Phân bố nhiệt độ theo thời gian trong hoạt chất Laser rắn

Vật lý Mai Văn Lưu, “Phân bố nhiệt độ theo thời gian trong hoạt chất laser rắn.” 110 PHÂN BỐ NHIỆT ĐỘ THEO THỜI GIAN TRONG HOẠT CHẤT LASER RẮN Mai Văn Lưu* Tóm tắt: Laser rắn bơm liên tục (xung bơm dài) được nghiên cứu nhiều với mục đích tạo ra các xung laser có mật độ song suất lớn. Hiệu ứng nhiệt trong hoạt chất ảnh hưởng rất lớn đến hiệu suất phát cũng như tính chất của chùm laser phát. Bài báo trình bày biểu thức nhiệt sinh ra trong hoạt chất laser rắn bơm xung, từ đó khảo sát quá trình sinh nhiệt theo thời gian. Từ khóa: Laser rắn, Biến đổi quang nhiệt. 1. MỞ ĐẦU Laser rắn bơm xung dài (dùng đèn flash, hay laser bán dẫn tần số lặp cao) đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ và đời sống. Các laser rắn trươc đây được bơm bằng đèn flash và có cần làm lạnh để tránh hiệu ứng nhiệt làm mất ổn định cấu trúc chùm tia phát ra [1,2,3,4]. Hiệu ứng nhiệt trong hoạt chất laser rắn đã được nghiên cứu nhiều bằng thực nghiệm, bằng mô phỏng bán thực nghiệm[5,6]. Trong công trình trước đây sự phụ thuộc của biến đổi quang nhiệt vào các tham số xung bơm dọc đã được khảo sát [7]. Tuy nhiên các nghiên cứu trên chưa đề cập đến sự phụ thuộc của hiệu ứng nhiệt theo thời gian bơm, tức là sự thay đổi theo thời gian của phân bố nhiệt trên tiết diện ngang. Trong bài báo này chúng tôi dẫn lại biểu thức phân bố nhiệt trong hoạt chất trong điều kiện dừng. Từ đó khảo sát phân bố nhiệt trên tiết diện ngang tại các thời điểm khác nhau. 2. PHÂN BỐ NHIỆT TRONG HOẠT CHẤT 2.1. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu của bài toán Xét thanh hoạt chất dạng hình trụ, bán kính r= a và chiều dài z=l. Ở hai đáy và mặt xung quanh được cách nhiệt với môi trường làm môi trường hoạt chất laser (hình 1). Hình 1. Thanh hoạt chất. Phương trình truyền nhiệt phụ thuộc thời gian khi xung bơm có dạng [7] :    tzrT zrrr k t tzrT ,, 1,, 2 2 2 2                  (1) trong đó,  tzyxT ,,, là trường nhiệt độ phụ thuộc vào bán kính hoạt chất r và thời gian t. Giả sử phương trình nhiệt độ  tzyxT ,,, thỏa mãn phương trình truyền nhiệt theo thời gian như phương trình (2.17) và nghiệm phải hữu hạn. Điều kiện biên: Điều kiện biên 1:   0,,  tzarT (2) Điều kiện biên 2:   0,,  tlzrT (3) Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 41, 02 - 2016 111 Điều kiện ban đầu: Trường hợp ngừng bơm, nhiệt độ ban đầu (ở thời điểm t=0) của hoạt chất laser là [7]:      0, , 0 1 , ,pumb c laser E T r z t g r z a r z             (4) trong đó, 0E là tổng năng lượng của xung bơm (J), c là nhiệt dung riêng (Jcm -3K-1), pump là bước sóng bơm (nm), laser là bước sóng laser phát (nm),  là hiệu suất (%),  zra , là hàm số mô tả sự hấp thụ nhiệt trong hoạt chất,  zrg , là hàm số thỏa mãn điều kiện của hàm Gauss :       0 0 1,2 drdzzrrg (5) được xác định dưới dạng sau [7]:            4 4 2/32 2exp 22 , pp r l zrg  (6) trong đó, p là bán kính chùm bơm (cm), l là chiều dài của thanh hoạt chất (cm). Trường hợp ngừng bơm, lượng nhiệt giảm theo cấp số nhân thì hàm số mô tả sự hấp thụ nhiệt trong hoạt chất được xác định bởi :    zzra  exp, (7) trong đó,  là hệ số hấp thụ của hoạt chất. Thay phương trình (6) và phương trình (7) vào