Luận văn Chui ngầm ballistic và shot noise trong các cấu trúc nano graphene

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Khoa Vật lý Sinh viên: Hồng Mạnh Tiến CHUI NGẦM BALLISTIC VÀ SHOT NOISE TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO GRAPHENE LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ðẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Vật lý lý thuyết Hà nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Khoa Vật lý Sinh viên: Hồng Mạnh Tiến CHUI NGẦM BALLISTIC VÀ SHOT NOISE TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO GRAPHENE LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ðẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Vật lý lý thuyết Hà nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 Thầy giáo hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 - 3 - Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 0 Lời cảm ơn Trước hết tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn và kính trọng tới thầy giáo đã trực tiếp hướng tơi hồn thành luận văn này, GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn. Thầy đã tận tình chỉ bảo tơi trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu. Hơn thế nữa, thầy đã tạo cho tơi những điều kiện tốt nhất để làm việc và một mơi trường nghiên cứu khoa học hiệu quả. Do đĩ mà tơi được hiểu biết thêm về hoạt động nghiên cứu khoa học và mối quan hệ mọi người với nhau khi làm khoa học. Tơi xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Hải Châu, người bạn cùng lớp và cùng thực tập chung với tơi. Bạn Châu đã nhiều lần giúp đỡ tơi trong quá trình họa tập cũng như làm luận văn. ðể hồn thành cuốn luận văn này tơi cũng muốn xin lời cảm ơn tới các thầy cơ, những người đã trực tiếp giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tơi trong quá trình học tập, tới những người bạn đã giúp đỡ, động viên tơi trong những lúc khĩ khăn. Cuối cùng tơi xin bày tỏ tấm lịng tới bố mẹ và em trai Hồng Mạnh Hùng, những người đã hết sức tạo điều kiện và động viên tơi, đặc biệt trong quá trình làm luận văn . Sv. Hồng Mạnh Tiến Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 1 MỞ ðẦU .................................................................................................................................... 2 Chương 1. Tổng quan về Graphene ........................................................................................ 4 1.1 Giới thiệu ......................................................................................................................... 4 1.2 Cấu tạo mạng Graphene ................................................................................................ 5 1.3. Cấu trúc vùng năng lượng ............................................................................................ 6 Chương 2. Phương trình mơ tả electron trong Graphene................................................... 12 và phương pháp T_matrix ..................................................................................................... 12 2.1. Từ phương trình Srodinger tới phương trình ðirac ................................................ 12 2.2 Lời giải của phương trình tựa ðirac 2 chiều .............................................................. 13 2.3 Phương pháp T_matrix ................................................................................................ 17 Chương 3. Hiện tượng truyền và shot noise trong các hệ Graphene ................................. 22 3.1 Các cơng thức ................................................................................................................ 22 3.2 Hệ Graphene một bờ thế (H8) ..................................................................................... 26 3.4 Quantum dot Graphene ............................................................................................... 33 Kết luận.................................................................................................................................... 40 Tài liệu tham khảo .................................................................................................................. 41 Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 2 MỞ ðẦU Graphene là một vật liệu mới, được chế tạo thành cơng lần đầu tiên bằng thực nghiệm vào năm 2004 [4]. Ở Việt Nam, hầu như chưa cĩ ai nghiên cứu về vật liệu mới này nên mọi người vẫn cịn xa lạ khi nhắc tới Graphene. Trên thế giới, trong vịng mấy năm trở lại đây cĩ rất nhiều nghiên cứu cả về lý thuyết cũng như thực nghiệm. ðiều đĩ được thể hiện bằng số lượng các bài báo trên các tạp chí lớn về Vật Lý như Applied Physics Letters, Physical Review Letters, Physical Review, Modern Physics… Tại sao các nhà khoa học trên thế giới lại thích thú trong việc nghiên cứu Graphene? Thứ nhất, Graphene cĩ rất nhiều tính chất đặc biệt khác biệt so với các vật liệu thơng thường, trong đĩ phải kể tới tính chất các electron tại các điểm ðirắc trong Graphene hành xử như những hạt khơng khối lượng mặc dù vận tốc của nĩ chỉ vào cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng. Chính điều đặc biệt đĩ kéo theo rất nhiều tính chất lý thú của Graphene và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Thứ hai, do khả năng truyền dẫn rất tốt của Graphene (một phần do nồng độ electron trong đĩ rất lớn 15 2 en 4.10 cm − ≈ ) , đặc biệt là truyền spin, các nhà khoa học đang kì vọng rằng sẽ chế tạo được các linh kiện điện tử, transitor, quantum dot bằng Graphene thay thế cho các linh kiện bán dẫn hiện nay và mở kỷ nguyên cơng nghệ mới: Kỷ nguyên Cacbon thay cho kỷ nguyên Silic của thế kỷ 20. ðể mơ tả chuyển động của electron trong Graphene (thường gọi là các electron ðirac), chúng ta khơng thể dùng phương trình Srodinger mà phải dùng phương trình tựu ðirắc. Bằng cách giải phương trình tựu ðirắc cho hệ 1 chiều, A. Calageracos và N.Dombey [5] đã giải thích được nghịch lý Klein (Klei paradox). ðĩ là: khi tới với phương vuơng gĩc với bờ thế, electron ðirac cĩ xác suất chui ngầm bằng 1 bất chấp độ cao hay bề dày của bờ thế là bao nhiêu. Cũng trong năm 2006, M.I. Katsnelson [6] đã tính hệ số truyền qua cho hệ 1 bờ thế bằng cách giải phương trình ðirắc cho hệ Graphene. Trong năm 2007, J.Miton Pereira. Js [9] đã tính độ dẫn (conductance) cho Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 3 hệ 1,2 bờ thế và ơng cịn khảo sát sự giam cầm của electron trong giếng thế tạo bởi Graphene (Graphehe quantum well) [8]. D.Dragoman [7] đã vẽ được đường đặc trưng Vol-Ampe cho hệ một bờ thế, từ đĩ ơng suy ra rằng trong Graphen, hệ 1 bờ thế đã xuất hiện điện trở vi phân âm. Rui Zhu và Yong Guo [10] đã nghiên cứu một cách kỹ lưỡng về hệ hai bờ thế đối xứng (hệ số truyền, conductance, shot noise, hệ số fano). Ngồi ra Chunxu Bai [11] đã nghiên cứu hệ số truyền trong trường hợp siêu mạng đối xứng. Trong [13] K.B. Efetov đã áp dụng điều kiên biên để tính độ dẫn (conductance) cho hệ quantum dot Graphene. Như trên ta đã thấy các hệ Graphene đã được nghiên cứu rất nhiều và trong luận văn này tơi cũng muốn nghiên cứu về các vấn đề đĩ. Bước đầu tơi đã nghiên cứu về tính chất truyền ballistics và shot noise qua các hệ Graphene như hệ 1, 2 bờ thế và quantum dot Graphene. ðây đều là những vấn đề thời sự được các nhà vật lý trên thế giới quan tâm và nghiên cứu. Nghiên cứu tính chất truyền, mà cụ thể là tính chất điện của Graphene sẽ cho chúng ta biết khả năng cĩ thể dùng nĩ làm transitor hay các linh kiện điện tử được khơng? Và một điều nữa là tại sao chúng ta lại nghiên cứu shot noise, nĩ cĩ ý nghĩa gì? Noise tức là nhiễu, noise cho ta biết thêm thơng tin vào quá trình truyền của hệ. Cĩ rất nhiều các loại noise khác nhau. Trong hệ lượng tử của ta thì noise cĩ ảnh hưởng chủ yếu là shot noise. Noise nhiệt (những thăng giáng do chuyển động nhiệt của các hạt) cĩ thể được làm giảm bằng cách hạ thấp nhiệt độ. Noise 1/f (chủ yếu do va chạm của hạt tải với tâm tạp) khơng làm thay đổi pha và năng lượng của hạt tải nên nĩ khơng cho nhiều thơng tin về quá trình truyền. Trong đĩ shot noise liên quan tới sự lượng tử hĩa của các hạt tải nên nĩ sẽ đĩng một vai trị rất quan trọng trong các hệ lượng tử của ta. Thơng thường chúng ta thường tính hệ số Fano, tức là chúng ta so sánh shot noise với noise Poisson (Noise Poisson là noise trong trường hợp hạt tải chuyển động ballistic khơng cĩ va chạm). Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 4 Chương 1. Tổng quan về Graphene 1.1 Giới thiệu Cacbon là vật liệu khởi nguồn cho sự sống trên Trái đất và là thành phần cơ bản của tất cả các hợp chất hữu cơ. Do tính linh động của các nguyên tử cácbon trong khả năng tạo thành liên kết, các hợp chất cácbon đa dạng cả về loại và tính chất. Các nguyên tử cácbon cĩ thể liên kết với các nguyên tử khác như Hidro, Oxi hay cũng cĩ thể liên kết trực tiếp với nhau tạo thành các mạng nguyên tử Cacbon. Trong các dạng thù hình đĩ phải kể đến Graphene, một lớp đơn nguyên tử cácbon 2 chiều cĩ dạng hình tổ ong (H1), đĩng một vai trị vơ cùng quan trọng trong việc tạo thành các dạng thù hình khác của Cácbon. Tập hợp nhiều lớp Graphene xếp chồng lên nhau sẽ tạo ra vật liệu Graphite (than chì) 3 chiều. Một tấm Graphene mà cuộn lại sẽ tạo thành một ống nano cácbon 1 chiều hay tạo thành quả cầu cácbon khơng chiều (Fullerene) [3]. Hình 1. Một số dạng thù hình của Cacbon: Graphene, Graphite, nanotube, Fulerence (Quả cầu C60) Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 5 ðiều đặc biệt là Graphene cĩ thế dễ dàng được tạo ra trong khi viết hay vẽ bằng bút chì. Khi lấy bút chì vạch lên giấy, chúng ta đã vơ tình tạo ra được các lớp Graphene, và trong số đĩ sẽ cĩ những chỗ chỉ là một lớp Graphene riêng biệt. Mặc dù bút chì đã được khám phá ra vài trăm năm trước (1600) nhưng mà mãi tới tận năm 2004, một nhà vật lý người Anh (University of Manchester) mới tách ra được một lớp cácbon riêng biệt, gọi là Graphene, bằng thực nghiệm để quan sát và nghiên cứu. Nguyên nhân nào mà mãi tới năm 2004 mới phát hiện ra Graphene? Thứ nhất, trước đĩ khơng một ai cĩ thể ngờ rằng một lớp đơn nguyên tử cĩ thế tồn tại bền vững ở trạng thái tự do trên nền đế của một vật liệu khác. Thứ hai, trước đĩ chưa cĩ bất kì máy mĩc hay thiết bị nào cĩ thể xác định sự tồn tại của một lớp đơn nguyên tử cácbon [3]. Chính điều đĩ mà mãi gần đây người ta mới biết được sự tồn tại của Graphene và nghiên cứu được về nĩ. 1.2 Cấu tạo mạng Graphene Các bon là nguyên tử ở vị trí thứ 6 trong bảng tuần hồn, cĩ cấu hình vỏ nguyên tử là 2 2 21 2 2s s p . Tuy nhiên, ở đây đã cĩ sự kích thích lên trạng thái 2 1 31 2 2s s p để lớp vỏ p đạt tới trạng thái bán bão hịa. Tiếp đĩ cĩ sự lai hĩa 2sp để tạo thành 3 liên kết σ bền vững và một liên kết pi . Trong đĩ liên kết pi kém bền hơn và vuơng gĩc với ba liên kết kia. Do đĩ tồn bộ các electron pi đều tham gia vào dẫn và cĩ ảnh hưởng quyết định đến các tính chất đặc trưng của Graphene. Một vài thơng số của mạng Graphene [4]: Hình 2. Cấu trúc mạng Graphen và vùng Bruiluin thứ nhất Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 6 Hằng số mạng : 3 2, 46 o cca a A= = Véc tơ cơ sở: 1 3 1( ; ) 2 2 a a= ; 2 3 1( ; ) 2 2 a a= − Véc tơ mạng đảo: 1 2 1( ;1) 3 b a pi = ; 2 2 1( ; 1) 3 b a pi = − Như đã nĩi tới ở trên, Graphene là một lớp đơn nguyên tử các bon cĩ cấu trúc mạng hình tổ ong. Ta thấy, mạng bravai này thực chất là hai mang tam giác lồng vào nhau. Do đĩ vector cơ của mạng là 1 2à aa v , mỗi ơ nguyên tố cĩ 2 nguyên tử là A và B. Từ đĩ ta vẽ được vùng Bruiluin thứ nhất như trên hình 2. Ở đây ta chú ý tới 4 điểm đối xứng là Γ , M, K và 'K trong đĩ hai điểm K và 'K là khơng hồn tồn đối xứng.(Tuy nhiên trong các bài tốn của ta thi ta cĩ thể coi hai điểm này là đối xứng, chỉ khi xét bài tốn cĩ từ trường ngồi, tương tác spin… thì mới cần phân biệt hai điểm này) 1.3. Cấu trúc vùng năng lượng Khi xem xét một vật liệu mới thì việc đầu tiên cần làm là đi tìm cấu trúc vùng năng lượng của vật liệu đĩ. Từ cấu trúc vùng năng lượng chúng ta cĩ thế biết được chất đĩ là kim loại, bán dẫn, hay điện mơi, ngồi ra chúng ta cĩ thể tinh đốn một số tính chất của nĩ và tính được một số đại lượng như khối lượng hiệu dụng chẳng hạn. ðể tìm cấu trúc vùng năng lượng của một mạng tinh thể người ta thường dùng hai phương pháp là: 1. Phương pháp chính xác: ab-initio (hay cịn gọi là first principle). Nội dung chủ yếu của phương pháp này là tính chính xác cấu trúc vùng năng lượng cho Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 7 hệ cĩ từ vài tới vài trăm nguyên tử bằng cách mơ phỏng thơng qua máy tính. ðặc điểm của phương pháp này là sự chính xác tuyệt đối nhưng mà nhược điểm của nĩ là khơng thế thực hiện được với hệ cĩ nhiều nguyên tử. Mà trên thực tế một mạng ma ta nghiên cứu cĩ rất nhiều nguyên tử nên khơng thể chỉ dùng phương pháp này được. 2. Phương pháp tính gần đúng: Tight-binding (gần đúng liên kết mạnh). ðây là một phương pháp cơ bản trong vật lý chất rắn. Hiện nay người ta đã kết hợp đồng thời cả hai phương pháp này và cho kết quả rất tốt. Tức là lúc đầu tính bằng ab-initio cho hệ ít nguyên tử, dùng đĩ là điều kiện ban đầu cho phương pháp Tight-binding. Trong khuơn khổ nghiên cứu ở đây, tơi xin trình bày phương pháp Tight-binding và so sánh kết quả với phương pháp ab-initio. Hàm sĩng của electron trong gần đúng liên kết mạnh (tight binding) được tìm dưới dạng [4]: A A B BC Cψ ϕ ϕ= + (1.1) Trong đĩ: ik R AA z R0 ik R BB z R0 1( k ,r ) e p ( r R R ) N 1( k ,r ) e p ( r R R ) N ϕ ϕ = − − = − − ∑ ∑















(1.2) Với zp ( r )
là hàm nút nguyên tử trong vật lý chất rắn (orbital zp ( r )
