Báo cáo Tìm hiểu mật mã lượng tử

TRƯỜNG …………………. KHOA………………………. -----[\ [\----- Báo cáo tốt nghiệp Đề tài: TÌM HIỂU MẬT MÃ LƯỢNG TỬ L
I CM N Tr
c ht em xin gi li cm n trân trng n TS. H Vn H
ng, cùng PGS- TS. oàn Vn Ban, các th y ã tn tình ch bo sa cha sai sót giúp em hoàn thành khóa lun này. Em xin trân trng cm n các th y cô giáo Tr
ng i hc Công ngh - i hc Quc gia Hà Ni. Phong cách ging dy, s ch bo nhit tình cng vi nhng kinh nghim quý báu ca th y cô ã thc s em li cho em nhiu kin thc và cái nhìn mi m. Giúp em sau khi ra tr
ng s t tin hn trong công vic, trong ngh nghip mà mình ã chn. Xin chân thành cm n tt c chin hu ã cùng sát cánh trong sut thi gian hc tp. Hà Ni, tháng 5 nm 2010 Sinh viên Phm Tr
ng Sinh M U Cùng v
i s phát trin l
n mnh ca ngành mt mã hc, các nhà mt mã hc ã nghiên c u và  a ra mt h mt mã m
i mang tên “mt mã l ng t”. Mt mã l ng t là h mt mã da trên các tính cht ca c hc l ng t và không ph thuc vào bt c s tính toán nào, do ó nó  c cho là gii pháp chng li s tính toán l
n ca máy tính l ng t. Mt mã l ng t ã  c ch ng minh có kh nng bo mt vô iu kin. Trên th gi
i, ã có rt nhiu n
c ang xây dng mng l ng t nh M, Anh,…  Vit Nam cng ã có nhiu  tài nghiên c u v mt mã l ng t nh ng do tính thi s ca nó, nên tôi vn nghiên c u v mt mã l ng t và chn nó làm  tài cho khóa lun này. Chng 1: M t mã l ng t Gi
i thiu s l c v mt mã l ng t, lch s hình thành mt mã l ng t. Các lý thuyt v c hc l ng t, tính toán l ng t, t ó áp dng nó vào mt mã l ng t. Chng 2: Phân phi khóa l ng t Gi
i thiu v phân phi khóa l ng t, tìm hiu các giao th c trong phân phi khóa l ng t. Ch ng minh kh nng an toàn vô iu kin ca các giao th c trong phân phi khóa l ng t. Cách xác nh gi
i hn li, các ph ng pháp “làm mn khóa” và “tng tính bo mt”. Chng 3: Th c trng công ngh m t mã l ng t,  xut và xây d ng chng trình mô phng m t mã l ng t Gi
i thiu thc trng ca công ngh mt mã l ng t trong thc t, các h
ng i,  xut trong mt mã l ng t. Xây dng ch ng trình mô phng phân phi khóa l ng t theo giao th c BB84. MC LC Chng 1. MT MÃ LNG T ....................................................................... 1 1.1 GI I THI!U V" M#T MÃ L$%NG T& ...................................................................... 1 1.2 LÝ THUY'T L$%NG T& ............................................................................................. 3 1.2.1 Bit l ng t.............................................................................................................. 3 1.2.2 (o l ng l ng t ................................................................................................... 5 1.2.3 Bt nh l ng t.................................................................................................... 6 1.2.4 Liên kt l ng t ..................................................................................................... 7 1.2.5 (nh lý không th sao chép l ng t....................................................................... 9 1.3 TÍNH TOÁN L$%NG T&.............................................................................................. 9 1.3.1 Mt s ký hiu toán hc .......................................................................................... 9 1.3.2 Bin )i bit l ng t.............................................................................................. 10 1.3.3 Phép nhân trng thái l ng t ............................................................................... 10 1.3.4 (o l ng l ng t trên c s* toán hc.................................................................. 11 1.3.5 Trng thái Bell ....................................................................................................... 12 1.3.6 Ch ng minh không th sao chép l ng t............................................................. 15 1.3.7 C)ng l ng t........................................................................................................ 16 1.4 TRUY"N THÔNG L$%NG T& .................................................................................. 18 1.5 MÃ HÓA SIÊU DÀY (+C .......................................................................................... 20 1.6 K'T CH$,NG ............................................................................................................. 21 Chng 2. PHÂN PHI KHÓA LNG T .................................................. 22 2.1 GI I THI!U V" PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& ................................................... 22 2.2 CÁC GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& ............................................... 25 2.2.1 Giao th c BB84 ..................................................................................................... 25 2.2.1.1 Quy
c trong giao th c BB84 ......................................................................... 25 2.2.1.2 Phép o l ng trong giao th c BB84 ............................................................... 25 2.2.1.3 Các b
c thc hin giao th c BB84.................................................................. 27 2.2.1.4 Kh nng tn công ca Nhân trong giao th c BB84 ......................................... 32 2.2.2 Giao th c B92........................................................................................................ 38 2.2.2.1 Các b
c thc hin giao th c B92 .................................................................... 40 2.2.2.2 Kh nng tn công ca Nhân trong giao th c B92............................................ 44 2.2.3 Giao th c EPR....................................................................................................... 47 2.2.3.1 Các b
c thc hin giao th c EPR.................................................................... 49 2.2.3.2 Kh nng tn công ca Nhân trong giao th c EPR ........................................... 50 2.2.4 Xác nh h s gi
i hn li ε ................................................................................ 51 2.2.5 Làm mn khóa và tng tính bo mt ...................................................................... 51 2.2.5.1 Làm mn khóa.................................................................................................... 52 2.2.5.2 Tng tính bo mt .............................................................................................. 54 2.3 K'T CH$,NG ............................................................................................................. 54 Chng 3. THC TRNG CÔNG NGH MT MÃ LNG T, XÂY DNG CHNG TRÌNH MÔ PHNG MT MÃ LNG T VÀ  XUT……………………………………………………………………………..55 3.1 TH/C TR0NG CÔNG NGH! M#T MÃ L$%NG T&.............................................. 55 3.2 CH$,NG TRÌNH MÔ PH1NG GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T&... 57 3.2.1 Mc ích mô phng............................................................................................... 57 3.2.2 Giao th c truyn khóa l ng t............................................................................. 58 3.2.3 Gi
i thiu ch ng trình ......................................................................................... 58 3.2.4 Kt Lun ................................................................................................................ 67 3.3 (" XU2T .NG D3NG C4A M#T MÃ L$%NG T&............................................... 67 K T LUN ............................................................................................................. 68 A. K'T QU5 (0T ($%C.................................................................................................... 68 B. H$ NG PHÁT TRI6N .................................................................................................... 68 C. Ý NGH7A .......................................................................................................................... 69 Danh M!c Hình Hình 1.1 Mô hình trao )i thông tin bí mt Hình 1.2 Mô hình trao )i thông tin bí mt da trên c hc l ng t Hình 1.3 Hai trng thái c bn ca qubit Hình 1.4 Hình c8u Bloch Hình 1.5 Hai c s* quan trng ca qubit Hình 1.6 Minh ha nh lý bt nh l ng t Hình 1.7 S 9 to c:p trng thái Bell Hình 1.8 C)ng l ng t Hadamard Hình 1.9 C)ng l ng t Cnot Hình 2.1 Mô hình phân phi khóa Hình 2.2 Mô hình phân phi khóa l ng t Hình 2.3 Bng chuyn )i bit và qubit trong giao th c BB84 Hình 2.4 Mô hình giao th c BB84 Hình 2.5 Bng giao
c trong giao th c B92 Hình 2.6 C:p ôi không trc chu;n mà An s dng Hình 2.7 Kt qu phép o l ng ca Bình Hình 2.8 S 9 trng thái ca qubit Hình 2.9 Bng giao
c trong giao th c EPR Hình 2.10 S 9 trng thái ca Bình khi An gi qubit có trng thái − Hình 2.11 S 9 trng thái ca Bình khi An gi qubit có trng thái + Hình 2.12 Bng c s* dùng  o l ng ht liên 
i Hình 2.13 S 9 thc hin E91 - 1 - Chng 1. MT MÃ LNG T 1.1 GI"I THIU V MT MÃ LNG T Mt mã l ng t là công ngh cho phép bo mt thông tin truyn i b<ng truyn thông quang, qua quang s i cng nh qua không gian[1] (FSO - Free Space Optical communications). Nó cho phép thông tin  c bo mt "tuyt i", không ph thuc vào  mnh ca máy tính,  ti tân ca dng c hay s xo quyt ca hacker. S bo mt ca mt mã l ng t b=t ngu9n t nh>ng quy lut không th phá b ca t nhiên mà * ây là các tính cht ca c hc l ng t, do ó nó  c xem nh là mt s bo v mnh m? nht có th cho d> liu. Ngu9n gc ca mt mã l ng t  c  a ra b*i Stephen Weisner[11], gi là "Conjugate Coding" t 8u nh>ng nm 70. Sau ó,  c công b vào nm 1983 trên tp chí Sigact News b*i Bennett và Brassard, nh>ng ng i ã nghiên c u nh>ng ý t *ng ca Weisner và phát trin chúng theo cách riêng ca mình. H cho ra "BB84", giao th c mt mã l ng t 8u tiên vào nm 1984, nh ng mãi n tn nm 1991, thí nghim 8u tiên v th th c này m
i  c thc hin thành công qua mt  ng truyn 32 cm. Nh>ng giao thng ngày nay ã  c th nghim thành công trên quang s i *  dài hàng trm km. Hình d
i ây mô t mt giao th c ca mt mã, thông tin nhy cm có th  c làm ri lon b*i ng i gi (An) thành mt dng thông tin mà ng i ngoài không th nhn bit. (iu này  c thc hin b*i mt công th c toán hc, gi là thut toán mã hóa. Ng i nhn  c (Bình) s? có thut toán gii mã  tìm li d> liu ban 8u. Hình 1.1: Mô hình trao i thông tin bí mt ( gi thông tin mt cách bí mt, khóa gii mã phi  c truyn i mt cách bí mt. Nh ng khi ng i nhn nhn  c mt khóa thì làm th nào xác minh  c khóa này là - 2 - tht và nó  c gi> bí mt? Tr
c ây, iu này là không th. Mt mã l ng t gii quyt vn  này! Nó cho phép ng i gi và ng i nhn xác minh tính bo mt ca tng khóa. .ng dng trc tip nht ca mt mã l ng t là quá trình truyn khóa bí mt. Ti sao không dùng  ng truyn l ng t này  truyn trc tip thông tin c8n truyn i? B*i vì l ng thông tin trong mt  ng truyn l ng t không nhiu và tc  không cao. Nh vào quá trình mã hóa mà s truyn thông tin này có th  a n s bo mt cao cho  ng truyn khác có tc  trao )i thông tin cao hn rt nhiu. Nguyên lí ca s trao )i thông tin l ng t này da vào s quan sát các trng thái l ng t; nh>ng photon  c truyn i  c :t trong mt trng thái riêng bit b*i ng i gi và sau ó  c quan sát b*i ng i nhn. B*i theo thuyt t ng i, nh>ng trng thái l ng t liên h p không th  c quan sát cùng mt lúc. Tùy theo cách quan sát, giá tr ca h o  c s? khác nhau, nh ng trong mt h các trng thái liên h p duy nht; ví d nh phân cc ca photon  c mô t b*i mt trong ba h khác nhau: phân cc ph@ng, phân cc c8u hay phân cc elip. Nh vy, nu ng i gi và ng i nhn không tha thun tr
c v h quan sát  c s dng, ng i nhn có th tình c hy thông tin ca ng i nhn mà không nhn  c gì có ích. Nh vy, s tip cn n gin nht v  ng truyn l ng t là: ng i gi mã hóa thông tin b*i các trng thái l ng t, ng i nhn quan sát các trng thái ó, sau ó nh vào tha thun t tr
c v h quan sát, ng i gi và ng i nhn trao )i thông tin mt cách úng =n. Ta xét tr ng h p mt kênh truyn bo mt thông th ng và có "ng i tn công * gi>a" (man-in-the-middle attack). Trong tr ng h p này, ng i nghe lén (Nhân)  c cho là có kh nng iu khin kênh truyn, có th  a thông tin vào và ly thông tin ra không có thiu sót nào hay  trA nào. Khi An c g=ng thit lp khóa bí mt cùng Bình, Nhân tham gia vào và tr li tin theo c hai h
ng, làm cho An và Bình t *ng r<ng h ang nói chuyn v
i nhau. Khi khóa bí mt  c thit lp, Nhân nhn, sao chép và gi li thông tin  m bo An và Bình nói chuyn v
i nhau bình th ng. Gi s r<ng thi gian x lí tín hiu là  nhanh, Nhân có th nhn  c toàn b khóa bí mt và do ó nhn  c tt c thông tin  c truyn i gi>a An và Bình v
i không mt phát hin nào. Nh ng khi mt mã l ng t  c áp dng trong các quy lut l ng t; trng thái l ng t ca photon không th  c sao chép. Nh vy, mt cách t nhiên, khi Nhân c g=ng ly thông tin mã hóa b*i mt photon, s nghe lén này s? gây li * phía Bình. (iu này s? cho phép An và - 3 - Bình nhn bit  c khi nào  ng truyn ca h b tác ng b*i ng i nghe lén th ba, khi ó h có th chuyn qua kênh truyn khác, hay n gin hn là làm trA  ng truyn li v
i các khóa  c thay )i liên tc. Hình 1.2: Mô hình trao i thông tin bí mt da trên c hc l
ng t Ngoài kh nng trao )i khóa nh các h mt mã thông th ng, mt mã l ng t còn có kh nng phát hin s xut hin ca bên th ba tham gia vào phiên truyn khóa. (ây là tính cht n)i tri so v
i các h mt mã khác, cng vì có tính cht này hai bên trao )i khóa dA dàng bit  c khóa sau khi trao )i có thc s an toàn không. 1.2 LÝ THUY T LNG T 1.2.1 Bit l ng t Mt qubit (vit t=t ca quantum bit[7]) hay bit l ng t là mt n v thông tin l ng t. Trong ó miêu t mt h c hc l ng t có hai trng thái c bn th ng  c ký hiu là 1 và 0 (c là két 0 và két 1) ho:c 0 và 1 (c là bra 0 và bra 1) t ng ng v
i hai trng thái phân cc th@ng dc và phân cc th@ng ngang ca photon. Hình 1.3: Hai trng thái c bn ca qubit - 4 - Khác v
i mt bit c) in thông th ng chB nhn mt trong hai giá tr 1 ho:c 0, mt trng thái qubit thu8n túy là ch9ng chp l ng t tuyn tính ca hai trng thái c bn trên. Nh vy mt qubit  c biu diAn: 10 βαψ += Trong ó α và β  c gi là biên  xác sut và giá tr chúng có th nhn là s ph c. ( n gin ng i ta th ng biu diAn trng thái ca qubit d
i dang vector: [ ]βαβαψ =+= 10 ho:c
     =+= β α βαψ 10 Khi o l ng ψ trong c s* c bn chB cho ta 1 v
i xác sut là 2α ho:c cho 0 v
i xác sut là 10 βαϕ += , do ó ta có 122 =+ βα Không gian trng thái ca b nh
qubit có th miêu ta trên hình hc b<ng hình c8u Bloch. Nó là không gian hai chiu, nghCa là trng thái l ng t ca mt qubit có hai bc t do. Mt b nh
ch a n qubit s? có 22 1 −+n bc t do. Hình 1.4: Hinh c u Bloch Trong khi c8u Bloch, tt c các trng thái ca qubit có th vit d
i dng liên h p ch9ng chp ca 1 và 0 . Nh vy ψ  c biu diAn: 1)2sin()sin(cos0)2cos(1)2sin(0)2cos( θϕϕθθθψ ϕ ie i ++=+= V
i: Π≤≤ θ0 , Π≤≤ 20 ϕ Các giá tr ca (x, y, z) ti ψ trong hình c8u  c tính: φ ϕθ ϕθ cos sinsin cossin = = = z y x - 5 - Trong mt mã l ng t, ngoài hai trng thái c bn là ( )1,01 = và )0,1(0 =  c s dng chúng ta còn quan tâm n hai trng thái c bn khác ca l ng t là: )1,1( 2 1 )10( 2 1 =+=+ và )1,1( 2 1 )10( 2 1 −=−=− . Trng thái − và + ca bit l ng t t ng ng v
i s phân cc ca photon là phân cc chéo o45 và o135 . 1.2.2 (o l ng l ng t (o l ng l ng t là hành ng dùng các thit b trong l ng t  quan sát trng thái ca các photon phân cc. Trong mt mã l ng t, o l ng là mt hành ng không th tách ri, da vào trng thái ca các pohoton phân cc o  c mà ta quyt nh xem bit c) in t ng ng ca nó là 1 hay 0. Mt khái nim chúng ta c8n quan tâm khi nguyên c u c hc l ng t là c s*. C s*  c to thành t c:p ôi trc chu;n. (iu ó có nghCa là nu hai trng thái ϕ và ψ trong cùng c s* ∗ luôn có tích vô h
ng ca hai vector b<ng 0 hay 0=ψϕ . Mt trng photon bt kD  c o trong c s* ∗ thì kt qu o l ng chB có th cho là ϕ ho:c ψ . Xét bn thái c bn ca l ng t va  cp * trên là −+ ,,0,1 , ta có 001 = . Nh vy c:p 0,1  c gi là c:p ôi trc chu;n, c:p ôi này to lên c s* ⊕ gi là c s* ngang. T ng t t −+ , cng là c:p ôi trc chu;n to lên c s* chéo ⊗ . Hình 1.5: Hai c s quan trng ca qubit Khi o l ng l ng t, mt photon phân cc  c sinh ra trong c s* nào s?  c o l ng úng trong c s* ó. Photon sinh ra trong c s* ⊕ và trng thái phân cc ca nó - 6 - là 0 (ho:c 1 ) thì sau khi ta o l ng nó ta cng  c trng thái phân cc là 0 (ho:c 1 ). Cng nh vy, photon sinh ra trong c s* ⊗ và trng thái phân cc ca nó là − (ho:c + ) thì sau khi ta o l ng nó ta cng  c trng thái phân cc là − (ho:c + ). 1.2.3 Bt nh l ng t (nh lý bt nh l ng t phát biu r<ng kt qu ca phép o l ng mt photon phân cc chB úng khi và chB khi tp h p các trng thái ca c s* o l ng ch a trng thái ca nó[7]. (nh lý này cng nói r<ng, nu mt photon  c to ra trong mt c s* và  c o l ng * c s* khác thì kt qu là photon b phân cc trong c s* m
i và kt qu ca phép o l ng là ngu nhiên. Hình 1.6: Minh ha nh lý bt nh l
ng t - 7 - Ví d: Nu ta sinh ra 1 photon 0 (ho:c 1 ) và o l ng nó trong c s* ⊗ thì kt qu s? thu  c là + ho:c − v
i xác sut 50/50. Nh vy, nu ai ó mun bit thông tin v mt qubit nào ó thì h phi bit c s* mà nó  c sinh ra. (ây là mt trong nh>ng tính cht quan trng trong c hc l ng t  c s dng trong mt mã l ng t. 1.2.4 Liên kt l ng t Liên kt l ng t là hiu ng trong c hc l ng t trong ó trng thái l ng t ca hai hay nhiu vt có th liên h v
i nhau dù chúng có n<m cách xa nhau. (iu này nghCa là phép o thc hin trên vt th này s? nh h *ng trc tip n trng thái l ng t trên vt th liên kt l ng t v
i nó[7]. Liên kt l ng t th ng  c mô t v
i hai photon có s liên h v
i nhau, trng thái ca photon này quyt nh trng thái ca photon kia. Nu o l ng trng thái ca mt photon thì ngay lp t c s? bit  c trng thái ca photon có liên h v
i nó. (iu này cng có nghCa là nu ta buc photon này có trng thái nào ó thì lp t c photon kia cng có trng thái t ng ng. S liên h gi>a hai photon ch ng t ra chúng có mt mi quan h t ng tác nào ó. Mi quan h t ng tác này là mt h qu ca các nh lut trong c hc l ng t. Xét hai h thng l ng t AH và BH  H thng g9m hai h thng AH và BH là tích tensor ca các trng thái trong h thng BA HH Θ . Nh vy nu h thng AH có trng thái A ψ và h thng BH có trng thái Bψ thì trng thái ca h thng h p thành là: BA ψψ Θ , nh vy trng thái ca h thng tính theo công th c trên là trng thái có th tách ri ho:c trng thái tích các h thng. Vy hin t ng liên kt l ng t  c th hin nh th nào? Gi s h thng AH có c s* { } A i và Gi s h thng bH có c s* { }Bi . Trng thái ca h thng BA HH Θ  c biu diAn:  Θ= ji BAijAB jiC , ψ Trong ó: A i A iA iC=ψ và B j B jB iC=ψ . - 8 - Trng thái AB ψ  c gi là có th tách ri  c nu Bj A iij ccc = , và không th tách ri  c nu Bj A iij ccc ≠ . Trng thái liên kt l ng t là trng thái ca h thng không th tách ri  c. Trong mt mã l ng t chúng ta s dng nhiu n trng thái Bell ca liên kt l ng t. Bn trng thái Bell ca hai qubit  c gi> b*i An(chB s d
i A) và Bình(chB s d
i B): )0110( 2 1 )0110( 2 1 )1100( 2 1 )1100( 2 1 BABA BABA BABA BABA −= += −= += − + − + ψ ψ φ φ Ta s? xem xét ý nghCa ca các trng thái Bell trên. Xét trng thái +φ : Nu An o l
ng qubit mà anh ta n m gi trong c s ⊕ thì kt qu là ng!u nhiên 1 ho"c 0 vi xác sut nh
nhau.
Nu kt qu phép o l
ng ca An là 0 trng thái ca h thng lúc ó là BA 00 .
Nu kt qu phép o l
ng ca An là 1 trng thái ca h thng lúc ó là BA 11 . Sau ó Bình o l
ng qubit mà anh ta n m gi trong cùng c s mà An thì kt qu mà anh ta nhn
c ph# thuc vào trng thái ca h thng lúc ó:
Nu trng thái ca h thng lúc ó là BA 00 thì kt qu phép o l
ng ca An là 0 .
Nu trng thái ca h thng lúc ó là BA 11 thì kt qu phép o l
ng ca An là 1 . Tính cht quan trng ca liên kt l ng t là không th tách ri thành các thành ph8n. (iu này có nghCa là không th tìm ra hai qubit σ và σ ′ sao cho +=′Θ φσσ . Xét v m:t mt mã, tính cht này là c s* hình thành giao th c phân phi khóa l ng t EPR mà chúng ta s? tìm hiu * nh>ng ph8n sau. - 9 - 1.2.5 (nh lý không th sao chép l ng t (nh lý không th sao chép l ng t là mt kt qu ca c hc l ng t. (nh lý phát biu r<ng, không th to bn sao ca mt qubit khi ch a bit c s* mà qubit c8n sao chép  c to ra[7]. 1.3 TÍNH TOÁN LNG T 1.3.1 Mt s ký hiu toán hc Trong tính toán l ng t, mt qubit 10 βαω += th ng có th biu diAn d
i hai dng.  Dng th nht c là “ket”, ký hiu là
     = β α ω  Dng th nht c là “bra”, ký hiu là [ ]βαω = ωϕ (vit t=t ca ωϕ ) là tích ca ma trn 1x2 và ma trn 2x1. Ví d 10 11 βαϕ += và 10 22 βαω += [ ] 2121 2 2 11 ββααβ α βαωϕ +=
     = . Chú ý r$ng: 10011 === ωω và 01001 == t ng t v
i mi ϕ ta có 1=ϕϕ ωϕ (vit t=t ca ωϕ Θ ) là phép nhân ca qubit trong l ng t. Cho ma trn


