Sai làm về phương diện suy luận Logic thông quan cấu trúc đại số: Nguyên nhân và phương thức khắc phục - Nguyễn Ái Quốc

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 17 (42) - Thaùng 6/2016 31 Errors in logical reasoning through algebraic structures: Causes and solutions rườ Đại học Sài Gòn Ph.D. Nguyen Ai Quoc Sai Gon University Tóm tắt ro bà báo trướ , hú tô đã ê ra sa lầm về phươ d ện suy luận logic của sinh viên khi tìm và chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng trong cấ trú hóm, đồng thời phân tích nguyên nhân sai lầm nà dướ ba q a đ ểm: dạy học truyền th ng, thuyết didactic, thuyết hành vi. Ở bài báo này, chúng tôi xây dựng một giả thuyết nghiên cứu về nguyên nhân sai lầm và tiến hành một thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết này. Từ đó, hú tô đề xuất phươ thức khắc phục sai lầm này ở sinh viên. Từ khóa: suy luận logic, sai lầm, cấu trúc nhóm, phần tử trung hòa, phần tử đối xứng Abstract I o r prev o s art le, we prese ted st de ts’ errors lo al reaso whe the f d a d demonstrate the identity and inverse elements of a group structure. We also analyzed the cause of these errors from the three viewpoints of traditional teaching method, didactics and behaviorism. In this article, we propose a research hypothesis on the cause of these errors and proceed an experimentation to verify this hypothesis, from which we propose solutions to help students avoid these errors. Keywords: logical reasoning, error, structure of group, identity element, inverse element 1. Suy luận logic Trong phần này, chúng tôi trình bày đị h hĩa một s khái niệm l ê q a đến suy luận logic. 1.1. Logic Logic là tính quy luật tro tư tưởng, trong lập luận thể hiện sự rõ ràng, chính xác, mạch lạc của tư d [9, trang 7] 1.2. Phán đoán Phá đoá là hình thức liên kết các khái niệm, phản ánh m i liên hệ giữa các sự vật, hiệ tượng vào trong ý thức của con ười. Mỗ phá đoá hỉ có thể là đú hoặc sai khi nó phù hợp hay không phù hợp với sự vật, hiệ tượng, không có phán đoá ào vừa đú lại vừa sa ũ hư khô ó phá đoá ào khô đú ũ không sai. [9, trang 40] 1.3. Suy luận trong logic học Suy luận là hình thức của tư d hằm rút ra phá đoá mới từ một hay nhiều phá đoá đã ó [9, tra 66] Từ đ ể Le pet t Robert (2016) định hĩa: “ luận là một chuỗi các mệ h đề 32 được gắn kết với nhau theo các nguyên tắc xá định và dẫn tới một kết luậ ” Từ đ ển Encyclopedia Universalis (2009) đị h hĩa: “ l ậ , trước hết là một hoạt độ tư d , một hoạt động suy lý logic mà bằng hoạt độ đó ta đ từ một s mệ h đề ho trướ hư là á t ề đề đến một mệ h đề mới, theo liên kết logic gắn liền nó với các mệ h đề ba đầ : tro ý hĩa này chính là một quá trình di n ra trong ý thức của một chủ thể theo thứ tự thờ a ” 1.4. Suy luận logic trong toán học Trong bài báo này, suy luận logic mà hú tô ó đến là hình thứ tư d sử dụng các lập luận nhằm rút ra một mệ h đề mới từ một hay nhiều mệ h đề đã ó 2. Sơ đồ suy luận logic của phần tử trung lập, phần tử đối xứng 2.1. Sơ đồ suy luận logic ơ đồ suy luận logic được chúng tôi mô hình hóa từ “sơ đồ suy diễn từ nhiều tiền đề” trong logic học ([9, tra 84]) hư sa : 1 2 ... nP P P P    hay 1 2 n P P P P , tro đó 1 2, ,..., nP P P là các mệ h đề giả thiết và P là mệ h đề kết luận. Suy luậ đú đắn (hợp logic) khi mệnh đề 1 2 ... nP P P   là hằ đú ( hĩa là tất cả các mệ h đề 1 2, ,..., nP P P là đú ). 2.2. Sơ đồ suy luận logic của phần tử trung lập, phần tử đối xứng Từ đị h hĩa ủa phần tử trung lập [4, trang 9], phần tử đ i xứng [4, trang 15] chúng tôi lập sơ đồ suy luậ lo hư sa : 1 2 P P P Mệ h đề Phần tử trung lập Phần tử đ i xứng 1P : ,e X ex x x X     , ' : 'x X x X x x e    2P : ,e X xe x x X     , ' : 'x X x X xx e    P X có phần tử trung lập là e 'x là phần tử đối xứng của x 2.3. Sơ đồ suy luận trong bài làm của sinh viên Từ bài làm của s h v ê mà hú tô đã t ến hành khảo sát, chúng tôi lập sơ đồ suy luậ lo hư sa : 1 'P P Mệ h đề Phần tử trung lập Phần tử đ i xứng 1 'P e là nghiệm của phương trìnhex x 'x là nghiệm của phương trình 'x x e P X có phần tử trung lập là e 'x là phần tử đối xứng của x 33 Sai lầm của sinh viên là thiết lập mệnh đề 1 'P , tứ là sa kh tìm được phần tử e và 'x , các em hoàn toàn không kiểm tra vị ngữ của mệ h đề, đồng thời yếu t trung lập trái, trung lập phả (ha đ i xứ trá , đ i xứng phả ) ũ khô được quan tâm. 3. Giả thuyết nghiên cứu Xuất phát từ quan sát hiệ tượng sai lầm của sinh viên di n ra dai dẳng qua nhiề ăm và từ các nguyên nhân sai lầm mà hú tô đã phâ tí h dựa trên quan đ ểm dạy học truyền th , q a đ ểm d da t và q a đ ểm của thuyết hành vi tro bà báo trước, chúng tôi xây dựng một giả thuyết khoa học về nguyên nhân sai lầm của sinh viên trong suy luận logic khi tìm và chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng trong cấ trú hóm hư sa : Tồn tại ở sinh viên kiểu “suy luận logic không đầy đủ” do các kiến thức và kỹ năng suy luận logic chỉ được tiếp nhận rãi rác, đôi khi ngầm ẩn qua một vài bài toán mà không được trang bị đầy đủ và hệ thống. 4. Phương thức khắc phục Nhằm kiểm chứng giả thuyết trên, hú tô đề xuất một phươ thức khắc phục gồm ha bước: Bước 1: trang bị cho sinh viên kiến thức logic mệ h đề trước khi giảng dạy các cấ trú đại s . Chúng tôi thiết kế một bài giảng về lý thuyết logic mệ h đề, vị ngữ - lượng từ. Bài giảng này nhằm cung cấp một á h đầy đủ và hệ th ng các khái niệm toán học liên q a đến suy luận logic, từ đó s h v ê ó ơ sở khoa họ để tư duy hợp lý, có phươ pháp lý l ận chặt chẽ và biết vận dụng vào các bài toán hiệu quả. + Mệ h đề: cung cấp đị h hĩa mệnh đề, các phép toán mệ h đề (phép phủ định, phép tuyển, phép hội, phép kéo theo, phép tươ đươ ), mệ h đề đảo, mệ h đề phản đảo, mệnh đề phức hợp và tươ đươ lo Đặc biệt chúng tôi chú trọ đến các tươ đươ lo q a trọng (luật đồng nhất, luật nu t, luật lũ đẳng, luật phủ định kép, luật giao hoán, luật kết hợp, luật phân ph i, luật De Mor a ,) + Vị ngữ - lượng từ: cung cấp định hĩa vị ngữ, lượng từ một biế , lượng từ hai biến. Chúng tôi nhấn mạ h ý hĩa á mệ h đề lượng từ và phủ định mệ h đề lượng từ đ i vớ lượng từ một biến trong