Slide bài giảng toán A 3 Đại học

ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 1 TỐN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC Tài liệu tham khảo: 1. Giáo trình Tốn cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Tốn cao cấp – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Giải tích hàm nhiều biến (Tốn 3) – ðỗ Cơng Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM. 4. Giải tích hàm nhiều biến (Tốn 4) – ðỗ Cơng Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – NXB Giáo dục. 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – Nguyễn ðình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục. 7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh – NXB KH và Kỹ thuật. 8. Bài tập Giải tích (tập 2) – Nguyễn Thủy Thanh – NXB Giáo dục. Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. ðịnh nghĩa • Cho 2D ⊂ ℝ . Tương ứng :f D → ℝ , ( , ) ( , )x y z f x y=֏ duy nhất, được gọi là hàm số 2 biến x và y. • Tập D được gọi là MXð của hàm số và { }( ) ( , ), ( , )f D z z f x y x y D= ∈ = ∀ ∈ℝ là miền giá trị. – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong 2ℝ sao cho f(M) cĩ nghĩa, thường là tập liên thơng. (Tập liên thơng D là tồn tại đường cong nối 2 điểm bất kỳ trong D nằm hồn tồn trong D). Hình a Hình b – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong 2ℝ sao cho f(M) cĩ nghĩa, thường là miền liên thơng (nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 đường nối M với N nằm hồn tồn trong D thì D là liên thơng-Hình a)). – Trừ trường hợp 2D = ℝ , D thường được giới hạn bởi 1 đường cong kín D∂ (biên) hoặc khơng. Miền liên thơng D là đơn liên nếu D được giới hạn bởi 1 đường cong kín (Hình a); đa liên nếu được giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng đơi một (Hình b). – D là miền đĩng nếu M D M D∈∂ ⇒ ∈ , miền mở nếu M D M D∈∂ ⇒ ∉ . Chú ý • Khi cho hàm số f(x, y) mà khơng nĩi gì thêm thì ta hiểu MXð D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) cĩ nghĩa. • Hàm số n biến f(x1, x2,…, xn) được định nghĩa tương tự. VD 1. Hàm số z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác định trên 2ℝ . VD 2. Hàm số 2 2( , ) 4z f x y x y= = − − cĩ MXð là hình trịn đĩng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 3. Hàm số 2 2( , ) ln(4 )z f x y x y= = − − cĩ MXð là hình trịn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 4. Hàm số ( , ) ln(2 3)z f x y x y= = + − cĩ MXð là nửa mp mở biên d: 2x + y – 3 khơng chứa O(0; 0). 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục • Dãy điểm Mn(xn; yn) dần đến điểm M0(x0; y0) trong 2ℝ , ký hiệu 0nM M→ hay 0 0( ; ) ( ; )n nx y x y→ , khi n → +∞ nếu ( ) 2 20 0 0lim , lim ( ) ( ) 0n n n n n d M M x x y y →∞ →∞ = − + − = . • Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D (cĩ thể khơng chứa M0), ta nĩi L là giới hạn của f(x, y) khi điểm M(x, y) dần đến M0 nếu mọi dãy điểm Mn (Mn khác M0) thuộc D dần đến M0 thì lim ( , )n n n f x y L →∞ = . Ký hiệu: 0 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) lim ( ) x y x y M M f x y f M L → → = = . Nhận xét • Nếu khi 0nM M→ trên 2 đường khác nhau mà dãy {f(xn, yn)} cĩ hai giới hạn khác nhau thì 0 lim ( ) M M f M → ∃ . VD 5. Cho 2 2 2 3 1( , ) 3 x y xf x y xy − − = + , tính ( , ) (1, 1) lim ( , ) x y f x y → − . VD 6. Cho 2 2 ( , ) xyf x y x y = + , tính ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → . VD 7. Cho hàm số 2 2 3( , ) xyf x y x y = + . Chứng tỏ ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → khơng tồn tại. • Hàm số f(x, y) xác định trong D chứa M0, ta nĩi f(x, y) liên tục tại M0 nếu tồn tại 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y → và 0 0 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = . • Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi điểm M thuộc D. Hàm số f(x, y) liên tục trong miền đĩng giới nội D thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D. VD 8. Xét tính liên tục của hàm số: 2 2 , ( , ) (0,0)( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y x yf x y x y  ≠ +=   = . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 2 §2. ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. ðạo hàm riêng a) ðạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác định trên D chứa M0(x0, y0). Nếu hàm số 1 biến f(x, y0) (y0 là hằng số) cĩ đạo hàm tại x = x0 thì ta gọi đạo hàm đĩ là đạo hàm riêng theo biến x của f(x, y) tại (x0, y0). Ký hiệu: 0 0( , )xf x y hay / 0 0( , )xf x y hay 0 0( , ) f x y x ∂ ∂ . Vậy / 0 0 0 00 0 0 ( , ) ( , )( , ) limx x f x x y f x yf x y x∆ → + ∆ − = ∆ . • Tương tự ta cĩ đạo hàm riêng theo y tại (x0, y0) là: / 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )( , ) limy y f x y y f x yf x y y∆ → + ∆ − = ∆ . VD 1. Tính các đạo hàm riêng của z = x4 – 3x3y2 + 2y3 – 3xy tại (–1; 2). VD 2. Tính các đạo hàm riêng của f(x, y) = xy (x > 0). VD 3. Tính các đạo hàm riêng của cos xz y = tại ( ; 4)pi . • Với hàm n biến ta cĩ định nghĩa tương tự. VD 4. Tính các đạo hàm riêng của 2( , , ) sinx yf x y z e z= . b) ðạo hàm riêng cấp cao • Các hàm số fx, fy cĩ các đạo hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f. Ký hiệu: ( ) 2 2 / / 2x xxx x f ff f f x x x ∂ ∂ ∂  = = = = ∂ ∂ ∂  , ( ) 2 2// 2y yy yy f ff f f y y y  ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂  , ( ) 2 // x xy xyy f ff f f y x y x ∂ ∂ ∂  = = = = ∂ ∂ ∂ ∂  , ( ) 2/ /y yx yxx f ff f f x y x y  ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂  . VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của 3 2 3 4yz x e x y y= + − tại ( 1; 1)− . VD 6. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của 2( , ) x yf x y xe −= . • Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm n biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. ðịnh lý (Schwarz) • Nếu hàm số f(x, y) cĩ các đạo hàm riêng fxy và fyx liên tục trong miền D thì fxy = fyx. 2.2. Vi phân a) Vi phân cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác định trong 2D ⊂ ℝ và 0 0 0( , )M x y D∈ , 0 0( , )M x x y y D+ ∆ + ∆ ∈ . Nếu số gia 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − cĩ thể biểu diễn dưới dạng: 0 0( , ) . .f x y A x B y x yα β∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , trong đĩ A, B là những số khơng phụ thuộc , x y∆ ∆ và , 0α β → khi ( , ) (0,0)x y∆ ∆ → , ta nĩi f khả vi tại M0. • Biểu thức . .A x B y∆ + ∆ được gọi là vi phân cấp 1 (tồn phần) của f(x, y) tại M0(x0, y0) ứng với , x y∆ ∆ . Ký hiệu df(x0, y0). • Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi (x, y) thuộc D. Nhận xét • Nếu f(x, y) khả vi tại M0 thì f(x, y) liên tục tại M0. • Từ 0 0( , ) . .f x y A x B y x yα β∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , ta suy ra: 0 0 0 0( , ) ( , ) .f x x y f x y A x xα+ ∆ − = ∆ + ∆ 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )lim x f x x y f x y A x∆ → + ∆ − ⇒ = ∆ , tương tự 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )lim y f x y y f x y B y∆ → + ∆ − = ∆ . Vậy / /0 0 0 0 0 0( , ) ( , ). ( , ).x ydf x y f x y x f x y y= ∆ + ∆ hay / / 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy= + . Tổng quát: / /( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) x ydf x y f x y dx f x y dy x y D= + ∈ . VD 7. Tính vi phân cấp 1 của 2 3 5x yz x e xy y−= + − tại (–1; 1). VD 8. Tính vi phân cấp 1 của 2 2( , ) sin( )x yf x y e xy−= . ðịnh lý • Nếu hàm số f(x, y) cĩ các đạo hàm riêng liên tục tại M0 trong miền D chứa M0 thì f(x, y) khả vi tại M0. b) Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 2: ( ) 2 2 2 / / 2 / / / / 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) xyx y d f x y d df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy = = + + . • Vi phân cấp n: ( )1 ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , )k n k n n n k n k n k n x y k d f x y d df x y C f x y dx dy − − − = = =∑ . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 3 VD 9. Tính vi phân cấp 2 của 2 3 2 3 5( , ) 3f x y x y xy x y= + − tại (2; –1). VD 10. Tính vi phân cấp 2 của 2( , ) ln( )f x y xy= . c) Ứng dụng vi phân cấp 1 vào tính gần đúng giá trị hàm số 0 0 / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ). ( , ). x y f x x y y f x y f x y x f x y y + ∆ + ∆ ≈ ≈ + ∆ + ∆ . VD 11. Tính gần đúng 1,02 0,97 arctg . 2.3. ðạo hàm của hàm số hợp • Cho hàm số f(u, v), trong đĩ u = u(x) và v = v(x) là những hàm số của x. Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả vi của x thì / /. .u v df du dvf f dx dx dx = + . Với , , df du dv dx dx dx là các đạo hàm tồn phần theo x. • Nếu hàm số f(x, y) khả vi của x, y và y = y(x) là hàm số khả vi của x thì / / .x y df dyf f dx dx = + . VD 12. Cho 2 22 , , sinxz u uv v u e v x−= − + = = . Tính dz dx . VD 13. Cho 2 2 2( , ) ln( ), sinf x y x y y x= + = . Tính df dx . 2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*). Nếu y = y(x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đĩ sao cho khi thế y(x) vào (*) ta được đồng nhất thức thì y = y(x) là hàm số ẩn xác định bởi (*). VD 14. Xác định hàm số ẩn y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0. • ðạo hàm hai vế (*) theo x, ta được: / / / / / ( , )( , ) ( , ). 0 , ( , ) 0( , ) x x y y y F x yF x y F x y y y F x y F x y ′ ′+ = ⇒ = − ≠ . VD 15. Cho 0x yxy e e− + = . Tính y′ . VD 16. Cho 3 2 4( 1) 0y x y x+ + + = . Tính y′ . VD 17. Cho 2 2ln yx y arctg x + = . Tính y′ . • Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác định bởi F(x, y, z)) = 0, với / ( , , ) 0zF x y z ≠ ta cĩ: / / / / / / / / / / / / ( , , ) ( , , ). ( , ) 0 ( , , ) ( , ) ,( , , ) ( , , ) ( , , ). ( , ) 0 ( , , ) ( , ) .( , , ) x z x x x z y z y y y z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z • + = ⇒ = − • + = ⇒ = − VD 18. Cho cos( )xyz x y z= + + . Tính / /, x yz z . §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. ðịnh nghĩa • Hàm số z = f(x, y) đạt cực trị (địa phương) tại điểm M0(x0; y0) nếu với mọi điểm M(x, y) khá gần nhưng khác M0 thì hiệu f(M) – f(M0) cĩ dấu khơng đổi. • Nếu f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là cực tiểu và M0 là điểm cực tiểu; f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là cực đại và M0 là điểm cực đại. Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị. VD 1. Hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy đạt cực tiểu tại O(0; 0). 3.2. ðịnh lý a) ðiều kiện cần • Nếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M0(x0, y0) và tại đĩ hàm số cĩ đạo hàm riêng thì: / / 0 0 0 0( , ) ( , ) 0x yf x y f x y= = . Chú ý. ðiểm M0 thỏa / /0 0 0 0( , ) ( , ) 0x yf x y f x y= = được gọi là điểm dừng, cĩ thể khơng là điểm cực trị của z. b) ðiều kiện đủ. Giả sử f(x, y) cĩ điểm dừng là M0 và cĩ đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận điểm M0. ðặt 2 2 / / / / / / 0 0 0 0 0 0( , ), ( , ), ( , )xyx yA f x y B f x y C f x y= = = . Khi đĩ: + Nếu AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm M0; AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm M0. + Nếu AC – B2 < 0 thì hàm số khơng cĩ cực trị (điểm M0 được gọi là điểm yên ngựa). + Nếu AC – B2 = 0 thì chưa thể kết luận hàm số cĩ cực trị hay khơng (dùng định nghĩa để xét). 3.3. Cực trị tự do Cho hàm số z = f(x, y). ðể tìm cực trị của f(x, y) trên MXð D, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm điểm dừng M0(x0; y0) bằng cách giải hệ: / 0 0 / 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y  =  = . Bước 2. Tính 2/ / / /0 0 0 0( , ), ( , )xyxA f x y B f x y= = , 2 / / 2 0 0( , )yC f x y AC B= ⇒ ∆ = − . Bước 3. + Nếu ∆ > 0 và A > 0 thì kết luận hàm số đạt cực tiểu tại M0 và cực tiểu là f(M0); + Nếu ∆ > 0 và A < 0 thì kết luận hàm số đạt cực đại tại M0 và cực đại là f(M0). + Nếu ∆ < 0 thì kết luận hàm số khơng đạt cực trị. + Nếu ∆ = 0 thì khơng thể kết luận (trong chương trình hạn chế loại này). VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số z = xy(1 – x – y). VD 3. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8. VD 4. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy – 2. VD 5. Tìm cực trị của hàm số z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 4 3.4. Cực trị cĩ điều kiện • Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên lân cận của điểm M0(x0; y0) thuộc đường cong ( , ) 0x yϕ = . Nếu tại điểm M0 hàm số f(x, y) đạt cực trị thì ta nĩi điểm M0 là điểm cực trị của f(x, y) với điều kiện ( , ) 0x yϕ = . • ðể tìm cực trị cĩ điều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. Phương pháp khử Từ phương trình ( , ) 0x yϕ = , ta rút x hoặc y thế vào f(x, y) và tìm cực trị hàm 1 biến. VD 6. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y với điều kiện x + y + 3 = 0. VD 7. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = xy với điều kiện: 2x + 3y – 5 = 0. Phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1. Lập hàm Lagrange: ( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y x yλ λϕ= + , λ là nhân tử Lagrange. Bước 2. Giải hệ: ' ' ' 0 0 0 x y L L Lλ  =  = ⇒  = điểm dừng M0(x0; y0) ứng với λ0. Bước 3 Tính 2 0 0( , )d L x y 2 2 '' 2 '' '' 2 0 0 0 0 0 0( , ) 2 ( , ) ( , )xyx yL x y dx L x y dxdy L x y dy= + + . ðiều kiện ràng buộc: / / 0 0 0 0 0 0( , ) 0 ( , ) ( , ) 0x yd x y x y dx x y dyϕ ϕ ϕ= ⇒ + = (1) và (dx)2 + (dy)2 > 0 (2). Bước 4 Từ điều kiện (1) và (2), ta cĩ: + Nếu 2 0 0( , ) 0d L x y > thì hàm số đạt cực tiểu tại M0. + Nếu 2 0 0( , ) 0d L x y < thì hàm số đạt cực đại tại M0. + Nếu 2 0 0( , ) 0d L x y = thì điểm M0 khơng là điểm cực trị. VD 9. Tìm cực trị của hàm số z = 2x + y với điều kiện x2 + y2 = 5. VD 10. Tìm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện 2 2 1 8 2 x y + = . Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP) 1.1. Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z = f(x, y) liên tục, khơng âm và một mặt trụ cĩ các đường sinh song song Oz, đáy là miền phẳng đĩng D trong Oxy. ðể tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i=1,2,…,n). Như vậy khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm Mi(xi; yi) tùy ý. Ta cĩ thể tích ∆Vi của khối trụ nhỏ là: 1 ( ; ) ( , ) n i i i i i i i i V f x y S V f x y S = ∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆∑ . Gọi { }max ( , ) ,i id d A B A B S= ∈ ∆ là đường kính của iS∆ . Ta cĩ: max 0 1 lim ( , ) i n i i id i V f x y S → = = ∆∑ . 1.2. ðịnh nghĩa • Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên miền đĩng giới nội, đo được D trong Oxy. Chia miền D một cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm Mi(xi; yi) tùy ý. Khi đĩ 1 ( , ) n n i i i i I f x y S = = ∆∑ được gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm Mi). Nếu max 0 1 lim ( , ) i n i i id i I f x y S → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, khơng phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn điểm Mi thì số I được gọi là tích phân bội hai của f(x, y) trên D. Ký hiệu ( , ) D I f x y dS= ∫∫ . ðịnh lý. Hàm f(x, y) liên tục trong miền bị chặn, đĩng D thì khả tích trong D. • Nếu tồn tại tích phân, ta nĩi f(x, y) khả tích; f(x, y) là hàm dưới dấu tích phân; x, y là các biến tích phân. Chú ý 1) Nếu chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy. Vậy ( , ) ( , ) D D I f x y dS f x y dxdy= =∫∫ ∫∫ . 2) ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f u v dudv=∫∫ ∫∫ . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 5 Nhận xét 1) ( ) D dxdy S D=∫∫ (diện tích miền D). 2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì ( , ) D f x y dxdy∫∫ là thể tích hình trụ cĩ các đường sinh song song với Oz, hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y). 