       = nnn n aa aa A

1 111 là ma trn vuông cp n trên tr ng s ph c, và có ijijij ia βα += ( )nji ≤≤ ,1 


       = nnn n aa aa A

1 111 là ma trn liên h p ca A ijijij ia βα −= 


       = T nn T n T n T T aa aa A

1 111 là ma trn chuyn ca ma trn A ji T ij aa = - 10 - 


       = ++ ++ + nnn n aa aa A

1 111 là ma trn liên h p Hermitian TAA = + hay jijiij ia βα −= + . 1.3.2 Bin )i bit l ng t Trong c hc l ng t, chúng ta có th bin )i photon phân cc t trng thái này sang trng thái khác. S bin )i ca mt qubit ϕ thành ϕ ′  c diAn t b*i “ma trn n v bin )i” U. ϕϕ U=′ Ma trn n v bin )i là nh>ng ma trn Pauli, t c là các ma trn U tha mãn iu kin IUU =+ , nghCa là 1−+ =UU . Ví d:
     =+= β α βαϕ 10 Và
     = 01 10 U 1.3.3 Phép nhân trng thái l ng t Trng thái ca mt h thng liên h p các qubit là tích tensor ca các trng thái qubit có trong h thng liên h p ó. Nu h thng có n qubit v
i trng thái riêng lE là nϕϕϕϕ ,...,, 322 thì trng thái liên h p ca chúng s? là nϕϕϕϕ ...321 ΘΘΘ Ví d: Trng thái ca mt h thng g9m 2 qubit: 101 ba +=ϕ và 102 dc +=ϕ thì trng thái ca h thng là: 1101100021 bdbcadac bd bc ad ac d c b a +++=



        =
     Θ
     =Θϕϕ 10 10 01 10 αβϕ αβ α β β α ϕϕ +=′ +=
     =
    
     ==′ U - 11 - 1.3.4 (o l ng l ng t trên c s* toán hc (o l ng l ng t  c mô t b*i tp h p { }mM ( mmm aaM Θ= , ma là trng thái ca qubit sau khi thc hin phép o l ng) ca toán t o l ng. ChB s m là 8u ra có th sy ra trong thí nghim. Nu trng thái ca qubit tr
c khi o l ng là ϕ thì:  Xác sut sy ra m sau thí nghim là ϕϕ mmMMmp +=)( .  Trng thái ca qubit sau phép o l
ng là: ϕϕ ϕ mm m MM M + .  Tp hp { }mM phi m bo:  =+ m mm IMM .  Tng xác sut sy ra b$ng 1:   == + m m mmMMmP 1)( ϕϕ . Ví d: Nu ta thc hin phép o l ng 10 βαϕ += trong c s* ⊕ , tp h p ca toán t o l ng s? là { } ),( 10 MMM m = v
i: [ ]
     =
     Θ=Θ= 00 01 0 1 01000M và [ ]
     =
     == 10 00 1 0 10111M IMMMMMM m mm =
     =+= +++ 10 01 1100 Xác sut sy ra sau thí nghim cho ta 0 là: [ ] 200 00 01 )0( αϕϕ =
    
     == + b a baMMp Xác sut sy ra sau thí nghim cho ta 1 là: [ ] 211 10 00 )1( β β α βαϕϕ =
    
     == +MMp  =+=+= m ppmp 1)1()0()( 22 βα . Tha mãn t)ng xác sut b<ng 1. Trng thái ca qubit sau o l ng: • Nu kt qu là 0 là 0 0 1 00 01 2 00 0 α α α α α β α ϕϕ ϕ =
     =
    
     = MM M t - 12 - • Nu kt qu là 1 là 1 1 0 10 00 2 00 0 β β β β β β α ϕϕ ϕ =
     =
    
     = MM M t Ngoài ra, nu o l ng 10 βαϕ += trong c s* trc chu;n 10 bav += và 01 abv −=′ (trong ó 122 =+ ba ). Ta có: [ ] 0=−=
     − =′ baab a b bavv  v và v′ là c:p trc chu;n ca mt c s* nào ó. [ ]
     =
     Θ=Θ 2 2 bab aba b a bavv Và [ ]
     − − =
     − Θ−=′Θ′ 2 2 aab abb a b abvv . Ivvvv =
     =′Θ′+Θ 10 01 Nh vy: vabvba vvvvvv vvvvvvvv vvvvvvvvI ′−++= ′′+′++= ′Θ′+Θ+′Θ′+Θ= +′Θ′+Θ=′Θ′+Θ== )()( )10()10( )11()00( )10)(()( βαβα βεβα βα βαϕϕϕ T biu th c trên ta dA tính  c xác sut o  c v là ( )2ba βα + , và xác sut o  c v′ là ( )2ab βα − . 1.3.5 Trng thái Bell Trng thái Bell là nh>ng trng thái ca liên kt l ng t :t theo tên ca nhà khoa hc J. S. Bell,  c ng dng vào trong mt mã l ng t[8]. ( to ra liên kt l ng t theo trng thái Bell ca hai photon phân cc trong phòng thí nghim ng i ta dùng hai qubit 0=ϕ và 0=ω - 13 -  Bin )i qubit ϕ thành ϕ ′ qua
     − == 11 11 2 1 1 HU ( )10 2 1 1 1 2 1 0 1 11 11 2 1 +=
     =
    
     − ==′ ϕϕ H  Lúc này h thng hai qubit s? có trng thái [ ]



        =
     =Θ
     =Θ′= 0 1 0 1 2 1 01 01 2 1 01 1 1 2 1 ωϕδ  Bin )i δ thành δ ′ qua



        == 0100 1000 0010 0001 2 notCU Nh vy ta ã to  c c:p liên kt l ng t có trng thái +φ t hai qubit 0 . T ng t th, t các c:p 8u vào khác ta s? to  c các trng thái khác ca Bell: ( ) +=+→ φ1100 2 1 00 ; ( ) +=+→ ψ0110 2 1 10 ( ) −=−→ φ1100 2 1 01 ; ( ) −=−→ ψ0110 2 1 11 Nh vy các c:p trng thái Bell ca hai qubit có th  c to ra theo s 9: Hình 1.7: S to c"p trng thái bell ( ) +=+=



        =



       



        ==′ φδδ 1100 2 1 1 0 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0100 1000 0010 0001 notC - 14 - ( ch ng minh s liên h l ng t ca các trng thái Bell ta l8n l t thc hin phép o l ng σ và +φ trên tp h p { } ),( 10 MMM m = ca toán t o l ng. Trong ó



        = 0000 0100 0000 0001 0M và



        = 1000 0000 0010 0000 1M  (o l ng σ : • Xác sut sy ra 0 sau o l ng là: [ ] 1 0 1 0 1 2 1 0000 0100 0000 0001 0101 2 1 )0( 00 =



       



        == + σσ MMp • Kt qu sy ra 0 sau o l ng là: σ σσ σ =



        =



       



        = + 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0000 0100 0000 0001 10 0 MM M  (o l ng σ trong c:p toán t o l ng { } ),( 10 MMM m = không làm thay )i trng thái ca h thng, nghCa là phép o l ng mt qubit trong c:p không làm nh h *ng n qubit khác trong c:p ó.  (o l ng +φ : • Xác sut sy ra 0 sau o l ng là: [ ] 2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 0000 0100 0000 0001 1001 2 1 )0( 00 =



        =



       



        == +++ φφ MMp - 15 - • Kt qu sy ra 0 sau o l ng là: 00 0 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 0000 0100 0000 0001 00 0 =



        =



       



        = + σσ σ MM M • T ng t ta có: Kt qu ca phép o l ng sy ra 1 là 2 1 và kt qu sau phép o l ng là 11  (o l ng σ trong { } ),( 10 MMM m = làm thay )i trng thái ca h thng, 8u ra là 11 v
i xác sut 2 1 và 00 v
i xác sut 2 1 . (iu này có nghCa là phép o l ng mt qubit trong c:p làm nh h *ng n qubit còn li trong c:p ó  +φ là trng thái ca photon phân cc trong hin t ng liên kt l ng t. 1.3.6 Ch ng minh không th sao chép l ng t Gi s có th sao chép  c trng thái ca qubit σ mà ta ch a bit thông tin b<ng cách bin )i t trng thái ϕ khác v trng thái ca σ thông qua mt ma trn n v bin )i U. Nh vy ta có: BABA U σσϕσ = (1) T ng t ta cng có: ABAB U ωωωϕ = (2) T (1) và (2): BAABBAAB UU σσωωϕσωϕ = M:t khác ta có U là ma trn n v bin )i IUU = Do ó ta có BAABBAAB σσωωϕσωϕ = Li có BAABAA σσωωσωϕϕ == 1 Nh vy 1= BB σω ho:c 0= AA σω BABA U ωωϕω = - 16 -  ω và σ phi cùng c s*, t c là σω = ho:c ω và σ cùng là hai trng thái trc giao. Nh vy ta chB có th o l ng  c trng thái ca qubit khi bit  c c s* ca nó, ó chính là ni dung nh lý không th sao chép l ng t. 1.3.7 C)ng l ng t[7] C)ng l ng t là các ma trn bin )i. Nó thc hin phép bin )i t trng thái l ng t này sang trng thái l ng t khác. C)ng l ng t th ng  c biu diAn b<ng các ma trn unitary, là ma trn tha mãn iu kin IUU T = . C#ng Hadamard: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó bin )i trng thái l ng t t +→0 và −→1 . C)ng Hadamard  c biu diAn b*i ma trn H:
     − = 11 11 2 1 H Hình 1.8: Cng l
ng t Hadamard C#ng Pauli-X: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó thc hin phép bin )i 01 → và 10 → . C)ng Pauli-X  c biu diAn b*i ma trn X:
     = 01 10 X C#ng Pauli-Y: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó  c biu diAn b*i ma trn Y:
     − = 0 0 i i Y C#ng Pauli-Z: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó thc hin phép bin )i 00 → và 11 −→ . C)ng Pauli-X  c biu diAn b*i ma trn Z:
     − = 10 01 Y C#ng d$ch chuy%n pha: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó  c biu diAn b*i ma trn ( )θR : ( )
     = θ θ ie R 0 01 - 17 - Trong ó θ là dch chuyn pha. Nó có th% nhn các giá tr khác nhau nh
,..2,4,8 pipipi C#ng hoán v$ thc hin trên hai qubit. Nó thc hin vic hoán v trng thái ca hai qubit. C)ng dch chuyn pha  c biu diAn b*i ma trn SWAP:



        = 1000 0010 0100 0001 SWAP C#ng iu khi%n thc hin trên hai qubit. C)ng iu khin n gin nht là controlled-Not (CNot). C)ng CNot thc hin toán t not lên qubit th hai nu qubit th nht là 1:



        = 0100 1000 0010 0001 Cnot Hình 1.9: Cng l
ng t Cnot C#ng Toffoli thc hin trên 3 qubit. C)ng Toffoli thc hin Pauli-X trên qubit th ba khi hai qubit 8u là 11 . Phép toán trên 3 qubit σ , ϕ , ω khi qua c)ng Toffoli  c vit d
i dng:  ==  → ωϕσ ϕσωϕσ ωϕσ ,, 1,, ,, NeuX Toffoli C#ng l ng t ph# quát: Tp h p các c)ng l ng t ph) quát là tp h p các c)ng mà bt kD các hot ng có th có trên máy tính l ng t có th gim b
t, có nghCa là, mi hot ng khác n nht có th diAn t nh là chui h>u hn các b này. V m:t k thut, iu này là không th, vì s l ng các c)ng l ng t là không m  c, trong khi s l ng các dãy h>u hn t mt tp h>u hn là m  c. ( gii quyt vn n này - 18 - chúng ta chB yêu c8u bt kD hot ng c hc l ng t có th xp xB b*i mt tp h p các c)ng h>u hn  Mt tp h p n gin ca 2 c)ng l ng t ph) quát là c)ng Hadamard (H), c)ng dch chuyn pha ( )4piR và c)ng CNot.  Mt c)ng l ng t ph) quát có th thc hin trên ba qubit là c)ng Deutsch ( )θD :  ==−+ → cba baneucbacbai cba ,, 11,,)(sin,,)(cos ,, θφ • Chú ý r$ng cng toffili là mt tr
ng hp ca cng Deutsch vi 2 piθ = 1.4 TRUYN THÔNG LNG T Truyn thông l ng t là công ngh s dng  truyn thông tin l ng t t h thng này n h thng khác thông qua trng thái Bell. Gi s ccc 01 βαϕ += là qubit mà An mun truyn n Bình. An và Bình cùng chia sE nhau mt trng thái Bell. Trng thái Bell ó có th là: )0110( 2 1 )0110( 2 1 )1100( 2 1 )1100( 2 1 BABA BABA BABA BABA −= += −= += − + − + ψ ψ φ φ Trong ó ch s A vit d
i là photon
c n m gi bi An và B là photon n m gi bi Bình. Gi s trng thái Bell mà An và Bình chia sE là +φ . Khi ó h thng l ng t ca A lúc ó là: ( ) ( ) CBACBACBACBA ccBABACAB 111011100000 2 1 10)1100( 2 1 βαβα βαϕφ +++= +     +=Θ+ Ta cng  ý thy r<ng: - 19 - )( 2 1 11 )( 2 1 01 )( 2 1 10 )( 2 1 00 −+ −+ −+ −+ −= −= += += φφ ψψ ψψ φφ Do ó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) BBACBBAC BBACBBAC BACACBACAC BACACBACAC CAB 10 2 1 10 2 1 10 2 1 10 2 1 11 00 2 1 βαψβαψ βαφβαφ φφβψψα ψψβφφα ϕφ +−Θ++Θ+ −Θ++Θ=      −+−+ +++ = =Θ ++ −+ −+−+ −+−+ + Ta thc hin phép o l ng h thng này trên c s* trng thái Bell. Kt qu ca phép o l ng là mt trong s bn trng thái Bell  c ly t mt trong bn biu th c trng thái sau: ( ) BBAC 10 βαφ +Θ+ ( ) BBAC 10 βαφ −Θ− ( ) BBAC 10 βαψ +Θ+ ( ) BBAC 10 βαψ +−Θ+ Ta chú ý r<ng An và Bình cùng chia sE trng thái Bell, o ó sau khi An o l ng c:p liên kt l ng t b phá vF và trng thái ca qubit mà Bình n=m gi> lúc ó s? là mt trong bn trng thái sau: BB 10 βα + BB 10 βα − BB 10 αβ + BB 01 βα +− - 20 - Kt qu ca phép o l ng ca An s?  c gi cho Bình qua  ng truyn khác. T kt qu ó, Bình thc hin phép bin )i l ng t phù h p   c trng thái BBB 01 βαϕ += theo công th c:  Nu kt qu ca An là +φ thì Bình nhn  c B ϕ mà không c8n bin )i.  Nu kt qu ca An là −φ thì Bình thc hin cho qubit qua c)ng Pauli-Z.  Nu kt qu ca An là +ψ thì Bình thc hin cho qubit qua c)ng Pauli-X.  Nu kt qu ca An là −ψ thì Bình thc hin cho qubit l8n l t qua c)ng Pauli-X và Pauli-Z. Nu công ngh truyn thông này thành hin thc chúng ta có th chuyn mt vt t ni này t
i ni khác trong nháy m=t b<ng các thit b l ng t, mà không c8n dùng t
i các ph ng tin vn ti. 1.5 MÃ HÓA SIÊU DÀY &C Mã hóa siêu dày :c là công ngh s dng tính cht ca trng thái Bell ca c:p qubit nh<m mc ích gi hai bit c) in. An và Bình cùng chia sE mt trong bn trng thái Bell. Gi s trng thái mà An và Bình cùng chia sE là: V
i mi c:p trng thái Bell, An thc hin mã hóa hai bit c) in vào trng thái Bell. Cách mã hóa rt n gin, An thc hin cho qubit mà anh ta n=m gi> qua các c)ng thích h p   a t trng thái Bell ban 8u qua các trng thái Bell khác. Công th c mã hóa  c s dng nh sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) −+ ++ −+ ++ =ΘΘ→ =Θ→ =Θ→ =Θ→ ψψ ψψ φψ φψ XIZI XI ZI II 11 10 01 00 )1100( 2 1 BABA +=+φ - 21 - Sau khi An mã hóa, An thông báo cho Bình nh>ng trng thái Bell ã mang thông ip. Bình thc hin o l ng qubit mà mình n=m gi> trong c s* Bell. Kt qu ca phép o s?  c chuyn ng c li bit c) in: 11 10 01 00 → → → → − + − + ψ ψ φ φ Mã hóa siêu dày :c là mt công ngh rt áng giá  8u t tin ca và công s c  phát trin. Trong t ng lai, nu phát trin  c, nó s? tr* thành h
ng i chính ca ngành mt mã hc. 1.6 K T CHNG Trong ch ng này, tôi ã trình bày s c8n thit ca s phát trin ca mt mã l ng t, các tính cht quan trng ca c hc l ng t  c s dng trong ngành mt mã hc. Cng trong ch ng này, tôi trình bày cách tính toán, bin )i ca qubit, là c s*  to ra các qubit trong thc t. Ngoài ra tôi tôi còn gi
i thiu mt s công ngh áng chú ý ca c hc l ng t nh truyn thông l ng t, mã hóa siêu dày :c. - 22 - Chng 2. PHÂN PHI KHÓA LNG T 2.1 GI"I THIU V PHÂN PHI KHÓA LNG T Nh chúng ta ã bit, các thut toán hin i , nh Chu;n mã hóa tiên tin (AES) rt khó b phá vF nu nh không có khóa, nh ng h thng này có mt nh c im hin nhiên: ó là khóa phi  c bit v
i c hai phía. Nh vy, bài toán truyn thông kín quy v bài toán làm sao phân phi nh>ng khóa này mt cách an toàn – tin nh=n mã hóa khi ó chính nó có th  c an toàn gi i theo mt kênh công khai. Mt ph ng pháp ph) bin là s dng mt i t ng mang an toàn  vn chuyn khóa t ni g*i n ni nhn. Hình 2.1: Mô hình phân phi khóa Gi s, An mun gi cho Bình mt tin nh=n bí mt, nh mt bn giao dch ngân hàng, thông tin chính tr… trên mt kênh viAn thông có kh nng không an toàn. ( làm vic này, An và Bình phi chia sE mt khóa bí mt – ó là mt s nh phân dài. Sau ó, An có th mã hóa tin nh=n ca anh ta thành “mt mã” b<ng mt khóa chung v
i thut toán mã hóa, ví d nh AES. Mt mã sau ó có th  c truyn i b liu bình th ng, khi ó kE nghe trm s? không th hiu  c, và Bình có th s dng khóa ó  gii mã tin nh=n. Trái v
i ph ng pháp truyn thng ca s phân phi khóa, ví d mt i t ng mang  c tin cy, mt mã l ng t m bo s an toàn ca khóa ó. Khóa cng có th th ng xuyên thay )i, do ó làm gim nguy c b ánh c=p ho:c b suy ra b*i mt phép phân tích thng kê gii mã ca mt mã. Tuy nhiên, bt c ph ng pháp phân phi nào da trên con ng i cng làm t)n hi các khóa do t ý ho:c b ép buc tit l. Trái li, mt mã l ng t, hay s phân phi khóa l ng t chính xác hn, mang li mt ph ng pháp t ng phân phi các khóa bí mt b<ng s i quang truyn thông chu;n[1]. (:c tr ng mang tính cách mng ca phân phi khóa l ng t là nó vn dC an toàn: gi s r<ng các nh lut ca thuyt l ng t là úng, - 23 - thì chúng ta có th ch ng minh khóa ó không th b kE nghe trm thu  c mà không có s hiu bit ca ng i gi và ng i nhn. Hn n>a, phân phi khóa l ng t cho phép khóa thay )i th ng xuyên, làm gim nguy c mt trm khóa, ho:c “gii mã”, trong ó kE nghe trm phân tích các kiu trong tin nh=n mã hóa  suy lun ra khóa bí mt. Phân phi khóa l ng t s dng các tính cht ca c hc l ng t, dùng  phân phi khóa h mt mã i x ng. Trong phân phi khóa l ng t, chúng ta s dng hai kênh truyn là kênh truyn l ng t và kênh truyn thông th ng. Kênh truyn l ng t là kênh truyn s dng k thut l ng t  truyn i các qubit thông qua cáp quang ho:c không gian. Kênh truyn thông th ng là kênh truyn công khai dng k thut TCP/IP… Mô hình phân phi khóa l ng t gi>a An (ng i gi) và Bình (ng i nhn), tùy theo giao th c c th mà ng i ta chia ra làm các b
c c th, nh ng nhìn chung g9m bn giai on:  Giai on th' nht: An thc hin mã hóa các bit c) in vào các photon phân cc (qubit), r9i chuyn các qubit này cho Bình. Bình thc hin o l ng các qubit này,  thit lp khóa ban 8u.  Giai on th' hai: An và Bình loi ra các bit mà An và Bình không s dng cùng c s*, là các qubit  c An to ra trong mt c s*, nh ng Bình o l ng trong c s* khác.  Giai on th' ba: An và Bình ánh giá tB l li. Nu tB lên li l
n quá gi
i hn li, h s? hy phiên truyn khóa, và thc hin li phiên truyn khóa khác.  Giai on th' t: An và Bình s dng k thut “làm mn khóa” (Reconciliation infomation)  9ng nht khóa gi>a An và Bình, h thu  c khóa ã làm mn khóa, và “tng tính bo mt” (Privacy Amplification) làm gim hiu bit ca Nhân v khóa, h thu  c khóa cui cùng. - 24 - Hình 2.2: Mô hình phân phi khóa l
ng t Ph ng pháp 8u tiên cho s phân phi các khóa bí mt mã hóa trong nh>ng trng thái l ng t  c  xut vào nm 1984 b*i các nhà vt lí lí thuyt Charles Bennett ti IBM và Gilles Brassard ti tr ng i hc Montreal  c bit n là giao th c BB84. Trong giao th c, ng i gi (An) truyn mt chui n photon phân cc n ng i nhn (Bình) và b<ng cách tin hành mt lot phép o l ng t và truyn thông công khai, h có th thit lp mt khóa chia sE và kim tra xem kE nghe lén (Nhân) có ch:n  c bt c bit nào thuc khóa này trên  ng i hay không. Giao th c BB84[3] không nh>ng cho phép chúng ta kim tra vic nghe trm, mà còn m bo An và Bình có th thit lp mt khóa bí mt du cho Nhân ã xác nh  c mt s bit trong chui nh phân chia sE ca h, b<ng mt kC thut gi là “tng tính bo mt”. Ch@ng hn, gi s nh Nhân ã bit  c 10% bit ca khóa mà An và Bình chia sE. Nhn th c  c iu này, An và Bình khi ó có th cùng 9ng ý cng thêm vào mi c:p bit k nhau to thành mt chui m
i có chiu dài phân na. Nhân cng có th làm vic này, nh ng vì anh ta s? c8n phi bit c bit trong c:p  xác nh chính xác t)ng ca - 25 - chúng, nên anh ta s? nhn thy r<ng by gi anh ta chia sE mt ph8n thp hn nhiu ca chui bit m
i cùng v
i An và Bình. 2.2 CÁC GIAO TH(C PHÂN PHI KHÓA LNG T 2.2.1 Giao th'c BB84 Giao th c BB84  c Bennett và Brassard  xut nm 1984, tên ca giao th c  c ly theo 2 ch> cái 8u ca tên hai tác gi và nm phát minh. BB84 là giao th c mt mã 8u tiên thit  gii quyt vn  phân phi khóa chng li máy tính l ng t. Trong giao th c BB84, An mã hóa các bit vào các bit trong hai c s* ⊗ và ⊕ . NghCa là khi nào An mun gi cho Bình mt qubit, cô s? chn mt trong bn trng thái ca qubit +,1,0 và − . Sau ó cô gi các trng thái này cho Bình thông qua kênh truyn l ng t. 2.2.1.1 Quy
c trong giao th c BB84 Các bit  c mã hóa và gii mã theo bng d
i ây: Bit C S* ⊕ C S* ⊗ 0 0 + 1 1 − Hình 2.3: Bng chuy%n i bit và qubit trong giao thc BB84 Nh>ng qubit có trng thái 0 ho:c + mang thông tin v bit 0. Ng c li nh>ng qubit có trng thái 1 ho:c − mang thông tin v bit 1. 2.2.1.2 Phép o l ng trong giao th c BB84 Vì An không cung cp thông tin v c s* ca qubit  c gi i, nên Bình s? o l ng qubit này trong c s* ngu nhiên trong { }⊕⊗, . Vy chúng ta s? xem xét mt vài kh nng có th sy khi khi Bình thc hin phép o l ng. Xét qubit có trng thái 00 βαψ += . Ta s? thc hin phép l ng nó trên c s* ⊕ ho:c ⊗ . Kt qu phép o l ng là 0 ho:c + s? cho ta giá tr ca bit 1, ng c li nu kt qu ca phép o l ng là 1 ho:c − s? cho ta giá tr ca bit c) in là 0. - 26 - Gi xác sut sy giá tr ca bit { }1,0∈b khi o l ng ψ trong c s* ∗ là ( )bP ψ∗ . Ta có các xác sut nh sau: ( ) 20 αψ =⊕P , trng thái ca qubit sau khi o l ng là: 0 α α ( ) 21 βψ =⊕P , trng thái ca qubit sau khi o l ng là: 0 β β ( ) 2 0 2 βαψ + =⊗P , trng thái ca qubit sau khi o l ng là: 0 βα βα + + ( ) 21 βαψ −=⊗P , trng thái ca qubit sau khi o l ng là: 0 βα βα − − Chú ý r$ng ta có th% bin i −     − ++     + = −     − + +     + =+= 222 10 22 10 2 10 βαβαβαβα βαψ % tính xác sut trong c s ⊗ . Tính c th v
