Giáo trình Lý thuyết điều khiển hiện tại - Chương 3: Điều khiển bền vững - Nguyễn Thị Phương Hà

Chương 3 : Điều khiển bền vững Học kì 1 năm học 2005-2006 Chương 3 ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG 3.1 Giới thiệu 3.1.1 Khái niệm điều khiển bền vững Hệ thống điều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm ổn định, không phụ thuộc vào sự thay đổi của đối tượng cũng như của nhiễu tác động lên hệ thống.Mục đích của điều khiển bền vững là chất lượng vòng kín được duy trì mặc dù có những sự thay đổi trong đối tượng. P0 :Mô hình chuẩn (mô hình danh định) ΔP :Mô hình thực tế với sai lệch Δ so với mô hình chuẩn Hình 3.1 : Mô hình điều khiển bền vững Cho tập mô hình có sai số ΔP và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử P0 ∈ ΔP là mô hình danh định dùng để thiết kế bộ điều khiển K.Hệ thống hồi tiếp vòng kín được gọi là có tính : - Ổn định danh định: nếu K ổn định nội với mô hình danh định P0 - Ổn định bền vững: nếu K ổn định nội với mọi mô hình thuộc ΔP - Chất lượng danh định: nếu các mục tiêu chất lượng được thỏa đối với mô hình danh định P0 PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 2 - Chất lượng bền vững: nếu các mục tiêu chất lượng được thỏa đối với mọi mô hình thuộc ΔP Mục tiêu bài toán ổn định bền vững là tìm bộ điều khiển không chỉ ổn định mô hình danh định P0 mà còn ổn định một tập các mô hình có sai số ΔP 3.1.2 Chuẩn của tín hiệu 3.1.2.1 Khái niệm chuẩn Trong điều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan đến tín hiệu nói chung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu hoặc một vài tín hiệu điển hình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm rất nhiều các tín hiệu khác nhau. Khi phải làm việc với nhiều tín hiệu khác nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánh các tín hiệu để chọn lọc ra được những tín hiệu phù hợp cho công việc. Các khái niệm như tín hiệu x1(t) tốt hơn tín hiệu x2(t) chỉ thực sự có nghĩa nếu như chúng cùng được chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào đó. Cũng như vậy nếu ta khẳng định rằng x1(t) lớn hơn x2(t) thì phải chỉ rõ phép so sánh lớn hơn đó được hiểu theo nghĩa nào, x1(t) có giá trị cực đại lớn hơn , có năng lượng lớn hơn hay x1(t) chứa nhiều thông tin hơn x2(t)..Nói một cách khác ,trước khi so sánh x1(t) với x2(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một tín hiệu một giá trị đánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh được lựa chọn . Định nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)|| ∈R+ chuyển x(t) thành một số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ được gọi là chuẩn của x(t) nếu nó thỏa mãn: a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và chỉ khi x(t) =0 (3.1) b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀ x(t), y(t) (3.2) c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀ x(t) và Ra∈∀ . (3.3) 3.1.2.2 Một số chuẩn thường dùng trong điều khiển cho một tín hiệu x(t): - Chuẩn bậc 1: dttxtx ∫∞ ∞− = |)(|||)(|| 1 (3.4) - Chuẩn bậc 2: ∫∞ ∞− = dttxtx 22 |)(|||)(|| . (3.5) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 3 Bình phương chuẩn bậc hai chính là giá trị đo năng lượng của tín hiệu x(t). -Chuẩn bậc p: p pp dttxtx ∫∞ ∞− = |)(|||)(|| với p ∈ N (3.6) - Chuẩn vô cùng: |)(|sup||)(|| txtx t =∞ (3.7) đây là biên độ hay đỉnh của tín hiệu Khái niệm chuẩn trong định nghĩa trên không bị giới hạn là chỉ cho một tín hiệu x(t) mà còn được áp dụng được cho cả vector tín hiệu gồm nhiều phần tử và mỗi phần tử lại là một tín hiệu. Xét một vector tín hiệu: x(t) = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ )( )(1 tx tx n ? - Chuẩn 1 của vector x: ∑ = = n i ixx 1 1 (3.8) - Chuẩn 2 của vector x: ∑ = = n i ixx 1 2 2 (3.9) - Chuẩn vô cùng của vector x: ni ixx ,...,2,1 max =∞ = (3.10) 3.1.2.3 Quan hệ của chuẩn với ảnh Fourier và ảnh Laplace: Để phục vụ mục đích sử dụng khái niệm chuẩn vào điều khiển ,ta cần quan tâm tới mối liên quan giữa chuẩn tín hiệu x(t) là ||x(t)|| với ảnh Fourier X(jω ) cũng như ảnh Laplace X(s) của nó. PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 4 Định lí 3.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier X(jω ) của nó có quan hệ : ωωπ djXdttxtx 222 |)(| 2 1|)(|||)(|| 2 ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− == (3.11) Cho tín hiệu nhân quả causal x(t). Gọi X(s) là ảnh Laplace của nó .Giả sử rằng X(s) có dạng thực -hữu tỷ với bậc của đa thức tử số không lớn hơn bậc đa thức mẫu số ,tức là: n n m m sasaa sbsbb sA sBsX +++ +++== ..... ..... )( )()( 10 10 với m < n (3.12) Định lí 3.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (3.12) .Để chuẩn bậc 1 của x(t) là một số hữu hạn ||x(t)||1= K < ∞ thì điều kiện cần và đủ là tất cả các điểm cực của X(s) phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm) . 3.1.3 Đại số ma trận 3.1.3.1 Một số ma trận thường gặp: - Một ma trận A=(aij) có số hàng bằng số cột được gọi là ma trận vuông. Đường chéo nối các phần tử aii trong ma trận vuông được gọi là đường chéo chính .Đường chéo còn lại được gọi là đường chéo phụ. A = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ nnnn n n aaa aaa aaa ? ???? ? ? 21 22221 11211 (3.13) - Một ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0, được gọi là ma trận đường chéo. Ma trận đường chéo được ký hiệu bởi: A = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ nna a a ? ???? ? ? 00 00 00 22 11 = diag(aij) (3.14) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 5 - Ma trận đường chéo I = diag(1) = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 100 010 001 ? ???? ? ? gọi là ma trận đơn vị. - Ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i > j (hoặc i < j) được gọi là ma trận tam giác + Ma trận tam giác dưới A= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ nnnn aaa aa a ? ???? ? ? 21 2221 11 0 00 (3.15) + Ma trận tam giác trên A= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ nn n n a aa aaa ? ???? ? ? 00 0 222 11211 (3.16) 3.1.3.2 Các phép tính về ma trận: - Phép cộng / trừ: Cho hai ma trận A=(aij) và B=(bij) cùng có m hàng và n cột .Tổng hay hiệu A ± B = C =(cij) của chúng được định nghĩa là một ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử cij = aij + bij i=1,2,..,m và j=1,2,..,n. - Phép nhân với số thực: Cho ma trận A=(aij) có m hàng và n cột và một số vô hướng thực(phức) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (bij) được hiểu là ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử Bij = x.aij i=1,2,.m và j=1,2,..,n - Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(aij) với m hàng và n cột là ma trận AT = (aji) có n hàng và m cột được tạo từ ma trận A qua việc hoán chuyển hàng thành cột và ngược lại cột thành hàng. - Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(aik) có m hàng và p cột và ma trận B=(bkj) có p hàng và n cột ,tức là : PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 6 + A=(aik) i=1,2,....,m và k=1,2,.,p + B=(bkj) k=1,2,.,p và j=1,2,..,n Tích AB = C =(cij) của chúng là một ma trận có m hàng và n cột với các phần tử Cij = ∑ = p k kjikba 1 Một ma trận vuông A nnR ×∈ được gọi là ma trận trực giao nếu ATA=AAT=I 3.1.3.3 Hạng của ma trận: Cho n vector vi i=1,2,,n Chúng sẽ được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức a1v1+a2v2+.+anvn=0 trong đó ai là những số thực (hoặc phức) sẽ đúng khi và chỉ khi a1 = a2 = ..=an = 0 Xét một ma trận A=(aij) bất kì có m hàng và n cột .Nếu trong số m vector hàng có nhiều nhất p ≤ m vector độc lập tuyến tính và trong số n vector cột có nhiều nhất q ≤ n vector độc lập tuyến tính thì hạng ma trận đươc hiểu là: Rank(A) = min{p,q} Một ma trận vuông A kiểu (n×n) sẽ được gọi là không suy biến nếu Rank(A)=n .Ngược lại nếu Rank(A) <n thì A được nói là ma trận suy biến Hạng ma trận có các tính chất sau: - Rank(A) = min{p,q} (3.17) - Rank(AB) ≤ rank(A) và rank(AB) ≤ rank(B) (3.18) - Rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) (3.19) - Nếu B không suy biến thì rank(AB) = rank(B) (3.20) 3.1.3.4 Ma trận nghịch đảo: Cho ma trận A=(aij),i=1,2,,m ; j=1,2,,n,trong đó aij là những số thực (hoặc phức),nói cách khác A ∈ Rm× n(hoặc A ∈ Cm× n ).Nếu tồn tại một ma trận B thỏa mãn : AB = BA = I (ma trận đơn vị) (3.21) Thì ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và ký hiệu là B = A-1. Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 7 Do phải tồn tại cả hai phép nhân AA-1 và A-1A cho ra kết quả có cùng kiểu nên ma trận A phải là một ma trận vuông,tức là phải có m = n.Hơn nữa do det(I) = 1 ≠ 0 nên: det(A)det(A-1) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0. (3.22) Vậy A phải là ma trận không suy biến. Ma trận nghịch đảo A-1 của A có tính chất sau: - Ma trận nghịch đảo A-1 của A là duy nhất (3.23) - Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với phép nhân ma trận tạo thành một nhóm (không giao hoán). (3.24) - Nghịch đảo ma trận kiểu (2×2): ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=− ac bd Adc ba A )det( 11 (3.25) - (AB)-1 = B-1A-1 (3.26) - (A-1)T = (AT)-1 (3.27) - Nếu A = diag(ai) và không suy biến thì A-1 = diag ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ia 1 (3.28) - A-1 = )det(A Aadj (3.29) trong đó Aadj là ma trận có các phần tử a ij = (-1)i+jdet(Aij) với Aij là ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ j và như cột thứ i. - Cho ma trận A ∈ Rn× n không suy biến . Nếu U ∈ Rn×m và V ∈ Rn×m là hai ma trận làm cho (I+VTA-1U) cũng không suy biến thì (A+UVT)-1 = A-1 – A-1U(I+VTA-1U)-1VTA-1 (3.30) - Cho ma trận vuông A = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 43 21 AA AA không suy biến,trong đó A1,A2,A3,A4 cũng là các ma trận. Nếu A1 không suy biến và B = A4 – A3A1-1A2 cũng không suy biến thì ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −+=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= −−− −−−−−−− − 11 13 1 1 2 1 1 1 13 1 21 11 1 1 43 211 BAAB BAAAABAAA AA AA A (3.31) PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 8 Nếu A4 không suy biến và C = A1 – A2A4-1A3 cũng không suy biến thì ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= −−−−−− −−−− − 1 32 1 3 1 4 1 4 1 3 1 4 1 42 111 43 211 AACAAAACAA AACC AA AA A (3.32) 3.1.3.5 Vết của ma trận: Cho ma trận vuông A=(aij) ,i,j=1,2,,n kiểu (nxn).Vết của A được hiểu là tổng giá trị các phần tử trên đường chéo chính của A và được ký hiệu bằng trace(A): trace=∑ = m i iia 1 (3.33) Vết của ma trận có các tính chất: a. trace(AB) = trace(BA) (3.34) b. trace(S-1AS) = trace(A) với S là ma trận không suy biến bất kì (3.35) 3.1.3.6 Giá trị riêng và vector riêng: Số thực λ được gọi là giá trị riêng và vector x được gọi là vector riêng bên phải ứng với giá trị riêng λ của A thỏa mãn: Ax = λ x ∀ x (3.36) ⇔ (A - λ I)x = 0 ∀ x (3.37) Giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có những tính chất sau: a. Hai ma trận tương đương A và S-1AS luôn cùng giá trị riêng, nói cách khác giá trị riêng của ma trận bất biến với phép biến đổi tương đương: det(A-λ I)=det(S-1AS-λ I) (3.38) b. Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, tức là: det(A-λ I)=det(AT-λ I) (3.39) c. Nếu A không suy biến thì AB và BA có cùng các giá trị riêng ,tức là: det(AB-λ I)=det(BA-λ I) (3.40) d. Nếu A là ma trận đối xứng (AT=A) thì các vector riêng ứng với những giá trị riêng khác nhau sẽ trực giao với nhau Trong Matlab ,sử dụng hàm eig(A) để tìm ma trận riêng và vector riêng. Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 9 3.1.3.7 Tính toán ma trận: Cho ma trận X = (xij) ∈ Cm× n là một ma trận thực (hoặc phức) và F(X) ∈ C là một vô hướng thực hoặc phức của X .Đạo hàm của F(X) đối với X được định nghĩa ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ∂ ∂=∂ ∂ )()( XF x XF X ij (3.41) Cho A và B là những ma trận phức với không gian tương thích .Một số công thức đạo hàm : ( ) ( ) ( ) 1 (3.42) ( ) (3.43) 2 ( ) (3.44) ( ) (3.45) ( ) (3.46) T T k k T T T T T T Trace AXB A B X Trace X k X X Trace XBX XB B B X X AX AX A X X Trace AX B BA X − ∂ =∂ ∂ =∂ ∂ = =∂ ∂ = +∂ ∂ =∂ 3.1.3.8 Chuẩn của ma trận: Người ta cần đến chuẩn của ma trận là nhằm phục vụ việc khảo sát tính giải tích của nó.Có nhiều chuẩn khác nhau cho một ma trận A=(aij) ,i=1,2,,m;j=1,2,,n. Những chuẩn thông thường được sử dụng: - Chuẩn 1 của ma trận A ∑ =≤≤ = m i ijnj aA 11 1 max (3.47) - Chuẩn 2 của ma trận A )(max * 12 AAA ini λ≤≤= (3.48) - Chuẩn vô cùng của ma trận A PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 10 ∑ =≤≤∞ = n j ijmi aA 11 max (3.49) - Chuẩn Euclide của ma trận A (chuẩn Frobenius) )( 2 AAtraceaA T i j ijF == ∑∑ (3.50) với *A là ma trận chuyển vị và lấy liên hiệp. )( * AAiλ là trị riêng của ma trận AA* là một số thực không âm. 3.1.4 Trị suy biến của ma trận – độ lợi chính(Principal gain) Trị suy biến của ma trận A(m x l) được ký hiệu là )(Aiσ được định nghĩa như sau: kiAAA ii ,...2,1)()( * == λσ (3.51) với },min{ lmk = . Nếu chúng ta biểu diễn ma trận A dưới dạng A(s) và đặt ωjs = )0( ∞<≤ω , thì trị suy biến của )( ωjA là một hàm của ω và được gọi là độ lợi chính của A(s). Ở đây chúng ta giả sử rằng iσ được sắp xếp theo thứ tự sao cho 1+≥ ii σσ . Như vậy, 1σ là trị suy biến lớn nhất và kσ là trị suy biến nhỏ nhất. Ký hiệu σ là trị suy biến lớn nhất và σ là trị suy biến nhỏ nhất. Ta có: )(max)(max)( * AAAA ii λσσ == 2 A= (3.52) với 2 2 2 sup x Ax A = . Độ lợi của hệ đa biến nằm giữa độ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất. Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A) Ví dụ: Cho ma trận A: Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 11 >> A = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 7 8 4 2 6 9 ; >> S =svd(A) S = [14.9359 5.1883] S: vector của các giá trị suy biến của ma trận A )(Aσ =14.9359 σ (A)=5.1883 3.1.5 Ổn định nội Ổn định nội là yêu cầu cơ bản đối với một hệ thống hồi tiếp thực. Ý nghĩa của ổn định nội là khi đầu vào hệ thống bằng không thì tất cả các trạng thái hệ thống đều phải về không từ mọi giá trị ban đầu. Mọi hệ thống tự động đều phải bảo đảm ổn định nội mới hoạt động được. Hình 3.2 : Sơ đồ hệ thống dùng để phân tích ổn định nội Định nghĩa : Hệ hồi tiếp hình 3.2 được gọi là ổn định nội nếu tất cả các hàm truyền đạt từ w1, w2 đến e1, e2 đều ổn định. G K w1 e1 e2 w2 + + + + PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 12 Điều kiện ổn định nội chặt hơn điều kiện ổn định dựa trên hàm truyền vào- ra thông thường, vì nó tránh việc khử các cực và zero không ổn định giữa các khâu liên tiếp nhau. Khi thành lập hàm truyền vào-ra, có thể xảy ra hiện tượng khử cực và zero không ổn định của các khâu liên tiếp nhau. Như vậy, điều kiện ổn định nội bảo đảm các tín hiệu bên trong hệ thống đều hữu hạn khi tín hiệu vào là hữu hạn. Ví dụ, ta khảo sát điều kiện ổn định nội của hệ thống hình 3.2: 2 1 1 1 2 212122 2 1 1 1 1 121211 )()( )()( wGKIGwGKIe GKeGwwGewe KwKGIwKGIe KGeKwwKewe −− −− −+−=⇒ ++=+= −+−=⇒ ++=+= Suy ra: 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) e w e w − − − − ⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ I KG I KG K I GK G I GK Điều kiện ổn định nội của hệ là các hàm truyền 1( )−−I KG , 1( )−−I KG K , 1( )−−I GK G , 1( )−−I GK đều ổn định. 3.1.6 Định lý độ lợi nhỏ (Small Gain Theorem) Cho hệ thống được biểu diễn như hình 3.3: Gọi λi là trị riêng của G Hình 3.3 : Hệ thống hồi tiếp vòng kín Định lý độ lợi nhỏ được phát biểu như sau: Giả thiết rằng G(s) ổn định, ρ(G(jω)) là bán kính phổ của G(jω). Hệ thống vòng kín ổn định nếu ( ) 1max))(( <= ijG λωρ , hoặc ωω ∀< ,1)( jG Gr y - u Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 13 Đối với hệ SISO thì 1)())(( <= ωωρ jGjG (3.53) Định lý độ lợi nhỏ chỉ là điều kiện đủ để xét ổn định của hệ thống. Điểm mạnh của định lí này là nó không yêu cầu những thông tin chi tiết về hệ thống.Vì vậy nó không chỉ ứng dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian mà còn ứng dụng được cho hệ thống phi tuyến, thay đổi theo thời gian. 3.1.7 Ổn định bền vững 3.1.7.1 Định lý ổn định bền vững Đây là mô hình cơ bản dùng để phân tích tính ổn định bền vững của một hệ thống. Nếu hệ danh định ổn định thì M ổn định và Δ là sai số có thể làm cho hệ thống mất ổn định. Định lý sau thiết lập điều kiện của M để cho hệ thống vẫn ổn định dưới ảnh hưởng của Δ Hình 3.4 : Sơ đồ cấu trúc phân tích ổn định bền vững Định lý ổn định bền vững: Giả sử M và Δ ổn định, hệ thống vòng kín hình 3.4 sẽ ổn định khi và chỉ khi biểu đồ cực của đường cong Nyquist det(I-MΔ) không bao điểm gốc. Khi đó hệ thống vòng kín sẽ ổn định bền vững với mọi Δ )1)(( ≤Δσ nếu và chỉ nếu khi một trong các điều kiện sau thỏa mãn: a. )1(,0))(( ≤Δ∀∀≠Δ− σωωjMIDet (3.54) b. )1(,1))(( ≤Δ∀∀<Δ σωωρ jM (3.55) c. ωωσ ∀<=∞ 1))(( jMM (3.56) v M Δ w PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 14 3.1.7.2 Điều kiện ổn định bền vững đối với sai số cộng: Với ωωσδ ∀≤ΔΔ=Δ 1))((),()()( jsss AA , (3.57) Hình 3.5 : Sai số cộng Ta có: ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]Av s K s s w s G s v sδ= − + (3.58) hay 1( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )Av s I K s G s K s s w sδ−= − + (3.59) vậy )]()([ )()()( sGsKI ssKsM A+−= δ (3.60) Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 3.5 ổn định bền vững khi và chỉ khi: )( ωσ j =||M(s)||∞= 1)]()([ )()( <+ ∞sGsKI ssK Aδ (3.61) K v - G + Δ Aδ w M Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 15 3.1.7.3 Điều kiện ổn định bền vững đối với sai số nhân ở đầu ra Hình 3.6 : Sai số nhân ở đầu ra Với ωωσδ ∀≤ΔΔ=Δ 1))((),()()( jsss OO , (3.62) Ta có: ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]Ov s G s K s s w s v sδ= − + (3.63) hay 1( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )Ov s I G s K s G s K s s w sδ−= − + (3.64) vậy )()( )()()( sKsGI ssKsGM O+−= δ (3.65) Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 3.6 ổn định bền vững khi và chỉ khi: 1 )()( )()()( <+ ∞sKsGI ssKsG Oδ (3.66) K v - G + Δ 0δ w M PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 16 3.2 Phương pháp LQG (Linear Quadratic Gaussian) 3.2.1 Đặt vấn đề Cho hệ thống Rt tDxtz tvtCxty twtButAxtx ∈ = += ++= )()( )()()( )()()()( γ? (3.67) Ngõ ra y là ngõ ra hồi tiếp và đo được. Ngõ ra z là điều khiển được. Tín hiệu nhiễu w là nhiễu hệ thống và v là nhiễu đo . Tín hiệu v và w là những quá trình nhiễu trắng .Trạng thái ban đầu của x(0) được giả sử là một vector ngẫu nhiên . Nhiều sự giả sử khác nhau định nghĩa trạng thái x(t) t∈R và ngõ ra điều khiển được z(t),t∈R là những quá trình ngẫu nhiên .Biểu thức sai số toàn phương : 0)()()()( ≥+ ttRututQztz TT (3.68) là một quá trình ngẫu nhiên. Vấn đề của điều khiển hệ thống là giá trị mong đợi của tích phân : dttRututQztzE T TT ])()()()([ 0 ∫ + (3.69) là nhỏ. Đây là vấn đề điều khiển tuyến tính nhiễu loạn. Khoảng thời gian [0 T] là xác định nhưng thật sự chúng ta xem xét trường hợp T ∞→ . Tại bất kỳ thời gian t toàn bộ tín hiệu đo được ở quá khứ y(s) s t≤ được giả sử có giá trị cho hồi tiếp. Hình (3.7) làm rõ trường hợp này : Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 17 Hình 3.7 : Hồi tiếp LQG 3.2.2 Bộ quan sát Xem xét hệ thống quan sát : Rt tCxty tButAxtx ∈ = += )()( )()()(? (3.70) Đây là hệ thống (3.67) nhưng không có nhiễu hệ thống w và nhiễu đo v. Trạng thái x của hệ thống (3.70) không thể sử dụng được trực tiếp bởi vì chỉ ngõ ra y là đo được. Xây dựng lại trạng thái với sự chính xác tùy ý bởi việc kết nối một bộ quan sát : RttxCtyLtButxAtx ∈−++= )](ˆ)([)()(ˆ)(?ˆ (3.71) Tín hiệu )(ˆ tx là một ước lượng của trạng thái x(t).Nó thỏa mãn phương trình vi phân trạng thái của hệ thống (3.70) với thành phần thêm vào L )](ˆ)([ txCty − .L là ma trận độ lợi quan sát cần được lựa chọn phù hợp. Sai số quan sát y(t) )(ˆ txC− là sự khác nhau giữa ngõ ra đo được thực tế y(t) và ngõ ra )(ˆ)(ˆ txCty = .Thành phần thêm vào L )](ˆ)([ txCty − cung cấp một sự điều chỉnh chủ động ngay khi sai số của sự quan sát là khác 0. SYSTEM CONTROLLER w v u + + y z PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 18 Hình 3.8 : Cấu trúc của một bộ quan sát Hình (3.8) cho thấy cấu trúc của bộ quan sát .Định nghĩa : )(ˆ)()(~ txtxtx −= (3.72) là sai số ước lượng trạng thái. Phương trình vi phân của x~ nhận được sau khi trừ (3.70) cho (3.71) : RttxLCAtx ∈−= )(~)()(~? (3.73) Nếu hệ thống (3.70) được tìm thấy thì tồn tại ma trận độ lợi L mà sai số hệ thống (3.73) là ổn định. Nếu sai số hệ thống là ổn định thì ∞→→ tkhitx 0)(~ cho bất kỳ sai số x~ (0). Vì vậy )()(ˆ txtx t ⎯→⎯ ∞→ (3.74) Trạng thái ước lượng hội tụ về trạng thái thực. Trong Matlab dùng hai lệnh acker và place để tính ma trận L của khâu quan sát trạng thái : L= acker(A’,C’,p) L= place(A’,C’,p) A’ : Chuyển vị của ma trận A C’ : Chuyển vị của ma trận C p : Khai báo các điểm cực mong muốn SYSTEM SYSTEM MODEL L yˆ y z xˆ u + - Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 19 3.2.3 Bộ lọc Kalman 3.2.3.1 Đặt vấn đề: Bộ lọc Kalman là một bộ quan sát được sử dụng cho các ứng dụng yêu cầu xây dựng lại hệ phương trình trạng thái khi tính đến ảnh hưởng của nhiễu đo được. Phương trình trạng thái của đối tượng : x? =Ax+Bu+γ w (3.75) y=Cx+v (3.76) với trạng thái x(t)∈R n ,ngõ vào điều khiển u(t)∈R m , và ngõ ra đo lường y(t)∈R p .Tín hiệu w(t) là nhiễu quá trình chưa biết trước tác động làm nhiễu hệ thống.Tín hiệu v(t) là một nhiễu đo không xác định được , làm suy giảm việc đo lường chẳng hạn như nhiễu cảm biến.Giá trị ban đầu x(0), nhiễu w(t) hoặc v(t) không biết được chính xác.Giả sử x(0), w(t) và v(t) đều trực giao qua lại với nhau. Hình 3.9 : Bộ quan sát trạng thái của Kalman yˆ B ∫ L γ C C A B A ∫ y y~ xˆ - x x? x?ˆ w(t) v(t) u Hệ thống Bộ lọc Kalman PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 20 Gọi )(ˆ tx là ước lượng của x . Phương trình trạng thái của khâu lọc Kalman : ˆ ˆ ˆ( ) ˆ ˆ x Ax Bu L y y y Cx = + + − = ? (3.77) Mục tiêu của thiết kế bộ lọc Kalman : Tìm độ lợi ước lượng L để có sự ước lượng tối ưu trong sự hiện diện của nhiễu w(t) và v(t) Sai số ước lượng: )(ˆ)()(~ txtxtx −= (3.78) Độ lợi L sẽ được chọn sao cho giá trị trung bình của sai số ước lượng toàn phương là bé nhất . 3.2.3.2 Cơ sở toán học: Lý thuyết xác suất: Từ phương trình (3.75) được thêm vào bởi nhiễu quá trình, trạng thái x(t) bây giờ cũng là một quá trình ngẫu nhiên như là y(t). Để khảo sát những đặc tính thông thường của quá trình ngẫu nhiên cần nhắc lại một số khái niệm lý thuyết xác suất (Papoulis 1984). Mặc dù w(t) và v(t) là những đại lượng ngẫu nhiên không biết được, nhưng cần biết một vài đặc điểm để hổ trợ việc thiết kế các bộ điều khiển. Chẳng hạn như có thể biết được giá trị trung bình hoặc tổng năng lượng của chúng. Cho vector ngẫu nhiên z∈R n ,f z (ξ ) là hàm mật độ xác suất (PDF) của z. Đại lượng PDF đặc trưng cho xác suất mà z lấy giá trị bên trong vùng vi phân dξ đặt giữa ξ . Giá trị mong muốn của hàm g(z) của vector ngẫu nhiên được xác định như sau : E{ })(zg = ∫∞ ∞− )(ξg ƒ(ξ )dξ (3.79) Giá trị trung bình hay mong muốn của z được xác định như sau: E{z}= ∫ ∞ ∞− ξ ƒ z (ξ )dξ (3.80) được ký hiệu bằng z . Chú ý rằng z ∈R n . Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 21 Hiệp phương sai của z được cho bởi P z =E{ }Tzzzz ))(( −− (3.81) Chú ý rằng P z là ma trận hằng n×n Phần quan trọng của vector ngẩu nhiên được đặc trưng bởi Gaussian hoặc nomal PDF ƒ z (ξ )= ||)2( 1 z n P∏ e 2/)(2/)( 1 −−− −−− zPz T ξξ (3.82) Trong trường hợp vô hướng 1n = , (3.82) trở thành: zPz z z eP f 2/)( 2 2 1)( −−Π= ξξ (3.83) được minh họa ở hình 3.10 .Vì vậy những vector ngẫu nhiên lấy giá trị gần với z có xác suất lớn nhất và xác suất sẽ giảm khi lấy giá trị xa z .Nhiều biến ngẫu nhiên là Gaussian. Nếu vector ngẫu nhiên là một hàm của thời gian được gọi là một quá trình ngẫu nhiên được tượng trưng là z(t). Khi đó PDF có thể thay đổi theo thời gian và chúng ta viết là ƒ z (ξ ,t). Điều đó có thể tưởng tượng rằng PDF ở hình 3.10 thay đổi theo thời gian. Trong tình huống này, giá trị mong đợi và ma trận hiệp phương sai là những hàm thời gian vì thế chúng có thể biểu hiện z (t) và P z (t). Hình 3.10 : Gaussian PDF PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 22 Nhiều quá trình ngẫu nhiên z(t) quan trọng là có PDF bất biến theo thời gian Đó là những quá trình tĩnh, thậm chí chúng là hàm thời gian ngẫu nhiên chúng vẫn có trị trung bình và hiệp phương sai là hằng số. Đặc trưng cho liên hệ giữa hai quá trình ngẫu nhiên z(t) và x(t), có thể sử dụng PDF kết hợp ƒ zx ( )21 ,,, ttξς , tượng trưng cho xác xuất mà (z(t1), x(t2)) ở trong vùng vi phân dς × dξ ở giữa ( ξς , ). Giả sử rằng các quá trình z(t) và x(t) là liên kết tĩnh , PDF kết hợp không là hàm của cả hai thời gian t 1 và t 2 nhưng nó chỉ dựa vào sai biệt (t 1 - 2t ). Trong nhiều trường hợp tĩnh, giá trị mong muốn của hàm hai biến g(z,x) được xác định bởi: E{ ))(),(( 21 txtzg }= ∫ +∞ ∞− g( ξς , )ƒ zx ( ξς , ,t 1 - t 2 )dς dξ (3.84) Ma trận tương quan chéo được xác định bởi R zx (τ )=E{ })()( txtz Tτ+ (3.85) Do đó, ma trận tương quan chéo của hai quá trình không tĩnh mà được xác định bởi R zx (t,τ )=E{ })()( τTxtz (3.86) Xem như z(t 1 ) và z(t 2 ) như là hai quá trình ngẫu nhiên của quá trình tĩnh, hàm tự tương quan z(t) được xác định như sau: R z (τ )=E{ })()( tztz Tτ+ (3.87) Hàm tự tương quan đem đến cho ta vài thông tin quan trọng về quá trình ngẫu nhiên z(t). Thí dụ như : trace [ ])0(zR =trace { }[ ])()( tztzE T =E{ })(tz (3.88) tương đương với tổng năng lượng của quá trình z(t). Nếu 0)( =τzxR (3.89) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 23 z(t) và x(t) dược gọi là trực giao với nhau. Nếu R z (τ )=P )(τδ (3.90) trong đó P là ma trận hằng và δ (t) là xung Dirac. z(t) là trực giao với z(t +τ ) với các giá trị τ ≠ 0. Điều này có nghĩa là giá trị của quá trình z(t) tại thời điểm t không có sự liên hệ với giá trị tại các thời điểm ≠τ t.Vì vậy z(t) là một nhiễu trắng .Ví dụ như nhiễu nhiệt ở mạch điện nguyên nhân vì sự chuyển động nhiệt ở các electron ở điện trở . Chú ý rằng Pδ(0) là hiệp phương sai của z(t). P được gọi là ma trận mật độ phổ.Thỉnh thoảng nó cũng được xem như là ma trận hiệp phương sai 3.2.2.3 Thiết kế bộ lọc Kalman: Giả sử x(0) có thể được thay thế bằng các đại lượng biết trước x (giá trị trung bình của x(0)) và hiệp phương sai P 0 ) , có thể biểu diễn nó như sau : x (0)≈ (x 0 ,P 0 ) (3.91) giả sử w(t) và v(t) có trị trung bình bằng 0 và giả sử rằng nhiễu quá trình và nhiễu đo là nhiễu trắng quá trình để: R w (τ )=E{ } )()()( τδτ Wtwtw T =+ (3.92) R v (τ )=E{ } )()()( τδτ Vtvtv T =+ (3.93) Ma trân mật độ phổ W và V sẽ giả sử đã biết trước.Theo tính chất của hàm tự tương quan, W và V là bán xác định dương. Giả sử thêm rằng V là không suy biến.Tóm lại, có thể giả sử rằng : w(t) ≈ (0,W), W≥0 (3.94) v(t) ≈ (0,V), V>0 (3.95) Việc giả sử w(t) và v(t) là nhiễu trắng có thể là xấu trong một vài ứng dụng.Thí dụ như nhiễu ở tần số thấp. Tuy nhiên, giả sử rằng w(t) không là nhiễu trắng, có thể xác định được một hệ thống: PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 24 . 0x? =A w x w +B w n (3.96) w=C ww x +D nw (3.97) có nhiễu trắng ngõ vào là n(t) và ngõ ra là w(t). Chúng được gọi là các bộ lọc nắn nhiễu . Những đặc tính động này có thể kết hợp với phương trình của đối tượng (3.75), (3.76) để có được đặc tính động được hiệu chỉnh như sau. n B D u B x x A CA x x w w ww w w ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ γγ 00? ? (3.98) y= [ ] vxxC w +⎥⎦⎤⎢⎣⎡0 (3.99) Đặc tính động có nhiễu trắng quá trình n(t). Một thủ tục tương tự có thể làm theo các bước như thế nếu v(t) không phải là nhiễu trắng. Do đó, có thể mô tả một hệ thống không có nhiễu trắng dưới dạng một hệ thống điều chỉnh với nhiễu trắng và nhiễu đo lường . Xác định hệ thống (3.96), (3.97) miêu tả nhiễu không phải là nhiễu trắng w(t) (hoặc v(t)) dựa trên phân tích mật độ phổ của nhiễu w(t). Chi tiết xem Lewis (1986 ) Bây giờ thiết kế bộ ước lượng cho hệ thống (3.75), (3.76) dưới những giả sử đã được liệt kê. Cho bộ quan sát có dạng như sau: )ˆ(ˆˆ yyLBuxAx −++=? (3.100) hoặc LyBuxLCAx ++−= ˆ)(?ˆ (3.101) Hàm thời gian xˆ (t) là ước lượng trạng thái và yˆ = E{ }=+ vCx C xˆ (3.102) là ước lượng của ngõ ra y(t). Độ lợi của bộ ước lượng L phải được chọn để cung cấp ước lượng tối ưu trong sự hiện diện của nhiễu w(t) và v(t). Để chọn L, chúng ta sẽ phải xác định sai số ước lượng: x~ (t)=x(t)- xˆ (t) (3.103) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 25 Sử dụng( 3.75) và (3.100) sai số hệ thống là : x?~ =(A-LC) x~ + γ w-Lv ≡A 0 x~ +γ w-Lv (3.104) chú ý rằng sai số hệ thống xảy ra khi có sự tham gia của nhiễu quá trình và nhiễu đo lường . Ngõ ra của sai số hệ thống có thể được cho bởi ỹ=y- yˆ để: ỹ=C x~ (3.105) Hiệp phương sai của sai số được cho bởi: P(t)=E{ }Txx~~ (3.106) thay đổi theo thời gian. Do đó, x~ (t) là quá trình ngẫu nhiên không tĩnh. Hiệp phương sai của sai số là thước đo sự không chắc chắn trong ước lượng. Những giá trị càng nhỏ cho P(t) đồng nghĩa với việc ước luợng càng tốt hơn vì những sai số được phân bố càng gần với trị trung bình bằng 0 nếu P(t) là nhỏ hơn. Nếu bộ quan sát là ổn định tiệm cận và w(t) và v(t) là quá trình tĩnh khi đó sai số x~ (t) sẽ thực sự tiến đến trạng thái ổn định với trị trung bình và hiệp phương sai là hằng số. Độ lợi L sẽ được chọn lựa để làm tối thiểu hiệp phương sai cũa sai số P. Vì vậy, độ lợi tối ưu L sẽ là ma trận hằng của độ lợi bộ quan sát Trước khi xác định độ lợi tối ưu L, chúng ta sẽ tính toán giá trị trung bình và hiệp phương sai của sai số ước lượng của x~ (t). Sử dụng (3.104) và sự tuyến tính của phép toán mong muốn: E{ } { } { } { }vLEwExEAx −+= γ~~ 0? (3.107) Vì thế dt d E{ }x~ =A { }xE ~0 (3.108) Do đó, E{ }x~ là lượng biến đổi theo thời gian tuân theo phương trình vi phân với ma trận hệ thống A 0 .Nếu A 0 =A-LC là ổn định thì E{ }x~ luôn bền vững tại giá tri tĩnh zero. Khi đó { } { } { } { } xxExExExE ˆˆ~ −=−= (3.109) Theo trừơng hợp này ước lượng xˆ (t) tiến tới E{x(t)} .Như vậy ước lượng này được cho là không lệch. Cũng như theo (3.109), giá trị trung bình của PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 26 sai số ban đầu x~ (0) bằng với giá trị zero nếu như bộ quan sát (3.101) có giá trị đầu xˆ (0)= 0x với 0x là giá trị trung bình của x(0) Nếu như nhiễu quá trình w(t) hoặc nhiễu đo được v(t) có giá trị trung bình không phải là zero thì theo (3.107) giá trị E{ }x~ của trạng thái tĩnh cũng không bằng zero. Trong trường hợp này xˆ (t) không đến được ổn định tiệm cận để đạt được trạng thái thật x(t), nhưng có được một khoảng offset bằng giá trị hằng- E{ }x~ . Khi đó trạng thái ước lượng là bị lệch. Để xác định P, chú ý rằng lời giải phương trình (3.104) được cho : x(t)=e JA0 x(0)- 0 ( ) 0 ( ) t A te Lv dτ τ τ−∫ + 0 ( ) 0 ( ) t A te w dτ γ τ τ−∫ (3.110) Tìm ma trận tương quan chéo R xv~ (t,t) và R xw~ (t,t) sử dụng (3.110) và giả sử rằng x(0) (và cả x~ (0) ,w(t) và v(t) là trực giao).Do đó R xv~ (t,t)=E{ })(~)( txtv T =- { } ττ τ deLvtvE tATt T T )(0 0)()( −∫ (3.111) Chú ý rằng R v (t, )τ =V )( τδ −t (3.112) Nhưng tích phân (3.111) có giá trị giới hạn trên là t. Xung đơn vị có thể được biểu hiện như sau )(1lim)( 0 T t T t T Π= →δ (3.113) ở đây hàm xung vuông: =Π )(1 T t T 1 , 2 0 , 2 Tt Tt ⎧ <⎪⎪⎨⎪ ≥⎪⎩ (3.114) được đặt tại trung tâm t = 0. Vì vậy, ta