của nguyên tử Carbon), 0N là số ơ nguyên tố mà trên đĩ ta áp dụng điều kiện biên tuần hồn {Bohr-Openheimer}. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 8 Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng của trạng thái electron là trị riêng của Hamiltonian (Phương pháp LCAO-trực giao): AA AB BA BB H H H H H   =     (1.3) Trong đĩ: ik( R' R ) A,R A,R' AA 0 z z R,R' ik( R' R ) A,R B,R' AB 0 z z R ,R' H 1 / N e p p H 1 / N e p p Η Η − − = = ∑ ∑













(1.4) Với A / B ,R A / Bz zp p ( r R R )= − − 



Tính tốn đối với các mạng vơ hạn ( 0N → ∞ ), ta lưu ý rằng trong các biểu thức trên khi cho một trong hai chỉ số ( R,R'

) biến đổi ta thấy tổng cĩ tính đối xứng đối với tất cả các vị trí khác nhau trên mạng của chỉ số kia, do đĩ cĩ thể viết lại tổng dưới dạng: ik R' A,0 A,R' AA z z R' ik R' A,0 B,R' AB z z R' H e p p H e p p Η Η = = ∑ ∑









(1.5) Khai triển hệ thức, giữ lại đến các lân cận gần nhất ta cĩ: p p 1 1 2 2 6 A,0 A,0 ik R A,0 A,R AA z z z z p 1 A,0 B,0 ik .a A,0 B , a ik .a A,0 B , a AB z z z z z z H p | H | p e p | H | p H p H p e p H p e p H p = − − − − = + = + + ∑








(1.6) Trong đĩ biểu thức của AAH gồm một số hạng cấp khơng và sáu số hạng cấp một tương ứng với năng lượng nút là sự xen phủ với sáu nguyên tử cùng loại lân cận Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 9 gần nhất, biểu thức của ABH gồm ba số hạng cấp một tương ứng với ba số hạng xen phủ của ba nguyên tử khác loại lân cận gần nhất. Ngồi ra ta cĩ BB AAH H= , AB BAH H ∗= . Như đã nĩi với phương pháp LCAO trực giao, ta khơng cần tính đến các số hạng xen phủ của hàm sĩng. ðặt: A,0 A,0 z zp | H | pα = , iA,0 A,Rz zp | H | pβ = 
1 2A,0 B,0 A,0 B, a A,0 A, a z z z z z zp | H | p p | H | p p | H | pγ − −= = =

Ta cĩ: i 21 6 ik R AA BB i 1 ik a* ik a AB BA H H e H H (1 e e ) α β γ = − − = = + = = + + ∑





(1.7) Hamiltonian liên kết mạnh như vậy cĩ thể chéo hĩa dễ dàng kết quả là ta thu được hệ thức tán sắc dưới dạng: E ( k ) f ( k ) 3 f ( k )α β γ± = + ± +


(1.8) Trong đĩ : 1 2 2 1f ( k ) 2cos( k.a ) 2cos( k.a ) 2cos[ k.( a a )]= + + −







(1.9) Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 10 Hoặc khai triển theo các tọa độ trực giao: y y2x k a k a3k af ( k ) 12(cos cos cos ) 2 2 2 = +
(1.10) Trong đĩ α là năng lượng ion hĩa của electron pi trong hệ Graphene và trong các bài tốn chúng ta cĩ thể chọn nĩ làm gốc tính năng lượng, tức là chọn 0α = .Các giá trị khác đã được tính tốn cụ thể trong [4] 0.1meVβ ≈ − , 2.8 meVγ ≈ . Chúng ta cĩ thể so sánh kết quả của phương pháp gần đúng liên kết mạnh với phương pháp ab- initio (H3) Ở đây dấu trừ mơ tả vùng hĩa trị cịn dấu cộng mơ tả vùng dẫn. Ở dưới vùng hĩa trị là các trạng thái bị lấp đầy bởi các electron cịn trên vùng dẫn là hồn tồn bỏ trống. Hai vùng này tiếp xúc với nhau tại các điểm là đỉnh của hình lục giác của vùng Brillouin (H4). Một vật liệu khi vùng dẫn và vùng hĩa trị tiếp xúc với nhau thì vật liệu đĩ sẽ là kim loại, nhưng điều đặc biệt ở đây là hai vùng này chỉ tiếp xúc với nhau tại từng điểm rời rạc nên người ta thường gọi nĩ là semimental (bán kim loại). Một điều đặc biệt hơn nữa là tại lân cận những điểm tiếp xúc này thì gần như E (năng lượng của electron) tỉ lệ tuyến tính bậc nhất với véc tơ sĩng của nĩ. Hệ thức này giống như là hệ thức của các hạt tương đối tính khơng cĩ khối lượng. Do đĩ tại các điểm tiếp xúc K,K’ (gọi là các điểm ðirac) các electron trong Graphene hành xử như những hạt tương đối tính cĩ khối lượng bằng khơng mặc dù vận tốc của electron trong Graphene chỉ bằng cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng. ðiều đĩ giúp các nhà thực nghiệm cĩ thể quan sát được một số hiệu ứng tương đối tính mà khơng cần tới các máy gia tốc cực lớn. Cụ thể là nĩ giúp chúng ta cĩ thể kiểm tra trực tiếp phương trình ðirắc bằng thực nghiệm, một phương trình vốn cĩ nhiều điểm lạ kì. Trong phương pháp gần đúng liên kết mạnh, chúng ta đã bỏ qua số hạng xen phủ của hàm sĩng và chỉ tính tới số hạng bậc nhất nên vùng dẫn và vùng hĩa trị là hồn tồn đối xứng với nhau qua mặt Fermi. Tuy nhiên điều đĩ là khơng hồn tồn Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 11 trùng khớp với phương pháp ab-initio (H3). Mặc dù vậy trong các tính tốn thơng thường ta vẫn coi như đối xứng và phương trình cho electron sẽ cĩ dạng đơn giản nhất cĩ thể. Ngồi ra do cĩ các ảnh hưởng nào đĩ mà cĩ thể hai vùng năng lượng này khơng hồn tồn tiếp xúc với nhau mà cịn cĩ một khe năng lượng nhỏ cỡ vài chục meV mà ta cĩ thể coi là năng lượng nghỉ của electron trong các phương trình tính tốn. Hình 3. Cấu trúc vùng năng lượng tính bằng phương pháp ab-initio và phương pháp gần đúng liên kết mạnh Hình 4. Cấu trúc vùng năng lượng của vẽ dưới dạng khơng gian Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 12 Chương 2. Phương trình mơ tả electron trong Graphene và phương pháp T_matrix 2.1. Từ phương trình Srodinger tới phương trình ðirac Như đã thảo luận ở trên, trong Graphen, tại những điểm ðirac electron hành xử như những hạt tương đối tính cĩ khối lượng nghỉ bằng khơng. Do đĩ một điều hiển nhiên là chúng ta khơng thể mơ tả nĩ bằng phương trình Srodinger như trong cơ học lượng tử được. Vậy một câu hỏi được đặt ra là chuyển động của nĩ tuân theo phương trình nào? Trên thực tế, khi xem xét electron tại những điểm gần bề mặt Fermi thì người ta thường dùng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng. Kết quả phép gần đúng khối lượng hiệu dụng đối với Grphene chính là phương trình tựa Dirac hai chiều cho electron trong mạng Graphene.Việc này đã được D.P DiVincenzo và E.J.Mele thực hiện năm 1984 [14] , trong đĩ hai ơng đã sử dụng khai triển .k p tại lân cận điểm K. Bằng cách viết phương trình hàm sĩng, thay vào phương trình Srodinger, khai triển và giữ lại số hạng bậc nhất của k
hai ơng đã thu được phương trình tựa ðirac cho electron trong Graphen như sau: ( ) 2D 0 z 0H ( x, y ) v . mv U( x, y ) ( x, y ) E ( x, y )ψ σ σ ψ ψ = − ∇ + + = 

ℏ (2.1) Tại vì Graphene là hệ hai chiều nên phương trình của ta ở đây chỉ viết cho trường hợp hai chiều. Do đĩ, ( , )x yσ σ σ= 
và , ,x y zσ σ σ ở đây là ba ma trận Pauli, U(x,y) là thế bên ngồi đặt vào cịn 2omv là năng lượng nghỉ của electron. Tuy nhiên khối lượng m ở đây rất nhỏ nên thường được bỏ qua trong nhiều bài tốn. Phương trình trên cĩ dạng giống như phương trình ðirac cho hạt tương đối tính tuy nhiên cĩ một điều khác biệt là trong phương trình ðirac thì vận tốc là c (vận tốc ánh sáng), cịn Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 13 trong phương trình này thì vận tốc là vận tốc ở mức Fermi của electron và nĩ cĩ giá trị xấp xỉ bằng 1/300 vận tốc ánh sang. ðiều đĩ giải thích tại sao chúng ta phải dùng thuật ngữ “Phương trình tựa ðirac”. Cĩ một điều cần chú ý là ở trên chỉ là khai triển .k p tại điểm K, hồn tồn tương đương chúng ta cĩ thể khai triển tại điểm K’ và thu được kết quả hồn tồn tương tự. Khi đĩ thì Halmiton của ta chỉ là ma trận 2x2 cịn hàm sĩng cĩ hai thành phần. Tuy nhiên điều này chỉ đúng trong trường hợp ta coi hai điêm K và K’ là hồn tồn độc lập, khơng cĩ liên hệ gì với nhau. Trong trường hợp chúng cĩ liên quan bất đối xứng thì chúng ta phải viết hàm Halmiton là ma trận 4x4 và hàm sĩng sẽ cĩ 4 thành phần (2 ứng với điểm K và 2 ứng với điểm K’). 2.2 Lời giải của phương trình tựa ðirac 2 chiều Trong bài tốn của ta chỉ xét trường hợp là electron chỉ chịu tác dụng của thế tĩnh điện và thế này là khơng đổi trên từng đoạn. Khi đĩ phương trình ðirac sẽ cĩ lời giải giải tích chính xác, đầy đủ. Ta hãy khảo sát trường hợp này bằng cách áp dụng phương trình ðirac ở trên (2.1): ( ) 2D 0 z 0H ( x, y ) v . mv U( x, y ) ( x, y ) E ( x, y )ψ σ σ ψ ψ = − ∇ + + = 

ℏ Trong đĩ : ( , )x yσ σ σ= 
và 0 1 1 0x σ   =     , 0 0y i i σ −  =     , 1 0 0 1z σ   =   −  Ta viết hàm sĩng dưới dạng hai thành phần spinnor 1 2 ψψ ψ   =     và thay vào phương trình trên ta thu được: Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 14 22 2 0 0 1 1 21 1 0 0 2 2 v ( i ) [mv U( x, y )] E x y v ( i ) [-mv U( x, y )] E x y ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂  ∂ ∂ − + + + =  ∂ ∂ ℏ ℏ (2.2) Hay: 2 2 0 0 1 2 1 0 0 2 ( i ) [E U( x, y ) mv ]/ v x y ( i ) [ E U( x, y ) mv ]/ v x y ψ ψ ψ ψ ∂ ∂ − − = − − ∂ ∂  ∂ ∂ − + = − +  ∂ ∂ ℏ ℏ (2.3) ðặt các đại lượng khơng thứ nguyên: 20 0 0mv / vε = ℏ , 0u( x, y ) U( x, y ) / v= ℏ , oE / vε = ℏ , đồng thời rút thế 2ψ từ phương trình dưới vào phương trình trên ta cĩ: 1 0 1 0 2 1 0 1( i ) ( i ) [ u( x, y ) ] x y [ u( x, y ) ] x y 1 ( i )[ u( x, y ) ] x y ψ ε ε ψ ε ε ψ ψ ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ − − − + = − − ∂ ∂ − + ∂ ∂  ∂ ∂ = − +  − + ∂ ∂ (2.4) Trong trường hợp riêng của ta: thế u( x, y ) khơng đổi dọc theo trục Oy mà chỉ phụ thuộc vào phương Ox, khi đĩ nghiệm cĩ thể tìm dưới dạng hàm riêng của xung lượng theo trụcOy : yik y( x, y ) e ( x )ψ χ= , ta cĩ phương trình cho 1 2 ( )( ) ( ) x x x χχ χ   =     : y y 1 0 1 0 2 y 1 0 1( i ik ) ( i ik ) [ u( x ) ] x [ u( x ) ] x 1 ( i k )[ u( x ) ] x χ ε ε χ ε ε χ χ ε ε ∂ ∂ − − − + = − − ∂ − + ∂  ∂ = − +  − + ∂ (2.5) Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 15 Mặt khác ta xét phương trình trên từng đoạn khơng đổi của thế trên trụcOx , khi đĩ phương trình đơn giản thu về: 2 2 2 2 y 1 0 12 2 1 0 ( k ) +[( u ) ] 0 x 1 ( i )[ u ] x y χ ε ε χ χ χ ε ε  ∂ − − − = ∂  ∂ ∂ = − +  − + ∂ ∂ (2.6) ðặt 2 2 20 yk ( u ) kε ε= − − − thì phương trình cho 1( )xχ cĩ dạng đơn giản như sau: 2 21 12 +k 0x χ χ∂ = ∂ (2.7) ðây chính là phương trình vi phân bậc hai mà mọi người đều quen thuộc, nĩ cĩ dạng như phương trình của dao động điều hịa và nghiệm tổng quát của nĩ cĩ dạng: ikx ikx 1 Ae Beχ −= + (2.8) Thay vào ta được nghiệm tổng quát cho thành phần 2χ như sau: ikx ikx 2 y y 0 1 [( k ik )Ae ( k ik )Be ] u χ ε ε − = + − − − + (2.9) ðể đơn giản hĩa ta cĩ thể đặt các biến phụ để biểu thức đơn giản hơn khiε , nu , 0ε là các số thực : 0 0 0 u t sign( u ) u ε ε ε ε ε ε − − = − − − + ytg( ) k / kϕ = , / 2 / 2pi ϕ pi− < < + Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 16 Khi đĩ ta cĩ dạng đơn giản hơn: i ikx i ikx 2 t( Ae e Be e )ϕ ϕχ − −= − (2.10) Trong đĩ ta chú ý là việc đặt các biến phụ chỉ cho ta biểu diễn một cách hình thức đơn giản hơn, trong nhiều trường hợp, khi lập trình thì chúng ta sẽ lấy biểu thức gốc trước khi đặt biến phụ (2.9). Từ các kết quả trên chúng ta thu được nghiệm tổng quát trong trường hợp bờ thế khơng đổi trên từng đoạn là: 1 1 y yik y ik yikx ikx i iA e e B e ete teϕ ϕ ψ − −     = +    −    (2.11) Nhận xét: Trong bài tốn của ta, electron chuyển động hồn tồn tự do theo phương y nên yk ở đây là liên tục và nhận giá trị bất kì. Tuy nhiên nếu chúng ta xét điều kiện biên, tức là hệ của chúng ta cĩ chiều dài hữu hạn theo phương y thì lúc đĩ xung lượng theo phương y sẽ bị lượng tử hĩa, điều này đã được xem xét trong [3,12,13]. Hàm sĩng ψ dạng tổng quát gồm cĩ hàm sĩng truyền theo cùng chiều hay ngược chiều dương.Ở đây chúng ta phải chú ý tới dấu của xung lượng và của năng lượng mà trạng thái hạt tải trong Graphene cĩ khác nhau. Như đã giải thích đối với phương trình của ðirac, nghiệm âm của năng lượng là ứng với trường hợp hạt tải khơng phải là electron mà là lỗ trống (hole state). Từ hình vẽ ta cĩ thể chia miền năng lượng của electron thành 3 Hình 5. Sơ đồ các miền hạt tải trong Graphene Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 17 miền như sau (H5): 1.Miền thứ nhất: 2 2( )o f yE U E v k< − + , ứng với trường hợp màu in đậm trên hình vẽ, hạt tải ở đây là lỗ trống và véc tơ xung lượng phải cĩ chiều ngược lại so với chiều của electron. 2.Miền thứ hai: 2 2 2 2( ) ( )o f y o f yU E v k E U E v k− + ≤ ≤ + + , ứng với màu trắng trên hình vẽ, đây là miền cấm với cả electron và lỗ trống. Trong miền này, hàm sĩng giảm theo hàm mũ (do giá trị của vecto sĩng k ở phương trình trên là âm) 3.Miền thứ ba: 2 2( )o f yE U E v k> + + , ứng với vùng gạch chéo trên hình vẽ, tại những vùng này hạt tải là electron. Từ nhận xét ở trên chúng ta cĩ thể dễ dàng giải thích về mặt định tính nghịch lý Klein: Trong trường hợp electron tới vuơng gĩc với bờ thế, tức là 0yk = , và khối lượng nghỉ của nĩ bằng khơng, tức là 0oE = thì vùng cấm sẽ khơng cịn nữa. Khi đĩ electron dễ dàng chui ngầm qua bờ thế thơng qua các trạng thái lỗ trống (vì các trạng thái của electron đều tương ứng cĩ trạng thái của lỗ trống). 2.3 Phương pháp T_matrix Mục đích quan trọng của ta trong các bài tốn liên qua tới hiện tượng truyền là phải tính hệ số truyền qua.Từ hệ số truyền qua chúng ta sẽ tính được tất cả các đại lượng đặc trưng cho hệ như dịng điện, độ dẫn, shot noise. Thơng thường cĩ hai phương pháp tính hệ số truyền đĩ là phương pháp hàm Green và phương pháp T matrix. Trong phương pháp hàm Green thì ta chỉ cần dùng hàm Halmiton rồi suy ra S matrix, từ đĩ dẫn ra được cơng thức tính hệ số truyền qua. Trong luân văn này tơi sử dụng phương pháp T matrix, một phần vì nĩ đơn giản hơn phương pháp trên, một phần là nĩ rất hiệu quả trong các bài tốn mà chỉ cĩ hệ các bờ thế mà chưa kể tới tương tác. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 18 Ta đưa vào khái niệm T ma trận một cách đơn giản như sau: T ma trận là một ma trận mơ tả mối liên hệ giữa biên độ sĩng tới với biên độ sĩng truyền qua của một thế nào đĩ. Trước hết ta tìm biểu thức của T ma trận cho trường hợp đơn giản là bờ thế thẳng đứng ở gốc tọa độ và electron chuyển từ vùng cĩ thế khơng đổi 1U sang vùng cĩ thế khơng đổi 2U (H6) Ta viết hàm sĩng trên từng vùng: Hàm sĩng tại vùng 1 là : 1 1 1 11 1 1 1 1 1 y yik y ik yik x ik x i iA e e B e et e t eϕ ϕ ψ − −     = +    −    (2.12) Tương tự cho vùng 2: 2 2 2 22 2 2 2 1 1 y yik y ik yik x ik x i iA e e B e et e t eϕ ϕ ψ − −     = +    −    (2.13) Nhiệm vụ của ta bây giờ là tìm ma trận T thỏa mãn điều kiện: 2 1 2 1 A A T B B     =        . ðể tìm mối liên hệ này thì chúng ta phải dùng điều kiện liên tục của hàm sĩng tại điểm tiếp giáp giữa hai bờ thế. ðiều kiện liên tục ở đây chỉ cần cho các thành phần spinor của hàm sĩng liên tục mà khơng cần điều kiện đạo hàm của hàm sĩng liên tục. ðiều Hình 6. Sơ đồ thế Klein để tính T ma trận Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 19 này cũng tương tự như đối với trường hợp của phương trình ðirac, bởi vì phương trình ðirac là phương trình bậc nhất đối với thời gian nên điều kiện liên tục chỉ cần đối với chính hàm sĩng đĩ mà thơi, hệ quả tất yếu là đạo hàm bậc nhất của các thành phần của hàm sĩng là gián đoạn tại điểm tiếp giáp. ðiều này là khác với phương trình Srodinger, bởi vì phương trình Srodinger là phương trình đạo hàm bậc 2 đối với thời gian nên điều kiện liên tục phải tính tới cả sự liên tục của các đạo hàm. Trở lại với điều kiện liên tục của ta tại 0x = : 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 i i i i A B A B t A e t B e t A e t B eϕ ϕ ϕ ϕ− − + = +  − = − (2.14) Giải hệ trên ta dễ dàng tính được: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 cos( ) i i i i i i i i s e s e s e s e T t s e s e s e s e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ − − − −  + − + =   − + +  (2.15) Ta thấy rằng T ma trận cĩ tính chất sau: * *22 11 21 12;T T T T= = . Tính chất này cũng hồn tồn giống trong trường hợp cổ điển. Tuy nhiên ta phải chú ý là trong miền cấm thì các gĩc ϕ cĩ thể nhận giá trị ảo, khi đĩ tính chất trên khơng cịn đúng nữa. Trong trường hợp mà bờ thế của ta khơng nằm ở gốc tọa độ mà cách một đoạn là d , thì cũng giống như trong trường hợp cổ điển [1] chúng ta phải nhân thêm hệ số cho T ma trận như sau : 2 1 2 1 0 0(2,1) * * 0 0 ik d ik d ik d ik d e e T T e e − −     =         (2.16) Hai ma trận trước và sau T thực ra chỉ cĩ nhiệm vụ là chuyển dịch hàm sĩng từ gốc tọa độ tới vị trí cĩ tọa độ là d mà thơi. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 20 Khi cĩ nhiều các bờ thế khơng đổi trên từng đoạn thì T ma trận của hệ các bờ thế này sẽ là tích của các T ma trận đối với từng bờ thế [1] : T( n,0 ) T( n,n 1)* T( n 1,n 2 )* * T(1,0 )= − − − ⋯ (2.17) Trên đây là nội dung chủ yếu của phương pháp T ma trận. ðối với một bờ thế cĩ dạng bất kì thì ta co thế xấp xỉ nĩ bằng cách chia nhỏ sao cho thế trên mỗi đoạn coi là khơng đổi, sau đĩ áp dụng phương pháp T ma trận ta sẽ thu được T ma trận của thế đĩ. Trong [11], Chuxu Bai và Xiangdong Zhang đã sử dụng phương pháp này để tính hệ số truyền qua cho trường hợp siêu mạng (H7) Hình 7. Siêu mạng đối xứng [11] Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 21 2.4. Tính hệ số truyền từ T ma trận Mục đích của ta là tính hệ số truyền và nĩ cĩ thể được rút ra trực tiếp sau khi đã biết T ma trận. Tuy nhiên, khơng giống như trong trường hợp cổ điển, trong Graphene chiều của mật độ dịng xác suất của hạt tải trong tương quan với chiều xung lượng phụ thuộc vào dấu của năng lượng (điều này đúng trên từng miền riêng lẻ). ðiều này như đã nĩi ở trên là do tùy vào dấu của năng lượng mà nĩ sẽ quyết định hạt tải ở đây là lỗ trống hay là electron. Giả sử cĩ một electron đi tới bờ thế, khi đĩ tùy theo hạt tải ở miền ra là electron hay lỗ trống mà chúng ta cĩ hai cơng thức để tính hệ số truyền như sau : (Dùng chỉ số 1 cho sĩng tới và chỉ số 2 cho sĩng truyền qua) 1.Trường hợp 1 : 2 0t < thì hạt tải trong miền này là lỗ trống, khi đĩ để tính hệ số truyền qua ta đặt 1 1 2 21, , 0,A B r A B t= = = = . Ta cĩ : 11 12 21 22 T T0 1 T Tt r      =           (2.18) Giải ra ta dễ dàng cĩ: 11 12r T / T= − và hệ số truyền qua: 211 121 1 ( )T R abs T T= − = − . 2. Trường hợp 2 : 2 0t > thì hạt tải trong miền này là electron, khi đĩ tương tự như trường hợp cổ điển : 1 1 2 21, , , 0A B r A t B= = = = . Ta cĩ: 11 12 21 22 T Tt 1 T T0 r      =           (2.19) Ta cũng cĩ : 21 22r T / T= − và hệ số truyền qua là : 221 221 1 ( )T R abs T T= − = − . Do đĩ, khi tính hệ số truyền qua một bờ thế nào đĩ thì chúng ta phải khảo sát xem hạt tải điện trong đĩ là electron hay lỗ trống để sử dụng cơng thức cho hợp lý. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 22 Chương 3. Hiện tượng truyền và shot noise trong các hệ Graphene Trước khi đi vào cụ thể từng hệ trong Graphene, chúng ta nên xem xét một số cơng thức tính sẽ dùng để tính độ dẫn (conductance), dịng điện (current), và shot noise trong các hệ Graphene hai chiều của ta. 3.1 Các cơng thức 3.1.1 Cơng thức tính dịng (current) ðể dẫn ra cơng thức tính dịng ở đây ta dùng hình thức luận Landauer- Buttiker được trình bày trong [1] Hình thức luận này áp dụng cho trường hợp hệ là ở trạng thái cân bằng và dịng tính ở đây là dịng trung bình. Cơng thức tính dịng đi từ trái qua phải trong trường hợp hai chiều là: 22 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 )L L dkI e f k E k v k T k pi +∞ −∞ = ∫




(3.1) Trong đĩ ý nghĩa của các đại lượng trong biểu thức như sau: 1. Thừa số e là cho ta chuyển từ dịng số hạt sang dịng điện (chú ý là ở đây khơng cĩ dấu trừ vì ta đã quy ước chiều dịng điện) 2. Tích phân ở đây lấy theo các các giá trị cĩ thể cĩ của k , ở đây ta chú ý là k cĩ thể lấy giá trị từ âm vơ cùng tới dương vơ cùng, thừa số 2(2 ) d k pi
ứng với 1 trạng thái trong khơng gian vector sĩng k . Thừa số 2 ở đằng trước là biểu hiện của spin (spin của electron là 2) 3. ( )Lf k
là hàm phân bố Fermi-ðirac, là xác suất trạng thái đĩ cĩ bị chiếm hay khơng ? Khi trạng thái đĩ bị chiếm (bị lấp đầy) thì nĩ mới tham gia vào dẫn. 4. Thừa số vận tốc ( )v k
cũng cĩ vai trị như trong biểu thức cổ điển của mật độ dịng điện j nqv= Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 23 5. Cuối cùng, hệ số truyền qua ( )T k
là xác suất để một electron tới cĩ thể xuyên qua bờ thế và cho đĩng gĩp vào dịng điện. Chú ý là khi phản xạ thì nĩ sẽ khơng cĩ đĩng gĩp gì vào dịng điện từ trái qua phải cả. Biểu thức sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta đổi sang tích phân theo năng lượng hơn là tích phân theo véc tơ sĩng. Ta cĩ : ( ) ov k v=
là vận tốc của electron (cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng) cos( ) , o dEk kdk d dk v γ γ= =
ℏ Thay vào và đặt 2 2 o e v h χ = ta cĩ: / 2 / 2 os( ) ( ) ( , )L LI d c dEf E T E E pi pi χ γ γ γ +∞ − −∞ = ∫ ∫ (3.2) Tương tự cho trường hợp dịng đi từ bên phải qua bên trái: / 2 / 2 os( ) ( ) ( , )R RI d c dEf E T E E pi pi χ γ γ γ +∞ − −∞ = − ∫ ∫ (3.3) Trong đĩ dấu “-” là do ta quy ước dịng từ trái qua phải là chiều dương nên dịng từ phải qua trái sẽ là ngược chiều dương. Ta cũng chú ý là với các hệ đối xứng thì hệ số truyền qua từ trái qua phải cùng bằng hệ số truyền qua từ phải qua trái. Dịng tổng cộng sẽ là tổng của hai dịng: / 2 / 2 os( ) ( ( ) ( )) ( , )L R L RI I I d c dE f E f E T E E pi pi χ γ γ γ +∞ − −∞ = + = −∫ ∫ (3.4) Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 24 Trong các bài tốn của ta thường xem xét ở nhiệt độ thấp ( 0T = ), khi đĩ hai hàm Fermi sẽ trở thành các hàm teta và nĩ sẽ quy định các cận lấy tích phân: / 2 / 2 os( ) ( , ) L R I d c dET E E µpi pi µ χ γ γ γ − = ∫ ∫ (3.5) Ở đây, ,L Rµ µ là các thế hĩa học ở bên trái và bên phải bờ thế. ðặc biệt khi bias đặt vào nhỏ thì L Rµ µ µ≈ ≈ và ta cĩ cơng thức đơn giản: / 2 / 2 os( )T( , )I d c pi pi χµ γ γ µ γ − = ∫ (3.6) 3.1.2 Cơng thức tính độ dẫn (conductance) Cơng thức cho độ dẫn (Conductance) cĩ dạng đơn giản : IG V = (3.7) do đĩ sau khi tính được I ta dễ dàng tính được G. Tuy nhiên, trong trường hợp bias nhỏ và nhiệt độ thấp thì theo [1] ta cĩ cơng thức tính độ dẫn đơn giản: 22 ( )eG T h µ= (3.8) Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 25 Trong đĩ số 2 là chỉ spin của electron, 2e h thường được xem là đơn vị lượng tử của conductance và tương ứng là trở lượng tử 2 25.8 hR k e = = Ω . Trong trường hợp cĩ nhiều kênh dẫn thì trở dẫn sẽ là tổng của các kênh dẫn đĩ: 22 ( ) ( )n o n eG T E G T E h = =∑ ∑ (3.9) 3.1.3 Cơng thức tính noise Biểu thức tổng quát để tính noise đã được Ya.M.Blanter và M.Buttiker dẫn ra trong [2]. Việc đi đến cơng thức này là khá phức tạp nên ta sẽ khơng trình bày ở đây. Chuyển sang trường hợp hai chiều ta sẽ cĩ cơng thức như sau: [ ] [ ][ ]2L R =R,L S 2e T(E, ) f ( E ) 1 f ( E ) T( E, ) 1 T( E, ) f ( E ) f ( E ) EdE cos( )dα α α χ γ γ γ γ γ = − + − −    ∑∫ (3.10) Trong đĩ 2 2 o e v h χ = cĩ giá trị như trong trường hợp tính dịng. Biểu thức trên là tương đối phức tạp, tuy nhiên ta cĩ thế đơn giản hĩa trong trường hợp riêng là nhiệt độ thấp [10] : [ ]S 2e T( E, ) 1 T( E, ) EdE cos( )dχ γ γ γ γ= −∫ (3.11) Hay cụ thể các cận tích phân ra ta cĩ : [ ] L R / 2 / 2 S 2e d cos( ) dET( E, ) 1 T( E, ) E µpi pi µ χ γ γ γ γ − = −∫ ∫ (3.12) Trong trường hợp lượng tử hĩa thành các kênh riêng biệt thì ta cĩ thể cĩ cơng thức tương tự như đối với conductance: Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 26 [ ]o n n n S S T( E ) 1 T( E )= −∑ (3.13) Sau khi tính được noise và dịng thì ta cĩ thể dễ dàng suy ra hệ số Fano: SF 2eI = (3.14) Trong trường hợp các kênh riêng biệt thì ta cĩ cơng thức [2]: n nn nn T (1 T ) F T − = ∑ ∑ (3.15) 3.2 Hệ Graphene một bờ thế (H8) Ta xét một hệ bờ thế như hình vẽ (H8). Trong đĩ E là năng lượng vào, U là độ cao bờ thế khi chưa cĩ hiệu điện thế V đặt vào. Ta nhận thấy rằng việc làm trên của ta chỉ cĩ ý nghĩa khi hiệu điện thế đặt vào nhỏ, vì nếu hiệu điện thế lớn thì bờ thế sẽ cĩ dạng khác đi nhiều mà ta khơng xét tới ở đây. ðể tính hệ số truyền qua hệ thì ta cĩ thể áp dụng trực tiếp phương pháp T ma trận như đã trinh bày ở trên . Tuy nhiên đây là trường hợp khá là đơn giản nên trong nhiều bài báo người ta viết trực tiếp hàm sĩng trên từng miền rồi dùng điều kiện liên tục tại các điểm để tìm ra biểu thức của hàm truyền[6,7,8]. Trong luận văn này tơi khơng muốn viết ra biểu thức cụ thể vì nĩ cũng khá dài, những tính tốn cụ thể dành cho việc lập trình trong Matlab. Ở đây ta cĩ thể Hình 8. Sơ đồ hệ một bờ thế Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 27 phân tích một biểu thức định lượng dạng đơn giản trong [6]. Xét trường hợp bờ thế đối xứng và bờ thế rất cao (V E≫ ): 2 2 2 x cos ( )T 1-cos (q d)sin ( ) Φ Φ = (3.16) Trong đĩ Φ là gĩc tới của electron, 2 2 2x o o yq ( E V ) /( v ) k= − −ℏ là vector sĩng theo phương ox khi ở trong bờ thế, d là độ rộng bờ thế. Từ biểu thức trên chúng ta thấy rằng, với một gĩc tới xác định thì hệ số truyền qua bằng 1 khi: xq d n ,n 0, 1, 2....pi= = ± ± (3.17) Do đĩ, khi tăng độ rộng bờ thế lên sẽ làm tăng số đỉnh cộng hưởng. ðiều này chúng ta sẽ thấy rõ hơn trong các hình vẽ sau này. Một điều đáng chú ý nữa là khi gĩc tới 0Φ = , tức là khi electron tới vuơng gĩc với bờ thế thì hệ số truyền qua luơn luơn bằng 1. ðiều này đã được chúng ta thảo luận trước đây, và nĩ chính là hiện tượng Klein paradox. Ở bên là hình vẽ T theo gĩc với các số liệu là độ cao bờ thế oU 100meV= , độ rộng của bờ thế L 50nm= . Trong đĩ đường nét liền, đường nét đứt và đường chấm chấm ứng với các năng lượng vào lần lượt là E 45,50,55( meV )= . Từ đồ thị ta thấy rằng khi electron tới vuơng gĩc bờ thế thì -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Transmision coefficient as a function of the incident angle teta T Hình 9. ðồ thị hê số truyền qua như là hàm của gĩc tới với các năng lượng Fermi khác nhau Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 28 hệ số truyền qua bằng 1. Ngồi vị trí đĩ ra thì vẫn cịn tại một số điểm khác nữa cũng cho ta hệ số truyền qua bằng 1, đúng như ta đã dự đốn. Một điều dễ nhận thấy nữa là hệ số truyền cĩ dạng đối xứng đối với gĩc tới, điều này là hiển nhiên tại vì dấu của gĩc là do ta chọn cịn đối với hàm sĩng thì nĩ hồn tồn đối xứng. ðồ thị hệ số truyền qua theo mức Fermi với các gĩc tới khác nhau. Trong đĩ đường nét liền, đường nét đứt và đường chấm chấm tương ứng với gĩc / 10, / 15, / 20ϕ pi pi pi= . Từ đồ thị ta cĩ nhận xét sau: Khi gĩc tới càng nhỏ thì hệ số truyền qua càng lớn, điều đĩ được thể hiện trên hình vẽ là khi gĩc tới nhỏ hơn sẽ nằm hồn tồn ở phía trên. Ngồi ra, như đã phân tích ở trên thì khi electron đi tới bờ thế sẽ cĩ một vùng cấm 2 2 2 2( ) ( )o f y o f yU E v k E U E v k− + ≤ ≤ + + hàm sĩng trong vùng này giảm theo hàm số mũ ứng với thung lũng trên hình vẽ. Ta nhận thấy rằng độ rộng của nĩ phụ thuộc vào yk hay gĩc tới của Graphene. Gĩc tới càng lớn thì độ rộng này càng lớn. ðồ thị bên dưới là đồ thị I-V cho các gĩc tới khác nhau là / 10, / 15, / 20ϕ pi pi pi= ứng với các đường liền, đường chấm chấm và đường nét đứt. Trên đồ thị ta đặc biệt chú ý một đặc điểm đĩ là cĩ hiện tượng điện trở vi phân âm. Trong các bán dẫn thong thường thì ít nhất phải hệ hai bờ thế mới cĩ hiện tượng này. ðiều này là một đặc trưng của hệ Graphene. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Transmission coefficent as a function of the incident energy Ef(meV) T Hình 10. ðồ thị hàm truyền qua như là hàm của năng lượng Fermi với các gĩc tới khác nhau. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 29 3.3 Hệ Graphene hai bờ thế (H12) Ta xét một hệ hai bờ thế như hình vẽ, trong đĩ 1 2U ,U là độ cao của hai bờ thế, 1 2V ,V là độ giảm thế trên từng bờ thế do đặt bias vào hệ. Hai bờ thế cĩ độ rộng là 1 2L ,L và khoảng cách giữa chúng là d. Tuy nhiên trong các bài tốn cụ thể thì ta thường xét trường hợp đơn giản là 0 100 200 300 400 500 600 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 current I(m A) V(mV) Hình 11. ðồ thị I-V với các gĩc tới khác nhau Hình 12. Sơ đồ hệ hai bờ thế Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 30 bờ thế đối xứng và hiệu điện thế đặt vào là nhỏ. Áp dụng phương pháp T ma trận ta tính được hệ số truyền qua hệ, sau đĩ áp dụng các cơng thức tính dịng, conductance, noise và hệ số Fano. Ta lấy các số liệu và lặp lại cách làm giống như trong [10], 1 2 oU U U 100meV= = = , 1 2L L d / 2 50nm= = = , 1 2V V 0= = . Hình bên là đồ thị của đồ thị của T theo gĩc với năng lượng khác nhau, E 78,85meV= . Ta thấy trường hợp này cũng gần giống như trường hợp một bờ thế. Tuy nhiên, trong trường hợp này ta chú ý là khi cĩ năng lượng nghỉ nĩ sẽ làm electron khơng cịn cĩ khả năng chui ngầm Klei nữa, tức là ngay cả khi tới vuơng gĩc với bờ thế thì hệ số truyền qua cũng khác 1. Hình bên là đồ thị hệ số truyền theo mức Fermi ứng -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 teta T -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Transmision coefficient as a function of the incident angle teta T Hình 13. Hệ số truyền qua như là hàm của gĩc tới với các năng lượng Fermi khác nhau 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Transmission coefficent as a function of the incident energy Ef(meV) T 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ef(meV) T Hình 14. ðồ thị hệ số truyền như là hàm của năng lượng Fermi ứng với các gĩc khác nhau Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 31 với các gĩc khác nhau. Ta thấy rằng trong trường hợp này cĩ nhiều điểm cộng hưởng hơn trường hợp một bờ thế, đăch biệt là ở trong vùng cấm vẫn cĩ cộng hưởng, trường hợp này là giống với trường hợp cộng hưởng của hai bờ thế trong bán dẫn thơng thường. Trong trường hợp này ta thấy răng khi tăng gĩc tới (tức là tăng yk ) và khi tăng khối lượng của electron thì độ rộng vùng cấm tăng. Trong trường hợp vẽ về độ dẫn (conductance) thì ta chỉ xét trường hợp thế đặt vào là nhỏ (V 0.1mV= ). Ta thấy một đặc điểm là khi độ dẫn cực đại thì noise đạt cực tiểu và ngược lại, khi độ dẫn cực tiểu thì noise cực đại. Ngồi ra, khối lượng cũng làm ảnh hưởng tới độ dẫn, cụ thể là nĩ làm giảm độ dẫn (H15). Trong hình bên, đường nét liền ứng với khối lượng electron bằng khơng, đường nét đứt ứng với 2omv 10meV= . 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 0.02 0.04 0.06 0.08 conductance G( e2 /h ) Ef(meV) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 2 4 6 noise Ef(meV) S/ 2e ) Hình 15. ðồ thị conductance và shot noise như là hàm của năng lượng Fermi Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 32 Hình bên dưới là đồ thị hệ số fano cho hai trường hợp : khối lượng của electron bằng khơng và bằng 2omv 10meV= . Ta nhận thấy là trong trường hợp khối lượng bằng 0 thì cực đại của hệ số fano dao động quanh giá trị F 1 / 3= . ðây là giá trị đã được tiên đốn trong các hệ Graphene lý tưởng. Ngồi ra, ta nhận thấy rằng khi cĩ khối lượng đã làm tăng hệ số fano lên rất nhiều. Hệ số fano lớn nhất chính là ở vùng cấm của electron, cịn khi đi ra năng lượng của electron lớn thì hệ số này bằng 0. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fanofactor F meV Hình 16. ðồ thị hệ số Fano như là hàm của năng lượng Fermi Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 33 3.4 Quantum dot Graphene Chấm lượng tử (Quantum dot QD) là hệ lượng tử khơng chiều. QD thơng thường được chế tạo bằng cách dùng thế tĩnh điện cầm tù electron theo cả 3 chiều Ox,Oy,Oz. Tuy nhiên, như ta đã biết, electron ðirac trong Graphene dễ dàng chui ngầm qua các bờ thế cĩ hình dạng bất kì. Do vậy, việc cầm tù electron ðirac để tạ thành quantum dot Graphene (QDG) là một việc làm rất khĩ khăn. May mắn là chúng ta vẫn cĩ thể cầm tù electron trong hệ Graphene khi nĩ cĩ xung lượng ngang (và cả khối lượng của nĩ cũng đĩng vai trị như xung lượng ngang trong việc cầm tù). Xung lượng ngang (khối lượng) càng lớn thì việc cầm tù càng tốt. ðể tạo thành một QD trong một dây bán dẫn thơng thường thì phải cần ít nhất hai bờ thế để cầm tù electron. Tuy nhiên, một điều kì thú là trong Graphene ta chỉ cần một bờ thế là đủ. Trạng thái giả liên kết xuất hiện ngay trong bờ thế mà mỗi bên thành của bờ thế cĩ vai trị như là ‘các bờ thế ’ trong bán dẫn thơng thường. Sự xuất hiện các trạng thái giả liên kết (mức cộng hưởng) khơng phụ thuộc vào hình dạng của dải (điều kiện biên). Tuy nhiên vị trí, độ rộng của từng mức cộng hưởng và đặc biệt là giá trị của độ dẫn nền (back ground conductance) giữa các mức cộng hưởng phụ thuộc vào dạng của biên. ðiều này đã được Efetov chỉ ra trong [13]. Do đĩ, trước khi tính tốn với QDG, chúng ta hãy xem qua điều kiện biên, xem nĩ cĩ ảnh hưởng như thế nào vào bài tốn của ta. Hãy tưởng tưởng ta cĩ một tấm Graphene (Graphene sheet) rộng vơ hạn, bây giờ ta dùng kéo cắt tấm này ra để tạo thành một dải Graphene (Graphene strip). Khi đĩ ứng với mỗi kiểu cắt sẽ cho ta một dạng biên khác nhau, ứng với một điều kiện biên khác nhau. Cĩ vơ số kiểu cắt và cũng sẽ cĩ vơ sơ dạng biên khác nhau của dải Graphene. Trong khuơn khổ luận văn này tơi chỉ xem xét hai loại điều kiện biên đơn giản và thơng dụng nhất là zigzag và airchair. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 34 1. ðiều kiện biên zigzag Từ hình vẽ ta thấy, đối với điều kiện biên zigzag thì tại một biên gồm tồn các nguyên tử loại A, cịn tại biên cịn lại gồm tồn các nguyên tử loại B. ðiều kiện biên của ta là hàm sĩng tại các nguyên tử ở biên phải triệt tiêu. Giả sử L là chiều rộng của tấm Graphen thì ta cĩ hàm sĩng của nguyên tử A (tại y=L) và của nguyên tử B (tại y=0) phải triệt tiêu : A B( y L ) 0, ( y 0 ) 0Ψ Ψ= = = = . Hay viết dưới dạng tương minh hơn như sau : ' 'A A B B( L ) ( L ) (0 ) (0 ) 0ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = , trong đĩ A B,ϕ ϕ là thành phần spinor của hàm sĩng tại điểm K cịn ' 'A B,ϕ ϕ là thành phần spin của hàm sĩng tại điểm 'K . Bằng các giải phương trình trị riêng của Hamilton tại điểm K và 'K (như ta đã giải ở mục ) để tìm hàm sĩng và áp dụng điều kiện biên trên, ta cĩ thể dẫn ra phương trình tìm yk cho hàm sĩng tại K ( 2 2 2y xk kε= − ) : y2k L x y x y k k e k k − − = + (3.18) Phương trình trên cĩ lời gải thực cho yk bất cứ khi nào xk là dương. Ngồi lời giải thực thì ta cũng cĩ thể lời giải cho trường hợp yk ảo, viết dưới dạng y nk ik= : n x n kk tan( k L )= (3.19) Hình 17. Một mảnh Graphene với điều kiện biên zigzag Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 35 Lời giải để tìm cụ thể ra yk phụ thuộc vào từng bài tốn riêng biệt với điều kiện hàm sĩng ở biên như thế nào. Làm tương tự cho trường hợp tại điểm 'K ta cũng thu được phương trình cĩ dạng giống như trường hợp điểm K nhưng mà phải đổi x xk k→ − . Ở đây ta chú ý một điều là điều kiện biên này là tách rời (decouple) giữa hai điểm K và 'K nhưng lại cĩ sự ràng buộc (couple) giữa phương Ox và Oy (thể hiện qua việc trong phương trình của yk cĩ mặt của xk ), điều này là ngược lại so với trường hợp armchair mà ta xét ở phần sau. Các tính tốn đã được cụ thể hĩa trong [3] nên ta sẽ khơng nhắc tới ở đây. 2. ðiều kiện biên armchair. Hình vẽ mơ tả cả hai trường hợp của điều kiện biên zigzag và airchair. Ta thấy với điều kiện biên armchair thì tại hai biên đều gồm cả hai loại