Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm MathCad trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn

33 S¬ 32 - 2018 Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm MathCad trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn Apply approximate functions of MathCad software for determining internal forces and displacement of beams using finite difference method Hoàng Thị Linh Quyên Tóm tắt Bài báo giới thiệu cách giải bài toán dầm có điều kiện biên bất kỳ bằng phương pháp sai phân hữu hạn với việc sử dụng các hàm xấp xỉ trong phần mềm lập trình MathCad. Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm Mathcad cho phép giảm đáng kể số lượng lưới sai phân mà vẫn đạt được kết quả chính xác tương đối theo yêu cầu. Từ khóa: phương pháp sai phân hữu hạn, dầm, hàm xấp xỉ trong MathCad Abstract This paper presents an approach to solve problem of beams with any constraints using finite difference method with the applying of approximate functions in the MathCad programming software. Using the approximate functions of MathCad software gives a significant reduction of mesh number in the achieving of relative accuracy results. Key words: finite difference method, beam, approximate functions in MathCad ThS. Hoàng Thị Linh Quyên Bộ môn Sức bền vật liệu – Cơ học kết cấu, Khoa Xây dựng Email: hoanglinhquyen@gmail.com Điện thoại: 084.974688919 Ngày nhận bài: 29/5/2017 Ngày sửa bài: 10/6/2017 Ngày duyệt đăng: 05/10/2018 1. Đặt vấn đề Dầm là cấu kiện chịu lực cơ bản và rộng rãi trong kết cấu công trình. Trong lí thuyết tính toán, nội lực và chuyển vị dầm được xác định trên cơ sở phương pháp giải tích và cho lời giải chính xác, nhưng chỉ áp dụng được trong các trường hợp đơn giản. Đối với bài toán dầm với điều kiện biên và chịu lực phức tạp việc áp dụng phương pháp giải tích gặp phải các khó khăn về mặt toán học. Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin và các công cụ lập trình các bài toán phức tạp đã có thể giải quyết được bằng cách áp dụng các phương pháp số. Một trong những phương pháp số phổ biến hiện và được phát triển hiện nay là phương pháp sai phân hữu hạn. Phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các phương trình vi phân hoặc các phương trình đạo hàm riêng trên cơ sở thay thế các đạo hàm trong các phương trình vi phân và các điều kiện biên bằng hiệu của các giá trị hàm tương ứng giữa một khoảng chia hữu hạn. Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn đưa việc giải hệ các phương trình vi phân về việc giải hệ phương trình đại số. Tuy nhiên, sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn chỉ cho phép xác định giá trị hàm tại các điểm nút, giá trị nội lực và chuyển vị tải các điểm còn lại được xác định bằng cách nội suy. Để đơn giản hóa trong việc xây dựng lời giải người ta giả thiết rằng các giá trị các đại lượng cần tìm giữa các khoảng chia thay đổi theo quy luật tuyến tính, điều đó dẫn tới sai số lớn khi tính toán nội lực và chuyển vị của dầm vì các đại lượng cần tìm trong bài toán dầm có mối liên hệ vi phân bậc 2, bậc 3, bậc 4. Vì vậy để kết quả bài toán giải theo phương pháp sai phân hữu hạn được chính xác thường phải chia lưới sai phân rất nhỏ, dẫn tới khối lượng tính toán lớn. Đây chính là điểm yếu của phương pháp sai phân hữu hạn. Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ thông tin, các phần mềm ứng dụng có các hàm tính nội suy bậc cao cho phép giải bài toán với độ chính xác cao mà không cần phải chia quá nhỏ lưới sai phân trong phương pháp sai phân hữu hạn. Nội dung bài báo này sẽ trình bày cụ thể việc sử dụng các hàm nội suy trong phần mềm lập trình MathCad bằng phương pháp sai phân hữu hạn để tính toán nội lực và chuyển vị cho dầm bất kỳ. 2. Phương pháp sai phân hữu hạn trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm 2.1. Phương pháp sai phân hữu hạn cho hàm một biến Xét hàm một biến y(x) liên tục trong miền xác định của nó. Gọi ∆x là bước sai phân. Ta có giá trị của hàm tại điểm chia thứ n là yn. Trên hình 1 thể hiện đồ thị biểu diễn hàm tính theo phương pháp sai phân hữu hạn. Đạo hàm trong các phương trình được biểu thị bằng các sai phân của hàm như sau • Đạo hàm cấp 1: n n 1 n 1 n y y ydy dx x 2 x + −∆ −≈ = ∆ ∆ (1) • Đạo hàm cấp 2: ( ) ( ) 2 n 2 n n 2 22 n y 2y yd y dx 4 x + −− +≈ ∆ (2) • Đạo hàm cấp 4: 34 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG KHOA H“C & C«NG NGHª Hình 3. Đồ thị minh họa hàm nội suy tuyến tính Hình 4. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các véctơ hệ số cspline Hình 5. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các véc tơ hệ số pspline Hình 6. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các véc tơ hệ số lspline ( ) ∆ ≈ ∆ 44 n 44 n yd y dx x ( ) + + − −− + − += ∆ n 2 n 1 n n 1 n 2 4 y 4y 6y 4y y x (3) 2.2. Hệ phương trình sai phân tính nội lực và chuyển vị của dầm Xét dầm chịu tải trọng như hình 2, theo lý thuyết tính toán của sức bền vật liệu ta có mối liên hệ vi phân giữa các đại lượng độ võng, mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố như sau: 2 2 d M q dx = (4) 2 2 x d y M dx EI = (5) 4 4 x d y q dx EI = (6) Trong đó M: mômen uốn có chiều dương nếu căng thớ dưới ; Hình 1. Đồ thị biểu diễn hàm theo phương pháp sai phân hữu hạn Hình 2. Sơ đồ tải trọng và chuyển vị của dầm 35 S¬ 32 - 2018 q: cường độ tải trọng phân bố, chiều dương hướng từ dưới lên trên ; y(x): chuyển vị của dầm; EIx: độ cứng chống uốn. Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn ta có các phương trình đại số xác định mô men uốn và chuyển vị của dầm như sau: − +− + = ∆ 2 n 1 n n 1 x nM 2M M q (7) − + ∆ − + = 2 x n n 1 n n 1 x M y 2y y EI (8) − − + + ∆ − + − + = 4 x n n 2 n 1 n n 1 n 2 x q y 4y 6y 4y y EI (9) 3. Hàm xấp xỉ nội suy trong MathCad khi tính toán nội lực và chuyển vị của dầm MathCad là một phần mềm lập trình toán học tương đối phổ biến hiện nay và được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực liên quan tới phương pháp tính. Đây là phần mềm toán học đơn giản và giúp giải quyết hiệu quả các bài toán có khối lượng tính toán phức tạp. Trong phần mềm MathCad có các hàm nội suy cho phép xấp xỉ hóa tập hợp các giá trị rời rạc (x, y) và dùng các hàm này cho phép xác định các đại lượng nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn. 3.1. Các hàm xấp xỉ nội suy 3.1.1. Hàm nội suy tuyến tính Hàm nội suy tuyến tính là hàm nội suy đơn giản nhất, là tập hợp của các quan hệ cần tìm A{X} biểu diễn theo đường gấp khúc. Hàm nội suy A{X} gồm các đoạn thẳng nối các điểm chia như thể hiện trên hình 1. Để thiết lập hàm nội suy tuyến tính người ta dùng hàm linterp(x, y, t) – là hàm xấp xỉ các véctơ x và y theo quan hệ tuyến tính trên từng đoạn, trong đó : x – véctơ biến số, các phần tử được xếp theo thứ tự tăng dần; y – véctơ giá trị tương ứng; t – giá trị biến số mà tại điểm đó cần thực hiện phép nội suy. 3.1.2. Hàm nội suy lập phương Trong thực tế thì nếu cần phải nối các điểm với nhau thì thường ít nối bằng các đường thẳng gấp khúc mà người ta hay nối bằng đường cong mịn để tăng độ chính xác. Để làm được điều đó thì người ta thường dùng đường nội suy spline bậc 3, tức là các đoạn được nối với nhau bằng đường cong bậc 3. Sử dụng hàm interp(s, x, y, t) – hàm xấp xỉ các véctơ x và y bằng spline lập phương như thể hiện trên hình 3 , trong đó ngoài các véc tơ x,y,t giống hàm nội suy tuyến tính thì còn bổ sung thêm các véc tơ sau: s – véctơ đạo hàm bậc 2, được suy ra từ các hàm cspline, pspline hoặc lspline; Hình 7. Dầm 2 đầu ngàm Hình 8. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số cspline lập phương 36 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG KHOA H“C & C«NG NGHª lspline(x, y) – véctơ giá trị các hệ số spline tuyến tính; pspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline bình phương; cspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline lập phương; x, y – véc tơ dữ liệu đầu vào. 3.2. Sử dụng các hàm xấp xỉ nội suy trong bài toán dầm Khi sử dụng các hàm xấp xỉ trong phần mềm ứng dụng MathCad cho phép giải bài toán tính nội lực và chuyển vị của dầm có điều kiện biên bất kì chịu tải trọng. Để minh họa việc triển khai các thao tác lập trình trong MathCad ta xét bài toán dầm liên kết 2 đầu ngàm chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q như thể hiện trên hình 7. Nghiệm giải tích của bài toán này có thể viết dưới dạng sau: 2 4 3 2(z) 24 12 24x x x q ql q l V z z z EI EI EI ⋅ = − + − ⋅ ; 2 3 2(z) 6 4 12x x x q ql q l z z z EI EI EI ϕ ⋅= − + − ⋅ ; 2 2(z) 2 2 12x q ql q l M z z ⋅ = − + − ; Hình 9. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số pspline lập phương Bảng 1. So sánh giá trị nội lực và chuyển vị lớn nhất của dầm theo phương pháp giải tích và phương pháp sai phân hữu hạn Đại lượng Tính theo phương pháp giải tích Tính theo phương pháp SPHH với bước sai phân Δ=0.06m Sai số (%) Δ max 2x lM M  =     22.5 kNm 22.44 0.27 ( )max 0yQ Q= 45 kN 44.1 2 max 2 lϕ ϕ  =     0.024 rad 0.023 5.6 max 2 lV V  =     7.604x103 m 7.026x103 7.6 Bảng 2. Sai số của các hàm độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt khi tính theo phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng hàm nội suy khác nhau và phương pháp giải tích Đại lượng Sai số các hàm mômen, lực cắt, góc xoay và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy có véc tơ khác nhau và phương pháp giải tích Véc tơ hệ số cspline Véc tơ hệ số pspline Véc tơ hệ số lspline M∆ 0.21% 0.85% 4.5% Q∆ 0.26% 1.2% 4.6% ϕ∆ 0.28% 3.2% 5.4% V∆ 0.5 % 4.1% 6.2% 37 S¬ 32 - 2018 Hình 10. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp giải tích và phương pháp sai phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số lspline lập phương (z) 2y ql Q qz= − + (10) Từ công thức (10) thấy rằng chuyển vị của thanh là 1 đường cong bậc 4, góc xoay của tiết diện được biểu thị bằng đường cong bậc 3, mômen uốn là đường cong bậc 2, lực cắt là đường bậc nhất. Điều này có nghĩa là khi giải bài toán này bằng phương pháp sai phân hữu hạn hàm xấp xỉ lực cắt giữa các điểm chia trong từng đoạn được chọn là hàm bậc nhất, hàm xấp xỉ mômen được chọn là hàm bậc 2, tương tự hàm góc xoay tiết diện là bậc 3, và để xấp xỉ hàm chuyển vị giữa các điểm chia cần phải dùng hàm bậc 4. Như vậy, giả thiết về sự phân bố bậc nhất của các hàm chuyển vị, góc xoay, mô men uốn và lực cắt giữa các điểm chia trong từng đoạn của phương pháp sai phân hữu hạn dẫn đến sai số tương đối lớn. Vì vậy, ta dùng các hàm nội suy như đã nêu trên để áp dụng vào bài toán. 4. Ví dụ tính toán Trong phạm vi bài báo, tác giả thực hiện ví dụ dầm liên kết 2 đầu ngàm có chiều dài l=6m như hình 7, được làm từ thép với môđun đàn hồi E=2.15x108 KPa và có mặt cắt ngang hình chữ nhật có kích thước là bxh=0.22x0.45 m, chịu tải trọng q=15kN/m phân bố đều. Dưới đây là kết quả tính toán nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy khác nhau: Các giá trị lớn nhất của độ võng, góc xoay, mômen uốn và lực cắt theo công thức giải tích (10) như thể hiện trong bảng 1. Sai số giữa các hàm độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt tương ứng tính theo công thức giải tích (10) và tính theo phương pháp sai phân hữu hạn trong khoảng l=6m với bước sai phân thể hiện trong bảng 1. Khi áp dụng hàm xấp xỉ nội suy khác nhau ta thu được các đồ thị như hình 8, hình 9, hình 10. Bảng 2 thể hiện các sai số của các hàm độ võng, góc xoay, mômen uốn và lực cắt tương ứng tính theo phương pháp giải tích xác định bằng công thức (10) và tính theo phương pháp sai phân hữu hạn hạn trong khoảng l=6m với bước sai phân Δx=0.5m có sử dụng hàm xấp xỉ nội suy lập phương với các véc tơ hệ số khác nhau. 5. Kết luận Sử dụng hàm xấp xỉ nội suy trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn cho phép giảm đáng kể khối lượng tính toán. Việc lựa chọn và sử dụng véctơ hệ số ảnh hưởng rõ rệt tới độ chính xác của kết quả tính toán./. T¿i lièu tham khÀo 1. Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn. Nhà xuất bản Xây dựng. 2. Nguyễn Mạnh Yên, Phương pháp số trong cơ học kết cấu, NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2000. 3. Nguyễn Tiến Cường (dịch sách của giáo sư, phó tiến sĩ KHKT T.Karaminxki), Phương pháp số trong cơ học kết cấu, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội, 1985. 4. Макаров Е.Г., Инженерные расчеты в MathCad: Учеб. Курс. СПБ, 2005. 5. Бакушев С.В., Расчёт конструкций методом конечных разностей с использованием аппроксимирующих функций MathCad 2015.