bảng sau: Mệnh đề Đúng Sai  x P x P(x) đú vớ mọ á trị ủa x Có một á trị ủa x để P(x) sai  x P x Có một á trị ủa x để P(x) đú P(x) sa vớ mọ á trị ủa x Mệnh đề phủ định Mệnh đề tương đương Đúng Sai  x P x  x P x Có một á trị ủa x để P(x) sai P(x) đú vớ mọ á trị ủa x  x P x  x P x P(x) sa vớ mọ á trị ủa x Có một á trị ủa x để P(x) đú 34 Chú tô ũ lư ý về trật tự, thứ tự sắp xếp ủa á lượ từ tro lượng từ hai biến trong bảng sau: Mệnh đề Đúng Sai  x y P x, y   y xP x, y  P(x,y) đú vớ mọ ặp (x,y) Có một ặp (x,y) sao cho P(x,y) sai  x y P x, y  Vớ mọ x ó một y sao cho P(x,y) đú Có một x sao cho P(x,y) sai vớ mọ y  x y P x, y  Có một x sao cho P(x,y) đú vớ mọ y Vớ mọ x ó một y sao cho P(x,y) sai  x y P x, y   y x P x, y  Có một ặp (x,y) sao cho P(x,y) đú P(x,y) sa vớ mọ ặp (x,y) Bướ 2: phâ tí h, hướng dẫn cách vận dụng logic mệ h đề trong lý thuyết nhóm khi giảng dạ đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứng. Ở phần này chúng tôi phân tích một vài ví dụ cụ thể trong giảng dạ đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứ để làm sáng tỏ việc vận dụng lý thuyết logic mệnh đề trong khái niệm nhóm. - Cá đị h hĩa tro toá học thườ là đị h hĩa tươ xứng, bao gồm hai thành phần, một phần là khái niệm được định nghĩa, phần kia là khái niệm dùng để định nghĩa ([9, trang 28]), vì vậy á đị h hĩa tro toá học khi di đạt dưới hình thức logic mệnh đề đều là các mệ h đề tươ đươ ro lý th ết nhóm, tuy có một s đị h hĩa phát b ểu dưới dạng mệ h đề“kéo theo” hư vì là “định nghĩa” nên chúng vẫn là mệ h đề tươ đươ Ví dụ ta ó đị h hĩa về hóm ao hoá hư sa : “Nếu phép toán của nhóm là giao hoán thì nhóm được gọi là nhóm giao hoán”. [7, trang 42] Rõ rà ế xem p: “phép toán của nhóm là giao hoán” và q: “nhóm được gọi là nhóm giao hoán” thì ta ó p  q. Tuy h ê , á h h ể hư trê là khô hí h xá vì phát b ể trê là đị h hĩa ê ế “nhóm được gọi là nhóm giao hoán” thì “phép toán của nhóm là giao hoán”, hĩa là p  q, ó á h khá p và q là tươ đươ lo - Cầ lư ý về đị h hĩa tro lý th ết hóm đượ phát b ể dướ dạ mệ h đề lượ từ ha dướ dạ mệ h đề phứ hợp kết hợp vớ lo mệ h đề hư hú vẫ là mệ h đề tươ đươ Ví dụ đị h hĩa phầ tử đ xứ sa là loạ đị h hĩa phát b ể dướ dạ mệ h đề lượ từ kết hợp vớ mệ h đề: “Giả sử * là một phép toán hai ngôi trong tập X có phần tử trung lập là e và x là phần tử tùy ý của X. Ta nói x là phần tử khả đối xứng nếu có một 'x X sao cho '* * 'x x x x e  . Khi đó phần tử 'x gọi là phần tử đối xứng của x (đối với *)”. [7, 35 trang 39] a thấ x ất h ệ mệ h đề lượ từ p: “ x' X : x* x' x'* x e    ” và mệ h đề q: “phần tử 'x gọi là phần tử đối xứng của x (đối với *)” Bỏ q a á ả th ết ba đầ , đị h hĩa trê ho thấ p và q là tươ đươ lo Ví dụ đị h hĩa hóm sa đâ là loạ đị h hĩa phát b ể dướ dạ mệ h đề phứ hợp kết hợp vớ mệ h đề: “Ta gọi là nhóm một nửa nhóm X có các tính chất sau: 1. có phần tử trung lập e; 2. với mọi x X, có một 'x X sao cho ' 'x x xx e  .” [4, trang 15] Đị h hĩa trê hứa mệ h đề phứ hợp bao ồm ba mệ h đề: “X là nửa nhóm”, “có phần tử trung lập e”, và “với mọi x X, có một x’ X sao cho x’x=xx’=e mà ta ầ k ểm tra á trị hâ lý đú ủa mỗ mệ h đề và mệ h đề “X là nhóm”. Lư ý tro kỹ th ật k ểm tra mệ h đề thứ ba ủa mệ h đề phứ hợp trê là v ệ phả k ểm hứ á trị hâ lý đú “với mọi x X” V ệ tìm thấ phầ tử đ xứ hỉ đú ho từ phầ tử hứ khô đảm bảo đú ho “x là phần tử tùy ý của X”, vì vậ sa kh tìm thấ phầ tử 'x ta hất th ết phả k ểm tra b ể thứ đó ó đú ho “với mọi x X” Ví dụ sa là m h hứ ho v ệ k ểm tra là thự sự ầ th ết: Cho S là tập các số thực nằm trong đoạn [0,1]. Ta định nghĩa phép toán * trên tập S như sau:  a* b min a b,1 , a,b S    . Biết  S ,* là vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là 0. Liệu S có là nhóm không ? Tại sao ? [7, trang 69] á trì h tìm phầ tử đ xứ   a* a' 0, a S min a a',1 0 a a' 0 a' a             Suy ra 'a a  là phầ tử đ xứ ủa a Vậ là hóm a lầm trê do ta bỏ q a á ế t “lượ từ” tro mệ h đề “với mọi x X, có một x’ X sao cho x’*x=x*x’=e”, kết l ậ 'a a  là phầ tử đ xứ ủa a hỉ đú tro trườ hợp 0a  Hơ ữa q á trì h tìm k ếm hưa đủ ơ sở để kết l ậ mà v ệ d đạt tro hứ m h thỏa mệ h đề lượ từ là thự sự ầ th ết - Kh ả dạ đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứng trong cấu trúc hóm, á đị h hĩa oà phát b ểu bằng ngôn ngữ mô tả, chúng cần thiết đượ định hĩa dưới hình thức logic mệ h đề lượng từ, cụ thể hư sa : Phần tử trung lập Giả sử đã cho một phép toán “.” trong tập X.  ,.X có phần tử trung lập : . . ,e e X e x x x e x X      Chú tô ũ đề xuất một quy trình kiểm chứng tồn tại hay không tồn tại phần tử trung lập sau: 36 Phần tử đ i xứng Giả sử tập X với phép toán “.” có phần tử trung lập e. x X có phần tử đối xứng ' ' : '. . 'x x X x x e x x    . ươ tự, một quy trình kiểm chứng tồn tại hay không tồn tại phần tử đ i xứng sau: Lư ý á q trì h k ểm chứng tồn tại phần tử trung lập, phần tử đ i xứng trên chỉ hiệu quả cho quá trình tìm và chứng minh các phần tử đó thực sự tồn tại. Đ i với bài toán chứng minh không tồn tại phần tử trung lập hay phần tử đ i xứng, sinh viên cần vận dụng kiến thức phủ định mệ h đề lượng từ đ i vớ lượng từ hai biến mà chúng tôi trang bị ở bước 1 và cầ lư ý rằ kh đó phươ trì h ả định vô nghiệm ha ó hơ một nghiệm. Ví dụ sau giúp chúng ta thấ rõ hơ s luận logic mệ h đề được áp dụng trong chứng minh không tồn tại phần tử đ i xứng: Trên tập hợp Q các số hữu tỷ ta xét phép toán *x y x y xy   . S Đ Đ S 2 ìm k ếm e thông qua phươ trì h ả đị h ex x K ểm tra e th ộ X K ểm tra ,xe x x  Dự đoá khô ó phầ tử tr lập K ểm tra ,ex x x  Kết l ậ e là phầ tử tr lập Đ 1 1 ) S 1: Phương trình có nghiệm duy nhất; 2: Phương trình vô nghiệm hoặc có hơn 1 nghiệm; Đ: Đúng; S: Sai. S Đ Đ S 2 ìm k ếm 'x thông qua phươ trì h ả đị h 'x x e K ểm tra 'x th ộ X K ểm tra 'xx e Dự đoá 'x không có phầ tử đ xứ K ểm tra 'x x e Kết l ậ 'x là phầ tử đ xứ ủa x Đ 1 1 ) S 1: Phương trình có nghiệm duy nhất; 2: Phương trình vô nghiệm hoặc có hơn 1 nghiệm; Đ: Đúng; S: Sai. 37 Cặp (Q,*) có phải một nhóm không? [8, trang 40] Ở đâ hú tô hỉ quan tâm việc vận dụng suy luận logic mệ h đề trong phần chứng minh phần tử đ i xứng nên bỏ qua phần trình bày chứng minh * có tính kết hợp và (Q,*) có phần tử trung lập là 0. Quy trình sau dựa trê sơ đồ suy luận logic của phần tử đ i xứ mà hú tô đã ê trê + Tìm kiếm 'x thô q a phươ trình giả định: '* 0x x   ' ' 0x x x x     ' 1x x x   ' 1 x x x     với 1x   + K ểm tra 'x th ộ : 'x th ộ kh và hỉ kh 1x   . Kết l ậ 1x   khô ó phầ tử đ xứ , đâ ũ là sa lầm khá phổ b ế ở s h v ê vì á em khô b ết vận dụng suy luận logic mệ h đề, đặc biệt là phủ định mệ h đề lượng từ hai biến. Vì vậy, khi ả dạ đị h hĩa phần tử đ i xứng, ví dụ trên thực sự hiệu quả giúp sinh viên hiểu rõ chứng minh một phần tử cụ thể không có phần tử đ xứ là thế nào. rước hết, ta vận dụng phủ định mệ h đề lượng từ hai biế tro đị h hĩa phần tử đ xứ hư sa : Giả sử tập X với phép toán “.” có phần tử trung lập e. Phần tử x X không có phần tử đối xứng : . .y X y x e x y e     . Vậy lời giả đú ho ví dụ trên là: : 1* 1 ( ) 1 0y Q y y y           nên -1 không có phần tử đ xứ 3. Thực nghiệm 3.1. Bài toán thực nghiệm Thực nghiệm được chúng tôi tiến hành vào 01/2016 trê 105 s h v ê à h ư phạm Toán của khoa Toán - Ứng dụng trườ Đại học Sài Gòn với câu hỏi: “Trên tập   2X a,b R ,a 0   , ta định nghĩa phép toán hai ngôi* như sau:          , * , , , , , ,a b c d ac bc d a b c d X    . Chứng minh (X, *) là nhóm.” hờ a thự h ệm là 15 phút và thự h ệm đượ t ế hà h sa kh s h viên đượ tra bị phươ thứ khắ phụ dướ dạ bà ả Sau khi sinh viên làm bài, chúng tôi th sả phẩm ồm bà làm và ấ háp ủa s h v ê để ó thể q a sát đượ á kỹ th ật ả ụ thể và h t ết 3.2. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm này nhằm kiểm chứng tính thỏa đá ủa giả thuyết nghiên cứu. Chúng tôi kỳ vọng sinh viên sẽ vận dụng hiệu quả phươ thức khắc phục trên, từ đó trá h được sai lầm khi tìm và chứng minh phần tử ơ bản trong cấu trúc nhóm. 3.3. Kỹ thuật giải mong đợi - Kỹ thuật 1: sử dụng quy trình kiểm chứng tồn tại phần tử trung lập, phần tử đ i xứ được đề xuất tro phươ thức khắc phục. - Kỹ thuật 2: chứng minh mệ h đề 1 2,P P tro sơ đồ suy luận logic của phần tử trung lập, phần tử đ i xứng là các mệ h đề đú . 3.4. Kết quả thực nghiệm - Kỹ thuật 1 là a đoạn kiểm chứng tồn tại phần tử trung lập, phần tử đ i xứng thô q a phươ trì h ả định. Kỹ thuật “Đạt” khi thỏa mãn các yêu cầu: + Thiết lập đú phươ trì h ả định. + Giả đú h ệm (duy nhất) của phươ trình giả định. a đâ là một trong s các bài giải “Đạt” ủa sinh viên trong giấy nháp: Tìm phần tử trung lập 38 Tìm phần tử đ i xứng - Kỹ thuật 2 là a đoạn chứng minh mệ h đề 1 2,P P là các mệ h đề đú Kỹ thuật “Đạt” khi thỏa mãn các yêu cầu: + Chứ m h đầ đủ các thuộc tính (bên trái, bên phải) trong vị ngữ của mệ h đề + Lượng từ trong các mệ h đề có trật tự chính xác. a đâ là một trong s bà làm “Đạt” ủa sinh viên: Chứng minh phần tử trung lập 39 Chứng minh phần tử đ i xứng Bỏ qua chứng minh phép toán * có tính kết hợp, bả dướ đâ th ng kê yếu t “Kỹ thuật 1” và “Kỹ thuật 2” được trình bày trong giấy nháp và bài làm của sinh viên: Đạt Khô đạt S bài Tỉ lệ S bài Tỉ lệ Kỹ thuật 1 Phần tử trung lập 105 100% 0 0% Phần tử đ i xứng 105 100% 0 0% Kỹ thuật 2 Phần tử trung lập 101 96,19% 4 3,81% Phần tử đ i xứng 99 94,28% 6 5,72% Th ng kê cho thấy 100% sinh viên “Đạt” ê ầu kỹ thuật ở a đoạn tìm phần tử trung lập, phần tử đ i xứng. Trong a đoạn chứng minh, tỉ lệ s h v ê “Đạt” yêu cầu khi chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng lầ lượt là 96,19% và 94,28% mà khô đạt được tỉ lệ 100% hư tro a đoạn tìm các phần tử này vì vẫn còn một s sinh viên không chứng minh đầ đủ các thuộc tính bên phải hay bên trái trong vị ngữ của mệ h đề và khô đảm bảo tính thứ tự của á lượng từ trong mệ h đề. Các sai lầm của sinh viên trong thực nghiệm này phần nào phản ánh khả ă s l ận logic còn hạn chế ở một s sinh viên. 4. Kết luận Kết quả thực nghiệm cho phép chúng tôi kiểm chứng sự thỏa đá ủa giả thuyết nghiên cứu. Thực nghiệm này mặc dù chỉ được thực hiện trong nghiên cứu cấu trúc hóm hư về phươ d ện suy luận logic chúng tôi thấy thực sự cần thiết cho sinh viên học, nghiên cứu và giảng dạy toán. Kết quả nghiên cứu cho thấy sự cần thiết trang bị đầ đủ và hệ th ng các kiến thức về lo toá dà h ho s h v ê sư phạm ăm hất à h toá để hình thành phươ pháp s l ận logic, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ ă ải toán và giảng dạy toán sau này. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châ , Lê Vă ến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic Toán, xb Đại học qu c gia Tp. Hồ Chí Minh. 2. Chươ trì h đào tạo (2012), PL3_SoDoCay_DTU.pdf: Sơ đồ mở lớp học kỳ và năm học của các học phần do khoa Toán - Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn 40 quản lý. Ngành đào tạo: Sư phạm Toán, Bậc đào tạo: Đại học, Loại hình đào tạo: Chính quy, Khoa Toán - Ứng dụ rườ Đại học Sài Gòn. 3. Chươ trì h đào tạo (2012), PL3_SoDoCay_CTU.pdf: Sơ đồ mở lớp học kỳ và năm học của các học phần do khoa Toán - Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn quản lý. Ngành đào tạo: Sư phạm Toán, Bậc đào tạo: Cao đẳng, Loại hình đào tạo: Chính quy, Khoa Toán - Ứng dụ rườ Đại học Sài Gòn. 4. Hoà â í h ( hủ biên) - rầ Phươ Dung (2003), Đại số đại cương, xb Đại học ư Phạm. 5. Lê Th ng Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán, Luận án phó Tiế sĩ khoa họ ư phạm - Tâm lý. 6. Lê Vă ế (2006), “ a lầm của học sinh nhìn từ ó độ các lí thuyết về học tập”, ạp chí Giáo dục, s 137. 7. M V h a (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục. 8. Tôn Thất Trí - Đồ ha h r ết (2014), Giáo trình Đại số đại cương, lư hà h ội bộ rường Đại học Sài Gòn. 9. Chươ h ếp (2013), Logic học, Nxb Đại họ ư phạm Thành ph Hồ Chí Minh. 10. Kenneth H.Rosen (2000), toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, Nxb Khoa học và Kỹ thuật. 11. Salin Marie Helène (1976), Le rôle de l’erreur dans l’apprentissage des mathématiques de l’école primaire, P bl at o s de l’IREM de Bordea x Website 12. m_content&view=article&id=2663:chng- trinh-ao-to-chu-ki-2012- 2016&catid=195:tbaotruong&Itemid=609. 13. cua-le-thong-nhat.html. à hậ bà : 01/6/2016 B ê tập xo : 15/6/2016 D ệt đă : 20/6/2016