Bài giảng Lý thuyết tính toán - Bài 03. Ngôn ngữ và Văn phạm Chính quy

GV: Nguyễn Ngọc Tú [email protected] Bài 03. Ngôn ngữ và Văn phạm Chính quy LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN INTRODUCTION TO COMPUTATION THEORY (FORMAL LANGUAGES & AUTOMATA) TIN331 Sử dụng slides của các tác giả: Hồ Văn Quân + Nick Hopper Nội dung  Biểu thức chính qui (Regular Expression)  Mối quan hệ giữa Biểu thức và ngôn ngữ chính qui  Văn phạm chính qui (Regular Grammar) Biểu thức chính quy  Biểu thức chính qui (BTCQ) là gì?  Là một sự kết hợp các chuỗi kí hiệu của một bảng chữ cái ∑ nào đó, các dấu ngoặc, và các phép toán +, ., và *. trong đó phép + biểu thị cho phép hội, phép . biểu thị cho phép kết nối, phép * biểu thị cho phép bao đóng sao.  Ví dụ  Ngôn ngữ {a} được biểu thị bởi BTCQ a.  Ngôn ngữ {a, b, c} được biểu thị bởi BTCQ a + b + c.  Ngược lại BTCQ (a + b.c)* biểu thị cho ngôn ngữ {λ, a, bc, aa, abc, bca, bcbc, aaa, aabc, ...}. Định nghĩa  Định nghĩa 3.1  Cho ∑ là một bảng chữ cái, thì 1. ∅, λ, và a ∈ ∑ tất cả đều là những BTCQ hơn nữa chúng được gọi là những BTCQ nguyên thủy. 2. Nếu r1 và r2 là những BTCQ, thì r1 + r2, r1. r2, r1*, và (r1) cũng vậy. 3. Một chuỗi là một BTCQ nếu và chỉ nếu nó có thể được dẫn xuất từ các BTCQ nguyên thủy bằng một số lần hữu hạn áp dụng các quy tắc trong (2). Ví dụ  Cho ∑ = {a, b, c}, thì chuỗi (a + b.c)*.(c + ∅) là BTCQ, vì nó được xây dựng bằng cách áp dụng các qui tắc ở trên. Còn (a + b+) không phải là BTCQ. Ngôn ngữ tương ứng BTCQ  Định nghĩa 3.2  Ngôn ngữ L(r) được biểu thị bởi BTCQ bất kỳ là được định nghĩa bởi các qui tắc sau. 1. ∅ là BTCQ biểu thị tập trống, 2. λ là BTCQ biểu thị {λ}, 3. Đối với mọi a ∈ ∑, a là BTCQ biểu thị {a}, Nếu r1 và r2 là những BTCQ, thì 1. L(r1 + r2) = L(r1) ∪ L(r2), 2. L(r1.r2) = L(r1).L(r2), 3. L((r1)) = L(r1), 4. L(r1*) = (L(r1))*. Ngôn ngữ tương ứng BTCQ  Bao đóng sao > Kết nối > Hợp L(a* . a + b) = L(a* . a)L(b) = (L(a* ) L(a))L(b) = ((L(a))* L(a))L(b) = ({, a, aa, aaa, ...}{a}){b} = {a, aa, aaa, ..., b} = {an  n1}{b} Ex.  Tìm ngôn ngữ của các BTCQ sau  r1 = (aa)*(bb)*b  r2 = (ab*a + b)*  r3 = a(a + b)* Kết quả L(r1) = {a2nb2m+1: n ≥ 0, m ≥ 0} L(r2) = {w ∈ {a, b}*: na(w) chẵn} L(r3) = {w ∈ {a, b}*: w được bắt đầu bằng a} Ex 02.  Tìm BTCQ cho các ngôn ngữ sau  L1 = {tập tất cả các số thực của Pascal}  L2 = {w ∈ {0, 1}*: w không có một cặp số 0 liên tiếp nào}  L3 = {w ∈ {0, 1}*: n0(w) = n1(w)} Phép toán mở rộng  Phép chọn lựa r? hoặc [r]  r ? = [r] = (r + λ)  Phép bao đóng dương +  r+ = r.r*  Chú ý  (r*)* = r*  (r1* + r2)* = (r1 + r2)*  (r1r2* + r2)* = (r1 + r2)*  Trong một số tài liệu phép cộng (+) được kí hiệu bằng dấu | thay cho dấu + . Chẳng hạn (a + b).c thì được viết là (a | b).c BTCQ Biểu thị Ngôn ngữ Chính quy  Định lý 3.1  Cho r là một BTCQ, thì tồn tại một NFA mà chấp nhận L(r). Vì vậy, L(r) là NNCQ.  