Nghiên cứu chất lượng hệ thống điều khiển thiết bị bay bằng phương pháp phân tích hiệp phương sai

Nghiờn cứu khoa học cụng nghệ Tạp chớ Nghiờn cứu KH&CN quõn sự, Số 35 , 02 - 2015 3 Nghiên cứu chất lượng hệ thống điều khiển thiết bị bay bằng phương pháp phân tích hiệp phương sai nguyễn minh hồng*, bùi ngọc mỹ** Tóm tắt: Phân tích hiệp phương sai là một công cụ hữu ích, sử dụng sự trợ giúp của máy tính để phân tích các hệ thống với đầu vào ngẫu nhiên. Sử dụng kỹ thuật này ta nhận được các dự đoán thống kê các trạng thái bất kỳ hoặc tổ hợp các trạng thái là một hàm theo thời gian. Phân tích hiệp phương sai là một kỹ thuật khá phổ biến trong các bài toán liên quan tới dẫn đường quán tính và ước lượng tối ưu. Trong bài báo này, chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật phân tích hiệp phương sai cùng với khái niệm “bộ lọc tạo hình” để có được những đánh giá về chất lượng trong các hệ thống điều khiển thiết bị bay và cụ thể là các hệ thống dẫn tên lửa. Từ khóa: Phân tích hiệp phương sai, Điều khiển thiết bị bay, Tên lửa. 1. đặt vấn đề Khi khảo sát, đánh giá chất lượng của các luật dẫn, thường chỉ giới hạn trong trường hợp các đầu vào vòng điều khiển là các yếu tố tiền định [6, 7]. Tuy nhiên, trong thực tế thì giả thiết này khó được đảm bảo. Chẳng hạn như thời điểm xuất hiện của mục tiêu thường không biết trước nên thông tin về thời gian bay còn lại ( got ) cũng không biết trước. Do đó, để có thể đánh giá được một cách tổng quát chất lượng của một hệ thống điều khiển bay nào đó, cần phải xét tới tính ngẫu nhiên trong bài toán dẫn tên lửa, cũng như ảnh hưởng của nó tới các tham số dẫn đường như thế nào? (sự méo của thông tin thu được trong bài toán với các đầu vào là tiền định). Trong trường hợp này, người ta thường sử dụng phương pháp liên hợp [5, 8, 9] để đánh giá chất lượng của hệ thống điều khiển bay. Đặc biệt phương pháp liên hợp thể hiện rõ thế mạnh, sự ưu việt khi sử dụng để đánh chất lượng của các hệ thống tuyến tính nói chung với tác động đầu vào ngẫu nhiên [8]. Tuy nhiên như trong [6] đã chỉ rõ: phương pháp liên hợp chỉ đánh giá được chất lượng của hệ thống tại thời điểm kết thúc (thời điểm quan sát) mà không đánh giá được chất lượng của hệ thống trong của quá trình. Một phương pháp đánh giá chất lượng của các hệ thống tuyến tính khác được sử dụng khi tác động đầu vào ngẫu nhiên đó là phương pháp phân tích hiệp phương sai [3, 4]. Phương pháp này cho phép đánh giá chất lượng của hệ thống trong cả quá trình. Trong bài báo sẽ sử dụng phương pháp này để đánh giá chất lượng của hệ thống điều khiển bay với thời điểm xuất hiện của mục tiêu một cách ngẫu nhiên. 2. cơ sở lý thuyết 2.1. Biểu diễn các mục tiêu cơ động trong thực tế bằng các bộ lọc tạo hình Khái niệm bộ lọc tạo hình đã được sử dụng trong phân tích và tổng hợp các hệ thống vật lý bởi vì nó cho phép thay thế một hệ thống với đầu vào ngẫu nhiên bằng một hệ thống mới. Hệ thống mới này là hệ thống gốc bổ xung thêm bộ lọc tạo hình với tác động đầu vào là nhiễu tạp trắng Gauss [1, 2]. Fitzgerald đã chỉ ra rằng, bộ lọc tạo hình được kích thích bởi nhiễu tạp trắng Gauss có thể sử dụng mô tả mô hình thống kê của tín hiệu với dạng đã biết nhưng thời điểm bắt đầu là ngẫu nhiên [1]. Nếu dạng của tín hiệu đã biết và là ( )h t , có thời điểm phát hiện là