Sử dụng phương pháp ma trận chuyển cải tiến để phân tích thanh cong elip có gối tựa đàn hồi chịu tải trọng tĩnh tổng quát

62 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG KHOA H“C & C«NG NGHª Sử dụng phương pháp ma trận chuyển cải tiến để phân tích thanh cong elip cĩ gối tựa đàn hồi chịu tải trọng tĩnh tổng quát Using modified transfer method to analyse ellips curve frame with springs supports under general static load Lê Dũng Bảo Trung Tĩm tắt Bài báo trình bày phương pháp ma trận chuyển cải tiến phân tích nội lực, chuyển vị thanh cong hình Elip, chịu tải trọng tĩnh tổng quát, gối tựa đàn hồi bố trí tại vị trí bất kì. Kết quả nghiên cứu được lập trình bằng phần mềm Matlab, kiểm chứng bằng phần mềm SAP 2000. Từ khĩa: Phần tử cong hình Elip, Phương pháp ma trận chuyển cải tiến, Tải trọng tĩnh tổng quát, Gối tựa đàn hồi tuyến tính Abstract This paper presents Modified Transfer Method in analysis internal force and displacement of Ellips curve frame with general static load and linear spring supports. Results are programed in Matlab and verified with SAP 2000 programe. Keywords: Ellips curve element, Modified Transfer Method, Static general load, Spring support ThS. Lê Dũng Bảo Trung Khoa Xây dựng Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Email: Trungldb@gmail.com 1. Giới thiệu Thanh cong hình Elip thường sử dụng trong các cơng trình cổ điển hoặc hiện đại như nhà nhịp lớn, nhà cao tầng; đường dẫn; dầm đáy bể chứa... Khi làm việc thanh luơn chịu tải trọng bất kì tác dụng theo 3 phương (tải trọng tổng quát). Để cĩ tiết diện nhỏ, đảm bảo các điều kiện ổn định tổng thể, bất biến hình thanh cần cĩ hệ giằng, cột chống; khi làm đường dẫn thanh thường đặt trên các gối tựa đàn hồi, do đĩ bài báo trình bày phương pháp ma trận chuyển cải tiến tính tốn thanh cong phẳng hình Elip chịu tải trọng tĩnh tổng quát, gối tựa đàn hồi, vật liệu làm việc đàn hồi. Kết quả nghiên cứu ứng dụng tính tốn kết cấu vịm, dầm nhà, dầm cầu vượt, dầm trên nền đàn hồi... 2. Ma trận độ cứng phần tử thanh cong hình Elip Xét đoạn thanh cong thứ m cĩ hai đầu mút là 1 và 2. Quy ước ứng lực và chuyển vị nút là dương khi cùng chiều với hệ tọa độ (HTĐ). Kí hiệu {P}, {M}, {U}, {Ω} là các véc tơ ứng lực, mơmen, chuyển vị thẳng và xoay tại nút. Véc tơ ứng lực và chuyển vị nút tổng quát cĩ dạng { } { }1 1 1 TP M=P , { } { }1 = T1 1ÚU , { } { }2 = T2 2P MP , { } { }2 = T2 2ÚU Biểu thức cơ bản của phương pháp (PP) ma trận chuyển giữa hai đầu 1 và 2 của phần tử thanh m [1] như sau: [ ] [ ] 1 1 12 2 12 1 1 2 1 1 6 12 ds O − −                     = =                   −     ∫A A B AU U U P P P A U T P s2 11 12 s1 21 22 T T T T (1) Trong đĩ [A12U], [A12P], [A1] và [A2], kích thước 6x6, là các ma trận đặc trưng của m. Biểu thức (1) là hệ phương trình đại số tuyến tính cĩ ẩn số là các chuyển vị nằm ở cả hai vế của phương trình, cải tiến biểu thức (1) đưa ẩn số về cùng một vế, ta cĩ: [ ]1 1 1 1 2 2 2 2           = = =                    P U U U P U U U -1 -1 1112 12 -1 -1 21 22 11 2212 12 -T T T T - T T T T T 11 12 c m21 22 K K k K K (2) Biểu thức (2) cĩ dạng biểu thức của PP phần tử hữu hạn. Vận dụng đặc điểm sơ đồ tính thanh cĩ dạng tuyến, khơng phân nhánh, xây dựng được [kc]m, và giải bài tốn tương tự PP phần tử hữu hạn, [3, 4]. Phương trình tham số trục thanh Elip cĩ dạng: xφ = acosφ1, yφ = bsinφ. (3) Với a và b tương ứng là độ dài các bán trục trên Ox và Oy, tham số gĩc φ=(00÷3600). Tọa độ điểm chạy S(xφ, yφ) tương ứng gĩc φ, xác định như trên Hình 1. Quy ước HTĐ riêng, dấu chuyển vị, ứng lực của đoạn phân tố thanh cong ds, như Hình 2, trục z và z’ vuơng gĩc với Oxy. Gọi η là gĩc biến đổi tọa độ giữa trục x’-x, dựa vào phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm chạy S(xφ, yφ) và cơng thức chuyển đổi lượng giác giữa các cung liên kết, xác định được mối liên hệ giữa η và φ (rad): ( ) ϕ ϕ ϕ η η η ϕ η ϕ Π = = ⇒ = → =    2 2 sin tan - - tan tan - cot - tan cot - x b b b a a aa x Do vậy ta cĩ: ( ) ( ) ' 2 2 2 2 2 2 dx x -asin ;dx -asin d ;dy bcos d ;ds d dx dy a sin b cos d ; ϕ = = ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕϕ = + = ϕ + ϕ ϕ Từ đĩ xác định được cấu trúc và tính được tích phân các số hạng của ma trận [B]: 63 S¬ 28 - 2017 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2x ' y ' a sin b cos C ds d ; GI EIa sin b cos a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ ϕ = + ϕ  ϕ + ϕ ϕ + ϕ  ∫ ∫ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x ' y ' b cos a sin C ds d ; GI EIa sin b cos a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ ϕ = + ϕ  ϕ + ϕ ϕ + ϕ  ∫ ∫ 2 2 1 1 2 2 2 2 3 z ' 1 C ds a sin b cos d ; EI ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ + ϕ ϕ∫ ∫ 2 2 1 1 6 2 2 2 2x ' y ' 1 1 sin cos C ds -ab - d ; GI EI a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ    ϕ ϕ  = ϕ   ϕ + ϕ   ∫ ∫ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 z ' a sin b C ds sin a sin b cos d ; EF EIa sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ = + ϕ ϕ + ϕ ϕ  ϕ + ϕ  ∫ ∫ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 z ' b cos a C ds cos a sin b cos d ; EF EIa sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ = + ϕ ϕ + ϕ ϕ  ϕ + ϕ  ∫ ∫ 2 2 1 1 2 2 2 2 7 2 2 2 2 z ' ab sin cos ab C ds - - sin cos a sin b cos d ; EF EIa sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ + ϕ ϕ  ϕ + ϕ  ∫ ∫ ( ) 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 6 1 2 2 2 2 2 2 2 2x ' y ' y ' x ' a b a b b sin cos a b sin xC - yC ds - - - d ; GI EI EI GIa sin b cos a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ    ϕ ϕ ϕ  = + ϕ   ϕ + ϕ ϕ + ϕ   ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 3 2 2 2 2 3 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2y ' x ' y ' x ' a ab ab sin cos ab cos xC - yC ds - d ; EI GI EI GIa sin b cos a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ    ϕ ϕ ϕ  = + + ϕ   ϕ + ϕ ϕ + ϕ   ∫ ∫ 2 2 1 1 2 2 2 2 3 z ' b yC ds sin a sin b cos d ; EI ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ ϕ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 3 z ' a -xC ds - cos a sin b cos d . EI ϕ ϕ ϕ ϕ   = ϕ ϕ + ϕ ϕ   ∫ ∫ Kí hiệu tích phân cơ sở của các số hạng trong ma trận [B]như sau: 2 1 2 2 2 2 11T a sin b cos d ; ϕ ϕ = ϕ + ϕ ϕ∫ 2 1 2 2 2 2 12T sin a sin b cos d ; ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ ϕ∫ 2 1 2 2 2 2 2 13T sin a sin b cos d ; ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ ϕ∫ 2 1 2 2 2 2 14T cos a sin b cos d ; ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ ϕ∫ 2 1 2 2 2 2 2 15T cos a sin b cos d ; ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ ϕ∫ 2 1 16 2 2 2 2 1 T d ; a sin b cos ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ Hình 1. Quan hệ giữa φ và S Hình 2. Phân tố thanh cong Elip, ds 64 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG KHOA H“C & C«NG NGHª 2 1 2 17 2 2 2 2 sin T d ; a sin b cos ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ 2 1 3 18 2 2 2 2 sin T d ; a sin b cos ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ 2 1 2 19 2 2 2 2 cos T d ; a sin b cos ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ 2 1 3 20 2 2 2 2 cos T d ; a sin b cos ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ 2 1 21 2 2 2 2 sin cos T d ; a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ 2 1 2 22 2 2 2 2 sin cos T d ; a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ 2 1 2 23 2 2 2 2 sin cos T d ; a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ 2 1 2 2 24 2 2 2 2 sin cos T d ; a sin b cos ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ∫ 2 1 2 2 2 2 25T sin cos a sin b cos d . ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ + ϕ ϕ∫ Hàm cần lấy tích phân Tm, m=(11÷25), đều là hàm siêu việt hoặc khơng thể xác định trực tiếp nguyên hàm nên sử dụng phương pháp tích phân số Simson [2] ta được biểu thức (4) và tính được MTĐC [kc]m của phần tử m tương ứng gĩc φ1 và φ2, [1, 3]. Gối tựa đàn hồi cĩ hệ số độ cứng theo phương chuyển vị thẳng kux, kuy, kuz, và xoay là kωx, kωy, kωz đưa vào sơ đồ tính bằng cách cộng độ cứng vào vị trí nút: [ ] [ ] [ ]= +cdh dh cK K K (5) Với [K]dh là ma trận độ cứng gối tựa đàn hồi, cĩ các số hạng trên đường chéo là các hệ số đàn hồi, các số hạng cịn lại bằng khơng, [K]c là ma trận độ cứng tổng thể, [K]cdh là ma trận độ cứng của tồn hệ kể đến hệ số đàn hồi của các nút trong HTĐ chung. ( ) 2 1 ư ư 2 2 17 13 21 25 12 z' z' z' 2 2 21 25 19 15 14 z' z' z' 2 2 3 2 2 x' y' y' 16 223x' 22 2 y' 24 2 y' 18 x' Bt (4) : a b ab ab b T + T - T - T 0 0 0 T EF EI EF EI EI ab ab b a a - T - T T + T 0 0 0 - T EF EI EF EI EI a b a b a a - + a b GI EI EIT - TGI b0 0 + EIa - b + T EI a b - T GI   =                ∫ B ds 2 x' 232 y' 2 20 x' 2 2 x' y' 22 2 23 17 19 21 x' y' y' x'y' 2 18 x' 3 2 y' x' 232 y'y' 2 20 x' b GI T ab 0- EI ab + T GI a b a b - GI EI - T a b ab abb0 0 T + T - T 0+ GI EI EI GIEI a b - T GI a ab + EI GI T ab aab0 0 -- EIEI ab + T GI                                                2 2 21 19 17 x' x' y' 12 14 11 z' z' z' b b a T T + T 0 GI GI EI b a 1 T - T 0 0 0 T EI EI EI                                                                                        65 S¬ 28 - 2017 Bảng 1. Tải trọng nút trong HTĐ chung Bảng 2. Liên kết gối tựa trong HTĐ chung P Tên nút U Tên nút B D E G J A C D F G H K Px [kN] 100 0 80 0 50 Ux DH DH DH DH DH DH DH Py [kN] 100 0 80 0 50 Uy DH DH DH DH DH DH DH Pz [kN] -500 60 -800 -60 -650 Uz DH DH DH DH DH DH DH Mx [kNm] -30 0 -30 0 -30 Ωx CD TD TD TD TD TD CD My [kNm] 30 0 30 0 30 Ωy CD TD TD TD TD TD CD Mz [kNm] -30 0 -30 0 -30 Ωz CD TD TD TD TD TD CD Bảng 3: Chuyển vị nút trong HTĐ chung PEA-V2 SAP 2000 So sánh kết quả Nút A E H 1 (A) 62 (E) 91 (H) 1 (A) 62 (E) 91 (H) Ux [m] -0.00024 -0.00069 -0.00043 -0.00024 -0.00071 -0.00044 2.78% 3.04% 1.63% Uy [m] 0.00129 0.00395 0.00062 0.00130 0.00393 0.00064 0.80% 0.50% 2.37% Uz [m] -0.00600 -0.70902 -0.00692 -0.00599 -0.69805 -0.00671 0.17% 1.57% 3.23% Ωx [rad] 0 -1.51856 -0.16179 0 -1.48820 -0.15708 - 2.04% 3.00% Ωy [rad] 0 -0.43130 0.13900 0 -0.42132 0.13875 - 2.37% 0.18% Ωz [rad] 0 0.00039 0.00136 0 0.00037 0.00133 - 6.89% 1.96% Bảng 4: Ứng lực nút trong HTĐ chung PEA – V2 SAP 2000 So sánh kết quả Phần tử 1 4 8 1-13 37-62 91-99 1(1-13) 4(37-62) 8(91-99) Đầu 1 Px [kN] 23.6 19.1 38.8 24.3 21.1 38.7 2.6% 9.5% 0.5% Py [kN] -128.8 -0.4 -48.8 -129.8 0.1 -48.7 0.8% - 0.0% Pz [kN] 300.2 237.7 271.2 299.7 234.0 266.6 0.2% 1.6% 1.7% Mx [kNm] 870.8 70.6 -188.3 870.9 69.4 -180.9 0.0% 1.7% 4.1% My [kNm] 144.1 433.5 -235.7 145.6 421.5 -222.5 1.1% 2.8% 5.9% Mz [kNm] 23.8 -0.8 -29.9 23.5 -1.4 -30.3 1.7% - 1.5% Đầu 2 Px [kN] -23.6 -19.1 -38.8 -24.3 -21.1 -38.7 2.6% 9.5% 0.5% Py [kN] 128.8 0.4 48.8 129.8 -0.1 48.8 0.8% - 0.0% Pz [kN] -300.2 -237.7 -271.2 -299.7 -234.0 -266.6 0.2% 1.6% 1.7% Mx [kNm] 330.1 -325.3 -243.8 327.9 -320.2 -244.1 0.7% 1.6% 0.1% My [kNm] 338.6 992.7 -690.1 336.2 982.6 -687.8 0.7% 1.0% 0.3% Mz [kNm] 88.7 24.0 -74.7 88.2 23.7 -74.5 0.5% 1.3% 0.3% Bảng 5: Ứng lực nút trong HTĐ riêng PEA – V2 SAP 2000 So sánh kết quả Phần tử 2 5 7 13-19 62-56 39-91 2(13-19) 5(62-56) 7(39-91) Đầu 1 Px [kN] 102.7 121.1 13.3 105.7 123.8 14.7 2.9% 2.2% 9.2% Py [kN] 74.6 38.6 4.1 -71.8 -36.3 -5.6 3.9% 6.5% 25.4% Pz [kN] -199.8 -562.3 -74.9 200.3 -566.0 -68.6 0.3% 0.6% 9.2% Mx [kNm] -2.5 -70.2 27.8 -14.5 -88.2 25.5 - 20.5% 8.8% My [kNm] -474.3 -1004.5 -235.6 470.9 991.9 230.6 0.7% 1.3% 2.2% Mz [kNm] -118.7 -54.0 -6.5 -118.2 53.7 8.8 0.4% 0.6% 26.2% Đầu 2 Px [kN] -118.8 -126.6 10.8 119.0 128.3 12.6 0.2% 1.3% 14.3% Py [kN] -44.6 -11.2 -8.8 -46.5 -13.1 9.3 4.0% 14.3% 5.4% Pz [kN] 199.8 562.3 74.9 200.3 -566.0 68.6 0.3% 0.6% 9.2% Mx [kNm] 64.4 107.9 26.0 -64.7 -117.7 21.3 0.5% 8.3% 22.2% My [kNm] -44.1 -594.5 300.5 -47.2 -613.7 -286.0 6.7% 3.1% 5.1% Mz [kNm] -31.3 -17.6 29.9 30.7 -16.7 -30.3 1.9% 5.9% 1.5% 66 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG KHOA H“C & C«NG NGHª 3. Lập chương trình phân tích và tính tốn kiểm chứng 3.1. Chương trình phân tích Chương trình PEA - V2 (Analysis Planar Ellips Arc - Version 2) lập trình bằng Matlab 2010a cĩ khả năng phân tích tuyến tính thanh cong hình Elip phẳng với số phần tử bất kì, chịu tải trọng tĩnh tổng quát, cĩ các liên kết đàn hồi tuyến tính bố trí tại vị trí bất kì. 3.2. Ví dụ phân tích bằng PCE-V2 và kiểm chứng bằng SAP 2000 Sử dụng chương trình PEA - V2 tính chuyển vị, ứng lực nút cho thanh cong phẳng hình Ellip sơ đồ tính như Hình 3. Bán trục thanh a=12 m, b=8 m. Vật liệu thép cĩ E=2,1e+08 kN/m2; G=0,808e+08 kN/m2. Tiết diện thép hình chữ I tổ hợp kích thước 1000x350x20x10 mm cĩ Ix’ =2,251e-06 m4; Iy’ =4,33e-03 m4, Iz’ =1,782e-04 m4; F=0.0246 m2. Liên kết đàn hồi kux=kuy=105 kN/m, kuz=5x104 kN/m. Kí hiệu CD là dạng liên kết ngăn cản chuyển vị, TD là dạng liên kết cho phép chuyển vị, DH là liên kết đàn hồi trong Bảng 2. Tải trọng trên thanh cho trong Bảng 1. So sánh kết quả tính tốn Dùng PEA – V2 để phân tích chia và kí hiệu phần tử như Hình 4, hệ cĩ 9 phần tử cong, 10 nút. Dùng SAP 2000 để phân tích hệ chia thành 108 phần tử thẳng (Hình 5). Kết quả phân tích, so sánh giữa PEA-V2 và SAP 2000 trong Bảng 3, Bảng 4, Bảng 5. So sánh thấy kết quả phân tích tương đương nên PEA – V2 đảm bảo tính chính xác. 4. Kết luận và kiến nghị Bài báo trình bày phương pháp ma trận chuyển cải tiến phân tích tuyến tính thanh cong hình Elip cĩ gối tựa đàn hồi. Đây là cơng cụ hữu ích giúp tính tốn, kiểm chứng, nghiên cứu dạng kết cấu này, cũng như là cơ sở cho các phân tích nâng cao./. Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Trâm, Lý thuyết tính tốn tổng thể khơng gian kết cấu nhịp cầu, Luận án Tiến sĩ Khoa học, Maxcơva, Liên Xơ, 1982. 2. Đặng Quốc Lương, Phương pháp tính trong kỹ thuật, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội, 2001. 3. Lê Dũng Bảo Trung, Nguyễn Hồng Sơn, Phương pháp mới phân tích thanh cong phẳng liên tục chịu tải trọng khơng gian, Tuyển tập cơng trình hội nghị khoa học tồn quốc Cơ học và Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đại học Duy Tân, TP Đà Nẵng, 1458- 1465, 2015 4. Phạm Văn Đạt, Tính tốn kết cấu hệ thanh theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Xây Dựng, Hà nội, 2017. Hình 3. Sơ đồ tính thanh Hình 4. Kí hiệu phần tử thanh Hình 5. Sơ đồ tính Elip cĩ gối tựa đàn hồi trong SAP 2000