Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao giữa hai tinh thể đàn điện

54 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG 55 S¬ 24 - 2016 KHOA H“C & C«NG NGHª ( / ) ( ) ( / )r h h y yθ ε θ ε= = = với h là hàm tuần hoàn theo y với chu kì 1 và 2 / Nε π= , N là số thực dương. Giả thiết 0 1ε< << khi đó L được gọi là biên phân chia có độ nhám cao và a, b tương ứng là giá trị min, max của hàm h (0<a<b) (xem Hình 1). Miền −Ω( ) , −Ω( ) nằm ngoài (trong) đường cong kín L. Giả thiết thêm rằng trong miền 0 , 0 1yθ ε< < < < đường tròn 0 ,r r const= = 0( )a r b< < cắt L tại 2 điểm phân biệt. Xét trạng thái biến dạng phẳng (xem [13,14]) với các thành phần chuyển dịch ,ru uθ và các hàm điện thế φ có dạng như sau: ( , ), ( , ), ( , )r ru u r u u r rθ θθ θ φ φ θ= = = (1) Các thành phần biến dạng ij và các véc tơ trường điện E được biểu diễn như sau [13,14]: , , , , , , 1 1 1 , ( ), ( ) 2 1 , r rr r r r r r r r uu u u u u r r r r E E r θ θθ θ θ θ θ θ θ θ ε ε ε φ φ = = + = − + = − = − (2) Sử dụng ký hiệu theo Voigt, các thành phần ứng suất ijσ và các thành phần véc tơ chuyển dịch điện Di biểu diễn theo biến dạng ijε và các thành phần Ei của véc tơ trường điện là [13], [14] 11 12 11 12 11 11 66 11 11 11 11 11 11 , 2 , , 2 , rr rr r rr r r r r rr r r c c e E c c e E c e E D e e E D e E θθ θθ θθ θ θ θ θθ θ θ θ σ ε ε σ ε ε σ ε ε ε ε = + + = + − = − = − − = − −  (3) trong đó , ,ij ij ijc e  tương ứng là tenxơ modul đàn hồi (được đo ở trạng thái trường điện cố định), tenxơ modul đàn điện (được đo ở trạng thái biến dạng hoặc trường điện cố định) và tenxơ điện môi (được đo ở trạng thái biến dạng cố định). Chúng có tính chất đối xứng sau: ; ;ij ji ij ji ij jic c e e= = =  (4) Và chúng được xác định như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , ij ij ij ij ij ij ij ij ij c e c e c e + + + + − − − −  ∈ Ω=  ∈ Ω    (5) Các phương trình chuyển động là định luật Gauss là [13, 14]: Hình 1. Biên phân chia độ nhám cao dao động giữa hai đường tròn đồng tâm Tóm tắt Mục đích chính của bài báo là tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của tinh thể đàn điện 6 2m trong miền hai chiều với biên phân chia dao động giữa hai đường tròn đồng tâm. Để làm được điều này, đầu tiên, chúng ta viết các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn điện cho tinh thể đang xét dưới dạng ma trận. Sau đó, dùng các kỹ thuật của phương pháp thuần nhất hóa được đưa ra bởi Vinh and Tung, các phương trình thuần nhất hóa và các điều kiện liên tục tương ứng được tìm ra. Cuối cùng, hệ các phương trình thuần nhất được viết dưới dạng thành phần. Các phương trình đạt được phụ thuộc hiển vào các tham số của môi trường cũng như dạng của biên phân chia nên chúng có nhiều ý nghĩa trong tính toán. Abstract The main purpose of this paper is to derive explicit homogenized equations of the linear piezoelectric solids (crystals class 6 2m ) in two- dimensional domains separated by a very rough interface oscillating between two circles. In order to do that, first, the basic equations of the theory of piezoelectricity are written down in matrix form. Then, following the techniques presented recently by