i bn trng thái trong { }−+ ,,0,1 ta có  c, nu Bình và An s dng cùng c s* thì sau phép o l ng ca Bình , ψ không b bin )i; nghCa là giá tr ca bit  c mã hóa trong ψ tr
c và sau o l ng là nh nhau. Ng c li, nu Bình và An s dng khác c s* thì sau phép o l ng ca Bình, ψ s? bin thành 'ψ là mt trng thái trong c s* mà Bình dùng  o l ng; nghCa là giá tr ca bit  c má hóa trong ψ có th b thay )i v
i xác sut là 2 1 . T tính toán c th ta cng có xác sut nu sau phép o l ng ca Bình cho ta mt bit có giá tr b<ng v
i bit  c An mã hóa là: ( )   ⊗∈ ⊕∈ =⊕ ψ ψ ψ if if bP 2 1 1 và ( )   ⊕∈ ⊗∈ =⊗ ψ ψ ψ if if bP 2 1 1 - 27 - Nh vy, nu An và Bình s dng cùng c s*, thì giá tr ca bit sau o l ng ca Bình ging nh giá tr bit ca An v
i xác sut 100%. Ng c li, nu Bình và An s dng khác c s* thì sau phép o l ng ca Bình, thì giá tr ca bit sau o l ng ca Bình ging nh giá tr bit ca An v
i xác sut 2 1 . (o l ng ψ trong c hai c s* ta cng không th bit thêm thông tin v trng thái ca nó. B*i vì trng thái sau cùng ca nó sau o l ng là ngu nhiên. Ta s? ch ng minh iu ó:  Gi s l8n o 8u ta o l ng úng c s*, và l8n th hai không úng c s* so v
i c s* ban 8u  c gi t An. Vì l8n o l ng 8u là úng c s*  ψ không b bin )i. L8n th hai, ψ b o l ng trong c s* khác. Do vy kt qu ca phép o l ng l8n th hai là ngu nhiên v
i xác sut 2 1 cho hai trng thái ca c s* l8n o th hai  sau hai l8n o ta có  c giá tr ca bit c8n o là ngu nhiên (giá tr có th là 0 ho:c 1 v
i xác sut nh nhau).  Gi s l8n 8u chúng ta o không úng c s*, và l8n th hai o úng c s* so v
i c s* ban 8u  c gi t An. Nh vy, c hai l8n o u sai c s* so v
i trng thái ca qubit c8n o lúc ó  giá tr ca bit c8n o ph thuc vào l8n o th hai, mà l8n o th hai li sai c s*, do ó, giá tr ca bit o  c sau hai l8n o cng là ngu nhiên. 2.2.1.3 Các b
c thc hin giao th c BB84 Trong ph8n này chúng ta s? tìm hiu chin l c và cách th c mà An và Bình s dng  trao )i khóa. Tr
c khi tìm hiu sâu v giao th c chúng ta diAn t ng=n gn v giao th c. Gi s An và Bình thc hin trao )i khóa có  dài ti thiu là n . An chn ngu nhiên mi chui bit X ′′ có  dài ( )nσ+4 , v
i 0>σ và Nn∈ . Ti mi v trí ca chui bit X ′′ , An chn ngu nhiên mt c ⊕ ho:c ⊗  mã hóa bit ó vào mt qubit trong c s* ó theo bng chuyn )i bit và qubit. Sau khi mã hóa chui X ′′ ó, An gi cho Bình các qubit dùng  mã hóa X ′′ . Bình thc hin o l ng trng thái ca các qubit trong c s* ⊕ ho:c ⊗ mt cách ngu nhiên và Bình có  c chui bit Y ′′ có  dài ( )nσ+4 . - 28 - Lý do mà An chn chu&i bit có  dài là ( )nσ+4 vi 0>σ và Nn∈ là % ch c ch n sau khi cô và Bình s d#ng cùng c s ln hn n2 . Nh
vy chúng ta phi chn σ nh
th nào? Chúng ta s chn σ trong mi quan h vi n . Nu 1000>n thì ch c n chn 1<σ chúng ta c'ng s có An và Bình s d#ng cùng c s ít nht là n2 l n vi xác sut rt cao. Sau khi Bình có  c chui bit Y ′′ , An và Bình có th thông báo cho nhau v nh>ng c s* mà h ã s dng thông qua kênh truyn công khai. An và Bình thc hin vic này sau khi Bình ã hoàn thành o l ng ht nh>ng qubit mà An ã gi n, iu này s? tránh  c s tham gia ca Nhân trong phiên trao )i khóa. Tht vy, theo nh lý không th sao chép trng thái ca l ng t, Nhân s? không th sao chép  c trng thái ca qubit mà An gi n; và do ó Nhân không th có  c nh>ng thông tin v qubit mà Bình ã nhn  c. (iu ó có nghCa là sau khi Bình nhn  c nh>ng qubit ó, An và Bình là hoàn toàn an toàn khi thông báo c s* mà h s dng. Theo ch ng minh * ph8n trên nu không có s tham gia ca bên th ba (Nhân) vào phiên trao )i khóa, nh>ng v trí trong chui An và Bình s dng cùng c s*, giá tr ca mt bit s?  c chuyn chính xác t An n Bình; trên nh>ng v trí mà h không dùng cùng c giá tr ca bit là ngu nhiên. Nh vy, h s? loi b v trí ca nh>ng bit mà h không s dng cùng c s* mà không làm mt thông tin h có th phi s dng  to lên khóa. Nu s bit thu  c sau khi so sánh l
n hn n2 , An chn t bit chui ó n bit kim tra ( X ′ ) và n bit khóa tm thi ( X ). An thông báo nh>ng v trí và th t các bit trong X ′′  to thành X ′ và X cho Bình, t ó Bình to cho mình n bit kim tra (Y ′ ) và n bit khóa (Y ) t ng ng. Tip ó An và Bình thông báo cho nhau v chui bit kim tra X ′ và Y ′ , t ó h có th ánh giá v tB l li e . Các bit li sy ra có th do  ng truyn l ng t không hoàn ho, ho:c do có s tham gia ca Nhân vào phiên trao )i khóa. Có nhiu ph
ng pháp % ánh giá gii hn l&i ε v
i các kênh truyn l ng t hin nay. Ng
i ta ã chng minh
c ng
(ng chp nhn
c ca gii hn l&i 11.0=ε i vi BB84, thì kênh truyn khóa vn
c coi là oan toàn. Mô hình bên d
i th hin An và Bình thc hin trao )i khóa s dng giao th c BB84, trong ó chui bit X ′′ bí mt và chB  c bit b*i An. Chui bit Y ′′ là bí mt và chB  c bit b*i Bình. Khóa K và K ′ cng là bí mt nh ng  c bit b*i c hai. Hai chui bit kim tra là 'X và 'Y và nh>ng c s* mà An và Bình s dng là công khai. - 29 - Hình 2.4: Mô hình giao thc BB84 Phân phi, o l)ng và bi*n #i bit. 1. An chn ngu nhiên mi chui bit X ′′ có  dài ( )σ+n4 , v
i 0>σ và Nn∈ . Ti mi v trí ca chui bit X ′′ , An chn ngu nhiên mt c s* ⊕ ho:c ⊗  mã hóa bit ó vào mt trng thái ca qubit trong c s* ó Tip theo, An gi các qubit này cho Bình. 2. Sau khi nhn  c chui ( )nσ+4 qubit t An, Bình thc hin o l ng chúng trong c s* ⊕ ho:c ⊗ mt cách ngu nhiên. Nu kt qu ca phép o l ng là 0 ho:c + , chúng ta thu  c giá tr - 30 - ca bit là 0. Ng c li, nu kt qu ca phép o l ng là 0 ho:c + , chúng ta thu  c giá tr ca bit là 1. Nh vy Bình cng thu  c mt chui bit Y ′′ có  dài ( )nσ+4 . So sánh c s+, thi*t l p chu,i bit ki%m tra và chu,i bit khóa. 3. An và Bình s dng kênh truyn công khai  trao )i thông tin. Bình ch ng thc ã nhn  c nh>ng qubit. An và Bình thông báo cho nhau v nh>ng c s* ã s dng. 4. An và Bình loi b nh>ng bit * v trí mà h không cùng c s*. Nu chui bit còn li nh hn n2 bit, h hy phiên truyn khóa. Nu chui bit còn li l
n hn n2 , An và Bình thc hin chn n2 bit theo mt quy
c nào ó  s dng cho giao th c. Tip ó, An thit lp chui bit kim tra X ′ b<ng cách chn ngu nhiên n bit trong s n2 , chui bit kim tra này s?  c s dng  kim tra s có m:t ca Nhân. n bit còn li s?  c dùng làm khóa ban 8u X . Tip ó, An thông báo cho Bình cách to chui bit kim tra và chui bit khóa. Bình thc hin thit lp chui bit kim tra Y ′ và chui bit khóa Y . Xác $nh t- l l,i 5. An và Bình trao )i v
i nhau v chui bit kim tra X ′ và Y ′ ca h. T hai chui bit ó h so sánh giá tr ca bit * tng v trí. Nu tB l li e l
n gi
i hn li ε , h s? hy phiên truyn khóa. Ng c li, h tip tc phiên truyn khóa mà không quan tâm có s tham gia ca Nhân vào giao th c hay không. Khu*ch i riêng, và làm m$n khóa 6. Lúc này hai chui khóa X và Y còn li ca An và Bình là g8n nh nhau. Chúng ta có th 9ng nht chúng b<ng k thut làm mn khóa. 7. Sau khi làm mn khóa, hai chui bit ca An và Bình là hoàn toàn 9ng nht nh ng chính quá trình làm mn khóa li làm l mt s thông tin v chui bit con ca khóa nhn  c. Do vy  làm gim thông tin v khóa ã truyn trên kênh truyn công khai chúng ta s dng k thut tng tính bo mt. - 31 - Trong b
c th 5 ca giao thc, nu t l l&i e ln hn ng
(ng gii hn, An và Bình không c n quan tâm n s xut hin ca Nhân, vì nu Nhân có tham vào giao thc thì s hi%u bit ca Nhân c'ng là không áng k% và có th% b) qua. Hai b
c tng tính bo mt và làm mn khóa s
c trình bày  ph n sau. Gi s không có li trên  ng truyn, giao th c BB84  c th hin d
i dng mã gii:
(8u vào: n là  dài chui bit X ′′
(8u ra: khóa ban 8u ckkkkey ...21= trong ó nc 2≥ . m = 0; ( )nh σ+= 2 while m < h do: An chn bit mb ngu nhiên trong { }1,0 ; An chn c s* mt ngu nhiên trong { }⊕⊗, ; An thc hin mã hóa mb vào mt  c mbt ; Bình chn c s* mt′ ngu nhiên trong { }⊕⊗, ; An gi mbt cho Bình; Bình o l ng mbt trong c s* mt′  c mb′ ; m++; done; c = 0; while m < h do: if ( )mm bb ′= then mc bK = ; m++; c++; done; Nh vy khóa thu  c s? là ckkkkey ...21= . - 32 - Chúng ta ly mt ví d nh * các b
c này: v
i 2=n và 1=σ , nh vy chui bit mà An c8n mã hóa có  dài là ( ) ( ) 102144 =+=+ nσ .  Gi s, chui bit ngu nhiên có  dài 15 bit do An to ra là: 1101110101.  An chn 15 c s* ngu nhiên là: ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕  Chui qubit mà An mã hóa là: 101101 −+−−  C s* ngu nhiên mà Bình ã là: ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗  Kt qu phép o l ng ca Bình là: −−++−− 0111  Sau khi so sánh ta  c chui qubit chung ca An và Bình là: 011 −+− , o ó chui bit nhn  c sau khi so sánh c s* là: 01110100. Bit ngu nhiên ca An 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 C s* ngu nhiên ca An ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ Qubit mà An chu;n b 1 − 0 1 − 1 + − 0 1 C s* ngu nhiên ca Bình ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ Kt qu phép o l ng ca Bình 1 − − + 1 1 + − 0 − Trao )i thông qua kênh truyn công khai Khóa ban 8u 1 1 1 0 1 0 2.2.1.4 Kh nng tn công ca Nhân trong giao th c BB84 B*i vì Nhân không th sao chép các qubit mà An gi cho Bình, nên cách duy nht  có thông tin v khóa mà An gi cho Bình là ch:n nh>ng qubit ó và o l ng chúng trong mt c s* nào ó và gi mt trng thái l ng t khác cho Bình. Theo cách này, Nhân mun Bình nghC r<ng anh ta nhn  c trng thái l ng t này trc tip t Bình. ( tránh b phát hin s có m:t ca mình trong phiên trao )i khóa, Nhân phi gi cho Bình nh>ng trng thái, sao cho tB l li mà An và Bình tìm  c là nh nht. Trong ph8n này chng ta s? nguyên c u mt vài kh kch bn có th xy ra khi Nhân c g=ng ly thông tin v khóa: Nhân o l)ng trong c s+ ⊕ ho.c ⊗ - 33 - Trong kch bn này, Nhân ch:n các trng thái  c gi t An r9i o l ng nh>ng trng thái này trong c s* ⊕ ho:c ⊗ . Chúng ta s? chB ra r<ng trong kch bn này, kh nng l
n nht khi An và Bình có cùng giá tr ca bit sau o l ng nu h s dng cùng c s* là 4 3 . + Nhân gi cho Bình trng thái c/a qubit sau o l)ng c/a Nhân: Gi s r<ng Nhân gi cho Bình trng thái sau o l ng trên qubit ψ . Có hai kh nng có th sy ra:  Kh nng Nhân o l ng ψ úng c s* là 2 1 . Nh vy sau phép o l ng, Nhân có  c giá tr ca bit trùng v
i An, và trng thái ca qubit sau o l ng vn là ψ . Nhân gi tip ψ cho Bình, Bình o l ng ψ trong cùng c s* và nhn  c giá tr ca bit trùng v
i An v
i xác sut là 1. Nh vy trong tr ng h p này, xác sut mà An và Bình thu  c cùng mt giá tr ca bit là 1.  Kh nng Nhân o l ng ψ không úng c s* là 2 1 . Nh vy sau phép o l ng, trng thái ca qubit sau phép o l ng ψ ′ phân cc trong c s* mà Nhân o l ng. Tip ó Nhân gi ψ ′ cho Bình. Vì Bình o l ng cùng c s* v
i An nên mt l8n n>a qubit b o l ng sai c s*. Sau phép o l ng ca Bình, gái tr ca bit mà An nhn  c trùng v