Bổ đề  Với mọi NFA có nhiều hơn một trạng thái kết thúc luôn luôn có một NFA tương đương với chỉ một trạng thái kết thúc. qf1 qfn qf1 qfn qf tương đương với λ λ Thủ tục: re-to-nfa  Mọi nfa có thể được biểu diễn bằng sơ đồ M q0 qf q0 q1 q0 q1  q0 q1 a Thủ tục: re-to-nfa hoặc     M(r1) M(r2) q01 q02 qf1 qf2 M(r1) M(r2) L(r1 + r2) Thủ tục: re-to-nfa    M(r1) q01 qf1 M(r2) q02 qf2 M(r2) M(r1) hoặc L(r1.r2) Thủ tục: re-to-nfa    M(r) q0 qf hoặc q0 qf L(r1 *) Thủ tục: re-to-nfa  Ví dụ  L((a + bb)*(ba* + )) M1 b b a M2 b  a  L(a + bb) L(ba* + ) Ex.  r1 = aa* + aba*b*  r2 = ab(a + ab)* (b + aa)  r3 = ab*aa + bba*ab  r4 = a*b(ab + b)*a*  r5 = (ab* + a*b)(a + b*a)* b  r6 = (b + a*)(ba* + ab)*(b*a + ab)  r7 = (abb*bba + baab*a)*(bbaa + abab)*(aaa+bbb)  r8 = (aabb* + bb*aa)(aa*bb* + baab)* r9 = (a + -)(n)*(bv + hbv + v)(a + -)(n)* r10 = (p + -)(p + -)(n + -)(n + -)n(p + -)(p + -)s* r11 = (mc*d(c+t)*mc*d)* r12 = ((c(p + h)*)d*)* BTCQ cho NNCQ  Đồ thị chuyển trạng thái tổng quát (generallized transition graphs):  Là một ĐTCTT ngoại trừ các cạnh của nó được gán nhãn bằng các BTCQ.  Ngôn ngữ được chấp nhận bởi nó là tập tất cả các chuỗi được sinh ra bởi các BTCQ mà là nhãn của một con đường nào đó đi từ trạng thái khởi đầu đến một trạng thái kết thúc nào đó của ĐTCTT tổng quát (ĐTCTTTQ). Đồ thị chuyển trạng thái tổng quát  Hình bên biểu diễn một ĐTCTTTQ.  NN được chấp nhận bởi nó là L(a*(a + b)c*)  Nhận xét  ĐTCTT của một nfa bất kỳ có thể được xem là ĐTCTTTQ nếu các nhãn cạnh được diễn dịch như sau.  Một cạnh được gán nhãn là một kí hiệu đơn a được diễn dịch thành cạnh được gán nhãn là biểu thức a.  Một cạnh được gán nhãn với nhiều kí hiệu a, b, . . . thì được diễn dịch thành cạnh được gán nhãn là biểu thức a + b + . . .  Mọi NNCQ đều ∃ một ĐTCTTTQ chấp nhận nó. Ngược lại, mỗi NN mà được chấp nhận bởi một ĐTCTTTQ là chính qui. c* a* a + b Rút gọn trạng thái của ĐTCTTTQ a d b c qi e q qj ae*b ce*d ae*d qi ce*b qj Rút gọn trạng thái trung gian q. Rút gọn trạng thái của ĐTCTTTQ  Định lý 3.2  Cho L là một NNCQ, thì tồn tại một BTCQ r sao cho L = L(r). a a + b a + b +b) a+ b b a a b q0 q q1 q2 a+b  a q1 q2 ab q0 (a+b)a a aa (a ab b b Rút gọn trạng thái của ĐTCTTTQ r1 q0 r2 r3 r4 qf Đồ thị chuyển trạng thái r = r1*r2(r4 + r3r1*r2)* Ex. q0 q1 q2 b b a, b a a b q0 q2 b+ab*a a+b ab*b r = (b + ab*a)* ab*b(a + b)* BTCQ - mô tả các mẫu đơn giản  BTCQ dùng để mô tả các mẫu đơn giản  Dùng trong các ngôn ngữ lập trình  BTCQ được dùng để mô tả các token chẳng hạn như Danh hiệu Số nguyên thực  Dùng trong các trình soạn thảo văn bản, các ứng dụng xử lý chuỗi  BTCQ được dùng để mô tả các mẫu tìm kiếm, thay thế del tmp*.??? Văn phạm tuyến tính - phải và – trái. Văn phạm tuyến tính - phải sinh ra NNCQ. Văn phạm tuyến tính - phải cho NNCQ. Sự tương đương giữa VPCQ và NNCQ. Văn phạm chính quy Văn phạm tuyến tính - phải và - trái  Định nghĩa 3.3  Một văn phạm G = (V, T, S, P) được gọi là tuyến tính - phải (TT-P) (right-linear) nếu tất cả luật sinh là có dạng  A → xB  A → x  trong đó A, B ∈ V, x ∈ T*.  Một văn phạm được gọi là tuyến tính - trái (TT-T) (left- linear) nếu tất cả các luật sinh là có dạng  A → Bx  A → x  Một văn phạm chính qui (VPCQ) là hoặc tuyến tính-phải hoặc tuyến tính-trái. Ex.  VP G1 = ({S}, {a, b}, S, P1), với P1 được cho như sau là TT-P  S → abS | a  VP G2 = ({S, S1, S2}, {a, b}, S, P2), với P2 như sau là TT- T  S → S1ab,  S1 → S1ab | S2,  S2 → a,  Dãy  S => abS => ababS => ababa là một dẫn xuất trong G1.  L(G1) = L((ab)*a)  L(G2) = L(a(ab)*ab) Văn phạm tuyến tính  VP G = ({S, A, B}, {a, b}, S, P), với các luật sinh  S → A,  A → aB | λ,  B → Ab,  không phải là một VPCQ. Đây là một ví dụ của văn phạm tuyến tính (VPTT).  Văn phạm tuyến tính (Linear Grammar)  Một văn phạm được gọi là tuyến tính nếu mọi luật sinh của nó có dạng có tối đa một biến xuất hiện ở vế phải của luật sinh và không có sự giới hạn nào trên vị trí xuất hiện của biến này. Văn phạm TT-P sinh ra NNCQ  Định lý 3.3  Cho G = (V, T, S, P) là một VPTT-P. Thì L(G) là NNCQ.  Thủ tục: GP to nfa  Input: Văn phạm tuyến tính-phải GP = (V, T, S, P)  Output: nfa M = (Q, Σ, δ, q0, F) Văn phạm TT-P sinh ra NNCQ  B1. Ứng với mỗi biến Vi của văn phạm ta xây dựng một trạng thái mang nhãn Vi cho nfa tức là: Q ⊃ V.  B2. Ứng với biến khởi đầu V0, trạng thái V0 của nfa sẽ trở thành trạng thái khởi đầu, tức là: S = V0  B3. Nếu trong văn phạm có một luật sinh nào đó dạng Vi → a1a2am thì thêm vào nfa một và chỉ một trạng thái kết thúc Vf. Văn phạm TT-P sinh ra NNCQ  B4. Ứng với mỗi luật sinh của văn phạm có dạng  Vi → a1a2amVj  thêm vào nfa các chuyển trạng thái  δ*(Vi, a1a2am) = Vj  B5. Ứng với mỗi luật sinh dạng  Vi → a1a2am  thêm vào nfa các chuyển trạng thái  δ*(Vi, a1a2am) = Vf Văn phạm TT-P sinh ra NNCQ Vj Trang 123 a2 a1 Vi Biểu diễn Vi → a1a2 amVj an a2 a1 Vi Vf Biểu diễn Vi → a1a2 am an Ex.  Xây dựng một nfa chấp nhận ngôn ngữ của văn phạm sau:  V0 → aV1 | ba  V1→ aV1 | abV0 | b  Nfa kết quả V0 V1 Vf a b b a b a a Văn phạm TT-P cho NNCQ  Định lý 3.4  Nếu L là một NNCQ trên bảng chữ cái Σ, thì ∃ một VPTT-P G = (V, Σ, S, P) sao cho L = L(G).  