Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 4: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier - Đỗ Tú Anh

1Tín Hiệu và Hệ Thống Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện Bài 4: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3 EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tổ chức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5EE3000-Tín hiệu và hệ thống Vài nét lịch sử ƒ Euler nghiên cứu các dây rung, ~ 1750 ƒ Fourier chỉ ra rằng các tín hiệu tuần hoàn có thể được biểu diễn thành tổng của các hàm sin có tần số khác nhau ƒ Được sử dụng rộng rãi để hiểu rõ về cấu trúc và bản chất tần số của tín hiệu ƒ Phương pháp phân tích các sóng của Fourier (1822) là sự phát triển công trình của ông về dòng nhiệt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 6Tại sao lý thuyết Fourier quan trọng ? ƒ Phép biến đổi Fourier ánh xạ một tín hiệu miền thời gian sang một tín hiệu miền tần số ƒ Bản chất tần số của các tín hiệu được giải thích một cách đơn giản trên miền tần số ƒ Thiết kế các hệ thống để lọc các thành phần tần số thấp hoặc cao Bất biến với tín hiệu cao tần EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 7Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng 3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục 3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục) 3.2.4 Điều kiện Dirichlet 3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn 3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8EE3000-Tín hiệu và hệ thống Hàm riêng (Đi sâu vào các hệ liên tục trước, nhưng kết quả có thể áp dụng cho các hệ gián đoạn) – Các hàm riêng của hệ LTI là gì? – Loại tín hiệu nào có thể biểu diễn thành xếp chồng của những hàm riêng đó? Hệ thống Hàm riêng Hàm riêngGiá trị riêng Từ tính chất xếp chồng của hệ LTI ƒ Giống khái niệm giá trị riêng/vector riêng trong đại số ma trận CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 9EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Ví dụ 1: Hệ thống đơn vị Hàm riêng Bất kỳ hàm nào cũng là một hàm riêng của hệ LTI này Bất kỳ hàm tuần hoàn x(t)=x(t+T) cũng là một hàm riêng của hệ LTI này ƒ Ví dụ 2: Hệ thống trễ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 ƒ Ví dụ 3: h(t) là hàm chẵn Hàm riêng là một hàm riêng (cho hệthống này) Một hệ thống LTI cụ thể có nhiều hơn một loại hàm riêng EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11EE3000-Tín hiệu và hệ thống Hàm riêng Các hàm mũ phức là các hàm riêng của bất kỳ hệ LTI nào giá trị riêng hàm riêng đúng với tất cả CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng 3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục 3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục) 3.2.4 Điều kiện Dirichlet 3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn 3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 13 Tín hiệu tuần hoàn và chuỗi Fourier ( ) ( )x t x t T= + với mọi t – T nhỏ nhất đgl chu kỳ Ví dụ: 0( ) cos( )x t A tω θ= + A thực 0( ) j tx t Ae ω= A phức 0 2T πω= 0( ) jk tkx t Ae ω= k nguyên 0 2 kT k π ω= Xét 0 ( ) j tk k x t a e ω ∞ =−∞ = ∑ Chuỗi Fourier – tuần hoàn với chu kỳ T – { EE3000-Tín hiệu và hệ thống }ka là các hệ số chuỗi Fourier – k = 0 thành phần một chiều (DC) – k = ±1 thành phần cơ bản – k = ±2 hài thứ hai, Chu kỳ cơ bản CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 14EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Lý thuyết về tích chập LTI sử dụng khái niệm là bất kỳ tín hiệu vào nào cũng được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các xung đơn vị được dịch Chuỗi Fourier ƒ Bây giờ ta sẽ xem làm thế nào các tín hiệu (vào) được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các hàm Fourier cơ sở (các hàm riêng), chính là các hàm mũ thuần ảo ƒ Các tín hiệu này đgl các chuỗi Fourier liên tục ƒ Các cơ sở là các tín hiệu sin được dịch, được biểu diễn dưới dạng các hàm sin phức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 15EE3000-Tín hiệu và hệ thống Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực 0( ) sinx t tω= có thể viết thành 0 01( ) ( )2 j t j tx t e e j ω ω−= − Do đó các hệ số của chuỗi Fourier của nó là 1 1 1 1, , 0 1 2 2 k a a a k j j− = = − = ≠ ± ƒ Đồ thị biên độ và góc pha ƒ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 16 Ví dụ 2: Tổng các hàm sin thực ƒ Xét chuỗi các hàm sin có tần số cơ bản là ω0 ƒ Tín hiệu này có thể viết thành ƒ Đồ thị biên độ và góc pha EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 17EE3000-Tín hiệu và hệ thống Ví dụ 3: Đáp ứng của hệ LTI ƒ Hệ LTI có đáp ứng xung ( ) ( ), 0th t e u tαα α−= > với tín hiệu vào 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) jk k k jk y t a H jk e H jk h e d ω ω τ ω ω τ τ ∞ =−∞ ∞ − −∞ = = ∑ ∫ 0 0 0( ) ( ) 0 0 000 0 ( ) .jk jk jkH jk e e d e e jk jk ω τ α ω τ α ω τατ α αω α τ α α ω α ω ∞ ∞ ∞− − + − +−= = = − =+ +∫ ∫ ƒ Ta có ƒ Tín hiệu ra 0 2 2 ( ) ,jk tk k y t c e ω =− = ∑ trong đó 0( )k kc a H jkω= 0 1 1 0 0 2 2 0 0 1, 1 1( ) ( )2 2, 2 2( ) ( )4 4, 2 2 c j j c c j j j j c c j j α α α α α ω α ω α α α α α ω α ω − − = − += =+ + + −= =+ + CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 18EE3000-Tín hiệu và hệ thống Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực ƒ Với tín hiệu thực, ta luôn có k ka a∗− = do đó có thể viết ( ) ( )0 0 0 00 0 1 1 ( ) jk t jk t jk t jk tk k k k k k x t a a e a e a a e a eω ω ω ω ∞ ∞− −∗ − = = = + + = + +∑ ∑ (Để chứng minh, tìm liên hợp phức của x(t), ký hiệu là x*(t), với chú ý rằng x(t)=x*(t)) kj k ka A e θ= 0 0 1 ( ) 2 cos( ) k k k x t a A k tω θ∞ = = + +∑ k k ka B jC= + 0 0 0 1 ( ) 2 ( cos sin )k k k x t a B k t C k tω ω∞ = = + −∑ ƒ Một số cách biểu diễn khác CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 19EE3000-Tín hiệu và hệ thống Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực ƒ Ví dụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 20 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng 3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục 3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục) 3.2.4 Điều kiện Dirichlet 3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn 3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 21EE3000-Tín hiệu và hệ thống Xác định các hệ số chuỗi Fourier 1) nhân với 2) tích phân trong chu kỳ 1) nhân với 2) tích phân trong chu kỳ Ở đây chỉ tích phân trong bất kỳ khoảng nào có độ dài T (một chu kỳ) ⇓ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 22EE3000-Tín hiệu và hệ thống ⇓ (Phương trình tổng hợp) (Phương trình phân tích) Cặp chuỗi Fourier liên tục ⇓Tiếp tục CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 23EE3000-Tín hiệu và hệ thống Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực ƒ Các hệ số chuỗi Fourier được xác định như sau 0 0 0 0 (1 ) ( 1 ) 1 (sin ) 1 1 2 2 jk t k T j k t j k t T T a t e T e dt e dt jT jT ω ω ω ω − − − = = − ∫ ∫ ∫ ƒ Tích phân đầu tiên bằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1 Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1 Do đó ta có 1 1 1 1, , 0 1 2 2 k a a a k j j− = = − = ≠ ± CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 24EE3000-Tín hiệu và hệ thống Ví dụ 2: Sóng vuông tuần hoàn Với k = 0 Với k ≠ 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 25 Một số chuỗi Furier có ích EE3000-Tín hiệu và hệ thống 0 0 00 1 ( ) , ( ) jk t jk tk k T k x t C e C x t e dt T ω ω∞ − =−∞ = =∑ ∫ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 26 Một số chuỗi Furier có ích EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 27EE3000-Tín hiệu và hệ thống Các cách biểu diễn khác ƒ Dạng lượng giác ƒ Các hệ số chuỗi Fourier ƒ Dạng lượng giác rút gọn trong đó và CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 28EE3000-Tín hiệu và hệ thống Các cách biểu diễn khác: Ví dụ (bằng cách nhìn trên đồ thị) (vì hàm đối xứng lẻ) ƒ Chu kỳ cơ bản n lẻ ƒ Tần số cơ bản CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 29EE3000-Tín hiệu và hệ thống Các cách biểu diễn khác: Ví dụ ƒ Chu kỳ cơ bản ƒ Tần số cơ bản ƒ Biểu thức đầy đủ ƒ Dịch pha CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 30EE3000-Tín hiệu và hệ thống Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng 3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục 3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục) 3.2.4 Điều kiện Dirichlet 3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn 3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 31EE3000-Tín hiệu và hệ thống Điều kiện Dirichlet Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối trong một chu kỳ Điều kiện 2. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu Ví dụ. Ví dụ không thỏa mãn điều kiện 2 Điều kiện 3. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn các điểm không liên tục Ví dụ. Ví dụ không thỏa mãn điều kiện 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 32 Hiện tượng Gibb EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Chuỗi Fourier cho sóng vuông – Khi K tăng, những gợn sóng trong xN(t) hẹp dần – Độ quá điều chỉnh luôn không đổi với mọi N Xấp xỉ của x(t) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt