Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Ứng dụng đạo hàm, vi phân trong phân tích thay đổi tuyệt đối, tương đối của các biến kinh tế - Vương Thị Thảo Bình

V1.0018112205 BÀI 2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, VI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI, TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC BIẾN KINH TẾ TS. Vương Thị Thảo Bình 1 V1.0018112205 Tình huống dẫn nhập 2 Cho hàm sản xuất Coubb-Douglas: (K, L > 0) trong đó: Q - sản lượng, K - vốn , L - lao động. - Nếu K tăng 2% và L tăng 3% thì Q tăng bao nhiêu %? - Tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64; giả sử dK = 0,1; dL = -0,3 là các mức biến động của vốn và lao động. Nêu công thức toán học xác định mức biến động của Q, tìm và giải thích ý nghĩa? 2 1 3 3Q 30 K L . . V1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Nắm được ứng dụng của đạo hàm, vi phân trong phân tích thay đổi trực tiếp. • Nắm được ứng dụng của đạo hàm, vi phân trong trong phân tích thay đổi gián tiếp. • Nắm được ứng dụng của đạo hàm, vi phân tính tỷ lệ tăng trưởng của một biến kinh tế. 3 V1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 4 2.1 Sự thay đổi tuyệt đối Sự thay đổi tương đối2.2 V1.0018112205 2.1. SỰ THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI 5 2.1.2 Đối với hàm nhiều biến 2.1.1 Đối với hàm một biến V1.0018112205 2.1.1. ĐỐI VỚI HÀM MỘT BIẾN là giá trị y cận biên theo x. Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể MPPL = f '(L) MR = TR'(Q). TR = pQ  MR = p (p là giá sản phẩm trên thị trường). MC = TC'(Q). MPC = C'(y). MPS = S'(Y). 6 0 0 0 0 0 0 Δx 0 Δx 0 f x Δx f x f x Δy f x Δx f x f x Δx              ( ) ( )y '( ) lim lim ( ) ( ) '( ). x x V1.0018112205 2.1.1. ĐỐI VỚI HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo) Ví dụ 1: Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: Ở mức sử dụng L = 100 đơn vị lao động, khi tăng mức sử dụng lao động hàng tuần thêm 1 đơn vị và các yếu tố khác không đổi thì sản lượng hàng tuần sẽ thay đổi như thế nào? Giải Sản phẩm cận biên của lao động tại điểm L = 100 là: Sản lượng hàng tuần sẽ tăng một lượng xấp xỉ bằng 0,25 đơn vị. Cách 2: Q(101) – Q(100)= 0,2494 7 L 5 MPP Q 0 25 2 L   ' , . Q 5 L V1.0018112205 2.1.2. ĐỐI VỚI HÀM NHIỀU BIẾN Đối với hàm nhiều biến: Y = f(X1, X2, ..., Xn) • Số gia toàn phần Y = f(X1 + X1, X2 + X2, ..., Xn + Xn) – f(X1, X2, ..., Xn) • Số gia riêng theo Xi XiY = f(X1, ...,Xi+ Xi, ..., Xn) – f(X1, ...,Xi, ..., Xn) • Vi phân toàn phần (2.2) • Vi phân riêng theo biến Xi: 8 X1 1 X2 2 Xn n dY f dX f dX f dX   ' ' ' Xi Xi i d Y f dX ' 1 2X 1 X 2 Xn n Y dY Y X Y X Y X        ' ' ' Xi Xi Xi i Y d Y Y X   ' V1.0018112205 2.2. SỰ THAY ĐỔI TƯƠNG ĐỐI 9 2.1.2 Đối với hàm nhiều biến 2.1.1 Đối với hàm một biến V1.0018112205 2.2.1. ĐỐI VỚI HÀM MỘT BIẾN Khi Y thay đổi 1 lượng là Y thì sự thay đổi tương đối của Y được đo bằng tỷ lệ Như vậy, khi các biến khác không đổi, X tăng lên 1% thì Y thay đổi %. 10 Y Y r Y   X Y X X X X Y Y dX X dX X dX X r Y Y Y r Y Y Y X Y X Y                  ' ' ' ' Y Y X X Y r r Y      / Y X  / V1.0018112205 2.2.2. ĐỐI VỚI HÀM NHIỀU BIẾN • Đối với hàm n biến Y = f(X1,X2,...,Xn) • Tính hệ số tăng trưởng với một số dạng hàm kinh tế 11 1 1 2 2 n nY Y X X Y X X Y X X r r r r          / / / Y Y r d Y Y    ln Y dY dt r Y  V1.0018112205 2.2.2. ĐỐI VỚI HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo) Ví dụ 3: Mức cân bằng thu nhập quốc dân biểu diễn dưới dạng hàm số Trong đó C0: chi tiêu tự định; T0, I0, G0 tương ứng là thuế, đầu tư, chi tiêu chính phủ (cố định). T là thuế suất. Cho Nếu chi tiêu tự định tăng lên 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào? Nếu chi tiêu tự định tăng lên 1% thì thu nhập cân bằng thay đổi bao nhiêu %? Giải 12 0 0 0 0 C bT I G Y 1 b bt       0 0 0 0 C 80 I 90 G 81 T 20 b 0 9 t 0 1     ; ; ; ; , ; , 0C 1 1 Y 5 2632 1 b bt 1 0 9 0 9 0 1         ' , , , , 0 0 0 Y 0 0 0 00 0 0 0 0 0Y C C CY 1 C bT I GC 1 b bt C bT I GY 1 b bt 80 C 80 0 343 80 0 9 20 90 81                           ( ) , , V1.0018112205 2.2.2. ĐỐI VỚI HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo) Ví dụ 4: Cho hàm xuất khẩu X(t) = X0 e at (X0, a > 0). Tính hệ số tăng trưởng của xuất khẩu? Giải 13 at 0 X at 0 X e adX dt r a X X e    V1.0018112205 Giải quyết tình huống dẫn nhập • Cho hàm sản xuất Coubb-Douglas: (K,L>0) trong đó: Q- sản lượng, K-vốn , L lao động. • Nếu lượng vốn tăng thêm 2%, lao động tăng thêm 3% thì lợi nhuận công ty thay đổi như thế nào? Tùy theo hàm sản xuất của doanh nghiệp và áp dụng vào công thức • Nếu vốn tăng 0,1 đơn vị, lao động giảm 0,3 đơn vị thì lợi nhuận không đổi phải không? 14 1 2X 1 X 2 Y dY Y X Y X 0 9785      ' ' , 1 1 2 2Y Y X X Y X X r r r 2 33       / / , % 1 1 1 1 3 3 3 3 K 2 Q 30 L K 20L K 26 66 3     ' . . . , 2 2 3 3 K 1 Q 30 K L 5 625 3   ' . . , 2 1 3 3Q 30 K L . . 1 3 1 3 Q K K 2 3 1 3 K K 2 Q 20K L Q 30K L 3    ' / // / / 2 3 2 3 Q L L 2 3 1 3 L L 1 Q 10K L Q 30K L 3    ' / // / / V1.0018112205 TỔNG KẾT BÀI HỌC • Sự thay đổi tuyệt đối • Sự thay đổi tương đối • Tính hệ số tăng trưởng 15 1 1 2 2 n nY Y X X Y X X Y X X r r r r          / / / 1 2X 1 X 2 Xn n Y dY Y X Y X Y X        ' ' ' Y Y r d Y Y    ln Y dY dt r Y 