Giả thiết Q = {q0, q1, , qn} và Σ = {a1, a2, , am}. Văn phạm TT-P cho NNCQ  B1. V = Q, S = q0 (tức là mỗi trạng thái trong nfa trở thành một biến trong văn phạm)  B2. Với mỗi chuyển trạng thái δ(qi, aj) = qk của M ta xây dựng luật sinh TT-P tương ứng  qi → ajqk.  B3. Đối với mỗi trạng thái qf ∈ F chúng ta xây dựng luật sinh qf → λ. Ex.  Xây dựng VPTT-P cho ngôn ngữ L(aab*a). q1 qf a b q2 a q0 a GP: q0 → aq1 q1 → aq2 q2 → aqf | bq2 qf → λ Sự tương đương giữa VPCQ và NNCQ  Nhận xét  Lớp VPTT-P tương đương với lớp NNCQ  Định lý 3.5  Ngôn ngữ L là chính qui nếu và chỉ nếu tồn tại một VPTT-T G sao cho L = L(G).  Ta chứng minh mối quan hệ tương đương thông qua VPTT-P.  Bổ đề 1  Từ VPTT-T GT đã cho ta xây dựng VPTT-P GP tương ứng như sau  1. Ứng với luật sinh TT-T A → Bv ta xây dựng luật sinh TT-P A → vRB.  2. Ứng với luật sinh TT-T A → v ta xây dựng luật sinh TT-P A → vR.  Bổ đề 2  Nếu L là chính qui thì LR cũng chính qui.  Nhận xét  Lớp VPTT-T tương đương với lớp NNCQ  Định lý 3.6  Một ngôn ngữ L là chính qui nếu và chỉ nếu tồn tại một VPCQ G sao cho L = L(G). Ex.  Xây dựng nfa M, VPTT-T GT tương đương với VPTT-P GP sau  S → aS | bA  A → bB | a  B → aS | b B a a S b A b a b M GPR X → aY | bZ Y → bU Z → bY U→ aU | aZ | λ Z X a b Y b a b MR GT X → Ya | Zb Y → Ub Z → Yb U→ Ua | Za | λ Ngôn ngữ & Văn phạm chính quy  L là chính qui nếu và chỉ nếu có một DFA M sao cho L = L(M)  Phương pháp biểu diễn  phương pháp suy nghĩ (Reqular Languages & Grammars) Biểu thức chính quy (Regular Expressions)  L = giá trị của E  Bảng chữ cái   , , a là các biểu thức chính qui.  Nếu r1 và r2 là các biểu thức chính qui, thì r1 + r2, r1 . r2, r1 * và (r1) cũng là các biểu thức chính qui. Ngôn ngữ và Biểu thức chính quy  L() = {}  L() = {}  L(a) = {a}  L(r1 + r2) = L(r1) L(r2)  L(r1 . r2) = L(r1)L(r2)  L(r1 *) = (L(r1)) *  L((r1)) = L(r1) Ví dụ L(a* . (a + b)) = L(a*) L(a + b) = (L(a))* (L(a)L(b)) = {, a, aa, aaa, ...}{a, b} = {a, aa, aaa, ..., b, ab, aab, ...} = {an  n1}{amb  m0} Độ ưu tiên toán tử (Precedence Rules)  Bao đóng sao > Kết nối > Hợp L(a* . a + b) = L(a* . a)L(b) = (L(a* ) L(a))L(b) = ((L(a))* L(a))L(b) = ({, a, aa, aaa, ...}{a}){b} = {a, aa, aaa, ..., b} = {an  n1}{b} Ví dụ r1 = (a + b) * (a + bb) L(r1) = ? r2 = (aa) * (bb)* b L(r2) = ? Ví dụ  L(r) = {w {0, 1}* | w có ít nhất một cặp số không liên tiếp}  r = (0 + 1)* 00 (0 + 1)* Ví dụ  L(r) = {w {0, 1}* | w không có cặp số không liên tiếp}  r = (1 + 01)* (0 + ) Biểu thức chính quy tương đương (≡)  r1 và r2 là tương đương nếu và chỉ nếu L(r1) = L(r2)  Ký hiệu: r1  r2  Một số hệ thức tương đương r1 + r2  r2 + r1 r1(r2 + r3) r1r2 + r1r3 (r1 + r2) *  (r1 *r2 *)* ... Ví dụ r1 = a . (b + c) r2 = a . b + a . c L(r1) = L(r2) = {ab, ac} Biểu thức & Ngôn ngữ chính quy