Chướng ngại tri thức luận và chướng ngại sư phạm đối với dạy học một tri thức toán học - Nguyễn Anh Quốc

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 59 - Thaùng 7/2018 44 Chướng ngại tri thức luận và chướng ngại sư phạm đối với dạy học một tri thức toán học Epistemological Obstacles and Didactic Obstacles to Teaching and Learning Mathematical Knowledge TS. Nguyễn Ái Quốc, Trường Đại học Sài Gòn Nguyen Ai Quoc, Ph.D., Saigon University TS. Đào Hồng Nam, Trường Đại học Y Dược TP.HCM Dao Hong Nam, Ph.D., University of Medicine and Pharmacy at HCMC Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi làm rõ hai khái niệm chướng ngại tri thức luận và chướng ngại sư phạm đối với việc dạy học một tri thức toán học theo quan điểm của didactic toán. Mỗi chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức. Chướng ngại tri thức luận được chứng thực trong nguồn gốc lịch sử của một khái niệm và là cấu thành của kiến thức hiện tại. Chướng ngại sư phạm được xem là những trở ngại sinh ra từ quá trình chuyển hóa sư phạm và phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ thống dạy học. Từ khóa: khó khăn, chướng ngại, chướng ngại sư phạm, chướng ngại tri thức luận. Abstract In this paper, we clarify two concepts of epistemological obstacle and didactic obstacle to teaching mathematical knowledge from the perspective of didactic mathematics. One obstacle can be a certain knowledge or concept, not necessarily a difficulty or a lack of knowledge. Epistemological obstacles are attested in the historical genesis of a concept and constitutive of current knowledge. Didactic obstacles are considered as those resulting from the didactic transposition and depending on the choice of the educational system. Keywords: difficulty, obstacle, didactic obstacle, epistemological obstacle. 1. Đặt vấn đề Trong quá trình dạy học Toán, việc người học gặp một số khó khăn khi tiếp cận tri thức mới hay có một số sai lầm khi giải toán không phải là những hiện tượng lạ đối với người dạy. Có loại sai lầm do sự bất cẩn hay không chú ý, nhưng cũng có loại sai lầm mang tính hệ thống, bền vững và dai dẳng qua nhiều thế hệ người học. Loại sai lầm thứ hai này được các nhà nghiên cứu didactic toán quan tâm đặc biệt, vì chúng là biểu hiện của các chướng ngại mang bản chất tri thức luận gắn liền với lịch sử phát triển của tri thức hay chướng ngại sư phạm do sự lựa chọn của hệ thống dạy học gây nên. Việc xác định rõ các chướng ngại tri thức luận hay chướng ngại sư phạm của một tri thức toán học là hoạt động cần thiết đối với người dạy toán và các nhà nghiên cứu didactic toán vì đó là bước đầu tiên của quá NGUYỄN ÁI QUỐC – ĐÀO HỒNG NAM 45 trình thiết kế tình huống dạy học giúp người học vượt qua các khó khăn trong quá trình lĩnh hội tri thức mới. Trước khi làm rõ chướng ngại khoa học luận và chướng ngại sư phạm, chúng tôi trình bày các khái niệm liên quan sau: nghiên cứu tri thức luận, chuyển hóa sư phạm, khó khăn – sai lầm – chướng ngại. 2. Khó khăn – sai lầm – chướng ngại 2.1. Nghiên cứu tri thức luận Thuật ngữ épistémologie xuất hiện ở thế kỷ 19, được cấu tạo bởi hai từ gốc Hy Lạp: épistème có nghĩa là “khoa học” và logo có nghĩa là “nghiên cứu về”. Dorier (1997) viết: “Chúng tôi quan tâm đến épistémologie chủ yếu ở chỗ nó giúp hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy và học tri thức này. Chính là theo cách hiểu này mà chúng tôi cho rằng tốt hơn là hãy đưa ra một định nghĩa cho tính từ épistémologique. [] Chúng tôi đề nghị định nghĩa sau: étude épistémologique nghiên cứu những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức (đối với chúng tôi là tri thức toán học), quan tâm đến sự tiến triển của các tri thức hay kiến thức. Ở đây thuật ngữ tiến triển được hiểu