Vinh and Tung, the explicit homogenized equation in matrix form and the associate continuity condition are derived. They are then written down in component form. Since the obtained equations are totally explicit, they are significant in use. TS. Đỗ Xuân Tùng Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng ĐT: 0984468136 Email: tungdx2783@gmail.com. ThS. Nguyễn Thị Kiều Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng ĐT: 01663441889 Email: kieumt@gmail.com Thußn nhÞt hÍa biãn phÝn chia ½î nh¾m cao giùa hai tinh thæ ½¿n ½ièn TS. }í XuÝn TÓng ThS. Nguyçn ThÌ Kiåu 1. Giới thiệu Các bài toán trong miền với biên hay biên phân chia xuất hiện nhiều trong thực tế như sự tán xạ trên biên nhám [1,2], sự phản xạ, khúc xạ của các sóng trên biên phân chia nhám [3,4] Khi biên độ của biên phân chia nhỏ hơn chu kì của nó (độ nhám thấp), phương pháp nhiễu thường được sử dụng để giải quyết lớp các bài toán này. Trong trường hợp biên độ của biên phân chia lớn hơn nhiều so với chu kì của nó (độ nhám cao) thì phương pháp thuần nhất hóa (homogenization method) được sử dụng (xem [5]-[7]). Đối với lý thuyết đàn hồi, Nevard và Keller [8] nghiên cứu thuần nhất hóa biên phân chia có độ nhám cao trong miền 3 chiều dao động giữa hai mặt phẳng song song của 2 vật thể đàn hồi dị hướng tuyến tính. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả đã rút ra hệ phương trình thuần nhất hóa. Tuy nhiên, chúng được viết dưới dạng ẩn, không thuận lợi khi sử dụng. Trong một số bài báo gần đây [9, 10, 11], các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều với biên phân chia dao động giữa hai đường thẳng song song, hai đường tròn đồng tâm đã được tìm ra. Vật liệu đàn điện đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ hiện đại như: các thiết bị âm học, đầu dò, điều khiển dao động(xem [12]). Vì vậy, việc nghiên cứu các bài toán của lý thuyết đàn điện trong miền với biên phân chia có độ nhám cao có nhiều ý nghĩa khoa học và thực tế. Theo Daros [13], trong số 20 lớp tinh thể đàn điện có thể, trạng thái biến dạng phẳng chỉ xảy ra đối với các tinh thể thuộc các lớp m, 6 và 6 2m . Trong phạm vi của bài báo, các tác giả chỉ xét lớp tinh thể 6 2m . Do vậy, mục đích chính của bài báo là tìm ra phương trình thuần nhất hóa dạng hiện trong miền 2 chiều với biên phân chia dao động giữa hai đường tròn đồng tâm của các tinh thể 6 2m . Sử dụng các kỹ thuật của phương pháp thuần nhất hóa được đưa ra bởi Vinh and Tung (xem [9]-[11]), các phương trình thuần nhất hóa và các điều kiện liên tục tương ứng được tìm ra và được viết dưới dạng thành phần. Các phương trình đạt được phụ thuộc hiển vào các tham số của môi trường cũng như dạng của biên phân chia nên chúng có nhiều ý nghĩa trong tính toán. 2. Hệ các phương trình cơ bản và điều kiện liên tục dưới dạng ma trận Xét vật thể đàn điện nằm trong các miền 2 chiều −Ω( ) và −Ω( ) của mặt phẳng x1x3 với biên phân chia L dao động giữa hai đường tròn đồng tâm (xem Hình 1). Để thuận lợi cho việc nghiên cứu bài toán, hệ tọa độ cực ( r,θ ) được sử dụng. Đường cong L được cho bởi 56 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG 57 S¬ 24 - 2016 KHOA H“C & C«NG