Luận văn Về sự tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại trong vành chia

ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN -----o0o----- TRAÀN THANH LOÄC VEÀ SÖÏ TOÀN TAÏI NHOÙM CON CHUAÅN TAÉC TOÁI ÑAÏI TRONG VAØNH CHIA Chuyeân ngaønh: ÑAÏI SOÁ VAØ LYÙ THUYEÁT SOÁ Maõ soá: 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC PGS.TS. Buøi Xuaân Haûi TP. HOÀ CHÍ MINH - 2011 LÔØI CAÛM ÔN Trong nhöõng doøng ñaàu tieân cuûa luaän vaên naøy, toâi kính göûi nhöõng tình caûm toát ñeïp nhaát vaø loøng bieát ôn chaân thaønh cuûa mình ñeán PGS. TS. Buøi Xuaân Haûi, tröôûng boä moân Ñaïi Soá, khoa Toaùn-Tin hoïc, tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Ñaïi Hoïc Quoác Gia thaønh phoá Hoà Chí Minh, ngöôøi thaày ñaõ daïy doã toâi trong nhöõng naêm ôû baäc Ñaïi hoïc, Cao hoïc, vaø cuõng laø ngöôøi ñaõ heát loøng taän tuïy höôùng daãn toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Xin ñöôïc khaéc ghi coâng ôn giaûng daïy cuûa taát caû caùc thaày coâ trong khoa Toaùn-Tin hoïc cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Ñaïi Hoïc Quoác Gia thaønh phoá Hoà Chí Minh. Caùc thaày coâ ñaõ daønh cho toâi taát caû taám loøng ``ngöôøi thaày'' trong nhöõng naêm hoïc ôû baäc Ñaïi hoïc vaø Cao hoïc. Chính nhöõng kieán thöùc maø toâi tieáp thu ñöôïc töø thaày coâ trong suoát nhöõng naêm qua laø neàn taûng heát söùc quan troïng ñeå toâi coù theå hoaøn thaønh ñöôïc luaän vaên naøy. Toâi cuõng xin baøy toû loøng bieát ôn caùc thaày coâ trong Ban Giaùm Hieäu nhaø tröôøng, Ban Chuû Nhieäm khoa Toaùn - Tin hoïc, Phoøng Sau Ñaïi hoïc cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Ñaïi Hoïc Quoác Gia thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ nhieät tình giuùp ñôõ vaø taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp Cao hoïc. Xin caûm ôn taát caû caùc baïn trong lôùp Cao hoïc Toaùn Ñaïi Soá khoùa 18 cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân. Cuoái cuøng, toâi xin daønh taát caû nhöõng gì thaân thöông nhaát, trong ñoù coù loøng bieát ôn saâu laéng nhaát cho gia ñình vaø cuõng xin ñöôïc daønh taëng taát caû nhöõng coá gaéng, thaønh coâng naøy nhö moùn quaø tinh thaàn cho gia ñình cuûa toâi. Thaønh phoá Hoà Chí Minh, thaùng 5 naêm 2011 Taùc giaû Traàn Thanh Loäc MUÏC LUÏC 1 TOÅNG QUAN 3 2 KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 6 2.1 AÙnh xaï Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Ñaïi soá chia vaø vaønh chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Nhoùm chia ñöôïc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Nhoùm Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 SÖÏ TOÀN TAÏI NHOÙM CON CHUAÅN TAÉC TOÁI ÑAÏI TRONG VAØNH CHIA 24 KEÁT LUAÄN 34 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 35 Chöông 1 TOÅNG QUAN Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt söï toàn taïi cuûa caùc nhoùm con toái ñaïi chuaån taéc treân vaønh chia vaø moät soá tính chaát cuûa caùc nhoùm naøy qua caùc böôùc sau: Cho D laø moät ñaïi soá chia höõu haïn chieàu coù taâm F , D ′ laø nhoùm hoaùn töû cuûa nhoùm nhaân D∗ = D − {0}. Trong luaän vaên naøy chuùng toâi seõ chöùng minh söï toàn taïi cuûa caùc nhoùm con toái ñaïi trong F ∗ coù lieân heä chaët cheõ ñeán söï toàn taïi cuûa chuùng trong D∗. Böôùc ñaàu tieân cuûa quaù trình naøy laø khaûo saùt söï toàn taïi nhoùm con toái ñaïi treân caùc tröôøng soá hoïc nhö Q,R vaø C. Cuï theå, ta ñöôïc R∗ laø nhoùm nhaân cuûa taäp caùc soá thöïc R chæ coù moät nhoùm con toái ñaïi lieân keát vôùi pheùp tính trò tuyeät ñoái treân R. Tröôøng hôïp khaû quan hôn ñoái vôùi tröôøng höõu tyû Q. Ta seõ chöùng minh raèng Q ∗ coù nhieàu nhoùm con toái ñaïi höõu haïn chieàu vôùi caùc valuation treân Q vaø sau ñoù ta seõ chöùng minh ñoái vôùi caùc tröôøng ñoùng ñaïi soá maø cuï theå laø tröôøng soá phöùc C seõ khoâng toàn taïi nhoùm con toái ñaïi. Tieáp theo, ta chöùng minh raèng neáu toàn taïi moät A laø cyclic ñaïi soá trung taâm ñôn treân tröôøng F , nghóa laø A cyclic vaø laø moät ñaïi soá Brauer treân F thì F ∗ seõ chöùa nhoùm con toái ñaïi. Töø ñoù, ta ñi ñeán keát luaän laø neáu F laø tröôøng ñòa phöông hoaëc tröôøng toaøn cuïc thì F ∗ seõ coù nhoùm con toái ñaïi vì caùc ñaïi soá Brauer cuûa F trong tröôøng hôïp naøy ñeàu cyclic. Sau ñoù, ta seõ khaûo saùt tieáp caùc tröôøng hôïp toàn taïi nhoùm con toái ñaïi treân tröôøng F vaø thaáy raèng neáu Brp (F ) khoâng taàm thöôøng, vôùi p laø soá nguyeân toá, thì khi F coù ñaëc tröng 0, coù ñaëc tröng p hay coù ñaëc tröng khaùc p nhöng chöùa taát caû caùc nghieäm caáp p cuûa 1 thì F ∗ chöùa nhoùm con toái ñaïi. Môû roäng keát quaû ñaït ñöôïc cho tröôøng, ta seõ thieát laäp söï lieân heä nhoùm con toái ñaïi treân tröôøng vôùi nhoùm con toái ñaïi chuaån taéc treân ñaïi soá chia D nhaän F laøm taâm. Môû ñaàu ta seõ ñöôïc keát quaû, neáu D laø vaønh chia type 2 vaø F coù moät valuation rôøi raïc thì trong D∗ seõ toàn taïi nhoùm con toái ñaïi, töø ñoù ta suy ra raèng neáu D laø F -ñaïi soá chia 3 Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 4 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá höõu haïn chieàu thì D∗ cuõng coù nhoùm con toái ñaïi. Sau ñoù, keát quaû seõ ñöôïc phaùt trieån thaønh F chæ caàn coù Krull valuation vaø nhoùm giaù trò cuûa noù coù nhoùm con toái ñaïi, khi ñoù moïi ñaïi soá chia höõu haïn chieàu D treân tröôøng F ñeàu coù nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi. Töø tính chaát naøy, ta coù theå keát luaän laø trong moïi ñaïi soá chia D coù taâm F vôùi F laø tröôøng soá hoïc hay tröôøng ñòa phöông ñeàu toàn taïi nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi. Tieáp theo, ta seõ xeùt tröôøng hôïp cuï theå vôùi D laø vaønh chia quaternion thöïc. Khi ñoù trong D∗ khoâng toàn taïi nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi. Tuy nhieân neáu D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn thì D ñöôïc xem laø Z (D) ñaïi soá chia neân ñöôïc döï ñoaùn laø seõ toàn taïi nhoùm con toái ñaïi trong D∗. Cuoái cuøng ta seõ ñi ñeán ñònh lyù, vôùi D laø vaønh chia höõu haïn chieàu treân taâm F , neáu nhoùm G (D) khoâng cyclic thì moïi phaàn töû cuûa D∗ ñöôïc chöùa trong moät nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi; coøn ngöôïc laïi, neáu F ∗ toàn taïi nhoùm con toái ñaïi chöùa Z (D′) thì moïi phaàn töû cuûa D∗ cuõng ñöôïc chöùa trong moät nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi naøo ñoù. Ñeå thöïc hieän cuï theå caùc yù töôûng treân, phaàn coøn laïi cuûa luaän vaên naøy ñöôïc chia thaønh caùc phaàn cuï theå sau: Chöông 2: Chuùng toâi khaûo saùt moät soá kieán thöùc cô baûn sau: Phaàn 2.1: Phaàn naøy seõ trình baøy veà caùc ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa aùnh xaï valuation treân tröôøng, cuï theå laø veà Krull valuation, valuation rôøi raïc, vaø p-adic valuation. Phaàn 2.2: Chuùng toâi seõ khaûo saùt veà ñaïi soá chia vaø vaønh chia cuøng moät soá tính chaát coù lieân quan cuûa caùc nhoùm nhaân hoaùn töû, coäng hoaùn töû cuûa vaønh chia. Phaàn 2.3: Chuùng toâi seõ tìm hieåu sô löôïc veà caùc nhoùm chia ñöôïc, nhoùm torsion vaø söï toàn taïi cuûa nhoùm con toái ñaïi treân nhoùm chia ñöôïc. Phaàn 2.4: Chuùng toâi ôû phaàn naøy seõ tìm hieåu cuï theå veà nhoùm Brauer treân