Luận văn Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

1Đại học Thái Nguyên Trường Đại học sư phạm ------------------------------ Bùi Thanh Đoàn Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor Luận văn thạc sĩ toán học Thái nguyên - 2010 Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 2Đại học Thái Nguyên Trường Đại học sư phạm ------------------------------ Bùi Thanh Đoàn Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số. Mã số: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ toán học Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Dung Thái nguyên - 2010 Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 3Mục lục Trang Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Môđun Artin và đối ngẫu Matlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Chiều Noether của môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.5. Dãy chính quy và độ sâu của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Dãy đối chính quy với chiều > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Dãy đối chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Dãy đối chính quy với chiều > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 3. Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 3.1. Độ rộng với chiều > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Kết quả hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 4Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành sau 2 năm học tập tại Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên và dưới sự hướng dẫn tận tình sâu sắc của TS. Nguyễn Thị Dung. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô và gia đình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Trường Đại học sư phạm, Viện toán học Việt nam, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS.TS Nguyễn Quốc Thắng, PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn và các thầy cô giáo của trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình thực hiện bản luận văn này. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên Bùi Thanh Đoàn Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 5Mở đầu Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m, I là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Để nghiên cứu cấu trúc của các môđun Noether và môđun Artin, người ta thường quan tâm đến các tập iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố gắn kết tương ứng của chúng. Xuất phát từ một kết quả trong vành các số nguyên Z: nếu với mỗi iđêan I = mZ, trong đó m = pα11 . . . p αk k là sự phân tích tiêu chuẩn của số nguyên m thì tập AssZ Z/InZ = {p1Z, . . . , pkZ} là ổn định với mọi n, một cách tự nhiên người ta đã đặt ra câu hỏi rằng liệu tính chất này còn đúng khi thay Z bởi một vành giao hoán Noether tuỳ ý hay không. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về vấn đề này mà điển hình là kết quả của M. Brodmann vào năm 1979, trong đó ông đã chứng minh rằng các tập AssR(M/I nM) và AssR(I nM/In+1M) không phụ thuộc vào n khi n 0. Tiếp theo, vào năm 1986, R. Y. Sharp đã chứng minh kết quả đối ngẫu cho môđun Artin, đó là các tập AttR(0 :A I n) và AttR(0 :A I n+1/0 :A I n) là độc lập với n khi n 0. Chú ý rằng ta luôn có các đẳng cấu M/InM ∼= TorR0 (R/In,M) và (0 :A In) ∼= Ext0R(R/In, A). Vì thế, một cách tự nhiên khi hỏi rằng liệu các kết quả trên có thể mở rộng cho các môđun ExtiR(R/I n, A) và TorRi (R/I n,M), với i bất kỳ hay không. Câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên được đưa ra bởi L. Melkersson và P. Schenzel vào năm 1993. Họ đã chứng minh được các tập AssR ( TorRi (R/I n,M) ) và AttR ( ExtiR(R/I n, A) ) , n = 1, 2, . . . là ổn định khi n đủ lớn. Đồng thời, họ cũng đặt ra câu hỏi khi nào thì hai tập AttR ( TorRi (R/I n, A) ) và AssR ( ExtiR(R/I n,M) ) , n = 1, 2, . . . là không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn. Tuy nhiên, câu trả lời cho câu hỏi trên lại nhìn chung là phủ định, thậm chí còn tồn tại các tập Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 6⋃ n AttR ( TorRi (R/I n, A) ) và ⋃ n AssR ( ExtiR(R/I n,M) ) là vô hạn (Ví dụ của M. Katzman [6, Hệ quả 1.3]). Vì vậy, câu hỏi tiếp theo được đặt ra là tìm điều kiện để các tập⋃ n>0 AttR ( TorRi (R/I n, A) ) và ⋃ n>0 AssR ( ExtiR(R/I n,M) ) hữu hạn. Một phần câu trả lời cho câu hỏi trên đã được đưa ra bởi M. Brodmann và L.T. Nhan năm 2008. ở đó, bằng việc đưa ra khái niệmM -dãy chính quy với chiều > s và độ sâu với chiều > s củaM trong I depth>s(I,M), họ đã chứng minh rằng nếu dim SuppH iI(M) 6 s với mọi i 6 r thì tập {p ∈ ⋃ n>0 AssR ( ExttR(R/I n,M) )| dim(R/p) ≥ s} là hữu hạn với mọi t 6 r, trong đó r = depth>s(I,M). Tiếp theo đó, vào năm 2010, phần còn lại của câu hỏi trên đã được trả lời bởi L. T. Nhan và N. T. Dung [13]. Thông qua khái niệm dãy đối chính quy với chiều > s, nếu ký hiệu (AttRA)≥s = {p ∈ AttRA | dim(R/p) ≥ s} thì họ đã chứng minh rằng các tập(⋃ n∈N AttR(Tor R t (R/I n, A)) ) >s , ( ⋃ n1,...,nk∈N AttR(Tor R t (R/(x n1 1 , . . . , x nk k )R,A ) ≥s là hữu hạn với mọi t 6 r, với n đủ lớn và với mọi bộ số tự nhiên n1, . . . , nk, trong đó r = Width>s(I, A) là độ rộng với chiều > s của A trong I và (x1, . . . , xk) là hệ sinh của I . Mục đích của luận văn này là chứng minh một cách chi tiết các kết quả về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor trong [13]: ''A finitenees result for attached primes of certain Tor-modules''. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 7Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị trong đó trình bày lý thuyết đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether của môđun Artin cùng với một số tính chất của hàm tử mở rộng, hàm tử xoắn, dãy chính quy và độ sâu của môđun thường được sử dụng trong các chương tiếp theo. Chương 2 trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất củaM -dãy đối chính quy với chiều > s và đặc trưng độ dài tối đại của dãy đối chính quy với chiều > s của một môđun Artin thông qua chiều Krull của môđun con xoắn của nó. Khái niệm độ rộng với chiều > s và kết quả về tính chất hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor được trình bày trong chương 3. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 8Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ chương này, ta luôn ký hiệuR là vành giao hoán, Noether, A là R-môđun Arrtin vàM là R-môđun Noether. Chương này dành để nhắc lại một số kiến thức được dùng trong các chương tiếp theo: Cấu trúc của môđun Artin, đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, môđun mở rộng và môđun xoắn, dãy chính quy và độ sâu,. . . 1.1 Môđun Artin và đối ngẫu Matlis Cho m là một iđêan cực đại của vành R. Nhắc lại rằng môđun con m-xoắn Γm(A) của A được định nghĩa bởi Γm(A) = ⋃ n≥0 (0 :A m n). Ta nhắc lại một số tính chất của môđun Artin được đưa ra bởi R. Y. Sharp thường được dùng trong các chứng minh về sau. Mệnh đề 1.1.1. [18, Mệnh đề 1.4, Bổ đề 1.6] (i) Giả sử A là một R-môđun Artin khác không. Khi đó chỉ có hữu hạn iđêan cực đại m của R sao cho Γm(A) 6= 0. Nếu các iđêan cực đại phân biệt đó là m1, . . . ,mr thì A = Γm1(A)⊕ . . .⊕ Γmr(A) và SuppA = {m1, . . . ,mr}. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 9(ii) Với mỗi j ∈ {1, . . . , r}, nếu s ∈ R \ mj , thì phép nhân bởi s cho ta một tự đẳng cấu của Γmj(A). Do đó Γmj(A) có cấu trúc tự nhiên của một Rmj -môđun và với cấu trúc này, một tập con của Γmj(A) là một R-môđun con nếu và chỉ nếu nó là Rmj -môđun con. Đặc biệt Amj ∼= Γmj(A), với mọi j = 1, . . . , r. Cho (R,m) là vành địa phương. Nhắc lại rằng đầy đủ theo tô pô m-adic của R, ký hiệu bởi R̂, là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theo quan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt, t = 0, 1, 2, . . . R̂ được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng, phép nhân các dãy Cauchy và cùng với hai phép toán này, R̂ làm thành một vành. Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Mệnh đề 1.1.2. [18, Bổ đề 1.11, Hệ quả 1.12] Cho A là R-môđun Artin khác không trên vành địa phương (R,m). Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên của R̂-môđun, trong đó R̂ là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọi tập con của A là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là R̂-môđun con của A. Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của R̂-môđun Artin. Do có cấu trúc đặc biệt như vậy nên người ta có thể chuyển việc nghiên cứu môđun Artin trên một vành giao hoán bất kì về việc nghiên cứu trên vành địa phương. Hơn nữa, việc nghiên cấu trúc của môđun Artin trong một số trường hợp có thể chuyển về nghiên cứu trên môđun Noether nhờ lý thuyết đối ngẫu Matlis. Dưới đây là một số tính chất đối ngẫu Matlis hay được sử dụng trong luận văn. Cho (R,m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m. Kí hiệu D() = HomR(, E) từ phạm trù CR các R-môđun và R-đồng cấu vào chính nó. Với mỗi R-môđunM , đặt àM : M −→ DD(M) = HomR(HomR(M,E), E) Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 10 là R-đồng cấu tự nhiên cho bởi àM(x)(f) = f(x), với mọi x ∈ M, và f ∈ Hom(M,E). Khi đó ta có kết quả sau (xem [18, Định lý 2.1]). Mệnh đề 1.1.3. (i) R-môđun E là Artin. Với mỗi f ∈ HomR(E,E), tồn tại duy nhất af ∈ R : f(x) = afx,∀x ∈ E. (ii) Nếu N là R-môđun Noether, thì D(N) là Artin. (iii) Nếu A là R-môđun Artin, thì D(A) là Noether. (iv) AnnM = AnnD(M), và nếu M là R-môđun sao cho `R(M) < ∞, thì `R(D(M)) = `R(M). Bổ đề 1.1.4. Cho N là R-môđun Noether, A là R-môđun Artin và j ∈ N. Khi đó (i) D(N/IjN) ∼= (0 :D(N) Ij) và D(Ij−1N/IjN) ∼= (0 :D(N) Ij)/(0 :D(N) Ij−1); (ii) D(0 :A I j) ∼= D(A)/IjD(A) và D((0 :A I j)/(0 :A I j−1)) ∼= Ij−1D(A)/IjD(A). 1.2 Biểu diễn thứ cấp Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I. G. Macdonald [9] được xem như là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các môđun Noether. Định nghĩa 1.2.1. (i) Một R-môđun M được gọi là thứ cấp nếu M 6= 0 và nếu với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trênM là toàn cấu hoặc luỹ linh. Trong trường hợp này Rad(AnnRM) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi M là p-thứ cấp. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 11 (ii) Cho M là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích M = N1 + . . .+Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ni. Nếu M = 0 hoặcM có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi i = 1, . . . , n. Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạng tối thiểu. Khi đó tập hợp {p1, . . . , pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu củaM và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết củaM , kí hiệu bởi AttRM . Các hạng tử Ni, i = 1, . . . , n, được gọi là các thành phần thứ cấp củaM . Định lý 1.2.2. Tập AttRA chỉ phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A. Hơn nữa ta có các khẳng định sau là tương đương với p là iđêan nguyên tố. (i) p ∈ AttRA. (ii) A có môđun thương là p-thứ cấp. (iii) A có môđun thương Q sao cho Rad(Q) = p. (iv) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa AnnRQ. (v) A có môđun thương Q sao cho AnnRQ = p. Mệnh đề 1.2.3. i) Cho M là một R-môđun biểu diễn được. Khi đó M 6= 0 khi và chỉ khi AttRM 6= ∅. Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R chứa Ann(M) chính là tập các phần tử tối thiểu của AttRM. (ii) Cho 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn được. Khi đó ta có AttRM ′′ ⊆ AttRM ⊆ AttRM ′ ∪ AttRM ′′. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 12 Cho A là một R-môđun Artin. Khi đó, A là biểu diễn được và tập AttRA là hữu hạn (xem [9, Định lý 5.3]). Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.2, A có cấu trúc tự nhiên của R̂-môđun và với cấu trúc này mỗi tập con củaA làR-môđun con nếu và chỉ nếu nó là R̂-môđun con. Điều này cho thấy các dàn môđun con của A xét như R-môđun và R̂-môđun là như nhau. Từ đó ta có các kết quả sau (xem [18, Hệ quả 1.12, Hệ quả 2.7]). Mệnh đề 1.2.4. Các mệnh đề sau là đúng. (i) AttRA = {p̂ ∩R : p̂ ∈ AttR̂A}. (ii) Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có a) Nếu N là R-môđun Noether, thì AttR(D(N)) = AssR(N). b) Nếu A là R-môđun Artin, thì AssR(D(A)) = AttR(A). 1.3 Chiều Noether của môđun Artin Nhắc lại rằng một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn, trong đó pi 6= pi+1 được gọi là dãy nguyên tố có độ dài n. Khi đó chiều Krull của vành R, ký hiệu là dimR là cận trên của độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong R. Chiều Krull của môđunM , ký hiệu là dimM là cận trên của các số n sao cho có một dãy nguyên tố có độ dài n trong SuppM . VìM là môđun hữu hạn sinh nên ta có SuppM = V (AnnRM), do đó dimM = dimR/AnnRM = sup p∈AssM dim(R/p). Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho một môđun Artin được đưa ra bởi R. N. Roberts [16] và sau đó D. Kirby [8] đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa cho các môđun Noether. Các thuật ngữ về chiều Noether được dùng trong luận văn là theo [8]. Định nghĩa 1.3.1. Chiều Noether của môđun ArtinA, ký hiệu bởiN-dimRA, được định nghĩa bằng quy nạp như sau: Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 13 Khi A = 0, đặt N-dimRA = −1. Với A 6= 0, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dimRA = d nếu N-dimRA < d là sai và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ . . . các môđun con của A, tồn tại số nguyên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, với mọi n > n0. Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng mọi R-môđun khác khôngM là Noether khi và chỉ khi N-dimRM = 0. Ta đã biết rằng đối với mỗi môđun hữu hạn sinh M thì dimM = 0 nếu và chỉ nếu M 6= 0 và `R(M) < ∞. Từ Định nghĩa 1.3.1 ta có một số tính chất sau về chiều Noether. Bổ đề 1.3.2. (i) N-dimRA = 0 nếu và chỉ nếu A 6= 0 và `R(A) <∞. Trong trường hợp này AttRA = {m}. Hơn nữa, nếu 0 −→ A′ −→ A −→ A′′ −→ 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì N-dimRA = max{N-dimRA′,N-dimRA′′}. (ii) N-dimRA 6 dimR/AnnRA = max{dimR/p : p ∈ AttRA} và tồn tại môđun Artin A sao cho N-dimRA < dimR/AnnRA. (iii) N-dimR̂A = dim R̂/AnnR̂A = max{dim R̂/p̂ : p̂ ∈ AttR̂A}. (iv) Cho (R,m) là vành địa phương và A là R-môđun Artin. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên của R̂-môđun Artin và ta có N-dimRA = N-dimR̂A. Chính vì vậy, ta có thể viết N-dimA thay cho N-dimRA hoặc N-dimR̂A. Đã có nhiều tác giả nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin A thông qua chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether cho môđun Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 14 Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh đã được đưa ra (xem [4], [8], [16],...). Đặc biệt là kết quả sau được R. N. Roberts [16, Định lý 6] chứng minh cho trường hợp vành tựa địa phương và sau đó được Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [4, Định lý 2.6] chứng minh cho trường hợp vành giao hoán bất kỳ. Mệnh đề 1.3.3. `R(0 :A J n A) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n 0 và N-dimA = deg(`(0 :A J n A)) = inf{t : ∃x1, . . . , xt ∈ JA sao cho `(0 :A (x1, . . . , xt)R) <∞}, trong đó JA = ⋂ m∈SuppA m. 1.4 Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn Mục này dành để nhắc lại khái niệm và các tính chất của môđun Ext và Tor thường được dùng trong luận văn (xem [10]). Định nghĩa 1.4.1. Cho M,N là các R-môđun và n ≥ 0 là một số tự nhiên. Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom(−, N) ứng với M được gọi là môđun mở rộng thứ n củaM và N và được kí hiệu là ExtnR(M,N). Cụ thể, để xây dựng ExtnR ta lấy một giải xạ ảnh củaM . . . −→ P2 u2−→ P1 u1−→ P0 −→M −→ 0. Tác động hàm tử Hom(−, N) vào dãy khớp trên ta có đối phức 0 −→ Hom(P0, N) u ∗ 1−→ Hom(P1, N) u ∗ 2−→ Hom(P2, N) −→ . . . Khi đó ExtnR(M,N) = Keru ∗ n+1/ Imu ∗ n là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M ). Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 15 Định nghĩa 1.4.2. Cho M,N là các R-môđun và n ≥ 0 là một số tự nhiên. Môđun dẫn xuất trái thứ n của hàm tử −⊗N ứng vớiM được gọi là môđun xoắn thứ n củaM vàN và được kí hiệu là TorRn (M,N). Cụ thể, để xây dựng TorRn ta lấy một dải xạ ảnh củaM . . . −→ P2 v2−→ P1 v1−→ P0 −→M −→ 0. Tác động hàm tử −⊗N vào dãy khớp trên ta có phức . . . −→ P2 ⊗N v ∗ 2−→ P1 ⊗N v ∗ 1−→ P0 ⊗N −→ 0. Khi đó TorRn (M,N) = Ker v ∗ n/ Im v ∗ n+1 là môđun đối đồng điều thứ n của phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh củaM ). Sau đây là một số tính chất cơ sở của các môđun Ext và Tor thường được dùng trong luận văn này. Mệnh đề 1.4.3. (a)Ext0R(M,N) ∼= Hom(M,N) vàTorR0 (M,N) ∼= M⊗N . (b) NếuM hoặc N là xạ ảnh thì TorRn (M,N) = 0 với mọi n ≥ 1. (c) NếuM là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì ExtnR(M,N) = 0 với mọi n ≥ 1. (d) Nếu 0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối ExtnR(M,N ′′) −→ Extn+1R (M,N ′) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 −→ Hom(M,N ′) −→ Hom(M,N) −→ Hom(M,N ′′) −→ Ext1R(M,N ′) −→ Ext1R(M,N) −→ Ext1R(M,N ′′) −→ Ext2R(M,N ′) −→ . . . (e) Nếu 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối ExtnR(M ′, N) −→ Extn+1R (M ′′, N) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 −→ Hom(M ′′, N) −→ Hom(M,N) −→ Hom(M ′, N) −→ Ext1R(M ′′, N) −→ Ext1R(M,N) −→ Ext1R(M ′, N) −→ Ext2R(M ′′, N) −→ . . . Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 16 (g) Nếu 0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối TorRn (M,N ′′) −→ TorRn−1(M,N ′) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài . . . −→ TorRn (M,N ′) −→ TorRn (M,N) −→ TorRn (M,N ′′) −→ TorRn−1(M,N ′) −→ TorRn−1(M,N) −→ TorRn−1(M,N ′′) . . . −→ TorR1 (M,N ′′) −→ (M ⊗N ′) −→ (M ⊗N) −→ (M ⊗N ′′) −→ 0. Hệ quả 1.4.4. Nếu M,N hữu hạn sinh thì ExtnR(M,N) và Tor R n (M,N) là hữu hạn sinh với mọi n. Kết quả dưới đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext, Tor với hàm tử địa phương hóa và sự tương đương giữa hai hàm tử Ext và Tor trên vành địa phương đầy đủ. Mệnh đề 1.4.5. (i) Nếu S là tập đóng nhân của R thì ta có các đẳng cấu S−1(ExtnR(M,N)) ∼= ExtnS−1R(S−1M,S−1N), S−1(TorRn (M,N)) ∼= TorS −1R n (S −1M,S−1N), trong đó S−1 là hàm tử địa phương hóa. Đặc biệt, (ExtnR(M,N))p ∼= ExtnRp(Mp, Np), (TorRn (M,N))p ∼= TorRpn (Mp, Np) với mọi iđêan nguyên tố p của R. (ii) Cho I là iđêan của R. Khi đó Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ∼= TorR̂i (R̂/IR̂, A), với mọi số nguyên i ≥ 0. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 17 1.5 Dãy chính quy và độ sâu của môđun Dãy chính quy là một trong những dãy cơ bản của đại số giao hoán mà thông qua đó người ta có thể định nghĩa khái niệm độ sâu - một bất biến rất quan trọng để nghiên cứu cấu trúc của môđun (xem [10]). Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành giao hoán Noether vàM là R-môđun khác 0. Một phần tử 0 6= a ∈ R được gọi là phần tử M - chính quy nếu M 6= aM và a không là ước của 0 trong M . Dãy các phần tử (a1, . . . , an) ∈ R được gọi làM - dãy chính quy nếu (a)M/(a1, . . . , an)M 6= 0. (b) ai là phần tửM/(a1, . . . , ai−1)M -chính quy, với mọi i = 1, . . . , n. Dãy các phần tử (a1, . . . , an) ∈ R được gọi là M - dãy chính quy nghèo nếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên. Cho I là iđêan của R sao cho M 6= IM . Khi đó mỗi dãy chính quy của M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong I , và các dãy chính quy tối đại củaM trong I có chung độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu củaM trong I và được kí hiệu là depth(I,M). NếuM = IM thì ta quy ước depth(I,M) =∞. Chú ý 1.5.2. (i) Giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó (a1, . . . , an) ∈ R là M -dãy chính quy khi và chỉ khi ai /∈ p,∀p ∈ AssRM/(a1, . . . , ai−1)M. (ii) Nếu R là vành địa phương với iđêan cực đại m thì theo bổ đề Nakayama mọi dãy (a1, . . . , an) ∈ m đều thỏa mãn điều kiện M/(a1, . . . , an)M 6= 0, do đó nó làM -dãy chính quy khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên. Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu củaM và kí hiệu là depthM. (iii) Nếu (a1, . . . , an) là M -dãy chính quy trong I thì (a t1 1 , . . . , a tn n ) cũng là M -dãy chính quy trong I với mọi số nguyên dương t1, . . . , tn. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 18 Tiếp theo ta đưa ra một số tính chất của depth(I,M) hay được dùng trong luận văn. Định lí sau chỉ ra quan hệ giữa độ sâu của môđun và chiều của nó. Định lý 1.5.3. Cho (R,m) là vành địa phương Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có depth(M) 6 dim(M). Ta đã biết rằng với I là iđêan của R thì môđun đối đồng điều địa phương thứ i H iI(M) củaM ứng với iđêan I được định nghĩa bởi H iI(M) = R i(ΓI(M)), trong đó ΓI(M) là môđun con I-xoắn của M . Mệnh đề sau đây cho ta đặc trưng của độ sâu qua tính không triệt tiêu của môđun Ext và môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.5.4. Cho I là iđêan của R. (i) Ta có các đẳng thức sau depth(I,M) = inf{i | ExtiR(R/I,M) 6= 0} = inf{i | H iI(R/I,M) 6= 0}. (ii) Giả sử depth(I,M) = t. Khi đó AssR(Ext t R(R/I,M)) = AssR(H t I(M)). Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 19 Chương 2 Dãy đối chính quy với chiều > s Trong toàn bộ chương này, ta vẫn giả thiết (R,m) là vành địa phương, I là iđêan của R và A là R-môđun Artin với chiều Noether N-dimRA = d. Khái niệm A-dãy đối chính quy với chiều > s đã được đưa ra bởi L. T. Nhan và N. V. Hoang trong [14] như là một sự mở rộng của khái niệm dãy đối chính quy đưa ra bởi A. Ooishi [15] và thông qua khái niệm này họ đã chứng minh một kết quả hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin. Trong chương này, khái niệm A-dãy đối chính quy với chiều > s cũng được tiếp tục sử dụng để đặc trưng cho chiều Krull của các môđun TorRi (R/I,A) của A. 2.1 Dãy đối chính quy Khái niệm dãy đối chính quy cho một môđun tuỳ ý được nghiên cứu bởi A. Ooishi [15], ở đó ông đã đưa ra một số tính chất cơ bản của dãy đối chính quy khi môđun là Artin. Các khái niệm và tính chất này theo một nghĩa nào đó đối ngẫu với các khái niệm và tính chất của dãy chính quy cho môđun hữu hạn sinh trên vành Noether. Định nghĩa 2.1.1. Cho M là một R-môđun tuỳ ý. Một dãy các phần tử x1, . . . , xr trong R được gọi là dãy đối chính quy của M (hay M -dãy đối Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 20 chính quy) nếu thoả mãn các điều kiện sau. (i) (0 :M (x1, . . . , xr)R) 6= 0. (ii) xi(0 :M (x1, . . . , xi−1)R) = (0 :M (x1, . . . , xi−1)R), với 1 6 i 6 r. Đặc biệt, phần tử x ∈ R được gọi là phần tửM -đối chính quy nếu 0 :M x 6= 0 và xM = M. Cho A là R-môđun Artin và I là một iđêan của R sao cho (0 :A I) 6= 0. Khi đó độ dài của mỗi A-dãy đối chính quy trong I là hữu hạn và hai dãy đối chính quy tối đại trong I có chung độ dài. Vì thế ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 2.1.2. Độ rộng của A trong I , ký hiệu là WidthI A (hoặc Width(I, A) ), là độ dài của một A-dãy đối chính quy tối đại trong I . Đặc biệt, nếu I = m thì ta gọiWidthmA là độ rộng của A trong m và ký hiệu là WidthA. Chú ý 2.1.3. (i) Đối với môđun Artin A khác không trên vành giao hoán R, nếu các phần tử x1, . . . , xr ∈ m, thì theo tính chất của môđun Artin điều kiện (0 :A (x1, . . . , xr)R) 6= 0 trong Định nghĩa 2.1.1 luôn được thoả mãn. (ii) Nếu x ∈ m là phần tử A-đối chính quy thì ta có công thức về chiều Noether N-dim(0 :A xR) = N-dimA− 1. Do đó, mỗi A-dãy đối chính quy là một phần hệ tham số của A và vì thế Width(A) 6 N-dimA. (iii) Một dãy các phần tử (x1, . . . , xr) ∈ R là A-dãy đối chính quy nếu và chỉ nếu xi /∈ p,∀p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) với mọi i = 1, . . . , r. Mệnh đề 2.1.4. Cho I là iđêan của R. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (1) Tồn tại phần tử A-đối chính quy trong I. (2) A⊗R R/I = 0. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 21 Các kết quả sau đây cho thấy đối với mỗi môđun Artin A, sự tồn tại của một A-dãy đối chính quy có liên quan chặt chẽ đến các môđun con xoắn của chúng. Mệnh đề 2.1.5. Cho I là iđêan củaR và (x1, . . . , xn) là mộtA-dãy đối chính quy trong I . Khi đó (1) TorRi (R/I,A) = 0 với mọi i < n. (2) TorRn (R/I,A) ∼= 0 :A (x1, . . . , xn)⊗R R/I. Định lý 2.1.6. Cho I là iđêan của R và A là R-môđun Artin. Các mệnh đề sau là tương đương: (1) TorRi (R/I,A) = 0 với mọi i < n. (2) Tồn tại A-dãy đối chính quy (x1, . . . , xn) trong I. Giả sử I là iđêan của R sao cho (0 :A I) 6= 0. Từ các kết quả trên ta có ngay tính chất là độ rộng của A trong I luôn hữu hạn và được tính bằng công thức WidthI(A) = inf{n ≥ 0 | TorRn (R/I,A) 6= 0}. 2.2 Dãy đối chính quy với chiều > s Cho I là iđêan của R và s ≥ −1 là một số nguyên. Trước hết ta nhắc lại khái niệm A-dãy đối chính quy với chiều > s được đưa ra trong [14]. Định nghĩa 2.2.1. [14, Định nghĩa 2.4], một dãy các phần tử (x1, . . . , xk) trong m được gọi là A-dãy đối chính quy với chiều > s nếu xi /∈ p với mọi iđêan nguyên tố gắn kết p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) thoả mãn dim(R/p) > s, với mọi i = 1, . . . , k. Chú ý rằng A-dãy đối chính quy với chiều > −1 chính là A-dãy đối chính quy đã được định nghĩa bởi A. Ooishi [15]. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 22 Bổ đề 2.2.2. Giả sử x là phần tử A-đối chính quy với chiều > s. Khi đó dim(A/xA) 6 s. Chứng minh. Cho A = A1 + ã ã ã + At là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A, trong đó Ai là pi-thứ cấp. Theo giả thiết x là phần tử A-đối chính quy với chiều > s nên x /∈ pi với mọi i thoả mãn dim(R/pi) > s. Không mất tính tổng quát, ta có thể đánh số lại sao cho các môđun con thứ cấp A1, . . . , Ai−1 thỏa mãn dim(R/pk) 6 s và Ai, . . . , At thỏa mãn dim(R/pj) > s, với mọi k = 1, . . . , i− 1 và j = i, . . . , t. Khi đó xAj = Aj với mọi j = i, . . . , t. Vì thế ta có đẳng cấu sau A/xA = (A1 + ã ã ã+ At)/xA1 + ã ã ã+ xAt ∼= (A1 + ã ã ã+ Ai−1)/(xA1 + ã ã ã+ xAi−1) ∩ (Ai + ã ã ã+ At). Suy ra dim(A/xA) 6 s. Bổ đề 2.2.3. Giả sử rằng dim(A/IA) 6 s. Khi đó tồn tại một A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I. Chứng minh. Giả sử tồn tại p ∈ AttRA sao cho I ⊆ p và dim(R/p) > s. Vì p ∈ AttRA, nên theo Định lí 1.2.2 tồn tại môđun thương A/B 6= 0 của A là p-thứ cấp. Do A/B là p-thứ cấp và p là iđêan hữu hạn sinh nên theo Định lí 1.2.2 phải tồn tại số nguyên n sao cho pn(A/B) = 0. Vì I ⊆ p, nên suy ra In(A/B) = 0. Nhưng lại do A/B 6= 0 và In(A/B) = 0, nên ta phải có I(A/B) 6= A/B, vì nếu ngược lại I(A/B) = A/B thì I(I(A/B)) = I(A/B) = A/B, do đó I2(A/B) = A/B, . . . , In(A/B) = A/B 6= 0, vô lý. Vậy suy ra A 6= IA + B. Do đó môđun thương A/(B + IA) của A/B cũng khác 0, nên cũng là p-thứ cấp. Theo Bổ đề 1.3.2 ta có dim(A/(B + IA)) = dim(R/p) > s. Điều này dẫn đến dim(A/IA) ≥ dim(A/(B + IA) > s, Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 23 mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy I 6⊆ p với mọi p ∈ AttRA thoả mãn dim(R/p) > s. Do đó tồn tại x ∈ I sao cho x /∈ p với mọi p ∈ AttRA thỏa mãn dim(R/p) > s. Suy ra x là phần tử A-đối chính quy với chiều > s trong I . Như đã biết, nếu R̂ là vành địa phương đầy đủ thì đối ngẫu Matlis cho ta một tương đương giữa phạm trù các môđun Artin và phạm trù các môđun Noether. Chẳng hạn, AttR̂A = AssR̂D(A), N-dimA = dimR̂D(A) và WidthRA = depthR̂D(A). Tuy nhiên, nếu R không là vành đầy đủ thì việc chứng minh đòi hỏi phải hết sức cẩn thận. Kết quả sau đây, đã được chứng minh trong [14, Bổ đề 2.5] mà kỹ thuật chính là chuyển lên vành đầy đủ, sau đó sử dụng đối ngẫu Matlis và địa phương hoá là bổ đề có tính chất kỹ thuật cho việc chứng minh các kết quả tiếp theo của chương. Bổ đề 2.2.4. Một dãy (x1, . . . , xk) các phần tử của m là A-dãy đối chính quy với chiều > s nếu và chỉ nếu (x1, . . . , xk) làD(A)p̂-dãy chính quy nghèo với mọi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) thoả mãn dim(R/p̂∩R) > s, trong đó xi là ảnh của xi trong R̂p̂ với i = 1, . . . , k. Chứng minh. Cho (x1, . . . , xk) là A-dãy đối chính quy với chiều > s. Giả sử rằng tồn tại p̂ ∈ Var(AnnR̂A) thoả mãn dim(R/p̂ ∩ R) > s sao cho (x1, . . . , xk) không là dãy chính quy nghèo của (D(A))p̂. Khi đó, theo Định nghĩa 1.5.1 tồn tại j ∈ {1, . . . , k} sao cho xj ∈ q̂R̂p̂ với q̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂(D(A))p̂/(x1, . . . , xj−1)(D(A))p̂). Chú ý rằng theo Bổ đề 1.1.4, ta có (D(A))p̂/((x1, . . . , xj−1)D(A))p̂ ∼= ( D(A)/(x1, . . . , xj−1)D(A) ) p̂ ∼= ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) p̂ (∗) là R̂p̂-môđun hữu hạn sinh. Vì thế q̂ ∈ AssR̂ ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) và vì vậy xj ∈ q̂ ∈ AttR̂(0 :A (x1, . . . , xj−1)R). Theo Mệnh đề 1.2.4 ta có Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 24 xj ∈ q̂ ∩ R ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) . Chú ý rằng qˆ ⊆ pˆ cho nên dim(R/q̂ ∩ R) ≥ dim(R/p̂ ∩ R) > s. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (x1, . . . , xk) là A-dãy đối chính quy với chiều > s. Ngược lại, cho (x1, . . . , xk) là dãy chính quy nghèo của (D(A))p̂, với mọi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) thoả mãn dim(R/p̂ ∩ R) > s. Giả sử rằng (x1, . . . , xk) không là A-dãy đối chính quy với chiều > s. Theo Định nghĩa 2.1.1 phải tồn tại chỉ số j sao cho xj ∈ p với p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) thỏa mãn dim(R/p) > s. Từ Mệnh đề 1.2.4, tồn tại q̂ ∈ AttR̂(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) sao cho q̂∩R = p. Suy ra q̂ ∈ AssR̂ ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) (theo Mệnh đề 1.2.4). Lại theo Bổ đề 1.1.4 ta có đẳng cấu (*) như ở trên, điều này dẫn đến xj ∈ q̂R̂q̂ ∈ AssR̂q̂ ( (D(A))q̂/(x1, . . . , xj−1)(D(A))q̂ ) . Do đó theo định nghĩa thì x1, . . . , xk không là dãy chính quy nghèo của (D(A))q̂ với dim(R/q̂∩R) = dim(R/p) > s, điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì vậy ta có điều phải chứng minh. Kết quả tiếp theo là sự mở rộng của [15, Mệnh đề 3.6], [15, Định lý 3.9] với kỹ thuật chính để chứng minh là sử dụng kết quả của Bổ đề 2.2.4 và tính chất δ-hàm tử đồng điều của hàm tử xoắn Tor, tính chất chiều Krull của dãy khớp các môđun cộng với mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun mở rộng Ext và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun xoắn Tor trên vành địa phương đầy đủ. Bổ đề 2.2.5. Cho n ≥ 0 là một số nguyên. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) dim(TorRi (R/I,A)) 6 s với mọi i < n. (ii) Tồn tại A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có độ dài n. Chứng minh. (i)⇒(ii). Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 25 Cho n = 1. Khi đó dim(TorR0 (R/I,A)) 6 s. Từ đẳng cấu TorR0 (R/I,A) ∼= A/IA nên dim(A/IA) 6 s. Theo Bổ đề 2.2.3 tồn tại phần tử A-đối chính quy với chiều > s trong I . Cho n > 1 và giả sử rằng kết quả đã đúng cho trường hợp n− 1. Khi đó tồn tại phần tử x1 ∈ I là phần tử A-đối chính quy với chiều > s theo Bổ đề 2.2.3. Từ hai dãy khớp 0 −→ 0 :A x1 −→ A x1−→ x1A −→ 0 0 −→ x1A −→ A −→ A/x1A −→ 0, áp dụng tính chất δ-hàm tử đồng điều của hàm tử Tor ta có các dãy khớp sau TorRi+1(R/I, x1A) −→ TorRi (R/I, 0 :A x1) −→ TorRi (R/I,A); TorRi+1(R/I,A/x1A) −→ TorRi (R/I, x1A) −→ TorRi (R/I,A) −→ TorRi (R/I,A/x1A). Vì x1 là phần tử A-đối chính quy với chiều > s nên theo Bổ đề 2.2.2 ta có dim(A/x1A) 6 s. Do đó dim(TorRi (R/I,A/x1A)) 6 s với mọi i. Vì thế từ dãy khớp thứ hai ta có dim(TorRi (R/I, x1A)) 6 s, áp dụng kết quả này vào dãy khớp thứ nhất và từ giả thiết (i) ta có dim(TorRi (R/I, 0 :A x1)) 6 s với mọi i < n−1. Theo giả thiết quy nạp, phải tồn tại dãy các phần tử x2, . . . , xn là 0 :A x1-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có độ dài n− 1. Vì vậy x1, . . . , xn là một A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có độ dài n. (ii)⇒(i). Cho x1, . . . , xn làA-dãy đối chính quy với chiều> s trong I. Ta cần chứng minh rằng dim(TorRi (R/I,A)) 6 s với mọi i < n. Giả sử tồn tại k s. Khi đó, theo Bổ đề 1.3.2, tồn tại các iđêan nguyên tố gắn kết p ∈ AttR(TorRk (R/I,A)) sao cho dim(R/p) > s. Theo Mệnh đề 1.2.4, tồn tại p̂ ∈ AttR̂(TorRk (R/I,A)) sao cho p̂∩R = p. Vì p ∈ AttR(TorRk (R/I,A)), ta có p ⊇ AnnR(TorRk (R/I,A)) theo Mệnh đề 1.2.3. Do đó IR̂ ⊆ p̂. Vì dim(R/(p̂ ∩ R)) = dim(R/p) > s và x1, . . . , xn là A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I , nên theo Bổ đề 2.2.4 ta có Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 26 x1, . . . , xn là D(A)p̂-dãy chính quy nghèo, trong đó xi là ảnh của xi trong R̂p̂. Vì vậy, theo Mệnh đề 1.5.4, ta có Exti R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) = 0 với mọi i < n. Do đó, theo Mệnh đề 1.4.5 p̂ /∈ SuppR̂ ExtiR̂(R̂/IR̂,D(A)) = Var(AnnR̂(ExtiR̂(R̂/IR̂,D(A))) = Var(AnnR̂(Tor R̂ i (R̂/IR̂, A))) = Var(AnnR̂(Tor R i (R/I,A))) với mọi i < n. Theo Mệnh đề 1.2.3 ta có p̂ /∈ AttR̂(TorRk (R/I,A)), điều này vô lý. Vì vậy, dim(TorRi (R/IR,A)) 6 s với mọi i < n. Nhắc lại rằng đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M ta xét một tính chất cơ bản sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa AnnRM . Khi đó p ∈ SuppRM và do đóMp 6= 0. Theo Bổ đề Nakyama ta suy ra (M/pM)p = Mp/pMp 6= 0. Do đó p ∈ Supp(M/pM), nghĩa là p ⊇ AnnR(M/pM). Vì vậy ta luôn có tính chất AnnR(M/pM) = p, với mọi iđêan nguyên tố chứa AnnRM . Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu có một tính chất tương tự như vậy cho mọi môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không, nghĩa là nếu ký hiệu V (AnnRA) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa AnnRA thì liệu rằng có đẳng thức AnnR(0 :A p) = p,∀p ∈ V (AnnRA) hay không. Câu trả lời cho câu hỏi này nhìn chung không đúng với mọi p ∈ Var(AnnRA), (xem [4, Ví dụ 4.3]), và lớp môđun thoả mãn tính chất trên được gọi là tính chất (∗) hay tính chất linh hoá tử. Bổ đề sau cho ta tính chất linh hoá tử của các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin. Bổ đề 2.2.6. Cho p ∈ AttRA. Khi đó AnnR(0 :A p) = p. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 27 Chứng minh. Vì p ∈ AttRA nên theo Mệnh đề 1.2.4, tồn tại p̂ ∈ AttR̂A sao cho p̂ ∩ R = p. Hơn nữa, từ p̂ ∈ Var(AnnR̂A), ta suy ra p̂ ⊇ AnnR̂A. Mà ta lại có AnnR̂A = AnnR̂D(A) theo Mệnh đề 1.1.3 nên p̂ ⊇ AnnR̂D(A). Do đó p̂ ⊇ Var(AnnR̂D(A)) suy ra AnnR̂ ( D(A)/p̂D(A) ) = p̂. Theo Bổ đề 1.1.4 ta có AnnR̂(0 :A p̂) = p̂. Do đó p ⊆ AnnR(0 :A p) ⊆ AnnR̂(0 :A p̂) ∩R = p̂ ∩R = p. Vì vậy, Ann(0 :A p) = p Định lý sau là kết quả chính của chương cho ta một tính chất thú vị về sự luôn tồn tại A-dãy đối chính quy với chiều > s và sự mở rộng chúng thành dãy có độ dài tối đại, đặc biệt đặc trưng được độ dài tối đại của A-dãy đối chính quy với chiều > s thông qua chiều Krull của môđun xoắn Tor của A. Để chứng minh định lý này, ngoài việc áp dụng các tính chất của dãy đối chính quy và chiều Krull thì tính chất linh hoá tử trong Bổ đề 2.2.6 cũng đóng một vai trò rất quan trọng. Định lý 2.2.7. Cho I là một iđêan của R. (i) Nếu dimR(0 :A I) 6 s thì với mỗi số nguyên n > 0 luôn tồn tại một A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có độ dài n. (ii) Nếu dimR(0 :A I) > s thì mỗi A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có thể mở rộng được thành dãy có độ dài tối đại và tất cả các A-dãy đối chính quy tối đại với chiều > s trong I đều có chung độ dài, hơn nữa độ dài chung đó chính là số nguyên i nhỏ nhất sao cho dimR(Tor R i (R/I,A)) > s. Chứng minh. (i). Cho n > 0 là một số nguyên. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng tồn tại một dãy các phần tử trong iđêan I là A-dãy đối chính quy với chiều > s có độ dài n. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 28 Cho n = 1 và p ∈ AttRA sao cho dim(R/p) > s. Khi đó theo Bổ đề 2.2.6 ta có AnnR(0 :A p) = p. Vì thế nếu I ⊆ p thì (0 :A I) ⊇ (0 :A p) và do đó dimR(0 :A I) ≥ dimR(0 :A p) = dim(R/AnnR(0 :A p)) = dim(R/p) > s, (theo Bổ đề 1.3.2) mâu thuẫn với giả thiết dimR(0 :A I) 6 s. Vậy suy ra I 6⊆ p với mọi p ∈ AttRA thoả mãn dim(R/p) > s. Do đó tồn tại phần tử x1 ∈ I sao cho x1 /∈ p với mọi p ∈ AttRA thoả mãn dim(R/p) > s hay nói cách khác x1 là phần tử A-đối chính quy với chiều > s trong I. Cho n > 1 và giả sử rằng tồn tại dãy x1, . . . , xn−1 các phần tử trong I là A-dãy đối chính quy với chiều > s. Cho iđêan nguyên tố gắn kết p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) sao cho dim(R/p) > s. Khi đó theo Bổ đề 2.2.6 ta có AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p) = p. Vì vậy nếu I ⊆ p thì dimR(0 :A I) = dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R I) ≥ dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p) = dim(R/AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p)) = dim(R/p) > s, mâu thuẫn với giả thiết. Do đó tồn tại xn ∈ I sao cho xn /∈ p với mọi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) thoả mãn dim(R/p) > s, và dãy x1, . . . , xn là A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có độ dài n. (ii). Đặt dimRA = dim(R/AnnRA) = d. Vì (0 :A I) ⊆ A nên ta có thể giả sử rằng dimR(0 :A I) = d−k > s, trong đó k ≥ 0 là một số nguyên. Ta sẽ chỉ ra rằng mỗiA-dãy đối chính quy với chiều> s trong I có độ dài nhiều nhất là k. Thật vậy, giả sử điều ngược lại. Khi đó tồn tại dãy x1, . . . , xk+1 các phần tử trong I là A-dãy đối chính quy với chiều > s. Trước hết, ta chứng minh bằng quy nạp theo n = 1, . . . , k+1 rằng dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) 6 d−n. Cho n = 1 và p ∈ Var(AnnRA) sao cho dim(R/p) = d. Khi đó p ∈ AttRA theo Mệnh đề 1.2.3. Vì d ≥ d− k > s và x1 là phần tử A-đối chính quy với Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 29 chiều > s, nên suy ra x1 /∈ p theo Định nghĩa 2.2.1. Do đó theo Bổ đề 1.3.2 dimR(0 :A x1) = dim(R/Ann(0 :A x1)) 6 dim(R/(x1R+AnnRA)) = d−1, vì thế khẳng định đúng cho trường hợp n = 1. Cho n > 1 và giả sử rằng khẳng định đã đúng cho trường hợp n− 1, nghĩa là dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) = t 6 d− n+ 1. Vì dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) ≥ dimR(0 :A I) nên ta có t ≥ d − k > s. Vì xn là phần tử 0 :A (x1, . . . , xn−1)R-đối chính quy với chiều > s, nên theo Mệnh đề 1.2.3 suy ra xn /∈ p với mọi p ∈ Var(AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R)) thoả mãn dim(R/p) = t. Vì thế dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) = dim ( R/Ann(0 :A (x1, . . . , xn)R) ) 6 dim ( R/(xnR + AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R)) ) = t− 1 6 d− n, và khẳng định được chứng minh. Bây giờ, dùng khẳng định trên cho trường hợp n = k + 1 ta có d− k = dimR(0 :A I) 6 dimR(0 :A (x1, . . . , xk+1)R) 6 d− k − 1. Điều này vô lý. Vì vậy, độ dài của một A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I nhiều nhất là k. Do đó, mỗi một A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có thể mở rộng được thành dãy tối đại. Cho x1, . . . , xm và y1, . . . , ym′ là hai A-dãy đối chính quy tối đại với chiều > s trong I . Giả sử rằng m 6= m′ và m < m′. Theo Bổ đề 2.2.5 ta có dimR(Tor R i (R/I,A)) 6 s với mọi i < m′. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n = 1, . . . ,m rằng dimR(Tor R i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) 6 s với mọi i < m′ − n. Cho n = 1. Như chứng minh trong Bổ đề 2.2.5, ta có các Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 30 dãy khớp TorRi+1(R/I, x1A) −→ TorRi (R/I, 0 :A x1) −→ TorRi (R/I,A); TorRi+1(R/I,A/x1A) −→ TorRi (R/I, x1A) −→ TorRi (R/I,A) −→ TorRi (R/I,A/x1A). Do x1 là phần tử A-đối chính quy với chiều > s, ta có dimR(A/x1A) 6 s theo Bổ đề 2.2.2. Vì thế dimR(Tor R i (R/I,A/x1A)) 6 s với mọi i. Do đó từ các dãy khớp trên ta nhận được dimR(Tor R i (R/I, 0 :A x1)) 6 s với mọi i < m′ − 1. Vì vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1. Cho n > 1 và giả sử rằng mệnh đề đã đúng cho trường hợp n − 1, nghĩa là dimR(Tor R i (R/I,A ′)) 6 s với mọi i < m′ − n + 1, trong đó A′ = 0 :A (x1, . . . , xn−1)R. Chú ý rằng xn là phần tử A′-đối chính quy với chiều > s. Vì vậy bằng lý luận tương tự như chứng minh ở trên, ta có dimR(Tor R i (R/I, 0 :A′ xn)) 6 s, điều này tương đương với dimR(Tor R i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) 6 s với mọi i < m′ − n, hay khẳng định được chứng minh. Do m′ > m, nên áp dụng khẳng định trên cho trường hợp n = m thì dimR(Tor R 0 (R/I, 0 :A (x1, . . . , xm)R)) 6 s. Theo Bổ đề 2.2.3, tồn tại phần tử trong I là phần tử 0 :A (x1, . . . , xm)R-đối chính quy với chiều > s. Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của dãy (x1, . . . , xm). Vì thế, tất cả các A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I đều có chung độ dài, đó chính là số nguyên nhỏ nhất i sao cho dimR(Tor R i (R/I,A)) > s. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 31 Chương 3 Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor Vẫn ký hiệu như các chương trước, chương này dành để trả lời một phần vấn đề được đặt ra bởi L. Melkerson và P. Schenzel [11], đó là tìm điều kiện để các tập⋃ n>0 AttR ( TorRi (R/I n, A) ) và ⋃ n>0 AssR ( ExtiR(R/I n,M) ) là hữu hạn. Một phần của vấn đề trên đã được trả lời bởi M. Brodmann và L. T. Nhan năm 2008. Bằng việc đưa ra khái niệm độ rộng với chiều > s, kết quả chính của chương này là chứng minh được tập ⋃ n>0 AttR ( TorRi (R/I n, A) ) là hữu hạn khi n đủ lớn. 3.1 Độ rộng với chiều > s Nếu như khái niệm dãy đối chính quy dẫn tới khái niệm độ rộng của môđun Artin thì từ khái niệm A-dãy đối chính quy với chiều > s và Định lý 2.2.7 cho phép ta đưa ra khái niệm độ rộng với chiều > s như sau. Định nghĩa 3.1.1. Nếu dimR(0 :A I) > s thì độ dài của một A-dãy đối chính quy tối đại với chiều > s trong I được gọi là độ rộng với chiều > s Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 32 trong I ứng với A và được ký hiệu bởi Width>s(I, A). Trong trường hợp dimR(0 :A I) 6 s ta đặtWidth>s(I, A) =∞. Chú ý 3.1.2. Nếu s = −1 thìWidth>−1(I, A) = Width(I, A), chính là độ rộng của A trong I theo nghĩa của A. Ooshi [15]. Sau đây ta nhắc lại một kết quả đã được chứng minh trong [14]. Bổ đề 3.1.3. [14, Hệ quả 2.6] Nếu x1, . . . , xk là A-dãy đối chính quy với chiều > s thì xn11 , . . . , x nk k cũng là A-dãy đối chính quy với chiều > s với mọi số nguyên dương n1, . . . , nk. Chứng minh. Cho (x1, . . . , xk) là A-dãy đối chính quy với chiều > s và n1, . . . , nk là các số nguyên. Theo Bổ đề 2.2.4 ta có (x1, . . . , xk) là (D(A))p̂- dãy chính quy nghèo với mọi iđêan p̂ ∈ Var(AnnR̂A) thoả mãn tính chất dim(R/p̂∩R)) > s. Do đó (xn11 , . . . , xnkk ) là (D(A))p̂-dãy chính quy nghèo với mọi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) thoả mãn dim(R/p̂∩R)) > s theo Chú ý 1.5.2. Vì vậy xn11 , . . . , x nk k là A-dãy đối chính quy với chiều > s theo Bổ đề 2.2.4. Từ kết quả trên, nếu (a1, . . . , ak) là các phần tử sinh của I thì với mọi bộ các số nguyên dương n, n1, . . . , nk ta có Width>s(I, A) = Width>s(I n, A) = Width>s((a n1 1 , . . . , a nk k )R,A). Ta có nhận xét rằng với mỗi số nguyên i, R-môđun TorRi (R/I,A) = 0 nếu và chỉ nếu nó cũng là R̂-môđun 0. Hơn nữa, dimR(Tor R i (R/I,A)) > 0 nếu và chỉ nếu dimR̂(Tor R i (R/I,A)) > 0. Do đó ta có hệ quả sau. Hệ quả 3.1.4. Với mỗi iđêan I của R ta có (i)Width(I, A) = Width(IR̂, A). (ii)Width>0(I, A) = Width>0(IR̂, A). (iii)Width>s(I, A) 6Width>s(IR̂, A). Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 33 Chứng minh. Theo Định lý 2.2.7, Width>s(I, A) chính là số nguyên i nhỏ nhất để dim(TorRi (R/I,A)) > s. (i) Giả sửWidth(I, A) = n. Khi đó n chính là độ dài của A-dãy đối chính quy tối đại trong I theo nghĩa của A. Ooishi [15] trong trường hợp s = −1. Vì thế, theo Định lý 2.1.6, ta có TorRi (R/I,A) = 0 với mọi i < n. Theo nhận xét trên, điều này xảy ra khi và chỉ khi TorR̂i (R̂/IR̂, A) = 0 với mọi i < n, khi và chỉ khiWidth(IR̂, A) = n. (ii) Cho x1, . . . , xn là A-dãy đối chính quy với chiều > 0 trong I , theo định nghĩa ta có xi /∈ p, với mọi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) thoả mãn dimR/p > 0, nghĩa là xi tránh tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết p trong tập AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) trừ iđêan cực đại m. Do đó n chính là số nguyên dương nhỏ nhất để dim(TorRn (R/I,A)) > 0. Theo nhận xét trên, khi và chỉ khi n cũng chính là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho dim(TorR̂n (R̂/IR̂, A)) > 0, khi và chỉ khi n = Width>0(IR̂, A). (iii) Giả sử x1, . . . , xn là A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I . Ta cần chứng minh rằng x1, . . . , xn cũng là A-dãy đối chính quy với chiều > s trong IR̂. Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 1. Vì x1 là phần tử A-đối chính quy với chiều > s trong I nên theo định nghĩa, x1 /∈ p, với mọi p ∈ AttRA thoả mãn dimR/p > s. Giả sử x1 không là phần tử A-đối chính quy với chiều > s trong IR̂. Khi đó tồn tại q̂ ∈ AttR̂A sao cho x1 ∈ q̂ và dim(R̂/q̂) > s. Theo Mệnh đề 1.2.4, ta có q̂ ∩ R = q ∈ AttRA. Suy ra x1 ∈ q và s < dim(R̂/q̂) 6 dim(R̂/qR̂) = dimR/q̂ ∩R = dimR/q. Điều này mâu thuẫn với giả thiết x1 là phần tử A-đối chính quy với chiều > s trong I . Do đó x1 là phần tử A-đối chính quy với chiều > s trong IR̂. Theo hệ quả trên, ta có bất đẳng thứcWidth>s(I, A) 6Width>s(IR̂, A) Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 34 và dấu đẳng thức chỉ xảy ra trong trường hợp s 6 0. Tuy nhiên, trong trường hợp s > 0, dấu đẳng thức không còn đúng nữa. Lý do là nhìn chung ta có {p ∈ AttRA | dim(R/p) > s} 6⊆ {p̂ ∩R | p̂ ∈ AttRA, dim(R̂/p̂) > s}. Vì thế, có thể có những dãy (x1, . . . , xk) các phần tử trong I là dãy đối chính quy với chiều > s của R̂-môđun A nhưng không là dãy đối chính quy với chiều > s của R-môđun A, dẫn tớiWidth>s(I, A) s(IR̂, A). Vì vậy, cần phải cẩn thận khi chuyển qua đầy đủ và dùng đối ngẫu Matlis. Ví dụ sau minh họa cho điều này. Ví dụ 3.1.5. Tồn tại một vành Noether địa phương (S, n), iđêan I của S và S-môđun Artin A sao cho dimS A = 3, dimŜ A = 2 và Width>1(I, A) 1(IŜ, A), trong đó Ŝ là n-adic đầy đủ của S. Chứng minh. Cho (R,m) là miền địa phương Noether chiều 2 được xây dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud [5] sao cho tồn tại những iđêan nguyên tố nhúng p̂ ∈ Ass R̂ thỏa mãn dim(R̂/p̂) = 1. Vì H1m(R) ∼= H1mR̂(R̂) như R̂-môđun, theo [1, Định lý 11.3.3] ta có {p̂ ∈ Ass R̂ | dim(R̂/p̂) = i} = AttR̂H imR̂(R̂) nên suy ra p̂ ∈ AttR̂H1m(R). Vì thế dimR̂(H 1 m(R)) = dim R̂/AnnR̂(H 1 m(R)) = max{dim R̂/p̂, p̂ ∈ AttR̂(H1m(R))} ≥ dim(R̂/p̂) = 1 theo Bổ đề 1.3.2. Mặt khác, ta luôn có dimR̂(H 1 m(R)) 6 1 theo [17, Mệnh đề 3.8]. Vì thế dimR̂(H 1 m(R)) = 1. Vì p̂ ∈ Ass R̂, nên p̂∩R ∈ AssR. Do R là miền nguyên nên AnnR = 0, dẫn đến AssR = 0. Suy ra p̂ ∩ R = 0. Vì p̂ ∈ AttR̂(H1m(R)), nên theo Mệnh đề 1.2.4 ta có p̂∩R = 0 ∈ AttR(H1m(R)). Do đó, theo Bổ đề 1.3.2, dimR(H 1 m(R)) = 2. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 35 Bây giờ, cho R[[x]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến x với hệ số trong R. Khi đó theo Định lý cơ sở Hilbert, R[[x]] là miền nguyên Noether chiều 3, depthR[[x]] = 2 vì R là miền nguyên và m /∈ AssR, iđêan cực đại duy nhất của R[[x]] là (m, x)R[[x]] và R̂[[x]] là vành đầy đủ theo tô pô (m, x)R[[x]]-adic của R[[x]]. Vì p̂ ∈ Ass R̂, nên theo định nghĩa tồn tại phần tử a ∈ R̂ sao cho p̂ = AnnR̂ a. Đặt p̂[[x]] = { ∞∑ i=0 aix i ∈ R̂[[x]] | ai ∈ p̂,∀i } . Khi đó ta có thể kiểm tra được rằng p̂[[x]] là iđêan nguyên tố của R̂[[x]] và AnnR̂[[x]] a = { ∞∑ i=0 aix i ∈ R̂[[x]] | ∞∑ i=0 (aai)x i = 0 } = p̂[[x]]. Do đó p̂[[x]] ∈ Ass(R̂[[x]]) và dim(R̂[[x]]/p̂[[x]]) = dim(R̂/p̂)[[x]]) = 2. Theo [1, Định lý 11.3.3] suy ra p̂[[x]] ∈ AttR̂[[x]] ( H2 (m,x)R̂[[x]] (R̂[[x]]) ) = AttR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) . Vậy, lại theo [17, Mệnh đề 3.8] và Bổ đề 1.3.2 ta có dimR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) = 2. Vì p̂[[x]] ∈ Ass(R̂[[x]]) ∩ AttR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) , nên ta có p̂[[x]] ∩R[[x]] ∈ Ass(R[[x]]) ∩ AttR[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) . Vì thế p̂[[x]] ∩ R[[x]] = 0 và dimR[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) = 3 theo Bổ đề 1.3.2. Vì depthR[[x]] = 2 và dimR[[x]] = 3 nên H i(m,x)R[[x]](R[[x]]) = 0 với i 3. Do đó, từ dãy khớp ngắn 0 −→ R[[x]] x−→ R[[x]] −→ R[[x]]/xR[[x]] −→ 0 Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 36 ta có dãy khớp dài . . . −→ 0 −→ H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x−→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) −→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ 0 . . . Vì thế ta có đẳng cấu giữa các R[[x]]-môđun H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) ∼= (0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x). Chú ý rằng H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) có cấu trúc tự nhiên là R-môđun và nó đẳng cấu với H1m(R). Do đó dimR[[x]] ( 0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x ) = 2 và dimR̂[[x]] ( 0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x ) = 1. Bây giờ, ta chọn S = R[[x]], I = xR[[x]] và A = H2(m,x)R[[x]](R[[x]]). Khi đó A là S-môđun Artin, dimS A = 3, dimŜ A = 2, dimS(0 :A I) = 2, dimŜ(0 :A I) = 1. Theo Định lý 2.2.7 ta có: 1. Vì dimŜ(0 :A I) = 1 nên với mỗi số nguyên n, đều tồn tại A-dãy đối chính quy với chiều > 1 trong IR̂ nênWidth>1(IŜ, A) =∞. 2. Vì dimS(0 :A I) = 2 > 1, nên luôn tồn tại A-dãy đối chính quy với chiều > 1 trong I . Do dimŜ A = 2 = N-dimRA nên theo [15] ta có 0 1(I, A) < N-dimA = 2 nên suy raWidth>1(I, A) = 1. Vậy ta cóWidth>1(I, A) 1(IR̂, A). 3.2 Kết quả hữu hạn Trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây bằng kỹ thuật tương tự như chứng minh các kết quả của chương 2. Đó là chuyển lên vành đầy đủ, sử dụng đối ngẫu Matlis, đẳng cấu giữa các môđun Ext, Tor trên vành đầy đủ và tính chất giao hoán của hàm tử địa phương hóa với các hàm tử Ext, Tor. Kết quả này đóng vai trò then chốt trong việc chứng minh định lý chính. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 37 Bổ đề 3.2.1. Cho t là một số nguyên. Đặt Pt = t−1⋃ i=0 Var(AnnR ( TorRi (R/I,A) ) . Khi đó AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt = AttR (TorRt (R/(an11 , . . . , ankk ), A)) ∪ Pt = AttR ( TorRt (R/I,A) ) ∪ Pt với mỗi hệ sinh (a1, . . . , ak) của I và mọi số nguyên dương n, n1, . . . , nk. Chứng minh. Cho p ∈ AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt sao cho p /∈ Pt. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.4, tồn tại iđêan nguyên tố p̂ ∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) sao cho p̂ ∩R = p. Vì p /∈ Pt, nên theo cách xác định Pt ta có p̂ /∈ Var (AnnR̂ (TorRi (R/I,A))) = Var (AnnR̂ (TorR̂i (R̂/IR̂, A))) với mọi i < t. Do đó theoMệnh đề 1.4.5 ta có p̂ /∈ SuppR̂ ( Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) với mọi i < t. Vì thế Mệnh đề 1.4.5 Exti R̂p̂ ( R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂ ) ∼= (Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) p̂ = 0 với mọi i < t. Do đó depth(IR̂p̂, D(A)p̂) ≥ t theo Mệnh đề 1.5.4. Điều này suy ra depth(InR̂p̂, D(A)p̂) ≥ t theo Chú ý 1.5.2. Nếu depth(InR̂p̂, D(A)p̂) > t thì lại áp dụng Mệnh đề 1.5.4 ta suy ra được Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) = 0 hay p̂ /∈ SuppR̂ ( Extt R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) . Vì vậy, p̂ /∈ Var (AnnR̂(ExttR̂(R̂/InR̂,D(A)))) = Var (AnnR̂ (TorR̂t (R̂/InR̂, A))). Vì thế p̂ /∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) theo Mệnh đề 1.2.3, điều này mâu thuẫn với cách chọn p̂. Do đó, depth(InR̂p̂, D(A)p̂) = t = depth(IR̂p̂, D(A)p̂). Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 38 Vì vậy, từ rad(I) = rad(In) và theo Mệnh đề 1.5.4 ta có AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( H t InR̂p̂ (D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( H t IR̂p̂ (D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) ) . Vì p̂ ∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) , nên suy ra p̂ ∈ AssR̂ ( Extt R̂ (R̂/InR̂,D(A)) ) , và vì vậy p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) ) . Theo kết quả trên ta suy ra p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) ) . Vì vậy p̂ ∈ AssR̂ ( Extt R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) = AttR̂ ( TorRt (R/I,A) ) . Suy ra ta có AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt ⊆ AttR (TorRt (R/I,A)) ∪ Pt. Chú ý rằng ta luôn có các đẳng thức depth(IR̂p̂, D(A)p̂) = depth(I nR̂p̂, D(A)p̂) = depth((an11 , . . . , a nk k )R̂p̂, D(A)p̂). nên các bao hàm thức còn lại của bổ đề cũng được chứng minh tương tự. Với việc đưa ra định nghĩa độ rộng với chiều > s và chứng minh được tính chất ổn định của hợp các tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun xoắn Tor trong Bổ đề trên đã giúp ta chứng minh được kết quả quan trọng và cũng là kết quả chính của luận văn, đó là tính chất hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun xoắn Tor khi n đủ lớn. Để tiện cho việc theo dõi ta kí hiệu (AttRA)≥s = {p ∈ AttRA | dim(R/p) ≥ s}. Định lý 3.2.2. ChoWidth>s(I, A) = r. Khi đó (i) Tập ( ⋃ n∈N AttR(Tor R t (R/I n, A)) ) >s là hữu hạn với mọi t 6 r. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 39 (ii) Tập ( ⋃ n1,...,nk∈N AttR(Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A ) ≥s là hữu hạn với mọi t 6 r, trong đó (a1, . . . , ak) là hệ sinh của I . Chứng minh. Đặt Pt = t−1⋃ i=0 Var ( AnnR(Tor R i (R/I,A)) ) với mỗi số nguyên t sao cho t 6 r. Cho n ≥ 0 là một số nguyên và p ∈ ⋃ n ( AttR(Tor R t (R/I n, A)) ) ≥s. Vì t 6 r = Width>s(I, A), nên theo Định lý 2.2.7 suy ra dimR(Tor R i (R/I n, A)) 6 s với mọi i < t. Nếu dim(R/p) > s thì áp dụng Bổ đề 1.3.2 ta có p /∈ Pt. Do đó, p ∈ AttR(TorRt (R/I,A)) theo Bổ đề 3.2.1. Nếu dim(R/p) = s thì p ∈ AttR(TorRt (R/I,A)) ∪ Pt theo Bổ đề 3.2.1. Giả sử rằng p /∈ AttR(TorRt (R/I,A)). Khi đó p ∈ Pt. Vì vậy p ∈ Var(AnnR(TorRh (R/I,A))) với h s(I, A), nên ta có dim(TorRh (R/I n, A)) 6 s theo Định lý 2.2.7. Do đó p là phần tử tối thiểu của tập Var(AnnR(Tor R h (R/I,A))), và vì vậy p ∈ AttR(TorRh (R/I,A)) theo Bổ đề 1.2.3. Vì vậy, ta đã chứng minh được ⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) ≥s ⊆ t⋃ i=0 AttR ( TorRi (R/I,A) ) , và vì thế ⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) ≥s là tập hữu hạn. Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được ⋃ n1,...,nk (AttR Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A) ) ≥s ⊆ t⋃ i=0 AttR(Tor R i (R/I,A)), và định lý được chứng minh. Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lý chính. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 40 Hệ quả 3.2.3. Giả sử rằng s 6 1. Cho Width>s(I, A) = r. Khi đó tập⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) và tập ⋃ n1,...,nk ( AttR Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A) ) là tập hữu hạn với mỗi số nguyên t 6 r và mỗi hệ sinh (a1, . . . , ak) của I. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 41 Kết luận Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo: "A finiteness result for attached primes of certain Tor-modules" của L. T. Nhan và N. T. Dung (2010). Kết quả chính của luận văn gồm các nội dung sau. 1. Hệ thống một số tính chất của môđun Artin có liên quan đến nội dung của luận văn: cấu trúc của môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, dãy đối chính quy và độ rộng của môđun Artin. Trình bày khái niệm và một số tính chất của hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn, khái niệm và một số tính chất của dãy chính quy và độ sâu của môđun. 2. Nghiên cứu về dãy đối chính quy với chiều > s: định nghĩa, tính chất, điều kiện luôn tồn tại của dãy đối chính quy với chiều > s và đặc trưng độ dài tối đại của dãy đối chính quy với chiều > s thông qua chiều Krull của môđun con xoắn Tor. 3. Đưa ra khái niệm độ rộng với chiều > s và từ đó chứng minh kết quả hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 42 Tài liệu tham khảo [1] M. Brodmann, and R. Y. Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge. [2] M. Brodmann, Asymptotic stability of Ass(M/InM), Proc., America Math. Soc., (1) 74 (1979), 16-18. [3] M. Brodmann and L.T. Nhan, A finiteness result for associated primes, J. Al., (4) 87 (2008), 596-600. [4] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J. Math., 30, pp. 121-130. [5] Ferrand D. and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d'un anneau local Noetherian," Ann. Sci. E'cole Norm. Sup., 3 (4), pp. 295-311. [6] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of local cohomology module, J. Alg., 252 (2002), 161-166. [7] Kirby D. (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J. Math. Oxford (Ser. 2) 24 (2), pp. 47-57. [8] Kirby, D. (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 41 (2), pp. 419-429. [9] Macdonald, I. G. (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica. 11, pp. 23-43. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 43 [10] Matsumura, H. (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univer- sity press. [11] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to drived funtors Proc. Ame. Math. Soc. 4 117 (1993), 935-938. [12] Nagata M., (1962), Local ring, Interscience, New York. [13] L. T. Nhan and N. T. Dung, "A finiteness property for attached primes of certain Tor-modules", Algebra Colloquium, to appear, (2010). [14] L. T. Nhan and N. V. Hoang, A finiteness result for attached primes of local cohomology, Submit in Commutative Algebra, (2008). [15] A. Ooishi, Matlis duallity and the width of a module, Hiroshima Math. J. 6 (1976), 573-587. [16] Roberts, R. N. (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 26, pp. 269-273. [17] R. Y. Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J. London Math. Soc., (2) 34 (1986), 212-218. [18] Sharp, R. Y. (1989) "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour," in: Commutative Algebra, Math. Sci. Res. Inst. Publ. No. 15, Spinger-Verlag, New York, pp. 443-465. Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn