Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Bài 6: Biến đổi Z

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU BIẾN ĐỔI Z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung o Giới thiệu o Định nghĩa o Các tính chất của biến đổi ࢦ o Các tính chất của biến đổi ࢦ + o Biến đổi Z hữu tỷ 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giới thiệu o Tín hiệu tương tự, hệ thống tương tự: Biến đổi Laplace, biến đổi Fourrier o Tín hiệu rời rạc, hệ thống rời rạc? 3 Pierre-Simon Laplace (1749–1827), France Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830, France) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa o Biến đổi ત của một tín hiệu rời rạc về thời gian ݔ(݊) được định nghĩa như sau: ܺ ݖ ≜ ෍ ݔ ݊ ݖି௡ ାஶ ௡ୀିஶ = ⋯+ ݔ −1 ݖଵ + ݔ 0 ݖ଴ + ݔ 1 ݖିଵ +⋯ ݖ: là biến phức, ký hiệu: ܺ ݖ = ત ݔ(݊) o Mối quan hệ giữa ݔ ݊ , ܺ ݖ : ݔ ݊ ܺ ݖ o Vùng hội tụ (ROC: Region of Convergence) của ܺ ݖ : ݖ ∈ ℂ, ܺ ݖ < +∞ 4 ݖ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa o Cho chuỗi đáp ứng xung ℎ(݊), hàm truyền của bộ lọc: ܪ ݖ ≡ ત ℎ(݊) o Biến đổi Z một phía ݔ ݊ ܺା ݖ ܺା ݖ ≜ ෍ ݔ(݊)ݖି௡ ାஶ ௡ୀ଴ o Không có thông tin của ݔ(݊) với ݊ < 0 o Là duy nhất đối với tín hiệu nhân quả o ܺା ݖ = ત ݔ ݊ ݑ(݊) o ROC luôn nằm ngoài một vòng tròn bán kính ݎ => không quan tâm đến ROC. 5 ݖା CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa o ܽ௤ +⋯+ ܽ௡ = ൝ ௔೜ି௔೙శభ ଵି௔ ݊ − ݍ + 1 ݊ếݑ ܽ ≠ 1 ݊ếݑ ܽ = 1 , ݍ, ݊ ∈ ܼ o 1 + ܽ + ܽଶ +⋯ = ଵ ଵି௔ ݊ếݑ ܽ < 1 o ܽ + ܽଶ +⋯ = ௔ ଵି௔ ݊ếݑ ܽ < 1 o ln 1 + ܽ = ∑ −1 ௡ାଵ ௔೙ ௡ ାஶ ௡ୀଵ ݊ếݑ ܽ < 1 o ln ଵା௔ ଵି௔ = ∑ ଶ௔మ೙శభ ଶ௡ାଵ ାஶ ௡ୀଵ ݊ếݑ ܽ < 1 o 6 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Tìm biến đổi Z và ROC của các tín hiệu (hàm truyền sau) i. ݔଵ ݊ = 1,2,5,7,0,1 ii. ݔଶ ݊ = 1,2,5,7,0,1 iii. ݔଷ ݊ = 1,2,5,7,0,1,0 iv. ݔସ ݊ = ߜ ݊ v. ݔହ ݊ = ߜ ݊ + 3 vi. ݔ଺ ݊ = ߜ ݊ − 4 vii.ݔ଻ ݊ = ߙ௡ݑ ݊ viii.ݔ଼ ݊ = −ߚ௡ݑ −݊ − 1 7 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Kết quả: i. ଵܺ ݖ = 1 + 2ݖିଵ + 5ݖିଶ + 7ݖିଷ + ݖିହ ii. ܺଶ ݖ = ݖଶ + 2ݖ + 5 + 7ݖିଵ + ݖିଷ iii. ܺଷ ݖ = ݖ଺ + 2ݖହ + 5ݖସ + 7ݖଷ + ݖଵ 8 ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) i. Cả mặt phẳng Z, ngoại trừ ݖ = 0 ii. Cả mặt phẳng Z, ngoại trừ ݖ = 0 & ݖ = ∞ iii. Cả mặt phẳng Z, ngoại trừ ݖ = ∞ ROC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Kết quả: iv. ܺସ ݖ = 1 v. ܺହ ݖ = ݖଷ vi. ܺ଺ ݖ = ݖିସ 9 ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) iv. Cả mặt phẳng Z vi. Cả mặt phẳng Z, ngoại trừ ݖ = 0 v. Cả mặt phẳng Z, ngoại trừ ݖ = ∞ ROC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Kết quả: vii. ܺ଻ ݖ = ଵ ଵିఈ௭షభ = ௭ ௭ିఈ nếu ݖ > ߙ viii.଼ܺ ݖ = ଵ ଵିఉ௭షభ = ௭ ௭ିఉ nếu ݖ < ߚ 10 ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) vii. Cả mặt phẳng Z ngoại trừ ݖ < ߙ viii. ݖ < ߚ ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ߙ ߚ ROC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Tìm biến đổi ܼା của các tín hiệu (hàm truyền sau) i. ݔଵ ݊ = 1,2,5,7,0,1 ii. ݔଶ ݊ = 1,2,5,7,0,1 iii. ݔଷ ݊ = 1,2,5,7,0,1,0 iv. ݔସ ݊ = ߜ ݊ v. ݔହ ݊ = ߜ ݊ + 3 vi. ݔ଺ ݊ = ߜ ݊ − 4 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Kết quả: i. ଵܺ ା ݖ = 1 + 2ݖିଵ + 5ݖିଶ + 7ݖିଷ + ݖିହ ii. ܺଶ ା ݖ = 5 + 7ݖିଵ + ݖିଷ iii. ܺଷ ା ݖ ݖ = 0 iv. ܺସ ା ݖ =1 v. ܺହ ା ݖ = 0 vi. ܺ଺ ା ݖ = ݖିସ 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa o ݖ biểu diễn dưới dạng cực: ݖ = ݎ݁௝ఏ với ݎ = ݖ & ߠ = ∡ݖ ܺ ݖ ቚ ௭ୀ௥௘ೕഇ = ෍ ݔ(݊)ݎି௡݁ି௝௡ఏ ାஶ ௡ୀିஶ 13 ܴ݁{ݖ} ܫ݉{ݖ} 0 ݎܿ݋ݏ(߱) ݎܿ݋ݏ(߱) ݎ ݎ݁௝ఠ ߱ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa o Vẽ ܺ(ݖ) = ௭షభି௭షమ ଵାଵ.ଶ଻ଷଶ௭షభା଴.଼ଵ௭షమ 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa o ROC của ܺ ݖ : ܺ ݖ ≤ ∑ ݔ ݊ ݎି௡ାஶ௡ୀିஶ ≤ ∑ ݔ −݊ ݎ ௡ାஶ ௡ୀଵ + ∑ ௫(௡) ௥೙ ାஶ ௡ୀ଴ 15 ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ݎଵ ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ݎଶ ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ࢠ ࢘૛ ࢘૛ < ࢠ < ࢘૚ ݎଶ ݎଵ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa o Nếu ݔ ݊ = ݔଵ ݊ + ݔଶ ݊ +⋯+ ݔே ݊ , ܴܱܥ của ܺ ݖ : ܴܱܥ = ܴܱܥଵ ∩ ܴܱܥଶ ∩⋯∩ ܴܱܥே o Ví dụ: Tìm biến đổi Z và ROC của các tín hiệu sau ݔ ݊ = ߙ௡ݑ ݊ + ߚ௡ݑ −݊ − 1 o Kết quả: i. Nếu ߚ < ߙ , ܺ(ݖ) không tồn tại. ii. Nếu ߚ > ߙ , ܺ ݖ = ଵ ଵିఈ௭షభ − ଵ ଵିఉ௭షభ với 16 ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ߙ ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ߙ ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ࢠ ࢼ ࢼ < ࢠ < ࢻ ߙ ߚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vùng hội tụ của các tín hiệu rời rạc o Tín hiệu có chiều dài hữu hạn 17 ܴ݁(ݖ) ܴ݁(ݖ) ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ܫ݉(ݖ) ܫ݉(ݖ) ݊ ݊ ݊ Độ lớn Độ lớn Độ lớn Nhân quả Không nhân quả Trộn lẫn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vùng hội tụ của các tín hiệu rời rạc o Tín hiệu có chiều dài vô hạn 18 ܴ݁(ݖ) ܴ݁(ݖ) ܴ݁(ݖ) ܫ݉(ݖ) ܫ݉(ݖ) ܫ݉(ݖ) ݊ ݊ ݊ Độ lớn Độ lớn Độ lớn Nhân quả Không nhân quả Trộn lẫn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất của biến đổi ત 19 Tính chất Miền thời gian Miền Z ROC Ký hiệu ݔ(݊) ݔଵ ݊ ݔଶ ݊ ܺ(ݖ) ଵܺ ݖ ܺଶ ݖ ROC: ݎଶ < ݖ < ݎଵ ܴܱܥଵ ܴܱܥଶ Tuyến tính ݔ ݊ = ෍ܽ௞ݔ௞(݊) ଶ ௞ୀଵ ܺ ݖ = ෍ܽ௞ܺ௞(ݖ) ଶ ௞ୀଵ Tối thiểu ܴܱܥଵ ∩ ܴܱܥଶ Mở rộng theo thời gian ݔ௞ ݊ = ቄݔ(ݎ) 0 ݊ = ݎ݇ ݊ ≠ ݎ݇ ܺ(ݖ௞) ROCଵ/௞ Dịch theo thời gian ݔ ݊ − ݇ ݖି௞ܺ ݖ ROC, ngoại trừ ቄ ݖ = 0 ݖ = ∞ nếu ݇ > 0 nếu ݇ < 0 Co giãn trong miền Z ܽ௡ݔ ݊ ܺ ܽିଵݖ ܽ ݎଶ < ݖ < ܽ ݎଵ Đảo thời gian ݔ −݊ ܺ ݖିଵ 1/ݎଵ < ݖ < 1/ݎଶ Liên hợp phức ݔ∗ ݊ ܺ∗ ݖ∗ ROC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất của biến đổi ત 20 Tính chất Miền thời gian Miền Z ROC Phần thực ܴ݁ ݔ ݊ ܺ ݖ + ܺ∗ ݖ∗ /2 ROC Phần ảo ܫ݉ ݔ ݊ ܺ ݖ − ܺ∗ ݖ∗ /2 ROC Vi phân trong miền Z ݊௞ݔ(݊) (−ݖ)௞ ݀௞ ݀ݖ௞ ܺ(ݖ) ROC Chia trong miền thời gian ݔ(݊) ݊ −න ܺ(ݖ) ݖ ݀ݖ ௭ ଴ ROC Tích chập ݔଵ ݊ ⊛ ݔଶ ݊ ଵܺ(ݖ) ܺଶ(ݖ) Tối thiểu ܴܱܥଵ ∩ ܴܱܥଶ Tương quan chéo ݎ௫భ௫మ ݈ = ݔଵ ݈ ⊛ ݔଶ −݈ ܴ௫భ௫మ ݖ = ଵܺ ݖ ܺଶ ݖିଵ Tối thiểu của (ROC ܺଶ ݖିଵ )∩ ܴܱܥଵ Lý thuyết giá trị đầu Nếu ݔ ݊ nhân quả ݔ(0)= lim௭→ஶ ܺ(ݖ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất của biến đổi ત 21 Tính chất Miền thời gian Miền Z ROC Quan hệ Parseval ෍ ݔଵ ݊ ݔଶ ∗ ାஶ ௡ୀିஶ ݊ = 1 2ߨ݆ ර ଵܺ(ݒ) ܺଶ ∗( 1 ݒ∗ )ݒିଵ݀ݒ ஼ Tính nhân ݔଵ ݊ ݔଶ ݊ 1 2ߨ݆ ර ଵܺ(ݒ)ܺଶ( ݖ ݒ )ݒିଵ݀ݒ ஼ Tối thiểu ݎଵ௟ݎଶ௟ < ݖ < ݎଵ௨ ݎଶ௨ Vi phân bậc 1 ݔ ݊ − ݔ ݊ − 1 (1 − ݖିଵ)ܺ ݖ Tích lũy ෍ ݔ ݇ ௡ ௞ୀିஶ ܺ ݖ 1 − ݖିଵ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất của biến đổi તା 22 Tính chất Miền thời gian Miền ࢆା Ký hiệu ݔ(݊) ܺା(ݖ) Có tất cả các tính chất giống biến đổi Z ngoại trừ tính dịch theo thời gian Tính trể ݔ ݊ − ݇ , k > 0 ݖି௞ ܺା(ݖ) +෍ݔ(−݊)ݖ௡ ௞ ௡ୀଵ Nếu ݔ ݊ nhân quả ݖି௞ܺା(ݖ) Time advance ݔ ݊ + ݇ , k > 0 ݖ௞ ܺା ݖ −෍ݔ(݊)ݖି௡ ௞ିଵ ௡ୀ଴ Lý thuyết giá trị cuối ݔ ∞ = lim ௭→ଵ ݖ − 1 ܺା ݖ nếu cực (ݖ − 1)ܺା(ݖ) nằm trong vòng tròn đơn vị CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số cặp biến đổi Z Tín hiệu Biến đổi Z ROC ߜ(݊) 1 ℂ ߜ(݊ − ݊଴) ݖି௡బ ℂ \ ቄ ݖ = 0 ݖ = ∞ nếu ݊଴ > 0 nếu ݊଴ < 0 ܽ௡ݑ(݊) 1/(1 − ܽݖିଵ) ݖ > ܽ −ܽ௡ݑ(−݊ − 1) 1/(1 − ܽݖିଵ) ݖ < ܽ ݊ܽ௡ݑ(݊) ܽݖିଵ/(1 − ܽݖିଵ)ଶ ݖ > ܽ −݊ܽ௡ݑ(−݊ − 1) ܽݖିଵ/(1 − ܽݖିଵ)ଶ ݖ < ܽ ݊ଶܽ௡ݑ(݊) ܽݖିଵ(1 + ܽݖିଵ)/(1 − ܽݖିଵ)ଷ ݖ > ܽ −݊ଶܽ௡ݑ(−݊ − 1) ܽݖିଵ(1 + ܽݖିଵ)/(1 − ܽݖିଵ)ଷ ݖ < ܽ ܽ௡cos(߱଴݊)ݑ(݊) 1 − ܽݖିଵcos(߱଴) 1 − 2ܽݖିଵcos ߱଴ + ܽଶݖିଶ ݖ > ܽ ܽ௡sin(߱଴݊)ݑ(݊) ܽݖିଵsin(߱଴) 1 − 2ܽݖିଵcos ߱଴ + ܽଶݖିଶ ݖ > ܽ 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Z hữu tỷ o Các zero của ܺ(ݖ): tất cả các giá trị ݖ sao cho ܺ ݖ = 0 o Các cực (pole) của ܺ(ݖ): tất cả các giá trị ݖ sao cho ܺ ݖ = ∞ o ROC không chứa bất kỳ cực nào o Trên mặt phẳng Z, cực: × (hoặc ), zeos: o 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Z hữu tỷ o Nếu X(z) là hàm hữu tỷ: ܺ ݖ = ܰ(ݖ) ܦ(ݖ) = ܾ଴ + ܾଵݖ ିଵ +⋯+ ܾெݖ ିெ ܽ଴ + ܽଵݖିଵ +⋯+ ܽேݖିே = ∑ ܾ௞ݖ ି௞ெ ௞ୀ଴ ∑ ܽ௞ݖି௞ ே ௞ୀ଴ o Nếu ܽ଴ܾ଴ ≠ 0 ܺ ݖ = ܾ଴ݖ ିெ ܽ଴ݖିே ݖெ + (ܾଵ/ܾ଴)ݖ ெିଵ +⋯+ ܾெ/ܾ଴ ݖே + (ܽଵ/ܽ଴)ݖேିଵ +⋯+ (ܽே/ܽ଴) = ܾ଴ ܽ଴ ݖିெାே ݖ − ݖଵ ݖ − ݖଶ (ݖ − ݖெ) ݖ − ݌ଵ ݖ − ݌ଶ (ݖ − ݌ே) = ܩݖேିெ ∏ ݖ − ݖ௞ ெ ௞ୀଵ ∏ ݖ − ݌௞ ே ௞ୀଵ 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Z hữu tỷ o ܺ ݖ = ܩݖேିெ ∏ ௭ି௭ೖ ಾ ೖసభ ∏ ௭ି௣ೖ ಿ ೖసభ o ܺ ݖ |௭ୀ௭ೖ = 0, ݇ = 1, ,ܯ, ݖ௞: zero của ܺ(ݖ) o ܺ ݖ |௭ୀ௣ೖ = ∞, ݇ = 1, ,ܰ, ݌௞: cực của ܺ(ݖ) o ܺ(ݖ) có ൜ ܰ −ܯ zero tại ݖ = 0 ܰ −ܯ cựܿ tại ݖ = 0 nếu ܰ > ܯ nếu ܰ < ܯ o ܪ ݖ = ଴.଼௭ ௭ି଴.ଶ 26 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Z hữu tỷ o Vd: Tìm các zeros và cực của i. ݔ(݊) = ܽ௡ݑ(݊) ii. ݔ(݊) = ൜ܽ ௡ 0 ݊ếݑ 0 ≤ ݊ ≤ ܯ − 1 trường hợp khác 27 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Z hữu tỷ o Vị trí cực và hành vi của tín hiệu nhân quả ở miền thời gian o ݔ ݊ = ܽ௡ݑ ݊ ↔ ܺ ݖ = 1 (1 − ܽݖିଵ)⁄ , ܴܱܥ: ݖ > ܽ 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 29 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Z hữu tỷ o Vị trí cực và hành vi của tín hiệu nhân quả ở miền thời gian o ݔ ݊ = ݊ܽ௡ݑ ݊ ↔ ܺ ݖ = ܽݖିଵ (1 − ܽݖିଵ)ଶ⁄ , ܴܱܥ: ݖ > ܽ 30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 31 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Z hữu tỷ o Vị trí cực và hành vi của tín hiệu nhân quả ở miền thời gian o ݔ ݊ = ܽ௡cos ߱଴݊ ݑ ݊ o ܺ ݖ = ଵି௔௭షభ ୡ୭ୱ ఠబ ଵିଶ௔௭షభୡ୭ୱ ఠబ ା௔మ௭షమ , ܴܱܥ: ݖ > ݎ 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 33 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính nhân quả và ổn định o Tín hiệu nhân quả dạng: ݔ ݊ = ܽଵ݌ଵ ௡ݑ ݊ + ܽଶ݌ଶ ௡ݑ ݊ +⋯+ ܽே݌ே ௡ݑ ݊ o Biến đổi Z của ݔ(݊): ܺ ݖ = ܽଵ 1 − ݌ଵݖିଵ + ܽଶ 1 − ݌ଶݖିଵ +⋯+ ܽே 1 − ݌ேݖିଵ với ROC: ݖ > max ( ݌ଵ , , ݌ே ) 34 ݌1 ݌2 ݌3 ݌ܰ ܴ݁{ݖ} ܫ݉{ݖ} CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính nhân quả và ổn định o Tín hiệu không nhân quả dạng: ݔ ݊ = −ܽଵ݌ଵ ௡ݑ −݊ − 1 +⋯− ܽே݌ே ௡ݑ −݊ − 1 o Biến đổi Z của ݔ(݊): ܺ ݖ = ܽଵ 1 − ݌ଵݖିଵ + ܽଶ 1 − ݌ଶݖିଵ +⋯+ ܽே 1 − ݌ேݖିଵ với ROC: ݖ < min ( ݌ଵ , , ݌ே ) 35 ݌1 ݌2 ݌3 ݌ܰ ܴ݁{ݖ} ܫ݉{ݖ} CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính nhân quả và ổn định o Tín hiệu ổn định: ROC của ݔ ݊ có chứa vòng tròn đơn vị (vòng tròn có bán kính bằng 1) 36 ܴ݁{ݖ} ܫ݉{ݖ} ܴ݁{ݖ} ܫ݉{ݖ} ܴ݁{ݖ} ܫ݉{ݖ} CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt