Giải tích - Chương 2: Hàm liên tục - Phan Trung Hiếu

9/17/2017 1 LOGO GIẢI TÍCH GV. Phan Trung Hiếu 60 tiết LOGO Chương 2:Hàm liên tục GV. Phan Trung Hiếu §1. Khái niệm §2. Tính chất của hàm liên tục 3 §1. Khái niệm I. Hàm số liên tục tại một điểm: 4 Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác địnhtrong một khoảng chứa x0. Ta nói:(i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu0 0lim ( ) ( ).x x f x f x  0 0 lim ( ) ( ).x x f x f x  5 (iii) f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0 lim ( ) ( ).x x f x f x Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điềusau: f(x) xác định tại x0. tồn tại.  0 lim ( )x x f x 0 0 lim ( ) ( ).x x f x f x  6 Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là giánđoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau: f(x) không xác định tại x0. f(x) xác định tại x0, nhưng 0 lim ( )x x f x không tồn tạihoặc 0 lim ( )x x f x không tồn tạihoặc 0 0 lim ( ) lim ( ).x x x xf x f x   f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng 0lim ( )x x f x 0 0lim ( ) ( ).x x f x f x  9/17/2017 2 7 Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì cũng liên tục tại x0., . , ( 0)ff g f g gg Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau sin 3 khi 0) ( ) 3 khi 0     x xa f x x x tại 0 0.x  2 2 1 khi 1) ( ) khi 12        x xb f x x x tại 0 1.x   2 2 3 khi 0 ) ( ) 1 khi 0 3 khi 0       x x c f x x x x tại 0 0.x 8 Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số 3 2 2 1 khi 0) ( ) ln(1 ) 1 khi 0       xe xa f x x m x liên tục tại 0 0.x khi 0) ( ) khi 0 xe xb f x x m x      liên tục tại 0 0.x  II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: 9 Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc(a,b).Định nghĩa 2.2: f(x) liên tục trên [a,b]   f(x) liên tục trên (a,b) lim ( ) ( )x a f x f a  lim ( ) ( )x b f x f b  10 Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồthị là một đường liền nét (không đứt khúc)trên đoạn đó. Liên tục Không liên tục a b a b 11 §2. Tính chất của hàm số liên tục 12 Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phânthức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và cáchàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng. Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thìđạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. Định lý 2.6: f(x) liên tục trên [a,b] ( ). ( ) 0f a f b  ( , ) : ( ) 0.c a b f c  