Bài giảng chương 6: Lý thuyết ước lượng

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 1 1 CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG 2  Tổng thể được đặc trưng bởi dấu hiệu nghiên cứu X, là đại lượng ngẫu nhiên. Tổng thể có ba đặc trưng số quan trọng là:  E(X)=: trung bình tổng thể  var(X)=2: phương sai tổng thể  p: tỷ lệ tổng thể (tỷ lệ số phần tử có tính chất A quan tâm trong tổng thể, p= P(A)= M/N, trong đó M là số phần tử có tính chất A, N là số phần tử của tổng thể).  Ta gọi chung các đặc trưng số của tổng thể là .  là một giá trị số cố định nhưng chưa biết của tổng thể, ta phải dự đoán (ước lượng) nó. Có hai dạng ước lượng cơ bản là ước lượng điểm và ước lượng khoảng. 3 1) Ước lượng điểm Từ kết quả khảo sát của mẫu, ta có thể đưa ra một đại lượng ˆ để ước lượng cho . ˆ khi đó được gọi là ước lượng điểm (có thể có các tính chất: không chệch, hiệu quả, vững, hợp lý tối đa …) của . Lưu ý rằng ˆ là một biến ngẫu nhiên ứng với mẫu ngẫu nhiên, và là một giá trị cụ thể ứng với mẫu cụ thể. Thí dụ: người ta hay dùng trung bình mẫu x để ước lượng trung bình tổng thể , dùng phương sai mẫu s2 để ước lượng phương sai đám đông 2, dùng tỷ lệ mẫu f để ước lượng tỷ lệ đám đông p. 4 Ước lượng điểm:  ),...,1()( ˆ nXXfXWf  gọi là một thống kê. Nếu dùng ˆ để ước lượng  thì ˆ gọi là hàm ước lượng của . ˆ là ĐLNN. Ước lượng không chệch (không lệch):   )ˆ(E  ˆ gọi là UL không chệch của    )ˆ(E  ˆ gọi là UL chệch của  Ước lượng hiệu quả:  ˆ và 'ˆ là 2 ULKC của . Nếu var(ˆ )<var( 'ˆ ) thì ta nói ˆ là UL cho  tốt hơn 'ˆ . Nếu var(ˆ ) là nhỏ nhất trong tất cả ULKC của  thì ta nói ˆ là UL hiệu quả của . ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 2 5 Ước lượng điểm: VD1: Xét mẫu WX=(X1,X2)  E(X)= µ, var(X)= 2 Xét ˆ= )21(2 1 XXX  , 'ˆ = 23 2 13 1 XX   E(ˆ )=µ , E( 'ˆ )=µ Var(ˆ )= ½ 2 < var( 'ˆ )= 5/9 2 VD2:      2)(1 12 XiXnS , E (S 2)= 2    2)(12ˆ XiXnS , E( 2Sˆ )= n n 1 2 6 2) Ước lượng khoảng Từ kết quả khảo sát mẫu, ta đưa ra khoảng ( 1ˆ , 2ˆ ), với mong muốn là tham số tổng thể  sẽ thuộc vào khoảng này với một xác suất nhất định nào đó, nghĩa là: P( 1ˆ << 2ˆ )= P[( 1ˆ , 2ˆ )]= 1 thì ( 1ˆ , 2ˆ ) gọi là khoảng tin cậy, khoảng ước lượng hay ước lượng khoảng của . (1) được gọi là độ tin cậy của khoảng ước lượng. 7 Lưu ý rằng 1ˆ , 2ˆ là những biến ngẫu nhiên ứng với mẫu ngẫu nhiên, và có giá trị cụ thể ứng với mẫu cụ thể. Khi đưa ra ước lượng khoảng ( 1ˆ , 2ˆ ) từ mẫu thì có hai trường hợp xảy ra:  Khoảng ước lượng này thực sự chứa , tức là ta ước lượng đúng.  Khoảng ước lượng này không chứa , tức là ta ước lượng sai. Xác suất ước lượng sai là = P[( 1ˆ , 2ˆ )], gọi là xác suất mắc sai lầm khi ước lượng. 8 Ta có các dạng ước lượng cơ bản sau: -Ước lượng giá trị trung bình -ước lượng tỷ lệ -ước lượng phương sai  Trong thực hành, người ta căn cứ vào cỡ mẫu n và phương sai varX=2 để đưa ra phương pháp ước lượng tương ứng. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 3 9 I) Ước lượng kỳ vọng toán: X~N(µ,2) G ),...,1()( nXXfXWf  Ta tìm 1, 2 sao cho: 1+2=  Ta tìm g1, g2 : P(Gg2)= 2 Lúc đó ta có P(g1 <G< g2)= 1- 10 11 1) biết : Chọn G= n XT / )(    , T~N(0,1) Ta tìm được 2 giá trị 1, 2 sao cho: 1+2=  Và ta tìm t1, t2 : P(Tt2)= 2 Lúc đó ta có P(t1 <T< t2)= 1- nếu 1=2=/2 thì ta chọn: t2= - t1 (ký hiệu = t) ta có khoảng tin cậy đối xứng: P(-t <T< t)= 1-  P(-t < n X / )(   < t)= 1-  P( X -<µ< X +)= 1- Với nt    gọi là độ chính xác (sai số) của UL 12 Ước lượng giá trị trung bình: 2) chưa biết : làm tương tự như trên. Chọn nS XT / )(   T N(0,1) nếu cỡ mẫu lớn (n>=30). T~T(n-1) nếu cỡ mẫu nhỏ (n<30). ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 4 13 A. ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  1. n  30 , biết 2 ntx    hay ntxntx      tra bảng G hoặc F Nếu không biết  : thay  bằng s n stx   2. n < 30, biết 2 (X có phân phối chuẩn) ntx    3. n < 30, không biết 2 (X có phân phối chuẩn) n sntx )1(   hay n sntxn sntx )1()1(   tra bảng H, bậc tự do n–1 14 Bài 2: Điểm trung bình môn toán của 100 thí sinh dự thi vào ĐHKT là 5 với độ lệch chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh) s = 2,5. 1) Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95%. 2) Với sai số 0,25 điểm. Hãy xác định độ tin cậy. 15 Giải 1) n = 100 ; x = 5 ; s = 2,5 Áp dụng trường hợp n  30 ,  chưa biết :  = 95%  t = 1,96  = n stx  = 100 5,2*96,15 = 5  0,5 Vậy với độ tin cậy 95% khoảng ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh dự thi vào ĐHKT là (4,5 ; 5,5) điểm. 2)  = 0,25  t = s n = 0,25*10/2,5 = 1 (t)= (1,00)= 0,3413 (tra bảng F)  = 2(t)   = 0,6826 = 68,26% 16 Bài 3: Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100 giờ. 1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95% 2) Với độ chính xác là 15 giờ. Hãy xác định độ tin cậy. 3) Với độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 5 17 Áp dụng trường hợp n  30,  đã biết 1) n = 100 ; 1000x ;  = 95% ;  = 100  = 95%  t = 1,96  = 6,191000  ntx   Vậy với độ tin cậy 95% tuổi thọ trung bình của bóng đèn thuộc xí nghiệp A vào khoảng (980,4 ; 1019,6) giờ 2)  = 15 , n = 100 5,1    nt  (1,50) = 0,4332 (tra bảng F)  = 2(t)   = 0,8662 = 86,62% 3)  = 25 ,  = 95% ,  = 100  = 95%  t = 1,96 62466,61225 2100296,1 2 22           tn (làm tròn lên) 18 Nhận xét: Dạng toán: Có 3 tham số : n,  ,  =1– (biết   biết t ) Các tham số mẫu: x , s 1) Biết n,    = ? 2) Biết n,    = ? 3) Biết  ,   n = ? Dùng công thức nt   hay n st 19 Bài 4 : Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực theo quy luật chuẩn. Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột mì là 48kg, và phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2 = (0,5kg)2. 1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng. 2) Với độ chính xác 0,26 kg, xác định độ tin cậy. 3) Với độ chính xác 160 g ; độ tin cậy 95%, tính cở mẫu n. 20 1) n = 20 ; 48x ; s = 0,5 ;  = 95% Áp dụng trường hợp X có phân phối chuẩn, n < 30  = 95%  t(n – 1) = 2,0930 (tra bảng H) 234,048 ).19(05,0  n st x Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng vào khoảng (47,766 ; 48,234) kg 2) t(n–1) = t(19) = 325,25,0 20)26,0(   2,3457 (2,3457 là giá trị gần 2,325 nhất trong bảng tra).   = 0,97 = 97% (tra bảng H) 3)  = 0,16 kg ,  = 95%  t =1,96 125,616,0 5,0)96,1(.    stn  n = (6,125)2 = 37,51  38 Lưu ý: Do n chưa biết, ta xấp xĩ :  tnt  )1( ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 6 21 B. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ p : với n  30 n fftfp )1(   hay n fftfpn fftf )1()1(   Điều kiện áp dụng :        10)1.( 10. fn fn Dạng toán: Cũng có 3 dạng toán giống ước lượng trung bình Tham số mẫu: f Dùng công thức n fft )1(   22 Bài 5 : Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu. 1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp . 2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%. 3) Với sai số cho phép  = 3%, hãy xác định độ tin cậy. 23 Giải 1) n = 100 , 11,0100 11 f Vậy tỷ lệ hộp xấu của kho là 11% 2)  = 94% = 0,94  t =1,8808 (tra bảng G) n fft fp )1(    = 100 )11,01(11,08808,111,0  = 0,11  0,059 Vậy với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu c ủa kho đồ hộp vào khoảng (0,051 ; 0,169)  5,1% < p < 16,9% 3)  = 3% = 0,03 96,0 )1(    ff nt  (0,96) = 0,3315  = 2(0,96)= 0,663 = 66,3% 24 Bài 6: Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành sọt mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn. 1) Ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%. 2) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu? 3) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt? 4) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99,70% thì độ chính xác đạt được là bao nhiêu? ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 7 25 1) Gọi p là tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn, ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95%. Ta có  = 95%  t =1,96 09,05000 450 f 008,05000 )09,01(09,096,1  khoảng ước lượng của p là: 0,082 < p < 0,098 2) Từ công thức n fft )1(   Suy ra 24,1)09,01(09,0 5000005,0 )1(      ff nt   = 2 (t) = 2  0,3925 = 0,785. (tra bảng F) Vậy độ tin cậy đạt được 78,5%. 26 3) Ta cần xác định kích thước mẫu n thỏa mãn độ chính xác 1% và độ tin cậy 99% khi ước lượng p. Ta có  = 99%  t = 2,58 (tra bảng G) Áp dụng công thức 2 )1(2   fftn  Ta có 54522)01,0( )09,01(09,0258,2 n (trái) Vì mỗi sọt có 100 trái nên ta cần kiểm tra 55 sọt. 4) Ta cần xác định độ chính xác  với độ tin cậy 99,70% (ứng t = 2,9677) với kích thước mẫu n = 5000. Ta có : 012,0 5000 )09,01(09,09677,2)1(  n fft Vậy độ chính xác đạt được 1,2%. 27 Câu hỏi:  Qua 2 thí dụ trên bạn rút ra được các điều cần lưu ý chưa?  “Chuyện nhỏ nhưng nếu không biết lại là chuyện lớn” (nhạc Rap VN)! 28 Bài 7 : Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra thì thấy có 360 sản phẩm loại A. 1)Hãy ước lượng số sản phẩm loại A có trong lô hàng với độ tin cậy 96%? 2)Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt được độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm? ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 8 29 1) n = 400, f = 360 / 400 = 0,9,  = 96%  t = 2,0537 p = f  t n ff )1(  = 0,9  2,0537 400 1,0.9,0 400 1,0.9,00537,29,0 400 1,0.9,00537,29,0  p 0,8692 < p < 0,9308 Gọi M là số sản phẩm loại A có trong lô hàng: 0,8692* 5000 < M < 0,9308 * 5000 2) Với  = 150 / 5000 = 0,03  = 99% t = 2,5758  = t                   fftnn ff 1 2)1(   666665,640203,0 1,0.9,0258,2 n sản phẩm 30 (Chứng minh: gọi  là độ chính xác của ước lượng khoảng ứng với 400 sản phẩm, và ' là độ chính xác của ước lượng khoảng ứng với 5000 sản phẩm. Ta có  fp ứng với ước lượng tỷ lệ của 400 sản phẩm. NNfNp  là ước lượng ứng với N= 5000 sản phẩm, và độ chính xác là '= N= 150. Vậy  = '/N= 150/5000 = 0,03 ) 31 Câu hỏi:  Bạn đã rút ra được điều cần lưu ý từ thí dụ này chưa?  Hãy để chuyện nhỏ mãi mãi là chuyện nhỏ! 32 Bài 8 : Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng, ta thu được bảng số liệu sau: Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Số ha có năng suất tương ứng 10 20 30 15 10 10 5 1) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy 95%? 2) Những thửa ruộng có năng suất từ 48tạ/ha trở lên là những thửa có năng suất cao. Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng với độ tin cậy 97%. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 9 33 1) Ta lập bảng như sau xi ni nixi ni 2ix 41 44 45 46 48 52 54 10 20 30 15 10 10 5 410 880 1350 690 480 520 270 16.810 38.720 60.750 31.740 23.040 27.040 14.580 Tổng n = 100 4600 212680 34 Từ kết quả tính ở bảng trên ta có Năng suất trung bình 46100 4600x tạ/ha Phương sai của năng suất 910,10246*1002126801100 12           s  s= 3,303  = 95%  t = 1,96 647,046 n stx  Vậy với độ tin cậy 95%, năng suất lúa trung bình của vùng đó vào khoảng (45,353 ; 46,647) đơn vị tính tạ. 35 2) 25,0100 25 f  = 0,97  t = 2,1701 (tra bảng G) 094,025,0)1(  n fftfp  Vậy với độ tin cậy 97%, tỷ lệ diện tích lúa có năng suất cao trong vùng vào khoảng (0,156 ; 0, 344). 36 C. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI 2 CỦA ĐLNN X CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN 1.Biết kỳ vọng toán EX =  Chọn thống kê 2 2)(1 2                 iXnnG ~ 2(n) Ta có thể tìm 1+2 =  Và tìm )(21 n   và )(2 21 n    sao cho: P(2 < )(21 n   ) = 1 , P(2 > )(2 21 n    ) = 2 P( )(21 n   < 2 < )(2 21 n    ) = 1- ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 10 37 38 Lấy 1 = 2 = /2 P( )(2 2/ n   < 2 < )(2 2/1 n    ) = 1-  P( )(2 2/ n   < 2 2)(1              iXnn < )(2 2/1 n    ) = 1-  P( )(2 2/ 2)(2 )(2 21 2)( n iX n iX              ) = 1- Trong thực hành: )(2 2/ 2)(2 )(2 21 2)( n ixin n ixin              tra bảng I , bậc tự do n 39 Làm tương tự trên, ta có: 2.Không biết kỳ vọng toán EX =  )1(2 2/ 2)1(2 )1(2 21 2)1(       n sn n sn      tra bảng I, bậc tự do (n–1) 40 Bài 12: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm ta thu được kết quả sau : Lượng nguyên liệu hao phí (gr) 19 19,5 20,0 20,5 Số sản phẩm 5 6 14 3 Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng phương sai của X trong 2 trường hợp 1) Biết E(X) = 20 gr 2) Chưa biết E(X) ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 11 41 1) Ta ước lượng D(X) = 2 trong trường hợp đã biết E(X). Để tính ni(xi – )2 ta lập bảng tính sau : xi ni (xi – 20) ni(xi – 20)2 19,0 19,5 20,0 20,5 5 6 14 3 –1 –0,5 0 0,5 5 1,5 0 0,75 Tổng n = 28 7,25 42 Tra bảng I với bậc tự do n = 28 và  /2 = 0,05) ta được 9279,162 05,0 2 2/   , 3372,412 95,0 2 2/1   Với độ tin cậy 90%, khoảng tin cậy của 2 là )(2 2/1 2)20( n ixin      < 2 < )(2 2/ 2)20( n ixin      9,16 25,72 3,41 25,7   2) Trường hợp này khoảng tin cậy của 2 sẽ là )1(2 2/ 2)1(2 )1(2 2/1 2)1(       n sn n sn      2 2/1   ; 2 2/ là các phân vị  2 với n – 1 = 27 bậc tự do. 2 2/1   1,40 2 95,0   2 2/ 2,16 2 05,0   43 Để tính s2 ta lập bảng tính sau xi ni nixi 2ixin 19,0 19,5 20,0 20,5 5 6 14 3 95,0 117,0 280,0 61,5 1805,00 2281,50 5600,00 1260,75 Tổng n = 28 553,5 10947,25 2126,0 2 28 5,553 28 25,10947 27 282                          s KTC của 2 là: 2,16 2126,0272 1,40 )2126,0(27     hay 0,143 < 2 < 0,354 44 NHẮC LẠI: KHOẢNG TIN CẬY 2 PHÍA ntXntX      : ULTB, biết  n SntXn SntX )1()1(   : ULTB, chưa biết  (n<30) n fftfn fftf )1()1(   : UL tỷ lệ (n>=30) )(2 2/ 2)(2 )(2 2/1 2)( n ixin n ixin              : UL phương sai, biết µ )1(2 2/ 2)1(2 )1(2 2/1 2)1(       n sn n sn      : UL phương sai, chưa biết µ ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6 12 45 V) CÁC ƯỚC LƯỢNG 1 PHÍA 1) KTC bên phải    ntX 2 : ULTB, biết     n SntX )1(2 : ULTB, chưa biết  (n<30)      n fftf )1(2 : UL tỷ lệ (n>=30)     2 )(21 2)(     n ixin : UL phương sai, biết µ     2 )1(21 2)1(    n sn : UL phương sai, chưa biết µ 46 2) KTC bên trái ntX    2 : ULTB, biết  n SntX )1(2   : ULTB, chưa biết  (n<30) n fftf )1(2     : UL tỷ lệ (n>=30) )(2 2)(20 n ixin       : UL phương sai, biết µ )1(2 2)1(20    n sn   : UL phương sai, chưa biết µ 47 Mời ghé thăm trang web:    www37.websamba.com/phamtricao www.phamtricao.web1000.com