ngẫu nhiên, thì tín hiệu được biểu diễn như sau [2]: ( ) ( ) ( )x t h t T u t T   (1) ở đây ( )u t T là hàm bậc thang đơn vị với độ trễ T ngẫu nhiên được xác định như sau: Tờn lửa & Thiết bị bay N. M. Hồng, B. N. Mỹ “Nghiờn cứu chất lượng hệ thống điều khiển hiệp phương sai.” 4 0, t < T ( ) 1, T<t<t F u t T      (2) Với T là thời điểm phát hiện sự ngẫu nhiên. Gọi ( )TP t là hàm mật độ phân bố xác suất của T . Chú ý rằng, mặc dù ( )h t là tiền định nhưng hàm ( )x t là ngẫu nhiên vì thời điểm bắt đầu ngẫu nhiên. Fitzgerald [1] đã chứng minh rằng khi tác động vào bộ lọc tạo hình là nhiễu tạp trắng Gauss sẽ nhận được đầu ra có giá trị trung bình và hàm tự tương quan tương đương với giá trị trung bình và phương sai của tín hiệu cho bởi phương trình (1). Để đơn giản, ta sẽ giả thiết rằng thời điểm phát hiện sự cơ động của thiết bị bay có phân bố đều trong toàn khoảng thời gian  0, Ft . Khi đó hàm mật độ xác suất có dạng: 1 , T t ( ) 0, t t F FT F t tP t        (3) Sự cơ động của mục tiêu là rất đa dạng. Trong bài báo này ta chỉ xét một trường hợp đơn giản là mục tiêu cơ động dạng bậc thang (hình 1). Các trường hợp khác (cơ động dạng hình sin, dạng xung, ) xét tương tự. Kết quả đã được P. Zarchan đưa ra trong [2]. Hình 1. Mô tả cơ động bậc thang trong miền thời gian Chú ý: Trong tất cả các kết quả khảo sát trong bài báo chỉ xét với các thành phần vị trí (y), vận tốc ( ) và gia tốc ( ) trên trục Y của hệ trục tọa độ gắn với mặt đất. Tên lửa và mục tiêu coi là các chất điểm. Trong hình 1 ta kí hiệu Ty là trục biểu diễn đại lượng gia tốc pháp tuyến của mục tiêu. Tn là giá trị gia tốc pháp tuyến của mục tiêu. ứng với hình 1 sự cơ động của mục tiêu được mô tả bởi phương trình sau: ( ) ( )Tx t n u t T  (4) Do đó, hàm tự tương quan của tín hiệu này với thời điểm xuất hiện ngẫu nhiên được xác định bởi: 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( )xx t Tt t x t x t p T dT      (5) Thay (3) vào (5) và với giả thiết 1 2 FT t t t   . Khi đó (5) trở thành: 2 1 2( , ) Ft T xx F T n t t dT t    (6) 1 ( ) , 0 tT F F P t t t    Nghiờn cứu khoa học cụng nghệ Tạp chớ Nghiờn cứu KH&CN quõn sự, Số 35 , 02 - 2015 5 Mặt khác hàm tự tương quan của đầu ra một hệ thống tuyến tính với đáp ứng xung ( )W t với đầu vào nhiễu trắng được mô tả bởi [3] 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) W( ) W( ) ( , ) t t yy uu T T t t t t d d           (7) Với uu là hàm tự tương quan của nhiễu tạp trắng Gauss là [3] 1 2 1 1 2( , ) ( ) ( )uu uq        trong đó là hàm mật độ phổ của nhiễu trắng. Giả sử , khi đó, chúng ta có: 1 1 2 1 1 1 2 2 1( , ) ( )W( )W( ) d t yy u T t t q t t       (8) trong đó ( ) ( ) 0( ) u F u F q T t t q t t T t t        Khi đó (8) trở thành 1 1 2 1 1 2 2 1( , ) W( )W( )d t yy u T t t q t t      (9) Phương trình (9) và (6) tương đương nếu 2 ; ( ) 1Tu F n q W t t   Do đó, nếu mục tiêu cơ động dạng bậc thang có độ lớn Tn với thời điểm bắt đầu cơ động có phân bố đều trên khoảng thời gian  0, Ft có hàm tương quan tương đương với một mạng tuyến tính với hàm truyền. 1 W( )s s  (10) 2.2. Phân tích hiệp phương sai Để có thể sử dụng phương pháp phân tích hiệp phương sai, cần phải chuyển hệ thống từ sơ đồ khối sang cách biểu diễn trong không gian trạng thái hoặc một hệ các phương trình vi phân bậc nhất tương đương được biểu diễn dưới dạng ma trận. Động lực học của một hệ thống tuyến tính bất kỳ với đầu vào là nhiễu tạp trắng Gauss được biểu diễn qua phương trình vi phân véc tơ bậc nhất như sau: ( ) ( ) ( ) ( )x t F t x t u t  (11) Với ( )x t là véc tơ trạng thái hệ thống, ( )F t là ma trận động lực học hệ thống trong không gian trạng thái và ( )u t là một véc tơ nhiễu tạp trắng Gauss với ma trận mật độ phổ ( )Q t như sau: ( ) ( ) ( )TQ t E u t u t    (12) Phương trình vi phân ma trận mô tả hiệp phương sai của hệ thống tổng quát này là [3,4]  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TX t F t X t F t X t Q t   (13) ở đây ma trận hiệp phương sai ( )X t liên hệ với véc tơ trạng thái ( )x t theo biểu thức: ( ) ( ) ( )TX t E x t x t    (14) Tờn lửa & Thiết bị bay N. M. Hồng, B. N. Mỹ “Nghiờn cứu chất lượng hệ thống điều khiển hiệp phương sai.” 6 Các phần tử trên đường chéo chính của ma trận hiệp phương sai biểu diễn các phương sai của các biến trạng thái nếu như kỳ vọng của quá trình nhiễu loạn là không. Các phần tử ngoài đường chéo chính của ma trận hiệp phương sai biểu diễn mức độ tương quan giữa các biến trạng thái khác nhau. 3. kết quả mô phỏng và thảo luận Để chứng minh cho sự hiệu quả của bài toán đặt ra, ở đây sẽ sử dụng phương pháp hiệp phương sai để đánh giá chất lượng vòng tự dẫn tên lửa với tham số đầu vào vòng tự dẫn là sự cơ động của mục tiêu với thời điểm phát hiện là ngẫu nhiên. Tiến hành mô phỏng đánh giá độ lệch chuẩn của độ trượt của hệ thống tự dẫn; độ lệch chuẩn của gia tốc đòi hỏi,.... Coi mô hình hệ thống điều khiển bay như một khâu quán tính bậc một. Hệ thống dẫn sử dụng luật dẫn tiếp cận tỉ lệ, vòng tự dẫn sử dụng cho mô phỏng kiểm nghiệm có sơ đồ cấu trúc được chỉ ra trên hình 2. Để đơn giản, ta sẽ chỉ xét mục tiêu cơ động có dạng bậc thang với thời điểm phát hiện ngẫu nhiên có phân bố chuẩn. Trên hình 2, sự cơ động ngẫu nhiên của mục tiêu được mô hình hóa qua bộ lọc tạo hình tương đương, ở đó nhiễu tạp trắng Gauss đi qua một khâu tích phân. Mật độ phổ của đầu vào nhiễu trắng Su là S 2 /S T Fn t  (15) ở đây Tn là cường độ cơ động của mục tiêu và Ft là thời điểm gặp, là vận tốc tiếp cận giữa tên lửa và mục tiêu, N’ là hệ số dẫn. Để áp dụng kỹ thuật phân tích hiệp phương sai cho vòng tự dẫn (hình 2), chúng ta phải chuyển sơ đồ khối này sang dạng không gian trạng thái. Hình 2. Vòng tự dẫn sử dụng luật dẫn tiếp cận tỉ lệ với mục tiêu cơ động ngẫu nhiên Ta có các phương trình vi phân mô tả vòng tự dẫn như sau: ' ' ( ) C T C T C F N V y y y N V D y D T V t t              Ty (16) 1 ; ( ) s C F y y u D D T V t t          y (17) Vì hệ các phương trình trên là các hàm của các trạng thái, do đó chúng ta có thể viết lại dưới dạng ma trận trạng thái như sau: 0 1 0 0 0'' 0 1 ( ) 0 0 0 0 0 01 1 0 0 ( ) C F T T s C F y yN VN T t t Ty y y y u D D TV t t T                                                  (18) Nghiờn cứu khoa học cụng nghệ Tạp chớ Nghiờn cứu KH&CN quõn sự, Số 35 , 02 - 2015 7 Bằng cách so sánh phương trình vi phân ma trận trên với phương trình không gian trạng thái tổng quát, chúng ta có thể thấy rằng véc tơ trạng thái trong ví dụ này có dạng:  TTx y y y D   (19) Và ma trận động lực học hệ thống cho bởi: 0 1 0 0 '' 0 1 ( ) 0 0 0 0 1 1 0 0 ( ) C F C F N VN T t t T F TV t t T                    (20) Và ( )u t có dạng:  0 0 0 Tsu u (21) Do đó ma trận mật độ phổ có dạng: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S Q             (22) ở đây S đã được xác định trước. Tích phân phương trình vi phân ma trận phi tuyến hiệp phương sai tạo ra thông tin thống kê cho tất cả các trạng thái. Với ví dụ vòng tự dẫn này, độ lệch chuẩn của quỹ đạo tương đối y tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của phần tử đầu tiên trên đường chéo chính của ma trận hiệp phương sai X , hay ( ) (1,1)y t X  (23) Để giải phương trình vi phân (13), ta sử dụng phương pháp Runge – Kutta bậc bốn để đảm bảo được độ chính xác. Giả sử mục tiêu cơ động với cường độ 3g và có dạng phân bố chuẩn, hệ số dẫn N’ = 3, thời gian bay tF = 10s, vận tốc tiếp cận VC = 1000 m/s. Kết quả mô phỏng nhận được độ lệch chuẩn của quỹ đạo so với quỹ đạo tính toán như trên hình 3. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Thời Gian (s) Đ ộ L ệc h C hu ẩn C ủa Đ ộ Tr ượ t ( m ) t F = 5s t F = 10s t F = 20s Hình 3. Độ lệch chuẩn của độ trượt theo thời gian với các giá trị tF khác nhau. Nhận xét: Hình 3 biểu diễn độ lệch chuẩn của khoảng cách tương đối giữa tên lửa - mục tiêu [căn bậc hai phần tử đầu tiên của ma trận hiệp phương sai biểu diễn độ lệnh chuẩn ( )y t ] với thời gian bay là 5s, 10s, 20s. Ta có bảng các giá trị cụ thể của độ lệch chuẩn của độ trượt tại các thời điểm tF khác nhau Tờn lửa & Thiết bị bay N. M. Hồng, B. N. Mỹ “Nghiờn cứu chất lượng hệ thống điều khiển hiệp phương sai.” 8 Bảng 1. Các giá trị độ lệch chuẩn của độ trượt tại các thời điểm tF khác nhau. Thời gian bay tF (s) 5 10 20 30 40 Độ lệch chuẩn (m) 5.64 4.05 2.86 2.34 2.02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 60 80 100 120 140 Thời Gian (s) Đ ộ L ệ ch C h u ẩ n C ủ a Đ ộ T rư ợ t (m ) N'=3 N'=4 N'=5 Hình 4. Sự biến thiên độ lệch chuẩn thời gian với các hệ số dẫn khác nhau. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 50 100 150 200 250 300 Thời Gian (s) Đ ộ L ệc h C hu ẩn C ủa Đ ộ T rư ợt ( m ) n T = 3 n T = 4 n T = 5 n T = 6 Hình 5. Độ lệch chuẩn của độ trượt theo thời gian với các mức cơ động khác nhau của mục tiêu. Bảng 2. Các giá trị độ lệch chuẩn của độ trượt tại thời điểm tF = 10 s với các giá trị hệ số dẫn khác nhau. Hệ số dẫn N’ 3 4 5 Độ lệch chuẩn (m) 4.05 1.65 1.01 Bảng 3. Các giá trị độ lệch chuẩn của độ trượt tại các mức cơ động khác nhau của mục tiêu. nT (g) 3 4 5 6 Độ lệch chuẩn (m) 4.05 5.39 6.74 8.09 Từ bảng 1 và hình 3 ta nhận thấy hình dạng đường cong biểu diễn độ lệch chuẩn của độ trượt gần tương tự nhau, khi tăng thời gian bay tF thì độ lệch chuẩn cực đại cũng tăng theo, trong khi đó độ lệch chuẩn tại thời điểm tF lại giảm đi. Điều đó có nghĩa là khi tăng thời gian bay tF thì sự tản mát của giá trị độ trượt xung quanh giá trị độ trượt tính toán tại thời điểm tF giảm. Hình 4 biểu diễn sự biến thiên độ lệch chuẩn theo thời gian với các giá trị hệ số dẫn khác nhau. Ta nhận thấy rằng khi tăng hệ số dẫn thì giá trị cực đại của độ lệch chuẩn giảm, đồng thời kết hợp với bảng 2 thì giá trị của độ lệch chuẩn tại thời điểm tF cũng giảm. Như vậy khi tăng hệ số dẫn sẽ làm tăng độ “chụm” của giá trị độ trượt. Hình 5 biểu diễn sự biến thiên độ lệch chuẩn theo thời gian của độ trượt với các mức cơ động khác nhau của mục tiêu. Ta nhận thấy khi tăng mức cơ động thì độ lệch chuẩn của độ trượt nói chung là đều tăng trong toàn bộ quá trình bay. Điều đó có nghĩa là làm giảm độ chính xác trong đánh giá chất lượng của hệ thống dẫn. Cũng từ hình 3, hình 4 và hình 5 ta nhận thấy rằng, phương pháp phân tích hiệp phương sai không cho ta toàn bộ thông tin về độ lệch chuẩn của độ trượt tại tất cả các thời gian bay tF như khi sử dụng phương pháp liên hợp chỉ trong một lần thực hiện tính toán. Nhưng bằng phương pháp phân tích hiệp phương sai ta lại có thông tin về độ lệch chuẩn tại tất cả các thời điểm trong quá trình bay. Nghiờn cứu khoa học cụng nghệ Tạp chớ Nghiờn cứu KH&CN quõn sự, Số 35 , 02 - 2015 9 4. kết luận Như vậy trong bài báo này, ta đã sử dụng kỹ thuật phân tích hiệp phương sai để có những đánh giá về chất lượng của hệ thống dẫn tên lửa với tác động đầu vào là sự cơ động của mục tiêu với thời điểm bắt đầu là ngẫu nhiên. Để có thể áp dụng được kỹ thuật này, chúng ta đã biểu diễn sự cơ động ngẫu nhiên của mục tiêu bằng các “bộ lọc tạo hình”. Bằng các mô phỏng, chúng ta đã có những đánh giá về thông tin độ lệch chuẩn của độ trượt theo thời gian và cũng bằng mô phỏng mà ta biết được sự thay đổi độ lệch chuẩn như thế nào khi một số thông số thay đổi chẳng hạn như: hệ số dẫn; thời gian bay tổng tF, mức độ cơ động của mục tiêu. Tài liệu tham khảo [1]. Fitzgerald, R. J., “Shaping Filters for Disturbances with Random Starting Times”, Journal of Guidance and Control, Vol. 2, March–April 1979, pp. 152–154. [2]. Zarchan, P., “Representation of Realistic Evasive Maneuvers by the Use of Shaping Filters”, Journal of Guidance and Control, Vol. 2, July–Aug. 1979, pp. 290–295. [3]. Gelb, A.,Applied Optimal Estimation, MIT Press, Cambridge, MA, 1974. [4]. Bryson, A. E., and Ho, Y. C.,Applied Optimal Control, Blaisdell, Waltham, MA, 1969. [5]. Martin Weiss, “Adjoint Method for Missile Performance Analysis on State-Space Models”, Journal of Guidance and Control,Vol. 28, No. 2, March–April 2005. [6]. Zarchan P (1997), Tactical and Strategic Missile Guidance (3nd Edition). [7]. Modern Homing Missile Guidance Theory and Techniques – Neil F. Palumbo, Ross A. Blauwkamp, and Justin M. Lloyd – 2010. [8]. Laning, J. H., and Battin, R. H.,Random Processes in Automatic Control, McGraw-Hill, New York, 1956. [9]. Aerospace Applications of Adjoint Theory - Domenic Bucco – 2010. abstract research quality of flight equipment control system by analysis of covariance. Analysis of covariance is a useful tool, using the aid of computers to analysis of systems with random input. Using this technique we obtain the statistical predictions of any state or combination of states as a function of time. Analysis of covariance is a fairly common technique in problems related to inertial navigation and optimal estimation. In this paper, we use technical analysis of covariance with the concept of shaping filters to get the evaluation of quality systems and flight control equipment namely missile guidance systems. Keywords: Analysis of covariance, Flight control equipment, Missiles. Nhận bài ngày 10 thỏng 08 năm 2014 Hoàn thiện ngày 02 thỏng 02 năm 2015 Chấp nhận đăng ngày 10 thỏng 02 năm 2015 Địa chỉ: * Bộ mụn Tờn lửa – Khoa Kỹ thuật điều khiển – Học viện KTQS. ** Phũng Đào tạo – Viện KH-CN quõn sự.