theo nghĩa rộng nhất: nó có thể liên quan đến sự biến đổi tình trạng kiến thức của một hệ thống, một thể chế hay một cá thể. Hơn thế, nó chú ý không chỉ đến những tư tưởng tiến bộ mà còn đến cả những trì trệ, những bước lùi” [7, tr.17]. Thuật ngữ nghiên cứu (hay phân tích) tri thức luận được chuyển ngữ từ étude épistémologique, analyse épistémologique với cách hiểu như trên. Cụ thể hơn, nghiên cứu tri thức luận là nghiên cứu lịch sử hình thành tri thức nhằm làm rõ: - “Nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết; - Những trở ngại cho sự hình thành tri thức; - Những điều kiện sản sinh ra tri thức, những bước nhảy cần thiết trong quan niệm để thúc đẩy quá trình hình thành và phát triển tri thức” [2]. 2.2. Chuyển hóa sư phạm Quá trình chuyển đổi tri thức từ thể chế này sang thể chế kia, trong đó thể chế đích là thể chế dạy học, được gọi là quá trình chuyển hóa sư phạm. Đó là quá trình chuyển hóa gồm ba mắt xích cơ bản. Mắt xích thứ nhất, thể chế tạo tri thức Sự ra đời của một tri thức bác học thuộc mắt xích đầu tiên. Nó là kết quả của những hoạt động khoa học gắn liền với lịch sử cá nhân của nhà nghiên cứu. Để trình bày nó, các nhà toán học phải diễn đạt nó ở dạng khái quát nhất có thể được, theo những quy tắc thông dụng đang lưu hành trong cộng đồng khoa học mà không trình bày bài toán dẫn đến việc hình thành tri thức, không nêu lại quá trình tìm tòi, phát minh của mình, bỏ qua những sai lầm, chướng ngại gặp phải. Ta nói là, nhà toán học đã thực hiện hoạt động phi hoàn cảnh hóa, phi cá nhân hóa và phi thời gian hóa. Mắt xích thứ hai, thể chế chuyển hóa Trong những tri thức toán học được tích lũy qua lịch sử, các nhà thiết kế chương trình chọn ra một số vấn đề làm đối tượng dạy học. Để những tri thức này có thể dạy được cho một bộ phận công chúng, tri thức lại tiếp tục bị biến đổi để phù hợp với môi trường và hệ thống dạy học. Quá trình này có thể tạo ra một số đối tượng mới. Hệ quả là, sự xuất hiện một sự chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri thức quy định CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN VÀ CHƯỚNG NGẠI SƯ PHẠM ĐỐI VỚI DẠY HỌC MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC 46 trong chương trình và thể hiện trong sách giáo khoa. Mắt xích thứ ba, thể chế giảng dạy Khi tri thức cần dạy đã được xác định, người dạy phải dựa vào trình độ của từng đối tượng học sinh, cơ sở vật chất, phương tiện giảng dạy, phương pháp sư phạm của mình và sẽ chuyển tải những hiểu biết của mình về tri thức đó đến học sinh sao cho họ có thể hiểu được. Cách chuyển tải này đương nhiên cũng phụ thuộc vào quan niệm, vào các biểu tượng mà người dạy có về tri thức. Và như vậy, chuyển hóa sư phạm tiếp tục xảy ra trong hệ thống dạy - học. 2.3. Khó khăn Theo G. Brousseau, một khó khăn là một điều kiện, một đặc tính của một tình huống làm tăng đáng kể xác suất không có câu trả lời hay câu trả lời sai của các chủ thể tác nhân liên quan trong tình huống này. Tác nhân này có thể là một học sinh, cũng có thể là một giáo viên mà có thể gặp một khó khăn cho việc học tập mà anh ta dự định. Do đó các khó khăn có thể quan sát được, hoặc qua sự lặp đi lặp lại của các hành động của cùng một cá nhân trong một tình huống cho trước, hoặc thông qua một tập hợp các câu trả lời đồng thời của các nhóm chủ thể được xem là đủ để so sánh và đặt dưới các biến thể của tình huống. Các khó khăn có thể liên quan đến những tiến triển tự nhiên khác nhau của tình huống: lời giải với việc thực hiện một kiểu nhiệm vụ, việc đưa ra một quyết định, một thông báo, một phán quyết, việc học tập một kiến thức hay việc hình thành một quan niệm. Cần lưu ý rằng, mỗi khó khăn là một đặc trưng của một hệ thống cụ thể: tình huống được đặt ra dưới các điều kiện như thế cho