chỉ xét một nửa vùng )( τδ −t tại bên tráiτ =t. Do đó từ (3.111) được suy ra: R Txv VLtt 2 1),(~ −= (3.115) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 27 Tương tự, { })(~)(),(~ txtwEttR Txw = = { } τγτ τ dewtwE tATt T T )( 0 0)()( −∫ hoặc ),(~ ttR xw = TWγ 2 1 (3.116) Phương trình đạo hàm cho P(t)=E{ }Txx~~ P? (t)=E ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ dt xdxEx dt xd TT ~~~~ (3.117) Theo (3.104) , (3.115) và (3.116) ta có : E TTT WLVLPLCAx dt xd γγ 2 1 2 1)(~ ~ ++−=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ (3.118) E 1 1( ) 2 2 T T T Tdxx P A LC LVL W dt γ γ⎧ ⎫ = − + +⎨ ⎬⎩ ⎭ ?? (3.119) Từ (3.118) và (3.119) 2 TTT WLVLPAPAP γγ+++= 00? (3.120) Cho bất kì L để (A-LC) là ổn định ,chúng ta giải (3.120) tìm P(t) sử dụng điều kiện đầu là 0)0( PP = với 0P là hiệp phương sai của trạng thái đầu mà nó tượng trưng cho tính không chắc chắn trong ước lượng đầu 0)0(ˆ xx = Thực sự những độ lợi cho kết quả P(t) càng nhỏ thì càng tốt vì sai số x~ (t) càng gần với trị trung bình bằng 0.Do đó P(t) là thước đo chất lượng của bộ quan sát ,và ma trận hiệp phương sai càng nhỏ thì bộ quan sát càng tốt hơn Chúng ta nói rằng P là thước đo sự không chắc chắn trong ước lượng . P(t) tiến tới giá trị trạng thái bền vững P khi ∞→t ngay khi 0A là ổn định tiệm cận.Tại trạng thái bền vững thì 0=P? , (3.121) trở thành phương trình đại số 0= TTT WLVLPAPA γγ+++ 00 (3.121) PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 28 Hiệp phương sai của sai số trạng thái bền vững là ma trận bán xác định dương được xác định từ (3.121). Để lấy độ lợi của bộ quan sát là hằng số, có thể chọn lựa L để làm tối thiểu hoá hiệp phương sai của sai số P trạng thái bền vững. Ta có chỉ tiêu chất lượng (PI) J= )( 2 1 Ptrace (3.122) Do đó nếu P nhỏ thì J sẽ nhỏ. Để chọn L sao cho J đạt được tối thiểu phải thỏa mãn phương trình (3.121), xác định phương trình Hamiltonian H= )( 2 1)( 2 1 gStracePtrace + (3.123) Trong đó g =A 0 P+PA T 0 +LVL T +γ Wγ T (3.124) Và S là ma trận n×n thừa số Lagrange không xác định Để làm tối thiểu hoá J và thoả mãn g=0, điều này có thể làm tương đương là tối thiểu H nhưng không cần điều kiện nào. Điều kiện cần thiết để tối thiểu hóa được cho bởi 000 =+++=∂ ∂ TTT WLVLPAPA S H γγ (3.125) 000 =++=∂ ∂ ISASA P H T (3.126) 0 2 1 =−=∂ ∂ TSPCSLV P H (3.127) Nếu A 0 =A-LC là ổn định và S là xác định dương .Theo (3.127) L=PC T V-1 (3.128) Thay thế giá trị L vào phương trình (3.125) TTTTT WCPVPCCVPCAPPCVPCA γγ++−+− −−− 111 )()( =0 (3.129) hoặc Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 29 AP+PA T +γ Wγ T -PC T V CP1− = 0 (3.130) Để xác định độ lợi bộ quan sát tối ưu L, chúng ta có thể giải phương trình (3.130) tìm hiệp phương sai của sai số P và sau đó sử dụng (3.128) để tính toán L. Phương trình ma trận toàn phương (3.130) được gọi là phương trình Riccati đại số. Có nhiều cách giải (3.130) để tìm P.Độ lợi tối ưu L xác định nhờ sử dụng (3.128) gọi là độ lợi Kalman và bộ quan sát được xây dựng gọi là bộ lọc Kalman .Trạng thái bền vững ở đây chỉ đến một sự thật rằng mặc dù độ lợi tối uu làm tối thiểu hoá P(t) là biến đổi theo thời gian, chúng ta đã chọn lựa độ lợi tối ưu mà nó làm tổi thiểu sai số tương quan trạng thái bền vững để đạt được độ lợi quan sát là hằng số Bộ lọc Kalman với trạng thái bền vững là bộ ước lượng tốt nhất với các độ lợi là hằng số. Nếu như nhiễu quá trình w(t) và nhiễu đo được v(t) là nhiễu Gaussian nó cũng là bộ ước luợng trạng thái bền vững tối ưu cho bất kì hình thức nào. Ước lượng ngõ ra: )(ˆ)()(ˆ)()(~ txCtytytyty −=−= (3.131) Giả sử (C,A) là có thể quan sát được và (A,γ W ) là có thể tìm được .Khi đó ARE tìm được ma trận xác định dương duy nhất P .Hơn nữa,sai số hệ thống (3.104) sử dụng độ lợi kalman cho bởi (3.128) với P là ma trận xác định dương duy nhất của ARE là ổn định tiệm cận. Một cách chắc rằng nhiễu hệ thống sẽ giảm.Tuy nhiên vị trí thực sự rất xa vời so với thực tế. Tóm lại ,từ mô hình hệ thống: BuAxx +=? (3.132) y=Cx (3.133) x(0)~(x 0 ,P 0 ) , w(t) ~(0,W), v(t) ~(0,V) w(t) và v(t) là nhiễu trắng quá trình trực giao với nhau và với x(0) Giá trị đầu xˆ (0)= 0x (3.134) Phương trình ARE của hiệp phương sai sai số PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 30 AP +PA 01 =−+ − CPVPCW TTT γγ (3.135) Độ lợi Kalman L=PC 1−VT (3.136) Đặc tính động học ước lượng: )ˆ(ˆˆ xCyLBuxAx −++=? (3.137) Bộ lọc Kalman rất cần thiết giả sử rằng V>0 khi đó nhiễu đo sẽ làm sai lệch tất cả tín hiệu đo. Nếu có một vài tín hiệu nhiễu tự do và bộ lọc phức tạp được biết đến như bộ lọc Deyst được sử dụng để giải quyết vấn đề này.Hơn nữa giả sử rằng (A, γ )W tìm được có nghĩa là nhiễu quá trình kích thích tất cả các trạng thái Trong matlab sử dụng lệnh Kalman tính khâu lọc kalman liên tục từ mô hình sys của đối tượng: [kest,L,P] = kalman(sys,W,V[,N,sensor,known]) W,V là các ma trận hiệp phương sai mô tả đặc điểm nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường. N :mặc định bằng 0 Hai vector sensor,known :chứa chỉ số của các biến ra đo được và các đầu vào ta biết. Kết quả tính kest :chính là mô hình trạng thái của khâu lọc Kalman Ma trận L :ma trận bộ lọc Kalman phản hồi sai lệch quan sát. P :là ma trận hiệp phương sai của sai lệch tĩnh 3.2.3 Giải thuật thiết kế LQG Bộ điều chỉnh toàn phương tuyến tính (LQR) và bộ lọc Kalman được sử dụng với nhau để thiết kế bộ điều chỉnh động. Thủ tục này được gọi là thiết kế bộ tuyến tính toàn phương Gaussian (LQG). Điều thuận lợi quan trọng của việc thiết kế LQG là cấu trúc của bộ điều khiển được cho bởi thủ tục. Điều này làm cho các bộ LQG được thiết kế rất có ích cho việc điều khiển các hệ thống hiện đại (ví dụ như điều khiển không gian và hàng không ) khi cấu trúc bộ điều khiển không biết trước được. Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 31 Giả sử phương trình đo lường ngõ ra được cho bởi wBuAxx γ++=? (3.138) y=Cx+v (3.139) với x(t)∈R , u(t) là bộ điều khiển ngõ vào, w(t) là nhiễu quá trình, và v(t) là nhiễu đo. Giả sử phương trình hồi tiếp trạng thái đầy đủ u=-Kx+r (3.140) đã được thiết kế, với r(t) là ngõ vào .Độ lợi trạng thái hồi tiếp là K được chọn bởi một số kỹ thuật chẳng hạn như kỹ thuật LQR .Nếu phương trình điều khiển (3.140) được thay vào (3.138) thì hệ thống điều khiển vòng kín được tìm thấy như sau: wBrxBKAx γ++−= )(? (3.141) Thiết kế hồi tiếp trạng thái đầy đủ rất được quan tâm nếu các điều kiện được giử thì hệ thống vòng kín đảm bảo ổn định.Hơn nữa,sử dụng hồi tiếp trạng thái tất cả các nghiệm cực của phương trình (A-BK) có thể đặt tuỳ ý như mong muốn .Kết quả các phương trình thiết kế của hồi tiếp trạng thái đơn giản hơn phương trình cho hồi tiếp ngõ ra . Tuy nhiên luật điều khiển (3.138) không thể thực hiện khi tất cả các trạng thái không thể đo được. Bây giờ bộ quan sát hoặc bộ lọc Kalman LyBuxLCAx ++−= ˆ)(ˆ (3.142) đã được thiết kế. Đó là độ lợi L của bộ lọc được tìm ra bằng những kĩ thuật đã thảo luận cung cấp ước lượng trạng thái.Khi đó tất cả các trạng thái không thể đo và điều khiển (3.138) không thể thực hiện trong thực tế, giả sử rằng ước lượng hồi tiếp )(ˆ tx thay thế các trạng thái thực x(t) luật điều khiển hồi tiếp là u = -K xˆ +r (3.143) Nếu K được chọn sử dụng phương trình Riccati LQR và L được chọn bởi sử dụng phưong trình Ricati của bộ lọc Kalman.Điều này được gọi là thiết kế LQG Điều quan trọng của các kết quả này là trạng thái hồi tiếp của K và độ lợi của bộ quan sát L có thể được thiết kế riêng rẽ. PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 32 3.2.4 Ví dụ: Mô hình con lắc ngược: Xét hệ thống con lắc ngược như hình sau.Con lắc ngược được gắn vào xe kéo bởi động cơ điện.Chúng ta chỉ xét bài toán hai chiều,nghĩa là con lắc chỉ di chuyển trong mặt phẳng.Con lắc ngược không ổn định vì nó luôn ngã xuống trừ khi có lực tác động thích hợp.Giả sử khối lượng con lắc tập trung ở đầu thanh như hình vẽ (khối lượng thanh không đáng kể).Lực điều khiển u tác động vào xe.Yêu cầu của bài toán là điều khiển vị trí của xe và giữ cho con lắc ngược luôn thẳng đứng. Bài toán điều khiển hệ con lắc ngược chính là mô hình của bài toán điều khiển định hướng tàu vũ trụ khi được phóng vào không gian. lsinθx θ u mg m lc os θ l M y x Hình 3.11: Mô hình con lắc ngược Chú thích : M: trọng lượng xe (Kg) l: chiều dài con lắc ngược (m) g: Gia tốc trọng trường (m/s2) θ : Góc giữa con lắc ngược và phương thẳng đứng (rad) m: Trọng lượng con lắc ngược(Kg) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 33 u: lực tác động vào xe (N) x: vị trí xe (m) Trước tiên ta hãy xây dựng mô hình toán học của hệ con lắc ngược Gọi (xG,yG) là toạ độ của vật nặng ở đầu con lắc,ta có: .sin .cos G G x x l y l θ θ = + = Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động theo phương x,ta có: u dt xdm dt xdM G =+ 2 2 2 2 Thay xG ở biểu thức trên ta có: ulx dt dm dt xdM =++ )sin(2 2 2 2 θ Khai triển các đạo hàm,rút gọn ta được: umlmlxmM =+−+ ••••• θθθθ )(cos)(sin)( 2 Mặt khác, áp dụng định luật II Newton cho chuyển động quay của con lắc quanh trục ta được: θθθ sin)sin(cos. 2 2 2 2 mgll dt ydml dt xdm GG =− Thay vào ta có: θθθθθ sinsincoscos)sin( 2 2 2 2 mglll dt dmllx dt dm =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + Khia triển các đạo hàm ở biểu thức trên và rút gọn ta được: lmMml mlgmMu mmM mgmlux mglmlxm )()(cos )sin(cos)(sin)(cos )(cos sincos)(sin sincos 2 2 2 +− ++−= −− −+=⇒ =+ • •• • •• •••• θ θθθθθθ θ θθθθ θθθ Chúng ta sẽ viết chương trình mô phỏng đặc tính động của đối tượng Chúng ta thấy rằng hệ con lắc ngược là hệ phi tuyến , để có thể điều khiển hệ con lắc ngược bằng phương pháp LQG chúng ta cần mô hình tuyến PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 34 tính.Giả sử góc θ nhỏ để chúng ta có thể xấp xỉ sinθ bằng 0,cosθ bằng 1 và cũng giả sử θ nhỏ để 0 2 ≈•θθ .Với các điều kiện trên,chúng ta có thể tuyến tình hoá các phương trình phi tuyến: θθ θ mgmlxm umlxmM =+ =++ •••• •••• )( Đặt các biến trạng thái: ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = • • xx xx x x 4 3 2 1 θ θ (3.144) Kết hợp với hai phương trình trên ta suy ra hệ phương trình biến trạng thái như sau: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ +−= = −+= = • • • • u M gx Ml mx xx u Ml gx Ml mMx xx 1 1 14 43 12 21 (3.145) Viết lại dưới dạng ma trận ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • • • M Ml x x x x g M m g Ml mM x x x x 1 0 1 0 000 1000 000 0010 4 3 2 1 4 3 2 1 ? u (3.146) Phương trình ở ngõ ra,chúng ta giả sử hai trường hợp: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 4 3 2 1 1000 0100 0010 0001 x x x x y (3.147) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 35 Nếu chỉ đo được hai biến trạng thái(vị trí x và góc lệch θ )thì : ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 4 3 2 1 0100 0001 x x x x y (3.148) Chúng ta sẽ khảo sát hệ con lắc ngược có các thông số nhưsau:M=1kg,l=1m Lấy giá trị gia tốc trọng trường g=9.8m/s2 Phương trình (3.146) trở thành: u x x x x x x x x ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • • • • 1 0 1 0 00098.0 1000 00078.10 0010 4 3 2 1 4 3 2 1 (3.149) Thiết kế LQG: Lọc Kalman: - Bộ quan sát: Nếu không có đường phản hồi qua L thì x~ không tiệm cận về x được vì vậy L được chọn sao cho x~?x Bộ quan sát được thiết kế theo giả thuyết Giả sử ta có hệ thống: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += ++=• ν γω Cxy BuAxx ω , :ν nhiễu (3.150) ,v ω là các nhiễu trắng có phân bố gaussian với { }{ } 0. 0. >= >= WE VE T T ωω νν { } ωνων ,0. ⇒=TE độc lập nhau Bộ quan sát có phương trình trạng thái: ⎩⎨ ⎧ = −++= xCy yyLBuxAx ˆˆ )ˆ(ˆ?ˆ (3.151) PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 36 Hình 3.12 Bộ lọc Kalman νγω νγω νγω LxLCAx xCLxAx xCCxLxAxxxx −+−=⇒ −−+=⇒ −+−+=⇒−= ~)(~ )~(~~ )ˆ(~~ˆ~ ? ? ? (3.152) Lọc Kalman được xây dựng trên cơ sở:xác định L sao cho kỳ vọng toán { }xxE T cực tiểu. 1−=⇒ VPCL T (3.153) Trong đó P là nghiệm của phương trình Riccati }.{ }.{ 01 T T TTT vvEV wwEW CPVPCWAPPA = = =−++ −γγ (3.154) Bộ điều khiển LQG (Linear Quard Gaussian): Trong bộ điều khiển LQ ta hồi tiếp trạng thái tuy nhiên trong thực tế nhiều khi ta phải quan sát để lấy được biến trạng thái ước lượng (do không đo được) và hồi tiếp trạng thái ước lượng => LQG B ∫ vDuCxy Buxx ++= ++Α=• γω C A L + + - + + ∧ y u y Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 37 Hình 3.13: Bộ điều khiển LQG Điều khiển LQG là kết hợp điều khiển LQR với lọc Kalman . Bước 1:Thiết kế điều khiển LQR=>KC Bước 2:Thiết kế bộ lọc Kalman =>L 3.3 Điều khiển bền vững H∞ 3.3.1 Biểu Đồ Bode Đa Biến (Multivariable Bode Plot) Biên độ của ma trận hàm truyền toàn phương )H(jω tại bất kỳ một tần số ωj nào, phụ thuộc vào hướng tín hiệu kích thích đầu vào.Biên độ của ma trận hàm truyền H( ωj ) được bao phía trên bởi giá trị suy biến cực đại, kí hiệu ))(( ωσ jH , phía dưới bởi giá trị suy biến cực tiểu của nó, kí hiệu ))(( ωσ jH . Chính vì vậy,chúng ta cần tính toán hai giá trị ràng buộc này. Ví dụ: Biểu Đồ Bode Biên Độ Hệ MIMO: Giả sử hệ thống đa biến: - ∫ A L C u y + ++ + - B Kc Cxy BuAxx = ++=• γω - PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 38 (3.155) Cxxy =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 0000 0001 , có hàm truyền hệ MIMO 22× là: )()()()( 11 sDsNBAsICsH −− =−= Với: 165176908)( 234 ++++= sssssD ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 150 073 150 079 50 07 10 01 )( 23 ssssN . Hàm H(s) là ma trận 22× , nó có hai giá trị suy biến. Chú ý rằng giá trị suy biến là liên tục, ngọai trừ gía trị suy biến cực đại và cực tiểu. Những giá trị suy biến có thể giao nhau , được minh chứng bằng hình học. Hình 3.14 Biểu Đồ Bode Biên độ hệ MIMO của giá trị suy biến trong miền tần số Trong Malab dùng hàm sigma(H) buAxuxx += ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − −− = 0 0 1 0 0 0 0 1 3800 8300 0012 0021 ? Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 39 Để minh họa sự khác biệt giữa đồ thị trị suy biến hệ MIMO và giản đồ Bode hệ SISO riêng biệt, xét hệ thống sau. Hàm truyền của hệ thống này là ma trận vuông có hạng 2. Hàm truyền hệ SISO riêng biệt trong hệ thống vòng hở 2 ngõ vào/2 ngõ ra là: )2.20)(615.3)(0163.0( 8.14)(11 +++= sssssH ]063.3)4225.0)[(2.20)(615.3)(1)(0163.0( ]49.2)55.0)[(237.2(9.36)( 22 22 12 ++++++ +++−= sssss ssssH ]063.3)4225.0)[(2.20)(615.3)(0163.0( )283.2)(573.2(65.2)( 2221 +++++ −+−= sssss ssssH ]063.3)4225.0)[(2.20)(615.3)(1)(0163.0( ]446.0)139.0[(79.0)( 22 22 22 ++++++ ++−= sssss ssH Hình 3.15: Biểu đồ Bode Biên Độ hệ thống SISO Mặc khác, hình 3.14 là các giá trị trị suy biến của hệ đa biến. Chú ý rằng, theo đồ thị này không thể dễ dàng bằng trực quan tức thời nhận thấy cách liên kết hệ SISO .Những đường bao bảo đảm sự bền vững đựơc đưa ra trong hệ thống hệ MIMO dưới dạng giá trị trị suy biến cực tiểu là lớn tại tần số thấp ( cho chất lượng bền vững) và giá trị trị suy biến cực đại là nhỏ tại tần số cao (cho ổn định bền vững ).. PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 40 Hình 3.16:Các giá trị trị suy biến của hệ thống 3.3.2 Hàm nhạy và hàm bù nhạy Khảo sát đặc tính của hệ thống hồi tiếp điển hình, từ đó đưa ra ý tưởng thiết kế thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và điều khiển bền vững nhằm thỏa mãn các yêu cầu thiết kế. Xét hệ thống hồi tiếp âm như hình 3.17, trong đó id là nhiễu đầu vào, d là nhiễu đầu ra, n là nhiễu đo. Hình 3.17: Sơ đồ hệ thống hồi tiếp âm Lưu ý: Để liên hệ với phần lý thuyết điều khiển kinh điển, trong mục này ta phân tích sơ đồ điều khiển hồi tiếp âm, với bộ điều khiển là Kˆ ( Kˆ = -K ở mô hình hồi tiếp dương) n y Gu u e r - + + + Kˆ G di d Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 41 Các quan hệ truyền đạt của hệ thống vòng kín được thể hiện qua các biểu thức sau: y = d KG d KG Gn KG KGr KG KG i ˆ1 1 ˆ1ˆ1 ˆ ˆ1 ˆ +++++−+ u = d KG Kd KG KGn KG Kr KG K i ˆ1 ˆ ˆ1 ˆ ˆ1 ˆ ˆ1 ˆ +−+−+−+ Gu = dKG Kd KG n KG Kr KG K i ˆ1 ˆ ˆ1 1 ˆ1 ˆ ˆ1 ˆ +−+++−+ e = d KG d KG Gn KG r KG i ˆ1 1 ˆ1ˆ1 1 ˆ1 1 +−+−+−+ Định nghĩa các hàm nhạy, hàm bù nhạy và độ lợi vòng như sau: - Hàm nhạy : KG S ˆ1 1 += - Hàm bù nhạy : KG KGT ˆ1 ˆ += - Độ lợi vòng: KGL ˆ= Các đẳng thức trên được viết gọn lại: SdGSdTnTry i ++−= (3.156) SdKTdSnKSrKu i ˆˆˆ −−−= (3.157) ˆ ˆ ˆG iu KSr KSn Sd KSd= − + − (3.158) SdGSdSnSre i −−−= (3.159) Từ (3.156) – (3.159), ta có thể rút ra các mục tiêu chất lượng của hệ thống vòng kín.Từ phương trình (3.156) ta thấy rằng: - Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đầu ra d lên đầu ra y, hàm nhạy S cần phải nhỏ. PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 42 - Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đo n lên đầu ra y, hàm bù nhạy T cần phải nhỏ. Tương tự, từ phương trình (3.158), để làm giảm ảnh hưởng của nhiễu đầu vào di, hàm nhạy S cần phải nhỏ. Nhưng từ định nghĩa ,hàm nhạy và hàm bù nhạy có quan hệ ràng buộc như sau: S + T = 1 (3.160) Do đó, S và T không thể đồng thời nhỏ. Để giải quyết mâu thuẫn này, người ta dựa vào đặc tính tần số của các tín hiệu nhiễu. Nhiễu tải d, di tập trung chủ yếu ở vùng tần số thấp, còn nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao. Như vậy, để hệ ít bị ảnh hưởng bởi d, thì S và GS cần phải nhỏ trong vùng tần số mà d tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Tương tự, điều kiện để hệ ít nhạy đối với nhiễu di là |S| và |ˆ| SK nhỏ trong vùng tần số mà di tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Ta có: 1|ˆ||ˆ1|1|ˆ| +≤+≤− KGKGKG Suy ra: 1|ˆ| 1 ˆ1 1 1|ˆ| 1 −≤+≤+ KGKGKG , nếu | KG ˆ |>1 hay: 1 1 1 1 −≤≤+ LSL ,nếu L >1 Từ đó, ta thấy: S >1 Hơn nữa, nếu L >> 1, thì: Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 43 GS |ˆ| 1 ˆ1 KKG G ≈+= |ˆ| SK GKG K 1 ˆ1 ˆ ≈+= Như vậy, đối với đầu ra y: - Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, độ lợi vòng L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1) trong vùng tần số mà d tập trung; - Để giảm thiểu ảnh hưởng của di, biên độ bộ điều khiển phải đủ lớn Kˆ 1>> trong vùng tần số mà di tập trung. Tương tự, đối với đầu vào (u G ) - Để giảm thiểu ảnh hưởng của di, L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1) trong vùng tần số mà di tập trung. - Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, biên độ đối tượng (không thay đổi được trong thiết kế điều khiển) phải đủ lớn (|G|>> 1) trong vùng tần số mà d tập trung. Tóm lại, một trong những mục tiêu thiết kế là độ lợi vòng (và cả độ lợi của bộ điều khiển, nếu được) phải lớn trong vùng tần số mà d và di tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Sau đây, ta xét ảnh hưởng của sai lệch mô hình lên hệ thống hồi tiếp. Giả sử mô hình đối tượng có sai số nhân là (I + Δ )G, với Δ ổn định, và hệ thống kín ổn định danh định (ổn định khi Δ=0). Hệ thống kín có sai số mô hình sẽ ổn định nếu: det ( ) KG ˆ1(1 Δ++ )=det ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + Δ++ KG KGKG ˆ1 ˆ 1)ˆ1( =det(1+ KG ˆ )det(1+ )TΔ không có nghiệm ở nửa phải mặt phẳng phức. Ta thấy rằng, điều này sẽ được thỏa nếu như TΔ đủ nhỏ, hay |T| phải nhỏ ở vùng tần số mà Δ tập trung, cụ thể là vùng tần số cao. PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 44 Để ý rằng, nếu |L| rất lớn thì |T| ≈ 1 và |S| ≈0. Do đó, từ (3.156) ta thấy nếu như ( )L jω lớn ở trong một dải tần số rộng, thì nhiễu đo n cũng sẽ truyền qua hệ thống trong vùng tần số đó, nghĩa là: y= SdGSdTnTr i ++− ≈ (r - n) vì rằng nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao. Hơn nữa, nếu độ lợi vòng lớn ở ngoài vùng băng thông của G, nghĩa là ( )L jω >>1 trong khi ( )G jω <<1, thì có thể làm cho tín hiệu điều khiển quá lớn, gây bão hòa ở cơ cấu chấp hành. Điều này có thể được lý giải từ (3.157) như sau: u= ≈−−− iTddnrSK )(ˆ iddnrG −−− )(|| 1 Phương trình trên cho thấy nhiễu tải và nhiễu đo sẽ được khuyếch đại lên khi mà vùng tần số mà nó tập trung vượt ra ngoài phạm vi băng thông của G, vì đối với dải tần số mà ( )G jω <<1 thì ( )ωjG 1 >>1. Tương tự, biên độ của bộ điều khiển, | Kˆ |, không được quá lớn trong vùng tần số mà độ lợi vòng nhỏ nhằm tránh làm bão hòa cơ cấu chấp hành. Vì lẽ khi độ lợi vòng nhỏ ( ( )L jω <<1), thì u= ii dTdnrSK −−− )(ˆ = ˆ ( )K r n d− − Do đó, một điều cần lưu ý khi thiết kế là | Kˆ | không được lớn quá khi độ lợi vòng nhỏ. Từ những điều trình bày ở trên, ta tổng kết lại các ý tưởng thiết kế sau đây: - Để đảm bảo mục tiêu chất lượng trong một vùng tần số nào đó, cụ thể là vùng tần số thấp (0, lω ), hệ thống cần phải có: 1|ˆ| >>KG , |ˆ| K >>1 - Để đảm bảo tính bền vững và có khả năng triệt nhiễu đo tốt trong một vùng tần số nào đó, cụ thể là vùng tần số cao ( ∞,hω ),hệ thống cần phải có : 1|ˆ| <<KG , ≤|ˆ| K M Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 45 trong đó M có trị số không quá lớn. Những ý tưởng thiết kế này được minh họa trong hình 3.18. Những tần số hl ωω , được xác định tùy thuộc vào từng ứng dụng cụ thể, và những thông tin về đặc tính của nhiễu tải, nhiễu đo, sai lệch mô hình. Hình 3.18: Độ lợi vòng và các ràng buộc tần số thấp và tần số cao. Những điều phân tích trên đây là cơ sở cho một kỹ thuật thiết kế điều khiển: đó là nắn dạng vòng (loop shaping). Mục tiêu nắn dạng vòng là tìm ra một bộ điều khiển sao cho độ lợi vòng |L| tránh được các vùng giới hạn (xem hình 3.18) chỉ định bởi các điều kiện về chất lượng và bền vững. 3.3.3 Thiết kế bền vững H∞ 3.3.3.1 Mô tả không gian H∞ và RH∞ Không gian vector Hardy có chuẩn vô cùng, ký hiệu là H∞, là không gian các hàm phức G(s) của biến phức s (s ∈C) mà trong nửa hở mặt phẳng phức bên phải (miền có phần thực của biến s lớn hơn 0) thỏa mãn: - là hàm giải tích (phân tích được thành chuỗi lũy thừa), và - bị chặn, tức tồn tại giá trị M dương nào đó để ( )s M≤G có phần thực dương. lω hω c ω L logω PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 46 Tập con đặc biệt của H∞ mà trong điều khiển bền vững rất được quan tâm là tập hợp gồm các hàm G(s) thực - hữu tỷ (real-rational) thuộc H∞, tức là các hàm hữu tỷ phức G(s)∈ H∞ với các hệ số là những số thực dạng 0 1 1 ( ) 1 m m n n b b s b s s a s a s + + += + + +G ? ? trong đó ai,bj ∈ R, ký hiệu là RH∞. Trong lý thuyết hàm phức, người ta chỉ ra được rằng: một hàm thực – hữu tỷ G(s) bất kỳ sẽ thuộc RH∞ khi và chỉ khi - lim ( ) s s→∞ < ∞G , hay ( )∞G bị chặn (khi m≤n),được gọi là hàm hợp thức và - G(s) không có cực trên nửa kín mặt phẳng phức bên phải. Nói cách khác G(s) không có điểm cực với Re(s) ≥ 0.Một hàm G(s) có tính chất như vậy gọi là hàm bền. Nếu hàm truyền hợp thức G(s) không những ở nửa hở bên phải mặt phẳng phức bị chặn khi s ∞→ mà còn thỏa mãn (khi m<n) 0|)(|lim =∞→ sGs Chuẩn H∞ của một hệ thống SISO G(s) ∈ RH∞ được định nghĩa như sau: { }sup ( )G j ω ω∞ = G (3.161) Như vậy, chuẩn vô cùng G ∞ chính là khoảng cách lớn nhất từ tâm tọa độ mặt phẳng phức tới một điểm trên đường đặc tính tần biên – pha của G(jω). 3.3.3.2 Sai số mô hình phân tích coprime Phần này trình bày một số kết quả về phân tích coprime bên trái LCF (Left Coprime Factorization). Ta cũng có thể suy ra kết quả tương tự đối với phân tích coprime bên phải nhờ vào tính đối ngẫu. Định nghĩa 1: Các ma trận hàm truyền đạt N? , M? ∈ RH∞ tạo thành một phân tích coprime bên trái của G nếu và chỉ nếu: a. M? vuông, và det( ) 0≠M? (3.162) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 47 b. 1−=G M N? ? (3.163) c.∃ V, U ∈ RH∞ sao cho: + =MV NU I? ? (3.164) Định nghĩa 2: Nếu N? , M? là phân tích coprime bên trái của G đồng thời thỏa: ∗ ∗+ =NN MM I? ? (3.165) thì được gọi là phân tích coprime bên trái chuẩn. Một đối tượng G có thể có vô số phân tích coprime bên trái, nhưng chỉ có một phân tích coprime bên trái chuẩn Xác định phân tích coprime bên trái chuẩn Phân tích coprime bên trái chuẩn có thể được xác định từ mô hình trạng thái của G và nghiệm của phương trình Riccati. Giả sử A, B, C, D là mô hình trạng thái của G, ký hiệu là: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= DC BA G (3.166) trong đó: 1( ) ( )s sI −= − +G C A B D . Để xác định phân tích coprime bên trái, trước tiên ta cần phải tìm nghiệm của phương trình Riccati sau: 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 0∗ − ∗ − ∗ ∗ − ∗ − ∗− + − − + − =A BD R C Z Z A BD R C ZC S CZ B I D R D B (3.167) trong đó *DDIR +≡ . Phương trình này có tên là Phương trình Riccati lọc tổng quát (GFARE – Generalized Filter Algebraic Riccati Equation). Sau đó áp dụng định lí 3.3 để tính N? , M? . Định lý 3.3: Cho ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ A B G C D . Phân tích coprime bên trái chuẩn của G được xác định như sau: 1 2 1 2− − + +⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ A HC B HD N R C R D ? ; 1 2 1 2− − +⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ A HC H M R C R ? (3.168) PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 48 trong đó Z là nghiệm xác định dương duy nhất của GFARE, ∗= +R I DD , và 1( )∗ ∗ −= − +H ZC BD R . Sai số mô hình phân tích coprime bên trái Sau đây, ta định nghĩa sai số mô hình phân tích coprime bên trái. Giả sử G là mô hình đối tượng, ( N? , M? ) là một phân tích coprime bên trái của G. Hệ có sai số mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn được định nghĩa như sau: 1( ) ( )M N − Δ = + Δ + ΔG M N? ? (3.169) trong đó ΔN, ΔM ∈ RH∞ là các hàm truyền chưa biết thể hiện phần sai số trong mô hình danh định. Họ mô hình có sai số là một tập εG định nghĩa như sau: [ ]{ }1( ) ( ) : ,M N M Nε ε− ∞= + Δ + Δ Δ Δ <M N? ?G (3.170) Hình 3.19: Biểu diễn sai số mô hình phân tích coprime bên trái Mục tiêu của điều khiển bền vững là tìm bộ điều khiển K ổn định hóa không chỉ mô hình danh định G, mà cả họ mô hình εG . Ưu điểm của cách biểu diễn sai số mô hình trên đây so với biểu diễn sai số cộng và sai số nhân là số cực không ổn định có thể thay đổi do tác động của sai số mô hình N? ΔN + - 1−M? + ΔM + Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 49 3.3.3.3 Bài toán ổn định bền vững H∞: Xét hệ hồi tiếp hình 3.20 Hình 3.20: Sơ đồ phân tích ổn định bền vững với mô hình có sai số LCF Định lý 3.4: 1−=G M N? ? là mô hình danh định; 1( ) ( )M N−Δ = + Δ + ΔG M N? ? là mô hình có sai số; ( M? , N? ) là phân tích coprime bên trái của G; M? , N? , MΔ , NΔ ∈ RH∞. Hệ ổn định bền vững với mọi [ ]M NΔ ΔΔ ? thỏa [ ] 1M N γ∞Δ Δ < nếu và chỉ nếu: a.Hệ (G, K) ổn định nội, và b. 1 1( ) γ− − ∞ ⎡ ⎤ − ≤⎢ ⎥⎣ ⎦ K I GK M I ? (3.171) Định lý 3.4 có thể phát biểu một cách tương đương dưới dạng một bài toán tối ưu như sau: Định lý 3.5: Đối tượng 1( ) ( )M N − Δ = + Δ + ΔG M N? ? , với [ ] 1M N γ∞Δ Δ < , ổn định hóa bền vững được nếu và chỉ nếu: N? K w u y d + + + 1−M? NΔ MΔ + + + PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 50 1 1inf ( ) γ− − ∞ ⎡ ⎤ − ≤⎢ ⎥⎣ ⎦K K I GK M I ? (3.172) trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển K ổn định hóa G. Bài toán ổn định bền vững Cho trước giá trị γ, tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng danh định G, và thỏa: 1 1( ) γ− − ∞ ⎡ ⎤ − ≤⎢ ⎥⎣ ⎦ K I GK M I ? (3.173) trong đó ( N? , M? ) là phân tích coprime bên trái của G. Và theo định lý 3.4, nếu tìm được bộ điều khiển K, thì K sẽ ổn định hóa đối tượng có sai số GΔ, với [ ] 1M N γ∞Δ = Δ Δ < . Nếu phát biểu dưới dạng một bài toán tối ưu H∞ (đối với hệ thống hình 3.20) thì ta có bài toán tối ưu H∞ như sau: Bài toán tối ưu H∞ Tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng danh định G và cực tiểu hóa chuẩn H∞ sau đây: 1 1( )− − ∞ ⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦ K I GK M I ? (3.174) trong đó ( N? , M? ) là phân tích coprime bên trái của G. Bài toán tối ưu H∞ phức tạp ở chỗ phải thực hiện cực tiểu hóa chuẩn (3.174) trong điều kiện tồn tại bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống. Để giải quyết vấn đề này, thông thường người ta giải bài toán ổn định bền vững với một giá trị γ cho trước, rồi sau đó thực hiện quá trình lặp γ để tìm giá trị γmin. Glover và McFarlane đã sử dụng bài toán mở rộng Nehari (Nehari extension problem), và dạng phân tích coprime chuẩn của mô hình đối tượng để tìm ra lời giải không gian trạng thái cho bài toán tối ưu H∞ mà không cần phải thực hiện quá trình lặp γ để tìm γmin. Hơn nữa, từ cách tiếp Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 51 cận này, tác giả có thể tính được độ dự trữ ổn định cực đại εmax ( = min1 γ ) một cách chính xác. Phần sau đây chỉ trình bày một số kết quả chính mà Glover và McFarlane đã thực hiện. Định lý 3.6: Bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống và thỏa 1 1( ) γ− − ∞ ⎡ ⎤ − ≤⎢ ⎥⎣ ⎦ K I GK M I ? (3.175) nếu và chỉ nếu K có một phân tích coprime bên phải: 1−=K UV với U, V ∈ RH∞ thỏa ( )1 221 γ∗ −∗ ∞ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤+ ≤ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ UN VM ? ? (3.176) Định lý 3.7: a. Lời giải tối ưu của bài toán ổn định bền vững đối với mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn cho kết quả: { } 1 221 1inf ( ) 1 H −− − ∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦K K I GK M N M I ? ? ? (3.177) trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển ổn định hóa hệ thống. b. Độ dự trữ ổn định cực đại là { } 1 22max 1 0Hε −⎡ ⎤= − >⎣ ⎦N M? ? (3.178) c. Các bộ điều khiển tối ưu đều có dạng: 1−=K UV , với U, V ∈ RH∞ thỏa H ∗ ∗ ∞ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ UN N M VM ? ? ?? (3.179) Các định lý trên cho ta những nhận xét sau: - Độ dự trữ ổn định cực đại có thể được tính trực tiếp từ công thức (3.178) PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 52 - Việc xác định bộ điều khiển tối ưu H∞ có thể được thực hiện thông qua bài toán mở rộng Nehari (Nehari extension). Bài toán tối ưu con Độ dự trữ ổn định cực đại cho ta một cận dưới của γ, đó là γmin = 1/εmax. Việc giải bài toán tối ưu H∞ với γ > γmin cho kết quả là một tập các bộ điều khiển ổn định hóa K sao cho 1 1( ) γ− − ∞ ⎡ ⎤ − ≤⎢ ⎥⎣ ⎦ K I GK M I ? (3.180) Đây chính là bài toán tối ưu con (suboptimal problem). Lời giải dạng không gian trạng thái của bài toán này được xác định theo các bước như sau : Bước 1: Giải hai phương trình Riccati GCARE và GFARE. Phương trình GCARE (Generalized Control Algebraic Riccati Equation) có dạng: 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 0− ∗ ∗ − ∗ − ∗ ∗ − ∗− + − − + − =A BS D C X X A BS D C XBS B X C I DS D C (3.181) trong đó: DDIS ∗+= . Phương trình GFARE là phương trình trình bày ở trên. 