phương trình (4) thì phương trình mô tả nhiệt ban đầu ( ở thời điểm t=0) như sau:    zr cl E tzrT plaser pump p                      exp2exp1 22 0,, 4 4 2/32 0 (8) 2.2. Phương trình phân bố nhiệt độ theo thời gian Phương trình (1) có nghiệm là hàm có ba biến số độc lập nên hàm  tzyxT ,,, có thể tách thành tích của ba hàm:        tTzZrRtzrT ,, (9) với  rR ,  zZ ,  tT tương ứng là các hàm chỉ phụ thuộc vào từng biến số độc lập tương ứng r,z,t. Sau khi thay phương trình (9) vào phương trình (1) chúng ta nhận được:                               tTzZrRtTzZrR r tTzZrRktTzZrR "'"' 1 (10) Chia hai vế phương trình (10) cho    tTrkR thì phương trình (10) có dạng sau [9]:                 2 "''" 1  zZ zZ tkT tT rR rR rrR rR (11) Phương trình (11) có thể tách thành hai phương trình sau:     02"  zZzZ  (12) Vật lý Mai Văn Lưu, “Phân bố nhiệt độ theo thời gian trong hoạt chất laser rắn.” 112             2 ''" 1  tkT tT rR rR rrR rR (13) Nghiệm phương trình (12) như sau:      zBzAzZ  cossin  (14) Giả sử trên thanh hoạt chất có nhiệt độ thích hợp, bỏ qua sự thất thoát nhiệt ra bên ngoài thanh hoạt chất và để cho cách nhiệt với môi trường ngoài chỉ giử lại hàm cosin do đó phương trình (14) được viết lại:    zBzZ cos (15) Thực hiện chuyển vế ở phương trình (13) và đưa vào hệ số 2 sẽ có dạng:             22 ''" 1   tkT tT rR rR rrR rR (16) Phương trình (16) có hai phương trình lần lượt là:       022'  tTktT  (17) và phương trình còn lại có dạng:         2 '" 1  rR rR rrR rR (18) Phương trình (17) có nghiệm:     tkCtT 22exp   (19) Thực hiện chuyển vế phương trình (18) có dạng [9]:         0 1 2 '"   rR rR rrR rR (20) Bằng cách đặt rx  khi đó phương trình (20) trở thành:       01 '"  xRxR x xR (21) Phương trình (21) có dạng của phương trình Bessel. Khi v=n=0, phương trình (21) có nghiệm:      xYCxJCxR 0201  (22) Thay rx  vào phương trình (22) như sau:      rYCrJCrR  0201  (23) Do điều kiện của hàm Neuman cấp n nên   00Y mà nhiệt độ hữu hạn. Đặt 02 C nên phương trình (23) được viết lại :    rJCrR 01 (24) Áp dụng điều kiện biên 1:   0,,  tzarT . 0)( aR (25) Từ hai phương trình (24) và (25), suy ra [2]: Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 41, 02 - 2016 113       a aaJaJCaR nnn    00 001 , với n là hệ số của hàm Bessel và n là số nguyên lấy giá trị n=1,2,3 Thay n vào phương trình (24) có dạng sau:          a rJCrR nn  01 (26) Áp dụng điều kiện biên 2:   0,,  tlzrT 0)( lZ (27) Kết hợp hai phương trình (15) và phương trình (27) như sau:       l m l mlllBlZ m      22 0cos0cos với m là số nguyên lấy giá trị m = 0,1,2,3 Thay m vào phương trình (27) như sau:                l zm B l zm l z BzZ mmm  sin 2 cos (28) Từ giá trị của  zZm ở phương trình (28) để thanh hoạt chất cách nhiệt đối với môi trường ngoài chỉ giữ lại cosin, bằng cách thay giá trị l zm m    của phương trình (28) trở lại vào phương trình (15) như sau:                l zm B l zm BzZ mmm  coscos (29) Kết hợp hai phương trình (26) và phương trình (29), mối quan hệ với phương trình (19) về giá trị riêng của n và m và thay giá trị riêng n và m vào phương trình (19) chúng ta nhận được :                t l m a kCT nnmnm 2 22 2 2 exp  (30) Thay các phương trình (26), phương trình (29) và