()( 1 ))((max ))(()( ))((),(max νν ν νν εα ++ + ≤ ∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑ = = =≤≤ = = = = = =≤≤ X n i m k Xijknj n i n j Xijknj n i m k Xijknj gfb fcb fx )( 1 1 )( 1 1 1 )( 1 1 1 )()( 1 max max ),(max νν ν νν εα ++ + ≤ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = ≤≤ = = ≤≤ = = ≤≤ ( ) .][][ ),(supmax )()( )( 1 1 )( 1 XXijkijk X n i m k ijk xnj gfbcb fx νν νν εα +++ ≤ ∑∑ = = Ω∈≤≤ (4.16) Do đó . ][][),(supmax )( )( 1 1 )( 1 )( X Xijkijk n i m k ijk xnjX g fbcbxf ν ννν εα + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++≤ ∑∑ = = Ω∈≤≤ (4.17) Mặt khác, với mọi ,Ω∈x ta có từ (4.7), (4.15), rằng: ( ) ,)(),( 1)()( ijkijkijkijk aMxWyax εεεα νν ≤∂Φ∂≤ (4.18) trong đó }.,:),(sup{1 Myxyxy M ≤Ω∈∂ Φ∂= Ta suy từ (4.18) rằng .][),(supmax 1 1 1 )( 1 ijk n j m k ijk xnj aMx εεα ν ≤∑∑ = = Ω∈≤≤ (4.19) Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 17 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Mặt khác, ta cũng có từ (4.8), (4.9) và bổ đề 2, (i), chương 3, rằng: ∑∑ = = − ∂ Φ∂−Φ+= n j m k ijkjijkijkijkii xRfxWy xWaxgxg 1 1 )1()()()( ))](())((())((([)()( νννν ε . (4.20) Dùng công thức khai triển Taylor ,10,),( 2 1),()0,(),( 22 2 <<−∂ Φ∂−∂ Φ∂+Φ=Φ θθ yyx y yyx y xyx với ),( yx thay bởi ))),((,()( )1()( xRfxxW ijkjijk −= νν ta có ))(())(()0,())(( )1()()( xRfxW y xxW ijkjijkijk − ∂ Φ∂+Φ=Φ ννν ( ) ,))(())(~( 2 1 2)1()( 2 2 xRfxW y ijkjijk − ∂ Φ∂− νν với .10))),((,()(~ )1()( <<−= − ijkijkjijkijk xRfxxW θθ νν Từ đây ta suy ra ( ) ,))(( 2 1)0,(sup ))(())(())(( 2)1( 2 )1()()( xRfMx xRfxW y xW ijkj x ijkjijkijk − Ω∈ − +Φ≤ ∂ Φ∂−Φ ν ννν (4.21) trong đó }.,:),(sup{ 2 2 2 Myxyxy M ≤Ω∈∂ Φ∂= Ta suy ra từ (4.20), (4.21) rằng ∑∑ == ≤ n i i n i i xgxg 11 )( )()(ν ∑∑∑ = = = Ω∈ Φ+ n i m k n j x ijk xa 1 1 1 )0,(supε ∑∑∑ = = = −+ n i m k n j ijkjijk xRfaM 1 1 1 2)1( 2 ))((2 1 νε ∑ = − Ω∈ Ω∈ + Φ+≤ n j ijkj x ijk x ijkX xRfaM xang 1 2)1( 2 ))((sup][2 1 )0,(sup][ νε ε 2)1( 2 ][2 1)0,(sup][ Xijkx ijkX faMxang − Ω∈ +Φ+≤ νεε Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 18 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +Φ+≤ Ω∈ 2 22 1)0,(sup][ MMxnag x ijkX ε Vậy . 2 1)0,(sup][ 22 )( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +Φ+≤ Ω∈ MMxnagg x ijkXX εν (4.22) Từ (4.17), (4.19) và (4.22), ta được ( ) XijkijkijkX fbcbaMf )(1 )( ][][][ νν ε ++≤ X x ijk gMMxna +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +Φ+ Ω∈ 2 22 1)0,(sup][ε hay ( ) . 2 1)0,(sup][ ][][][1 2 2 )( 1 X x ijk Xijkijkijk gMMxna fbcbaM +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +Φ≤ −−− Ω∈ ε ε ν (4.23) Với 0>M đã chọn như trong ),( 5H ta chọnε sao cho hai điều kiện sau được thỏa ,1][][][1 <++ ijkijkijk bcbaMε (4.24) và ( ).][][][1 2 1)0,(sup][ 1 2 2 ijkijkijk X x ijk bcbaMM gMMxna −−−≤ +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +Φ Ω∈ ε ε (4.25) Khi đó, ta suy ra từ (4.23), (4.24) và (4.25) rằng . ][][][1 2 1)0,(sup][ 1 2 2 )( M bcbaM gMMxna f ijkijkijk X x ijk X ≤−−− +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +Φ ≤ Ω∈ε ε ν (4.26) Điều nầy khẳng định (4.14). Ta chú ý rằng (4.25) dẫn đến (4.24), do đó (4.24) và (4.25) tương đương với (4.25). Như vậy, ta chỉ cần chọn ε,M thỏa (4.25) và định líù 4.2 được chứng minh hoàn tất.„ Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 19 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Định lí 4.3. Giả sử ),;(2 IRIRC ×Ω∈Φ và )()( 31 HH − đúng. Cho .IRaijk ∈ Khi đó, tồn tại hai hằng số ε,M sao cho (i) Với MKf ∈)0( cho trước, dãy }{ )(νf xác định bởi hệ (4.7)−(4.9) là dãy lặp cấp hai. Chính xác hơn, ta có ,...2,1 2)1()( =∀−≤− − νβ νν , XMX ffff (4.27) trong đó 0 ][][][1 ][ 2 1 1 2 >−−−= ijkijkijk ijk M aMcbb aM ε ε β (4.28) và f là nghiệm của hệ (1.1). (ii) Nếu )0(f được chọn đủ gần f sao cho 1)0( <− XM ffβ , (4.29) thì dãy }{ )(νf hội tụ cấp hai đến f và thỏa một đánh giá sai số ,...2,11 )0()( =∀⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −≤− νββ ν ν , 2 XMMX ffff (4.30) Chứng minh. Đặt )()()( )()( xfxfxe νν −= và ))),((,()( )1()( xRfxxW ijkjijk −= νν ta có [ ] [ ]∑∑ ∑∑ = = − = = −∂ Φ∂− Φ−Φ= −= m k n j ijkjijkjijkijk m k n j ijkijkijk iii xRexRexW y a xWxWa xfxfxe 1 1 )()1()( 1 1 )( )()( ))(())(())(( ))(())(( )()()( ννν ν νν ε ε ∑∑ ∫ = = + m k n j xX jijk ijk dttec 1 1 )( 0 )( )](ν ∑∑ = = + m k n j ijkjijk xSeb 1 1 )( ))((ν ∑∑ ∑∑ = = = = − ∂ Φ∂+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ Φ∂−Φ−Φ= m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijkijkijkijkijk xRexW y a xRexW y axWxWa 1 1 )()( 1 1 )1()()( ))(())(( ))(()(())(())(( νν ννν ε ε Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 20 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ∑∑ ∫ = = + m k n j xX jijk ijk dttec 1 1 )( 0 )( )](ν ∑∑ = = + m k n j ijkjijk xSeb 1 1 )( ))((ν ).()())(())(( ))(()(())(())(( )( 1 1 )()( 1 1 )1()()( xBexRexW y a xRexW y axWxWa i m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijkijkijkijkijk ννν ννν ε ε +∂ Φ∂+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ Φ∂−Φ−Φ= ∑∑ ∑∑ = = = = − (4.31) Mặt khác, khai triển Taylor hàm ,.)(xΦ đến cấp 2, ta có: .10,)())(,( 2 1 ))(,(),(),( 2 0002 2 000 <<−×−+∂ Φ∂= −∂ Φ∂−Φ−Φ θθ wwwwwx y wwwx y wxwx Thay ),( wx và ),( 0wx lần lượt bởi )(xWijk và )()( xWijkν ta được ))(())(())(())(( )1()()( xRexW y xWxW ijkjijkijkijk − ∂ Φ∂−Φ−Φ ννν 2)1()(2 2 ))(())(~( 2 1 xRexW y ijkjijk − ∂ Φ∂= νν , (4.32) trong đó ( ) .10,))(())((,)(~ )1()1()( <<+= −− ijkijkjijkijkjijk xRexRfxxW θθ ννν Ta suy ra từ (4.31), (4.32) rằng ∑∑ ∑∑ = = − = = ∂ Φ∂+ ∂ Φ∂+= m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijkijkii xRexW y a xRexW y axBexe 1 1 2)1()( 2 2 1 1 )()()()( ))(())(~( 2 ))(())(()()()( νν νννν ε ε hay ),())((),()()()( )( 1 1 )()()()( xGxRexxBexe i m k n j ijkjijkii ννννν εα ++= ∑∑ = = (4.33) Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 21 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung trong đó ),,()( xijk εα ν )(νiG phụ thuộc vào )1( −νf như sau: )),((),( )()( xW y ax ijkijkijk νν εεα ∂ Φ∂= (4.34) .))(())(~( 2 )( 1 1 2)1()( 2 2 )( ∑∑ = = − ∂ Φ∂= m k n j ijkjijkijki xRexWy axG ννν ε (4.35) Sử dụng các đánh giá ,][)(supmax 1 1 1 )( 1 ijk n j m k ijk xnj aMx εα ν ≤∑∑ = = Ω∈≤≤ với },,:),(sup{1 Myxyxy M ≤Ω∈∂ Φ∂= và ( ) XijkijkX fcbbBf ][][ +≤ Ta suy ra một cách tương tự như trong chứng minh của định lí 4.2, như sau: XXijkXX GeaMBee )()(1 )()( ][ νννν ε ++≤ ( ) XXijkijkijk GeaMcbb )()(1 ][][][ ννε +++≤ (4.36) Mặt khác, ta cũng có từ (4.35) rằng ∑∑∑∑ = = = − = ∂ Φ∂≤ n i m k n j ijkjijkijk n i i xRexWy axG 1 1 1 2)1()( 2 2 1 )( ))(())(~( 2 )( ννν ε ∑∑∑ = = = −≤ n i m k n j ijkjijk xReaM 1 1 1 2)1( 2 ))((2 νε 2)1( 2 ][2 Xijk eaM −≤ νε . Vậy .][ 2 2)1( 2 )( XijkX eaMG −≤ νν ε (4.37) Từ (4.36) và (4.37), ta thu được ( ) XijkijkijkX eaMcbbe )(1 )( ][][][ νν ε++≤ .][ 2 2)1( 2 Xijk eaM −+ νε Điều nầy dẫn đến Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 22 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ( ) Xijkijkijk eaMcbb )(1 ][][][1 νε−−− .][ 2 2)1( 2 Xijk eaM −≤ νε (4.38) Do đó 2)1(2)1( 1 2 )( ][][][1 ][ 2 XMX ijkijkijk ijk X ee aMcbb aM e −− ≡−−−≤ ννν βε ε hay ,...2,1 2)1()( =∀−≤− − νβ νν , XMX ffff (4.39) trong đó . ][][][1 ][ 2 1 2 ijkijkijk ijk M aMcbb aM ε ε β −−−= (ii) Từ (4.39) ta có 22)2(2)1()( ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛≤≤ −− XMMXMX eee ννν βββ ( ) ( ) 22 22)3(212)2(21 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛≤= −+−+ XMMXM ee νν βββ ( ) 32 2)3(221 XM e −++= νβ ( ) ννβ 2)0(2...221 12... XM e −++++≤≤ ( ) ννν βββ 2 )0(2)0( 21 21 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== − − XMMX M ee , (4.40) tức là (4.30). Bất đẳng thức đánh giá (4.40) cho phép ta kết luận dãy }{ )(νf hội tụ cấp hai đến nghiệm f của hệ (1.1) nếu )0(f được chọn thỏa (4.29).„ Chú thích 4.1: Về việc chọn bước lặp ban đầu MKf ∈)0( thỏa (4.29) ta tiến hành như sau: Trước hết ta lấy ,)0( XZ ∈ ta xây dựng dãy lặp đơn }{ )(ηZ liên kết với ánh xạ co MM KKT →: (như trong định lí 3.1, chương 3) ),()( )1(1)1()( gAZBITZZ +−≡= −−− ηηη ε ,...2,1=η . (4.41) Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 23 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Khi đó dãy }{ )(ηZ hội tụ trong X về nghiệm f của (1.1) và ta có một đánh giá sai số ,...2,1 , 1 )0()0()( =∀−×−≤− ησ σ ηη XX TZZZf (4.42) với .1 ][][1 ][)(10 <−− ijkijk ijk cbb aMCε (4.43) Từ (4.42), (4.43), ta chọn 0η IN∈ đủ lớn sao cho: 1 1 0 0 )0()0()( <−×−≤− σ σββ η η XMXM TZZZf . (4.44) Vậy ta chọn )()0( 0ηZf = .„ Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 24 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung CHƯƠNG 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM ----------------o0o---------------- Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây bị nhiễu bởi một tham số bé ε gBfAff ++= ε trong );( nIRCX Ω= (5.1) trong đó ,)...,,( 1 nfff = ),)(,...,)(( 1 nfAfAfA = ),)(,...,)(( 1 nfBfBfB = với ( ),))((,)()( 1 1 ∑∑ = = Φ= m k n j ijkjijki xRfxaxAf ,)())(()()( 1 1 )( 01 1 ∑∑ ∫∑∑ = == = += m k n j xX jijk m k n j ijkjijki dttfcxSfbxBf ijk ),,...,2,1(],,[ nibbx =−∈∀ trong đó ijkijkijk cba ,, là các hằng số thực cho trước; ,: IRgi →Ω ,:,, Ω→Ωijkijkijk XSR và IRIR→×ΩΦ : là các hàm số liên tục cho trước thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm IRfi →Ω: là các ẩn hàm, ε là một tham số bé. Trong phần này, với các giả thiết trên các hàm ijkijkijk XSRg ,,,,Φ và các số thực ,0ε M và với ).;( IRIRC N ×Ω∈Φ Khi đó chúng tôi sẽ chứng minh rằng nghiệm của hệ (5.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp 1+N theo ,ε vớiε đủ nhỏ theo nghĩa ).( 1 0 ][ + = += ∑ NN r rr Off εεε Chính xác hơn ta có [ ] ,C 1 0 +≤−∑ = N X N r rr ff εεε trong đó C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào ,, ΦN ,][ ijka ,][ ijkb ,][ ijkc ,][ X rf .,...,1,0 Nr = Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 25 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trong phần này, ta vẫn giả sử rằng các hàm ijkijkijk XSRg ,,,,Φ và các số thực ijkijkijk cba ,, , ,0ε M thỏa các giả thiết )()( 51 HH − , lần lượt. Ta bổ sung thêm giả thiết sau )( 6H ).;( IRIRC N ×Ω∈Φ Ta xét hệ bị nhiễu (5.1), trong đó ε là một tham số bé, .0εε ≤ Đặt .BIL −= Ta hãy xét dãy hữu hạn các hàm },{ ][rf ,,...,1,0 Nr = Mr Kf ∈][ (với hằng số thích hợp 0>M ) được xác định bởi hệ sau [ ] [ ] ,00 PgLf ≡= (5.2) [ ] [ ] ,]0[11 AfPLf ≡= (5.3) [ ] [ ],rr PLf = ,,...,3,2 Nr = (5.4) trong đó [ ] [ ] [ ]( ),,...., 1 rnrr PPP = ,,...,1,0 Nr = với các thành phần [ ]riP của [ ]rP được xác định bởi các công thức qui nạp sau [ ] ),()(0 xgxP ii = (5.5) [ ] [ ] ( )( ))( ,)()()( 0 1 1 ]0[1 xRfxaxAfxP ijkj m k n j ijkii Φ== ∑ ∑ = = [ ] ,][0 1 1 Φ≡ ∑ ∑ = = j m k n j ijk ca (5.6) ở đây, ta kí hiệu [ ] ,)))((,(][][ ]0[]0[0 xRfxfc ijkjjj Φ≡Φ=Φ (5.7) [ ] ,][)( 1 1 1 ]2[ Φ=∑ ∑ = = j m k n j ijkj caxP (5.8) với [ ] [ ] )),(()))((,( ][][][ ]1[]0[ 2 ]1[]0[ 2 ]1[ 2 01 xRfxRfxD ffDfDcc ijkjijkj jjjjj Φ≡ Φ≡Φ=Φ (5.9) ta cũng kí hiệu .2 y D ∂ Φ∂=Φ Với ,,...,3,2 Nr = biểu thức )(][ xP ri được xác định bởi Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 26 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ,][)( 1 ]1[ 1 ][ ∑∑ = − = Φ= m j r jijk m k r i caxP ,,...,3,2 Nr = (5.10) trong đó 11],[][ −≤≤Φ Nrc rj được xác định theo các công thức qui nạp sau ,][][ ][ 1 0 2 ][][ sr j r s s j r j fDcr src − − = ∑ Φ−=Φ ,1,...,2,1 −= Nr (5.11) và ][]0[ Φjc như trong (5.7). Ta cũng chú ý rằng ],,...,,,[ ][][ ][]1[]0[][ ][ 1 0 2 ][][ r jjj r j sr j r s s j r j fffc fDc r src Φ= Φ−=Φ − − = ∑ (5.12) với ,1,...,2,1 −= Nr và ),,...,,,,( ][)( ]1[]1[]0[][ 1 ]1[ 1 ][ − = − = Φ= Φ= ∑∑ r jjj r i n i r jijk m k r i fffxP caxP (5.13) với .,...,3,2 Nr = Khi đó, ta có kết quả sau: Bổ đề 5.1. Các biểu thức 1,...,2,1,0],[][ −=Φ Nrc rj được xác định bởi công thức qui nạp (5.7), (5.9), (5.11) thỏa ,][ ! 1][ 0 ][ = Φ∂ ∂=Φ εε jr r r j hr c .1,...,2,1,0 −= Nr (5.14) Ở đây ta kí hiệu ( )( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ=Φ=Φ ∑= N r ijk r j r ijkjj xRfxxRhxh 0 ][ )( , )( , ][ ε , ( ) ( )∑ = == N r ijk r j r ijkjj xRfxRhh 0 ][ )()( ε . (5.15) Chứng minh. Với ,0=r từ (5.7), ta có Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 27 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ( ) ( )( ) ].[][)(, )(,][][ !0 1 ]0[]0[]0[ 00 ][ 000 0 Φ≡Φ=Φ= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Φ=Φ=Φ∂ ∂ == == ∑ jjijkj N r ijk r j r jj cfxRfx xRfxhh ε εε εε (5.16) Để làm rõ thêm ta xét thêm trường hợp .1=r Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( ).)()(, )(,][ 2 xRhxRhxD xRhxh ijkjijkj ijkjj ε εε ∂ ∂Φ= Φ∂ ∂=Φ∂ ∂ (5.17) Từ (5.9), ta thu được ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ].[][][ )()(, )()(,][ !1 1 ]1[]1[ 2 ]0[]1[]0[ 2 ]1[]0[ 2 0 02 0 Φ=Φ=Φ= Φ= ∂ ∂Φ=Φ∂ ∂ === jjjjj ijkjijkj ijkjijkjj cfDcffD xRfxRfxD xRhxRhxDh εεε εε (5.18) Vậy trường hợp 1=r ta có bổ đề 5.1 đúng. Giả sử 1,...,2,1,0],[][ −=Φ rsc sj được xác định bởi công thức qui nạp (5.7), (5.9), (5.11) thỏa (5.12). Để cho gọn kí hiệu, ta bỏ qua cách viết đối số ),(xRijk mà ta sẽ viết ,...., ][ 0 r j N r r jj fhf ∑ = = ε lần lượt thay cho )),...(( ))(( ),)(( ][ 0 xRfxRhhxRff ijk r j N r r ijkjjijkjj ∑ = === ε Khi đó, ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂Φ∂ ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Φ∂ ∂ ∂ ∂=Φ∂ ∂ − − − − jjr r jr r jr r hhDhh εεεεε ][][][ 21 1 1 1 = jsr sr j r s s s s r hhDC − −− = − ∂ ∂Φ∂ ∂∑ εε ])[( 2 1 0 1 . (5.20) Ta cũng chú ý rằng Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 28 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ,][ ! 1][ 0 ][ = Φ∂ ∂=Φ εε jr r r j hr c , ! 1 00 ][ 0 r N r jr r r j N r r j hr fh εεε ε=== ∑∑ ∂ ∂== , ! 1 ][ 0 s jjs s fh s =∂ ∂ =εε .][ ! 1][ 0 22 ][ = Φ∂ ∂=Φ εε js s s j hDs Dc (5.21) Ta suy ra từ (5.20), (5.21) rằng ( ) ].[][ )!(][! ! 1 ][ ! 1][ ! 1 ][][ 2 ][ 1 0 ][ 2 ][ 1 0 1 00 2 1 0 1 0 Φ=Φ−= −Φ= ∂ ∂Φ∂ ∂=Φ∂ ∂ −− = −− = − = − − = − = − = ∑ ∑ ∑ r j sr j s j r s sr j s j r s s r jsr sr js sr s s rjr r cfDc r sr fsrDcsC r hhDC r h r εεε εεε (5.22) Vậy bổ đề được chứng minh hoàn tất.„ Đặt [ ] , 0][ 1 ]0[ Ufffh r N r r +=+= ∑ = ε (5.23) khi đó hfffv rj N r r −=−= ∑ = εε ε ][ 0 (5.24) thỏa hệ ,])()([ εε EhAhvAvL +−+= (5.25) trong đó [ ] [ ] −−+= ])()([ 00 fAUfAE εε ][ 2 r N r r P∑ = ε . (5.26) Khi đó, ta có kết quả sau Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 29 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Bổ đề 5.2. Giả sử )()( 51 HH − là đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số )1(NC chỉ phụ thuộc vào ,, ΦN ,][ ijka ,][ ijkb ,][ ijkc ,][ Xrf Nr ,...,1,0= sao cho ( ) .11 +≤ NNX CE εε (5.27) Chứng minh. Trong trường hợp ,1=N chứng minh của bổ đề 5.2 không khó khăn, ta chỉ cần chứng minh (5.27) với .2≥N Để cho gọn kí hiệu, ta bỏ qua cách viết đối số ),(xRijk trong các cách viết như ở trên ( ),(x),),()()( 1 1 ijkjj m k n j jijki RfffxaxAf =Φ=∑∑ = = (5.28) ,,...,3,2 , ][)( 1 1 ]1[][ NrcaxP m k n j r jijk r i =Φ= ∑∑ = = − (5.29) ( )∑∑ = = Φ−+Φ= −+ m k n j jjjijk ii fxUfxa xfAxUfA 1 1 ]0[]0[ ]0[]0[ ),(),( )()()()( (5.30) Dùng khai triển Maclaurin của hàm ),(][ ]0[ jjj Ufxh +Φ=Φ ( theo ε ) đến cấp ,N ta thu được sau khi sử dụng bổ đề 5.1. ,][ ! ][ ][ ! ][ ! 1),(),( ][ 1 1 ][ ][ 0 1 1 ]0[]0[ Φ+Φ= Φ+Φ∂ ∂=Φ−+Φ ∑ ∑ − = = − = N j N r N r r j N j N r jr rN r jjj R N c R N h r fxUfx εε εεε ε (5.31) trong đó .10,][][][ <<Φ∂ ∂=Φ = jjN N N j j hR θε εθε Từ (5.30), (5.31), ta suy ra: Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 30 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ( ) .][ ! ][ ][ ! ][ ),(),()()()()( ][ 1 1 ][ 1 1 1 1 1 1 ][ 1 1 ][ 1 1 ]0[]0[]0[]0[ Φ+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Φ= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Φ+Φ= Φ−+Φ=−+ ∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ = = = = − = = = − = = = N j m k n j ijk N rr j m k n j ijk N r m k n j N j NN r rr jijk m k n j jjjijkii Ra N ca R N ca fxUfxaxfAxUfA ε ε εε (5.32) Do đó, ta suy ra từ (5.26), (5.32) rằng [ ] ].,,[][ ! ][ ! ][ )()()()( 1][ 1 1 1 ][ 1 1 1 1]1[][ 1 1 1 1 1 2 ][]0[]0[ εεε ε ε εεε iRRa N Ra N Pca PxfAxUfAE N NN j m k n j ijk N N j m k n j ijk N rr i r j m k n j ijk N r N r r i r iii Φ≡Φ= Φ+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −Φ= −−+= + = = + = = + ++ = = − = − = ∑∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑ (5.33) Do đó, ta suy ra (5.30) rằng ( ) .],,[sup)(sup 11 11 1 + =Ω∈=Ω∈ ≤Φ== ∑∑ + NNn i N x n i i x X CiRxEE N εεεεε (5.34) Bổ đề 5.2 được chứng minh hoàn tất.„ Kết quả sau nầy cho chúng ta một khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số ε . Định lí 5.1. Giả sử rằng )()( 61 HH − là đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số ,01 >ε sao cho, với mỗi ,ε với ,1εε ≤ hệ (5.1) có duy nhất một nghiệm MKf ∈ε thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp 1+N như sau Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 31 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung [ ] ( ) 1)1(1 0 2 +− = −≤−∑ NN X N r rr CBIff εεε , (5.35) trong đó, các hàm [ ] Nrf r ,...,1,0 , = là nghiệm của các hệ (5.2) – (5.6), lần lượt. Chứng minh. Đặt , 0 ][ hfffv N r rr −≡−= ∑ = εε ε (5.36) ta có ,])([ εε EAhhvALv +−+= ( ) ].)([1 εε EAhhvALv +−+= − (5.37) Do đó, ta suy từ bổ đề (5.2) rằng .])([ ])([ 1)1(1 1 +− − +−+≤ +−+≤ N NX XXX CAhhvAL EAhhvALv εε ε ε (5.38) Mặt khác [ ] .~ , 0 Mfh Mfhv X N r r X XX ≡≤ ≤=+ ∑ = ε (5.39) Ta suy từ (5.39) rằng .][)~()( 1 XijkX vaMMCAhhvA +≤−+ (5.40) Từ (5.38), (5.40), ta suy ra rằng ].][)~([ 1)1(111 +− ++≤ NNXijkX CvaMMCLv εε (5.41) Chọn 010 εε << sao cho . 2 1][)~( 111 ≤+ −LaMMC ijkε (5.42) Do đó, ta có từ (5.41), (5.42) rằng, Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 32 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung 1)1(12 +−≤ NNX CLv ε , (5.43) hay [ ] ( ) 1)1(1 0 2 +− = −≤−∑ NN X N r rr CBIff εεε . (5.44) Định lí (5.1) chứng minh hoàn tất.„ Chú thích 5.1. Với IRaijk ∈ và ,),...,( 1 Xggg n ∈= cho trước, giả thiết 1][][ <+ ijkijk cbb dẫn đến sự tồn tại của hai hằng số dương M,0ε thỏa các giả thiết ),( 4H ),( 5H lần lượt. Khi đó ta có kết quả sau: Định lí 5.2. Giả sử rằng ),()( 31 HH − )( 6H là đúng. Cho trước IRaijk ∈ . Khi đó, tồn tại hai hằng số 0>M , 01 >ε , sao cho, với mỗi ε , với ,1εε ≤ hệ (5.1) có duy nhất nghiệm MKf ∈ε và nghiệm nầy có một khai triển tiệm cận đến cấp 1+N thỏa (5.35), trong đó, các hàm Nrf r ,...,1,0,][ = là nghiệm của hệ (5.2) – (5.6), lần lượt. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 33 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung CHƯƠNG 6 TÍNH KHẢ VI CỦA NGHIỆM --------------o0o-------------- Trong chương này, dựa vào định lí điểm bất động Banach kết quả của chương 3, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm khả vi của hệ phương trình hàm– tích phân phi tuyến ( ) ),()( ))(())((,)( 1 )( 01 1111 xgdttfc xSfbxRfxaxf i n j xX ijk m k n j ijkjijk m k n j ijkjijk m k i ijk ++ +Φ= ∑ ∫∑ ∑∑∑∑ == ==== ε (1.1) ],,[ bbx −=Ω∈∀ ,,...,2,1 ni = trong đó ijkijkijk cba ,, là các hằng số thực cho trước, ,: IRgi →Ω ,:,,, Ω→Ωijkijkijk XSR và IRIR→×ΩΦ : là các hàm số khả vi cho trước thoả một số điều kiện phụ nào đó. Các hàm IRfi →Ω: là các ẩn hàm,ε là một tham số bé. Trước hết ta tăng cường thêm giả thiết sau )( )1(H ),;(1 nIRCg Ω∈ );();(,, 1, IRCCXSR ijkijkijk Ω∩ΩΩ∈ và ).;(1 IRIRC ×Ω∈Φ Giả sử );(1 nIRCf Ω∈ là nghiệm duy nhất của hệ (1.1). Đạo hàm hai vế của hệ (1.1), ta thu được ( ) ( )[ ]∑∑ = = Φ+Φ= m k n j ijkjijkijkjyijkjxijki xRfxRxRfxxRfxaxf 1 1 ///// ))(()())((,))((,)( ε ))(()( // 1 1 xSfxSb ijkjijk m k n j ijk∑∑ = = + )())(()( / 1 1 / xgxXfxXc i m k n j ijkjijkijk ++∑∑ = = ( )∑∑ = = Φ= m k n j ijkjijkijkjyijk xRfxRxRfxa 1 1 /// ))(()())((,ε ))(()( // 1 1 xSfxSb ijkjijk m k n j ijk∑∑ = = + ( )∑∑ = = Φ++ m k n j ijkjxijki xRfxaxg 1 1 // ))((,)( ε Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 34 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ∑∑ = = + m k n j ijkjijkijk xXfxXc 1 1 / ))(()( (6.1) hay ( ) ( ) ),()()( )()()( ]1[ 1 1 // 1 1 /]1[/ xGxSfxSb xRfxAxf i m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijki ++ = ∑∑ ∑∑ = = = = ε (6.2) trong đó ( ) ),())((,)( //]1[ xRxRfxaxA ijkijkjyijkijk Φ= (6.3) ( ) .))(()( ))((,)()( 1 1 / 1 1 //]1[ ∑∑ ∑∑ = = = = + Φ+= m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjxijkii xXfxXc xRfxaxgxG ε (6.4) Như vậy, nếu );(1 nIRCf Ω∈ là nghiệm của hệ (1.1), thì ),...,( 1 nFFF = ),...,( //1 nff= là nghiệm của hệ ( ) ( ) ),()()( )()()( ]1[ 1 1 / 1 1 ]1[ xGxSFxSb xRFxAxF i m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijki ++ = ∑∑ ∑∑ = = = = ε (6.5) ],,[ bbx −=Ω∈∀ ,,...,2,1 ni = trong đó )(),( ]1[]1[ xGxA iijk cho bởi (6.3), (6.4). Với ),;( IRCAijk Ω∈ ta đặt ( )xAA ijk x n i m k nj ijk Ω∈= = ≤≤ ∑∑= supmax][ 1 1 1 . Giả sử rằng ( ) .1)(supmax )())((,supmax][][ / 1 1 1 // 1 1 1 /]1[ <+ Φ=+ Ω∈= = ≤≤ Ω∈= = ≤≤ ∑∑ ∑∑ xSb xRxRfxaSbA ijkijk x n i m k nj ijkijkjyijk x n i m k nj ijkijkijk εε (6.6) Khi đó, ta có Bổ đề 6.1. Cho );( nIRCXf Ω=∈ và )(),( ]1[]1[ xGxA iijk cho bởi (6.3), (6.4). Giả sử (6.6) đúng. Khi đó, có hệ (6.5) có duy nhất một nghiệm .),...,( ]1[]1[1 ]1[ XFFF n ∈= Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 35 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Chứng minh bổ đề 6.1. Ta viết hệ (6.5) theo dạng của một phương trình toán tử FTF ]1[= trong ),;( nIRCX Ω= (6.7) trong đó ( ) ( ) ).1(),()()( )()()()( ]1[ 1 1 / 1 1 ]1[]1[ nixGxSFxSb xRFxAxFT i m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijki ≤≤++ = ∑∑ ∑∑ = = = = ε (6.8) Hiển nhiên rằng XXT → :]1[ thỏa ( ) ,~ ][][~ /]1[]1[]1[ XijkijkijkX FFSbAFTFT −+≤− ε với mọi .~ , XFF ∈ Khi đó, sử dụng định lí điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm XF ∈]1[ sao cho .]1[ FTF = Vậy với giả thiết )( )1(H và (6.6), nếu );(1 nIRCf Ω∈ là nghiệm của hệ (1.1), thì ),...,( //1 nffF = là nghiệm của hệ (6.5). Theo bổ đề 6.1, hệ (6.5) có một nghiệm duy nhất [ ] [ ]( ) .,..., ]1[111 XFFF n ∈= Vậy ).,...,( //1/]1[ nfffF == Đảo lại, với giả thiết )( )1(H và (6.6). Gọi );( nIRCXf Ω=∈ là nghiệm duy nhất của hệ (1.1). Khi đó )(]1[ xGi cho bởi (6.4) hoàn toàn xác định. Ta cũng chú ý rằng hệ (6.5) có một nghiệm duy nhất .),...,( ]1[]1[1]1[ XFFF n ∈= Ta sẽ chứng minh rằng );(1 nIRCf Ω∈ và ).,...,( //1/]1[ nfffF == Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử Uff = trong ),;(11 nIRCX Ω≡ trong đó ( ) ),()( ))(())((,)()( 1 )( 01 1111 xgdttfc xSfbxRfxaxUf i n j xX jijk m k n j ijkjijk m k n j ijkjijk m k i ijk ++ +Φ= ∑ ∫∑ ∑∑∑∑ == ==== ε (6.9) ],,[ bbx −=Ω∈∀ .,...,2,1 ni = Do đẳng thức (6.9), ta có Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 36 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ( ) ( )[ ]∑∑ = = Φ+Φ= m k n j ijkjijkijkjyijkjxijki xRfxRxRfxxRfxaxUf 1 1 ///// ))(()())((,))((,)()( ε ))(()( // 1 1 xSfxSb ijkjijk m k n j ijk∑∑ = = + ),())(()( / 1 1 / xgxXfxXc i m k n j ijkjijkijk ++∑∑ = = (6.10) ],,[ bbx −=Ω∈∀ ,,...,2,1 ni = do đó ta suy ra từ (6.9) và (6.10) rằng .: 11 XXU → Bây giờ, với mỗi ,0>M ta đặt },,:),(),(sup{)( //1 MyxyxyxMC yx ≤Ω∈Φ+Φ= },,:),(),(sup{)( ////2 MyxyxyxMC yyxy ≤Ω∈Φ+Φ= },: );({ 1 11 MfIRCfK nM ≤Ω∈= ,/ 1 XX fff += .)(sup 1 ∑ =Ω∈ = n i i x X xff Ta cũng chú ý rằng ký hiệu )(1 MC được định nghĩa ở đây cũng thỏa hai bất đẳng thức i) và ii) của bổ đề 3.2. Ta sẽ chứng minh rằng với một cách chọn ε,M thích hợp ta sẽ có 11: MM KKU → là một ánh xạ co. i/ Nghiệm lại rằng .: 11 MM KKU → Cho ,1MKf ∈ với mọi ,Ω∈x ta có từ (6.9) rằng ( )[ ] )()( ))(( )0,()0,())((,)()( 11 )( 011 111 1111 xgdttfc xSfb xxxRfxaxUf i n i n j xX jijk m k n i n j ijkjijk m k n i n j ijkjijk m k n i i n i ijk ∑∑ ∫∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑ ==== === ==== ++ + Φ+Φ−Φ≤ ε ( ) .][][ )0,(sup)(][ 1 Xijkijk x ijk gMcbb xnMMCa +++ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Φ+≤ Ω∈ ε Do đó Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 37 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ( ) .][][ )0,(sup)(][ 1 Xijkijk x ijkX gMcbb xnMMCaUf +++ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Φ+≤ Ω∈ ε (6.11) Mặt khác từ đẳng thức (6.10), ],,[ bbx −=Ω∈∀ ta suy ra [ ] [ ] .][][ ][][)()()( /// / 1 / 1 Xijkijkijkijk ijkijkijki n i gXcSbM RaMaMCxUf +++ +≤∑ = ε Vậy ta có [ ] [ ] .][][ ][][)()( /// / 1 / Xijkijkijkijk ijkijkijkX gXcSbM RaMaMCUf +++ +≤ ε (6.12) Do đó từ (6.11) và (6.12) ta được ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] .][][][][ ][][)1()( )0,(sup][ ][][ ][][)( ][][ )0,(sup)(][ )( 1 // / 1 /// / 1 1 / 1 gXcSbcbbM RaMaMMC xan gXcSbM RaMaMC gMcbb xnMMCa UfUfUf ijkijkijkijkijkijk ijkijkijk x ijk ijkijkijkijk ijkijkijk Xijkijk x ijk XX +++++ +++ Φ= +++ ++ +++ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Φ+≤ += Ω∈ Ω∈ ε ε ε ε (6.13) Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 38 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Từ (6.13), với một cách chọn ε,M thích hợp ta sẽ có .: 11 MM KKU → Muốn vậy ta cần chọn ε,M sao cho [ ] [ ] MgXcSbcbbM RaMaMMC xan ijkijkijkijkijkijk ijkijkijk x ijk ≤+++++ +++ Φ Ω∈ 1 // / 1 ][][][][ ][][)1()( )0,(sup][ ε ε hay [ ] .1][][][][ ][][)11()( )0,(sup][ 1 // / 1 ≤+++++ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++ Φ Ω∈ gXcSbcbb Raa M MC xa M n ijkijkijkijkijkijk ijkijkijk x ijk ε ε (6.14) ii/ Chứng minh :)1,0[∈∃ρ 11 ~~ fffUUf −≤− ρ .~, 1MKff ∈∀ ,~, 1MKff ∈∀ ,~ffh −= với mọi ,Ω∈x ta có ( ) ( ) [ ] [ ] .][][][)( ][][][)( )( ))(( ))((~,))((,)()~( 11 1 1 )( 011 111 1111 hcbbaMC hcbbaMC dtthc xShb xRfxxRfxaxfUUf ijkijkijk Xijkijkijk n j xX jijk m k n i n j ijkjijk m k n i n j ijkjijkjijk m k n i i n i ijk ++≤ ++≤ + + Φ−Φ≤− ∑ ∫∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑ === === ==== ε ε ε Vậy Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 39 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung [ ] .][][][)(~ 11 hcbbaMCfUUf ijkijkijkX ++≤− ε (6.15) Mặt khác từ (6.10), ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑ = == = == = == = == = === + + Φ+ Φ−Φ× + Φ−Φ≤− m k n j ijkjijkijk n i m k n j ijkjijkijk n i m k n j ijkjijkjyijkijk n i ijkjijkjyijkjy m k n j ijkijk n i m k n j ijkjxijkjxijk n i i n i xXhxXc xRhxSb xRhxRfxxRa xRfxRfxxRfx xRa xRfxxRfxaxfUUf 1 1 / 1 1 1 // 1 1 1 /// 1 /// 1 1 / 1 1 1 // 1 / 1 ))(()( ))(()( ))(())((~,)( ))(())((~,))((, )( ))((~,))((,)()~( ε ε ε ( )[ ] [ ] .][][ ][)()((][)( ][][ ][)( ][)(][)( 1 // 1 / 122 /// // 1 / 22 hXcSb hRaMCMMCaMC hXchSb hRaMC hRaMMChaMC ijkijkijkijk ijkijkijk XijkijkXijkijk Xijkijk XijkijkXijk ++ ++≤ ++ + +≤ ε ε εε Do đó Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 40 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ( )[ ] [ ] .][][ ][)()(][)()~( 1 // 1 / 122 / hXcSb hRaMCMMCaMCfUUf ijkijkijkijk ijkijkijkX ++ ++≤− ε (6.16) Do đó từ (6.15) và (6.16) ta được ( ) ( )[ ] 1 // / 1221 / 1 ][][][][ ][)()(][)()( )~(~~ hXcSbcbb RaMCMMCaMCMC fUUffUUffUUf ijkijkijkijkijkijk ijkijkijk XX ++++ +++≤ −+−=− εε (6.17) hay 11 ~~ fffUUf −≤− ρ ,~, 1MKff ∈∀ với ( ) ( )[ ] .][][][][ ][)()(][)()( // / 1221 ijkijkijkijkijkijk ijkijkijk XcSbcbb RaMCMMCaMCMC ++++ +++= ερ (6.18) Chọn ε,M thỏa (6.14) và ( ) ( )[ ] ,1][][][][ ][)()(][)()( // / 1221 <++++ +++= ijkijkijkijkijkijk ijkijkijk XcSbcbb RaMCMMCaMCMCερ (6.19) ta có 11: MM KKU → là một ánh xạ co. Vậy tồn tại duy nhất 1MKf ∈ sao cho .Uff = Điều nầy cũng có nghĩa là hệ phương trình (1.1) có duy nhất một nghiệm );(1 nIRCf Ω∈ và .),...,( ]1[//1/ Ffff n ≡= „ Tương tự, với giả thiết sau đây: )( )2(H ),;(2 nIRCg Ω∈ );();(,, 2, IRCCXSR ijkijkijk Ω∩ΩΩ∈ và ).;(2 IRIRC ×Ω∈Φ Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 41 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Giả sử );(2 nIRCf Ω∈ là nghiệm của hệ (1.1). Đạo hàm hai vế của hệ (6.2), ta thu được ),())(()( ))(())(( ))(()())(()()()( /]1[ 1 1 /// 1 1 //2/ 1 1 //]1[ 1 1 ///]1[// xGxSfxSb xSfxSb xRfxAxRfxRxAxf i m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijk m k n j ijkjijkijki ++ + += ∑∑ ∑∑ ∑∑∑∑ = = = = = == = εε (6.20) hay ),())(())(( ))(()()()( ]2[ 1 1 //2/ 1 1 ///]2[// xGxSfxSb xRfxRxAxf i m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijkijki ++ = ∑∑ ∑∑ = = = = ε (6.21) với ( ) ,))(())((,)()()( 2///]1[]2[ xRxRfxaxRxAxA ijkijkjyijkijkijkijk Φ== (6.22) .))(()( ))(()()()( 1 1 /// 1 1 //]1[/]1[]2[ ∑∑ ∑∑ = = = = + += m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijkii xSfxSb xRfxAxGxG ε (6.23) Như vậy, nếu );(2 nIRCf Ω∈ là nghiệm của hệ (1.1), thì ( )////1// ,..., nfffF == là nghiệm của hệ ),())(())(( ))(()()()( ]2[ 1 1 2/ 1 1 /]2[ xGxSFxSb xRFxRxAxF i m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjijkijki ++ = ∑∑ ∑∑ = = = = ε (6.24) ],,[ bbx −∈∀ ,,...,2,1 ni = trong đó )(),( ]2[]2[ xGxA iijk cho bởi (6.11) và (6.12). Giả sử rằng ( ) .1))((supmax ))(())((,supmax )([][ 2/ 1 1 1 2// 1 1 1 2/]2[ <+ Φ= + Ω∈= = ≤≤ Ω∈= = ≤≤ ∑∑ ∑∑ xSb xRxRfxa SbA ijkijk x n i m k nj ijkijkjyijk x n i m k nj ijkijkijk ε ε (6.25) Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 42 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Khi đó, áp dụng định lí ánh xạ co liên kết với hệ (6.24), ta thu được hệ nầy có duy nhất một nghiệm [ ] =2F XFF n ∈),...,( ]2[]2[1 và do tính duy nhất nghiệm của hệ (6.25) ta suy ra rằng //]2[ fF = .„ Tương tự cho nghiệm khả vi cấp cao, ta thành lập giả thiết sau )( )( pH ),;( np IRCg Ω∈ );();(,,, IRCCXSR pijkijkijk Ω∩ΩΩ∈ và ).;( IRIRC p ×Ω∈Φ Giả sử );( np IRCf Ω∈ là nghiệm của hệ (1.1). Đạo hàm hai vế của hệ (6.2) đến cấp ,1−p ta thu được ),())(())(( ))(()()( ][ 1 1 )(/ 1 1 )(][)( xGxSfxSb xRfxAxf p i m k n j ijk p j p ijkijk m k n j ijk p j p ijk p i ++ = ∑∑ ∑∑ = = = = ε (6.26) trong đó ( ) ,))(())((,)()()( ///]1[][ pijkijkjyijkijkpijkpijk xRxRfxaxRxAxA Φ== − (6.27) và )(][ xG pi được xác định bởi các công thức qui nạp sau ,))(()())(()1( ))(()()()( 1 1 )1(//2/ 1 1 )1(/]1[/]1[][ ∑∑ ∑∑ = = −− = = −−− −+ += m k n j ijk p jijk p ijkijk m k n j ijk p j p ijk p i p i xSfxSxSbp xRfxAxGxG ε (6.28) với ,...3,2=p và ( ) .))(()( ))((,)()( 1 1 / 1 1 //]1[ ∑∑ ∑∑ = = = = + Φ+= m k n j ijkjijkijk m k n j ijkjxijkii xXfxXc xRfxaxgxG ε (6.29) Như vậy, nếu );( np IRCf Ω∈ là nghịêm của hệ (1.1), thì == )( pfF ),...,( )()(1 p n p ff là nghiệm của hệ Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 43 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ),())(())(( ))(()()( ][ 1 1 / 1 1 ][ xGxSFxSb xRFxAxF p i m k n j ijkj p ijkijk m k n j ijkj p ijki ++ = ∑∑ ∑∑ = = = = ε (6.30) ],,[ bbx −∈∀ ,,...,2,1 ni = trong đó [ ] )(),(][ xGxA pipijk cho bởi (6.27), (6.28). Giả sử rằng ( ) .1))((supmax ))(())((,supmax )([][ / 1 1 1 // 1 1 1 /][ <+ Φ= + Ω∈= = ≤≤ Ω∈= = ≤≤ ∑∑ ∑∑ p ijkijk x n i m k nj p ijkijkjyijk x n i m k nj p ijkijk p ijk xSb xRxRfxa SbA ε ε (6.31) Khi đó, hệ (6.19) có duy nhất nghiệm .),...,( ][][1][ XFFF pnpp ∈= Theo tính duy nhất nghiệm của hệ (6.30) ta có [ ] ( ).pp fF = „ Bổ đề 6.2. Giả sử )( )( pH là đúng. Cho );( np IRCf Ω∈ và [ ] )(),(][ xGxA pipijk cho bởi (6.27), (6.28) thỏa điều kiện (6.31). Khi đó hệ (6.30) có duy nhất một nghiệm .),...,( ][][1][ XFFF pnpp ∈= Chứng minh. Ta viết lại hệ (6.30) dưới dạng của một phương trình toán tử FUF p][= trong ),;( nIRCX Ω= (6.32) trong đó ),())(())(( ))(()()()( ][ 1 1 / 1 1 ][][ xGxSFxSb xRFxAxFU p i m k n j ijkj p ijkijk m k n j ijkj p ijki p ++ = ∑∑ ∑∑ = = = = ε (6.33) ],,[ bbx −∈∀ .,...,2,1 ni = Lập luận tương tự ta cũng dễ dàng kiễm tra rằng XXU p →:][ thỏa ,~,~~][][ XFFFFFUFU XX pp ∈∀−≤− β (6.34) trong đó .1])([][ /][ <+= pijkijkpijk SbAεβ Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 44 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Khi đó, sử dụng định lí điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm [ ] XF p ∈ sao cho .][][][ ppp FUF = Hơn nữa nếu );( nIRCXf Ω=∈ là nghiệm của hệ (1.1), ta cũng có );( np IRCf Ω∈ và .][)( pp Ff = „ Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 45 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát hệ phương trình hàm – tích phân phi tuyến trong một khoảng Ω bị chận hoặêc không bị chận của IR, gồm sự tồn tại duy nhất nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận nghiệm theo một tham số bé ε và tính khả vi của nghiệm. Cụ thể hơn, chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình hàm nhờ vào định lí điểm bất động Banach ( chương3 ), sau đó đã nghiên cứu điều kiện đủ để thu được thuật giải cấp hai hội tụ. Kế đó, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình tích phân bị nhiễu bởi một tham số bé ε . Khi đó chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm đến cấp 1 N + theo ε đủ nhỏ. Cuối cùng tính khả vi của nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi của các hàm ijkijkijki XSRg ,,,,Φ cũng được nghiên cứu. Một số kết quả ở chương 3 về sự tồn tại và duy nhất nghiệm và ở chương 4 về thuật giải lặp cấp hai đã được công bố trong [1, 2]. Qua luận văn này, tác giả đã học tập và làm quen với một số công việc khởi đầu trong nghiên cứu. Biết được phương pháp nghiên cứu một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau. Tuy nhiên, với sự hiểu biết hạn chế của tác giả cũng như thời gian ngắn của khoá học, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp và chỉ bảo của Quý Thầy trong hội đồng. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 46 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hồng Danh, Huỳnh Thị Hoàng Dung, Xấp xỉ tuyến tính liên kết với hệ phương trình tích phân – hàm phi tuyến, Tạp chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Tập 6, số 12, (2003), 15 – 25. [2] Huỳnh Thị Hoàng Dung, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Thành Long, Xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình tích phân – hàm phi tuyến, Tạp chí Khoa Học Đại Học Sư Phạm Tp. HCM, Tập 34, No.3 (2003), 38 – 48. [3] Nguyễn Kim Khôi, Nguyễn Hội Nghĩa, Giải số của hệ phương trình hàm, Tạp chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol.3, No.7&8, (2000), 25 – 31. [4] Nguyễn Thành Long, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Kim Khôi, Xấp xỉ nghiệm của một hệ phương trình tích phân bởi một dãy các đa thức hội tụ đều, Tạp chí Khoa Học Đại Học Sư Phạm Tp. HCM, Tập 30, No.2 (2002), 36 – 43. [5] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa, Nguyễn Kim Khôi, Đinh Văn Ruy, On a system of functional equations, Demonstratio Math. 31 (1998), 313 – 324. [6] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa, On a system of func- tionnal equations in a Multi-dimensional domain, Z. Anal. Anw. 19 (2000), 1017 – 1034. [7] Nguyễn Thành Long, Solution approximation of a system of integral equations by a uniformly convergent polynomials sequence, Demonstratio Math. 37, No.1, (2004), 121- 132. [8] Nguyễn Thành Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated with the system of functional equations, Demonstratio Math. 37, No.2, (2004), 349-362. [9] C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu, The system of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA. Bull. Math. 15 (1991), 109-115. Trang 47 MỤC LỤC Lời cảm ơn.........trang 0 Chương 1: Phần tổng quan........trang 1 Chương 2: Các ký hiệu về không gian hàm.trang 4 2.1. Các ký hiệu......................trang 4 2.2. Định lý điểm bất động Banach........................trang 5 Định lý 2.1...................trang 5 Chương 3: Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm........trang 6 Bổ đề 3.1.....trang 6 Bổ đề 3.2.....trang 8 Định lý 3.1......trang10 Chú thích 3.1......trang10 Chương 4: Thuật giải lặp cấp hai........trang12 Định lý 4.1......trang14 Định lý 4.2......trang15 Định lý 4.3......trang19 Chú thích 4.1.....trang 22 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé...trang 24 Bổ đề 5.1...trang 26 Bổ đề 5.2...trang 29 Định lý 5.1......trang30 Chú thích 5.1......trang32 Định lý 5.2......trang32 Chương 6: Tính khả vi của nghiệm......trang33 Bổ đề 6.1....rang 34 Bổ đề 6.2...trang 43 Chương kết luận. trang 45 Tài liệu tham khảo..trang 46 Mục lục:...trang 47