Đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu – giả tuyến tính - Đổng Quang Phúc

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 23 (48) - Thaùng 12/2016 164 Đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu  – giả tuyến tính Characterizations of solution sets of  - pseudolinear optimization problems ThS. Đổng Quang Phúc Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Dong Quang Phuc, M.Sc. Nguyen Huu Canh High School Tóm tắt Bài báo này giới thiệu kết quả về các đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu có hàm mục tiêu thuộc lớp hàm Lipschitz  -giả tuyến tính trên tập hợp  -invex. Bài báo cũng thu lại được một số kết quả trước đây về đặc trưng tập nghiệm đối với lớp hàm giả tuyến tính khả vi. Từ khóa: đặc trưng tập nghiệm,  -giả invex,  -giả tuyến tính. Abstract The aim of this paper is to introduce characterizations of solution sets of optimization problems, where the objective functions are Lipschitz  - pseudolinear functions and the feasible sets are  - invex sets. Obtained results cover characterizations of solution sets of some smooth pseudolinear optimization problems reported in literature. Keywords: characterization of solution set,  -pseudoinvex,  -pseudolinear. 1. Giới thiệu Trong lý thuyết tối ưu, vấn đề đặc trưng tập nghiệm bài toán tối ưu là một chủ đề quan trọng. Đối với một bài toán tối ưu có nhiều nghiệm, nếu biết được đặc trưng tập nghiệm, các phương pháp tìm nghiệm có thể được đề xuất một cách thích hợp. Điều này rất thuận lợi cho việc tìm nghiệm tối ưu bằng các phương pháp số. Trong bài báo này chúng tôi quan tâm đến đặc trưng tập nghiệm cho một dạng bài toán tối ưu có hàm mục tiêu là hàm lồi suy rộng trên một tập lồi suy rộng. Đối với lớp hàm lồi suy rộng, đã có nhiều lớp hàm khác nhau được giới thiệu trong những năm qua. Năm 1965, Mangasarian giới thiệu khái niệm hàm giả lồi, giả lõm và tựa lồi, tựa lõm cài đặt trên lớp hàm khả vi [15]. Năm 1981, Craven [5] giới thiệu khái niệm hàm invex cho lớp hàm khả vi. Theo đó, hàm f khả vi trên tập mở X gọi là là invex trên X nếu tồn tại hàm véc-tơ nRXX : sao cho Xyxyfyxyfxf T  ,),(),()()(  . Rõ ràng rằng một hàm lồi khả vi là hàm invex với yxyx ),( . Đặc điểm của hàm invex là chúng được đặc trưng bởi tính chất mọi điểm dừng của hàm invex trên tập mở X đều là điểm cực tiểu toàn cục của f trên X . Tương tự như hàm giả lồi và tựa lồi khả vi, Hanson [8], năm 165 1981, đã giới thiệu khái niệm mở rộng của hàm tựa lồi và giả lồi mà sau này được gọi hàm khả vi giả invex và tựa invex [16] trên tập mở nRX  . Năm 1984, Chew và Choo quan tâm đến lớp hàm giả tuyến tính [7], đó là lớp hàm khả vi vừa giả lồi và giả lõm (tức là f và )( f đều giả lồi). Năm 1989, Rueda [18] đã giới thiệu hàm khả vi  - giả tuyến tính từ khái niệm giả invex. Các định nghĩa về hàm lồi suy rộng nêu trên đều được định nghĩa cho hàm khả vi. Dựa vào đạo hàm suy rộng theo nghĩa của Clarke, một số khái niệm hàm lồi suy rộng từ lớp hàm khả vi được mở rộng cho lớp hàm Lipschitz địa phương. Khái niệm hàm invex xác lập cho lớp hàm Lipschitz địa phương được gọi là c-invex được giới thiệu. Khi mở rộng như thế, đặc trưng của hàm Lipschitz c-invex cũng được đặc trưng qua tính chất mọi điểm dừng đều là cực tiểu toàn cục. Lịch sử của vấn đề đặc trưng tập nghiệm có thể sơ lược qua như sau: Năm 1988, Mangasarian [14] lần đầu tiên giới thiệu các công thức đặc trưng tập nghiệm của bài toán lồi với ràng buộc tập lồi cho bài toán. Cx xf  )(Min Kể từ đó đến nay đã có nhiều công trình liên quan đến chủ đề này được công bố. Các bài báo quan tâm đến chủ đề này là khá phong phú. Từ bài toán lồi với ràng buộc tập, đến bài toán lồi có ràng buộc bất đẳng thức lồi, mở rộng ra với một hệ vô hạn các ràng buộc lồi. Tiếp đó đặc trưng tập nghiệp của bài toán tối ưu véc-tơ và một số lớp bài toán tối ưu không lồi cũng được xem xét. Có thể liệt kê một số công trình tiêu biểu về đặc trưng tập nghiệm trong những năm qua như: [4], [9], [17], [10], [1], [11], [13], [2], [12], [3]. Theo mạch nghiên cứu đó, mục đích của bài báo này là thiết lập đặc trưng tập nghiệm của một dạng bài toán không lồi với các giả thiết  -invex cài đặt cho tập ràng buộc và tính chất hàm  -giả tuyến tính cài đặt cho hàm mục tiêu thông qua việc sử dụng đạo hàm Clarke. Kết quả này là sự mở rộng kết quả trong bài báo số [9]. Chúng tôi cũng chú ý rằng gần đây, đặc trưng tập nghiệm cho bài toán tối ưu với hàm mục tiêu Lipschitz địa phương, giả invex trên một tập mở invex được giới thiệu trong bài báo [19]. Đặc biệt, đặc trưng tập nghiệm cho bài toán tối ưu có hàm mục tiêu là  -giả tuyến tính trên tập  -invex được giới thiệu trong bài báo [20] thông qua dưới vi phân Clarke. Bài báo được tổ chức như sau: Phần tiếp theo được dành để giới thiệu các kiến thức cơ bản liên quan đến định nghĩa của một số lớp hàm lồi suy rộng và một số kết quả cần thiết cho các chứng minh của phần chính của bài báo. Kết quả chính của bài báo liên quan đến đặc trưng tập nghiệm và được giới thiệu trong phần cuối cùng của bài báo. Ví dụ minh họa cũng được giới thiệu. 2. Kiến thức cơ bản Cho hàm RRf n : Lipschitz địa phương tại nRx và vectơ bất kì nRd . Theo định nghĩa của Clarke [6], đạo hàm suy rộng của hàm f tại x theo hướng d và dưới vi phân của hàm f tại x được định nghĩa tương ứng bởi t yftdyf dxf t xy c )()(suplim);( 0     và  ncnc RddudxfRuxf  ,,),(|)( . Đạo hàm theo hướng d của hàm f 166 tại điểm x được định nghĩa bởi giới hạn sau đây (nếu giới hạn vế phải tồn tại) t 0 f (x td) f (x) f '(x;d) lim t    . Hàm f được gọi là chính quy tại nRx nếu );(' dxf tồn tại và );();(' dxfdxf c , với mọi nRd . Hàm f được gọi là chính quy trên tập C nếu f chính quy tại mọi điểm thuộc C . Bổ đề 2.1 Cho hàm RRf n : là Lipschitz địa phương tại nRx . Khi đó: i) 0),;();(  rdxrfrdxf cc , ii) c cf (x; d) ( f ) (x;d)   , iii) ).())(( xfxf cc   Chứng minh: i) Với mọi 0r , ta có ).;( )()( suplim )()( suplim);( 00 dxrf tr yftrdyf r t yftrdyf rdxf c t xy t xy c          ii) Xem [6, mệnh đề 2.1.1], kết quả c). iii) Xem [6, mệnh đề 2.3.1]. Chú ý: Ta có ( f ) '(x;d) f '(x;d)   . Thật vậy t 0 t 0 ( f )(x td) ( f )(x) f (x td) f (x) ( f ) '(x;d) lim lim f '(x;d) t t              Định nghĩa 2.1 Hàm RRh n : được gọi là lẻ dưới, nếu  0\,0)()( nRxxhxh  . Định nghĩa 2.2 Cho RXf : là hàm khả vi trên tập mở nRX  . i) Hàm f được gọi là  - giả invex nếu tồn tại hàm véc-tơ nRXX : sao cho T(x, y) f (y) 0 f (x) f (y), x, y X       , ii) Hàm f được gọi là  - tựa invex nếu tồn tại hàm véc-tơ nRXX : sao cho Tf (x) f (y) (x, y) f (y) 0, x, y X      , iii) Hàm f được gọi là  - giả tuyến tính nếu f và )( f là  - giả invex với cùng một hàm  . Để chuẩn bị cho kết quả chính nói trong phần tiếp theo, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Lipschitz  -giả tuyến tính dựa trên khái niệm  -invex. Trước hết chúng tôi giới thiệu khái niệm tập  -invex (có tài liệu chỉ gọi là tập invex). Định nghĩa 2.3 Cho tập khác rỗng nRX  và ánh xạ nRXX : . Tập X được gọi là  - invex nếu với mọi Xyx , , với mọi ]1;0[ , ta có Xyxy  ),( . Từ Định nghĩa 2.3, nếu yxyx ),( thì X là tập lồi (Ta nói tính chất  -invex là tính chất lồi suy rộng). Định nghĩa sau đây là sự mở rộng khái niệm của hàm  -invex khả vi. Định nghĩa 2.4 Cho nRX  là tập  - invex và hàm RRf n : là Lipschitz địa phương trên nR . i) Hàm f được gọi là  - giả invex trên X nếu với mọi Xyx , , ta có )()(0)),(;( yfxfyxyf c  hay 0)),(;()()(  yxyfyfxf c  , ii) Hàm f được gọi là  - giả tuyến tính trên X nếu các hàm f và )( f đều là  - giả invex trên X . Trong Định nghĩa 2.4, nếu yxyx ),( thì f là hàm Lipschitz giả lồi. Nhận xét 2.1 Từ Định nghĩa 2.4, ta thấy rằng hàm 167 f là  - giả invex trên X nếu với mọi Xyx , , tồn tại )(yfc sao cho ).()(0),(, yfxfyx  Để thu được kết quả về đặc trưng tập nghiệm cho trường hợp hàm mục tiêu Lipschitz là  - giả tuyến tính, chúng tôi cần đến một điều kiện và các bổ đề sau đây: Cho nRX  là tập  - invex với ánh xạ nRXX : . Điều kiện sau đây được ký hiệu là điều kiện (C) (Xem [21]): (C) : Với mọi Xyx , , với mọi  1;0 , ta có (y, y (x, y)) (x, y), (x, y (x, y)) (1 ) (x, y).           3. Đặc trưng tập nghiệm tối ưu của bài toán  - giả tuyến tính Trong phần này, chúng tôi quan tâm đến đặc trưng tập nghiệm của lớp hàm Lipschitz địa phương trên nR có cài đặt thêm giả thiết  - giả tuyến tính. Cần nhắc lại rằng tập nghiệm của bài toán tối ưu giả tuyến tính trong trường hợp hàm khả vi đã được nghiên cứu và giới thiệu trong bài báo [9], và được tổng hợp giới thiệu lại trong tài liệu [16]. Các định lý sau đây mô tả đặc trưng tập nghiệm cho bài toán (P) với hàm mục tiêu là hàm Lipschitz và thỏa một tính chất lồi suy rộng. Đồng thời tập C cũng là tập lồi suy rộng. Xét bài toán sau đây: (P) Min f (x) x C, trong đó nRC  là tập  -invex và f là hàm Lipschitz và  -giả tuyến tính trênC , trong đó hàm nRCC : thỏa mãn điều kiện (C). Ký hiệu S là tập nghiệm của (P) và giả sử rằng S . Trong các định lý về đặc trưng tập nghiệm dưới đây, giả sử rằng z là một nghiệm đã biết trước của bài toán. Bổ đề 3.1 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng. Khi đó, nếu hàm f chính quy tại z thì với mọi Cx , ta có ).