phương trình (30) vào phương trình (9), nghiệm riêng của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện biên là [10]:                            t l m a k l zm a rJAtzrT nnnmnm 2 22 2 2 0 expcos),,(  (31) với nmmnm CBCA 1 . Dựa vào tính chất tuyến tính, nghiệm của bài toán là tổng vô hạn của các nghiệm riêng ),,( tzrTnm [10]:                                   t l m a k l zm a rJAtzrT nnnm n m 2 22 2 2 0 1 0 expcos,,  (32) Cho phương trình (32) thỏa mãn điều kiện ban đầu ở phương trình (12) như sau: Vật lý Mai Văn Lưu, “Phân bố nhiệt độ theo thời gian trong hoạt chất laser rắn.” 114                     l zm a rJAtzrT n n m nm  cos0,, 0 1 0 (33) Nhân hai vế của phương trình (33) với       a rJ n  0 rồi thực hiện lấy tích phân hai vế trên toàn miền ar 0 , đồng thời chú ý đến tính trực giao của hàm Bessel [7]:     rdr a rJtzrT Jal zm A a n nm nm               0 02 1 2 0 0,, 2 cos    (34) Nhân hai vế của phương trình (34) với       l zm cos rồi lấy tích phân hai vế trên toàn miền lz 0 , hệ số nmA là:     rdrdz a rJtzrT l zm Jla A n al n nm                 0 00 2 1 2 0,,cos 4 (35) Thay  0,, tzrT ở phương trình (12) vào phương trình (35) có dạng sau:     4 0 02 2 3/2 2 2 4 1 0 0 8 2 1 1 exp 2 cos exp a pump n nm c p laser n p l E r A J r rdr l a J a m z z dz l                                        (36) Thay phương trình (36) vào phương trình (32), chú ý khi m=0 lấy 2 1 giá trị nmA , ta nhận được :       4 0 02 2 3/2 2 2 4 1 1 1 0 2 2 2 0 2 2 0 8 2 1 , , 1 exp 2 cos exp cos exp a pumb n n m c p laser n p l n n E r T r z t J r rdr l a J a m z m z m z dzJ r k t l a l a l                                                                   (37) Phương trình (37) là phương trình phân bố nhiệt độ theo thời gian trong hoạt chất laser rắn. 2.3. Khảo sát phân bố nhiệt độ xuyên tâm theo thời gian Các giá trị của cấp số nhân theo tổng các giá trị của n ở phương trình (37) bao gồm giá trị a đó là giá trị lớn nhất của r. Vì vậy, nó là giá trị tách ra r thành phần của  tzrT ,, trong phương trình (37) để có sự phân bố nhiệt độ xuyên tâm theo thời gian trong hoạt chất laser như phương trình [7] :                   t a k a rJBtrT nn n nr 2 2 0 1 exp,  (38) trong đó, nB là hệ số mở rộng có giá trị như sau: Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 41, 02 - 2016 115   4 0 02 3/2 2 2 4 1 0 4 2 1 1 exp 2 a pumb n c p laser n p E r B J r rdr l a J a                            (39) Từ phương trình phân bố nhiệt độ xuyên tâm theo thời gian trong hoạt chất laser rắn, chọn các thông số của laser Ti:Sapphire với chiều dài của thanh hoạt chất l=1cm năng lượng của xung bơm 0E =0,7J bán kính thanh hoạt chất a=0,36cm, bán kính mặt thắt chùm tia p 0,28cm bước sóng bơm 532pump nm, bước sóng laser phát 800laser nm nhiệt dung riêng c 3,1Jcm 3K-1 hệ số truyền nhiệt 0,33wcm-1K-1, ban đầu của laser Ti :Sapphire ở nhiệt độ phòng và hiệu suất 64,0 [7]. Sử dụng phần mềm Maple, phân bố nhiệt độ trong hoạt chất laser tại các thời điểm khác nhau theo bán kính xuyên tâm của thanh hoạt chất laser rắn Ti:Sapphire được thể hiện như hình 2. (a) (b) (c) (d) (e) Hình 2. Phân bố nhiệt độ xuyên tâm trong hoạt chất tại các thời điểm: t=0,011s (đen,a), t=0,015s (xanh blue,b), t=0,022s (xanh green,c), t=0,04s (vàng,d), t=0,07s (đỏ,e) với 532pump nm, p 0,28cm. Từ đồ thị ta thấy, nhiệt độ ở trục thanh hoạt chất laser là lớn nhất và nhiệt độ giảm dần từ tâm ra biên theo bán kính thanh hoạt. Điều này là hoàn toàn phù hợp bởi hệ laser bơm dọc sử dụng nguồn bơm là laser có phân bố Gauss (năng lượng cực đại tại đỉnh - tâm của phân bố). Cũng từ hình 2, trong suốt quá trình hoạt động của laser, nhiệt độ trên tiết diện ngang của hoạt chất tăng theo thời gian, điều này được giải thích như sau: Trong hình 3, một chu kỳ hoạt động laser gồm hai chu kỳ nhỏ: chu kỳ bơm và chu kỳ làm lạnh (khi đèn bơm dừng). Vật lý Mai Văn Lưu, “Phân bố nhiệt độ theo thời gian trong hoạt chất laser rắn.” 116 Hình 3. Quá trình sinh nhiệt trong hoạt chất [2]. Ở thời điểm ban đầu (tbđ) nhiệt độ của hoạt chất là T1 (nhiệt độ ban đầu). Trong chu kỳ bơm thứ nhất: tb = t1 – tbđ, nhiệt độ sẽ tăng lên đến Tb1. Sau khi dừng bơm, tức là trong chu kỳ làm lạnh, tll= t2 –t1, nhiệt độ giảm xuống T2. Bắt đầu chu kỳ bơm thứ hai: tại thời điểm t2, chu kỳ làm việc thứ nhất kết thúc, bắt đầu chu kỳ thứ hai, tức là bơm quang học hoạt động trở lại, nhiệt độ lại tăng lên Tb2, dừng bơm cho đến khi chu kỳ hai kết thúc thì nhiệt độ giảm xuống còn T3 (T3 > T2, nghĩa là nhiệt độ thanh hoạt tăng lên). Như vậy ta thấy, theo thời gian làm việc thì nhiệt độ của hoạt chất laser sẽ tăng lên. Quá trình này lặp lại nhiều lần cho đến một thời điểm, trạng thái nhiệt ổn định, dạng và giá trị trường nhiệt ổn định. Đây gọi là trạng thái tựa ổn định trường nhiệt trong hoạt chất [2]. Để thấy được ảnh hưởng của bán kính mặt thắt chùm bơm đến mức độ tăng nhiệt trong thanh hoạt chất, chúng tôi khảo sát phân bố nhiệt độ xuyên tâm khi bán kính mặt thắt chùm bơm 2,0p cm, kết quả như hình 4. Hình 4. Phân bố nhiệt độ xuyên tâm trong hoạt chất tại các thời điểm: t=0,011s (đen), t=0,015s (xanh blue), t=0,022s (xanh green), t=0,04s (vàng), t=0,07s (đỏ) với 532pump nm, p 0,2cm. Chúng ta thấy, khi bán kính mặt thắt chùm bơm giảm thì nhiệt độ trong thanh hoạt chất sẽ tăng lên nhiều hơn (nhiệt độ tăng gần 21,50C khi p 0,28cm - hình 2 và tăng gần 22,50C khi p 0,2cm - hình 4). Điều này là hoàn toàn hợp lý vì khi bán kính mặt thắt chùm bơm nhỏ thì năng lượng chùm tia sẽ tập trung, dẫn đến nhiệt độ trong hoạt chất laser tbđ t1 t2 t3 t4 t5 t6 T1 Tb1 T2 Tb2 Tb3 T [K] T3 T4 Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 41, 02 - 2016 117 rắn tăng nhiều hơn. Thay đổi bước sóng laser bơm, 694pump nm thì phân bố nhiệt độ trong hoạt chất laser rắn được thể hiện như hình 5. Hình 5. Phân bố nhiệt độ xuyên tâm trong hoạt chất tại các thời điểm: t=0,011s (đen), t=0,015s (xanh blue), t=0,022s (xanh green), t=0,04s (vàng), t=0,07s (đỏ) với 694pump nm, p 0,28cm. Từ đồ thị ta thấy, mức độ tăng nhiệt độ trong thanh hoạt chất laser sẽ giảm khi sử dụng laser bơm có bước sóng lớn hơn (nhiệt độ tăng gần 21,50C khi 532pump nm - hình 2 và tăng hơn 20,90 C khi 694pump nm - hình 5). Điều này là phù hợp vì bước sóng tăng thì năng lượng của chùm tia giảm, trong cùng một điều kiện thì dẫn đến nhiệt độ của hoạt chất giảm. 3. KẾT LUẬN Trong quá trình hoạt động của laser, nhiệt độ thanh hoạt chất tăng lên do năng lượng dư thừa không tham gia vào quá trình hấp thụ cưỡng bức để tạo ra laser mà năng lượng này làm sinh nhiệt trong hoạt chất laser. Từ phương trình truyền nhiệt theo thời gian trong hoạt chất laser rắn chúng tôi dẫn ra phương trình phân bố nhiệt độ xuyên tâm theo thời gian. Sử dụng phương pháp đồ thị bằng phần mềm Maple, chúng tôi khảo sát phân bố nhiệt độ xuyên tâm ở những thời điểm khác nhau trong hoạt chất laser rắn Ti:Sapphire để thấy được mức độ tăng nhiệt cũng như phân bố nhiệt độ theo bán kính thanh hoạt ở những thời điểm cụ thể. Mặc dù nhiệt độ thanh hoạt tăng lên là không nhiều, nhưng do phân bố không đều trong thanh sẽ dẫn đến hiện tượng gradient nhiệt, đây là nguyên nhân xuất hiện nhiều hiệu ứng nhiệt mà kết quả là ảnh hưởng không tốt đến quá trình làm việc của laser. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Mai Văn Lưu, “Ảnh hưởng của chùm laser xung Gauss lên quá trình quang phân bố của môi trường bị kích thích”, Luận án Tiến sĩ Vật lí, Đại học Vinh, 2010. [2]. Hồ Quang Quý, “Vật lý laser và ứng dụng”, NXB KHKT, Hà Nội, 2013. [3]. P. V. Thinh, L. N. Anh, L. V. Đại, “Mô phỏng phân bố năng lượng hấp thụ trong thanh hoạt chất laser rắn bơm bằng đèn flash sử dụng phần mềm ZEMAX,” NCKHCNQS, Số Đặc san VLKT’13, 08-2013, 29-33. [4]. P. V. Thịnh, L. N. Anh, L. V. Đại, “Sử dụng phương pháp chùm tia thử xác định các đặc trưng của thấu kính nhiệt trong thanh hoạt chất laser rắn bơm bằng đèn flash,” NCKHCNQS, Số Đặc san VLKT’13, 08-2013, 29-33. [5]. Weihua Guan, “High-Power Single-Frequency Fiber Laser”, PhD Thesis, Vật lý Mai Văn Lưu, “Phân bố nhiệt độ theo thời gian trong hoạt chất laser rắn.” 118 University of Rochester Rochester,New York, 2009. [6]. Alexander J. Boyland, Jayanta K. Sahu, Seunghwan Chung, Johan Nilsson, and David N. Payne, “Multi-kilowatt Single-mode Ytterbium-doped Large-core Fiber Laser,” Journal of the Optical Society of Korea Vol. 13, No. 4, 2009, pp. 416- 422, DOI: 10.3807/JOSK.2009.13.4.416. [7]. H. Nadagran and Sabaian, “Pulsed pump: Thermal efects in solid lasers under super-Gaussian pulses”, Jourmal of physics, Vol. 67, No. 6, December 2006, pp. 1119-1128. [8]. Paulo André, Ana Rocha, Fátima Domingues and Margarida Facão, “Thermal Effects in Optical Fibres, Developments in Heat Transfer”, Dr. Marco Aurelio Dos Santos Bernardes (Ed.), ISBN: 978-953-307-569-3, In Tech, 2011 [9]. N. N. Khanh, “Các bài giảng về phương trình Vật lý”, Toán, NXB Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2003. [10]. Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Huy Bằng, “Toán cho Vật lý”, Vinh 2003. ABSTRACT TEMPORAL DISTRIBUTION OF TEMPERATURE IN LASER ROD CW laser (using pump long pulse) has been investigating to design the powerful laser beam. The thermal effect in laser rod influence on generation efficiency and qualities of laser beam. In this paper, the expression of temperature in laser rod is divided and the temporal distribution of temperature in laser rod is investigated and discussed. Keywords: Solid laser, Optothermal transfer. Nhận ngày 28 tháng 10 năm 2015 Hoàn thiện ngày 15 tháng 11 năm 2015 Chấp nhận đăng ngày 22 tháng 02 năm 2016 Địa chỉ: Trường Đại học Vinh; *Email: mailuudhv@gmail.com