NGHª Theo định nghĩa của các véctơ , , rθ∑ ∑u thì các điều kiện liên tục (12) là: [ ] 0; [ ] 0L r r Ln nθ θ= + =∑ ∑u (13) Sử dụng (10), điều kiện liên tục (13)2 trở thành , , , ,( ) ( ) 0[ ]r r r rr r r Ln nθθ θ θ θ θ θ+ + + + + =A u A u Gu A u A u Hu (14) Biểu diễn kn theo h, điểu kiện liên tục (14) có thể viết như sau: 1 ' , , , ,( ) 0[ ( )] [ ]r r L r rr r Lh y θθ θ θ θ θ− + + − + + =A u A u Gu A u A u Hu (15) 3. Các phương trình thuần nhất hóa dạng ma trận Theo [15, 16], ta giả sử rằng ( , , , ) ( , , , , )r t y r tθ θ=u U  và U được biểu diễn bởi (xem [9, 10, 11]) ( ) ( ) 1 1 1 , , 2 2 2 2 2 2 2 3 , , , , , ( ) r r r r rr r r rr O θ θ θ θθ θ θ θθ θ = + + + + + + + + + + U V N V N V N V N V N V N V N V N V N V    (16) trong đó ( , , )r tθ=V V (không phụ thuộc vào y) và 1 1 1 2 2; ; ; ; ;r rθN N N N N 2 2 2 2; ; ;r rrθ θθ θN N N N là ma trận 2x2 của các hàm y và r (không phụ thuộc vào θ ), và chúng là các hàm tuần hoàn với chu kỳ là 1 Khi ( , )V rθ là nghiệm của bài toán. Với r>b ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,, , .. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , r r r rr r r r θθ θ θ θ θθ θ ρ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = A V A V G V A V A V H V B V D V E V F V (17) Với 0 r a< < ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,, , .. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , r r r rr r r r θθ θ θ θ θθ θ ρ − − − − − − − − − − − + + + + + + + + + = A V A V G V A V A V H V B V D V E V F V (18) Với a r b< < 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , .. 1 1 1 1 1 [ ] [ ] r r r r rθ θ θθ θθ θ θθ θθ θθ θ θθ θ θθ θθ θθ θθ ρ − − − − − − − − − − − − − + + 〈 〉〈 〉 + 〈 〉 + 〈 〉〈 〉 〈 〉 − 〈 〉 + 〈 〉 + 〈 〉〈 〉 〈 〉 − 〈 〉 + 〈 〉 = 〈 〉 ∑ ∑ BA A V D BA A A A BA A V E BA A A G BA G V F V (19) V và 0r∑ liên tục trên đường tròn r=a và r=b * * 0 *[ ] 0; [ ] 0; : ;rL L L r a r b= = = =∑V (20) Trong đó 0 0;r θ∑ ∑ có dạng ban đầu tương ứng là ;r θ∑ ∑ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 0 1 1 1 1 1 1 1 1 , , [ ] [ ] r r r r rr r r r r r r r θ θθ θθ θθ θ θθ θ θθ θθ θ θ θθ θθ θθ θ θ θθ θ θ θθ θθ θθ θ θθ θθ θ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = 〈 〉〈 〉 〈 〉 − 〈 〉 + 〈 〉 + 〈 〉〈 〉 + 〈 〉 + 〈 〉〈 〉 〈 〉 − 〈 〉 = 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 ∑ ∑ A A A A G A A G H V A A A V A A A A A A A A A V A A G V A V A A A V (21) , , , , , , 1 1 ( ) 0 1 2 0 1 0 rr r r rr r r r r r r r f r r f r r D D D q r r θ θ θθ θ θθ θ θ θ θ θ σ σ σ σ σ σ σ + + − + = + + + = + + − = (6) trong đó ,rf fθ là các thành phần lực khối, q là mật độ nguồn điện tích. Thay (3) vào (6) và sử dụng (1), (2) dẫn đến hệ phương trình đối với các thành phần chuyển dịch và thế điện mà dạng ma trận của chúng là: ( ) ( ) .. , , , , , ,, ,r r r rr r rrθθ θ θ θ θ θθ ρ+ + + + + + + + + =A u A u Gu A u A u Hu Bu Du Eu F u (7) Trong đó ρ là mật độ khối lượng (có giá trị không đổi ( ) ( ),ρ ρ+ − tương ứng trong miền ( ) ( ),+ −Ω Ω ), [ ] , [ ]T Tr ru u f f qθ θφ= = −u F , ký hiệu T là chuyển vị của các ma trận, và: 11 12 11 66 11 662 11 11 11 0 0 0 1 1 0 , 0 0 , 0 0 0 r c c e c e c r r e e θθ θ −       = − =       − − −    A A  66 11 66 12 11 11 11 11 11 0 0 0 1 0 0 , 0 , 0 0 0 r rr c e c c c e r e e θ −       = =       − −    A A  (8) 66 11 66 12 11 11 12 112 11 11 11 0 2 2 2 0 0 1 1 0 0 , 0 2 , 0 0 0 c e c c c c c e r r e e −       = − = −       − −    B D  11 66 11 12 66 122 2 11 11 11 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 , 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 c c c c c c r r r e e e −           = − + = − =           − −      E G H Đặt: [ ] ; [ ] T T r r r rr rD Dθ θθ θ θ θσ σ σ σ= =∑∑ (9) Do đó chúng có dạng sau: , , , ,;r r r r rr rθ θθ θ θ θ θ= + + = + +∑ ∑A u A u Gu A u A u Hu (10) Khi đó (7) trở thành: .. , , , ,r r rθ θ θ ρ+ + + + + =∑∑ Bu Du Eu F u (11) Giả sử rằng ( ) ( ),+ −Ω Ω là gắn chặt với nhau trên biên L, điều kiện liên tục đối với chuyển dịch và véc tơ ứng suất pháp phải thỏa mãn. Như vậy, điều kiện liên tục có dạng [ ] 0; [ ] 0; [ ] 0; [ ] 0 , ,i L L ik k L k k Lu n D n i k rφ σ θ= = = = = (12) Trong đó ( ) ( )[ ]La a a + −= − và 1: ( ) / :1rn n h y rθ −−=  58 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG 59 S¬ 24 - 2016 KHOA H“C & C«NG NGHª 1 1 1 1 1 11 12 11 11 11 11 12 11 11 , ( ) r r e c e c e c c c c V r − − − − −〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉〈 〉〈 〉 + 1 2 1 1 2 1 11 11 11 11 11 11 , ( ) r e c c e c r φ − − − −〈 〉 〈 〉 − 〈 〉 − 〈 〉 +  1 1 1 11 11 11 11 2 (2 ) ,r e e c c V q a r b r ρ φ − − −〈 〉 − 〈 〉〈 〉 + − 〈 〉 = 〈 〉 < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )12 66 11 66 6611 , , 66 , , ,2 2 ( ) ( ) r r rr r r c c c c cc V V c V V V r r r rθ θθ θ θ θ θ − − − − −− −+ ++ + + + ( )( ) ( ) .. ( )6611 11 , ,2 2 2 , 0r ce e V f V r a r r rθ θ θ θ θ φ φ ρ −− − − −− − + + = < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )66 12 66 11 6611 , , 11 , , 11 , ,2 2 2 ( ) ( ) r r r rr rr c c c c ce V V c V e V r r r rθθ θ θ θθ θ θ φ φ − − − − −− − −+ ++ + − + − ( ) ( )( ) ( ) .. ( )11 1211 11 , , 2 22 , 0 ( ) r r r r r r c cc e V V f V r a r r r φ ρ − −− − − −++ + − + = < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 11 , , , 11 , 11 , ,2 2 2 r r rr r rr r e e V V e V r r r rθθ θ θ θθ φ φ φ − − − − − −− − − − + −    ( ) ( ) ( )11 11 ,2 2 2 , 0r e e V V q r a r r θ θ ρ φ − − − −+ + − = < < (27) Điều kiện liên tục (20) : *, , , 0[ ]r r L a a b V V a V r r rθ θ θ θ φ ′ ′ ′ ′− + + + = 1 1 1 1 2 1 1 2 112 11 11 , 12 11 11 11 12 11 ,( )[ ( )r r rc c c V V c c c c c c Vr θ θ − − − − − − −〈 〉〈 〉 + + 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉 * 1 1 1 1 1 11 12 11 11 12 11 11 11 11 , 0( ) ]r Le c e c c c e c c φ− − − − −+ 〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉〈 〉〈 〉 = 1 1 1 1 1 1 1 111 11 11 , 11 12 11 11 12 11 11 11 11 ,( )[ ( )r r re c c V V e c e c c c e c c Vr θ θ − − − − − − − −〈 〉〈 〉− + + 〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉〈 〉〈 〉 * 1 2 1 1 2 1 11 11 11 11 11 11 , 0( ) ]r Le c c e c φ− − − −+ 〈 〉 〈 〉 − 〈 〉 − 〈 〉 = * * *[ ] 0; [ ] 0; [ ] 0r L L LV Vθ φ= = = L* là đường tròn r=a và r=b (28) Trong đó 2 12 11 11 12 66 11 11 11 11 66; ; ( ); / ; / ; /c c c c c e a b e c cα β= − = + ∆ = + = ∆ = − ∆ = − ∆  2 66 11 11 11 66 11 / / / / / / ; ; ; c e c e a b c 〈 ∆〉 〈 ∆〉 〈 ∆〉′ ′ ′ ′∆ = 〈 ∆〉〈 ∆〉 + 〈 ∆〉 = = − = − ′ ′ ′∆ ∆ ∆   (29) 5. Kết luận Trong bài báo này các tác giả nghiên cứu thuần nhất hóa biên phân chia dao động giữa hai đường tròn đồng tâm của các tinh thể đàn điện (6 2).m Sử dụng các kỹ thuật của phương pháp thuần nhất hóa trong [17,18,19], các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện và các điều kiện biên tương ứng được tìm ra và được viết dưới dạng thành phần. Vì chúng phụ thuộc hiển vào các tham số của môi trường cũng như dạng của biên phân chia nên có nhiều ý nghĩa trong tính toán./. Chú ý rằng: 1 ( ) ( ) 2 1 2 10 ( ) ( ) (1 )dy y y y yφ φ φ φ+ −〈 〉 = = − + − +∫ (22) 4. Hệ các phương trình thuần nhất hóa dạng thành phần Các phương trình (17) - (19) được viết dưới dạng thành phần như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )12 66 11 66 6611 , , 66 , , ,2 2 ( ) ( ) r r rr r r c c c c cc V V c V V V r r r rθ θθ θ θ θ θ + + + + ++ ++ ++ + + + ( )( ) ( ) .. ( )6611 11 , ,2 2 2 ,r ce e V f V r b r r rθ θ θ θ θ φ φ ρ ++ + + +− − + + = > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 12 66 11 , , 11 , , 11 ,2 2 ( ) r r r rr rr c c c e V V c V e r r rθθ θ θ θθ φ φ + + + + + +++ + − + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .. ( )11 1211 66 11 11 , , ,2 2 2( ) 2 , ( ) r r r r r r c cc c c e V V V f V r b r r r rθ θ φ ρ + ++ + + + + +++− + + − + = > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 11 , , , 11 , 11 , ,2 2 2 r r rr r rr r e e V V e V r r r rθθ θ θ θθ φ φ φ + + + + + +− − − − + −    ( ) ( ) ( )11 11 ,2 2 2 ,r e e V V q r b r r θ θ ρ φ + + + ++ + − = > (23) 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 11 11 11 11 11 , , , ,2 ( )r r r r c c c c e c c V V V r r rθ θ θθ θ θ φ − − − − − − − −〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 + + − , , , , , , ,2 2 2 2 2[ ]r r r r ra a b a b aV V a V V Vr r r r r rθ θ θ θ θ θ θφ φ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ − + + + + + + (24) .. , ,f V a r bθ θρ+〈 〉 = 〈 〉 < < 1 1 1 11 11 , , , , ,2 2 2 2r r c ca a b a V V V V r r r r rθ θ θθ θθ θ θ θ θ α φ − − −′ ′ ′ ′ 〈 〉〈 〉 − + + + + 1 1 1 1 2 1 1 2 112 11 11 , 12 11 11 11 12 11 ,( )[ ( )r r rc c c V V c c c c c c Vr θ θ − − − − − − −〈 〉〈 〉 + + 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉+ 1 1 1 1 1 11 12 11 11 12 11 11 11 11 , ,( ) ]r re c e c c c e c c φ− − − − −+ 〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉〈 〉〈 〉 (25) 1 1 1 1 1 11 12 11 11 12 11 , ( ) r r c c c c c c V r α α α− − − − −〈 〉〈 〉〈 〉 − 〈 〉 − 〈 〉 + 1 1 1 1 1 11 11 11 11 11 11 11 , ( 2 ) r e c e c e c c r α α φ − − − − −〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉〈 〉〈 〉 + 1 1 1 .. 11 11 12 2 ( 2 ) ,r r r c c c V f V a r b r α ρ − − −〈 〉〈 〉 − 〈 〉 + + 〈 〉 = 〈 〉 < < , , , ,2 2 2r r b b c b V V V r r r rθ θ θθ θθ θ θ φ ′ ′ ′ ′ − + + + 1 1 1 1 1 1 1 111 11 11 , 11 12 11 11 12 11 11 11 11 ,( )[ ( )r r re c c V V e c e c c c e c c Vr θ θ − − − − − − − −〈 〉〈 〉+ − + + 〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉〈 〉〈 〉 1 1 1 1 2 1 1 2 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 , , ,2 ( ) ]r r e c ce c c e c Vr θ θφ − − − − − − − 〈 〉〈 〉+ 〈 〉 〈 〉 − 〈 〉 − 〈 〉 − (26)