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 0∗ − ∗ − ∗ ∗ − ∗ − ∗− + − − + − =A BD R C Z Z A BD R C ZC S CZ B I D R D B trong đó ∗+= DDIR . Bước 2: Tính giá trị γ nhỏ nhất có thể đạt được. 1 2 min max(1 ( ))γ λ= + ZX trong đó ( )maxλ • là trị riêng lớn nhất, X và Z lần lượt là nghiệm của GCARE và GFARE. Bước 3: Chọn minγ γ> . Thông thường, chọn γ lớn hơn γmin một chút; chẳng hạn, min1.05γ γ= . Bước 4: Bộ điều khiển trung tâm có biểu diễn trạng thái được xác định như sau Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 53 2 1 2 1 1 1 0 ( )γ γ∗− ∗ ∗− ∗ ∗ ∗ ⎡ ⎤+ + += ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ A BF W ZC C DF W ZC K B X D (3.182) trong đó X và Z là lần lượt là nghiệm của các phương trình GCARE và GFARE, 1( )− ∗ ∗= − +F S D C B X , và 21 ( )γ= + −W I XZ I . Công thức tính minγ ở bước 2 được dẫn ra từ công thức (3.177) trong định lý 3.7. Nếu ( N? , M? ) coprime bên trái chuẩn thì H ⎡ ⎤⎣ ⎦N M? ? có thể được xác định từ nghiệm của hai phương trình Riccati GCARE và GFARE như sau: ( )2 1max ( )H λ −⎡ ⎤ = +⎣ ⎦N M XZ I ZX? ? (3.183) Từ đó ta suy ra giá trị γmin: 1 1 2min max max(1 ( ))γ ε λ−= = + ZX Đây chính là công thức tính minγ ở bước 2. Ta thấy rằng đối với bài toán ổn định bền vững cho mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn, ta chỉ cần tìm nghiệm của các phương trình GFARE và GCARE là đủ để tính được giá trị minγ mà không cần phải thực hiện thủ tục lặp γ. Trong bước 3, ta chọn minγ γ> nhằm để bảo đảm sự tồn tại của bộ điều khiển có khả năng ổn định hóa hệ thống. Trong trường hợp bài toán tối ưu, minγ γ= , thì ma trận W1 trong (3.182) suy biến. Và do đó, (3.182) sẽ không áp dụng được. Tuy nhiên nếu ta chọn γ gần minγ (ví dụ min1.05γ γ= ) thì kết quả bài toán tối ưu con và bài toán tối ưu sẽ khác nhau không đáng kể. 3.3.4 Nắn dạng vòng H∞ 3.3.4.1 Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng ∞H : (LSDP – Loop Shaping Design Procedure) PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 54 Nắn dạng vòng ∞H ( ∞H loop shaping) là một kỹ thuật thiết kế do McFarlane và Glover đề xuất năm 1988. Kỹ thuật thiết kế này kết hợp ý tưởng nắn dạng vòng (phần hàm nhạy và hàm bù nhạy) và bài toán ổn định bền vững ∞H . Nắn dạng vòng thực hiện sự thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và mục tiêu ổn định bền vững, trong khi bài toán tối ưu ∞H đảm bảo tính ổn định nội cho hệ vòng kín. Kỹ thuật thiết kế gồm hai phần chính: a. Nắn dạng vòng: chỉ định dạng hàm truyền hở của đối tượng danh định. b. Ổn định bền vững ∞H : giải bài toán ổn định bền vững ∞H dạng phân tích coprime cho đối tượng đã được nắn dạng ở trên. Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng (LSDP) Giả sử mô hình danh định của đối tượng G, bộ điều khiển cần tìm là K Bước 1: Chọn các hàm nắn dạng W1,W2. Tính Gs: Gs = W2GW1. (Lưu ý là chọn W1,W2 sao cho GS không chứa các chế độ ẩn (zero – cực không ổn định khử nhau)) Bước 2: Tìm nghiệm Xs,Zs của GCARE và GFARE ứng với GS. Tính ( )( ) 2/1maxmin 1 SS XZλγ += , trong đó maxλ (.) là trị riêng lớn nhất Nếu minγ quá lớn thì trở về bước 1. (Thông thường 1< minγ <5 thì chấp nhận được) Bước 3: Chọn γ > minγ , tổng hợp bộ điều khiển ∞K sao cho (Việc xác định ∞K đã được trình bày ở phần 3.3) Bước 4: Bộ điều khiển K cần tìm được tính theo công thức: K = W1 ∞K W2 γ≤−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∞ −− ∞ ∞ ~ 11)( ss MKGII K Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 55 Thủ tục thiết kế được minh họa trong hình 3.21 Hình 3.21: Thủ tục thiết kế ∞H loop shaping Nhận xét: -Khác với phương pháp thiết kế nắn dạng vòng cổ điển (nắn dạng hàm S và T), ở đây ta không cần quan tâm đến tính ổn định vòng kín, cũng như thông tin về pha của đối tượng danh định, vì điều kiện ổn định nội đã được đảm bảo trong bài toán ổn định bền vững ∞H ở bước 3. - Thủ tục thiết kế sử dụng thích hợp cho các đối tượng ổn định, không ổn định, cực tiểu pha, không cực tiểu pha; đối tượng chỉ cần thỏa mãn yêu cầu tối thiểu cho mọi thiết kế là không có các chế độ ẩn. Cụ thể là nếu đối tượng 1W G 2W 1W 2W G ∞K sG G 1W 2W ∞K K PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 56 không cực tiểu pha thì các hạn chế về chất lượng điều khiển vẫn thể hiện trong thủ tục thiết kế quả giá trị của minγ . 3.3.4.2 Sơ đồ điều khiển: Trên đây ta chỉ quan tâm đến vòng điều khiển, không quan tâm đến vị trí tín hiệu đặt được đưa vào vòng điều khiển như thế nào. Thông thường, tín hiệu đặt đưa vào vòng điều khiển như hình 3.22 với hồi tiếp đơn vị. Hình 3.22: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị Nếu bộ điều khiển K đạt được từ thủ tục nắn dạng vòng ∞H , thì ∞K và các hàm nắn dạng W1, W2 có thể được tách ra riêng rẽ, và nhờ đó ta có thể có các sơ đồ điều khiển khác nhau. Hình 3.23 là sơ đồ điều khiển với bộ điều khiển thiết kế theo thủ tục LSDP. Ta có thể thay đổi sơ đồ này một chút như hình 3.24, mà không làm thay đổi dạng vòng L. Hình 3.23: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị với bộ điều khiển đạt được từ LDSP G K y r - + y W2r - + ∞K W1 G Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 57 Hình 3.24: Sơ đồ điều khiển cải tiến với bộ điều khiển đạt được từ LDSP Khi tín hiệu đặt được đưa vào hệ thống tại vị trí giữa hai khối ∞K và W1, ta cần bổ sung một bộ tiền bổ chính để đảm bảo độ lợi tĩnh bằng 1 (hình 3.24). Hàm truyền vòng kín từ tín hiệu đặt r đến đầu ra y trở thành: y(s)= )()0()0( )()(1 )()( 2 1 srWK sKsG sWsG ∞− (3.184) trong đó: )()(lim)0()0( 02 sWsKWK ss ∞→∞ = (3.185) Theo kinh nghiệm, điều khiển theo sơ đồ hình 3.24 sẽ cho đáp ứng quá độ tốt hơn; điều khiển theo sơ đồ hồi tiếp đơn vị như hình 3.23 thường cho đáp ứng quá độ, có độ vọt lố lớn. Nguyên nhân là trong sơ đồ 3.24 tín hiệu đặt không trực tiếp kích thích đặc tính động của ∞K . Theo thủ tục thiết kế LSDP, ∞K lại được xác định qua lại bài toán ổn định bền vững, trong đó ta không thể trực tiếp can thiệp vào vị trí điểm cực – zero được, mà mọi đặc tính mong muốn ta chỉ có thể đưa vào hệ thống thông qua các hàm nắn dạng W1 và W2. 3.3.4.3 Lựa chọn các hàm nắn dạng W1,W2: Việc lựa chọn các hàm nắn dạng trong thủ tục thiết kế LSDP nói chung là dựa vào kinh nghiệm của người thiết kế. Tuy nhiên, đối với từng đối tượng cụ thể, người ta thường đưa ra các hướng chọn hàm nắn dạng thích hợp. y )0()0( 2WK∞ ∞K r 2W 1W G + PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 58 Thông thường, W2 được chọn có dạng ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo là các hằng số nhằm đặt trọng số lên các tín hiệu ra của đối tượng. W1 thường là tích của hai thành phần: WP và WA; trong đó, WA là bộ tách kênh (decoupler), WP có dạng đường chéo được chọn sao cho thỏa hiệp các mục tiêu chất lượng và ổn định bền vững của hệ thống, và thường có chứa khâu tích phân để đảm bảo sai số xác lập bằng 0. Đối với hệ SISO, việc lựa chọn các hàm nắn dạng đơn giản hơn: W2 thường được chọn bằng 1, và W1 được chọn sao cho thỏa hiệp được các mục tiêu chất lượng và ổn định bền vững của hệ thống. 3.4 Thiết kế tối ưu H2 3.4.1 Đặt vấn đề Xét hệ thống ổn định Rt tCxty tBwtAxtx ∈ = += )()( )()()(? (3.186) Hệ thống có ma trận hàm truyền H(s) = C(sI-A)-1B. Giả sử rằng tín hiệu w là nhiễu trắng với hiệp phương sai { } )()()( τδτ WtwtwE T =+ .Ngõ ra y của hệ thống là một quá trình nhiễu tĩnh với ma trận mật độ phổ. )()()( ωωω jWHjHS T −= (3.187) Do đó trị trung bình ngõ ra toàn phương : { } ωωωωω djHWjHtracedStracetytyE T )(~)( 2 1)( 2 1)()( ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− Π =Π= (3.188) Ở đây ta ký hiệu )(~ ωjH =HT(- ωj ) Ta có : ∫ +∞ ∞−Π = ωωω djHjHtraceH )(~)( 2 1 2 (3.189) Gọi là chuẩn H2 của hệ thống .Nếu nhiễu trắng w có mật độ W = I thì trị trung bình của ngõ ra toàn phương )}()({ tytyE T tương đương với bình phương của chuẩn H2 của hệ thống Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 59 3.4.2 Tối ưu H2 Vấn đề tối ưu H2 được thể hiện dưới dạng ma trận chuyển đổi. Chúng ta giả sử rằng Q = I, và R = I, phiếm hàm chất lượng LQG là )]()()()([lim tututztzE TT t +∞→ (3.190) Sự giả sử này không làm mất đi tính tổng quát bởi vì bằng cách biến đổi thang tỷ lệ các thông số z và u chỉ tiêu chất lượng luôn có thể chuyển thành hình thức này . Cho hệ thống vòng hở : wBuAxx γ++=? (3.191) Dxz = (3.192) vCxy += (3.193) Có ma trận chuyển đổi uBAsIDwAsIDz sGsG ???????????? )( 1 )( 1 1211 )()( −− −+−= γ (3.194) vuBAsICwAsICy sGsG +−−+−= − ?? ??? ???????? )()( 1 2221 1)()( γ (3.195) Kết nối hệ thống như hình (3.25) với một bộ điều khiển Ce chúng ta có cân bằng của tín hiệu : Hình 3.25 : Hệ thống hồi tiếp với ngõ vào và ngõ ra nhiễu loạn vCGCIwGCGCIu vuGwGCyCu sH ee sH ee ee ?????? ????? ???? ?? )( 1 22 )( 21 1 22 2221 2221 )()( )( −− +−+−= ++−=−= (3.196) Từ uGwGz 1211 += ta có : eC G y v + + u w - z PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 60 vCGCIGwGCGCIGGz sH ee sH ee ??? ???? ??????? ?????? ?? )( 1 2212 )( 21 1 221211 1211 )()( −− +−+−= (3.197) Hay ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ v w sHsH sHsH u z sH ?????? ?? )( 2221 1211 )()( )()( (3.198) Từ (3.198) theo ta có : 2 2 )(~)( 2 1 ) )( )( )( )( (lim))()()()((lim H djHjHtrace tu tz tu tz EtututztzE T t TT t = = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=+ ∫∞+ ∞− ∞→∞→ ωωωπ (3.199) Vì vậy giải quyết vấn đề LQG là cực tiểu hoá chuẩn H2 của hệ thống vòng kín hình (3.25) với (w,v) như ngõ vào và (z,u) như ngõ ra. Cấu hình của hình (3.25) là trường hợp đặc biệt của cấu hình hình (3.26).Ở hình (3.26)v là ngõ vào mở rộng (w và v trong hình (3.25)).Tín hiệu z là tín hiệu sai số (lý tưởng bằng 0)(z và u trong hình (3.25)).Thêm vào đó u là ngõ vào điều khiển và y là ngõ ra quan sát .G là đối tượng tổng quát và Ce là bộ điều khiển . Hình 3.26: Vấn đề chuẩn H2 G eC zv yu Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 61 3.4.3 Vấn đề chuẩn H2 và lời giải của nó Vấn đề tối ưu chuẩn H2 là lựa chọn bộ điều khiển K ở hình (3.26) để : a. Ổn định với hệ thống vòng kín và b. Cực tiểu hoá chuẩn H2 của hệ thống vòng kín (với v là vào, z là ngõ ra) Sơ đồ hình 3.26 được mô tả bởi hệ phương trình trang thái sau: )()()()( 21 tuBtvBtAxtx ++=? (3.200) )()()()( 12111 tuDtvDtxCtz ++= (3.201) )()()()( 22212 tuDtvDtxCty ++= (3.202) Vấn đề tối ưu H2 có thể được giải quyết bởi việc dẫn tới vấn đề LQG. Giải quyết vấn đề tối ưu H2 như thể là vấn đề LQG. Đó là , cực tiểu hoá : { })()( tztzE T (3.203) Giả sử rằng v là nhiễu trắng ngõ vào với ma trận mật độ V=I. Hồi tiếp trạng thái: Đầu tiên, xem xét lời giải với hồi tiếp trạng thái .Khảo sát hai phương trình : )()()()( 21 tuBtvBtAxtx ++=? (3.204) )()()()( 12111 tuDtvDtxCtz ++= (3.205) Nếu D11≠ 0 thì ngõ ra z có thành phần nhiễu trắng . Điều này có thể làm cho trung bình ngõ ra toàn phương (3.203) không xác định. Vì vậy chúng ta giả sử rằng D11 = 0 . Dưới sự giả sử này chúng ta có : [ ] [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=+= )( )( )( )( )()()( 012 1 12121 tu tz DI tu txC DItuDtxCtz (3.206) với z0(t) = C1x(t). Do đó PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 62 [ ] 00 12 12 12 0 0 12 12 12 ( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T T I z t E z t z t E z t u t I D D u t I D z t E z t u t D D D u t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3.207) Đây là vấn đề bộ điều chỉnh tuyến tính với thành phần