Bài tập Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định

wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí BÀI TẬP CHƯƠNG 5. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài 1: Tính giá trị đạo hàm cấp 1 và cấp 2, nếu giá trị của hàm được cho trong bảng sau: xi 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 yi=f(xi) 1,266 1,326 1,393 1,469 1,553 1,647 Bài 2: Tính giá trị đạo hàm cấp 1 và cấp 2, nếu giá trị của hàm được cho trong bảng sau: xi 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 yi=f(xi) 0,4000 1,4848 2,6813 3,9975 5,3456 6,2465 Bài 3: Tính gần đúng y/(50) của hàm số y = lgx dựa vào bảng giá trị đã cho sau: xi 50 55 60 yi = lgxi 1,6990 1,7404 1,7782 Bài 4: Cho hàm f(x) bởi bảng sau: xi 50 55 60 65 yi=log(xi) 1,6990 1,7404 1,7782 1,8129 Áp dụng đa thức nội suy tính gần đúng đạo hàm của hàm f(x) tại x = 50 và so sánh với kết quả tính trực tiếp. Đáp số: y/(50) ≈ 0,0087 Bài 5: Cho hàm f(x) bởi bảng sau: xi 0,98 1,00 1,02 yi=f(xi) 0,7739332 0,7651977 0,7563321 Tính gần đúng đạo hàm của hàm f(x) tại x = 1. Đáp số: y/(1) ≈ -0,4400275 Bài 6: Cho hàm  xfy dưới dạng bảng sau: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 12,3 11,1 7,2 4,1 6,3 8,8 9,2 10,8 13,1 Tính tích phân: wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí  8 0 )( dxxfI theo công thức hình thang và công thức Simson. Bài 7: Cho hàm  xfy dưới dạng bảng sau: x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 y 1 1,1 1 2,1 1 3,1 1 4,1 1 5,1 1 6,1 1 7,1 1 8,1 1 9,1 1 2 1 Tính tích phân:  1 0 )( dxxfI theo công thức hình thang và công thức Simson. Bài 8: Cho hàm  xfy dưới dạng bảng sau: x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y 1 0,990 0,962 0,917 0,862 0,800 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,735 0,671 0,609 0,555 0,500 Tính tích phân:  1 0 )( dxxfI Bài 9: Cho hàm  xfy dưới dạng bảng sau: x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 y 1,0000 0,9801 0,9211 0,8253 0,6967 Tính tích phân:  8,0 0 dx)x(fI theo công thức hình thang và công thức Simson. Bài 10: Cho hàm  xfy dưới dạng bảng sau: x 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 y 1,5 0,75 0,50 0,75 1,50 2,75 wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí 3,0 3,5 4,0 4,50 6,75 10,00 Tính tích phân:  4 0 )( dxxfI theo công thức hình thang và công thức Simson. Bài 11: Cho tích phân:  1 0 sin dx x x I . Hãy chia đoạn  1;0 thành n = 10 đoạn con bằng nhau rồi tính gần đúng tích phân theo công thức hình thang và công thức Simson. Đáp số: Theo cơng thức hình thang I = 0,9458 Theo cơng thức Simson I = 0,946082 Bài 12: Cho tích phân:   1 0 21 1 dx x I . Hãy chia đoạn  1;0 thành n = 10 đoạn con bằng nhau rồi tính gần đúng tích phân theo công thức hình thang và công thức Simson. Đáp số: Theo cơng thức hình thang I = 0,7849815 Theo cơng thức Simson I = 0,78539815 GIẢI Bài 1: Áp dụng đa thức nội suy Newton, ta cĩ: Bảng sai phân: xi f(xi) Δf(xi) Δ 2f(xi) Δ 3f(xi) Δ 4f(xi) Δ 5f(xi) 1,0 1,266 1,1 1,326 0,060 1,2 1,393 0,067 0,007 1,3 1,469 0,076 0,009 0,002 1,4 1,553 0,084 0,008 -0,001 -0,003 1,5 1,647 0,094 0,01 0,002 0,003 0,006 Áp dụng cơng thức: wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí                   n nn n hn xxxxxx xf h xxxx xf h xx xfxfxL ! ... ... !2 110 02 10 0 20 00      Ta cĩ:                     54 325 )1,0!.