Tương tự trong nghiên cứu và trong dạy học Vật lí - Trần Ngọc Chất

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2016-0159 Educational Sci., 2016, Vol. 61, No. 8B, pp. 57-67 This paper is available online at TƯƠNG TỰ TRONG NGHIÊN CỨU VÀ TRONG DẠY HỌC VẬT LÍ Trần Ngọc Chất Khoa Vật lí, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt. Suy luận tương tự là nền tảng hình thành các tri thức vật lí. Phát triển các năng lực nghiên cứu khoa học cho học sinh trong quá trình dạy học cần nhất thiết phải bồi dưỡng cho học sinh khả năng phát hiện sự tồn tại các sự tương tự và vận dụng suy luận tương tự. Những đóng góp mới của bài báo về nghiên cứu lí luận cho khái niệm tương tự được chia thành 4 phần. Phần thứ nhất trình bày tổng quan nghiên cứu về tương tự trong nghiên cứu vật lí và trong dạy học vật lí. Phần thứ hai, bài báo trình bày ngắn gọn về vai trò sự tương tự trong lịch sử phát triển vật lí. Phần thứ ba, bài báo phân tích sâu về vai trò quan trọng của sự tương tự trong sự hình thành một số kiến thức quan trọng điển hình trong vật lí. Phần cuối cùng trình bày về các ví dụ trong dạy học vật lí về sự mở rộng phạm vi áp dụng của sự tương tự điện cơ sang những bài toán nghịch lí. Từ khóa: Tương tự, phương pháp dạy học, vật lí, dạy học, nghịch lí. 1. Mở đầu Câu nói nổi tiếng từ một nhà khoa học vào thời cổ đại “Sự hiểu biết của những thứ chưa biết nằm ở ngay những điều đã biết” đã cho thấy, ý thức về tầm quan trọng của suy luận tương tự đã tồn tại từ rất lâu. Một loạt các tri thức khoa học vật lí được hình thành trong lịch sử đã được Kuhn đúc kết trong cuốn sách “Tương tự dưới góc nhìn lịch sử, phương pháp luận và phương pháp dạy học” [1]. Trong cuốn sách này ông đã liệt kê rất nhiều các ví dụ sự hình thành các lí thuyết vật lí mới, trong đó ông có phân tích vai trò quan trọng của suy luận tương tự như là một công cụ khám phá tất yếu, không thể thiếu trong việc xây dựng các kiến thức vật lí. Với nhà nghiên cứu Glynn [2] ông còn chỉ ra, dù tương tự đóng vai trò là công cụ hình thành các lí thuyết, nhưng công cụ này thường bị lãng quên khi các lí thuyết mới ra đời. Do vậy, việc tìm hiểu lại con đường hình thành các kiến thức khoa học, mà ở đó sự phát hiện các sự tương tự cũng như vận dụng các suy luận tương tự với nhiệm vụ khám phá, đóng vai trò quan trọng. Từ đó, ông đưa ra mô hình dạy học trong đó có các quy tắc phát hiện sự tương tự và vận dụng các suy luận tương tự với quan điểm: dạy học, song song với học được kiến thức cần phải học được cách suy nghĩ tìm ra kiến thức. Cùng có nhiều quan điểm chung với Glynn, nhưng Duit [3] đã tìm hiểu sâu về vai trò tương tự và mối quan hệ với phép ẩn dụ thường xuất hiện trong văn học cũng như trong đời sống hàng ngày. Theo đó sự tương tự trong nghiên cứu khoa học được truyền cảm hứng từ những phép ẩn dụ đời thường. Với Coll [4], ông coi các phép suy luận tương tự là cơ sở để xây dựng các mô hình nhằm xây dựng các kiến thức khoa học. Việc coi trọng suy luận tương tự trong dạy học sẽ thúc đẩy quá Ngày nhận bài: 10/7/2016. Ngày nhận đăng: 20/9/2016. Liên hệ: Trần Ngọc Chất, e-mail: ngocchat1014@gmail.com 57 Trần Ngọc Chất trình học của học sinh, không những nắm vững kiến thức, mà còn phát triển nhận thức cũng như siêu nhận thức. Sự tương tự trong dạy học vật lí được Krause phân tích và phân loại thành 3 lớp (Hình 1). Tương tự trong cấu trúc, tương tự trong nguyên lí khám phá và lớp cao nhất là tương tự như một phương tiện để chuyển hóa các nguyên lí nền tảng của vật lí [5]. Theo đó các lí thuyết phức tạp của vật lí đều được hình thành chỉ từ một vài nguyên lí cơ bản, như nguyên lí đối xứng, nguyên lí bảo toàn, nguyên lí cực trị v.v. . . Hình 1: Sơ đồ phân loại tương tự của Krause Bên cạnh nhiều nghiên cứu chuyên sâu về lí luận, cũng có rất nhiều nghiên cứu áp dụng cụ thể việc dạy học, chú trọng phương pháp tương tự nhằm phát triển các năng lực tích cực của học sinh trong khi hình thành các kiến thức mới. Như các áp dụng trong dạy học về tương tự trong cơ học của Clement [6], tương tự trong phần sóng điện từ của Podolefsky [7], tương tự trong phần điện cơ bản của Dupin [8] và các ví dụ tương tự của Kaiser [9] khi dạy học phần thuyết động học chất khí và điện động lực học. Ở Việt Nam, các nghiên cứu về đề tài tương tự trong dạy học vật lí cũng đã được một số nhà nghiên cứu triển khai. Tiêu biểu trong số đó là nghiên cứu sâu sắc của Nguyễn Đức Thâm và Nguyễn Ngọc Hưng [10] về khái niệm tương tự. Trong đó các tác giả đã định nghĩa 3 khái niệm: Sự tương tự, Suy luận tương tự và Phương pháp tương tự. Tại nghiên cứu này, một loạt công thức được sơ đồ hóa của suy luận tương tự cũng được đưa ra. Trong phần phương pháp tương tự, hai tác giả đã đề cập phương pháp tương tự trong nghiên cứu vật lí, các giới hạn của phương pháp tương tự, vai trò của phương pháp tương tự trong dạy học vật lí, ngoài ra nhiều ví dụ tiêu biểu trong dạy học cũng đã được trình bày ngắn gọn. Thông qua việc tìm hiểu ưu điểm và giới hạn các nghiên cứu trên, trong phần nghiên cứu được trình bày dưới đây, tác giả sẽ không tiếp tục đi sâu bàn bạc thêm về lí luận về khái niệm tương tự, cái mà đã được trình bày rất rõ ràng như các nghiên cứu trên. Bài báo cũng không đề cập hay mở rộng các ví dụ ở các nghiên cứu trên đã triển khai trong dạy học, mà ở đó đã có những phân tích rất sâu sắc về vai trò của tương tự. Thay vào đó, những đóng góp mới của nghiên cứu sẽ được cô đọng và trình bày trong 3 phần. Phần thứ nhất sẽ chắt lọc ngắn gọn một số nghiên cứu khoa học về vật lí tiêu biểu trong từ thời cổ đại có liên quan nhiều đến sự tương tự. Phần nội dung này dựa chủ yếu vào các nghiên cứu rất rộng của Kuhn. Phần thứ hai, tác giả phân tích sâu sắc hơn so với sự phân tích của các nghiên cứu đã đề cập bên trên, về một số ví dụ tiêu biểu quan trọng trong sự hình thành một số lí thuyết vật lí cơ bản tiêu biểu, nhằm chỉ rõ vai trò sự tương tự trong nghiên cứu vật lí. Phần thứ ba sẽ đề cập tới ba ví dụ nghịch lí liên quan tới sự tượng tự trong dạy học, với mong đợi chúng sẽ có tính bất ngờ và do đó hi vọng chúng sẽ giúp tạo hứng thú học tập cho học sinh. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Lịch sử của khái niệm tương tự Khái niệm tương tự đã được người Hy Lạp dùng từ thời cổ đại ( ′ α ναλoγι′α, có nghĩa là tương ứng tỉ lệ, sự hòa hợp với nhau hay sự giống nhau) [11]. Trong thời cổ đại Anaxagoras (500 - 420 TCN) đã coi tương tự như là một nguyên tắc để suy ra những điều chưa biết từ những điều đã biết. Ông chính là tác giả của câu nói đề cập trên đầu bài báo. Euclid (Khoảng năm 330-270 TCN) đã có những quan điểm nền móng cho suy luận tương tự là quy luật liên hệ ba yếu tố: Hai yếu tố, mà mỗi yếu tố này đều liên quan tới yếu tố khác, thì 58 Tương tự trong nghiên cứu và trong dạy học Vật lí chúng liên quan với nhau. Empedocles (490–430 TCN) đã có một loạt ví dụ về áp dụng quy luật tương tự. Theo ông thì thế giới tự nhiên được cấu tạo bởi 4 yếu tố là lửa, đất, không khí và nước. Do được cấu tạo chung như vậy nên thế giới vật chất có các mối liên hệ với nhau, và do đó chúng sẽ tương tự nhau. Một trong những ví dụ của ông là chỉ ra sự tương tự khi so sánh giữa giác mạc mắt và cái vỏ đèn lồng. Một bên so sánh là võng mạc, coi như vỏ bọc nước kín nhưng lại cho ánh sáng xuyên qua, còn bên được so sánh là cái vỏ đèn lồng, coi như vỏ bọc kín gió nhưng cũng cho ánh sáng xuên qua. Một trong những ghi chép nổi tiếng của ông là về sự giải thích nguyên tắc hoạt động máy bơm nước, thông qua các phân tích về sự tương tự của cơ chế hoạt động máy bơm nước và cơ chế hít thở của con người. Hình 2: Mô hình 5 khối đa diện trưng bày trong vườn lâu đài Bagno – Đức. Theo Platon 5 khối đa diện này tương tự với 5 yếu tố cơ bản cấu thành thế giới. Aristoteles (384-322 TCN) cũng đưa ra những quy luật liên hệ ba yếu tố và có nhiều ví dụ áp dụng cho mối liên hệ giữa các đối tượng tự nhiên. Ở đây suy luận tương tự đã được làm sáng tỏ hơn. Trong khi suy luận quy nạp (quy những cái riêng về cái chung), quy luật diễn dịch (suy từ cái chung ra cái riêng) thì suy luận tương tự lại là sự suy luận từ những cái riêng này áp dụng cho những cái riêng khác. Ví dụ, ông cho là vây của con cá có sự tương tự với cánh của con chim. Tuy nhiên, tỉ lệ kích cỡ của vây cá và con cá so với tỉ lệ kích cỡ của cánh chim và con chim không có sự tương tự nào. Những người theo học thuyết của Pythagoras (570 – 495 TCN) còn cho rằng có sự tương tự giữa các quãng âm trong âm nhạc và khoảng cách tới các hành tinh. Với Platon (427-347 TCN) đã hoàn thành một hệ tư tưởng về tương tự với tên gọi “Timaios”. Trong khi theo Aristotle các hiện tượng quan sát được chính là những đối tượng trực tiếp của sự hiểu biết tự nhiên, thì theo Platon các hiện tượng tự nhiên cần được tìm trong các dạng toán học. Các hiện tượng được cảm nhận được chẳng qua là sự phản ánh từ những thực thể toán học. Mối liên kết giữa thế giới của toán học và thế giới của các hiện tượng tự nhiên được tạo nên bởi khái niệm tương tự. Khác với Empedocles, Platon coi thế giới cấu tạo bởi 5 yếu tố, đó là các khối đa diện đều (Hình 1) [12] Trong các yếu tố lửa, đất, không khí và nước thì tương tự với các khối tứ diện, lục diện, bát diện và khối 20 mặt. Còn khối 12 mặt thì sắp đặt sự tương tự của không gian vũ trụ (Môi trường ête). Các tư tưởng từ xa xưa về các quan điểm tương tự của Platon vẫn được Heisenberg (1901-1976) xem xét sâu sắc khi ông đưa ra các nền tảng lí thuyết về các hạt cơ bản, mà ở đó cách cư xử của sự đối xứng của các hạt được tìm trong các sự miêu tả đối xứng toán học. Kepler (1571 – 1630) có quan điểm “sự tương tự là những người thầy đáng tin cậy nhất của tôi khi khám phá những bí ẩn của tự nhiên“ [13]. Ông đã áp dụng lí thuyết tương tự của Platon trong việc nghiên cứu quỹ đạo các hành tinh. Ông coi quỹ đạo của các hành tinh Sao Thủy, Sao Kim, Trái Đất, Sao Hỏa, Sao Mộc và Sao Thổ có sự tương tự với các hình nguyên tố của Platon là Hình 8 mặt, 20 mặt, 12 mặt, tứ diện và lập phương. Cụ thể, các quỹ đạo của 6 hành tinh này nằm trên 6 mặt cầu lồng vào nhau tương ứng lần lượt ngoại tiếp và nội tiếp 5 hình khối nguyên tố của Platon (Hình 3) [14]. Sau này, khi thấy sự không phù hợp với các dữ liệu quan sát, ông đã coi mặt trời hút các hành tinh tương tự với kiểu lực từ (tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Tại thời điểm của ông định luật hấp dẫn chưa được tìm ra). Trên cơ sở đó ông phát hiện ra sẽ có sự lệch tâm của quỹ đạo và tìm ra 3 định luật nổi tiếng. Ngoài ra, sự tương tự còn được thể hiện chính trong quan điểm thần học của ông, trong đó ông coi quan hệ của đức Chúa Cha, Chúa Con và Chúa Thánh Linh tương tự quan hệ của Mặt trời, hệ các sao và không gian vũ trụ (mà thời đó coi là ête). 59 Trần Ngọc Chất Hình 3: Mô hình biểu diễn quan điểm ban đầu của Kepler, đó là qũy đạo các hành tinh có sự tương tự với các khối đa diện Platon. Không giống như sự tương tự có tính tôn giáo, Galilei (1564-1642) thu được các tri thức cũng như các giả thuyết thông qua sự tương tự có tính thực tế, quan sát được. Trong đó có sự quan sát “mặt trăng” của hành tinh Sao Mộc đã góp phần khẳng định tính đúng đắt của thuyết nhật tâm do Kopernik (1473-1543) đề xuất. Trong đó Sao Mộc hút mặt trăng của nó cũng tương tự như mặt trời hút các hành tinh khác, bác bó quan điểm trái đất là trung tâm vũ trụ hút các ngôi sao và hành tinh khác. 2.2. Sự tương tự trong các nguyên tắc khám phá trong nghiên cứu 2.2.1. Sự tương tự của các nguyên lí cực trị Các nguyên lí cực trị, mà chủ yếu là cực tiểu đóng vai trò đặc biệt quan trọng khi tìm hiểu thế giới tự nhiên, ở đó các đại lượng cơ bản (ví dụ thời gian diễn biến của một quá trình hay của một tác động) được cho là cần phải có giá trị cực trị. Nguyên lí này được coi như là nền móng của các mối liên hệ trong tự nhiên. Hình 4: Nhân viên cứu hộ sẽ chọn quỹ đạo giải cứu tương tự như cách thức ánh sáng chọn đường đi Để dễ hình dung nguyên lí này ta xét ví dụ sau: Ví dụ minh họa sự tương tự triết lí giữa sự kiện trong đời sống hàng ngày và nguyên lí cực trị của đường truyền ánh sáng (Hình 4): Anh nhân viên cứu hộ bãi tắm biển tại điểm A ở trên bờ (môi trường 1), cần giải cứu gấp một trường hợp đuối nước khi tắm biển tại B (môi trường 2). Đường d là danh giới giữa biển và bờ. Nhân viên cứu hộ sẽ phải chọn con đường đi sao cho tốn ít thời gian nhất (chứ không phải quảng đường ngắn nhất). Theo kinh nghiệm, nhân viên cứu hộ sẽ không chọn con đường thẳng ngắn nhất AI0B. Anh ta sẽ đương nhiên không chọn chọn AI1B với ý định quãng đường chạy bộ ngắn nhất và cũng không AI2B với ý định quãng đường bơi dưới nước ngắn nhất. Anh ta sẽ quyết định chọn quỹ đạo gẫy khúc AIB, dù không phải là quỹ đạo ngắn nhất nhưng thời gian tiếp cận người đuối nước theo kinh nghiệm của cứu hộ là nhanh nhất. Điều này cũng tương tự như ánh sáng truyền từ điểm A đến B, nó phải truyền qua hai môi trường trong suốt có chiết suất n1 và n2 khác nhau, ánh sáng sẽ không đi theo con đường ngắn nhất (đường thẳng) mà nó sẽ chọn con đường đi nhanh nhất tới B, đó là đường gãy khúc. Ngoài ra, nếu tốc độ truyền sáng c1 trong môi trường 1 lớn hơn tốc độ truyền sáng c2 trong môi trường 2 (tức chiết suất n1< n2), thì I nằm giữa I2I0 và trong trường hợp ngược lại thì I nằm giữa I1I0. I càng gần I0 nếu tốc độ truyền sáng giữa 2 môi trường càng ít khác biệt. I càng gần I2 nếu c1»c2 và I càng gần I1 nếu c1«c2. Điều này hoàn toàn tương tự khi áp dụng việc lựa chọn đường đi cứu hộ: Nếu tốc độ di chuyển v1 trên bờ của cứu hộ nhanh hơn tốc độ di chuyển v2 dưới nước thì I nằm giữa giữa I2I0. Ngược lại, v1<v2 (ví dụ đi bằng xe máy nước) thì I phải nằm giữa I1I0. I càng gần I0 nếu tốc độ di chuyển trên bờ và dưới nước càng ít khác biệt. I càng gần I2 nếu v1»v2 (ví dụ: trên bờ đi bằng xe máy, dưới nước bơi thường) và I càng gần I1 nếu v1«v2 (ví dụ: trên bờ đi bộ, dưới nước đi bằng xe máy nước). Ý tưởng cực trị này đã được nảy sinh từ thời cổ đại: nhà khoa học Heron (10-70) khi tìm các quy luật phản xạ trong quang học. Ông được ảnh hưởng bởi tư tưởng trừu tượng rằng, các hiện tượng tự nhiên diễn ra theo một cách với nỗ lực nhỏ nhất, và luôn có xu hướng tới đích. Quan điểm 60 Tương tự trong nghiên cứu và trong dạy học Vật lí này cũng là những yếu tố cơ bản trong suy nghĩ của Leibniz (1646-1716). Ông đã lí luận rằng: “Chúa có lẽ lúc đầu tạo ra nhiều thế giới, mà ở đó người ta có thể dùng các mô hình. Tuy nhiên, trong tất cả các thế giới có thể tưởng tưởng ra, ông chỉ chọn cái thế giới tối giản, đó chính là thế giới vật lí thực tế của chúng ta”[1]. Ý tưởng nền móng này đã được Fermat (1601-1665) thể hiện trong nguyên lí về đường đi ngắn nhất của tia sáng. Nguyên lí đó nói là, ánh sáng đi từ điểm 1 đến điểm 2, trong tất cả các đường đi khả quan, nó chỉ chọn duy nhất con đường tốn ít thời gian nhất. Có nghĩa là δ 2 ∫ 1 dt = 0 (1).Với nguyên lí này có thể suy ra được định luật truyền thẳng, phản xạ, khúc xạ của tia sáng. Maupertuis (1698-1765) đã liên tưởng tương tự nguyên lí cực trị của Fermat để xây dựng nguyên lí cực trị cho cơ học dù rằng quan điểm triết học của Fermat và Maupertuis trái ngược nhau. Nguyên lí này sau đó được Euler (1707-1783) biểu đạt tương tự dưới khái niệm tác dụng tối thiểu và biểu thức dạng toán học sơ khai là δ 2 ∫ 1 m.v.ds = 0 (2). Euler và Lagrange (1736-1813) tiếp tục mở rộng và chính xác hóa nguyên lí tác dụng tối thiểu. Sau đó nguyên lí này được Hamilton (1805-1865) hoàn thiện với tên gọi là nguyên lí Hamilton về tác dụng tối thiểu. Xét một hệ vật lí với hàm Lagrange L {xk (t) , x˙k (t) , t} (bằng hiệu động năng và thế năng), gọi tích phân tác dụng Hamilton giữa hai thời điểm t1 và t2 là S = t2∫ t1 L {xk (t) , x˙k (t) , t} .dt = 0 (3) thì giá trị cực trị (ở trường hợp này là cực tiểu) của S ứng với chuyển động thực của hệ. Tức là ta lại thu được biểu thức tương tự như (1) là δ 2 ∫ 1 dS = 0 (4). Có nghĩa là trong muôn vàn diễn biến có thể xảy ra của hệ vật lí, thì diễn biến thực của hệ vật lí xảy ra theo cách với nỗ lực ít nhất, hay tối ưu nhất. Sau này, Bolztmann cho biết, chính nguyên lí thứ hai của nhiệt động lực học được xây dựng dựa trên những ý tưởng tương tự với nguyên lí cực trị này. Các phương trình Maxwell, những phương trình nền tảng của lí thuyết trọng trường Einstein, hay phương trình Schro¨dinger cũng được xây dựng trên cơ sở tương tự với nguyên lí cực trị với những hàm Lagrange thích hợp. Feynman (1918-1988) đã mở đầu một cách tiếp cận mới cho cơ học lượng tử, mà ở đó trong sự tương tự với nguyên lí tác dụng tối thiểu Lagrange-Hamilton ông đặt ra khái niệm tác dụng toàn thể còn gọi là hàm truyền K (rB , tB ; rA, tA). Hàm truyền đặc trưng sự truyền hàm sóng từ trạng thái đầu (chỉ số A) đến trạng thái cuối (chỉ số B). Hàm truyền cần chứa biểu thức e i h S trong đó S được xác định bởi dạng phương trình (3). Trong S đã có tích phân theo thời gian từ tA đến tB. Còn vị trí của trạng thái cuối rB cũng cần phải có dạng tổng tích phân theo tất cả các vết đi khả dĩ xuất phát từ tất cả các vị trí ban đầu khả dĩ rA1, rA2, rA3, . . . . Có nghĩa là hàm sóng ở vị trí cuối là ψ (rB, tB) phải lấy tổng tích phân của các hàm sóng ψ (rA1, tA) , ψ (rA2, tA) , ψ (rA3, tA)... Có nghĩa là ψ (rB , tB) = ∫d3 r.K (rB, tB ; rA, tA) .ψ (rA, tA) (5). Ở đây, “trích ngang” trong chuỗi suy luận, ta có thể phát hiện thêm một sự tương tự nữa khi dùng phương pháp hàm truyền trong cơ học lượng tử với nguyên lí truyền sóng của Huygens (1629-1695). Theo Huygens, mỗi một điểm trên mặt đầu sóng ứng với một nguồn sóng nguyên tố mới. Biên độ sóng tại thời điểm cuối là tổng tất cả các biên độ sóng từ các nguồn nguyên tố tại thời điểm đầu. Nền tảng khái niệm của phương pháp tổng tích phân các vết đi khả dĩ thực ra chính là khái niệm lấy tổng của tất cả các khả năng. Theo đó, một hệ vật lí không phải chỉ có một quá khứ duy nhất trong không – thời gian, mà nó phải là có rất nhiều quá khứ khả dĩ. Mỗi một đường đi khả dĩ hay mỗi một quá khứ được sẽ được xác định bằng một xác suất. Hầu như các vết đi của hạt đi từ rA đến rB đều đóng góp rất ít vào xác suất tổng cộng. Mà đóng góp lớn nhất cho xác suất tổng cộng là các vết tương ứng với các khả năng cổ điển. Tức là các vết đi tốn ít nỗ lức nhất, tối ưu nhất. Ở đây chúng ta lại thấy có một sự 61 Trần Ngọc Chất tương tự với suy nghĩ của Leibniz. Thông qua các buồng bọt người ta có thể minh họa các vết đi của các hạt vi mô tuân theo nguyên lí này. Còn các khả năng khác kiểu cổ điển vẫn tồn tại, ví dụ trong các thí nghiệm nhiễu xạ chùm electron. Khi chúng ta áp dụng phương pháp tổng tích phân các khả năng vào trong lí thuyết hấp dẫn của Einstein chúng ta tiếp tục thấy một sự tương tự của vết quá khứ các hạt và đường cong không-thời gian, cái mà theo Einstein nó trình diễn quá khứ của hệ. Cho đến vật lí đương thời, Stephen W. Hawking [15] tiếp tục đưa phương pháp tổng tích phân vết theo một cách tương tự vào trong lí thuyết về vũ trụ. Thông qua một số thủ thuật toán học, Hawking đã đạt được một mô hình vũ trụ không có điểm kì dị, nó thay thế cho mô hình của Friedmann với quan điểm có điểm kì dị bắt đầu và điểm kì dị kết thúc. Theo lí thuyết này, vũ trụ không tồn tại vụ nổ lớn (Bigbang), do đó trong không-thời gian vũ trụ cũng không có biên. Điều này cũng ngầm khẳng định quan điểm vũ trụ đóng kín. Để minh họa lí thuyết trừu tượng này, Hawking đưa ra một sự tương tự với mô hình bắc cực. Ở bắc cực ta không thể đi về phía bắc được nữa mặc dù ở đó không có một danh giới ngăn cản nào. 2.2.2. Sự tương tự trong sự phát triển điện động lực học Khái niệm tương tự có thể tìm thấy trong việc xây dựng các phương trình Maxwell (1831-1879). Ông đã coi các đường sức điện mà Faraday (1791-1867) đề xuất tương tự như các đường dòng của chất lưu không nén chuyển động (Hình 5). Sự tương tự của khái niệm dòng chảy đã đưa Maxwell nảy sinh ý tưởng tương tự về lí thuyết trường thế, cái mà đã được xây dựng hoàn chỉnh trong cơ học chuyển động chất lưu. Dưới hình thức toán của khái niệm thế (khả năng) ϕ duy trì dòng chảy, thì theo cơ học chất lưu ta có thể viết phương trình vận tốc dòng−→v = −k.gradϕ (6) và div−→v = −k.∆ϕ = Q (7). Trong đó k và Q là sức cản dòng và độ mạnh của nguồn chảy. Chúng ta có thể nhận thấy sự tương tự với các phương trình Maxwell−→ D = −ε.gradϕđ (8), trong đó −→D = ε.−→E , ϕđ tương ứng là khái niệm thế dùng cho “dòng chảy” các đường sức điện. Ngoài ra, div −→ D = −ε.∆ϕđ = Qđ (9). Hoặc dạng −→ J = −kđ.gradϕđ (10). Trong đó kđ là đại lượng tương ứng đặc trưng cho sức cản trở “dòng chảy” các đường sức điện. Ngoài ra tương ứng ta cũng có cho “dòng chảy” các đường sức từ −→ B = −µ.gradϕt (11), trong đó −→ B = µ. −→ H và ϕt là khái niệm thế dùng cho “dòng chảy” các đường sức từ. Hình 5: Các phương trình Maxwell được xây dựng dựa trên sự tương tự của đường dòng (a) và các đường sức điện trường (b), từ trường (c) Thêm vào đó, theo cơ học chất lưu, lưu số vận tốc có dạng tích phân đường Γ = ∫gradϕ .d−→s (12). Dòng chất lưu chuyển động trong sự xem xét tương tự với “dòng chảy” các đường sức từ của dòng điện thì Maxwell cho rằng lưu số dòng chảy tương tự với dòng điện. Có nghĩa là ∫ gradϕt.d −→ l = I (13), trong đó, theo (11) thì −→ H = gradϕt, ngoài ra chú ý là cường độ dòng điện có thể viết dạng I = ∮ −→ J .f −→ S . Do đó ta có∮ −→ H.d −→ l = ∮ −→ J .d −→ S (14). Áp dụng định luật Stocke ta có ∮ −→ H.d −→ l = ∮ rot −→ H.d −→ S ta có được phương trình vecJ = rot −→ H (15). Do đường sức từ quanh dòng điện có dạng xoáy, đường sức điện cảm ứng cũng dạng xoáy làm cho Maxwell liên hệ tương tự với dòng chảy xoáy với khái niệm vectơ xoay. Chính vì vậy Maxwell đã mở rộng mô 62 Tương tự trong nghiên cứu và trong dạy học Vật lí hình dòng chảy các đường sức và đưa vào khái niệm vectơ thế −→ A sao cho vectơ thế này thể hiện sự xoáy của từ trường tức là −→ B = rot −→ A , và sự biến đổi của nó theo thời gian sẽ tạo ra điện trường tương tự với định luật cảm ứng điện từ của Faraday. Tức là −→ E = −(∂ −→ A ) ∂t . Với mô hình này ta suy ra ngay phương trình rot −→ E = −∂ −→ B ∂t (16). Bản chất phương trình này mô tả định luật cảm ứng điện từ, bởi vì khi tích phân theo mặt kín 2 vế và áp dụng định luật Stoke cho vế trái ta thu được ngay ∮ rot −→ E .d −→ S = ∮ −→ E .d −→ l = Ucảm ứng = − ∂ ∂t ∮ −→ B.d −→ S = −∂φ ∂t (17). Sau đó, với sự thành công đưa ra khái niệm sự xoáy của vectơ thế −→ A , Maxwell đã giới thiệu một mô hình tương tự với các vòng xoay cơ học để cạnh nhau để xây dựng khái niệm dòng điện dịch qua chất điện môi. Trong mô hình cơ học đó thì các vòng xoay đại diện cho từ trường sẽ làm xoay các vòng xoay trung gian (đại diện cho điện trường) nhờ ma sát. Đến lượt các vòng xoay trung gian lại làm xoay vòng xoay từ trường tiếp theo nhờ ma sát. Như vậy sự truyền sự xoay có thể do ma sát thuần túy. Tuy nhiên nếu các vòng xoay trung gian là đàn hồi có thể co giãn, chúng cũng góp phần vào thay đổi cơ chế truyền sự xoay. Sự đàn hồi ở đây tương tự với sự biến đổi của điện trường theo thời gian. Chính vì vậy công thức (15) cần được bổ xung một thành phần ứng với dòng điện dịch rot −→ H = −→ J + ∂ −→ D ∂t , hay rot −→ B = µ0 −→ J + ε0µ0 ∂ −→ E ∂t (18). Với mô hình các vòng xoay này giúp Maxwell tiên đoán sự tồn tài của sự kiện lan truyền sóng điện từ với vận tốc chính là vận tốc ánh sáng. Điều này có thể chứng minh dễ dàng: Giả sử sóng truyền trong chân không, lúc đó −→ J = 0. Do đó khi lấy rot hai vế (18) ta có rotrot −→ B = graddiv −→ B − divgrad−→B = graddiv−→B −∆−→B = ε0µ0 ∂ ∂t rot −→ E . Với chú ý các đường sức từ không có nguồn xuất phát tức div −→ B = 0 và liên hệ tới phương trình (16) chúng ta thu được ∆ −→ B = ε0µ0 ∂ ∂t rot −→ E (19). Tương tự, lấy rot hai vế phương trình (16) ta cũng thu được dạng phương trình cho điện trường∆ −→ E = ε0µ0 ∂2 −→ E ∂t2 (20). Hai phương trình (19) và (20) tình cờ cho thấy một sự tương tư đáng kinh ngạc, ngoài ra dạng của nó giống hệt giạng phương trình lan truyền sóng cơ học quen thuộc ∆ −→ U = 1 v2 ∂2 −→ U ∂t2 . Điều này lại một lần nữa, bằng suy luận tương tự, ta được vận tốc truyền sóng trong chân không là v = 1/ √ ε0µ0. 