Toán thống kê - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH1 Các khái niệm2 HPTTT Crame3 Phương pháp Gauss 4 HPTTT Thuần nhất4 Một số ứng dụng1I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢNI.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:xj là biến aij được gọi là hệ số (của ẩn)bi: được gọi là hệ số tự do2I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN2. Ma trận các hệ số: 3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 3I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN4. Ma trận bổ sung: 4I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm: Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung . Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm:5II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là: Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do.6II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMEVí dụ: Giải hệ phương trình: 7III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma trận các hệ số bằng không.3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang. 8III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS m = n:9III.PHƯƠNG PHÁP GAUSSVí dụ: Giải hệ phương trình:10IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT4.1. Định nghĩa:Hệ luôn có nghiệm tầm thường 11IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT4.2. Phương pháp giải:Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường. Trường hợp 2: Nếu rankA = k (a1+b1)P = (a0+b0)Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin: Hàm cung : Qs = -1 + P Hàm cầu : Qd = 3 - P17V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG2. Thị trường 2 loại hàng hóa: Sản phẩm 1:Mô hình cân bằng: Sản phẩm 2:18V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Hệ phương trình cân bằng:Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau: Sản phẩm 1: Sản phẩm 2:19V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG3. Thị trường n loại hàng hóa: Sản phẩm i: Hệ phương trình cân bằng: cij = (aij – bij)20V.MỘT VÀI ỨNG DỤNGVí dụ: Giả sử thị trường có 3 sản phẩm:21V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O):Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuấtTổng cầu ngành:- Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách.- Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ cho hộ gia đình, chính phù và xuất khẩu.22V.MỘT VÀI ỨNG DỤNGxi : tổng cầu của ngành Ixịj : là giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ của ngành I mà ngành j làm yếu tố đầu vào.bi : giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng và xuất khẩu.Tổng cầu của ngành i:23V.MỘT VÀI ỨNG DỤNGĐặt:24V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng [I-A] là ma trận Leontief.25V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng [I-A] là ma trận Leontief.26