(5 4,13,12,11,11 006,0 )1,0!.(4 3,12,11,11 003,0 )1,0!.(3 2,11,11 002,0 )1,0!.(2 1,11 007,0 1,0 1 06,0266,1           xxxxxxxxx xxxxxx xL   546,13365,59136,96833,7725,215 23455  xxxxxxL . Suy ra:     xfxL //5     xfxL ////5 Bài 2: xi f(xi) Δf(xi) Δ 2f(xi) Δ 3f(xi) Δ 4f(xi) Δ 5f(xi) 0,4 0,4000 0,6 1,4848 1,0848 0,8 2,6813 1,1965 0,1117 1,0 3,9975 1,3162 0,1197 0,008 1,2 5,3456 1,3481 0,0319 -0,0878 -0,0958 1,4 6,2465 0,9009 -0,4472 -0,4791 -0,3913 -0,2955 Áp dụng cơng thức:                   n nn n hn xxxxxx xf h xxxx xf h xx xfxfxL ! ... ... !2 110 02 10 0 20 00      Ta cĩ:                     54 325 )2,0!.(5 2,118,06,04,0 2955,0 )2,0!.(4 18,06,04,0 0958,0 )2,0!.(3 8,06,04,0 008,0 )2,0!.(2 6,04,0 1117,0 2,0 4,0 0848,14,0           xxxxxxxxx xxxxxx xL Suy ra:     xfxL //5     xfxL ////5 Bài 3: Tính gần đúng y/(50) của hàm số y = lgx dựa vào bảng giá trị đã cho sau: xi 50 55 60 yi 1,6990 1,7404 1,7782 Cách 1. Áp dụng đa thức nội suy Newton, ta cĩ: Bảng sai phân: xi f(xi) Δf(xi) Δ 2f(xi) Δ 3f(xi) 50 1,6990 wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí 55 1,7404 0,0414 60 1,7782 0,0378 -0,0036 Áp dụng cơng thức:                   n nn n hn xxxxxx xf h xxxx xf h xx xfxfxL ! ... ... !2 110 02 10 0 20 00      Ta cĩ:      22 5!.2 5550 0036,0 5 50 0414,06990,1     xxx xL Suy ra:       22 // 2 5!.2 105 0036,0 5!.2 .2 0036,0 5 0414,0   x xfxL       22 // 3 5!.2 105 0036,0 5!.2 50.2 0036,0 5 0414,0 5050   fL 00864,000756,00072,000828,0  . Cách 2.       00828,0 5 699,17404,1 5 50log550log log 50 /      x x Bài 4: Áp dụng đa thức nội suy Newton, ta cĩ: Bảng sai phân: xi f(xi) Δf(xi) Δ 2f(xi) Δ 3f(xi) 50 1,6990 55 1,7404 0,0414 60 1,7782 0,0378 -0,0036 65 1,8129 0,0347 -0,0031 0,0005 Áp dụng cơng thức:                   n nn n hn xxxxxx xf h xxxx xf h xx xfxfxL ! ... ... !2 110 02 10 0 20 00      Ta cĩ:          323 5!.3 605550 0005,0 5!.2 5550 0036,0 5 50 0414,06990,1       xxxxxx xL Suy ra:       ... 5!.2 105 0036,0 5!.2 .2 0036,0 5 0414,0 22 // 3    x xfxL       ... 5!.2 105 0036,0 5!.2 50.2 0036,0 5 0414,0 5050 22 // 3    fL Bài 5: Áp dụng đa thức nội suy Newton, ta cĩ: Bảng sai phân: xi f(xi) Δf(xi) Δ 2f(xi) wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí 0,98 0,7739332 1,00 0,7651977 -0,0087 1,02 0,7563321 -0,0088656 -0,0001656 L2(x) = 0,7739332-0,0087   02,0 98,0x -0,0001656    202,0 198,0  xx = 1025,021,0 2  xx .     025,021,0.2/2  xxL ≈ f /(x) . Suy ra: f/(1) ≈ - 2.(0,21) - 0.025 = - 0,445. Bài 6: Tính tích phân I theo công thức hình thang:  1,138,10.22,9.28,8.23,6.21,4.22,7.21,11.23,12 2 1 )( 8 0    dxxfI 2,70 Tính tích phân I theo công thức Simson.  