Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Ứng dụng cực trị hàm 1 biến trong kinh tế - Vương Thị Thảo Bình

V1.0018112205 BÀI 3 ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM 1 BIẾN TRONG KINH TẾ TS. Vương Thị Thảo Bình 1 V1.0018112205 Tình huống dẫn nhập Một hãng sản xuất, kinh doanh một mặt hàng có hàm chi phí biên: trong đó Q là sản lượng. Xác định Q sao cho chi phí trung bình của hãng là nhỏ nhất; Tìm lượng cung sao cho lợi nhuận cực đại nếu giá hàng hóa là p = 50. 2 2 3TC Q 12Q Q 0 1Q 10   ( ) , V1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Nắm được một số hàm 1 biến trong kinh tế thông dụng. • Nắm được cách tìm cực trị hàm 1 biến và Áp dụng được vào bài tập. 3 V1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 4 3.1 Khái niệm hàm 1 biến trong kinh tế Giới thiệu một số hàm số 1 biến trong kinh tế3.2 3.3 Cực trị của hàm 1 biến V1.0018112205 3.1. GIỚI THIỆU HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ 5 3.1.2 Các loại phương trình 3.1.1 Biến, hằng số và tham số V1.0018112205 3.1.1. BIẾN, HẰNG SỐ VÀ THAM SỐ • P: giá cả (price), • : lợi nhuận (profit), • R: doanh thu (revenue), • C: chi phí (cost), • Y: thu nhập (income), • 6 V1.0018112205 3.1.2. CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH • Phương trình định nghĩa (definition equation): là một đẳng thức mà hai biểu thức thay thế ở cả hai vế của nó có cùng một ý nghĩa. Ví dụ 1. Lợi nhuận được định nghĩa thông qua phương trình định nghĩa sau: 𝜋 = R – C, tức là lợi nhuận thu được chính là phần dôi ra của doanh thu sau khi đã trừ đi chi phí. • Phương trình hành vi (behavioral equation): Phương trình hành vi phản ánh cách thức một biến thay đổi phụ thuộc vào sự thay đổi giá trị của các biến khác. Ví dụ 2. Chi phí C = 75 + 10Q Chi phí C = 110 + Q2 • Phương trình cân bằng (equilibrium equation): mô tả điều kiện cân bằng Ví dụ 3. Qd=Qs : Lượng cầu phải bằng lượng cung S = I : Tổng tiết kiệm phải bằng tổng đầu tư 7 V1.0018112205 3.2. GIỚI THIỆU MỘT SỐ HÀM SỐ MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ 8 3.2.2 Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận 3.2.1 Hàm cung và hàm cầu 3.2.3 Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm V1.0018112205 3.2.1. HÀM CUNG VÀ HÀM CẦU • Hàm cung: Qs = S(p) • Hàm cầu: Qd = D(p) Khi xét xem các mô hình hàm cung và hàm cầu ở dạng nêu trên, người ta giả thiết rằng các yếu tố khác không thay đổi. Quy luật của thị trường trong kinh tế học nói rằng, đối với các hàng hóa thông thường, hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm. Điều này có nghĩa là: với các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi. 9 V1.0018112205 3.2.2. HÀM DOANH THU, HÀM CHI PHÍ VÀ HÀM LỢI NHUẬN • Hàm doanh thu: TR = TR(Q) • Hàm chi phí: TC = TC(Q) • Chi phí cố định (FC): FC = TC(Q=0) • Hàm chi phí biến đổi (VC): VC = TC – FC • Hàm lợi nhuận: (Q) = TR(Q) – TC(Q) 10 V1.0018112205 3.2.3. HÀM TIÊU DÙNG VÀ HÀM TIẾT KIỆM • Hàm tiêu dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C (consumption) vào biến thu nhập Y (Income): C = C(Y) Khi thu nhập tăng người ta thường có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, do đó hàm tiêu dùng là hàm đồng biến. • Hàm tiết kiệm là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S và biến thu nhập Y: S = S(Y) 11 V1.0018112205 3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN Cho hàm số y = f(x) f(x) < f(x0) thì x0 là điểm cực đại f(x) > f(x0) thì x0 là điểm cực tiểu Bài toán: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục có đạo hàm trong khoảng (a, b). Tìm điểm cực trị của f(x). Điều kiện cần: f'(x) = 0  x = x0 điểm dừng. Điều kiện đủ: • Cách 1: Xét sự biến thiên dấu của f'(x). • Cách 2: Tại x0, ta có: f"(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại; f"(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. 12 V1.0018112205 3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo) Bài toán 1: Chọn mức sản lượng tối ưu Giả sử doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC(Q) và hàm tổng doanh thu TR(Q). Hãy chọn mức sản lượng Q0 để thu lợi nhuận tối đa. Giải Hàm tổng lợi nhuận của doanh nghiệp:  = TR(Q) - TC(Q) Điều kiện cần: Điều kiện đủ: 13 TR Q TC Q 0 TR Q TC Q M MC       ' '( ) '( ) '( ) '( ) R TR Q TC Q 0 TR Q TC Q MR Q MC Q       '' ''( ) ''( ) ''( ) ''( ) '( ) '( ) V1.0018112205 3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo) Bài toán 2: Chọn sử dụng yếu tố đầu vào tối ưu để có lợi nhuận cao nhất Cho một doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), trong điều kiện giá sản phẩm trên thị trường là p và giá lao động (tiền công) là w. Hãy tìm mức sử dụng lao động để đạt lợi nhuận tối đa? Giải: Hàm tổng lợi nhuận: (C0 là chi phí cố định) Điều kiện cần: (Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là giá trị bằng tiền của sản phẩm hiện vật cận biên của lao động bằng giá lao động). Điều kiện đủ: 14 0 pf L L C   ( ) w 0 L pf L C p MPP      ' '( ) w w 0 0 pf L 0 f L 0    '' ''( ) ''( ) V1.0018112205 3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo) Bài toán 3: Cực trị của hàm hàm bình quân Cho hàm số y = f(x) với x, y là các biến số kinh tế. Hàm số được gọi là hàm bình quân. Ta có: Giả sử x0 là điểm thỏa mãn My = Ay, tức là Ay’ = 0. Khi đó ta có nhận xét: • Hàm bình quân tăng khi My > Ay (Tức là đường cận biên nằm trên đường bình quân). • Hàm bình quân giảm khi My < Ay (Tức là đường cận biên nằm dưới đường bình quân). • Hàm bình quân đạt cực trị khi My = Ay (đường cận biên giao nhau với đường bình quân). 15 y x 0 x  Ay ( ) 2 y y y y x y My Ayx x 0 x x x x             ' ' ' Ay' ( ) V1.0018112205 3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo) Ví dụ Một doanh nghiệp có hàm chi phí TC(Q) = 0,3Q3 – 3Q2 + 19Q + 30, với Q là sản lượng. Hãy xác định hàm chi phí biến đổi bình quân AVC(Q) và mức sản lượng cực tiểu hóa hàm này. Giải: FC = TC(0) = 30 Hàm chi phí biến đổi trung bình là: Điều kiện cần: Điều kiện đủ: Vậy Q = 5 thì chi phí biến đổi trung bình đạt cực tiểu, và Qmin = 11,5. 16 3 2 2VC 0 3Q 3Q 19QAVC 0 3Q 3Q 19 Q Q        , , AVC 0 6Q 3 AVC 0 0 6Q 3 0 Q 5        ' , ' , AVC 0 6 0 " , V1.0018112205 Giải quyết tình huống dẫn nhập • Chi phí trung bình của hãng là: • Điều kiện cần: • Điều kiện đủ: • Vậy với Q = 5 thì chi phí trung bình của hãng là nhỏ nhất. 17 2 3 2C Q 12Q Q 0 1QAC 0 1Q Q 12 Q Q        ( ) , , AC 0 2Q 1 AC 0 0 2Q 1 0 Q 5         ' , ' , AC 0 2 0 " , V1.0018112205 Giải quyết tình huống dẫn nhập • Hàm lợi nhuận: • Điều kiện cần: • Điều kiện đủ: • Vậy với Q = 15,07 thì lợi nhuận đạt cực đại. 18    2 3 2 3 3 2 TR TC pQ 12Q Q 0 1Q 50Q 12Q Q 0 1Q 0 1Q Q 38Q               , , , 2 2 0 3Q 2Q 38 62 10 1 5 0 0 3Q 2Q 38 0 Q 15 07 3                     ' , ' , ,  0 6Q 2 15 07 0 6 15 07 2 7 042 0            " , " , , , , V1.0018112205 TỔNG KẾT BÀI HỌC • Giới thiệu một số biến trong kinh tế • Một số hàm số 1 biến trong kinh tế • Cực trị của hàm 1 biến 19