nguyên tử A và B. Khi đĩ điều kiện biên ứng với trường hợp hàm sĩng tại cả hai nguyên tử đều bằng khơng. A A B B(0 ) ( L ) (0 ) ( L ) 0Ψ Ψ Ψ Ψ= = = = . Bằng cách giải tìm hàm sĩng tại K và 'K và áp dụng điều kiện biên trên ta cĩ : Hình 18. Một mẫu Graphene với cả điều kiện biên zigzag và armchair Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 36 n o n 4k L 3a pi pi = − (3.20) Trong đĩ oa là hằng số mạng. Một điều thú vị đã được L.Brey chỉ ra trong [14] là, với điều kiện biên armchair, khi chiều dài là oL 3Ma= với M là số nguyên thì hệ là kim loại, cịn trong các trường hợp cịn lại thì hệ là điện mơi. Trởi lại với bài tốn QDG, Efetov đã xét thế giam cầm là thế Parabol, trong luận văn này tơi thực hiện tính tốn với bờ thế cĩ dạng hình thang cân. Tương tự như trường hợp chia miền hạt tải đã xét ở trên, trong trường hợp này ta cĩ thể chia miền năng lượng thành 5 miền như sau 1. Miền thứ nhất: ( )2 20 y 0E v p E< − + : miền này tương ứng với năng âm nhỏ hơn bờ thế của electron, electron đi qua thế mà khơng gặp vùng cấm nào cả. 2. Miền thứ hai: ( ) ( )2 22 20 y 0 0 y 0v p E E v p E− + < < + : electron phản xạ giữa qua lại giữa hai miền cấm bán vơ hạn tương ứng với các trạng thái liên kết của electron trong bờ thế. 3. Miền thứ ba: ( ) ( )2 22 20 y 0 0 0 y 0v p E E U v p E+ < < − + : electron đi vào chịu phản xạ qua lại của hai thành cấm dày hữu hạn, đây chính là miền cho phép tồn tại các trạng thái giả liên kết, tương ứng với các cộng hưởng trong QDG. 4. Miền thứ tư: ( ) ( )2 22 20 0 y 0 0 0 y 0U v p E E U v p E− + < < + + : electron truyền qua một vùng cấm tương ứng với miền suy giảm mạnh của hệ số truyền qua. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 37 5. Miền thứ năm: ( )2 20 0 y 0U v p E E+ + < : năng lượng electron lớn, cao hơn độ cao bờ thế, do đĩ hệ số truyền qua sẽ xấp xỉ đơn vị. Trong [13], Efetov đã đưa ra biểu thức cụ thể của thành phần xung lượng ngang khi bị lượng tử hĩa : yp ( n ) ( n ) / Lυ pi= − ℏ . Trong đĩ 0υ = ứng với trường hợp kim loại và 2 3υ = ± đối với trường hợp điện mơi. Trong các kết quả tính số dưới đây ta chỉ vẽ cho trường hợp hệ là kim loại ( yp ( n ) n / Lpi= ℏ ). Hình 19.Sơ đồ phân miền năng lượng của electron tới trong thế hình thang. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 Ef(meV) G/ Go conductance Hình 20. ðồ thị conductance như là hàm của năng lượng Fermi Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 38 Trong các kết quả tính số, ta vẽ cho trường hợp bờ thế hình thang cĩ độ cao U 70meV= , mỗi bên bờ dốc cĩ chiều chiều dài 200nm, đáy nhỏ hình thang là 100nm, cịn chiều dài theo phương y là 200nm. Trên đồ thị độ dẫn (conductance), ta thấy khi năng lượng của electron nhỏ hơn năng lượng của bờ thế, như thảo luận ở trên thì nĩ tương ứng với miền 3 tức là miền tồn tại các trạng thái giả liên kết, do đĩ conductance ở đây cĩ dạng dao động. Tại miền năng lượng tiếp theo ứng với miền cấm nên conductance gần bằng 0. Vùng tiếp theo là vùng năng lượng của electron cao hơn bờ thế nên hệ số truyền qua gần bằng 1, do đĩ conductance cĩ dạng hình bậc thang. Mỗi bước nhảy ở đây cĩ độ cao oG 2G∆ ≈ tương ứng với sự xuất hiện hai kênh dẫn mới. Trên đây là đồ thị shot noise và hệ số fano theo năng lượng Fermi, kết quả này được vẽ dựa trên cơng thức 3.13 và 3.15. Cũng như trong trường hợp hai bờ thế, khi Hình 21. ðồ thị shot noise như là hàm của năng lượng Fermi Hình 21. ðồ thị hệ số Fano như là hàm của năng lượng Fermi Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 39 nào độ dẫn cực đại thì noise cực tiểu và ngược lại. Trong đồ thị tính hệ số fano, ta thấy rằng ở vùng cĩ trạng thái giả liên kết thì noise cũng cĩ dạng dao động và cực đại của nĩ xấp xỉ bằng 1. Khi năng lượng Fermi cao hơn độ cao bờ thế thì shot noise cũng giảm gần về 0. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 40 Kết luận Graphene là một vật liệu mới cĩ những tính chất đặc thù mà các vật liệu bán dẫn khác khơng cĩ. Các hệ trong Graphene mà chúng ta nghiên cứu trong luận văn này là hồn tồn cổ điển nhưng electron chuyển động trong đĩ thì mang tính chất “giả tương đối”. Bằng một phương pháp cổ điển là T ma trận, chúng ta đã xem xét được chuyển động chui ngầm ballistics và tính được các đặc trưng như shot noise qua một số hệ nano Graphene đơn giản. Tuy nhiên, trong khuơn khổ luận văn này, chúng ta mới chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu chuyển động của electrong là ballistics, tức là chuyển động một cách tự do mà chưa xét đến các tương tác như tương tác electron-electron, electron-phonon, tương tác spin quỹ đạo…ðây cũng chính là những hướng nghiên cứu mà các nhà khoa học đang quan tâm vì nĩ phù hợp với thực tế hơn. Tuy nhiên để giải quyết những bài tốn như thế này thì cần dùng cơng cụ tốn phức tạp và phương pháp hàm Green sẽ là phương pháp chủ đạo khi tính tới các tương tác đĩ. Hy vọng sau khi tốt nghiệp tơi sẽ cĩ thời gian và cơ hội để tiếp tục nghiên cứu về các vấn đề này. Hồng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 41 Tài liệu tham khảo 1. John H. Davies (1996), The Physics of low-dimentional semiconductors, Cambridge University press. 2. Ya.M.Blanter, M.Buttiker (2000), Shot noise in mesoscopic conductors, Physics Reports 336,1-166. 3. A.H.Castro Neto, F.Guinea, N.M.R.Peres, K.S.Novoselov, A.K.Geim, The electronic properties of Graphene, arXiv:0709.1163v1 [cond-mat.other] 7 Sep 2007. 4. Jean-Christophe Charlier (2007), Xavier Blasé, Stephan Roche, Electronic and transport properties of nanatubes Rev. Mod. Phys 79 (2) 667. 5. A.Calogeracos, N.Dombey (2006), History and physics of the Klein paradox, Contemporary Physics 40 (5) 313. 6. M.I. Katsnelson, K.S.Novoselov, A.K.Geim, Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene, Nature Physics, Vol 2, September 2006 . 7. D. Dragoman, M. Dragoman (2007), Negative differential resistance of electrons in graphene barrier, Appl. Phys. Lett. 90, 143111. 8. J. Milton Pereira Jr., V. Mlinar, F. M. Peeters, P. Vasilopoulos (2006), Confined states and direction -dependent transmission in graphene quantum wells, Phys. Rev. B 74, 045424. 9. J. Milton Pereira, P. Vasilopoulos, F. M. Peeters (2007), Graphene-based resonant- tunneling structures, Appl. Phys. Lett. 90, 132122. 10. Rui Zhu, Yong Guo (2007), Short noise in the graphene-based double-barrier structure, Appl. Phys. Lett 91, 252113. 11. Chuxu Bai, Xiangdong Zhang (2007), Klei paradox and resonant tunneling in a graphene superlatice, Phys. Rev. B 76, 075430. 12. L.Brey, H.A.Fertig (2006), Electronic State of Graphene Nanoribbons, Phys. Rev. B 73, 235411. 13. P.G.Silvestrov, K.B.Efetov (2007), Quantum Dots in Graphene, Phys. Rew. Lett 98, 016802. 14. D.P.DiVincenzo, E.J.Mele (1984), Seft-consitent effective-mass theory for intrslayer screening in graphite intercalation compounds. Phys. Rev B 29 (4)1984