8 0 )( dxxfI  1,138,10.42,9.28,8.43,6.21,4.42,7.21,11.43,12 3 1  0,70 . Bài 7: Tính tích phân I theo công thức hình thang:                2 1 9,1 1 8,1 1 7,1 1 6,1 1 5,1 1 4,1 1 3,1 1 2,1 1 1,1 1 21 2 1,0 )( 1 0 dxxfI ≈ 694,0 . Tính tích phân I theo công thức Simson.  1 0 )( dxxfI wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí                          9,1 1 7,1 1 5,1 1 3,1 1 1,1 1 4 8,1 1 6,1 1 4,1 1 2,1 1 2 2 1 1 3 1,0 693,0 . Bài 8: Tính tích phân I theo công thức hình thang:   109876543210 1 0 yyyyyyyyyy2y 2 h dx)x(fI     5,0555,0609,0671,0735,08,0862,0917,0962,099,021 2 1,0  785,0 . Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.  1 0 )( dxxfI       975318642100 yyyyy4yyyy2yy3 h        555,0671,08,0917,099,04609,0735,0862,0962,025,01 3 1,0  786,0 . Bài 9: Tính tích phân I theo công thức hình thang:   43210 8,0 0 yyyy2y 2 h dx)x(fI     6967,08253,09211,09801,0212 2,0  715,0 . Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.  8,0 0 dx)x(fI       31240 yy4y2yy3 h        8253,09801,049211,026967,01 3 2,0  717,0 . Bài 10: Tính tích phân I theo công thức hình thang:   9876543210 4 0 2 2 )( yyyyyyyyyy h dxxfI     00,1075,65,475,25,175,05,075,025,1 2 5,0  625,11 . Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.  4 0 )( dxxfI       753864280 423 yyyyyyyyy h        5,45,15,0475,675,275,075,020,105,1 3 5,0  417,11 . Bài 11: wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Ta cĩ   x x xf sin  ;  1;0x . Chia đoạn [0; 1] thành 10 phần bằng nhau, 1,0 10 01   h . Khi đĩ: xi 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 sin(xi) 0 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 0,4794 i i i x x y sin  0 0,9983 0,9933 0,9850 0,97354 0,9588 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,5646 0,64421 0,71728 0,78327 0,8414 0,9410 0,9203 0,8966 0,8703 0,8414 Tính tích phân I theo công thức hình thang:   109876543210 1 0 2 2 )( yyyyyyyyyyy h dxxfI     8414,08703,08966,09203,09410,09588,097354,09850,09933,09983,020 2 1,0  89578,0 . Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.  1 0 )( dxxfI       97538642100 423 yyyyyyyyyy h        8703,09203,09588,09850,048966,09410,097354,09933,028414,00 3 1,0  8486,0 . Bài 12: Cho hàm  xfy dưới dạng bảng sau: x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y 1 1/1,01 1/1,04 1/1,09 1/1,16 1/1,25 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1/1,36 1/1,49 1/1,64 1/1,81 1/2 Tính tích phân I theo công thức hình thang: wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí   109876543210 1 0 2 2 )( yyyyyyyyyyy h dxxfI              5,0 81,1 1 64,1 1 49,1 1 36,1 1 25,1 1 16,1 1 09,1 1 04,1 1 01,1 1 21 2 1,0 7849815,0 . Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.  1 0 )( dxxfI       97538642100 423 yyyyyyyyyy h                      81,1 1 49,1 1 25,1 1 09,1 1 64,1 1 36,1 1 16,1 1 04,1 1 425,01 3 1,0 785253,0 .