Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 11: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc - Đỗ Tú Anh

Tín Hiệu và Hệ Thống Bài 11: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 9: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc 9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn 9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc 9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc 2EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3 EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tổ chức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm sin phức-Tính tuần hoàn ƒ Nếu hàm sin phức x[n] = ejω0n tuần hoàn với chu kỳ N thì ta có [ ] [ ]0 0 0 0( )j n N j n j N j nx n N e e e e x nω ω ω ω++ = = = = do đó 0 1j Ne ω = là số hữu tỷ 4EE3000-Tín hiệu và hệ thống - Điều này xảy ra khi 0 2N mω π= hay 02 m N ω π = - Chu kỳ của x[n] = ejω0 là 0 2N m πω= ƒ Quan hệ giữa hàm sin thực và hàm sin phức [ ] 0 0( ) 0 0cos( ) sin( ) j n j nx n Ce C e C n j C n ω ω θ ω θ ω θ += = = + + + [ ] { }0 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) cos( ) Re ( ) 2 j n j n j n x n A n Ae A e e ω θ ω θ ω θ ω θ + + − + = + = = + jC C e θ=- Với - Với C A= CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm sin phức điều hòa ƒ Xét hàm sin phức ejω0n tuần hoàn với chu kỳ N, và tần số cơ bản 0 2 N πω = ƒ Tập các hàm sin phức tuần hoàn với chu kỳ N là ƒ Các hàm này là điều hòa nhưng chỉ có N hàm sin là phân biệt nhau vì ƒ Một cách tổng quát, với một số nguyên r bất kỳ ƒ Khi định nghĩa các hàm sin gián đoạn, chỉ cần xét trong khoảng tần số có độ rộng là 2π 5EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm sin phức điều hòa ƒ Các hàm sin phức điều hòa là phân biệt trong khoảng N các giá trị liên tiếp nhau của k: - Ký hiệu tập này là [ ]k k Nnφ = ƒ Các hàm sin phức điều hòa đó là vuông góc với nhau vì ƒ Chúng ta có thể kiểm chứng tính vuông góc sử dụng công thức tổng hữu hạn EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 9: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc 9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn 9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc 9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc 7EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc ƒ Biểu diễn một tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N thành tổ hợp tuyến tính của các hàm sin phức ƒ Tìm các hệ số của các hàm sin phức Nhân với và cộng trên N Tính vuông góc của [ ]k k Nnφ = EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc của x[n] là 8 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi Fourier ƒ Cặp biến đổi chuỗi Fourier ƒ Cặp biến đổi chuỗi Fourier là tuần hoàn với chu kỳ N ƒ Không cần xét sự hội tụ: các tổng luôn là hữu hạn 9EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi Fourier: Ví dụ 1 EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu -Tần số cơ bản - Chu kỳ - Tìm chuỗi Fourier rời rạc theo - Khai triển x[n] thành các hàm sin phức điều hòa - Chọn khoảng N số nguyên liên tiếp - Chuỗi F rời rạc trên 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi Fourier: Ví dụ 1 ƒ Các hệ số chuỗi F rời rạc cho - Các thành phần - Các hệ số chuỗi F 11EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi Fourier: Ví dụ 2 EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu - Chu kỳ N = 4, khoảng của k: = {0,1,2,3} - Các hệ số chuỗi F rời rạc 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi Fourier: Ví dụ 2 ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu ƒ Khôi phục từ các hệ số chuỗi F rời rạc 13EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi Fourier: Ví dụ 3 EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho sóng vuông tuần hoàn 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 9: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc 9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn 9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc 9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc 16EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc ƒ Xét dãy không tuần hoàn hữu hạn, x[n], sao cho x[n] = 0 ở ngoài khoảng ƒ Tạo một dãy tuần hoàn với chu kỳ N trong đó x[n] là một chu kỳ chúng ta sẽ xây dựng biến đổi Fourier dựa trên chuỗi Fourier của một tín hiệu gián đoạn với chu kỳ tiến đến vô cùng 17EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc ƒ Bắt đầu với cặp biến đổi chuỗi Fourier ƒ Thay thế bởi x[n] bằng cách định nghĩa đoạn lấy tổng là ƒ Định nghĩa hàm ƒ Các hệ số là các mẫu của trong đó ω0 = 2π /N là khoảng cách giữa các mẫu trên trục tần số 18EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc ƒ Quan sát trạng thái giới hạn khi bằng cách thay cho trong khai triển chuỗi Fourier của ƒ Khi - - - Tổng trên N khoảng với độ rộng trở thành tích phân với khoảng lấy tích phân có độ rộng là 2π - ƒ Phương trình trên trở thành [ ] 2 1 ( ) 2 j j nx n X e e dω ωπ ωπ= ∫ 19EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc ƒ Cặp biến đổi Fourier rời rạc [ ] [ ] 2 1 ( ) 2 ( ) j j n j j n n x n X e e d X e x n e ω ω π ω ω ωπ ∞ − =−∞ = = ∫ ∑ PT tổng hợp PT phân tích ƒ là tuần hoàn với chu kỳ 2π 20EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 9: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc 9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn 9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc 9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc 21EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1 ƒ Xét dãy hàm mũ - Tính biến đổi Fourier rời rạc sử dụng chuỗi hình học - Vì nên có thể viết - Biên độ và pha có thể nhận được sử dụng công thức Euler 22EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1 ƒ Biên độ và pha của với a > 0 ƒ Chú ý: - Biên độ và pha là tuần hoàn với chu kỳ 2π - Khi a > 0 phổ là thông thấp – biên độ giảm dần khi tần số tăng từ ω = 0 đến ω = π EE3000-Tín hiệu và hệ thống 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1 ƒ Biên độ và pha của với a < 0 ƒ Chú ý: - Biên độ và pha là tuần hoàn với chu kỳ 2π - Khi a < 0 phổ là thông cao – biên độ tăng dần khi tần số tăng từ ω = 0 đến ω = π EE3000-Tín hiệu và hệ thống 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 2 ƒ Xét dãy xung chữ nhật [ ] 1 1 1, 0, n N x n n N ⎧ ≤= ⎨ >⎩ ƒ Biến đổi Fourier Thay biến CT tổng hữu hạn Đưa về hàm sinc gián đoạn EE3000-Tín hiệu và hệ thống 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 2 ƒ Xung chữ nhật với N1 = 2 và ảnh Fourier của nó ƒ Chú ý rằng - là hàm sinc gián đoạn tuần hoàn với chu kỳ 2π - Nó tương tự như ảnh Fourier của xung chữ nhật liên tục 26EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 9: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc 9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn 9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc 9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc 27EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 9: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc 9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn 9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc 9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc 29EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sự hội tụ của biến đổi Fourier rời rạc ƒ Xét sự hội tụ của biến đổi Fourier (PT phân tích) ƒ Tổng vô hạn sẽ hội tụ nếu x[n] là khả tổng tuyệt đối ƒ hoặc tín hiệu có năng lượng hữu hạn ƒ Vì PT tổng hợp là tích phân hữu hạn, ta không cần xét sự hội tụ của nó 30EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 9: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc 9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn 9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc 9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc 9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc 9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc 31EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt