Dùng đồ thị để giải một số dạng toán 12

-- Trang 1 - DÙNG ðỒ THỊ ðỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN 12 Huỳnh Công Thành Email: [email protected] Ch öông trình to aùn lôùp 12 THPT , ño à thò mo ät so á haøm soá ñ öôïc quan taâm kh aù kyõ , no ù gaàn nhö xuye ân suoát HKI cuûa lô ùp 1 2 . Tu y n hie ân moät ñ ieàu ky ø laï laø ngöôøi ta ít du øng hình d aïng cuï the å cuûa töøn g ñoà th ò ñ eå g iaûi quy eát m oät soá d aïn g to aùn , ch aúng h aïn nh ö moät s oá b aøi to aùn ve à cöïc trò h ay mo ät so á baøi ve à töông giao giö õa 2 ñ öôøn g. Duøng hì nh daïng cuûa ño à thò h aøm so á ñaõ h oïc trong chö ôn g trình to aùn 12 THPT ñe å giaûi qu ye át mo ät so á baøi toaùn . Thie át ng hó ñ aây khoâng p haûi laø ñie àu môùi , thöïc teá tro ng saùch gi aùo khoa söï töô ng giao g iöõa 2 ño à thò ñ aõ ñö ôïc du øng ñe å giaûi quye át so á ng hieäm cuûa m oät phöô ng trình cuõng nhö mo ät soá daïng toaùn k haùc (p höông phaùp chung du øng ch o moïi ñoà thò). Trong baøi n aøy toâi muoán ñeà caäp ñeán phöô ng ph aùp du øng hình daïng cuûa mo ät ño à thò cuï th eå ñ aõ h oïc trong ch öông trìn h ñ eå g iaûi quy eát moät vaøi baøi toaùn goïn gaøng vaø nhan h choùn g h ôn . Khoâng quaù nhieàu tham voïn g, chæ mong goùp mo ät chuùt kinh ngh ieäm nho û beù cuûa m ình laøm phong phu ù the âm k yõ n aêng v aø phöôn g ph aùp giaûi toaùn ñeå quí ño àng ngh ieäp vaø caùc em ho ïc sinh tham khaûo . 1) Quan ta âm 1â ââ : Ño à thò haøm so á y = ax4 + b x2 + c (a ≠ 0 ) a > 0 a < 0 ab ≥ 0 x y x y ab < 0 x y x y -- Trang 2 - Baøi toaùn 1 : (Trích ñe à thi k ho ái B 2 00 2) Cho haøm soá y = m x4 + (m 2 − 9)x2 + 10 (1) Tìm m ñe å haøm s oá (1) coù 3 cö ïc trò Lôøi g iaûi tron g ñaùp a ùnø û ù ùø û ù ùø û ù ù Lôøi gia ûi ñe àø û àø û àø û à ng hò MXÑ : D = R y/ = 4mx 3 + 2(m2 − 9)x = 2x(2mx 2 + (m 2 − 9)) y / = 0 ⇔    =−+= = 0)9(2)( 0 22 mmxxg x Haøm so á (1 ) coù 3 cöïc trò ⇔      ≠ >∆ ≠ 0)0( 0 0 g m g ⇔      ≠− >−− ≠ 09 0)9(2 0 2 2 m mm m ⇔    << −< 30 3 m m Haøm soá (1 ) co ù 3 cö ïc trò ⇔ ab < 0 ⇔ m(m2 − 9) < 0 ⇔ m < - 3 h oaëc 0 < m < 3 Lôøi bình : Roõ raøn g lô øi g iaûi ñ eà ngh ò go ïn hôn , co ù cô sôû ly ù thuyeát “ñ öôøng ho aøng ” . 2) Quan taâm 2â ââ (Chöông trình NC ): Ño à thò haøm s oá y = 11 2 cxb cbxax + ++ (ab1 ≠ 0) ab 1 > 0 ab1 < 0 y/ = 0 coù 2 ng hie äm ph aân bie ät x y x y -- Trang 3 - y/ = 0 vo â ng hie äm x y x y Baøi toa ùn 2ø ùø ùø ù : Cho haøm so á y = x mxx +− 32 2 . Ñònh m ñe å haøm s oá k hoâng coù cöïc trò . Lôøi giaûi phoå b ieán Lôøi g iaûi ñeà ng hò D = R \ 0 2 2 / 2 x mx y − = y/ = 0 ⇔ 2x2 = m Haøm so á khoâng coù cö ïc trò ⇔ m ≤ 0 Ñaët g (x ) = 2x 2 – 3x + m Haøm soá k ho âng coù cöïc trò ⇔ P = m ≤ 0 • Giaûi th ích : Lô øi giaûi ñ eà n ghò xu aát p haùt töø hình d aïng cu ûa ñ oà th ò haøm soá höõu tæ . Ta th aáy haøm soá h öõu tæ (ab 1 ≠ 0 ) kho âng coù cö ïc trò khi vaø chæ k hi h oaëc laø haøm suy bie án (töû ch ia heát ch o maãu ) ho aëc l aø ñ oà th ò luo ân caét Ox taïi 2 ñ ieåm naèm v eà 2 ph ía cuûa TC Ñ. Ñieàu naøy töông ñö ông phöông trình g(x) = 0 ho aëc co ù ng hie äm x = 0 ho aëc co ù 2 ng hieäm x1 , x2 th oûa x1 < 0 <x2 ⇔ P ≤ 0 Baøi toa ùn 3 : ø ùø ùø ù C ho haøm soá mx mmxmx y + ++++ = 4)32( 22 . Tìm m ñe å haøm soá coù 2 cöïc trò v aø 2 giaù trò cöïc trò n aøy traùi d aáu . Lôøi giaûi phoå b ieán Lôøi g iaûi ñeà ng hò D = R \ - m 2 22 / )( 2 mx mmmxx y + −++ = Dö ïa vaøo h ình daïng ño à thò haøm so á ñaõ cho ta co ù : Ycñ b thoûa maõn ⇔ y=0 vo â nghieäm ⇔ ∆ = (2 m+3 )2 – 4 (m 2 + 4m ) < 0 -- Trang 4 - y/ = 0 ⇔ g(x )= x 2 + 2m x + m2 - m = 0 Haøm so á coù 2 cö ïc trò ⇔    ≠− >∆ 0)( 0 mg g ⇔    ≠− > 0 0 m m ⇔ m > 0 Khi ñ où goïi 2 cöïc trò laø x 1 , x2 Goïi y = )( )( xv xu laø haøm so á ñaõ ch o ta tìm ñöô ïc caùc g iaù trò cö ïc trò töô ng öùng laø (p haûi chö ùn g minh ) : 322 )( )( 1 1 1 1 ++== mx xv xu y 322 )( )( 2 2 2 2 ++== mx xv xu y Yeâu caàu ñe à baøi tho ûa maõn khi y1y2 < 0 ⇔ 4x1x2+2(2m+3)(x1 +x 2)+(2m +3 )2 < 0 ⇔ 4(m2-m)+2 (2m +3) (- 2m)+(2m+3)2<0 ⇔ - 4m + 9 < 0 ⇔ m > 4 9 (th oûa m > 0) KL : m > 4 9 ⇔ - 4 m + 9 < 0 ⇔ m > 4 9 Baøi toa ùn 4ø ùø ùø ù : Cho haøm so á y = x mmxx −+− 52 Vôùi n höõn g giaù trò naøo cu ûa m thì haøm s oá co ù CÑ , CT vaø 2 giaù trò cöïc trò naøy cuøng daáu . Lôøi giaûi phoå b ieán Lôøi g iaûi ñeà ng hò D = R \ - m 2 2 / 5 x mx y −+ = y/ = 0 ⇔ g (x )=x 2 + m - 5 = 0 Haøm so á coù 2 cöïc trò ⇔    ≠ >∆ 0)0( 0 g g Dö ïa vaøo h ình daïng ño à thò haøm so á ñaõ cho ta co ù : Ycñ b thoûa maõn ⇔ ñoà thò caét Ox taïi 2 ñie åm pb naèm v eà 1 ph ía TC Ñ ⇔ h (x ) = x2 – mx + 5 – m = 0 co ù 2 nghieäm pb x1 , x2 v aø 0 ∉ [x1;x2] -- Trang 5 - ⇔    ≠ < 5 5 m m ⇔ m < 5 (*) Khi ñ où goïi 2 cöïc trò laø x 1 , x2 Goïi y = )( )( xv xu laø haøm so á ñaõ ch o ta tìm ñöô ïc caùc g iaù trò cö ïc trò töô ng öùng laø (p haûi chö ùn g minh ) : mx xv xu y −== 1 1 1 1 2 )( )( mx xv xu y −== 2 2 2 2 2 )( )( Yeâu caàu ñe à baøi tho ûa maõn khi y1y2 > 0 ⇔ 4x 1x 2-2m (x1+x2)+m 2 > 0 ⇔ 4(m - 5 ) + m2 > 0 ⇔ m2 + 4m - 20 > 0 ⇔     +−> −−< 622 622 m m Keát h ôïp vô ùi (* ) ta ñöô ïc giaù trò m caàn tìm laø     <<+− −−< 5622 622 m m ⇔    > >∆ 0 0 P ⇔    >− >−+ 05 02042 m mm ⇔     <<+− −−< 5622 622 m m (Xong) * LÔØ I KEÁT Ø ÁØ ÁØ Á Khoân g d aùm nghó caùc b aøi g iaûi ñeà ngh ò treân laø moät “p haùt hie än” cuûa ng öôøi vieát baøi naøy . Mong raèn g n où ñöô ïc xem laø moät ñ oùng go ùp n ho nh oû ñeå caùc baïn ñ oàng nghie äp cu õng nhö caùc em ho ïc sinh n eáu chöa quan taâm thì b aây giô ø ñe å yù m oät chuùt x íu ñeán hìn h d aïng cu ï the å cuûa mo ät ñoà th ò ñaõ daïy (hoaëc ñaõ ho ïc) tro ng chö ông trình ph oå thoân g ñ aõ giuùp chu ùng ta g iaûi qu yeát mo ät soá baøi toaùn cuõng raát th uù v ò . Huỳnh Công Thành GV Toán Trường THPT ðức Hòa, huyện ðức Hòa, tỉnh Long An. Em ail: crsth an [email protected]