chéo ở ngõ ra và ngõ vào .Nó có lời giải nếu hệ thống )()(,)()()( 102 txCtztuBtAxtx =+=? là ổn định và tìm được, ma trận trọng lượng ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 121212 12 DDD DI TT (3.208) Là xác định dương. Điều kiện cần và đủ cho (3.208) là 1212 DD T không suy biến .Lời giải của vấn đề điều chỉnh là luật hồi tiếp trạng thái: )()( tKxtu −= (3.209) Hồi tiếp ngõ ra : Nếu trạng thái là không có giá trị cho hồi tiếp thì cần được ước lượng với một bộ lọc Kalman. Xem xét hai phương trình : )()()()( 21 tuBtvBtAxtx ++=? (3.210) )()()()( 22212 tuDtvDtxCty ++= (3.211) Phương trình thứ hai có thể trở thành dạng chuẩn cho bộ lọc Kalman nếu coi y(t) – D22u(t) như là biến quan sát hơn là y(t).Nếu biểu thị nhiễu sự quan sát là )()( 21 tvDtv = thì : )()()()( 21 tuBtvBtAxtx ++=? (3.212) )()()()( 222 tvtxCtuDty +=− (3.213) Xác định một hệ thống nhiễu với những thành phần nhiễu tương quan chéo chúng ta có: [ ] [ ] )( )()()()( )( )( 212121 21 21 21 τδ ττ τ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + + T T TTTT DDD DI DItvtv D I Etvtv tv tv E (3.214) Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 63 Giả sử rằng hệ thống )()(,)()()( 21 txCtytvBtAxtx =+=? là ổn định và tìm được , và ma trận mật độ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ T T DDD DI 212121 21 (3.215) xác định dương. Điều kiện cần và đủ cho(3.215) là TDD 2121 không suy biến Khi đó sẽ tồn tại một bộ lọc Kalman : )]()(ˆ)([()()(ˆ)(ˆ 2222 tuDtxCtyLtuBtxAtx −−++=? (3.216) Ma trận độ lợi L được tìm từ thủ tục thiết kế bộ lọc Kalman. Vấn đề hồi tiếp ngõ ra được lấy : )(ˆ)( txKtu −= (3.217) K giống như độ lợi hồi tiếp trạng thái ở (3.209) Xem xét vấn đề tối ưu H2 cho đối tượng tổng quát : )()()()( 21 tuBtvBtAxtx ++=? (3.218) )()()( 121 tuDtxCtz += (3.219) )()()()( 22212 tuDtvDtxCty ++= (3.220) Giả sử : • Hệ thống )()(,)()()( 22 txCtytuBtAxtx =+=? là ổn định và tìm được . • Ma trận ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 212 1 DC BsIA có hạng đầy đủ các hàng ngang cho mọi ωjs = và D21 có hạng đầy đủ các hàng ngang • Ma trận ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 121 2 DC BsIA có hạng đầy đủ các cột cho mọi ωjs = và D12 có hạng đầy đủ các cột Dưới những giả sử này bộ điều khiển hồi tiếp ngõ ra tối ưu là )]()(ˆ)([)()(ˆ)(ˆ 2222 tuDtxCtyLtuBtxAtx −−++=? (3.221) )(ˆ)( txKtu −= (3.222) Ma trận độ lợi hồi tiếp trạng thái và bộ quan sát là : 1 1 12 12 2 12 1 2 1 21 21 21( ) ( ) , ( )( ) T T T T T TK D D B X D C L YC B D D D− −= + = + (3.223) PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 64 Ma trận đối xứng X,Y là nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình đại số Riccati: 0)())(( 0)())(( 1212 1 2121211211 1122 1 1212121211 =++−++ =++−++ − − TTTTTT TTTTTT BDYCDDDBYCBBAYAY CDXBDDDCXBCCXAXA (3.224) 3.5 Ứng dụng trong MABLAB 3.5.1 LQG hệ lò xo đệm Xét hệ thống lò xo đệm như hình vẽ sau: Với các thông số của hệ thống như sau: M=1 m=0.1 b=0.0036 k=0.091 Biến trạng thái của hệ thống: [ ]Tx d d y y= ? ? Phương trình Biến Trạng Thái của hệ liên tục: x Ax Bu y Cx Du = +⎧⎨ = +⎩ ? với ma trận Biến Trạng Thái được cho như sau: Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 65 0 1 0 0 0 0 0 1 k b k b m m m mA k b k b M M M M ⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; 0 0 0 1 B M ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; 0 0 1 D ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Thời gian lấy mẫu: T=0.4(s) Khảo sát hệ thống trên dùng phương pháp LQG. Sơ đồ khối của một bộ điều khiển LQG như sau: Từ sơ đồ khối trên, ta thấy rằng cấu trúc của bộ điều khiển LQG chính là bộ điều khiển LQR kết hợp với bộ ước lượng Kalman và có xét đến nhiễu quá trình w(k) và nhiễu đo lường v(k). Phương trình Biến Trạng Thái của hệ rời rạc khi có xét đến nhiễu như sau: ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x k x k u k w k y k Cx k Du k v k + = Φ +Γ +⎧⎨ = + +⎩ với luật điều khiển: ˆ( ) ( )u k Kx k= − PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 66 Sơ đồ mô phỏng hệ thống: KẾT QUẢ: Đáp ứng của hệ thống Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 67 θ x0 x y y0 1 2 3 0 3.5.3 Thiết kế H∞ cánh tay mềm dẻo Xét thanh đồng chất, khối lượng phân bố đều, chiều dài là L. Thanh được chia thành 3 phần tử có độ dài bằng nhau 3Lh = . Hình 3.27 : Thanh mềm dẻo được chia thành 3 phần tử PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 68 Chiều dài thanh: l = 0.98 m Khối lượng thanh: m = 0.35 kg Độ cứng biến dạng: EI = 72.2 N.m2 Quán tính trục động cơ: IH = 0.025 kg.m2 Dùng phương pháp phần tử hữu hạn và phương trình Euler-Lagrange mô hình hóa cánh tay mềm dẻo. Định nghĩa vectơ trạng thái như sau: 1 2 3 1 2 3 T q q q q q qθ θ⎡ ⎤= ⎣ ⎦x ? ? ? ? trong đó: θ : góc quay của trục motor dt dθθ =? qi : chuyển vị (độ biến dạng) của nút i dt dq q ii =? Mô hình biểu diễn trạng thái của đối tượng(n=3) có dạng như sau: 12 13 14 11 22 23 24 21 32 33 34 31 42 43 44 41 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T u u u u u u u u u u u u u u u ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ x x? [ ]3 0 0 1 0 0 0 0y l= x Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 69 Hàm truyền đạt của đối tượng: DBAsICsG +−= −10 )()( 0 2 2 2 2 990679.4792 (s+598.2) (s-598.2) (s+167.2) (s-167.2)( ) s (s + 1.309e004) (s + 1.215e005) (s + 93.16s + 8.678e005) s =G Thông thường ,trước khi đưa mô hình vào sử dụng ,cần phải sửa đổi mô hình dựa trên biểu đồ Bode. 2 2 2 2 990679.4792 (s+598.2) (s-598.2) (s+167.2) (s-167.2) (s+1e-006) (s + 11.44s + 1.309e004) (s + 34.86s + 1.215e005) (s + 93.16s + 8.678e005) ( )s =G Ta sử dụng G(s) làm mô hình danh định và sử dụng thủ tục LSDP thiết kế bộ điều khiển Sơ đồ mô phỏng: PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 70 Chú thích các khối trong sơ đồ: Step Khối tạo tín hiệu đặt là hàm nấc thang đơn vị. Gain Bộ tiền xử lý, hệ số khuếch đại = - 2(0) (0)∞K W . W1, W2 Các hàm nắn dạng chỉ định trong thủ tục LSDP Kinf Bộ điều khiển ∞K đạt được sau bước 3 của thủ tục LSDP. Flexible Link Khối giả lập đối tượng điều khiển. Lẽ ra khối này chỉ có một đầu vào – một đầu ra, nhưng phần hoạt hình (animation) cần lấy trạng thái của đối tượng để vẽ, nên khối này còn có các đầu ra phụ q (chuyển vị nút) và Theta (góc quay của trục). Disturbance Khối tạo nhiễu tải, phát tín hiệu có dạng hàm nấc âm. Noise Khối tạo nhiễu đo. Load Nạp dữ liệu từ file loaddata.m để mô phỏng. Design W1 (Raw) Kích hoạt công cụ hỗ trợ thiết kế sơ bộ hàm nắn dạng W1. Design W1 (Fine) Kích hoạt công cụ hỗ trợ thiết kế cho phép tinh chỉnh hàm nắn dạng W1. Plot G/W1/Gs/L/ST Khi nhấp kép chuột vào những khối này, Matlab sẽ vẽ biểu đồ Bode các hàm tương ứng. Info Hiển thị thông tin hệ thống lên Workspace. Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 71 Công cụ hỗ trợ thiết kế Design W1 (Raw) Công cụ này được sửa lại từ công cụ shapemag.m của MATLAB cho tiện sử dụng với phần mô phỏng điều khiển trong luận án này. Design W1 (Raw) có giao diện như sau: Sử dụng: Người thiết kế chỉ định các điểm gãy (điểm chỉ định), các điểm này sẽ tự động được nối với nhau bằng các đoạn thẳng tạo nên dạng chỉ định, sau đó điền bậc mong muốn của W1 vào ô Bậc của W1, và nhấn nút Xấp xỉ để MATLAB phát sinh W1. Sau khi có được W1, người thiết kế cần phải tinh chỉnh lại hàm này bằng công cụ Design W1 (Fine). PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 72 Design W1 (Fine) Công cụ này được xây dựng dựa trên giao diện đồ họa của JF Whidborne và SJ King. Design W1 (Fine) có thể được sử dụng độc lập, hoặc sử dụng để tinh chỉnh dạng của W1 đạt được sau khi sử dụng Design W1 (Raw). Design W1 (Fine) có giao diện như sau: Sử dụng: Nếu Design W1 (Fine) được sử dụng độc lập, thì lúc khởi động W1 = 1; nếu được sử dụng sau Design W1 (Raw), thì W1 sẽ thừa kế kết quả đạt được từ Design W1 (Raw). Người thiết kế có thể thêm/bớt cực-zero, dịch chuyển cực-zero thêm/bớt khâu tích phân, hay thay đổi độ lợi của W1 bằng các công cụ ở bên phải giao diện. Sau cùng, người thiết kế nhấn nút Tính Kinf để tổng hợp bộ điều khiển. Hộp thoại xuất hiện sau khi nhấn nút Tính Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 73 Kinf cho biết thông tin về giá trị minγ đạt được, và đưa ra 3 lựa chọn cho người dùng chọn. Nhấn nút Trở về để quay lại giao diện Design W1 (Fine) hiệu chỉnh W1. Nhấn nút Đáp ứng nấc nếu muốn xem đáp ứng với đầu vào hàm nấc thang đơn vị của đối tượng danh định. Nhấn nút Mô phỏng, kết quả thiết kế (Kinf, W1) sẽ được chuyển vào Workspace để chạy mô phỏng. Load Khi nhấp kép chuột lên khối Load, Simulink sẽ gọi loaddata.m. Tệp này chứa toàn bộ thông số thiết kế của hệ thống. Người thiết kế có thể đặt hàm nắn dạng W1 vào tệp này nếu muốn thiết kế “bằng số” Sau bước thiết kế, Kinf và W1 được nạp vào Workspace dưới dạng mô hình trạng thái. Để chạy mô phỏng, nhấn nút . Kết quả mô phỏng: Chọn hàm nắn dạng: 2 1 2 150.51 (s + 0.9)( ) s (s + 10) ( 2) s s = +W Kết quả thiết kế: PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 74 Giá trị γ nhỏ nhất: minγ = 3.68. Chọn min1.05γ γ= = 3.86 Bộ điều khiển đạt được: 2 2 2 -131.7524 (s+10.17) (s+9.817) (s+2.146) (s + 1.103s + 0.4046) (s+35.13) (s+16.61) (s + 1.799s + 0.8091) (s + 11.61s + 96.32)∞ =K Đáp ứng của hệ thống: r(t) là tín hiệu đặt, y(t) vị trí đầu mút, u(t) là điện áp điều khiển, q(t) là độ dịch chuyển ngang của đầu mút. Hình 3.28: Đáp ứng quá độ của hệ thống Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 75 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP 1. Khái niệm điều khiển bền vững 2. Chuẩn tín hiệu 3. Chuẩn ma trận 4. Định nghĩa vết ma trận ,tính chất, trị suy biến của ma trận-độ lợi chính. 5. Khái niệm ổn định nội , ổn định bền vững và định lý độ lợi nhỏ 6. Điều khiển bền vững LQG (Sơ đồ nguyên lý , bộ quan sát,bộ lọc Kalman , giải thuật thiết kế) 7. Biểu đồ Bode cho hệ đa biến 8. Hàm nhạy và bù nhạy 9. Sai số mô hình phân tích coprime 10. Thiết kế bền vững ∞H 11. Nắn dạng vòng ∞H 12. Thiết kế tối ưu H2 13. Cho hệ thống: Đối tượng G(s) được mô tả: xzuxx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 1 0 0 0 0 1 , 10 01 00 000 030 010 ? Và bộ điều khiển K(s)=2I2 a. Tìm độ lợi vòng đa biến GK(jω ) b. Tìm hàm nhạy và hàm bù nhạy c. Tìm hàm truyền vòng kín từ r(t) đến z(t) và các cực của vòng kín 14. Thiết kế LQG dùng Matlab mô phỏng mô hình con lắc ngược Kr(t) z(t) - G + + + + + n(t) d(t) u(t) s(t)