()(0)),(;( zfxfzxzf c  Chứng minh: Nếu f là  -giả tuyến tính trên C thì f và )( f là  - giả invex. Khi đó, với mọi Cx , ta có      ))(())((0)),(;()( )()(0)),(;( zfxfzxzf zfxfzxzf c c   Do f chính quy tại z nên         c c f (z;η(x,z)) 0 f(x) f(z), f (z;η(x,z)) 0 f(x) f(z). (3.1) Vì vậy )()(0)),(;( zfxfzxzf c  . Ngược lại, với mỗi Cx , giả sử )()( zfxf  , ta cần chứng minh 0)),(;( zxzf c  . Với mỗi  1;0 đặt Czxzy  ),(*  . Ta sẽ chứng minh )()( * zfyf  . Giả sử )()( * zfyf  tức là, )()()( *yfzfxf  . (3.2) Do f là  - giả invex nên từ i) của Định nghĩa 2.4 ta có 0)),(;( ** yzyf c  . (3.3) Do điều kiện (C) được thỏa mãn nên ),( 1 ),( ** yxyz       . Từ (3.3) và bổ 168 đề 2.1 ta có 0)),(;( 1 )),( 1 ;( ****      yxyfyxyf cc       Suy ra 0)),(;( **  yxyf c  . (3.4) Nếu 0),( * yx thì 0)),(;( **  yxyf c  (mâu thuẫn với (3.4)) nên 0),( * yx . Do ;.)( *yf c lẻ dưới nên 0)),(;()),(;( ****  yxyfyxyf cc  . Vậy ta có 0)),(;( ** yxyf c  . Do f là  -giả invex nên )()( *yfxf  (mâu thuẫn với (3.2)). Giả sử )()( * zfyf  , tức là )()()( * xfzfyf  (3.5) Hay ))(())(( *yfzf  . Do )( f là  -giả invex nên 0)),(;()( **  yzyf c  . Kết hợp điều kiện (C) và chú ý rằng nếu ;.)( *yf c lẻ dưới thì ;.)()( *yf c cũng lẻ dưới. Bằng lập luận như trên, ta sẽ nhận được )()( * xfyf  , mâu thuẫn với (3.5). Tóm lại, ta có )()( * zfyf  hay )()),(( zfzxzf  . Khi đó, do f chính quy tại z nên  .1;0,0 )()),(( lim)),(;()),(;( 0 '          zfzxzf zxzfzxzf c Vậy )()( zfxf  dẫn đến 0)),(;( zxzf c  .  Bổ đề 3.2 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó với mỗi Cx tồn tại hàm RCCp : sao cho 0),( zxp thỏa điều kiện: )).,(;().,()()( zxzfzxpzfxf c  Chứng minh: Ta xét 2 trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu 0)),(;( zxzf c  , với mọi Cx thì do Bổ đề 3.1 ta có )()( zfxf  . Khi đó, có thể chọn 0),(  zxp tùy ý. Trường hợp 2: Nếu 0)),(;( zxzf c  , với mọi Cx thì do Bổ đề 3.1 ta có )()( zfxf  . Chọn hàm RCCp : sao cho . )),(;( )()( ),( zxzf zfxf zxp c    (3.6) Ta sẽ chứng tỏ 0),( zxp , với mọi Cx . Giả sử )()( zfxf  . Do f là  -giả invex nên 0)),(;( zxzf c  . (3.7) Từ (3.6), ta được 0),( zxp , với mọi Cx . Giả sử )()( zfxf  . Khi đó ))(())(( zfxf  . Vì )( f là  - giả invex nên 0)),(;()(  zxzf c  . Từ Bổ đề 2.1, ta nhận được 0)),(;(  zxzf c  . Nếu 0),( zx thì 0)),(;( zxzf c  (mâu thuẫn với (3.7)) nên 0),( zx . Khi đó, do ;.)(zf c lẻ dưới nên 0)),(;()),(;(  zxzfzxzf cc  Từ (3.6), ta được 0),( zxp , với mọi Cx . Tóm lại, bổ đề được chứng minh.  Chú ý rằng các phiên bản của hai bổ đề trên đây đã được chứng minh trong bài báo [20] bằng cách sử dụng dưới vi phân 169 Clarke. Ở đây, chúng tôi trực tiếp dùng đạo hàm Clarke. Định lý 3.1 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó   1 SS , với  .0)),(;(|1   zxzfCxS c  Chứng minh: Do Bổ đề 3.1, ta có   1 0)),(;()()( SxzxzfzfxfSx c   Nhận xét 3.1 Trong Định lý 3.1, nếu thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả thiết f chính quy trên C thì )),(;()),(;( ' xzxfxzxf c   . Ta thu được hệ quả sau đây. Hệ quả 3.1 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng và hàm f chính quy tại trên C . Khi đó ~ 1 SS  , với  .0)),(;(| ' ~ 1  xzxfCxS  Hệ quả 3.2 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử f khả vi và  - giả tuyến tính trên tập mở chứa C là tập  - invex. Khi đó   ' 1 ~ ' 1 SSS , với  0),(),(| ~ ' 1  xzxfCxS  ,  .0),(),(|' 1   zxzfCxS  Định lý 3.2 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó   2 SS , với  .0)),(;(| 2   zxzfCxS c  Chứng minh: Do Định lý 3.1 nên   2 SS . Lấy   2 Sx thì Cx và 0)),(;( zxzf c  . Do Bổ đề 3.2, tồn tại 0),( zxp sao cho )()),(;().,()()( zfzxzfzxpzfxf c   . Vậy )()( zfxf  . Do đó, Sx , tức là SS   2 . Vậy   2 SS .  Tương tự như Nhận xét 3.1, trong định lý 3.2, nếu thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả thiết f chính quy trên C ta có hệ quả sau: Hệ quả 3.3 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng và hàm f chính quy trên C . Khi đó, ~ 2 SS  , với  .0)),(;(| ' ~ 2  xzxfCxS  Hệ quả sau đây được suy ra từ định lý nêu trên khi f được giả sử là khả vi trên tập mở C . Hệ quả 3.4 Với bài toán (P), giả sử f là khả vi và  -giả tuyến tính trên tập mở chứa C là tập  -invex, với z là một nghiệm đã biết. Khi đó   ' 2 ~ ' 2 SSS , với  0),(),(| ~ ' 2  xzxfCxS  ,  .0),(),(|' 2   zxzfCxS  Định lý 3.3 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó   3 SS , với  .)),(;()),(;(| 3 xzxfzxzfCxS cc    Chứng minh : Lấy Sx , do Định lý 3.1 ta có 0)),(;()),(;(  xzxfzxzf cc  , tức là )),(;()),(;( xzxfzxzf cc   . Suy 170 ra   3 Sx , tức là   3 SS . Ngược lại, lấy   3 Sx . Ta có Cx và )),(;()),(;( xzxfzxzf cc   . (3.8) Ta cần chứng minh Sx . Giả sử Sx . Khi đó, )()( xfzf  . (3.9) Vì f là  -giả invex, theo Định nghĩa 2.4, ta được 0)),(;( xzxf c  . (3.10) Từ (3.8) và (3.10) suy ra 0)),(;( zxzf c  Mặt khác, do Bổ đề 3.2, tồn tại 0),( zxp sao cho )()),(;().,()()( zfzxzfzxpzfxf c   . Điều này mâu thuẫn với (3.9). Do đó Sx , tức là SS   3 . Vậy   3 SS .  Trong định lý 3.3, bây giờ chúng ta thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả thiết f chính quy trên C thì ta có hệ quả sau đây: Hệ quả 3.5 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng và hàm f chính quy trên C . Khi đó, ~ 3 SS  , với  )),(;()),(;(| '' ~ 3 xzxfzxzfCxS   . Hệ quả sau đây cũng được suy ra từ định lý nêu trên khi f được giả sử là khả vi trên tập mở C . Hệ quả 3.6 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử f khả vi và  -giả tuyến tính trên tập mở chứa C là tập  - invex. Khi đó,   ' 3 ~ ' 3 SSS , với  ),(),(),(),(| ~ ' 3 zxzfxzxfCxS   ,  .),(),(),(),(|' 3 xzxfzxzfCxS    Các Hệ quả 3.2, 3.4 và 3.6 chính là các nội dung đã được chứng minh trực tiếp trong bài báo số [9] tại các Định lý 3.1, Hệ quả 3.1 và Định lý 3.3 và được giới thiệu lại trong tài liệu số [16] tại các Định lý 5.18, Hệ quả 5.19, Định lý 5.20. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. N.Dinh, V. Jeyakumar and G.M. Lee (2006), Lagrange multiplier characterizations of solution sets of constrained pseudolinear optimization problems, Optimization 55, 241-250. 2. T.Q. Son and N. Dinh (2008), Characterizations of optimal solution sets of convex infinite programs, TOP 16,147-163. 3. T.Q. Son and D.S. Kim (2014), A new approach to characterize the solution set of a pseudoconvex programming problem, J. Comput. Appl. Math. 261, 333-340. 4. J.V. Burke and M. Ferris (1991), Characterization of solution sets of convex programs, Operations Research Letters 10, 57-60. 5. B.D. Craven (1981), Invex functions and constrained local minima, Bulletin of Australian Mathematical Society 24, 357-366. 6. Frank H. Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Reprint, New York. 7. K.L. Chew and E.U. Choo (1984), Pseudolinear and efficiency, Math. Programming 28, 226-239. 8. M.A. Hanson (1981), On Sufficiency of Kuhn- Tucker conditions, Journal of Mathematical Analysis Applications 80, 545-550. 9. V. Jeyakumar and X.Q. Yang (1995), Characterizing the solution sets of pseudo- linear programs, Journal of Optimization Theory and Applications 87, 747-755. 171 10. V. Jeyakumar, G.M. Lee and N. Dinh (2004), Lagrange multiplier conditions characterizing optimal solution sets of cone- constrained convex programs, Journal of Optimization Theory and Applications 123, 83-103. 11. V. Jeyakumar, G.M. Lee and N. Dinh (2006), Characterizations of solution sets of convex vector minimization problems, European Journal of Operations Research 174, 1380- 1395. 12. D.S. Kim and T.Q. Son (2011), Characterizations of Solution Sets of a class of Nonconvex Semi-Infinite Programming Problems, J. Nonlinear Convex Anal. 12, 429-440. 13. C.S. Lalitha and M. Mehta (2008), Characterizations of solution sets of mathematical programs in terms of Lagrange multipliers, Optimization 58, 995-1007. 14. O.L. Mangasarian (1988), A simple characterization of solution sets of convex programs, Operations Research Letters 7, 21-26. 15. O.L. Mangasarian (1965), Pseudoconvex functions, J. SIAM Control 2, 281-290. 16. [16] S. K. Mishra and G. Giorgi (2008), Invexity and optimization, Springer- Verlag, Berlin Heidelberg. 17. J.P. Penot (2003), Characterization of solution sets of quasiconvex programs, Journal of Optimization Theory and Applications} 117, 627-636. 18. N.G. Rueda (1989), Generalized Convexity in Nonlinear Programming, Journal of Information and Optimization Sciences 10, 395-400. 19. [19] K.Q. Zhao, X. Wan and X.M. Yang (2013), A note on characterizing solution set of nonsmooth pseudoinvex problem, Optimization Letter 7, 117-126. 20. K.Q. Zhao and L.P. Tang (2012), On characterizing solution set of nondifferentiable  -pseudolinear extremum problem, Optimization 61, 239-249. 21. Mohan, S. R, Neogy, S. K(1994), On invex sets and preinvex functions, Journal of mathematical analysis and applications 189, 901-908. Ngày nhận bài: 05/10/2016 Biên tập xong: 15/12/2016 Duyệt đăng: 20/12/2016