các tác nhân là người có “danh mục” các quan niệm, kỹ thuật hiện có nhiều khó khăn hơn so với tình huống được đặt ra trong các điều kiện khác cho các tác nhân có danh mục khác. Việc nghiên cứu các nguyên nhân của khó khăn tương ứng với một vận động tích cực trong giảng dạy. Nếu các khó khăn có nguyên nhân, thì bằng cách tác động trên những nguyên nhân này giáo viên sẽ có thể làm cho việc lĩnh hội tri thức dễ dàng hơn. Nhưng thay vì nghiên cứu các khó khăn này như các tính chất của hệ thống, có lẽ để có thể rút ra được lợi ích của các kết quả được đề xuất bởi các khoa học khác (chẳng hạn tâm lý học, tri thức luận hay sư phạm học) người ta thường quy lỗi trực tiếp cho một trong các hệ thống con hoặc một trong các hệ thống hạ tầng: học sinh, tri thức hay giáo viên. Chẳng hạn, các kết quả sẽ không đạt bởi vì học sinh không có kiến thức kỹ thuật, công nghệ hay lý thuyết trong vốn kiến thức của họ theo cách quen thuộc mà người ta đã dạy cho họ trước đây, hoặc ít nhất người ta đã cố gắng nhưng vì giáo viên dạy kém hoặc vì học sinh học kém, hay dự án quá tham vọng. Do đó, cùng một khó khăn có thể được quy trách nhiệm cho học sinh, cho giáo viên hay cho tri thức của chính học sinh. 2.4. Sai lầm và chướng ngại Theo quan điểm của phái Bachelard, sai lầm không phải là sự kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó không nằm ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức. “Khi nghiên cứu những điều kiện [] cho các bước tiến của khoa học, ta nhanh chóng đi đến chỗ tin rằng cần phải tiếp cận vấn đề bằng thuật ngữ chướng ngại. [] Chính là ở đó mà ta tìm thấy nguyên nhân của sự trì trệ, thậm chí sự thụt lùi. Chính là ở đó ta phát hiện những nguyên nhân trơ ì NGUYỄN ÁI QUỐC – ĐÀO HỒNG NAM 47 mà ta gọi là chướng ngại. [] Trong thực tế, ta cần phải biết chống lại một kiến thức cũ bằng cách loại bỏ đi những kiến thức đã được xây dựng một cách không hoàn toàn đúng, bằng cách vượt lên cái nằm trong chính tư duy và tạo nên chướng ngại cho nhận thức” [1]. Ngay từ những năm 70, nghiên cứu của Brousseau đã chỉ ra rằng, một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập: con đường đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số kiến thức sai, và việc ý thức được sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của kiến thức mà ta muốn xây dựng cho họ. Kế thừa Bachelard, Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là những chướng ngại tri thức luận và nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức: “Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, như cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, đã từng có ích đối với việc học trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội tri thức mới. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được. Chúng tạo thành chướng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể này” [3, tr. 171]. 2.5. Nguồn gốc của chướng ngại Brousseau phân biệt các chướng ngại tùy theo nguồn gốc của chúng [2]: - Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể (obstacle ontorénétique) là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của cá nhân ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của nó. - Chướng ngại văn hóa (obstacle culturel) sinh ra từ những kiến thức lưu truyền qua các bối cảnh văn hóa, đã được khoa học điều chỉnh, nhưng vẫn luôn luôn hiện diện. - Chướng ngại sư phạm (obstacle didactique) là chướng ngại sinh ra từ sự chuyển hóa sư phạm, dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ thống dạy học. - Chướng ngại tri thức luận (obstacle épistémologique) là chướng ngại gắn liền với lịch sử phát triển của tri thức mà việc vượt qua nó đóng vai trò quyết định đối với quá trình xây dựng kiến thức của chủ thể. Trong học tập, việc vượt qua những chướng ngại tri thức luận là điều không thể tránh khỏi, bởi đó là yếu tố cấu thành nên kiến thức. 2.6. Đặc trưng của chướng ngại [2] - Mỗi chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức; - Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp; - Khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai để có câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có một thay đổi đáng kể trong quan điểm; - Hơn nữa, kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn (việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới); - Ngay cả khi chủ thể đã ý thức được sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng và CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN VÀ CHƯỚNG NGẠI SƯ PHẠM ĐỐI VỚI DẠY HỌC MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC 48 không đúng lúc. Dưới đây, chúng tôi nêu ra một số ví dụ về các chướng ngại tri thức luận và chướng ngại sư phạm được trích từ các nghiên cứu trong khuôn khổ didactic toán. 3. Chướng ngại tri thức luận Trong tác phẩm “La formation de l’esprit scientifique”, hiện tượng chướng ngại tri thức luận đã được Bachelard (1938) làm rõ lĩnh vực các khoa học (phần lớn là các khoa học vật lý) và ông cho rằng toán học miễn nhiễm với các hiện tượng này: “Trong thực tế, lịch sử toán học là một điều kỳ diệu về sự đều đặn. Nó biết các giai đoạn dừng. Nó không biết giai đoạn sai lầm. Không có một luận đề nào mà chúng ta bảo vệ trong cuốn sách này nhắm đến kiến thức toán học” [1]. Bằng cách thay đổi một chút khái niệm của Bachelard, người ta đã chỉ ra rằng các hiện tượng chướng ngại cũng ảnh hưởng đến lịch sử toán học và hơn nữa nó nhất thiết cũng hiện diện trong quá trình học tập và giảng dạy. “Một chướng ngại trong Toán học biểu hiện bởi một tập hợp các khó khăn chung đối với nhiều tác nhân hành động (chủ thể hay thể chế) là những người chia sẻ “một” quan niệm không thích hợp của một khái niệm toán học” [3]. Ví dụ 1: Nhiều nghiên cứu didactic đã quan tâm đến các khó khăn trong học tập khái niệm giới hạn, trong đó có Cornu (1983), Sierpinska (1985), Schneider (1991), Lê Thái Bảo Thiên Trung (2010). Cornu đã chỉ ra ở nhiều sinh viên năm thứ nhất đại học một quan niệm năng động và đơn điệu của khái niệm giới hạn cản trở việc thiết lập một số tính chất cơ bản của khái niệm toán học. Ở đây, chúng tôi trình bày cụ thể chướng ngại của giới hạn của dãy số trong nghiên cứu của Cornu (1983): “Một giới hạn có đạt tới giới hạn hay không?” và chướng ngại giới hạn hàm số: “Bước chuyển từ quan điểm xấp xỉ x sang quan điểm xấp xỉ 𝑓(𝑥)” của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2010). 3.1. Chướng ngại “Một giới hạn có đạt tới giới hạn hay không?” Khi nghiên cứu các giới hạn dạng 0/0 xuất hiện trong bài toán vận tốc tức thời, Newton đã mô tả giới hạn của tỉ số giữa số gia quãng đường với số gia thời gian là “trạng thái cuối cùng của đại lượng vận tốc trước khi các số gia biến mất”. Câu hỏi đặt ra cho quá trình nhận thức: liệu ta có đạt được giới hạn này hay không? Cornu (1983) đã nghiên cứu hiệu ứng của chướng ngại này ở HS qua hệ thống câu hỏi trên các dãy số. Trong câu hỏi số 1, tác giả đưa ra một dãy số 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; 0,33333; và nêu các câu hỏi sau: - “ 1 3 có trong dãy này không?” - “Có số nào trong dãy lớn hơn 1 3 không?” - “Ta có thể tìm thấy một số 𝑎 < 1 3 , lớn hơn mọi số trong dãy này không?” - “Dạng viết 0,3333 có nghĩa là gì? Nó có biểu diễn cho một số nào không? Là số nào?...” [6, tr. 144]. Câu trả lời của HS cho thấy họ khó chấp nhận 1 3 là giới hạn của dãy trên. Nhiều giải thích cho thấy, HS tin rằng dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn 0,3333... là giới hạn và cũng là giá trị cuối cùng của dãy trên, hơn nữa giá trị này nhỏ nghiêm ngặt hơn 1 3 . Với giới hạn hàm số, chướng ngại này sẽ gây ra khó khăn cho HS khi đứng trước câu hỏi: nếu lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) tồn tại thì có tồn tại giá trị nào của x sao cho 𝑓(𝑥) = 𝐿 hay NGUYỄN ÁI QUỐC – ĐÀO HỒNG NAM 49 không? 3.2. Chướng ngại “bước chuyển từ quan điểm xấp xỉ x sang quan điểm xấp xỉ 𝒇(𝒙)” Nghiên cứu tri thức luận về khái niệm giới hạn hàm số, Lê Thái Bảo Thiên Trung (2010) chỉ ra hai quan điểm trong lịch sử của khái niệm giới hạn được ẩn chứa trong kí hiệu hiện đại lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 như sau: - Quan điểm xấp xỉ x: biến độc lập x càng lúc càng gần giá trị a kéo theo 𝑓(𝑥) càng lúc càng gần L. Nghĩa là, độ xấp xỉ (độ gần) của x với a sẽ kéo theo độ xấp xỉ của 𝑓(𝑥) với L. - Quan điểm xấp xỉ 𝑓(𝑥): độ xấp xỉ của 𝑓(𝑥) tới L mà ta mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ của x tới a phải chọn. Quan điểm này chính là nội hàm của định nghĩa chính xác bằng ngôn ngữ ,  ngày nay. Nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung cho thấy, học sinh dễ dàng tiếp cận giới hạn bằng quan điểm xấp xỉ x nhưng gặp khó khăn rất lớn khi chuyển sang quan điểm xấp xỉ 𝑓(𝑥). Như vậy, bước chuyển từ quan điểm trực giác (xấp xỉ x) sang quan điểm đúng đắn (xấp xỉ 𝑓(𝑥)) thực sự là một chướng ngại tri thức luận. Chướng ngại này cũng giải thích lí do tại sao nhiều nước trên thế giới (Pháp, Mỹ...) chỉ đặt mục tiêu truyền thụ quan điểm xấp xỉ x trong dạy học toán phổ thông. Liên quan đến việc làm rõ các công trình của Cornu (1983), Sierpinska (1985) đề xuất danh sách gồm năm kiểu chướng ngại liên quan đến giới hạn: 1/ chướng ngại gắn liền với tính vô cực. 2/ chướng ngại gắn liền với khái niệm hàm số: tính đơn điệu, cận trên nhỏ nhất, cận dưới lớn nhất, dãy giá trị. 3/ chướng ngại hình học: trực giác hình học như chướng ngại cho việc xây dựng một định nghĩa chặt chẽ, giới hạn như biên của một tập hợp. 4/ chướng ngại logic gắn liền với vấn đề các toán tử. 5/ chướng ngại của ký hiệu. Ví dụ 2: Một phân tích tri thức luận đối với việc dạy học Đại số tuyến tính (trong trường hợp Không gian vectơ (KGVT)) cho thấy, tồn tại một số chướng ngại gắn liền với lịch sử phát triển của khái niệm KGVT mà việc vượt qua chúng đóng vai trò quyết định đối với quá trình xây dựng hệ tiên đề định nghĩa KGVT hay các khái niệm liên quan. Do đó, trong học tập, việc vượt qua những chướng ngại này là điều không thể tránh khỏi. Phân tích tri thức luận về KGVT cho phép chỉ ra một số khó khăn, trở ngại mà các nhà toán học đã trải qua trong một quãng thời gian dài, đặc biệt có liên quan đến sự trừu tượng hóa của KGVT. Vì vậy, phân tích tri thức luận của KGVT cho phép chúng tôi rút ra các khó khăn có thể của sinh viên khi tiếp cận tri thức này: “Khó khăn liên quan đến trừu tượng hóa: + Kiểu hệ thống biểu đạt: một đối tượng tri thức có nhiều cách biểu đạt ngôn ngữ toán học như ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ ký hiệu hay ngôn ngữ đồ họa. Đối với cấu trúc KGVT, có thể biểu đạt qua ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ ký hiệu. Như đã phân tích ở trên, do nhu cầu giải quyết các vấn đề thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau cũng như xây dựng một ngôn ngữ chung để thỏa mãn cho những nghiên cứu được thực hiện, nên các nhà toán học phải đưa ra một hệ thống biểu đạt phù hợp nhất là sự tổng hòa của nhiều lĩnh vực. Chính vì vậy mà họ gặp không ít trở ngại. + Kiểu hệ thống tiên đề: hầu hết các CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN VÀ CHƯỚNG NGẠI SƯ PHẠM ĐỐI VỚI DẠY HỌC MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC 50 khái niệm toán học trong thể chế trung học phổ thông đều được định nghĩa theo kiểu định danh hay bản chất, trong khi các khái niệm của KGVT được định nghĩa bằng hệ tiên đề. Việc chuyển từ làm việc trên các tập hợp số cụ thể sang làm việc trên các hệ thống biểu đạt ký hiệu là một trong những nguồn gốc của các khó khăn mà sinh viên đại học gặp phải trong học tập KGVT” [9]. Ví dụ 3: Phân tích tri thức luận đối với khái niệm nhóm [10] chỉ ra sự tồn tại của chướng ngại liên quan đến trừu tượng hóa khái niệm này bằng hệ thống biểu đạt ký hiệu. Kết quả cho thấy, các thành phần của khái niệm nhóm xuất hiện rải rác trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau, tiến triển qua thời gian dài hơn một thế kỷ và cuối cùng được hợp nhất trong định nghĩa của V. Dyck năm 1883. Riêng ở giai đoạn xuất hiện sự trừu tượng và giai đoạn củng cố khái niệm nhóm trừu tượng, trong các công trình của Cayley (1878), Weber (1882) và Von Dyck (1883) những đặc trưng của nhóm tổng quát được xây dựng bằng hệ thống biểu đạt ký hiệu và định nghĩa nhóm tổng quát theo hệ tiên đề phải trải qua gần 30 năm để được cộng đồng toán học chấp nhận, hoàn thiện dần. Mặt khác, từ thực tế giảng dạy cho thấy sinh viên gặp nhiều lúng túng trong việc tiếp cận khái niệm nhóm và giải quyết các bài tập liên quan đến khái niệm này. Một khảo sát nhỏ trên 8 sinh viên của Trường Đại học Sư phạm TP.HCM, Trường Đại học Sài Gòn và Trường Đại học Đồng Nai cho thấy, họ gặp một số khó khăn liên quan đến ký hiệu của khái niệm nhóm thương G/N và những khó khăn này gắn liền với những quan niệm đã có từ trước, với khái niệm thương và đồng dư trong số học. Câu hỏi được đặt ra: “Cho G là một nhóm và N là nhóm con chuẩn tắc của G, bạn hãy cho biết mối quan hệ giữa: 1/ nhóm thương G/N và nhóm G; 2/ các phần tử của G/N và của G; 3/ phép toán trong G/N và trong G”. Kết quả khảo sát cho biết, có 5 sinh viên không nhận thức rõ bản chất của các phần tử của nhóm thương G/N cũng như phép toán của nó. Trong đó, có 2 sinh viên cho rằng nhóm thương G/N là một nhóm con của G. Sinh viên thứ nhất giải thích đơn giản rằng bởi vì nhóm thương G/N cũng là một nhóm và các phần tử của nó lấy từ nhóm G ban đầu; sinh viên thứ hai xem nhóm thương G/N là “tập hợp các lớp bên phải”, đúng hơn là tương ứng với GN là tích của các phần tử của G với các phần tử của N, do đó cũng là một phần tử của G. Sinh viên thứ hai còn cho rằng hai phép toán trong G/N và G là trùng nhau. Một sinh viên khác xem nhóm thương G/N là một nhóm con hay một tập con của G và nếu “nhân” G/N với N sẽ cho G. Hai sinh viên còn lại đã liên kết khái niệm nhóm thương với khái niệm thương của số học: sinh viên thứ nhất xem nhóm thương G/N là “phép chia nhóm G cho nhóm con N” và cho ví dụ Z/2 (Z là “nhóm được chia cho 2”); sinh viên thứ hai xem nhóm thương là tập hợp các thương của một phần tử thuộc nhóm ban đầu với một phần tử của nhóm con. Từ kết quả nghiên cứu trên đặt ra câu hỏi về các khó khăn liên quan chướng ngại trừu tượng hóa khái niệm nhóm bằng hệ thống biểu đạt ký hiệu mà sinh viên phải đương đầu khi học tập khái niệm này. 4. Chướng ngại sư phạm Đây là chướng ngại sinh ra từ sự chuyển hóa sư phạm, dường như chỉ phụ thuộc vào một lựa chọn hay một dự án của hệ thống giáo dục. Ví dụ 4: Kiến thức về số nguyên là chướng ngại NGUYỄN ÁI QUỐC – ĐÀO HỒNG NAM 51 cho việc xây dựng kiến thức về số thập phân ở học sinh. Một số khía cạnh của kiến thức về số nguyên được xác định là một chướng ngại sư phạm như định nghĩa, cách viết; một số khía cạnh khác là chướng ngại tri thức luận như kiến thức về số nguyên và các tính chất của nó cần thiết cho việc xây dựng số thập phân. Việc trình bày các số thập phân ở bậc tiểu học là kết quả của quá trình tiến triển lâu dài trong khuôn khổ của một lựa chọn sư phạm do các nhà bách khoa toàn thư thực hiện. Với tính hữu dụng của chúng, số thập phân