tröôøng F vaø caùc tính chaát cuûa noù, moái lieân heä cuûa caùc ñaïi soá Brauer vôùi caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn vaø thaønh laäp caùc ñaïi soá Brauer cho tröôøng môû roäng E cuûa F . Vaø sau ñoù, chuùng toâi seõ tìm caùch thaønh laäp caùc F -ñaïi soá chia cyclic vaø moät soá tính chaát cuûa chuùng. Chöông 3: Döïa vaøo caùc keát quaû ñaït ñöôïc ôû nhöõng phaàn treân, chuùng toâi seõ tieán haønh khaûo saùt söï toàn taïi cuûa caùc nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi treân tröôøng F vaø caùc ñaïi soá chia taâm F nhö yù töôûng ñaõ ñeà ra. Cuoái cuøng laø phaàn keát luaän cho luaän vaên vaø danh muïc caùc taøi lieäu tham khaûo. Luaän vaên naøy ñöôïc thöïc hieän döïa treân baøi baùo [1], nhöng caùc keát quaû trong [1] laïi ñöôïc trình baøy khaù vaén taét. Do ñoù, trong luaän vaên naøy, chuùng toâi seõ chöùng minh Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 5 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá vaø kieåm tra moïi thöù moät caùch chi tieát, roõ raøng vaø hôïp lyù nhaát. Chöông 2 KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 2.1 AÙnh xaï Valuation Ñònh nghóa 2.1.1. Cho G laø moät nhoùm coù thöù töï, ta goïi G ∪ {∞} laø moät nhoùm xaï aûnh vôùi kí töï ∞ neáu noù thoõa ñieàu kieän sau: a) ∀a ∈ G, a < ∞; b) ∀a ∈ G, a +∞ = ∞+ a = ∞. Ñònh nghóa 2.1.2. Cho F laø moät tröôøng vaø G ∪ {∞} laø moät nhoùm thöù töï xaï aûnh . AÙnh xaï υ : F → G ∪ {∞} ñöôïc goïi laø Krull valuation neáu noù thoõa caùc ñieàu kieän: a) υ (x) = ∞ neáu vaø chæ neáu x = 0; b) υ (xy) = υ (x) + υ (y), vôùi moïi x, y ∈ F ; c) υ (x + y) > min (υ (x) , υ (y)), vôùi moïi x, y ∈ F . Im (υ) ñöôïc goïi laø nhoùm giaù trò. Heä quaû 2.1.3. Cho υ : F → G ∪ {∞} laø moät Krull valuation, khi ñoù ta coù caùc tính chaát sau: a) υ (1) = 0; b) υ ( a−1 ) = −υ (a), vôùi moïi a ∈ F ; c) υ (−a) = υ (a) ; 6 Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 7 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá d) Neáu υ (a) 6= υ (b) thì υ (a+ b) = min (υ (a) , υ (b)) vôùi moïi a, b ∈ F . Chöùng minh. (a) Ta coù υ (1) = υ (1.1) = υ (1) + υ (1) , suy ra υ (1) = 0. (b) Vì a.a−1 = 1 neân υ ( a.a−1 ) = υ (a) + υ ( a−1 ) = υ (1) = 0, vaø vì vaäy υ ( a−1 ) = −υ (a) . (c) Do υ (1) = 0 neân υ (1) = υ ((−1) . (−1)) = υ (−1) + υ (−1) = 0. Thaønh thöû υ (−1) = 0 vaø do ñoù υ (−a) = υ (−1) + υ (a) = υ (a) . (d) Giaû söû a, b ∈ F sao cho υ (a) 6= υ (b). Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû υ (a) min(υ (a) , υ (b)), thì υ (a + b) > min (υ (a) , υ (b)) > υ (a). Suy ra υ (a) = υ (a + b− b) > min{υ (a+ b) , υ (b)} > υ (a) . Ñieàu naøy laø voâ lyù neân υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)) . Ñònh nghóa 2.1.4. Cho υ : F → G ∪ {∞}, U ñöôïc goïi laø nhoùm chöùa taát caû caùc phaàn töû ñôn vò cuûa valuation υ neáu noù coù daïng U = {a ∈ F, υ (a) = 0} . Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 8 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñònh nghóa 2.1.5. Giaù trò tuyeät ñoái treân tröôøng F laø moät aùnh xaï x → |x| töø F vaøo taäp caùc soá thöïc, sao cho vôùi moïi x, y ∈ F , a) |x| > 0, ñaúng thöùc xaûy ra neáu vaø chæ neáu x = 0; b) |xy| = |x| |y|; c) |x + y| 6 |x|+ |y|. Giaù trò tuyeät ñoái ñöôïc goïi laø phi Archimed neáu c ñöôïc thay baèng ñieàu kieän maïnh hôn, c') |x + y| 6 max (|x| , |y|) Ngöôïc laïi ta goïi F laø Archimed Ñònh nghóa 2.1.6. Valuation rôøi raïc cuûa F laø moät aùnh xaï υ : F → Z ∪ {∞}, sao cho vôùi moïi x, y ∈ F , ta coù: a) υ (x) = ∞ neáu vaø chæ neáu x = 0; b) υ (xy) = υ (x) + υ (y), vôùi moïi x, y ∈ F ; c) υ (x + y) > min (υ (x) , υ (y)), vôùi moïi x, y ∈ F . Moät valuation rôøi raïc seõ caûm sinh moät giaù trò tuyeät ñoái phi archimed bôûi coâng thöùc |x| = cυ(x) vôùi c laø haèng soá vaø 0 < c < 1. Ñònh nghóa 2.1.7. F laø tröôøng ñaày ñuû vaø coù valuation rôøi raïc ñöôïc goïi laø tröôøng ñòa phöông neáu vaø chæ neáu tröôøng cuûa caùc lôùp thaëng dö cuûa noù laø höõu haïn. Ñònh nghóa 2.1.8. Cho A laø moät vaønh coù ñôn vò. AÙnh xaïï ω : A → R+ = {r ∈ R : r > 0} ñöôïc goïi laø chuaån neáu noù thoûa caùc ñieàu kieän sau: a) ω (x) = 0 neáu vaø chæ neáu x = 0, b) ω (xy) = ω (x)ω (y) , ∀x, y ∈ A, c) ω (x+ y) 6 ω (x) + ω (y) , ∀x, y ∈ A. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 9 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñieàu kieän (c) ñöôïc goïi laø baát ñaúng thöùc tam giaùc. • ω ñöôïc goïi laø nöûa chuaån neáu ñieàu kieän (a) vaø (b) ñöôïc thay theá baèng caùc ñieàu kieän sau: a') ω (1) = 1, b') ω (xy) 6 ω (x)ω (y) , ∀x, y ∈ A. • ω ñöôïc goïi laø non-Archimedian neáu ñieàu kieän (c) ñöôïc thay theá baèng ñieàu kieän c') ω (x+ y) 6 max {ω (x) , ω (y)} , ∀x, y ∈ R. Ñònh nghóa 2.1.9. Cho 0 6= x ∈ Z, p-adic valuation cuûa x ñöôïc ñònh nghóa bôûi coâng thöùc υp(x) = max {r : p r |x} > 0. Ñaëc bieät υp(0) = ∞. Ñònh nghóa 2.1.10. Cho a/b ∈ Q. Khi ñoù, p-adic valuation cuûa a/b ñöôïc cho bôûi υp (a b ) = υp (a)− υp (b) . Ñònh nghóa neâu treân laø ñònh nghóa toát, nghóa laø neáu a ′ b′ = a b thì υp ( a b ) = υp ( a′ b′ ) . Chöùng minh. Ta coù a b = k1p r k2pt = a′ b′ = l1p r′ l2pt ′ vôùi r, t, r′, t′ laø soá muõ cao nhaát cuûa p trong a, b, a′, b′. Suy ra gcd(k1, p) = gcd(k2, p) = gcd(l1, p) = gcd(l2, p) = 1. Töø ñoù daãn ñeán k1 k2 = l1 l2 vaø pr pt = pr ′ pt ′ hay pr−t = pr ′−t′. Töø ñoù ta ñöôïc υp(a/b) = υp(a ′/b′). Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 10 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 2.1.11. Cho x, y ∈ Q. Khi ñoù υp coù caùc tính chaát sau: a) υp (x) = ∞ neáu vaø chæ neáu x = 0; b) υp (xy) = υp (x) + υp (y); c) υp (x + y) > min{υp (x) , υp (y)}, ñaúng thöùc xaûy ra neáu υp (x) 6= υp (y) Chöùng minh. (a) Hieån nhieân. (b) Ta coù υp (xy) = υp ( m n pr. m′ n′ pl ) = r + l = υp (x) + υp (y) . (c) Cho x, y laø caùc soá höõu tyû khaùc 0. Ñaët x = pr a b , y = ps c d vôùi a, b, c, d ∈ Z, p khoâng laø öôùc cuûa a, b, c, d, vaø r, s ∈ Z. Neáu r = s thì x + y = pr (a b + c d ) = pr (ad + bc) bd töø ñoù ta ñöôïc υp (x+ y) > r vì p khoâng laø öôùc cuûa bd. Giaû söû r 6= s, khoâng maát tính toång quaùt ta cho s > r. Khi ñoù x + y = pr (a b + ps−r c d ) = pr ( ad + ps−rbc ) bd . Do s− r > 0 vaø p khoâng laø öôùc cuûa a.d neân υp (x + y) = r = min {υpx, υpy} . Ñònh nghóa 2.1.12. Cho x ∈ Q, chuaån p-adic cuûa x ñònh nghóa bôûi coâng thöùc |x|p =   p−υpx (x 6= 0) p−∞ (x = 0) . Boå ñeà 2.1.13. Haøm |.|p : Q→ R+ coù caùc tính chaát Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 11 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá a) |x|p = 0 neáu vaø chæ neáu x = 0, b) |xy|p = |x|p |y|p, c) |x + y|p 6 max { |x|p , |y|p } , ñaúng thöùc xaûy ra neáu |x|p 6= |y|p Töø caùc ñieàu kieän treân, ta thaáy |.|p laø moät chuaån phi Archimed treân Q. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [4] Boå ñeà 2.6. Ñònh nghóa 2.1.14. F laø tröôøng toaøn cuïc neáu noù laø tröôøng soá hoïc (môû roäng höõu haïn treânQ) hoaëc laø tröôøng ña thöùc moät bieán treân tröôøng höõu haïn (môû roäng höõu haïn cuûa Fq (T ) vôùi q naøo ñoù). 2.2 Ñaïi soá chia vaø vaønh chia Ñònh nghóa 2.2.1. Cho F laø moät tröôøng, A laø khoâng gian vector treân tröôøng F vôùi pheùp toaùn hai ngoâi töø A×A → A, kí hieäu laø ".". Khi ñoù, A ñöôïc goïi laø moät F -ñaïi soá neáu vôùi moïi x, y, z ∈ A vaø vôùi moïi a, b ∈ F , ta ñöôïc a) (x + y) .z = x.z + y.z; b) x. (y + z) = x.y + x.z; c) (a.x) . (b.y) = (a.b) (x.y) . Hai ñaïi soá (A, .) vaø (B, .) treân F goïi laø ñaúng caáu neáu toàn taïi aùnh xaï ϕ : A → B sao cho vôùi moïi x, y ∈ A, ϕ (x.y) = ϕ (x)ϕ (y) ; ϕ (x + y) = ϕ (x) + ϕ (y) ; ϕ (nx) = nϕ (x) . Ñònh nghóa 2.2.2. Cho A laø ñaïi soá treân F . A ñöôïc goïi laø a) thay phieân neáu x (xy) = (xx) y vaø x (yy) = (xy) y vôùi moïi x, y ∈ A, b) keát hôïp neáu x (yz) = (xy) z vôùi moïi x, y, z ∈ A, c) giao hoaùn neáu xy = yx vôùi moïi x, y ∈ A, Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 12 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá d) unital neáu toàn taïi phaàn töû ñôn vò 1 ∈ A sao cho x1 = 1x = x vôùi moïi x ∈ A. Neáu A laø unital thì phaàn töû ñôn vò 1 laø duy nhaát. Heä quaû 2.2.3. A laø ñaïi soá coù ñôn vò treân F thì F thuoäc taâm cuûa A. Chöùng minh. Hieån nhieân. Ñònh nghóa 2.2.4. Ñaïi soá A treân F ñöôïc goïi laø ñaïi soá chia neáu A khaùc khoâng vaø xy = 0 thì x = 0 hoaëc y = 0 vôùi moïi x, y ∈ A. Heä quaû 2.2.5. A laø moät ñaïi soá treân tröôøng F . A laø ñaïi soá chia neáu vaø chæ neáu A khaùc khoâng vaø vôùi moïi a, b ∈ A, a, b khaùc khoâng, phöông trình bx = a vaø yb = a coù duy nhaát nghieäm x, y ∈ A. Chöùng minh. (⇒) Cho b ∈ A, b 6= 0, vaø cho ϕ : A → A laø aùnh xaï tuyeán tính ñònh nghóa bôûi coâng thöùc ϕ (x) = bx. Neáu A laø F - ñaïi soá chia thì ker (ϕ) = {0} neân ϕ laø ñôn aùnh, maø A coù soá chieàu höõu haïn treân F neân suy ra ϕ laø song aùnh. Do ñoù phöông trình bx = a coù duy nhaát nghieäm. Töông töï, ta cuõng chöùng minh ñöôïc phöông trình yb = a cuõng coù duy nhaát nghieäm qua aùnh xaï y → yb. (⇐) Giaû söû xy = 0. Neáu x = 0 thì chöùng minh hoaøn taát. Ngöôïc laïi, neáu x 6= 0, thì toàn taïi duy nhaát y ∈ A sao cho xy = 0, maø x0 = 0 neân y = 0. Vaäy A laø ñaïi soá chia. Boå ñeà 2.2.6. Cho A laø ñaïi soá chia treân F , neáu A laø thay phieân thì A laø unital. Chöùng minh. Cho b ∈ A vaø b 6= 0. Do A laø ñaïi soá chia neân phöông trình yb = b coù nghieäm duy nhaát laø y = 1. Hôn nöõa, 1 (1b) = 1b. Vì A laø thay phieân neân 12b = 1b suy ra ( 12 − 1 ) b = 0 vaø do ñoù 12 = 1. Ta laïi coù 1 (1x− x) = 12x− 1x = 0. Do 1 6= 0 neân 1x−x = 0, suy ra 1x = x. Töông töï ta ñöôïc x1 = x vôùi moïi x ∈ A. Do ñoù A laø unital. Ñònh nghóa 2.2.7. Valuation cuûa ñaïi soá chia D laø aùnh xaï υ : D∗ → R thoõa caùc tính chaát: a) υ (ab) = υ (a) + υ (b) ; b) υ (a + b) > min (υ (a) , υ (b)) . Ñònh nghóa 2.2.8. D ñöôïc goïi laø vaønh chia neáu noù laø unital vaø vôùi moïi a ∈ D khaùc khoâng, toàn taïi x ∈ D sao cho xa = ax = 1. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 13 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Heä quaû 2.2.9. Cho D laø vaønh chia, cho x laø phaàn töû khaùc khoâng trong D, neáu xy = zx = 1 thì y = z . Chöùng minh. Ta coù xy = 1 neân zxy = z, vaäy y = z. Heä quaû 2.2.10. Neáu D laø ñaïi soá chia vaø laø unital thì D laø vaønh chia. Chöùng minh. Do D laø ñaïi soá chia neân theo Heä quaû 2.2.5, phöông trình xy = 1 coù duy nhaát nghieäm treân D. AÙp duïng Heä quaû 2.2.9, ta ñöôïc xy = yx = 1, vaäy D laø vaønh chia. Ñònh nghóa 2.2.11. Cho D laø vaønh chia, ta ñaët a) nhaân hoaùn töû cuûa D laø phaàn töû coù daïng x−1y−1xy vôùi x, y ∈ D∗; b) coäng hoùa töû cuûa D laø caùc phaàn töû coù daïng ab− ba vôùi a, b ∈ D. Taäp goàm caùc nhaân hoaùn töû cuûa D kí hieäu laø D ′. Ñònh lyù 2.2.12. (Ñònh lyù Wedderburn "nhoû") Neáu D laø moät vaønh chia höõu haïn phaàn töû thì D laø tröôøng. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [2] trang 214. Boå ñeà 2.2.13. Moïi vaønh con höõu haïn cuûa vaønh chia D ñeàu laø tröôøng. Chöùng minh. AÙp duïng Ñònh lyù Weddernburn "nhoû" ta suy ra ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Boå ñeà 2.2.14. Neáu D laø moät vaønh chia coù ñaëc tröng p > 0 vaø G laø nhoùm con höõu haïn cuûa D∗, thì G laø cyclic. Chöùng minh. Do D coù ñaëc tröng p, ñaët F = Fp laø tröôøng coù caáp p trong D. Ñaët K = {∑ αigi : αi ∈ F,gi ∈ G } vì G, F coù höõu haïn phaàn töû neân K laø moät vaønh höõu haïn, suy ra K laø tröôøng. Vì G laø nhoùm con cuûa K∗ neân G laø cyclic. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 14 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 2.2.15. Cho D laø vaønh chia, neáu phaàn töû y ∈ D giao hoaùn vôùi taát caû caùc phaàn töû coäng hoaùn töû trong D thì y ∈ Z (D). Chöùng minh. Giaû söû toàn taïi y ∈ D giao hoaùn vôùi caùc phaàn töû coäng hoaùn töû cuûa D nhöng y /∈ Z (D), nghóa laø toàn taïi x ∈ D sao cho xy − yx 6= 0. Maø x (yx− xy) = (xy)x− x (xy) neân suy ra (xy)x− x (xy) vaø xy − yx laø caùc phaàn töû coäng hoaùn töû neân giao hoaùn vôùi y. Thaønh thöû y (xy − yx) = (xy − yx) y; yx (yx− xy) = x (yx− xy) y. Vì vaäy neân ta ñöôïc yx (yx− xy) = xy (yx− xy) . Do ñoù xy = xy, ñieàu naøy maâu thuaãn , vaäy y ∈ Z (D). Boå ñeà 2.2.16. Neáu D laø F -ñaïi soá chia, thì vôùi moïi x ∈ D∗, toàn taïi soá nguyeân döông n(x) sao cho xn(x) = rc, vôùi r ∈ F vaø c ∈ D′. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong[10]. Boå ñeà 2.2.17. Cho D laø moät vaønh chia, ta ñònh nghóa Z (D) = {x ∈ D|xy = yx, ∀y ∈ D} goïi laø taâm cuûa D. Neáu D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn thì D ñöôïc sinh bôûi caùc phaàn töû coäng hoaùn töû vaø Z (D). Noùi caùch khaùc D ñöôïc sinh ra nhö moät Z (D) - ñaïi soá chia bôûi taát caû caùc phaàn töû coäng hoaùn töû. Chöùng minh. Neáu x /∈ Z (D) thì xy − yx 6= 0. Maø x (xy − yx) = x (xy)− (xy) x laø phaàn töû thuoäc nhoùm coäng hoaùn töû cuûa D, suy ra x = (x (xy)− (xy)x) (xy − yx)−1 thuoäc veà nhoùm coäng hoaùn töû cuûa D. Vaäy D laø Z (D) - ñaïi soá chia sinh bôûi taát caû caùc phaàn töû coäng hoaùn töû. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 15 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 2.2.18. D∗ = D\ {0}, neáu M laø nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi cuûa D∗ thì D∗/M ∼= Zp, vôùi p laø soá nguyeân toá. Chöùng minh. Vì M laø nhoùm con chuaån taéc cuûa D∗ neân D∗/M coù daïng D∗/M = { M,xM, x2M, ..., xnM, ... } vôùi x ∈ D∗\M . Goïi y laø phaàn töû khaû nghòch cuûa x trong D∗, nghóa laø xy = yx = 1 vaø y /∈ M . Do M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa D∗ neân 〈x,M〉 = D∗, vì theá y = xnm, vôùi n laø soá töï nhieân döông vaø m ∈ M . Vaäy xy = 1 = xn+1m, do ñoù xn+1 = m−1 ∈ M. Töø ñieàu treân ta ñöôïc D∗/M = { M,xM, x2M, ..., xnM } coù n+1 phaàn töû. Baây giôø ta seõ chöùng minh D∗/M ∼= Zp vôùi p nguyeân toá, nghóa laø chöùng minh n + 1 = p. Giaû söû n + 1 khoâng laø soá nguyeân toá, goïi k laø öôùc thaät söï cuûa n + 1, nghóa laø t.k = n + 1 vôùi k laø soá nguyeân döông. Vaäy 〈 xt,M 〉 = D∗, do ñoù ta coù D∗/M = { M,xkM,x2kM, ..., xk(t−1)M } coù t phaàn töû, suy ra t = n+1, vaäy t = kt, vì vaäy k = 1, voâ lyù. Cho neân n+1 = p laø soá nguyeân toá. Töø ñoù ta ñöôïc D∗/M = { M,xM, x2M, ..., xp−1M } ∼= Zp. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 16 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá 2.3 Nhoùm chia ñöôïc Ñònh nghóa 2.3.1. G ñöôïc goïi laø nhoùm chia ñöôïc neáu vôùi moïi x ∈ G vaø vôùi moïi soá nguyeân döông n, toàn taïi y ∈ G sao cho ny = x. Boå ñeà 2.3.2. a) Tích caùc nhoùm chia ñöôïc laø chia ñöôïc. b) Toång tröïc tieáp caùc nhoùm chia ñöôïc laø chia ñöôïc. c) AÛnh ñoàng caáu caùc nhoùm chia ñöôïc laø chia ñöôïc. Chöùng minh. (a) Cho x = (xα) ∈ ∏ Gα, vôùi Gα chia ñöôïc. Moãi heä soá xα ñöôïc chia bôûi soá nguyeân döông n, nghóa laø toàn taïi yα sao cho nyα = xα. Do ñoù, (nyα) = n (yα) = (xα) = x. Suy ra ∏ Gαchia ñöôïc. (b) Chöùng minh töông töï (a). (c) Cho f laø moät ñoàng caáu, ñaët y = f(x) vôùi x ∈ G, do G chia ñöôïc neân toàn taïi z ∈ G sao cho nz = x. Suy ra, y = f(x) = f(nz) = nf(z), vaäy f(G) chia ñöôïc. Boå ñeà 2.3.3. Cho G laø nhoùm giao hoaùn. Khi ñoù, (a) G khoâng coù nhoùm con toái ñaïi khi vaø chæ khi G chia ñöôïc, khi vaø chæ khi G = Gp (G laø p-chia ñöôïc), vôùi moïi p laø soá nguyeân toá. (b) Neáu G khoâng taàm thöôøng vaø coù soá muõ bò chaën, nghóa laø Gn = 1 thì G khoâng chia ñöôïc (neân coù nhoùm con toái ñaïi). Chöùng minh.(i) Neáu G coù nhoùm con toái ñaïi M , thì G/M khoâng coù nhoùm con thaät söï. Vì vaäy, |G/M | = p, vôùi p laø soá nguyeân toá. Töø ñoù, Gp ⊆ M ⊂ G , neân G laø p-chia ñöôïc. Ngöôïc laïi, Neáu G 6= Gp, nghóa laø G/Gp laø khoâng gian vector khoâng taàm thöôøng treân tröôøng Z/pZ; vì theá G/Gp laø khoâng gian vector toái ñaïi thöïc söï. Töø ñoù, ta suy ra toàn taïi moät nhoùm con toái ñaïi thöïc söï treân G. (ii) Giaû söû G khoâng taàm thöôøng vaø Gn = 1 thì G coù phaàn töû caáp nguyeân toá p vôùi p laø öôùc cuûa n. Neáu G chia ñöôïc, nghóa laø G = Gp, töø ñoù G seõ coù phaàn töû caáp pm vôùi moãi soá döông m, do Gn = 1 neân ñieàu naøy laø voâ lyù, vaäy G khoâng chia ñöôïc. Boå ñeà 2.3.4. Cho G laø nhoùm nhaân abelian vaø M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa G. Neáu M chia ñöôïc thì M laø nhoùm con toái ñaïi duy nhaát cuûa G. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 17 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Chöùng minh. Giaû söû toàn taïi M1 6= M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa G. Do M,M1 laø caùc nhoùm con toái ñaïi neân ta ñöôïc G = MM1 vaø do ñoù G/M1 ∼= M/M ∩M1, nghóa laø M ∩ M1 laø nhoùm con toái ñaïi cuûa M . Vì M chia ñöôïc neân M ∩M1 = 1. Do ñoù G/M1 ∼= M ∼= Cp, vôùi p laø soá nguyeân toá vaø Cp laø nhoùm cyclic coù p phaàn töû. Ñieàu naøy laø voâ lyù vì nhoùm coù höõu haïn phaàn töû laø khoâng chia ñöôïc, do ñoù M = M 1. Ñònh nghóa 2.3.5. G ñöôïc goïi laø nhoùm torsion neáu moïi phaàn töû cuûa G coù caáp höõu haïn. Hôn nöõa, neáu moïi phaàn töû cuûa G coù caáp höõu haïn vaø bò chaën thì ta noùi G laø nhoùm torsion coù soá muõ bò chaën. Ñònh lyù 2.3.6. (Ñònh lyù Baer-Prufer) Cho G laø nhoùm abelian. Caùc phaàn töû cuûa G coù soá muõ bò chaën neáu vaø chæ neáu G laø toång tröïc tieáp cuûa caùc nhoùm cyclic coù caáp höõu haïn. Chöùng minh. xin tham khaûo trong [9] Ñònh lyù 4.3.5 trang 105. 2.4 Nhoùm Brauer Ñònh nghóa 2.4.1. Cho F laø tröôøng vaø A,B laø caùc F - ñaïi soá coù ñôn vò. Khi ñoù tích tensor cuûa A vaø B, kí hieäu A ⊗F B, laø moät F - ñaïi soá ñöôïc sinh bôûi caùc phaàn töû coù daïng a⊗ b, vôùi a ∈ A, b ∈ B vaø thoõa caùc tính chaát: a) λ (a⊗ b) = (λa)⊗ b = a⊗ (λb) ; b) (a⊗ b) + (d ⊗ b) = (a + d)⊗ b vaø (a⊗ b) + (a⊗ c) = a⊗ (b + c) ; c) (a⊗ b) (d⊗ c) = ad⊗ bc; vôùi moïi a, d ∈ A, b, c ∈ B vaø λ ∈ F . Cho A laø moät F -ñaïi soá coù ñôn vò vaø E laø tröôøng môû roäng treân F thì A ⊗F E laø moät E- ñaïi soá vôùi pheùp toaùn nhaân ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: x (∑ ai ⊗ bi ) = ∑ (ai ⊗ (xbi)) vôùi x, bi ∈ E vaøai ∈ A. Tính chaát naøy cho pheùp ta hình thaønh moät E- ñaïi soá moät caùch tröïc tieáp nhaát ñoái vôùi moïi môû roäng cuûa tröôøng F . Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 18 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 2.4.2. Cho Mi (F ) laø F -ñaïi soá vôùi Mi (F ) laø caùc ma traän coù kích thöôùc i× i treân tröôøng F , khi ñoù Mn (F )⊗F Mm (F ) ∼= Mmn (F ) vôùi moïi m,n > 0. Chöùng minh . Xin tham khaûo trong [6], Boå ñeà 1.2. Boå ñeà 2.4.3. A laø moät F -ñaïi soá höõu haïn chieàu vaø coù ñôn vò, neáu A laø moät khoâng gian vector n chieàu treân F thì A⊗F E cuõng laø moät khoâng gian vector n chieàu treân E vôùi E laø tröôøng môû roäng treân F . Chöùng minh. Cho S = {ai, i = 1...n} laø moät cô sôû cuûa A treân F thì S ′ = {ai ⊗ 1, i = 1...n} cuõng laø moät cô sôû cuûa A ⊗F E treân E neân soá chieàu cuûa A treân F vaø cuûa A⊗F E treân E laø baèng nhau. Boå ñeà 2.4.4. Neáu n laø soá nguyeân döông vaø E laø tröôøng môû roäng treân F thì Mn (F )⊗ E ∼= Mn (E) . Chöùng minh. xin tham khaûo trong [6] trang 2. Ñònh nghóa 2.4.5. Cho A laø moät F -ñaïi soá coù ñôn vò, ta noùi, A laø moät ñaïi soá Brauer neáu vaø chæ neáu A⊗F E ∼= Mn (E) vôùi E laø môû roäng Galois naøo ñoù cuûa F . Boå ñeà 2.4.6. Neáu A laø moät ñaïi soá Brauer cuûa F thì A coù höõu haïn chieàu treân F . Chöùng minh. Do A laø moät ñaïi soá Brauer neân toàn taïi moät môû roäng Galois E vaø moät soá n > 0 sao cho A⊗F E ∼= Mn (E) . Theo Boå ñeà 2.4.4, soá chieàu cuûa A nhö moät khoâng gian vector treân F baèng vôùi soá chieàu cuûa A ⊗F E nhö moät E khoâng gian vector, vì A⊗F E ∼= Mn (E) neân A⊗F E coù soá chieàu laø n2, suy ra A cuõng coù soá chieàu laø n2 neân höõu haïn chieàu. Cho A laø F - ñaïi soá höõu haïn chieàu vaø coù ñôn vò, ta coù caùc ñònh nghóa sau. Ñònh nghóa 2.4.7. A laø F -ñaïi soá ñôn neáu noù chæ chöùa hai ideal hai phía laø 0 vaø A. Ñònh nghóa 2.4.8. A laø F -ñaïi soá trung taâm neáu taâm cuûa noù laø F ; laø F -ñaïi soá trung taâm ñôn neáu noù vöøa laø F -ñaïi soá ñôn, vöøa laø F -ñaïi soá trung taâm. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 19 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñònh lyù 2.4.9. Tích tensor cuûa caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn laø moät F -ñaïi soá trung taâm ñôn. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [6]. Ñònh lyù 2.4.10. Cho A laø moät F -ñaïi soá höõu haïn chieàu coù ñôn vò, khi ñoù A laø ñaïi soá trung taâm ñôn neáu vaø chæ neáu toàn taïi moät tröôøng môû roäng Galois höõu haïn chieàu E treân tröôøng F sao cho vôùi soá n > 0 naøo ñoù, ta coù A⊗F E ∼= Mn (E) . Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [6] Ñònh lyù 2.6. Boå ñeà 2.4.11. A laø F -ñaïi soá höõu haïn chieàu coù ñôn vò, A laø moät ñaïi soá Brauer neáu vaø chæ neáu A laø ñaïi soá trung taâm ñôn höõu haïn chieàu. Chöùng minh. A laø moät ñaïi soá Brauer neân theo ñònh nghóa ta ñöôïc A ⊗F E ∼= Mn (E), vôùi E laø môû roäng höõu haïn treân F , aùp duïïng Ñònh lyù 2.4.11, A laø ñaïi soá trung taâm ñôn höõu haïn chieàu. Ngöôïc laïi, neáu A laø ñaïi soá trung taâm ñôn höõu haïn chieàu thì toàn taïi moät môû roäng Galois höõu haïn chieàu E treân F sao cho A ⊗F E ∼= Mn (E), töø ñoù A laø moät ñaïi soá Brauer. Cho A,B laø caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn. A vaø B laø töông ñöông (A ∼ B) neáu A ⊗Mn (F ) ∼= B ⊗Mm (F ) vôùi m,n naøo ñoù. Cho Br (F ) laø taäp hôïp taát caû caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn vôùi modulo theo quan heä ∼, ñaây laø quan heä töông ñöông. Theo ñònh lyù 2.4.10, A ⊗F B laø F -ñaïi soá trung taâm ñôn. Hôn nöõa ta coù theå ñònh nghóa pheùp nhaân trong Br (F ). Neáu A ∼ A′ vaø B ∼ B ′ thì A ⊗F B ∼ A′ ⊗F B′. Ta laïi coù A⊗F Mn (F ) ∼ A vaø Mn (F ) ∼ Mn (F ) vôùi moïi m,n >) neân Mn (F ) laø phaàn töû trung hoøa vôùi moïi n, vaø A⊗F Aopp ∼ Mn (F ) vôùi Aopp laø taäp hôïp ñoái cuûa A (tham khaûo [5]), do ñoù Br (F ) laø moät nhoùm. Ñònh nghóa 2.4.12. Nhoùm goàm caùc lôùp töông ñöông cuûa caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn nhö treân vôùi pheùp toaùn nhaân ñöôïc goïi laø nhoùm Brauer cuûa F . Kí hieäu laø Br(F ). Ñònh lyù 2.4.13. (Ñònh lyù Wedderburn)Neáu A laø moät F -ñaïi soá ñôn höõu haïn chieàu thì toàn taïi moät ñaïi soá chia höõu haïn chieàu (nhö moät F -khoâng gian vector) vaø soá n döông sao cho A ∼= Mn (D). Hôn nöõa, D vaø n laø duy nhaát. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [6] ñònh lyù 2.5. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 20 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñònh lyù 2.4.14. Neáu F laø moät tröôøng ñoùng ñaïi soá thì Br (F ) laø nhoùm taàm thöôøng. Chöùng minh. Cho D laø moät ñaïi soá chia höõu haïn chieàu treân F . Giaû söû D 6= F , laáy phaàn töû d trong D/F . Do D laø moät F -khoâng gian vector höõu haïn chieàu neân taäp hôïp voâ haïn phaàn töû { 1, d, d2, ... } phuï thuoäc tuyeán tính, nghóa laø toàn taïi haøm soá f ∈ F [x] sao cho f (d) = 0. Nhöng do F laø moät tröôøng ñoùng ñaïi soá neân d ∈ F , ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi giaû thuyeát. Vaäy khoâng toàn taïi ñaïi soá chia höõu haïn chieàu chöùa F thaät söï. Baây giôø, ta cho C laø moät ñaïi soá trung taâm ñôn höõu haïn chieàu treân F . Theo Ñònh lyù Wedderburn, toàn taïi moät ñaïi soá chia höõu haïn chieàu treân F sao cho C ∼= Mn (D), vôùi n > 0. Nhöng D khoâng laø ñaïi soá chia thaät söï, nghóa laø D = F neân C ∼= Mn (F ), suy ra Br (F ) laø taàm thöôøng. Boå ñeà 2.4.15. Cho F laø moät tröôøng. Khi ñoù moãi lôùp töông ñöông cuûa nhoùm Br(F ) chöùa ñuùng moät F -ñaïi soá chia (theo pheùp ñaúng caáu). Chöùng minh. Cho R laø moät F -ñaïi soá, xeùt ñoàng caáu m : R ⊗Mn (F ) → Mn (R) cho bôûi coâng thöùc m (∑ ri ⊗ Ai ) = ∑ riAi, ta coù theå kieåm tra raèng ñaây laø moät ñaúng caáu, neân suy ra R ⊗Mn (F ) ∼= Mn (R) . Baây giôø ta seõ chöùng minh moãi lôùp töông ñöông cuûa nhoùm Brauer chæ chöùa duy nhaát moät ñaïi soá chia. Giaû söû D1, D2 laø 2 ñaïi soá chia trong cuøng moät lôùp töông ñöông cuûa nhoùm Brauer, ta coù D1 ⊗F Mm (F ) ∼= D2 ⊗F Mn (F ) vôùi m,n > 0 naøo ñoù. Vì vaäy ta suy ra Mm (D1) ∼= Mn (D2) . Do D1, D2 laø caùc ñaïi soá Brauer neân cuõng laø caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn höõu haïn chieàu. AÙp duïng Ñònh lyù Wedderburn ta ñöôïc n = m maø D1 ∼= D2. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 21 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñeå hoaøn taát chöùng minh, ta seõ chöùng minh söï toàn taïi cuûa caùc ñaïi soá chia trong moãi lôùp töông ñöông cuûa nhoùm Brauer. Cho A laø moät ñaïi soá Brauer. Theo Ñònh lyù Wedderburn, A ∼= Mn (D), vôùi D laø moät ñaïi soá chia höõu haïn chieàu treân F . Maø Mn (D) ∼= D ⊗Mn (F ) neân D ⊗Mn (F ) ñaúng caáu vôùi A. Do A,Mn (F ) laø caùc ñaïi soá Brauer vaø nhoùm Brauer laø moät nhoùm theo pheùp toaùn tích tensor neân D cuõng laø moät ñaïi soá Brauer, hôn nöõa D ∼ A. Boå ñeà 2.4.16. Cho A laø moät F -ñaïi soá trung taâm ñôn, vaø E/F laø tröôøng môû roäng. Khi ñoù A⊗F E laø E-ñaïi soá trung taâm ñôn. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [6], Boå ñeà 2.7. Cho E/F laø moät môû roäng tröôøng, ñònh nghóa aùnh xa Br (F ) → Br (E) cho bôûi coâng thöùc A → A⊗F E. Ñaây laø ñònh nghóa toát vì (A⊗F Mn (F ))⊗F E ∼= A⊗F Mn (E) vaø ñaây laø moät ñoàng caáu vì (A⊗F E)⊗E (A′ ⊗F E) ∼= (A⊗F A′)⊗F E. Ñònh nghóa 2.4.17. Ta goïi Br(E/F ) laø nhaân cuûa aùnh xaï Br (F ) → Br (E). Moät phaàn töû A cuûa Br(F ) laø taùch ñöôïc treân E neáu noù thuoäc Br(E/F ), nghóa laø A⊗ F E laø moät ma traän treân E. Ñònh nghóa 2.4.18. Cho E/F laø môû roäng cyclic (Galois), Gal (E/F ) = 〈σ〉 vaø dimF E = n. Laáy moät phaàn töû a khaùc khoâng trong F vaø moät kí töï x, ñaët D = E.1⊕ E.x⊕ ...⊕ E.xs−1, vôùi pheùp nhaân trong D thoûa qui taéc xn = a, x.b = σ (b)x (∀b ∈ E) . Ñaây laø F -ñaïi soá ñöôïc kí hieäu laø (E/F, σ, a) ñöôïc goïi laø ñaïi soá cyclic lieân keát cuûa (E/F, σ) vôùi a ∈ F\ {0} . Ñònh lyù 2.4.19. Cho D = (E/F, σ, a), ta coù caùc tính chaát, a) D laø F -ñaïi soá trung taâm ñôn. b) CD (E) = E vôùi CD (E) laø taâm cuûa E treân D. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 22 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá c) E laø tröôøng con toái ñaïi cuûa D. Chöùng minh. (a) Cho I laø moät Ideal 2 phía khaùc khoâng trong D, choïn phaàn töû z 6= 0, z = bi1x i1 + ...+ birx ir ∈ I (bi ∈ E, 0 ≤ i1 < ... < ir < n− 1) vôùi r laø chæ soá nhoû nhaát coù theå. Vì theá, caùc b ij 6= 0 neân bij laø phaàn töû khaû nghòch trong E (do ñoù cuõng khaû nghòch trong D). Giaû söû r = 1, ta coù x laø phaàn töû khaû nghòch trong D (nghòch ñaûo laø a−1xn−1), suy ra z = bi1xi1 khaû nghòch, vaäy I = D. Giaû söû r ≥ 2, do σi1 6= σir neân toàn taïi b ∈ E sao cho σi1 (b) 6= σir (b). Vaäy I chöùa 2 phaàn töû coù daïng: zb = bi1σ i1 (b)xi1 + ...+ birσ ir (b)xir ; σi1 (b) z = bi1σ i1 (b)xi1 + ...+ birσ i1 (b)xir . Vì theá zb− σi1 (b) z = bi2 ( σi2 (b)− σi1 (b) ) xi2 + ...+ bir ( σir (b)− σi1 (b) ) xir laø phaàn töû khaùc khoâng thuoäc I coù toái ña r − 1 heä soá. Tuy nhieân, do r laø chæ soá nhoû nhaát neân ñieàu treân laø maâu thuaãn vôùi caùch choïn r, vaäy D laø F -ñaïi soá ñôn.. (b) Ta chæ caàn chöùng minh CD (E) ⊆ E. Cho d = n−1∑ i=0 bix i ∈ CD (E) vôùi bi ∈ E. Vôùi moãi b ∈ E ta coù bd = bd. Maø bd = n−1∑ i=0 bbix i db = n−1∑ i=0 bix ib = n−1∑ i=0 biσ i (b)xi neân bbi = biσi (b) (i ≤ n− 1). Neáu toàn taïi bi 6= 0 vôùi i döông thì seõ toàn taïi σi laø aùnh xaï ñôn vò, ñieàu naøy laø maâu thuaãn. Vaäy d = b0 ∈ E, suy ra CD (E) = E. (c) Giaû söû K laø tröôøng con toái ñaïi cuûa D vaø E ⊆ K. Maø K ⊆ CD (K) ⊆ CD (E) = E, vaäy K = E. Cuoái cuøng, ñeå hoaøn taát chöùng minh ta caàn chöùng minh F = Z (D). Cho b ∈ Z (D) thì b ∈ CD (E) = E. Maø bx = xb = σ (b)x neân b = σ (b). Do b = σ (b) neân b ∈ F . Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 23 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñònh lyù 2.4.20. Cho D = (E/F, σ, a). Ta coù D ∼= Mn (F ) khi vaø chæ khi a ∈ NE/F (E∗). Vôùi n = |E : F | , NE/F (E∗) laø aùnh xaï chuaån treân tröôøng töø E ñeán F . Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [2] Ñònh lyù 14.7 trang 231 Ñònh lyù 2.4.21. (Ñònh lyù Wedderburn) Cho E laø moät môû roäng cyclic treân tröôøng F , |E : F | = n, neáu toàn taïi moät phaàn töû a ∈ E sao cho   an ∈ NE/F (E ∗) a, a2, ..., an−1 /∈ NE/F (E ∗) , thì D = (E/F, σ, a) laø F -ñaïi soá chia. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [2] trang 232. Ñònh lyù 2.4.22. Neáu F laø tröôøng ñòa phöông hoaëc toaøn cuïc thì caùc F -taâm ñôn ñaïi soá laø cyclic. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [7]. Chöông 3 SÖÏ TOÀN TAÏI NHOÙM CON CHUAÅN TAÉC TOÁI ÑAÏI TRONG VAØNH CHIA Boå ñeà 3.1. Cho Q, R, C laø caùc tröôøng soá höõu tyû, thöïc vaø phöùc töông öùng. Ta coù a) Vôùi moïi soá töï nhieân r > 3, cho toaøn caáu fr töø Q∗ vaøo Gr := ⊕+∞i=1Z (i) r cho bôûi coâng thöùc fr (x) = ( υpi (x) ) , vôùi Z(i)r ∼= Zr laø vaønh caùc soá nguyeân theo moâ ñun r, vôùi moãi i, pi laø soá nguyeân toá thöù i vaø υpi laø pi - adic valuation treân Q vaø υpi (x) laø soá dö cuûa υpi (x) theo moâ ñun r. Hôn nöõa, giaû söû f2 laø toaøn caáu töø Q∗ vaøo G2 := Z2 ⊕ ( ⊕+∞i=1Z (i) 2 ) cho theo coâng thöùc f2 (x) = ( sgn x, ( υpi (x) )) vôùi sgn x laø daáu cuûa x. Neáu M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa Q∗, thì toàn taïi moät soá nguyeân toá q vaø moät khoâng gian con toái ñaïi W cuûa Gq (Gq laø khoâng gian vector treân Zq) sao cho M = f−1q (W ). Ngöôïc laïi, vôùi moïi soá nguyeân toá q vaø khoâng gian con toái ñaïi W cuûa Gq, f−1q (W ) laø nhoùm con toái ñaïi cuûa Q∗. b) R∗ chæ coù moät nhoùm con toái ñaïi. c) Neáu F laø moät tröôøng ñoùng ñaïi soá thì F* khoâng coù nhoùm con toái ñaïi. Ñaëc bieät, C∗ khoâng coù nhoùm con toái ñaïi. Chöùng minh. : (a) Ta coù aùnh xaï θ töø Q∗ vaøo G vôùi G := Z2 ⊕ ( ⊕Z(i) ) vaø Z(i) ∼= Z, 24 Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 25 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá laø vaønh caùc soá nguyeân vôùi moãi i. Ñöôïc cho bôûi coâng thöùc θ (x) = (sgn x, υp1 (x) , υp2 (x) , ...) laø ñaúng caáu nhoùm. Do ñoù toàn taïi quan heä 1 - 1 giöõa caùc nhoùm con toái ñaïi cuûaQ ∗ vaø G. Cho M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa Q∗ vaø nhoùm con toái ñaïi töông öùng vôùi noù treân G laø GM . Do ñoù, toàn taïi soá nguyeân toá q sao cho G/GM ∼= Zq vaø ta coù qG ⊆ GM . Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: Tröôøng hôïp 1: q > 3, töø qG ⊆ GM ta ñöôïc Z2 ⊕ ( ⊕+∞i=1Z (i) ) ⊆ GM . Do ñoù, nhoùm GM/Z2 ⊕ ( ⊕+∞i=1 qZ (i) ) laø nhoùm con toái ñaïi cuûa G/Z2 ⊕ ( ⊕+∞i=1 qZ (i) ) ∼= ⊕+∞i=1Z (i) q , vôùi Z (i) q ∼= Zq vôùi moãi i. Ñieàu naøy cho ta thaáy toàn taïi moät toaøn caáu töø Q∗ vaøo ⊕+∞i=1Z (i) q cho bôûi coâng thöùc fq (x) = ( υpi (x) ) . Do ñoù, toàn taïi khoâng gian con toái ñaïi W cuûa ⊕+∞i=1Z (i) q M = f −1 q (W ). Tröôøng hôïp 2: q = 2. Töø qG ⊆ GM ta coù ⊕+∞i=1 2Z(i) ⊆ GM vaø do ñoù GM/⊕ +∞ i=1 2Z (i) ñaúng caáu vôùi moät khoâng gian con toái ñaïi cuûa G2. Do ñoù, toàn taïi moät nhoùm con toái ñaïi cuûa G2 goïi laø W , sao cho M = f−12 (W ). Tröôøng hôïp ngöôïc laïi laø hieån nhieân. Neáu ñaët W = 〈ei |i > 2〉, vôùi ei laø caùc vector coù thaønh phaàn thöù i laø 1 vaø caùc thaønh phaàn coøn laïi laø 0 thì ta seõ chöùng minh ñöôïc Q+ ∼= f−12 (W ) . (b) Giaû söû M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa R∗ thì ta coù R∗/M ∼= Zp vôùi p laø soá nguyeân toá. Xeùt phöông trình xp = b treân R. Neáu p leû thì phöông trình luoân coù nghieäm trong R, nghóa laø a = ( a1/p )p ∈ M suy ra R = M . Vì vaäy ta choïn p = 2. Do ñoù M = R+ laø nhoùm con toái ñaïi duy nhaát cuûa R∗. (c) Cho F laø moät tröôøng ñoùng ñaïi soá vaø M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa F ∗, khi ñoù ta coù F ∗/M ∼= Zp. Laáy phaàn töû x ∈ F ∗, ta coù x1/p ∈ F ∗ vôùi moïi soá nguyeân toá p, vaäy ta ñöôïc x = ( x1/p )p ∈ M . Nghóa laø F ∗ = M . Cho 0 6= [A] ∈ Br (F ) laø cyclic thì toàn taïi moät môû roäng cyclic L/F , moät töï ñoàng caáu σ ∈ Gal (L/F ), vaø a ∈ F sao cho A ∼= (a, L/F, σ). Xeùt aùnh xaï θ : F ∗ → Br (L/F ) ⊂ Br (F ) cho bôûi coâng thöùc θ (c) = [c, L/F, σ] laø moät ñoàng caáu nhoùm khoâng taàm thöôøng. Ñoàng caáu naøy ñöôïc duøng ñeå chöùng minh F ∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Boå ñeà 3.2. Cho F laø tröôøng vaø 0 6= [A] ∈ Br (F ). Neáu A cyclic thì F ∗ coù moät nhoùm con toái ñaïi. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 26 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Chöùng minh. Vì A cyclic neân toàn taïi tröôøng con toái ñaïi E cuûa A sao cho E/F laø môû roäng cyclic höõu haïn. Cho ñoàng caáu rE/F : Br (F ) → Br (E) coù coâng thöùc rE/F (X) = X⊗F E. Suy ra rE/F (A) = A⊗F E. Do E laø tröôøng con toái ñaïi cuûa A neân rE/F (A) = 0. Vaäy A ∈ Br (E/F ). Xeùt aùnh xaï θ : F ∗ → Br (E/F ) ⊂ Br (F ) cho bôûi coâng thöùc θ (c) = (E/F, σ, c) . Tröôùc heát, ta caàn kieåm tra ñaây laø ñònh nghóa ñuùng. Do E laø tröôøng con toái ñaïi cuûa θ (c) = (E/F, σ, c) neân θ (c) ⊗ F ∼= Mn (E), töø ñoù ta ñöôïc θ (c) ñöôïc ñònh nghóa treân phaûi thuoäc veà Br (E/F ), vaäy aùnh xaï treân laø ñuùng. Maø ker θ = {c|θ (c) ∼= Mn (F )} = NE/F (E ∗) neân 0 6= Br (E/F ) ∼= F ∗/NE/F (E∗) vaø neáu [E : F ] = n thì F ∗n ⊆ NE/F (E∗). Suy ra F ∗ 6= (F ∗)n. Vaäy nhoùm F ∗/ (F ∗)n laø nhoùm abelian coù höõu haïn phaàn töû. Theo Boå ñeà 2.3.3, F ∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Heä quaû 3.3. Neáu F laø tröôøng ñòa phöông hoaëc toaøn cuïc, thì F ∗ coù moät nhoùm con toái ñaïi. Chöùng minh. Ta coù F laø tröôøng ñòa phöông hoaëc toaøn cuïc thì caùc F taâm ñôn ñaïi soá laø cyclic, aùp duïng boå ñeà 3.2 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Ñònh lyù 3.4. (Ñònh lyù Albert chính) Cho F laø tröôøng coù ñaëc tröng p thì tích tensor cuûa caùc F -ñaïi soá cyclic taâm ñôn coù caáp p laø cyclic. Hôn nöõa, moãi F -taâm ñôn ñaïi soá caáp p laø cyclic. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [7]. Ñònh lyù 3.5. (Ñònh lyù Merkurjev-Suslin)Neáu F chöùa nghieäm caáp m cuûa 1, thì caùc ñaïi soá chia caáp m seõ töông ñöông vôùi tích tensor cuûa caùc cyclic ñaïi soá caáp m. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [7]. Heä quaû 3.6. Neáu Br(F ) khoâng taàm thöôøng. Thì hoaëc F ∗ coù nhoùm con toái ñaïi hoaëc toàn taïi nghieäm caáp p cuûa ñôn vò(p nguyeân toá) sao cho F (ω) /F laø môû roäng cyclic höõu haïn vaø (F (ω))∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 27 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Chöùng minh. Giaû söû p laø soá nguyeân toá vaø 0 6= [A] ∈ Br (F ) sao cho p [A] = 0. Neáu charF = p > 0 thì theo Ñònh lyù Albert A laø moät cyclic F ñaïi soá. Theo boå ñeà 2.2 F ∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Giaû söû charF 6= p. Neáu F chöùa nghieäm caáp p cuûa ñôn vò, theo ñònh lyù Merkurjev - Suslin, F töông ñöông vôùi tích tensor cuûa caùc cyclic F - ñaïi soá. Do [A] 6= 0 neân coù ít nhaát moät thaønh phaàn cuûa tích tensor laø khoâng taàm thöôøng, aùp duïng Boå ñeà 3.2, F ∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Ngöôïc laïi, giaû söû F ∗ khoâng chöùa nghieäm caáp p cuûa ñôn vò. Ñaët A ′ = A⊗F L, vôùi L = F (ω) vaø ω laø moät nghieäm caáp p cuûa ñôn vò. Neáu 0 = [A ′] ∈ Br (L) thì 0 6= Br (L/F ) = F ∗/NL/F (L ∗) , theo Boå ñeà 2.3.3, F∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Neáu 0 6= [A′] ∈ Br (L) thì [A′] coù caáp p vaø theo ñònh lyù Merkurjev - Suslin toàn taïi L-ñaïi soá cyclic khoâng taàm thöôøng, aùp duïng boå ñeà 3.2, ta ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Tröôùc khi chöùng minh ñònh lyù chính cuûa phaàn naøy, ta caàn boå ñeà sau: Boå ñeà 3.7. Giaû söû Br(F ) laø khoâng taàm thöôøng. Thì Brp (F ) cuõng khoâng taàm thöôøng vôùi soá nguyeân toá p naøo ñoù. Hôn nöõa, toàn taïi cyclic F -ñaïi soá trong nhöõng tröôøng hôïp sau: (a) F coù ñaëc tröng p, hoaëc (b) F coù ñaëc tröng 6= p nhöng chöùa taát caû caùc nghieäm cuûa ñôn vò. Chöùng minh. Giaû söû 0 6= [A] ∈ Brp (F ). Ta coù p[A] = p. Neáu charF = 0, theo Ñònh lyù Albert, A cyclic vaø boå ñeà ñöôïc chöùng minh. Giaû söû charF 6= p vaø chöùa taát caû caùc nghieäm cuûa ñôn vò. AÙp duïng Ñònh lyù Merkurjev - Suslin, A töông ñöông vôùi tích tensor cuûa caùc cyclic ñaïi soá. Do [A] 6= 0 neân toàn taïi cyclic ñaïi soá khaùc 0, ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Ñònh lyù 3.8. Giaû söû Br(F ) khoâng taàm thöôøng thì Brp(F ) cuõng khoâng taàm thöôøng vôùi soá nguyeân toá p naøo ñoù. Hôn nöõa, F ∗ coù nhoùm con toái ñaïi trong nhöõng tröôøng hôïp sau: (a) F coù ñaëc tröng 0, hoaëc (b) F coù ñaëc tröng p, hoaëc Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 28 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá (c) F coù ñaëc tröng 6= p vaø chöùa taát caû caùc nghieäm cuûa 1. Töông ñöông, neáu F thuoäc nhöõng tröôøng hôïp treân vaø F ∗ chia ñöôïc thì Br(F ) taàm thöôøng. Chöùng minh. Giaû söû charF = 0. Neáu F ∗ khoâng coù nhoùm con toái ñaïi thì F ∗ chia ñöôïc. Vaäy F ∗ chöùa taát caû caùc nghieäm caáp p cuûa phaàn töû ñôn vò, maâu thuaãn vôùi heä quaû 3.6. Neáu charF = p > 0, thì theo Boå ñeà 3.7 toàn taïi moät F -ñaïi soá cyclic B sao cho 0 6= [B] ∈ Br (F ). AÙp duïng Boå ñeà 3.2 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Cuoái cuøng giaû söû F coù ñaëc tröng 6= khaùc p vaø chöùa taát caû caùc nghieäm cuûa ñôn vò, theo Boå ñeà 3.7 vaø 3.2 ta ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Baây giôø, ta seõ nghieân cöùu caùc nhoùm con toái ñaïi cuûa D∗ vaø xem xeùt moái lieân heä cuûa caùc nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi cuûa D ∗ vôùi caùc nhoùm con toái ñaïi cuûa F ∗ vaø caùc valuation treân F . Kí hieäu G(D) laø nhoùm D∗/F ∗D′. Khi D laø moät ñaïi soá chia treân taâm F thì G(D) laø torsion (Boå ñeà 2.2.16). Ñònh nghóa 3.9. Neáu D laø vaønh chia taâm F , D ñöôïc goïi laø type 2 neáu vôùi moïi a, b ∈ D. F [a, b] coù soá chieàu höõu haïn. Ñònh lyù 3.10. Cho D laø ñaïi soá chia type 2 vôùi taâm F vaø υ laø moät valuation rôøi raïc treân F. Neáu toàn taïi soá töï nhieân m sao cho G(D) khoâng coù phaàn töû caáp m thì D∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Chöùng minh. Giaû söû toàn taïi soá nguyeân toá p vaø soá töï nhieân r sao cho G(D) khoâng coù phaàn töû caáp pr. Ñònh nghóa haøm w : D∗ → Q vôùi w (a) = 1 [F (a) : F ] υ ( NF (a)/F (a) ) Ta seõ chöùng minh w laø moät ñoàng caáu, giaû söû S laø ñaïi soá con coù soá chieàu höõu haïn treân F vaø a ∈ S, ta chöùng minh raèng w (a) = (1/S : F ) υ ( NS/F (a) ) . Ñaët [F (a) : F ] = n, [S : F ] = s vaäy ta ñöôïc n|s, ñaët k = s/n. Do S ⊃ F (a) ⊃ F neân theo coâng thöùc hình thaùp, ta ñöôïc NS/F (a) = ( NF (a)/F (a) )s/n = ( NF (a)/F (a) )k . Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 29 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Suy ra 1 s υ ( NS/F (a) ) = 1 s υ (( NF (a)/F (a) )k) = 1 s υ  (NF (a)/F (a)) (NF (a)/F (a)) ... (NF (a)/F (a))︸ ︷︷ ︸ k laàn   = 1 s ( υ ( NS/F (a) ) + υ ( NS/F (a) ) ...υ ( NS/F (a) )) = k s υ ( NS/F (a) ) = 1 n υ ( NS/F (a) ) . Do ñoù, neáu a, b ∈ D∗, ñaët F (a, b) = S, do D laø type 2 neân [S : F ] < ∞. Vì NS/F (ab) = NS/F (a)NS/F (b) neân ta coù w (ab) = 1 [S : F ] υ ( NS/F (ab) ) = 1 [S : F ] υ ( NS/F (a)NS/F (b) ) = 1 [S : F ] υ ( NS/F (a) ) + 1 [S : F ] υ ( NS/F (b) ) = w (a) + w (b) . Vaäy w laø ñoàng caáu. Do G(D) laø torsion vôùi moïi x ∈ D∗ neân toàn taïi n(x) sao cho xn(x) = tc vôùi t ∈ F ∗ vaø c ∈ D′ vaø pr khoâng chia heát cho n(x).Maø w (c) = 1 [F (c) : F ] υ ( NF (c)/F (c) ) = 1 [F (c) : F ] υ ( NF (c)/F ( a−1b−1ab )) = 0 vôùi a, b ∈ D, ta laïi ñöôïc w ( xn(x) ) = n (x)w (x) = w (tc) = w (t) + w (c) = w (t) ; vì theá w (x) = 1 n (x) w (t) . Do n(x) khoâng laø öôùc cuûa pr vôùi moïi x neân w(x) 6= 1/pr vôùi moïi x. Töø ñoù, 1/pr khoâng naèm trong aûnh cuûa w, nghóa laø Im (w) 6= Q. Baây giôø, ta seõ chöùng minh Im(w) khoâng chia ñöôïc. Giaû söû Im(w) chia ñöôïc, laáy h/q ∈ Q\ Im (w). Ta coù w|F = υ, suy ra Im(w) 6= 0. Neáu 0 6= u ∈ Im (w), thì ta coù uh = w (y)h = w (y) + w (y) + ....+ w (y)︸ ︷︷ ︸ h laàn = w ( yh ) ∈ Im (w) vôùi y ∈ D, do Im(w) chia ñöôïc neân phöông trình qux = uh coù duy nhaát nghieäm trong Im(w) laøx = u−1q−1uh, maø u, h, q ∈ Q neân x = h/q ∈ Im(w), ñieàu naøy maâu thuaãn. Do ñoù, Im(w) laø khoâng chia ñöôïc neân Im(w) coù nhoùm con toái ñaïi, suy ra D∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 30 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 3.11. Cho D laø ñaïi soá chia höõu haïn chieàu treân taâm F. Neáu F coù moät valuation rôøi raïc thì D∗ coù nhoùm con toái ñaïi. Chöùng minh. Do D höõu haïn chieàu treân F neân vôùi moïi a, b ∈ D, F (a, b) cuõng coù soá chieàu höõ haïn, Vaäy D laø type 2, suy ra D coù nhoùm con toái ñaïi. Tieáp theo, ta seõ nghieân cöùu caùc nhoùm con toái ñaïi cuûa D∗ nhöng khoâng chöùa F ∗, vaø ta seõ phaùt trieån caùc nhoùm con toái ñaïi cuûa D∗ töø caùc nhoùm con toái ñaïi cuûa F ∗. Boå ñeà 3.12. Cho D laø vaønh chia coù Z(D) = F , M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa D∗ khoâng chöùa F thì Z (M) = F ∗ ∩M. Chöùng minh. Tröôùc heát ta coù F ∗∩M ⊂ Z (M). Laáy m ∈ Z(M) ta seõ chöùng minh m ∈ F ∗. DoM laø nhoùm con toái ñaïi cuûa D∗ neân D∗ = F ∗.M . Suy ra vôùi moïi x ∈ D∗, x = t.m′ vôùi t ∈ F ∗ vaø m′ ∈ M , khi ñoù mx = mtm′ = tmm′ = tm′m = xm. Töø ñoù ta ñöôïc m ∈ F ∗, suy ra Z (M) = F ∗ ∩M . Boå ñeà 3.13. G(D) laø nhoùm torsion coù soá muõ bò chaën vaø laø öôùc cuûa n, vôùi n laø chæ soá cuûa D treân F . Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [8]. Ñònh lyù 3.14. Cho D laø vaønh chia coù Z(D) = F , ta coù caùc tính chaát sau, (a) Neáu M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa D∗ maø khoâng chöùa F ∗ thì Z(M) laø nhoùm con toái ñaïi cuûa F ∗. (b) Giaû söû D coù chæ soá n höõu haïn treân F, m laø nhoùm con toái ñaïi cuûa F ∗ chöùa Z(D'), thì D∗ coù moät nhoùm con toái ñaïi chöùa m vaø chuaån taéc trong D∗. Chöùng minh (a) Ta coù D∗ = F ∗M do ñoù D′ = M ′. Do ñoù, vôùi moïi x ∈ D,m ∈ M , ta ñöôïc x−1mxm−1 ∈ D′ = M ′ ⊂ M, suy ra x−1mxm−1 = m′ ( m′ ∈ M ) vaäy x−1mx = m′m ∈ M, Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 31 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá töø ñoù ta ñöôïc M chuaån taéc trong D∗. Ta laïi coù Z (M) = F ∗∩M , vì vaäy Zp ∼= D∗/M = F ∗M/M ∼= F ∗/Z (M) (theo Ñònh lyù ñaúng caáu 2), vôùi p laø soá nguyeân toá. Vaäy Z(M) toái ñaïi trong F ∗. (b)Giaû söû m laø nhoùm con toái ñaïi cuûa F ∗ chöùa Z(D′), do ñoù F ∗/m ∼= Zp, p laø soá nguyeân toá. Cho nhoùm con chuaån taéc mD′ cuûa D∗. Neáu mD′ = D∗ thì m = mZ(D′) = F ∗, ñieàu naøy maâu thuaãn. Xeùt nhoùm khoâng taàm thöôøng D∗/mD′, töø D∗/F ∗D′ laø torsion coù soá muõ bò chaën vaø F ∗/m ∼= Zp, ta seõ chöùng minh D∗/mD′ laø torsion. Laáy x + mD′ ∈ D∗/F ∗D′, do x ∈ D∗ neân toàn taïi n(x) sao cho xn(x) = tc vôùi t ∈ F ∗ vaø c ∈ D′, maø F ∗/m ∼= Zp neân tp ∈ m. Suy ra xn(x)p = (tc)p = tpcp ∈ mD′, vì vaäy xn(x)p+mD′ ∈ mD′ neân D∗/mD′ laø torsion coù soá muõ bò chaën. Do ñoù theo ñònh lyù Baer-Prufer, D∗/mD′ ñaúng caáu vôùi tích tröïc tieáp cuûa caùc nhoùm cyclic Z ri vôùi ri laø öôùc cuûa chæ soá n vôùi moïi i. Töø ñaây, ta coù theå thieát laäp nhoùm con chuaån taéc N cuûa D∗ chöùa mD′. Boå ñeà 3.15. Cho F laø tröôøng vôùi Krull valuation maø nhoùm giaù trò cuûa noù chöùa moät nhoùm con toái ñaïi. D laø ñaïi soá chia höõu haïn chieàu treân taâm F, khi ñoù D∗ chöùa moät nhoùm con toái ñaïi M chuaån taéc treân D∗. Chöùng minh. Cho υ laø moät Krull valuation treân F vôùi nhoùm giaù trò Γ = G ∪ {∞} chöùa nhoùm con toái ñaïi. Vaäy, F ∗/U ∼= Γ, vôùi U laø nhoùm caùc phaàn töû ñôn vò cuûa valuation. Vì Γ chöùa moät nhoùm con toái ñaïi neân ñaúng caâu treân cho ta moät nhoùm con toái ñaïi L cuûa F ∗ vaø chöùa U . Maø Z(D′) ⊂ F ∗ vaø caùc phaàn töû cuûa Z(D ′) coù daïng x−1y−1xy neân υ ( x−1y−1xy ) = υ ( x−1 ) + υ ( y−1 ) + υ (x) + υ (y) = 0, do ñoù Z(D′) ⊂ L. AÙp duïng Ñònh lyù 3.14, ta ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Heä quaû 3.16. Neáu F laø moät tröôøng ñaïi soá soá hoïc vaø D laø moät ñaïi soá chia taâm F , thì D∗ chöùa moät nhoùm con toái ñaïi M vaø chuaån taéc trong D∗. Chöùng minh. Ta coù p-adic valuation cuûa Q môû roäng thaønh valuation rôøi raïc treân F . AÙp duïng Boå ñeà 3.14 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Heä quaû 3.17. Neáu F laø moät tröôøng ñòa phöông vaø D laø ñaïi soá chia taâm F , thì D∗ chöùa moät nhoùm con toái ñaïi M vaø chuaån taéc trong D∗. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 32 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Chöùng minh. Neáu F laø tröôøng ñòa phöông, thì ta xaây döïng ñöôïc moät valuation rôøi raïc treân F , aùp duïng Boå ñeà 3.14, ta ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Ñònh lyù 3.18. Neáu D laø moät ñaïi soá chia quaternion thöïc thì D∗ khoâng chöùa nhoùm con toái ñaïi chuaån taéc. Chöùng minh. M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa D∗ vaø chuaån taéc trong D∗. Vì M laø nhoùm con toái ñaïi neân theo Boå ñeà 2.2.13, D∗/M ∼= Zp, vôùi p laø soá nguyeân toá. Laáy x /∈ M , ta xeùt 2 tröôøng hôïp sau: Tröôøng hôïp 1: x ∈ R thì phöông trình x = yp luoân coù nghieäm trong C, nghóa laø luoân toàn taïi y0 ∈ C ⊂ D∗ sao cho x = yp ∈ M . Tröôøng hôïp 2: x /∈ R thì R [x] ∼= C thì phöông trình x = yp luoân coù nghieäm trong R [x] , nghóa laø luoân toàn taïi y0 ∈ R [x] ⊂ D∗ sao cho x = yp ∈ M . Vaäy vôùi moïi x ∈ D∗, toàn taïi y ∈ D∗, sao cho x = yp ∈ M , suy ra M = D∗, ñieàu naøy maâu thuaãn giaû thuyeát neân ta ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Töø nhöõng keát quaû treân, do D laø moät Z(D) ñaïi soá chia, ta ñi ñeán moät döï ñoaùn raát coù yù nghóa laø: Neáu D laø moät vaønh chia khoâng giao hoaùn thì D∗ chöùa moät nhoùm con toái ñaïi. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, moïi phaàn töû a ∈ F khoâng nhaát ñònh phaûi ñöôïc chöùa trong nhoùm con toái ñaïi. Cuï theå laø nhöõng soá aâm trong R khoâng ñöôïc chöùa trong nhoùm con toái ñaïi naøo cuûa R do R chæ coù moät nhoùm con toái ñaïi laø R+ (boå ñeà 3.1). Tuy nhieân, ñoái vôùi caùc ñaïi soá chia höõu haïn chieàu treân F , trong moät soá ñieàu kieän cuï theå, ta coù ñöôïc tính chaát ñoù. Ñònh lyù 3.19. Cho D laø moät ñaïi soá chia höõu haïn chieàu treân taâm F . Ta coù caùc tính chaát sau: (a) Neáu G(D) khoâng cyclic, thì moãi phaàn töû x ∈ D∗ ñöôïc chöùa trong moät nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi cuûa D∗. (b) Neáu G(D) laø cyclic, khoâng taàm thöôøng vaø F ∗ coù moät nhoùm con toái ñaïi chöùa Z(D′) thì moãi phaàn töû x ∈ D∗ ñöôïc chöùa trong moät nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi cuûa D∗. Chöùng minh.(a) Ta coù G(D) laø torsion vôùi soá muõ bò chaën. Vì G(D) khoâng taàm thöôøng, theo Ñònh lyù Baer-Prufer, G(D) laø toång tröïc tieáp cuûa caùc nhoùm cyclic coù caáp Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 33 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá höõu haïn, suy ra G (D) ∼= Zr1 ⊕ Zr2 ⊕ ... vôùi ri |m vôùi moïi i. Do ñoù, toàn taïi nhoùm con toái ñaïi M cuûa D∗ sao cho F ∗D′ ⊂ M . Vì vaäy, neáu x ∈ F ∗D′ thì x ∈ M . Baây giôø ta giaû söû x /∈ F ∗D′. Ñaët H = F ∗D′ 〈x〉. Vì D′ ∈ H neân ta ñöôïc H chuaån taéc trong D∗. Giaû söû F ∗D′ 〈x〉 = D∗ , do G(D) laø torsion neân ta co G (D) = F ∗D′ 〈x〉 F ∗D′ = 〈x〉 F ∗D′ ∩ 〈x〉 . Vì G(D) laø torsion coù caáp höõu haïn vaø 〈x〉F ∗D′∩〈x〉 laø nhoùm cyclic neân G (D) ∼= 〈x〉 F ∗D′ ∩ 〈x〉 ∼= Zt. Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi giaû thuyeát G(D) khoâng cyclic. Vì theá neân ta ñöôïc F ∗D′ 〈x〉 6= D∗ vaø D∗/F ∗D′ 〈x〉 laø nhoùm abelian torsion vôùi soá muõ bò chaën. Theo ñònh lyù Baer- Prufer, D∗/F ∗D′ 〈x〉 ∼= Zt1 ⊕ Zt2 ⊕ ..., vôùi ti |m vôùi moïi i. Baây giôø, ta laáy nhoùm con toái ñaïi L cuûa Zt1 ⊕Zt2⊕ ... vaø aûnh ngöôïc M cuûa L qua pheùp ñaúng caáu töông öùng, Ta ñöôïc M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa D ∗ vaø chöùa x. (b) Theo keát quaû cuûa caâu (a), ta coù F ∗D′ 〈x〉 = D∗, vôùi x /∈ F ∗D′. Baây giôø, ta ñöôïc D∗/D′ 〈x〉 ∼= F ∗/F ∗∩D′ 〈x〉. Neáu D∗ = D′ 〈x〉 thì D∗/D′ ∼= 〈x〉 /D′ ∩ 〈x〉. Nhoùm cyclic 〈x〉 /D′ ∩ 〈x〉 khoâng theå höõu haïn bôûi vì neáu ngöôïc laïi D ∗/D′ laø torsion, ñieàu naøy laø khoâng theå xaûy ra (xin tham khaûo trong [8]). Do ñoù 〈x〉 D′ ∩ 〈x〉 ∼= Z ∼= D/D′ . Nhöng töø ñaây ta laïi ñöôïc D(1)/D′ ∼= nZ vôùi n laø soá nguyeân döông vaø D(1) laø nhoùm caùc phaàn töû chuaån ruùt goïn 1 (xin tham khaûo trong [11] trang 7). Ñieàu naøy maâu thuaãn do D(1)/D′ laø torsion. Vì vaäy, D∗ 6= D 〈x〉. Töø ñoù ta ñöôïc (F ∗ ∩ 〈x〉) = ( F ∗ ∩D′ ) (F ∗ ∩ 〈x〉) ⊂ F ∗ ∩D 〈x〉 vaø F ∗ chöùa moät nhoùm con toái ñaïi L maø chöùa Z (D ′), aùp duïng Ñònh lyù 3.14, toàn taïi nhoùm con toái ñaïi M cuûa D∗ chöùa D′ 〈x〉, töø ñoù ta ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 34 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá KEÁT LUAÄN Caùc keát quaû trong luaän vaên naøy khoâng môùi, haàu nhö ñaõ ñöôïc trình baøy trong [1]. Tuy nhieân, caùc chöùng minh vaø kieåm tra trong luaän vaên khaù cuï theå, roõ raøng. Qua ñoù chuùng toâi ñaõ hieåu theâm phaàn naøo veà söï toàn taïi cuûa caùc nhoùm con toái ñaïi chuaån taéc treân vaønh chia maø cuï theå laø caùc vaønh chia ñöôïc môû roäng höõu haïn chieàu treân taâm F . Töø ñoù seõ giuùp chuùng ta ñöôïc ñònh höôùng phaàn naøo trong vieäc tìm hieåu caùc tính chaát cuï theå cuûa nhoùm con toái ñaïi treân vaønh chia. TAØI LIEÄU THAM KHAÛO [1] S. Akbari, M. Mahdavi-Hezavehi, On the existence of normal maximal subgroups in division rings, Journal of Pure and Applied Algebra 171, 2002, pp. 123-131. [2] T.Y.Lam, A first course in noncommutative Rings, Springer-Verlag, Newyork, 1991. [3] Ulrich Derental, Brauer Groups, www-math.mit.edu, 2002. [4] Andrew Baker, An Introduction to p-adic Numbers and p-adic, Department of Mathematics, University of Glasgow,2010. [5] Jorg Jahnel, Brauer Groups, Tamagawa mesures, and rational points on Alge- braic varieties, The Gauß Laboratoryfor Scientific Computing, 2008. [6] Noah Schweber, Brauer algebras and the Brauer group, may/VIGRE/VIGRE2008/REUPapers/Schweber.pdf. [7] Louis Rowen, Ring Theory, Vol. II, Academic Press, New York, 1988. [8] M. Mahdavi-Hezavehi, Determinant-like functions for matrices over finite di- mensional division algebras, Proc. Workshop Symposium, World Scientifc, Sin- gapore, 1999, pp. 489-502. [9] D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Graduate Texts in Mathe- matics, Vol. 80, Springer,Berlin, 1982. [10] M. Mahdavi-Hezavehi, Extending valuations to algebraic division algebras, Comm. Algebra 22, 1994, pp. 4373-4378. [11] R. Hazrat and A. R. Wadsworth, Sk1 of grade Division Algebras, www.qub.ac.uk/puremaths/Preprints/16-2008.pdf 35