Về giá trị đặc biệt của l-Hàm spinor ứng với dạng cusp siegel bậc 3 - Đỗ Anh Tuấn

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr. 23 - 30 23 VỀ GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT CỦA L-HÀM SPINOR ỨNG VỚI DẠNG CUSP SIEGEL BẬC 3 Đỗ Anh Tuấn4 Học viện Kĩ thuật Quân Sự Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi tính toán giá trị đặc biệt của L-hàm spinor tổng quát ứng với dạng cusp Siegel bậc 3. Những giá trị này phân tích thành tích dạng Petersson của bình phương đối xứng của hàm Ramanujan  và dạng cusp trọng số 20 trên (SL2)với một số hữu tỷ và một lũy thừa của . Chúng tôi sử dụng công thức Rankin-Selberg và áp dụng phép chiếu chỉnh hình để tính những giá trị này. Từ khóa: Giá trị đặc biệt, L-hàm, dạng cusp Siegel. 1. Giới thiệu Trong Toán học, việc nghiên cứu các giá trị đặc biệt của các L-hàm có vai trò quan trọng. Một trong những ví dụ tiêu biểu nhất là giả thuyết được phát triển bởi Birch và Swinnerton-Dyer trong những năm đầu thập niên 60 của thế kỷ trước. Giả thuyết này liên quan đến giá trị của L-hàm ứng với đường cong elliptic epsilon tại điểm 1s  với hạng của đường cong elliptic trên trường các số hữu tỷ (số các phần tử sinh tự do của nhóm các điểm hữu tỷ của nó). Một lý do khác dẫn tới việc nghiên cứu giá trị đặc biệt của L-hàm đó là tính đại số của các giá trị này. Cho 0 1 ( ( ), )nn k n f a q S N      là dạng cusp trọng số 2k  với đặc trưng Dirichlet modN , L-hàm tương ứng với f là: ( , , ) ( ) . 1 sL s f n a nn n      Theo định lý của Shimura [14] và Manin [10] tồn tại hai hằng số phức khác không ( ), ( )c f c f   (gọi là chu kỳ của f ), sao cho 1,2,..., 1s k   và với mọi đặc trưng Dirichlet  với tính chẵn lẻ cố định: ( 1) ( 1) 1k s    , giá trị đặc biệt chuẩn hóa là các số đại số. Nghĩa là, * (2 ) ( ) ( , , ) ( , , ) . ( ) si s L s f L s f c f        Mục đích của bài báo này là chỉ ra tại mỗi điểm tới hạn s ta có thể chỉ ra số hữu tỷ hiện ( )R s và lũy thừa của  sao cho 12 20 20( , , , ) ( ) , , . sL s F Sp R s g g      Những điểm tới hạn của 12( , , , )L s F Sp  được chỉ ra bởi Deligne  12,13,14,15,16,17,18,19 .s 4 Ngày nhận bài: 31/8/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016 Liên lạc: Đỗ Anh Tuấn, e - mail: [email protected] 24 Theo Miyawaki và Ikeda, L-hàm spinor ứng với dạng cusp Siegel bậc 3 12F được xây dựng từ tích của ba L-hàm Dirichlet bậc 1 như sau: 12 20( , , , ) ( , , ) ( 9, , ) ( 10, , )L s F Sp L s g L s L s         (1). Định lý này là điểm xuất phát trong bài báo của chúng tôi. Chúng tôi tính toán kết quả theo hai bước: đầu tiên tính giá trị 20( , , )L s g  tại tất cả các điểm tới hạn và sau đó tính ( 9, , ) ( 10, , )L s L s     . Chúng tôi sử dụng công thức Ranking-Selberg biểu diễn L-hàm dưới dạng tích phân trên miền cơ bản. Tích phân này có thể viết được dưới dạng tích vô hướng Petersson, và để tính giá trị của nó chúng tôi sử dụng phép chiếu chỉnh hình. Trước nghiên cứu của chúng tôi đã có một số tính toán về giá trị đặc biệt của L-hàm chuẩn tắc và L- hàm spinor cho dạng cusp Siegel bậc 3 [3,5,17]. Tuy nhiên, những tính toán cho L-hàm spinor trong các công trình của Vankov và Chiera [3,17] chỉ xét với đặc trưng Dirchlet 1  . Bài báo này tính toán giá trị đặc biệt của L-hàm spinor ứng với dạng cusp Siegel bậc 3 với đặc trưng Dirichlet  bất kỳ. 2. Một số khái niệm và ký hiệu Trước hết ta nhắc lại khái niệm về nhóm Simpletic 3Sp ( ) được định nghĩa như sau:   33 6 3 3 3 3 0 1 Sp ( ) ( ) | , 1 0           TM M MJ M J J Khi đó dạng cusp Siegel 12F trọng số 12 bậc 3 tương ứng với nhóm Simpletic 3Sp ( ) được xác định trên nửa mặt phẳng Siegel  3 3H | , ( ), 0TZ Z X iY X Y M Y      Khai triển Fourier của 12F có dạng như sau: 1 1 1 1 3 0 2 2 2 1 1 1 1 0 1 2 2 21 0 0 2 0 0 2 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 0 1 2 11 1 0 0 1 0 0 1 1 1 22 2 2 2 12 1. 164. 1328. 1008. 131776. ...F q q q q q                                                          , ở đây 2 Tr( )N i NZq e  Giả sử f là dạng cusp Siegel trọng số k , giống bằng n với p -tham biến Satake 0 1, ,..., n   . Khi đó L-hàm spinor ứng với f được định nghĩa dưới dạng tích Ơle: 1 1 2 1 12 0 0 . 11 ... ( , , , ) (1 ( ) ) (1 ... ( ) p ) r r n s s i i p r i i i n L s F Sp p p p                           25 Cho f, g là hai dạng cusp trọng số k bậc 1 với hệ số Fourier tương ứng là na và nb . Ta nhắc lại định nghĩa L-hàm Dirichlet ứng với f và g : 1 ( , , , ) ( ) sn n n L s f g a b n n      và L-hàm Rankin ứng với hai dạng cusp f và g được xác định bởi: ( , , ) (2s 2 k l, ) ( , , , ),NL s f g L L s f g       trong đó L-hàm  NL s, χ được định nghĩa bởi Panchishkin [2]. 3. Nội dung chính 3.1. Tính giá trị 20( , , )L s g  Số hạng đầu tiên 20( , , )L s g  là bình phương đối xứng của dạng cusp  . L-hàm này đã được xét đến rất đầy đủ bởi Rankin, Zagier, Li, Sturn và nhiều tác giả khác [8,9,14] . Sử dụng công thức của Rankin và Zagier [13,17], ta được giá trị của 20( , , )L s g  tại các điểm các điểm tới hạn. Để tính giá trị này ta sử dụng phép chiếu chỉnh hình 19 19 20 20 8 (4 ) ( , , ) , ( (4 ) ( , 19)) 2 ( ) sL s g g Hol y E z s s           trong đó Hol là toán tử chiếu trên không gian vectơ chiều 1 sinh bởi dạng cusp Siegel 20g . Ta có: 1 20 20 8,1 18 19 20 8,1 19 20 8,1 19 20 8,1 20 (4 ) ( , , ) ( ) ( , 19) 2 ( ) (4 ) ( ) ( , 19) y 2 ( ) (4 ) , ( ) ( , 19) 2 ( ) (4 ) , ( ) ( ( , 19)) 2 ( ) (4 ) , ( 2 ( )                                            s s s s s s s s s L s g g s E z s y dxdy s g s E z s y dxdy s g s y E z s s g s Hol y E z s s g s s 19 8,1) ( (4 ) ( , 19))   sHol y E z s Sử dụng công thức khai triển Fourier cho chuỗi Eisenstein 8,1( , 19)E z s  ta có:     19 8,14 19 s- πy E z,s -                   2 30 19 s 19 2s 31 2 1 2 31 4 2 2 30 2 2 31 4 11 19                       s s i s y s s y s s  2 30 1 W 4 , 11, 19           s n n d\n d ny s s q 26 Sau khi tính tích phân, kết quả thu được như sau: 19 20 20 20 (4 ) ( , , ) .C. g , 2 ( ) L s g g s       với C là biểu thức của hàm ( )s . Sau đây là bảng giá trị của 20( , )L s g được biểu diễn dưới dạng: 20 20( ) ( ) 20 20 20( , , ) ,     g g s sL s g R g g s 20( )g sR 20( )g s 12 34 7 5 2 3 .5 .7.11 18 13 33 12 2 2 2 3 .5 .7 .11 22 14 33 11 2 2 2 3 .5 .7 .11.13.17 26 15 36 11 2 3 2 3 .5 .7 .11.13.17 30 16 37 13 7 3 2 3 .5 .7 .11.13.17 34 17 34 15 6 4 2 3 .5 .7 .11.13.17 38 18 35 18 6 5 2 3 .5 .7 .11.13.17 42 19 37 19 9 5 2 3 .5 .7 .11.13.17 46 3.2. Biểu thức khai triển ( , , ) ( 1, , )L s L s    Chúng ta tính tích ( , , ) ( 1, , )L s L s    tại các điểm tới hạn của 12( , , , )L s F Sp  với  12,13,14,15,16,17,18,19 .s Ý tưởng chính là biểu diễn tích ( , , ) ( 1, , )L s f L s f  như là hàm của tích chập Rankin của f với chuỗi Fourier phù hợp và sử dụng công thức Rankin- Selberg để liên hệ biểu thức thu được với tích trong Petersson. Sử dụng Bổ đề 1 trong [15], ta có: 2,2 2 2,2 12 2 1 1 1 2 1 21 2 ( , , ) (2 12 2 , ) ( , , , ) 1 ( ) (n) ( ) 1 ( ) 1 1 (1 ( ) )(1 ' ( ) ) (1 ( ) )(1 ' ( ) ) ( , , ) ( 1, , )(1 456.2 2 )                                                 s s np s s s s p pp p p p s s L s G L s s L s G n b n n p p p p p p p p p p L s L s 27 Do đó, ta nhận được đồng nhất thức sau: 2,2 1 21 2 ( , , ) ( , , ) ( 1, , ) 1 456.2 2            s s L s G L s L s 3.3. Tính giá trị 2,2( , , )L s G  Trong mục này chúng ta khai triển 2,2( , )L s G (tại các điểm nguyên) dưới dạng tích của các tích trong Petersson ,  . Chúng ta sử dụng công thức của Shimura [15] ta có: 19 2,2 3.(4 ) ( , , ) ( ), ( ( , , )) 2 ( )       L s G z Hol F z s y s với 192,2 18,2( , , ) ( )(4 ) ( , 19, ) sF z s y G z y E z s   Sau tính toán, ta thu được 16 1 2( ), ( ( , , )) ( ( ) 2 .19. ( )) ( ), ( ) .z Hol F z s y K s K s z z        Trong đó, các hệ số 1 2( ), ( )K s K s được tính trong bảng sau: s K1 K2 12 435883731901 495673344  3045934023523439 1177224192 13 217211831 585169920  100968174943 73146240 14 255571 1404407808  15430715 175550976 15 45173 1369297612800 74862131 171162201600 16 36097 56232488632320 3748999 7029061079040 17 23831 210871832371200 876017 26358979046400 18 4553 6977376806400 1256 105304870125  19 424061 3881958732288000 1672 55749637125  28 3.4. Giá trị của tích ( 9, , ) ( 10, , )L s L s     Giá trị của tích ( 9, , ) ( 10, , )L s L s     tại mỗi điểm tới hạn s được cho cụ thể trong bảng dưới đây s ( )sR  ( )s  12 15 2 2 2 3 .5 5 13 12 4 2 3 7 14 11 3 2 3 .7 9 15 13 3 2 2 3 .5 .7 11 16 14 4 3 2 3 .5 .7 13 17 13 5 2 2 2 3 .5 .7 15 18 13 7 2 2 2 3 .5 .7 17 19 16 8 4 2 2 3 .5 .7 19 3.5. Kết quả chính Kết hợp các kết quả ở trên vào biểu thức ban đầu (1) chúng ta nhận được kết quả cuối cùng:   12 20 19 16 1 2 20 209 2 31 2 20 20 ( , , , ) ( , , ) ( 9, , ) ( 10, , ) 3 4 ( ( ) 2 .19. ( )) , , 2 ( 10) 1 456.2 2 , , s s s s L s F Sp L s g L s L s K s K s g g s R g g                              Với mỗi giá trị  12,13,14,15,16,17,18,19 ,s ta ước lượng biểu thức cuối cùng dạng: 12 20, 20( , , , ) ,s sL s F Sp R g g     Hệ số hữu tỷ sR được phân tích theo các số nguyên tố và lũy thừa của  tương ứng. Chúng ta còn có thể đưa ra giá trị xấp xỉ số (tích trong Petersson được đưa ra trong bảng sau: 20 20 , 0.000001035362056205680432094820996804 , 0.000008265541531659702744699575969      g g 29 4. Kết luận Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu cách tính toán L-hàm spinor tổng quát ứng với dạng cusp Siegel bậc 3. Bảng giá trị số của L-hàm thu được bằng việc sử dụng phần mềm mã nguồn mở Sage. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bocherer, Siegfried. (1985). Uber Funktionalgleichungen automorpher L-Funktionen zur Siegelschen Modulgrupp, J. Reine Angew. Math, 362: 146 - 168. [2] Courtieu, Michel and Panchishkin, Alexei (2004). Non-Archimedean L-functions and arithmetical Siegel modular forms, Springer-Verlag, Berlin, second edition. [3] Chiera, Francesco and Vankov, Kirill (2008). On special values of spinor L-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3. [4] Deligne, Pierre. (1977). Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore}, 2: 313 - 346. [5] Do Anh Tuan, Kirill Vankov (2016). On special values of standard $L$-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3, Journal de théories des nombres de Bordeaux, 27(3): 727 - 744. [6] Gross, Benedict and Zagier, Don (1986). Heegner points and derivatives of L-series, Invent. Math. 84(2): 225 - 320. [7] Ikeda, Tamotsu (2006). Pullback of the lifting of elliptic cusp forms and Miyawaki's conjecture, Duke Math. J., 131(3): 469 - 497. [8] Li, Wen Ch'ing Winnie (1979). L-series of Rankin type and their functional equations, Math. Ann., 244(2): 135 - 166. [9] Miyawaki, Isao (1992). Numerical examples of Siegel cusp forms of degree 3 and their zeta-functions, Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A., 46(2): 307 - 339. [10] Manin, Yu. I., (1973). Periods of cusp forms, and p-adic Hecke series, Mat. Sb. (N.S). [11] Miyake, Toshitsune (2006). Modular forms, Monographs in Mathematics, Springer- Verlag, Berlin. [12] Panchishkin, A.,A., (2003). Two variable p-adic L-functions attached to eigenfamilies of positive slope, Invent. Math., 154(3): 551 - 615. [13] Rankin, R.,A., (1939). Contributions to the theory of Ramanujan's function  (n) and similar arithmetical functions. I., Proc. Cambridge Philos. Soc., 35: 351 - 372. [14] Shimura, Goro (1959). Sur les integrales attachees aux formes automorphes, J. Math. Soc. Japan. [15] Shimura, Goro (1976). The special values of the zeta functions associated with cusp forms, Comm. Pure Appl. Math., 29(6): 783 - 804. [16] Shimura, Goro (2007). Elementary Dirichlet series and modular forms, Springer, Newyork. [17] Vankov Kirill (2008). On special values of spinor L-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3, Clemont Grenoble Meeting. [18] Zagier, Don (1977). Modular forms whose Fourier coefficients involve zeta-functions of quadratic fields, Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn, pp. 105 - 169. 30 ON SPECIAL VALUES OF SPINOR L-FUNCTIONS OF SIEGEL CUSP EIGENFORMS OF GENUS 3 Do Tuan Anh Military Technical Academy Abstract: In this paper, we compute special values of spinor L-function attached to Siegel cusp eigenform of degree 3. These values are proportional to the product of the Petersson norms of symmetric square of Ramanujan's  and the cusp form of weight 20 for (SL2) by a rational number and some power of  . We use the Rankin-Selberg method and apply the Holomorphic projection to compute these values. Keywords: Special values, L-functions, Siegel modular forms.