i An là 2 1 . Nh vy trong tr ng h p này, xác sut mà An và Bình thu  c cùng mt giá tr ca bit là 2 1  Xác sut trung bình mà An và Bình thu  c cùng mt giá tr ca bit trong tr ng h p này là 4 3 2 1 1 2 1 =     + . Ví d
: Gi s An gi mt trng thái 0=ψ cho Bình. Nhân ch"n trên
ng truyn l
ng t và o l
ng qubit này.  Nu o l
ng trong c s ⊕ . Kt qu phép o l
ng s cho Nhân giá tr ca bit là 0 vi xác sut là 1 và trng thái ca qubit sau o l
ng v!n là 0 . Nhân gi trng thái 0 cho Bình. Bình c'ng o l
ng trong c s ⊕ . Anh ta s nhn
c giá tr ca bit là 0 vi xác sut là 1. - 34 -  Nu o l
ng trong c s ⊕ . Kt qu phép o l
ng s cho Nhân giá tr ca bit là 0 ho"c 1 vi xác sut là nh
nhau và trng thái ca qubit sau o l
ng là + ho"c − . Nhân gi trng thái ó cho Bình. Bình c'ng o l
ng trong c s ⊕ . Anh ta s nhn
c giá tr ca bit là 0 ho"c 1 vi xác sut là nh
nhau. Ví d! v giao th'c khi có s tham gia c/a Nhân: Bit ngu nhiên ca An 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 C s* ngu nhiên ca An ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ Qubit mà An chu;n b 1 − 0 1 − 1 + − 0 1 C s* ca Nhân ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ Kt qu phép o l ng ca Nhân 1 − − 1 − 1 0 − − 1 C s* ngu nhiên ca Bình ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ Kt qu phép o l ng ca Bình 1 − − + 1 1 + − 1 − Trao )i thông qua kênh truyn công khai Khóa ban 8u ca Bình 1 1 1 0 1 1 Nh>ng v trí có cùng c s* nh ng li thu  c nh>ng giá tr ca bit khác nhau s?  c tìm thy qua quá trình ánh giá tB l li (v trí  c ánh du). T ó An và Bình s? quyt nh xem phiên truyn khóa có an toàn không. + Nhân gi cho Bình m0t trng thái c/a qubit khác v1i k*t qu2 o l)ng mà Nhân nh n  c: Chúng ta gi s r<ng An gi mt qubit trong c s* ⊕ , ta có:  Kh nng An gi bit 0 là 2 1 . Trong tr ng h p này ta li có hai kh nng: 1. Kh nng Nhân o l ng úng c s* là 2 1 . Trong tr ng h p này, giá tr ca bit mà Nhân nhn  c là 0. Tip ó, Nhân gi - 35 - cho Bình mt qubit có trng thái 101 γγ +− (trong ó 2 10 ≤≤ γ ) thay vì gi 0 v
i hy vng che giu s có m:t ca mình, nu o l ng sai c s*. Kh nng Bình o l ng  c giá tr ca bit 0 (giá tr ca qubit là 0 ) là: γ−1 . 2. Kh nng Nhân o l ng không úng c s* là 2 1 . Trong tr ng h p này, trng thái ca qubit sau o l ng là + ho:c − v
i xác sut nh nhau. Nu kt qu phép o l ng là + Bình gi cho An mt qubit có trng thái 1 2 1 0 2 1 1 γγγγ γγ −− + +− =+−+− . Nh vy xác sut phép o l ng ca Bình cho bit 0 là γγ γγ −+=      +− 1 2 1 2 1 2 . Nu kt qu phép o l ng là − Bình gi cho An mt qubit có trng thái 1 2 1 0 2 1 1 γγγγ γγ +−− + +− =++−− . Nh vy xác sut phép o l ng ca Bình cho bit 0 là γγ γγ −+=      +− 1 2 1 2 1 2 . 3. Nh vy trong tr ng h p này, xác sut trung bình  c tính: ( )      −++− γγγ 1 2 1 2 1 1 2 1 .  Kh nng An gi bit 1 là 2 1 . Trong tr ng h p này ta li có hai kh nng: 1. Kh nng Nhân o l ng úng c s* là 2 1 . Trong tr ng h p này, giá tr ca bit mà Nhân nhn  c là 1. Tip ó, Nhân gi cho Bình mt qubit có trng thái 110 γγ −+ (v
i 2 10 ≤≤ γ ) - 36 - thay vì gi 1 v
i hy vng che giu s có m:t ca mình, nu o l ng sai c s*. Kh nng Bình o l ng  c giá tr ca bit 1 (giá tr ca qubit là 1 ) là: γ−1 . 2. Kh nng Nhân o l ng không úng c s* là 2 1 . Trong tr ng h p này, trng thái ca qubit sau o l ng là + ho:c − v
i xác sut nh nhau. Nu kt qu phép o l ng là + Bình gi cho An mt qubit có trng thái 1 2 1 0 2 1 1 γγγγ γγ −− + +− =+−+− . Nh vy xác sut phép o l ng ca Bình cho bit 1 là γγ γγ −−=      −− 1 2 1 2 1 2 Nu kt qu phép o l ng là − Bình gi cho An mt qubit có trng thái 1 2 1 0 2 1 1 γγγγ γγ +−− + +− =++−− . Nh vy xác sut phép o l ng ca Bình cho bit 1 là γγ γγ −−=      −− 1 2 1 2 1 2 3. Nh vy trong tr ng h p này, xác sut trung bình  c tính: ( )      −−+− γγγ 1 2 1 2 1 1 2 1 . T ó ta có xác sut  An và Bình thu  c cùng mt giá tr ca bit khi An gi i mt qubit trong c s* ⊕  c tính: ( ) ( ) 4 3 2 1 4 3 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 <−=         −−+−+     −++− γγγγγγγ . Nh vy trong tr ng h p này An và Bình có cùng giá tr ca bit v
i xác sut
    =− 4 3 , 2 1 2 1 4 3 γ vì 2 10 ≤≤ γ . V
i chin l c này, xác sut l
n nht  An và Bình có cùng giá tr ca bit là 4 3 khi 0=γ , chính là tr ng h p 8u chúng ta ã  cp. - 37 - Tr ng h p An gi i mt qubit trong c s* ⊗ tính t ng t. Nhân o l)ng qubit nh n  c trong c s+ Briedbard: Trong hai tr ng h p  cp * trên, Nhân o l ng qubit ψ c s* ⊕ ho:c ⊗ . Nh vy, Nhân rt dA b phát hin nu o l ng qubit ó không úng c s*. Anh ta có th o l ng ψ trong mt c s* Briedbard, là c s* tt  ly thông tin v ψ . C s* Briedbard  c nh nghCa b*i hai trng thái trc giao { }ba , : { }        +     −     +     = 1 8 cos0 8 sin,1 8 sin0 8 cos, pipipipi ba Gi s r<ng trong c s* này có s bin )i qubit và bit nh sau: 0→a và 1→b . Chú ý r<ng t: 1 8 sin0 8 cos      +     = pipi a và 1 8 cos0 8 sin      +     −= pipi b ta cng có: ba      −     = 8 sin 8 cos0 pipi ; ba      +     = 8 cos 8 sin1 pipi và 2 8 sin 8 cos 8 sin 8 cos ba      −+     + =+ pipipipi ; 2 8 sin 8 cos 8 sin 8 cos ba      +−     − =− pipipipi T các biu th c trên ta có kh nng: - An gi qubit 0 , Nhân o l ng  c qubit a là: 2 00 8 cos)0|0( pi === AEP . - An gi qubit + , Nhân o l ng  c qubit a là: ( ) 22 00 8 cos 8 sin 8 cos0|0 pipipi =     +===′ AEP . - An gi qubit 1 , Nhân o l ng  c qubit b là: ( ) 2 11 8 cos1|1 pi === AEP . - 38 - - An gi qubit − , Nhân o l ng  c qubit b là: ( ) 22 11 8 cos 8 sin 8 cos1|1 pipipi =     +===′ AEP . Nh vy kh nng Nhân nhn  c bit 0 khi An gi i bit 0 là ( ) ( ) ( ) 20000 8 cos 2 0|00|0 0|0 pi = ==′+== === AEPAEP AEP và kh nng Nhân nhn  c bit 1 khi An gi i bit 1 là: ( ) ( ) ( ) 21111 8 cos 2 1|11|1 1|1 pi = ==′+== === AEPAEP AEP . Tính toán t ng t ta cng có kh nng Bình nhn  c bit 0 khi Nhân gi i bit 0 là ( ) 2 8 cos0|0 pi === EBP và kh nng Nhân nhn  c bit 1 khi An gi i bit 1 là ( ) 2 8 cos1|1 pi === EBP  Kh nng An và Bình nhn  c cùng mt giá tr ca bit khi h s dng cùng c s* là: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 8 sin 8 cos 1|11|10|00|0 44 =+= ==×==+==×== pipi EBPAEPEBPAEP Chúng ta có th kt lun r<ng, xác sut l
n nht  An và Bình có cùng mt giá tr ca bit khi có s tham gia ca Nhân vào phiên truyn khóa là 4 3 khi và chB khi Nhân s dng c s* Briedbard  o l ng qubit ch:n  c trên  ng truyn. V
i giao th c BB84 và trong iu kin các tính cht ca l ng t là úng, chúng ta có th hoàn toàn yên tâm v mt phiên truyn khóa an toàn. 2.2.2 Giao th'c B92 Giao th c B92  c  xut nm 1992 b*i Charles Bennet, là mt trong hai tác gi ca giao th c BB84. Giao th c  c thit k da trên ý t *ng ca BB84, v
i hy vng mang li s n gin hn cho vic cài :t giao th c phân phi khóa l ng t. - 39 - Trong giao th c B92, mi bên nhn và gi chB dùng mt c:p ôi không trc chu;n  mã hóa và gii mã giá tr ca bit. An và Bình cùng tha thun tr
c c:p ôi mà mi ng i s dng cùng quy
c chuyn )i qubit và giá tr ca bit. Qubit Giá tr bit ca An Giá tr bit ca An 0 0 ? + 1 ? 1 Không s dng 1 − Không s dng 0 Hình 2.5: Bng giao
c trong giao thc B92 Nh vy, An s dng c:p trng thái không trc chu;n là 0 và + ; 0  mã hóa bit 0, và +  mã hóa bit 1. NghCa là khi nào An mun gi cho Bình bit 0 anh ta s? chu;n b 0 và khi nào mun gi bit 1 anh ta s? chu;n b + . Sau ó cô gi các trng thái này cho Bình thông qua kênh truyn l ng t. Hình 2.6: C"p ôi không trc chu*n mà An s d#ng Gi s qubit mà An gi cho Bình là ψ . Khi nhn  c ψ , Bình chn ngu nhiên mt trong hai c s* ⊗ và ⊕ , và o l ng qubit ψ trong c s* ó. Nu Bình thu  c qubit 1 ho:c − , Bình thu  c giá tr ca bit t ng ng là 1 và 0. Nu Bình thu  c qubit 0 ho:c + , giá tr bit t ng ng  c b b qua và  c :t là ‘?’. - 40 - Hình 2.7: Kt qu phép o l
ng ca Bình Gi s An gi cho Bình qubit có trng thái 0=ψ . Ta có, kh nng Bình o l ng ψ trong c s* ⊗ là 2 1 . Nu Bình o l ng trong c s* ⊗ thì xác sut Bình thu  c − là 2 1 . Nh vy xác sut  Bình thu  c − khi An gi 0 là 4 1 2 1 2 1 =× . T ng t ta cng có, xác sut  Bình thu  c 1 khi An gi + là 4 1 2 1 2 1 =× . T ó suy ra xác sut  An và Bình có cùng giá tr ca bit khi gi i mt qubit là 4 1 so v
i giao th c BB84 là 2 1 . Hình 2.8: S trng thái ca qubit 2.2.2.1 Các b
c thc hin giao th c B92 Giao th c phân phi khóa ca B92 không có nhiu khác bit so v
i BB84, khác bit chB sy ra * giai on “phân phi, o l ng và bin )i bit” và giai on “so sánh c s*, thit lp chui bit kim tra và chui bit khóa”. Phân phi, o l)ng và bi*n #i bit. - 41 - 1. An chn ngu nhiên mi chui bit X ′′ có  dài ( )nσ+8 , v
i 0>σ và Nn∈ . Ti mi v trí ca chui bit X ′′ , An chn ngu nhiên mt c s* ⊕ ho:c ⊗  mã hóa bit ó vào mt trng thái ca qubit trong c s* ó: Qubit Giá tr bit ca An ? 0 0 ? + 1 Không s dng 1 Không s dng 1 − Không s dng 0 Hình 2.9: Bng giao
c trong giao thc EPR Tip theo, An gi các qubit này cho Bình. 2. Sau khi nhn  c nh>ng qubit t An, Bình thc hin o l ng chúng trong c s* ⊕ ho:c ⊗ mt cách ngu nhiên. Nu Bình thu  c qubit 0 ho:c − , Bình thu  c giá tr ca bit t ng ng là 1 và 0. Nu Bình thu  c qubit 0 ho:c − , giá tr bit t ng ngb b qua và  c :t là ?. Nh vy Bình cng thu  c mt chui bit Y ′′ có  dài ( )nσ+8 . T chui bit Y ′′ , Bình to ra mt chui phn h9i resp . ( dài chui resp b<ng  dài ca Y ′′ . Nu * v trí mà chui bit Y ′′ có giá tr là 1 ho:c 0 thì v trí t ng ng trên chui resp là y, nu * v trí mà chui bit Y ′′ có giá tr  c :t là là ? thì v trí t ng ng trên chui resp là n. So sánh c s+, thi*t l p chu,i bit ki%m tra và chu,i bit khóa. 3. An và Bình s dng kênh truyn công khai  trao )i thông tin. Bình ch ng thc ã nhn  c nh>ng qubit và gi chui phn h9i resp cho An. 4. Da vào chui phn h9i mà t Bình, An thc hin loi b nh>ng bit trên chui X ′′ có v trí t ng ng trên chui resp là n. Bình - 42 - thc hin loi b nh>ng bit có giá tr là ? trên chui Y ′′ . Nu chui bit còn li nh hn n2 bit, h hy phiên truyn khóa. Nu chui bit còn li l
n hn n2 , An thc hin chn n2 bit  s dng cho giao th c. Tip ó, cô thit lp chui bit kim tra X ′b<ng cách chn ngu nhiên n bit trong s n2 , chui bit kim tra này s?  c s dng  kim tra s có m:t ca Nhân. n bit còn li s?  c dùng làm khóa ban 8u X An thông báo cho Bình cách to chui bit kim tra và chui bit khóa. Bình thc hin thit lp chui bit kim tra Y ′ và chui bit khóa Y . Các giai on còn li c/a giao th'c B92 ging v1i giao th'c BB84. Gi s không có li trên  ng truyn, giao th c B92  c th hin d
i dng mã gii:
(8u vào: n là  dài chui bit X ′′
(8u ra: khóa ban 8u ckkkkey ...21= trong ó nc 2≥ . - 43 - m = 0; int ( )nh σ+= 4 while m < h do: An chn bit mb ngu nhiên trong { }1,0 ; Bình chn c s* mt′ ngu nhiên trong { }⊕⊗, ; If( 0=mb ) An gi 0 cho Bình; Else An gi + cho Bình; Bình o l ng mbt trong c s* mt′  c mb′ ; If( +== '' ||0 mm bb ) An to bit phn ng 0=mres ; Else An to bit phn ng 1=mres ; m++; done; c = 0; while m < h do: if ( )1=mres then mc bK = ; m++; c++; done; Nh vy khóa thu  c s? là ckkkkey ...21= . Ví d v giao th c B92. - 44 - Bit ngu nhiên ca An 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 Qubit mà An chu;n b + + 0 + + + 0 + 0 + C s* ngu nhiên ca Bình ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ Kt qu phép o l ng ca Bình 1 + + + 0 1 − + 0 + Chui phn h9i resp y n n n n y y n n n Trao )i thông qua kênh truyn công khai Khóa ban 8u 1 1 0 2.2.2.2 Kh nng tn công ca Nhân trong giao th c B92 Nhân c g=ng ly thông tin v khóa mà An và Bình trao )i. Anh ta s dng c s* E⊗ ho:c E⊕  o l ng qubit ch:n  c trên  ng truyn gi>a An và Bình. Kh nng An gi qubit 0 là 2 1 , khi ó ta có s 9 xác sut nh hình d
i. - 45 - Hình 2.10: S trng thái ca Bình khi An gi qubit có trng thái 0 Theo s 9, nu An gi i 0 , xác sut Bình thu  c là:
4 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 =×××+××× qubit −
8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 =×××+××× qubit 1 Nh vy, khi An gi i giá tr ca bit 0, xác sut ca Bình thu  c bit 0 là 3 2)8 1 4 1(:4 1 =+ . Kh nng An gi qubit + là 2 1 , khi ó ta có s 9 xác sut nh hình d
i. - 46 - Hình 2.11: S trng thái ca Bình khi An gi qubit có trng thái + Theo s 9, nu An gi i + , xác sut Bình thu  c là:
4 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 =×××+××× qubit 1
8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 =×××+××× qubit − Nh vy, khi An gi i giá tr ca bit 1, xác sut ca Bình thu  c bit 1 là 3 2)8 1 4 1(:4 1 =+ . T+ ó ta i n kt lun, so vi giao thc BB84 thì giao thc B92 có kh nng phát hin s xut hin ca Nhân là tt hn, 3 1 so vi 4 1 . Hn ch ca B92 là khi mun có mt khóa n bit thì An phi gi ( )nδ+8 qubit so vi ( )nδ+4 bit ca giao thc BB84. Giao thc B92 còn có mt
u i%m khác là ch dùng hai trng thái không trc giao thay vì bn - 47 - trng thái nh
BB84, do ó s d, dàng hn cho vic to các máy to và o l
ng l
ng t. 2.2.3 Giao th'c EPR Giao th c EPR  c  c  xut nm 1991 b*i Ekert, th ng  c gi là E91 (ch> 8u trong tên tác gi và nm  xut). Giao th c  c cài :t da trên tính liên kt l ng t ca các trng thái Bell. EPR là ba ch cái u tiên ca ba nhà khoa hc Einsten-Podolsky-Rosen, nhng ng
i tiên phong trong ngành khoa hc l
ng t. C ba ã có óng góp rt ln cho s phát tri%n ca c hc l
ng t, i%n hình là bài báo mang tên lý EPR % phn bác nhng kt lun ca nhà khoa hc Bohr. Trong nghch lý, Eiensten ã có mt câu nói ni ting: “Chúa thì không chi trò gieo súc x c Bohr thân mn ”- ây là câu nói hàm cha c nghch lý[12]. Trong khi nh>ng giao th c phân phi khóa l ng t ã cp * trên, các qubit  c chu;n b b*i An thì trong giao th c E91, các qubit  c chu;n b b*i bt kD ai ó, k c là Nhân. Các c:p trng thái Bell  c chuyn n cho An và Bình mi ng i mt ht ca c:p, ht này gi là ht liên 
i (entangel). Khi nh>ng ht liên 
i ã  c gi n An và Bình, h l8n l t thc hin o l ng mi qubit trong nh>ng qubit này trong c s* ngu nhiên trong s nh>ng c s* ã tha thun tr
c. Sau khi c An và Bình o l ng tt c các qubit này, h thc hin so sánh nh>ng c s* mà h ã s dng qua kênh truyn công khai. An và Bình thc hin loi b nh>ng v trí mà h không o l ng cùng c s* h thu  c khóa ban 8u. ( kim tra s có m:t ca Nhân vào phiên truyn khóa, An và Bình chia sE kt qu ca nh>ng v trí h không o l ng cùng c s*, r9i áp dng bt @ng th c Bell vào nh>ng v trí ó  kim tra tính liên kt l ng t ca nh>ng ht liên 
i ó. Nh>ng ht liên 
i  c gi n An và Bình có trng thái: ( ) BABA 1100 2 1 +=+φ Chúng ta s chng minh r$ng, phép o l
ng +φ trên c s nào ca An c'ng cho ta xác sut 2 1 cho m&i trng thái thuc c s ó. Gi s c s dùng % o l
ng +φ là { } { }10,10, 21 abba −+=υυ vi 122 =+ ba . T+: 101 ba +=υ và 102 ab −=υ ta có: - 48 - ( ) 212122 1 0 vabvab ba −=− + = υυ và ( ) 212122 1 1 vbavba ba +=+ + = υυ Nh
vy ( ) ( ) ( )( ) ( )2211221221 2 1 2 1 1100 2 1 υυυυυυ +=++−=+ vbavab  Trong mi c s* { }21 , tt bt kD ( )2211 2 1 tttt +=+φ và phép o l ng mt ht liên 
i có trng thái +φ trong c s* { }21 , tt luôn cho ta 1t ho:c 2t v
i xác sut nh nhau. An và Bình thc hin o l ng các ht liên 
i này trong c s* { } { }1)2sin(0)2cos(,1)2sin(0)2cos(, ββααλγ −+= , trong ó α và β  c cho nh trong hình 23: Hình 2.12: Bng c s dùng % o l
ng ht liên i Trong ó, nh>ng c:p ht liên 
i mà An và Bình o l ng trong cùng c s* ( o180=+ βα ) s? thu  c cùng mt trng thái, do ó s? có cùng giá tr ca qubit. (ó là nh>ng v trí trong bng chúng ta thu  c key. S và S ′ dùng  kim tra s có m:t ca Nhân theo bt @ng th c Bell. - 49 - ),(),(),(),(' ),(),(),(),( 44244222 33133111 βαβαβαβα βαβαβαβα EEEES EEEES −++= +++−= V
i ),(),(),(),( ),(),(),(),( ),( 2'1'12'2'112 2'1'12'2'112 jijijjji jijijiji ji RRRR RRRR E βαβαβαβα βαβαβαβα βα +++ −−+ = Trong ó ),( jimnR βα là s l8n Bình thu  c m và Bình thu  c n khi An s dng c s* có iαα = và jββ = nh hình 24. C:p qubit  c gi n An và Bình là liên kt l ng t khi 22=S và 22=′S . Nu 2<S và 2<′S , c:p qubit  c gi n An và Bình là không liên kt. Hình 2.13: S thc hin E91 2.2.3.1 Các b
c thc hin giao th c EPR Phân phi, o l)ng và bi*n #i bit. 1. An và Bình, mi ng i nhn ( )nσ+4 ht liên 
i, v
i 0>σ và Nn∈ . - 50 - 2. Sau khi nhn  c ( )nσ+4 ht liên 
i, An và Bình thc hin o l ng chúng trong c s* { } { }1)2sin(0)2cos(,1)2sin(0)2cos(, ββααλγ −+= mt cách ngu nhiên, v
i α và β nh * bng c s* dùng  o l ng ht liên 
i. Nu kt qu ca phép o l ng  c tính theo α ta thu  c giá tr ca bit 1, ng c li ta thu  c giá tr ca bit 0. So sánh c s+, thi*t l p chu,i bit ki%m tra và chu,i bit khóa. 3. An và Bình s dng kênh truyn công khai  trao )i thông tin. An và Bình thông báo cho nhau nh>ng c s* ã dùng  o l ng nh>ng ht liên 
i. 4. An và Bình loi b nh>ng bit * v trí mà An mã hóa và Bình o l ng không cùng c s*. Nu chui bit còn li nh hn n bit, h hy phiên truyn khóa. Nu chui bit còn li l
n hn n , An và Bình ly n bit dùng làm khóa ban 8u Xác $nh t- l l,i 5. An và Bình thông báo cho nhau v kt qu ca nh>ng phép o l ng không cùng c s*, t ó h  a ra tB l li a trên bt @ng th c Bell và xét xem phiên truyn khóa thc s oan toàn không. Khu*ch i riêng, và làm m$n khóa Ph8n này ging BB84. 2.2.3.2 Kh nng tn công ca Nhân trong giao th c EPR Nu Nhân ch:n các qubit  c gi trên  ng truyn gi n Bình, và thc hin o l ng chúng. Sau phép o l ng ca Nhân, c:p liên 
i s? b phá vF. Do ó, An và Bình dA dàng phát hin s có m:t ca Nhân da trên bt @ng th c Bell. H hy phiên truyn khóa này, và thc hin phiên truyn khóa m
i. So v1i các giao th'c tr1c ó thì EPR s d!ng m0t tính cht khác c/a c h3c l ng t, nó có h1ng i hoàn toàn khác so v1i hai giao th'c ã  c  c p tr1c ó. Nó s4 giúp cho các nhà m t mã h3c có nhiu l a ch3n hn cho các gi2i pháp b2o m t. - 51 - 2.2.4 Xác $nh h s gi1i hn l,i ε Hiu sut truyn t An n Bình ph thuc vào hai yu t và  c tính: 1010 cl Bobfiber FFF + − == β Trong ó l,β là h s hp th ca và là  dài ca  ng truyn, c là h<ng s mt mát trong h thng ca Bình. Gi hiu sut ca thit b o l ng ca Bình là Bη , và λ là s photon trung bình An gi trên mi xung nhp. Xác sut Bình nhn  c tín hiu là trên mt n v thi gian là: ληB signal Fp =exp . V
i mi máy dò tìm ca Bình  c :c tr ng bi h s hng Bd là xác sut tìm thy mt photon không có tín hiu trên mt n v thi gian. Nh vy, kh nng hng ca photon v
i n thit b o l ng ca Bình s? là: B dark ndp =exp . T hai yu t trên ta có xác sut Bình tìm thy mt photon trên mt n v thi gian là: darksignal PPP expexpexp +≈ κ . Trong ó κ là hiu sut thc thi. 1,2 1 == κκ trong giao th c BB84 v
i mt và hai thit b dò tìm, 4 1=κ trong giao th c B92. Khi ó ta tính  c xác sut sy ra li: darksignal e signaldarksignal PPPeee expexp 2 1+=+= κκ Trong ó signaleP và 2 1 là h s li trong tr ng h p nhn  c tín hiu và hng photon. Cui cùng, ta có tB l li  c tính Nh vy, h s gi
i hn li là  c xác nh t nhiu yu t khác nhau, :c bit trong ó là chiu dài ca  ng truyn. (ây là mt trong nh>ng hn ch l
n ca mt mã l ng t ang  c các nhà mt mã hc và vt lý hc b nhiu tâm huyt  kh=c phc nó. 2.2.5 Làm m$n khóa và t5ng tính b2o m t Trong thc t, có mt vài vn  v
i các giao th c l ng t * trên. (8u tiên là thit b dò photon thc luôn luôn có mt s nhiAm tp, vì vy ngay c khi không có nghe trm, darksignal e signal darksignal PPP PP P e expexp expexp exp 2 1+ + == κ κ ε - 52 - nh>ng bit mà An và Bình thu  c không th hoàn toàn trùng kh
p. Th hai, công ngh hin ti ch a  tin cy  to ra các ht photon n. Các b phát photon có th phát quá nhiu ho:c ít photon trên mt n v thi gian so v
i m c c8n thit, do ó, Nhân s? có c hi tt cho vic chia sE xung quan sát mt phh8n ca các photon trong khi  cho ph8n còn li tip tc truyn n Bình. Nm 1992, Bennet, Bessette, Brassard, Salvail và Smolin  xut mt ph ng pháp   i phó v
i nh>ng khó khn k trên. B
c 8u tiên ca ph ng pháp này là “làm mn khóa” ca h thông qua các kênh truyn công khai. Các thông tin dùng  làm mn khóa trên kênh truyn công khai mà Nhân có th thu  c, không nhiu quá các thông tin mà cô ã thu  c trên kênh truyn l ng t. B
c tip theo Bình và An s dng ph ng pháp “tng tính bo mt”  làm gim hiu bit ca Nhân v khóa cui cùng ca h. 2.2.5.1 Làm mn khóa Làm mn khóa là mt ph ng pháp quan trng trong h thng phân phi khóa l ng t. Nó có nhim v 9ng b khóa cho hai bên trao )i khóa khi mà h thng truyn bit l ng t là ch a thc s hoàn ho. Vì quá trình làm mn khóa  c diAn ra trên kênh truyn công khai, do ó các thông tin trao )i có th b nghe trm. Vì vy, hai bên trao )i khóa phi tit l nh>ng thông tin ít nht có th trong khi vn m bo r<ng khi kt thúc giao th c h thu  c cùng mt khóa ging nhau. Ph ng pháp làm mn khóa ti u nht hin nay là “ph ng pháp Cascade”. Tr
c khi tìm hiu k v giao th c này, chúng ta xem xét n thut toán tìm kim nh phân (Binary), dùng  tìm và sa li trong Cascade. Thut toán Binary  c dùng  tìm và sa li trong tr ng h p dãy bit ca An và Bình có s li là lE:  An gi cho Bình tính chGn lE ca na 8u dãy bit ca mình.  B<ng cách so sánh tính chGn lE ca na 8u chui bit ca mình v
i tính chGn lE  c gi t An, Bình xác nh xem li sy ra * na 8u hay * cui ca dãy bit.  Th tc này  c l:p i l:p li n khi tìm  c v trí ca bit li. Thut toán Cascade x lý qua mt s b
c không c nh. S b
c trong thut toán  c quyt nh b*i tB l li ε ca kênh truyn l ng t. Gi s chui bit ca An là nAAAAA ...321= và chui bit ca Bình là nBBBBB ...321= (v
i { }1,0, ∈ii BA ): - 53 -  B
c 1: An và Bình chn ngu nhiên 1k và chia dãy bit ca h thành tng khi 1k bit. Các bit có v trí ( ){ }11 1 1| vklkvlKv <<−= trong chui bit lúc ó thuc khi v trong b
c th nht. An gi cho Bình tính chGn lE ca tt c các khi bit. Bình s dng thut toán Binary  tìm kim và sa trên nh>ng khi bit t ng ng có tính chGn lE khác nhau ca h.  B
c i ( )1>i : An và Bình chn ngu nhiên ik và mt hàm [ ]
    

    → i i k N nf ...1...1: . Các bit có v trí ( ){ }jlflK i j i == | trong chui bit lúc ó thuc khi j trong b
c i . An gi cho Bình tính chGn lE ca khi ijK : ( ) ∈ = j iKl li Aa 2mod v
i mi

    ≤≤ ik N j1 . T ng t, Bình tính toán ib r9i so sánh v
i ia . V
i mi ii ba ≠ , An và Bình s dng thut toán Binary  tìm kim và sa li trên khi ó. Gi s ijKl∈ là v trí bit li tìm  c. T ó, mi khi uvK v
i iu <≤1 tha mãn u vKl∈ s? có s li bit là lE. Gi s P là tp h p uvK tha mãn iu kin trên, An và Bình chn khi bit nh nht trong tp P và thc thi thut toán Binary trên nó. Gi l′ là v trí bit li va tìm  c trên dãy bit A và B. Sau khi sa li ti l ′ , Bình xác nh tp h p Q các khi ch a l′ trong các b
c t 1 t
i i. Bình có th tính  c tp h p R ca nh>ng khi có s li lE: ( ) ( )QPQPR ∩∪= \ . Nu φ≠R , Bình tìm li trong các c:p khi khác. Th tc này  c l:p i l:p li cho n khi không còn s lE li  c tìm thy. Trong giao th c Cascade, 1k th ng  c tính theo tB l li tính  c * các b
c trên: ee k 4 11 1 += , giá tr ca ( )11 ≥+ iki  c tính ii kk 21 =+ . B
c cui cùng th ng có  dài l
n hn 4 1  dài ca toàn b các bit. - 54 - 2.2.5.2 Tng tính bo mt (n thi im này, An và Bình ã có  c dãy bit ging nhau, nh ng dãy bit này ch thc s oan toàn vì Nhân có th có  c mt s thông tin v dãy bit thông qua kênh truyn l ng t ho:c qua quá trình làm mn khóa ca An và Bình. Sau quá trình làm mn khóa, dãy bit chung ca An và Bình là S có  dài n bit. Gi s r<ng, Nhân có thông tin v k bit ca dãy S. An và Bình mun có dãy bit làm khóa K có  dài r bit ( nr ng hiu bit v S không làm tng hiu bit v K . ( làm  c iu này ta s dng hàm { } { }rng 1,01,0: → và tính toán )(SgK = . Nh vy mt hàm nh th nào thì tha mãn iu kin trên. Mt l
p G ca các hàm BA → là tha mãn iu kin trên  c gi là các l
p universal (universal class) nu nghCa là nu cho 1x và 2x phân bit thuc A , kh nng  có ( ) ( )21 xgxg = l
n nht là B 1 khi g  c chn ngu nhiêu t G. Mt ví d v l
p universal là hoán v ca chính A. Ta luôn có xác sut  ( ) ( )21 xgxg = là b<ng 0 nh hn A 1 . L
p universal th ng s dng trong mt mã l ng t là s dng hàm bm { } { }rn 1,01,0 → trong ó sknr −−= v
i s là tham s oan toàn ( )kns −<<0 , th ng thì εrs = . Sau ó hiu bit ca Nhân v khóa ( )SgK = nh hn 2ln 2 s− bit. Mt ví d v l
n universal này là K  c tính b<ng tích ca S v
i mt ma trn cF nxr. 2.3 K T CHNG Các giao th c phân phi khóa l ng t  c trình bày * trên ã  c ch ng minh có kh nng bo mt vô iu kin. Nh vy, trong t ng lai, nu xây dng thành công mt mng l ng t, chúng ta có th hoàn toàn yên tâm v mt phiên truyn khóa an toàn. - 55 - Chng 3. THC TRNG CÔNG NGH MT MÃ LNG T, XÂY DNG CHNG TRÌNH MÔ PHNG MT MÃ LNG T VÀ  XUT 3.1 THC TRNG CÔNG NGH MT MÃ LNG T Nh>ng thí nghim 8u tiên v mt mã l ng t  c xây dng t nm 1990, và cho n ngày ng i ta ã xây dng  c mng l ng t v
i khong cách 30-40 kilomet s dng  ng truyn cáp quang. V c bn, hai công ngh to lên kh nng ca phân khi khóa l ng t là Thit b phát ra các photon phân cc n, và các thit b o l ng chúng. Trên thc t, vic phát ra các xung n photon mà giao th c phân phi khóa l ng t yêu c8u không h n gin. Bt chp nh>ng tin b g8n ây trong vic s dng các nguyên t c lp ho:c các chm l ng t bán dn  phát ra các n photon, a s h phân phi khóa l ng t thc t s dng xung laser yu  truyn các bit hình thành nên khóa ó. Ph ng pháp này có mt nh c im: laser thBnh thong s? phát ra các xung ch a hai ho:c nhiu photon, mi photon trong s ó s? * cùng mt trng thái l ng t. Kt qu là Nhân có th tách ra mt trong s các photon này và o nó, 9ng thi  cho các photon khác không b xáo trn, nh ó xác nh  c mt ph8n ca khóa mà vn không b phát hin. T9i t hn n>a, b<ng cách ch:n các xung n photon và chB cho phép các xung a photon truyn t
i Bình, Nhân có th xác nh  c toàn b khóa. Cho n khi nh>ng ngu9n n photon tht s tr* nên có th mua  c v ph ng din th ng mi, thì bin pháp phòng nga ph) bin nht là làm suy yu nhiu laser  hn ch tB l ca các xung a photon. Tuy nhiên, vic này cng có nghCa là nhiu xung không có photon nào c, làm gim tc  mà khóa có th  c truyn i. Nm 2003, mt th thut m
i nh<m l;n tránh vn  này ã  c  xut b*i Hoi-Kwong Lo ti tr ng i hc Toronto và Xiang-Bing Wang * D án tính toán và thông tin l ng t, ti Tokyo, da trên công trình tr
c ó ca Won-Young Hwang, ti tr ng i hc Northwestern, MC. Ý t *ng ca h là ri các xung tín hiu mt cách ngu nhiên v
i mt s “xung m9i” yu hn v trung bình và rt him khi có ch a mt xung a photon. Nu Nhân c g=ng tn công tách xung, anh ta s? tách mt ph8n ca xung, do ó, làm truyn xung m9i n Bình ít hn so v
i các xung tín hiu. B*i vy, b<ng cách kim tra s truyn ca các xung - 56 - m9i và xung tín hiu tách bit nhau, cuc tn công ca Nhân có th b phát hin. (iu này có nghCa là các xung laser mnh hn có th  c s dng mt cách an toàn – ch@ng hn, h9i nm ngoái, ti Toshiba, chúng tôi ã ch ng minh  c s tng 100 l8n tB l các khóa  c truyn i mt cách an toàn trên mt s i quang dài 25 km. Giao th c xung m9i ã gây nên s kích thích l
n trong cng 9ng QKD, v
i bn nhóm c lp nhau ã va công b nh>ng lun ch ng thc nghim ca kC thut ó. Các xung laser yu không phi là cách th c duy nht  thc hin mt mã l ng t. Ví d, QKD s dng mt ngu9n n photon tht s m
i ây ã  c ch ng minh ti tr ng i hc Stanford, CNRS * Orsay và Toshiba. Hn n>a, vào nm 1991, Artur Ekert, lúc y còn là nghiên c u sinh tin sC ti tr ng i hc Oxford, ã mô t mt bin th cho giao th c BB84 khai thác mt tiên oán phn trc giác khác ca c hc l ng t: ó là s liên kt l ng t. Các c:p photon liên kt có trng thái l ng t t ng quan mnh m? v
i nhau, cho nên vic o photon này nh h *ng t
i s o photon kia. Nu An và Bình, mi ng i có mt ca c:p photon ó, thì do ó h có th s dng phép o ca mình  trao )i thông tin. KC thut này ã  c ch ng minh b*i các nhà nghiên c u ti tr ng i hc Vienna, Phòng thí nghim quc gia Los Alamos và tr ng i hc Geneva, và ã  c s dng nm 2004  chuyn tin gi>a ngân hàng Vienna City Hall và mt ngân hàng Áo. Tuy nhiên, QKD laser yu là ph ng pháp c;n trng nht, và c s* ca h QKD th ng mi ngày nay ang phát trin ra th tr ng. S dò tìm các photon n cng rt ph c tp. Nh>ng ph ng pháp ph) bit nht  dò tìm là s dng cht bán dn. Các thit b này hot ng v t ra ngoài s c in áp ca diode,  c gi là ch  Geiger. Vào thi im ó, nng l ng t mt photon hp thu duy nht là   gây ra mt trn thác in t, dA dàng phát hin trng thái ca photon trong xung nhp ó. ( dò tìm mt photon khác, các hiu thông qua diode phi  c ngui và :t li các thit b, mt quá trình tn nhiu thi gian. Hn n>a, b
c sóng dò tìm tt nht ca cht bán dn là 800 nanomet, nó không nhy cm v
i nh>ng b
c sng trên 1100 nanomet, cng nh b
c sóng chu;n ca viAn thông (t 1300 n 1550 nanomet). Khong cách l
n nht ca  ng truyn l ng t ã  c to là 67-km t  c b*i mt nhóm các nhà vt lý ti (i hc Geneva vào tháng 10 nm 2001. Nu  dài ca  ng truyn v t qua ngoài 80km, không có nhiu photon có th truyn  c t An n Bình. Có mt cách  m* rng khong cách ca các kênh truyn l ng t ó là s dng - 57 - các thit b tng c ng tín hiu khi các photon i qua nó, ging nh nh>ng repeaters và bridges… s dng viAn thông. Tuy vy, không ging nh các thit b  c s dng trong viAn thông, các thit b s dng trong kênh truyn l ng t s? phi tng c ng tín hiu mà không c8n o l ng các photon ó. Các nhà khoa hc ã chB ra r<ng vic to ra mt repeater mà không o l ng là kh thi v nguyên t=c, nh ng các công ngh  xây dng nó vn còn là mt ch:ng  ng dài. V tinh là cng là mt ph ng án  c tính n trong truyn thông l ng t. Mt nhóm nghiên c u mt mã l ng t do Richard Hughes vt lý ti Phòng thí nghim Quc gia Los Alamos * New Mexico ang phát trin mt h thng phân phi khóa, s dng các photon gi qua không khí. ( phân bit các photon  c gi b*i nh>ng ng i gi khác nhau, nhóm nghiên c u s dng k thut khác nhau  lc ánh sáng n. Trong mt bài báo g8n ây , Hughes và cng s ã mô t làm th nào h gi các phím trên mt khong cách là 10 km v
i m c giá t ng t nh t  c b<ng cách s dng s i quang hc. M i km là mt khong cách ng=n so v
i hàng trm kilômét gi>a b m:t trái t và các v tinh, nh ng vì không khí hn lon, và các nhân t phá vF các photon, ph8n l
n xy ra khong không khi thp hn 2 km ca khí quyn, Hughes tin r<ng h thng ca ông s? có th  gi tín hiu  các v tinh. Nhóm nghiên c u hin ang c g=ng to ra èn nhn và cng c sao cho nó phù h p trong v tinh và t9n ti lâu hn mt máy phóng tên la. Kt h p v
i s i quang hc, các v tinh cui cùng có th là mt ph8n ca mt h thng truyn dn  ng dài. 3.2 CHNG TRÌNH MÔ PHNG GIAO TH(C PHÂN PHI KHÓA LNG T Mô phng mt mã l ng t mà c th trong ph8n này là mô phng giao th c BB84 là h mô phng cách làm vic thc t ca phân phi khóa l ng t. H thc hin theo giao th c BB84 ca phân phi khóa l ng t bao g9m vic s dng phân cc ánh sáng  truyn thông tin trên kênh truyn l ng t và các quá trình khác nh<m to cho An và Bình mt khóa chung ca riêng h. 3.2.1 M!c ích mô phng Mt mã l ng t là loi mt mã da trên các tính cht ca vt lý l ng t, do ó ây là loi mt mã không ph thuc vào kh nng tính toán hay  dài ca khóa, nó  c cho là t ng lai ca ngành mt mã hc. Vic kt h p các ph ng pháp phân tích lý thuyt và - 58 - công c lp trình Java  thit k ch ng trình nh<m mô phng, ánh giá tính an toàn ca giao th c là minh ch ng cho kh nng to ra sn ph;m mt mã l ng t. 3.2.2 Giao th'c truyn khóa l ng t Mt mã l ng t s dng các photon phân cc  m bo cho mt phiên truyn khóa an toàn. Trong giao th c BB84, chúng ta s dng sáu trng thái ca qubit t ng ng v
i ba c s* là: phân cc th@ng +{-, |}, phân cc chéo –{/, \}, và c s* briedbard *{>, <}. Mã hóa và gii mã thông tin vào qubit  c thông qua bng: bit C S* + x * 0 | \ < 1 - / > Giao th c  c thc hin qua b
c:
B1: An chn n bit và n c s* ngu nhiên + ho:c x. .ng v
i mi bit, An thc hin mã hóa vào qubit trong c s* t ng ng. Tip ó, An gi nh>ng qubit này cho Bình.
B2: Bình thc hin o l ng nh>ng qubit nhn  c trong mt c s* ngu nhiên trong + ho:c x, r9i thc hin gii mã nó thành bit thông th ng.
B3: Bình và An s dng kênh truyn công khai thông báo cho nhau nh>ng c s* ã s dng.
B4: An và Bình thc hin hy b nh>ng bit có v trí t ng ng v
i nh>ng v trí h s dng không cùng c s* nh<m to khóa ban 8u và xác nh tB l li.
B5: An và Bình thc hin làm mn khóa.
B6: An và Bình thc hin tng tính bo mt. 3.2.3 Gi1i thiu chng trình Nh>ng ch c nng chính ca ch ng trình:
Chn  dài ca key bit c8n trao )i gi>a An và Bình.
Chn c s* Nhân dùng  o l ng các qubit ch:n  c t An. Có hai la chn cho la chn này là: th nht là Normal là c s* bình th ng mà An và Bình thc hin  to và o l ng quBit ó. Th hai là c s* Briedbard. - 59 -
Chn t)ng s li trên  ng truyn bao g9m c li trên  ng truyn và li ti thit b o l ng ca Bình.
Xác nh gi
i hn li, tB l li, và ra quyt nh xem có tip tc phiên truyn khóa hay không?
Làm mn khóa và tng tính bo mt.
T)ng kt v phiên truyn khóa Kh*i ng ch ng trình, ng i dùng nhp các thông s nh  dài ca khóa ban 8u (length of rawkey), c s* mà Nhân s dng  o l ng (Base is used to measure by Nhân) các qubit ch:n trên  ng truyn, và t)ng s li trên kênh truyn. An to n bit ngu nhiên và n c s* ngu nhiên trong trong + ho:c x: - 60 - + Random bits: các bit ngu nhiên ca An + Random Bases: là các c s* ngu nhiên ca An Trong java hai chui bit này  c to ra nh mt hàm random: Random randomGenerator = new Random(); for(int i = 0; i < number; i++) { rdBits[i] = randomGenerator.nextInt(2); rdBases[i] = quBit.base[randomGenerator.nextInt(2)]; } An thc hin mã hóa các bit trong c s* t ng ng và gi cho Bình - 61 - + State of quBits: hin th chui trng thái ca quBit. Các trng thái này  c to ra da trên bit ngu nhiên và c s* ngu nhiên theo quy t=c: bit C S* + x * 0 | \ < 1 - / > Các bin )i bit trong c s* base tr v trng thái ca qubit  c th hin thông qua on code: if(bit == 1 && base == '+') return '-'; if(bit == 0 && base == '+') return '|'; if(bit == 1 && base == 'x') return '/'; return '\\'; - 62 - Khi An gi qubit qua  ng truyn l ng t thì xut hin Bình và Nhân. H thc hin to nh>ng c s* ngu nhiên (Random bases trong hình d
i)  sGn sàng o l ng qubit nhn  c. Nu Nhân không ch:n nh>ng qubit  c gi t An thì Bình s? o l ng nh>ng qubit nhn  c t An: - 63 - Nu Nhân ch:n nh>ng qubit  c gi t An, Nhân thc hin phép o l ng nh>ng qubit này, và gi nh>ng qubit sau o l ng cho Bình, thì Bình s? o l ng nh>ng qubit nhn  c t Nhân: (o l ng qubit da trên tính cht ca c hc l ng t. Qubit có trng thái – ho:c | nu  c o l ng trong c s* + thì kt qu là trng thái ca nó tr
c lúc o l ng, ng c li nu o l ng chúng trong c s* x thì kt qu ngu nhiên là mt trong hai trng thái / ho:c \. T ng t v
i hai trng thái / và \. Bng t)ng kt trên  ng truyn l ng t, khi có s xut hin ca Nhân: - 64 - (ánh giá tB l li và to khóa ban 8u. Giao th c kt thúc khi tB l li l
n hn gi
i hn li. (V trí màu xanh th hin An và Bình s dng cùng c s*) Bng t)ng kt trên  ng truyn l ng t, khi không có s xut hin ca Nhân: - 65 - Xác nh tB l li. Vì tB l li nh hn gi
i hn li. An và Bình thc hin làm mn khóa. - 66 - Và tng tính riêng t ,  to khóa cui cùng Kt lun v phiên truyn khóa - 67 - 3.2.4 K*t Lu n T vic phân tích các giao th c truyn khóa l ng t cùng v
i ngôn ng> lp trình java 1.6.0, tôi ã xây dng ng dng mô phng giao th c BB84. Kt qu ca ch ng trình là mt minh ch ng cho kh nng bo mt vô iu kin ca mt mã l ng t, qua ó có nh>ng h
ng 8u t và phát trin cho phù h p. 3.3  XUT (NG DNG C6A MT MÃ LNG T V
i kh nng bo mt vô iu kin, mt mã l ng t có th cài :t trong rt nhiu ng dng. Tôi  xut  a các giao th c phân phi khóa l ng t vào ng dng bo mt nh IPsec, TLS… Mt mã l ng t m bo cho mt phiên truyn khóa an toàn, do ó nó s? bo m cho các ng dng g=n v
i nó mt kh nng bo mt an toàn cao. - 68 - K T LUN A. K T QU T C Khi máy tính l ng t khai sinh cng là lúc các h mt mã khóa công khai hin nay b khai t, lúc ó chúng ta c8n mt h mt mã có kh nng bo mt không ph thuc vào  dài ca khóa cng nh  ph c tp ca thut toán. Mt mã l ng t tha mãn nh>ng iu kin trên. Nó gii quyt bài toán bo mt mà không c8n t
i bt c mt s tính toán nào. Nh vy, v
i mt mã l ng t thì s xut hin ca máy tính l ng t không làm thay )i ch  ng ca ngành mt mã hc. T ng lai ca ngành mt mã hc s? là mt mã l ng t. ( tài ã thc hin  c nh>ng ni dung sau: Gi1i thiu v m t mã l ng t: Gi
i thiu mt mã l ng t, các tính cht quan trng ca c hc l ng t trong mt mã hc, tính toán l ng t, truyn thông l ng t và mã hóa siêu dày :c Các giao th'c phân phi khóa l ng t: Trình bày v các giao th c phân phi khóa l ng t BB84, B92, EPR, và ch ng minh tính bo mt ca chúng. So sánh nh>ng im yu, mnh ca tng giao th c. Trong ph8n này cng tìm hiu v cách xác nh h s tB l li ca kênh truyn l ng t, cách làm mn khóa và tng tính bo mt. Tìm hi%u v hin trng c/a công ngh m t mã l ng t và xây d ng chng trình mô phng giao th'c BB84. Tuy nhiên trong quá trình tìm hiu tôi không tránh khi sai sót, rt mong s óng góp ca các th8y cô và các 9ng môn. B. H"NG PHÁT TRI7N Hoàn thin hn v các giao th c phân phi khóa l ng t. Ch ng minh các h s an toàn. Tìm hiu v h
ng phát trin phân phi khóa l ng t thông qua  ng truyn v tinh trái t. Cách các photon phân cc  c truyn i. - 69 - C. Ý NGH8A Khóa lun có gi
i thiu v các tính cht ca c hc l ng t và nh>ng tính cht ca nó, t ó làm nn tng cho các nghiên c u mt mã l ng t sau này. Ch ng minh  c kh nng bo mt vô iu kin ca mt mã l ng t, t ó chúng ta c8n có nh>ng h
ng i c th  phát trin mt mã l ng t trong t ng lai. - 70 - TÀI LIU THAM KHO Keyword: mt mã l ng t, quantum cryptography, quantum computing. Tài liu ting vit: [1] Quang Trung - Gi
i Thiu mt mã l ng t: Tài liu ting anh: [2]Barnett, S. M. and Phoenix, S. J. D., "Bell's inequality and rejected-data protocols for quantum cryptography", Journal of Modern Optics, vol. 40, no. 8, August 1993, pp. 1443 - 1448. [3]Bennett, C. H. and Brassard, G., "Quantum cryptography: Public-key distribution and coin tossing", Proceedings of IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India, December 1984, pp. 175 - 179. [4]Bennett, C. H. and Brassard, G., "Quantum public key distribution system", IBM Technical Disclosure Bulletin, vol. 28, no. 7, December 1985, pp. 3153 - 3163. [5]Bennett, C. H., "Quantum cryptography using any two nonorthogonal states", Physical Review Letters, vol. 68, no. 21, 25 May 1992, pp. 3121 - 2124. [6]Bennett, C. H., Bessette, F., Brassard, G., Salvail, L. and Smolin, J., "Experimental quantum cryptography", Journal of Cryptology, vol. 5, no. 1, 1992, pp. 3 - 28. Preliminary version in Advances in Cryptology - Eurocrypt '90 Proceedings, May 1990, Springer - Verlag, pp. 253 - 265. [7]EECS Team, "Qubits, Quantum Mechanics and Computers - Fall 2009" [8]Ekert, A. K., "Quantum cryptography based on Bell's theorem", Physical Review Letters, vol. 67, no. 6, 5 August 1991, pp. 661 - 663. [9]Ekert, A. K., Rarity, J. G., Tapster, P. R. and Palma, G. M., "Practical quantum cryptography based on two-photon interferometry", Physical Review Letters, vol. 69, no. 9, 31 August 1992, pp. 1293 - 1295. [10]K.J.P.M.Poels, “Quantum Key Exchange using squeezed State” - 71 - [11]Wiesner, S., "Conjugate coding", Sigact News, vol. 15, no. 1, 1983, pp. 78 - 88; original manuscript written circa 1970. [12]A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: "Can qu