2.2.3. Tương tự trong sự ra đời của vật lí lượng tử Suy luận tương tự cũng đóng góp một vai trò quan trọng trong sự ra đời của vật lí lượng tử. Dựa vào thực nghiệm, Rayleigh (1842-1919) và Jeans (1877-1946) đã tìm ra mối liên hệ của mật độ năng lượng E(f,T) theo tần số f và nhiệt độ T cho các vật đen tuyệt đối bức xạ nhiệt. Mối liên hệ này chỉ đúng cho bước sóng dài E (f,T) = 8pi2f2 c3 kT (21). Wien (1864-1928) đã đề nghị công thức khác, nó biểu diễn khá đúng với thực nghiệm ở bước sóng ngắn E (f,T) = af3e− bf kT (22). Sau đó Plank (1858-1947) đã đưa ra công thức phù hợp với thực nghiệm hơn cả E (f,T) = 8pi2f2 c3 hf e hf kT − 1 (23). Để đưa ra công thức này, Plank coi vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T vừa bức xạ vừa hấp thụ các bức xạ và trong vật đen đó có xảy ra sóng dừng. Do đó sẽ dẫn tới công thức liên hệ mật độ 63 Trần Ngọc Chất năng lượng và năng lượng trung bình của sóng dừng U là E (f,T) = 8pi2f2 c3 U (24). Quan trọng hơn, Plank đã đưa ra một công thức liên hệ giữa U và Entropy S đó là dS dU = 1 T (25). Với mối liên hệ này, từ công thức Rayleigh-Jeans ta suy ra được d2S dU2 ∼ −α 1 U2 (26). Còn từ công thức của Wien ta suy ra được d2S dU2 ∼ −α β . 1 U (27). Kết hợp (26) và (27) và lấy tích phân ta thu được U = β e β αT − 1 (28). Từ (24) và (28) ta thu được công thức của Plank. So sánh với số liệu thực nghiệm thì có thể rút ra β = hf còn α = k. Tuy nhiên chính bản thân Plank thấy điều suy luận này chưa thật hoàn thiện. Ông có một suy nghĩ táo bạo, đó là một suy luận tương tự giữa mối liện hệ của Entropy do ông đề xuất và mối liên hệ giữa Entropy và xác suất trạng thái W (là số lượng trạng thái khác nhau của các hạt vi mô để tạo lên một trạng thái vĩ mô) mà Boltzmann (1844-1906) đã tìm ra trước đó S = k.lnW (29). Để khảo sát sự tương tự rõ ràng hơn, Plank đã kết hợp (28) và (25), giải phương trình vi phân này ta được S = k ( U β + 1 ) ln ( U β + 1 ) −kU β ln U β (30). So sánh (29) và (30), trên giả định sự tương tự giữa chúng. Mà theo 29 thì biểu thức trong hàm Logaritlà số trạng thái W là số đếm được, vậy nếu giữa chúng có sự tương tự thì các biểu thức trong hàm Logarit ở phương trình (30) cũng phải đặc trưng cho số trạng thái và cũng đếm được. Tức là, trong trường hợp tổng quát thì U phải chia hết cho β = hf . Nói cách khác, ở đây đã có một cuộc cách mạng trong vật lí mà khởi nguồn là suy nghĩ tương tự táo bạo, đó là coi năng lượng không phải là dạng liên tục (như đã được biết đến thời điểm đó) mà nó được chia phần gián đoạn, tức có tính lượng tử. Mỗi phần lượng tử đó có giá trị là ε = hf . 2.3. Tương tự trong dạy học một số nghịch lí vật lí Hình 6: Sự tương tự của nghịch lí giữa hai bài toán điện học (a) và bài toán cơ học (b). Trong dạy học vật lí ở phổ thông, một trong sự tương tự điển hình được đề cập sâu sắc đó là sự tương tự giữa dao động điện vào dao động cơ học. Theo đó là một loạt các ví dụ truyền thống như con lắc lò xo lí tưởng dao động điều hòa tương tự với dao động mạch L-C không có điện trở thuần. Dao động tắt dần của con lắc lò xo có ma sát tương tự với dao động L-C có điện trở thuần. Có thể duy trì dao động con lắc đơn bằng cơ chế cung cấp động năng tuần hoàn cùng tần số dao động riêng thông qua cơ chế bánh xe và mắt cá, thì cũng tương tự trong mạch L-C có thể duy trì dao động bằng cách cung cấp năng từ trường tuần hoàn thông qua hỗ cảm ở cuộn dây. Để tăng tần số dao động riêng của con lắc lò xo có thể giảm khối lượng hoặc cắt ngắn lò xo thì tương tự trong mạch dao động L-C có thể tăng tần số dao động riêng bằng cách giảm số vòng dây của cuộn dây hoặc cắt bớt diện tích của các bản tụ điện... Trong ví dụ sau đây sẽ còn chỉ ra sự tương tự này còn giúp cho việc phát hiện các nghịch lí trong các bài toán dễ dàng hơn. Trước hết, ta khảo sát nghịch lí vật lí trong bài tập phần điện như sau. Một tụ điện C, điện tích trên tụ được xác định là q0. Năng lượng tụ điện là E0 = q0 2 2C . Tụ điện này được nạp cho 1 tụ 64 Tương tự trong nghiên cứu và trong dạy học Vật lí khác cũng có điện dung C, trung hòa điện tích thông qua khóa kép K như hình 6a. Theo định luật bảo toàn điện tích, thì sau khi đóng khóa K mỗi tụ điện có điện tích là q0 2 . Do đó năng lượng tích tụ trên tụ điện là như nhau là (q0 2 )2 2C = q0 2 8C . Vậy tổng năng lượng tích tụ trên 2 tụ điện sau khi đóng khóa K là E′0 = 2. q0 2 8C = q0 2 4C = E0 2 < E0. Như vậy, nghịch lí đó là năng lượng không được bảo toàn. Nghịch lí này có thể được lí giải bằng sự tương tự điện cơ với một bài tập nghịch lí như sau (Hình 6b). Một lò xo độ cứng K nằm ngang, có độ biến dạng ban đầu là l0. Cơ năng của lò xo là E0 = K. l0 2 2 Lò xo này được nối tiếp với lò xo thứ hai cùng độ cứng K, không biến dạng. Sau khi buông lò xo, hai lò xo sẽ trở về vị trí cân bằng mới, mỗi lò xo có độ biến dạng là l0 2 . Do đó cơ năng mỗi lò xo là K(l0/2) 2 2 = K.l0 2 8 . Vậy tổng cơ năng hệ hai lò xo này là E′0 = 2. K.l0 2 8C = K. l0 2 4 = E0 2 < E0. Vậy nghịch lí ở đây cũng là năng lượng không bảo toàn. Một phần cơ năng đã mất mát mà chúng ta có thể yêu cầu học sinh dự đoán đó là động năng của hệ lò xo này. Trong thực tế, hai lò xo sẽ phải có khối lượng nào đó, và chúng sẽ dao động với tần số xác định. Khối lượng lò xo càng nhỏ thì tần số của dao động này càng lớn. Theo lí thuyết cực trị, khi khối lượng lò xo tiến đến 0 thì tần số dao động 2 lò xo này tiến tới vô cùng. Giá trị động năng cực đại ở vị trí cân bằng 2 lò xo sẽ có giá trị đúng bằng lượng thiếu hụt E0 2 . Nghịch lí này có thể được làm rõ ràng hơn nữa bằng một sự tương tự với một bài tập nghịch lí cơ học đơn giản hơn so với bài toán dao động của hệ lò xo ở trên như sau. Một ống chữ U chứa nước khối lượng riêng ρ. Hai nhánh chữ U được cách li hoặc thông nhau thông qua một van K ở giữa nhánh chứ U. Ban đầu, van K đóng và mực nước bên phải có độ cao là h0, trọng tâm của khối chênh lệch này có độ cao là h0 2 . Cơ năng của khối nước ban đầu chính là thế năng trọng trường E0 = mg h0 2 . Sau khi mở van, hai cột nước sẽ về vị trí cân bằng, khi đó mực nước ở 2 nhánh sẽ có cùng độ cao là h0 2 , trọng tâm ở độ cao là h0 4 . Vì khối lượng nước mỗi nhánh là m 2 . Do đó cơ năng mỗi nhánh là m 2 .g. h0 4 . Vậy tổng cơ năng sẽ là E′0 = 2. (m 2 ) .g. h0 4 = mgh0 4 = E0 2 < E0. Kết quả cũng cho thấy mâu thuẫn với định luật bảo toàn năng lượng. Tuy nhiên trong ví dụ này, học sinh với vốn kinh nghiệm trong cuốc sống được hi vọng là có thể dễ phát hiện được nguồn gốc của nghịch lí này hơn so với hai bài toán trên. Đó là sau khi mở van K thì cột nước sẽ không về vị trí cân bằng rồi đứng yên, mà chúng sẽ dao động lên xuống, tức là có thêm động năng. Vì vậy cơ năng ở vị trí cân bằng nếu chỉ xét riêng thế năng sẽ là sai lầm. Nếu xét đầy đủ cả động năng khối nước thì cơ năng vẫn được bảo toàn. Trở lại bài tập nghịch lí điện, do động năng tương tự với năng lượng từ trường vì vậy trong mạch ghép 2 tụ C không phải chỉ có năng lượng điện trường mà còn phải có năng lượng từ trường và có dao động điện từ tương tự như hệ 2 lò xo dao động hay cột nước dao động ở ống chữ U. Vì vậy, giữa 2 tụ C có dây nối sẽ phải có độ tự cảm L nào đó dù rất nhỏ để duy trì dao động từ trường trong mạch. Ngay cả khi giữa 2 bản tụ đặt sát nhau, quá trình phân bố dịch chuyển lại điện tích vào các vị trí trên các bản tụ điện cũng phải xuất hiện độ tự cảm ngăn cản sự biến thiên các dòng phân bố điện tích này, tức vẫn tồn tại từ trường. Năng lượng từ trường này sẽ bù trừ để vẫn đảm bảo tính đúng đắn của định luật bảo toàn năng lượng. Thí nghiệm để chứng tỏ nghịch lí này rất dễ 65 Trần Ngọc Chất thực hiện với các giá trị tụ điện khoảng 400µF. Vì giá trị L rất nhỏ do đó mạch dao động với tần số rất lớn, và nhanh chóng mất đi phần năng lượng E0 2 thông qua sự bức xạ sóng điện từ vào không gian xung quanh. Khi chúng ta tiến hành đo đạc các hiệu điện thế trên tụ điện, thì gần như mạch đã tắt dao động và chỉ còn năng lượng điện trường được tích tụ trên tụ điện. Tuy nhiên, chúng ta có thể phát hiện xung của sóng điện từ bức xạ trong thí nghiệm này bằng cách đặt một đài thu sóng (rađio). Đài thu sóng sẽ phát ra một tiếng nhiễu đủ to khi đóng khóa K. 3. Kết luận Trong dạy học vật lí học sinh có nhiều cơ hội để được bồi dưỡng các năng lực tư duy khoa học, bởi vì các con đường tìm ra các kiến thức vật lí là một kho tàng của các sự vận dụng linh hoạt nhiều tư duy khoa học của nhiều nhà vật lí. Trong sự vận dụng các tư duy này, thì suy luận tương tự như đã trình bày trong các phần phía trên đóng góp như là một vai trò khám phá kiến thức. Nhận định này là do các sự vật, hiện tượng trong thế giới luôn tồn tại sự tương tự với nhau - mà nguyên nhân sâu xa là sự thống nhất bản chất bên trong của chúng [10]. Việc phát triển các năng lực về tư duy khoa học cho học sinh như năng lực đề xuất giả thuyết, năng lực xây dựng mô hình (mà năng lực đưa ra các ví dụ minh họa hay năng lực đề xuất các phương án thí nghiệm kiểm tra là các ví dụ), sẽ bắt buộc phải bồi dưỡng năng lực phát hiện các sự tượng tự và năng lực vận dụng các suy luận tương tự cho học sinh. Điều này do bởi, trong quá trình tư duy đó, bắt buộc phải diễn ra một sự truy tìm sự tương tự trong “kho” kinh nghiệm và kiến thức đã biết, chắt lọc các dấu hiệu tương tự liên quan và móc nối chúng theo một cấu trúc “mới”. Cấu trúc gọi là “mới” này (chính là các giả thuyết, các mô hình) nhưng thực ra chúng được xây dựng dựa trên sự tương tự của các phần nhỏ của nhiều cấu trúc cũ. Các năng lực phát hiện các dấu hiệu tương tự và năng lực vận dụng suy luận tương tự có thể được bồi dưỡng cho học sinh thông qua việc tổ chức dạy học cho học sinh: từ mức độ đơn giản đó là lấy ví dụ để minh họa các kiến thức đã học. Mức độ cao hơn đó là phát hiện sự tương tự giữa các kiến thức đã học để phân loại, hệ thống hóa kiến thức trong các giờ ôn tập. Mức độ cao nhất đó là trong quá trình xây dựng các kiến thức mới theo phương pháp dạy học giải quyết vấn đề: dựa vào sự tương tự của những kinh nghiệm và kiến thức đã biết, và thông qua việc vận dụng các phép suy luận tương tự để xây dựng giả thuyết hoặc xây dựng một mô hình mà dựa vào nó có thể giải quyết được vấn đề. Một điều quan trọng, mà Glynn [2] đã đề cập, đó là các con đường truy tìm các dấu hiệu tương tự và cách vận dụng các suy luận tương tự để khám phá các kiến thức mới thường bị chính các nhà khoa học lờ đi vì sự hấp dẫn mạnh mẽ của sự lạ lẫm của các kiến thức mới tìm được. Do vậy, trong dạy học cũng có thể tồn tại “sự lãng quên tương tự” này, có nghĩa là học sinh mặc dù mất rất nhiều thời gian và nỗ lực để tìm ra con đường tư duy khám phá kiến thức mới, mà ở đó họ vận dụng các năng lực phát hiện các sự tương tự và năng lực áp dụng suy luận tương tự. Tuy nhiên, do sự hấp dẫn của sự mới lạ của các kiến thức mới, học sinh cũng có thể quên đi con đường tư duy khám phá kiến thức mới. Do đó dẫn tới hậu quả không tích cực đó là, khi học các kiến thức vật lí mới khác, học sinh sẽ có thể lãng quên, không biết cách sớm tìm ra con đường tư duy khám phá kiến thức mới. Chính vì vậy, người giáo viên sau khi tổ chức hướng dẫn cho học sinh tìm được kiến thức mới, thì giáo viên không những chỉ tổ chức cho học sinh củng cố kiến thức mới này bằng các bài tập vận dụng kiến thức như cách làm phổ biến hiện nay, mà còn cần phải “củng cố tư duy”, ví dụ như tổ chức, hướng dẫn cho học sinh có thể phác thảo lại sơ đồ mô tả con đường tư duy, mà nhờ nó mình đã khám phá được các kiến thức mới. Bằng cách dạy này, sẽ hi vọng người học tự tin tiếp cận việc học bất kì kiến thức vật lí mới nào, vì họ đã biết cách thức để tìm con đường tư duy khám phá kiến thức mới qua các bài học “củng cố tư duy”. 66 Tương tự trong nghiên cứu và trong dạy học Vật lí TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] W. Kuhn, 2016. Ideengeschichte der Physik - Eine Analyse der Entwicklung der Physik im historischen Kontext. Springer Spektrum Verlag. Aufl. 2 unter Mitarbeit von O. Schwarz. [2] Shawn M. Glynn, Russell H. Yeany and Bruce K. Britton, 1991. The Psychology of learning science. Lawrence Erlbaum Associates. [3] Reinders Duit,1991. On the role of analogies and metaphors in learning science. Science Education. Pages 649–672. [4] Richard K. Coll, Bev France and Ian Taylor, 2012. The role of models and analogies in science education: implications from research. International Journal of Science Education. Page 183-198. [5] Eduard Krause, 2014. Analogien im Physikunterricht - Warum Analogien in der Physik mehr sind als nur allgemeine heuristische Prinzipien. PhyDid B. [6] John Clement, 1993. Using bridging analogies and anchoring intuitions to deal with students’ preconceptions in physics. Journal of Research in Science Teaching. Pages 1241–1257. [7] Noah S. Podolefsky and Noah D. Finkelstein, 2006. Use of analogy in learning physics: The role of representations. Physical Review Physics Education Research. [8] J. J. Dupin,S. Johsua, 1989. Analogies and “modeling analogies” in teaching: Some examples in basic electricity. Science Education. Pages 207–224. [9] Walter Kaiser, 1989. Analogien in Physik und Technik im 19. und 20. Jahrhundert. Berichte zur Wissenschaftsgeschichte. Pages 19-34. [10] Nguyễn Đức Thâm, Nguyễn Ngọc Hưng, 2001. Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học vật lí ở trường phổ thông. Đại học quốc gia Hà Nội. Tái bản lần thứ 2. [11] https://de.wikipedia.org/wiki/Analogie_(Philosophie) [12] https://de.wikipedia.org/wiki/ Platonischer_Ko¨rper [13] Johannes Kepler, 1956. Mysterium Cosmographicum. Published at Tu¨bingen – Germany. [14] https://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler [15] Michael White, John Gribbin, 2002. Stephen Hawking: A Life in Science. National Academies Press. ED. 2. ABSTRACT Analogy in research and in teaching physics Tran Ngoc Chat Faculty of Physics, Hanoi National University of Education Analogical inference is the fundamental formation of the major physics knowledges. In order to develop the scientific literacy, the students must be fostered the abilities of detecting the physics analogies as well the competences of applying the analogical inference to learning. The new contributions of this paper about argumentative research for analogical concept are classified under four sections. The review of research related to this theme is introduced in the first section. The second section writes briefly about the significance of analogies in the historical development of physics. The next section analysis deeply the weighty role in the important formation of typical physics knowledges. The last section presents three examples in teaching physics with the extending application field of the electromechanical analogy to the paradoxically physics problems. Keywords: Ananogies, didactic, physics, teaching, paradox. 67