được dạy cho mọi người càng sớm càng tốt, gắn liền với một hệ thống đo lường và đề cập đến các kỹ thuật tính toán trong số nguyên. Vì thế ngày nay, số thập phân đối với học sinh là cặp số nguyên được đặt cách nhau bởi một dấu phẩy. Thực nghiệm [5] được tiến hành trên các học sinh tiểu học Pháp, cho thấy tồn tại một chướng ngại đối với học sinh trong việc xây dựng kiến thức về số thập phân. Người ta yêu cầu học sinh năm cuối bậc tiểu học ở Pháp sắp xếp 7 số sau theo thứ tự tăng dần: 101 50 ; 52 100 ; 120 50 ; 0,375; 13 10 ; 1,01; 2,315. Lời giải học sinh A: 2,02; 0,52; 2,4; 0,375; 1,3; 1,01; 2,315. Do đó: 0,52 < 0,375 < 1,3 < 1,01 < 2,4 < 2,02 < 2,315. Lời giải của học sinh B: 2,02; 0,52; 2,4; 0,375; 1,3; 1,01; 2,315. Do đó: 0,52 < 0,375 < 1,01 < 1,3 < 2,02 < 2,4 < 2,315. Bình luận: Cả hai học sinh đều chuyển về so sánh các số thập phân. Trước hết là so sánh phần nguyên. Nếu phần nguyên (là một số tự nhiên) khác nhau: số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn. Nếu phần nguyên bằng nhau: học sinh A so sánh phần thập phân dựa vào độ dài của chúng, còn học sinh B so sánh chúng như so sánh hai số tự nhiên, không tính số 0 bên trái. Một số nghiên cứu đã khẳng định, các sai lầm của hai học sinh trên có nguồn gốc từ quan niệm: số thập phân (dương) là hai số tự nhiên ghép với nhau bởi dấu “phẩy”. Từ đó, việc so sánh hai số thập phân (dương) qui về so sánh hai số tự nhiên, theo qui tắc so sánh hai số tự nhiên. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách giải dựa vào quan niệm trên vẫn cho câu trả lời đúng. Chẳng hạn, nếu dãy số cần sắp xếp là: 0,23; 0,16; 1,54; 2,43; 1,29; 2,18. Do đó, quan niệm sai lầm này sẽ được củng cố và trở nên bền vững hơn, nếu tất cả các bài tập mà học sinh gặp phải (có thể do tình cờ) đều có dạng mà nó cho câu trả lời đúng. Như vậy, học sinh đã gặp phải chướng ngại sư phạm khi tiếp cận khái niệm số thập phân dương thay vì số tự nhiên quen thuộc; cụ thể, một số kiến thức về số tự nhiên trở thành chướng ngại cho việc xây dựng kiến thức về số thập phân. 5. Sự khác nhau giữa chướng ngại và khó khăn Phân biệt giữa chướng ngại và khó khăn đối với việc dạy học một tri thức không đơn giản, vì đòi hỏi phải xem xét chúng theo những nghĩa xác định nào. Thông thường chướng ngại đòi hỏi sự vượt qua kiến thức cũ như là một rào cản chống lại việc lĩnh hội kiến thức mới. Vì thế, trong phần này chúng tôi chỉ trình bày một số ví dụ để phân biệt sự khác nhau của hai khái niệm này. Việc học sinh lúng túng trong thao tác vẽ đường biểu diễn cho một elip được xem là một khó khăn, vì ở đây không cần vượt qua một kiến thức cũ nào cả. Khó khăn này có thể khắc phục qua một số lần vẽ nhằm tăng cường sự khéo léo của đôi tay. CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN VÀ CHƯỚNG NGẠI SƯ PHẠM ĐỐI VỚI DẠY HỌC MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC 52 Trong trường hợp học sinh gặp khó khăn biểu diễn và vẽ các đối tượng hình học trong ℝ3 như đường, mặt, các khối trên đó xác định nhiều loại tích phân khác nhau cần phải tính toán: nếu xét theo nghĩa “những gì ngăn cản hay làm trễ nải một hành động” thì có vẻ đó là một chướng ngại; nhưng nếu xét theo nghĩa cần vượt qua một kiến thức cũ thì đó chỉ là các khó khăn. Trong trường hợp nếu học sinh không làm việc trên hình học không gian cổ điển ở bậc trung học phổ thông thì đó có phải là một chướng ngại sư phạm đối với hình tượng hóa và do đó đối với khả năng giải các tích phân bội ở đại học sau này hay không, vì nó ngăn cản về mặt trí tuệ việc xây dựng các tương giao của các mặt trong không gian? Để trả lời câu hỏi này, cần phải kiểm chứng bằng thực nghiệm về vai trò của hình học ở trung học phổ thông trong quan niệm hóa các hình khối của không gian và trong việc sử dụng hình học tọa độ. Trên thực tế, việc học sinh không phân biệt các kiểu biểu diễn hệ thống biểu đạt của cùng một mặt trong không gian không phải là một chướng ngại sư phạm, mà là một khó khăn vì không có một kiến thức cũ nào cần phải đấu tranh vượt qua. Đối với chướng ngại tri thức luận, Brousseau đề nghị thực hiện đồng thời các tình huống a-didactic và didactic để có thể tổ chức sự thừa nhận và vượt qua chúng. 6. Kết luận Việc xác định các chướng ngại của một tri thức rất cần thiết và quan trọng cho hoạt động dạy học toán học. Nó giúp cho người giáo viên có quan điểm đúng đắn về các khó khăn, trở ngại mà học sinh gặp phải trong học tập một tri thức mới, đồng thời đặt ra cho các nhà didactic những câu hỏi về đồ án dạy học: Làm thế nào để tránh các chướng ngại? Có thể tránh được tất cả các chướng ngại không? Làm thế nào để vượt qua các chướng ngại mà chúng ta buộc phải đối đầu với chúng? TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bachelard, G. (1938), La formation de l'esprit scientifique, 13° éd., Paris: Vrin, 1986. 2. Bessot, A., & Comiti, C., & Lê Thị Hoài Châu, & Lê Văn Tiến (2009). Những yếu tố cơ bản của didactic Toán. Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh. 3. Brousseau, G. (1976). “Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques” in La problématique et l’enseignement de la mathématique. Actes de la XXVIIe rencontre de la CIEAEM Louvain la neuve (1976). Texte repris "Recherches en didactique des mathématiques"; vol 4.2 p 164- 197 (1983). 4. Lê Thị Hoài Châu (2017). Sự cần thiết của phân tích tri thức luận đối với các nghiên cứu về hoạt động dạy học và đào tạo giáo viên. Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6. Actes du sixième colloque international en didactique des mathématiques. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. 5. Comiti, C. (1992). Obstacles et construction de la connnaissance. Cours de DEA 6. Cornu, B. (1983). Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles. Thèse. Université Scientifique Et Médicale De Grenoble. 7. Dorier, J-L. (1997). Recherches en histoire et en didactique des mathématiques sur l'algèbre linéaire - Perspective théorique sur leurs interactions. Les cahiers du Laboratoire Leibniz. Grenoble. 8. Lalande, A. (1991). Vocabulaire technique et critique de la Philosophie. Vol. 2. Dixième Édition. Ed. Presses Universitaire de France. Paris. 9. Nguyễn Ái Quốc, Nguyễn Thị Thanh Thanh (2017). Lợi ích của phân tích tri thức luận đối với dạy học Đại số tuyến tính: trường hợp không gian vectơ. Hội thảo quốc tế về Didactic NGUYỄN ÁI QUỐC – ĐÀO HỒNG NAM 53 Toán lần thứ 6. Actes du sixième colloque international en didactique des mathématiques. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. 10. Nguyễn Ái Quốc, Nguyễn Thị Vân Khánh (2017). Một phân tích tri thức luận trong dạy học đại số cao cấp: trường hợp nhóm. Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6. Actes du sixième colloque international en didactique des mathématiques. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. 11. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2010). Notion de limite et décimalisation des nombre réels au lycée. Édition Universitaire Europénne. 12. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2017). Các tình huống tranh luận khoa học xoay quanh một số chướng ngại tri thức luận của khái niệm giới hạn. Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6. Actes du sixième colloque international en didactique des mathématiques. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. 13. Sierpinska, A. (1985). Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite, RDM, Vol.6.1, tr.5-67. Ngày nhận bài: 27/10/2017 Biên tập xong: 15/7/2018 Duyệt đăng: 20/7/2018