1.3. Tính chất của tích phân kép • Tính chất 1. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả tích trên D. • Tính chất 2. Tính tuyến tính: [ ( , ) ( , )] D D D f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy± = ±∫∫ ∫∫ ∫∫ ; ( , ) ( , ) , D D kf x y dxdy k f x y dxdy k= ∈∫∫ ∫∫ ℝ . • Tính chất 3 Nếu chia D thành D1 và D2 bởi đường cong cĩ diện tích bằng 0 thì: 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫ . 1.4. Phương pháp tính tích phân kép 1.4.1. ðưa về tích phân lặp ðịnh lý (Fubini) • Giả sử tích phân ( , ) D f x y dxdy∫∫ tồn tại, với 1 2{( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và với mỗi [ , ]x a b∈ cố định 2 1 ( ) ( ) ( , ) y x y x f x y dy∫ tồn tại thì: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) y x y xb b D a y x a y x f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy = =      ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Tương tự, 1 2{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x yd d D c x y c x y f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx = =      ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Chú ý 1) Khi {( , ) : , } [ , ] [ , ]D x y a x b c y d a b c d= ≤ ≤ ≤ ≤ = × (hình chữ nhật) thì: ( , ) ( , ) ( , ) b d d b D a c c a f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (hốn vị cận). 2) 1 2{( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và f(x, y) = u(x).v(y) thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) y xb D a y x f x y dxdy u x dx v y dy=∫∫ ∫ ∫ . Tương tự, 1 2{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) x yd D c x y f x y dxdy v y dy u x dx=∫∫ ∫ ∫ . 3) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền đơn giản như trên. VD 1. Xác định cận ở tích phân lặp khi tính tích phân ( , ) D I f x y dxdy= ∫∫ trong các trường hợp sau: 1) D giới hạn bởi các đường y = 0, y = x và x = a. 2) D giới hạn bởi các đường y = 0, y = x2 và x + y = 2. VD 2. Tính D I xydxdy= ∫∫ với D giới hạn bởi y = x – 4, y 2 = 2x. ðổi thứ tự lấy tích phân 2 1 ( ) ( ) ( , ) y xb a y x I dx f x y dy= ∫ ∫ 2 1 ( ) ( ) ( , ) x yd c x y I dy f x y dx= ∫ ∫ ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 6 VD 3. ðổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: 1) 21 2 0 ( , ) x x I dx f x y dy − = ∫ ∫ ; 2) 23 1 0 ( , ) y I dy f x y dx= ∫ ∫ ; 3) 2 2 1 3 1 0 1 9 9 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy= +∫ ∫ ∫ ∫ . 1.4.2. Phương pháp đổi biến a) Cơng thức đổi biến tổng quát ðịnh lý. Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số cĩ các đạo hàm riêng liên tục trên miền đĩng giới nội Duv trong mp Ouv. Gọi {( , ) : ( , ), ( , ), ( , ) } xy uvD x y x x u v y y u v u v D= = = ∈ . Nếu hàm f(x, y) khả tích trên Dxy và định thức Jacobi ( , ) 0( , ) x yJ u v ∂ = ≠ ∂ trong Duv thì: ( , ) ( ( , ), ( , )) xy uvD D f x y dxdy f x u v y u v J dudv=∫∫ ∫∫ . Trong đĩ: / / / // / / / ( , ) 1 1 ( , )( , ) ( , ) u v x yu v x y x xx yJ u vu v u uy y x y v v ∂ = = = =∂∂ ∂ . VD 4. Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v). Tính tích phân của hàm 1( , ) 1 4 4 f x y x y = + + trên miền biến hình Dxy = g(Duv). VD 5. Cho miền Duv là phần tư hình trịn đơn vị trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv). Tính tích phân của hàm 2 2 1( , )f x y x y = + trên miền biến hình Dxy. VD 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn Parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2. b) ðổi biến trong tọa độ cực • ðổi biến: cos sin x r y r ϕ ϕ =  = , với 0, 0 2r ϕ pi≥ ≤ ≤ hoặc pi ϕ pi− ≤ ≤ . Khi đĩ, miền Dxy trở thành: 1 2 1 2{( , ) : , ( ) ( )}rD r r r rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= ≤ ≤ ≤ ≤ và / / / / cos sin( , ) sin cos( , ) r r x x rx yJ r y y rr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ −∂ = = = = ∂ . Vậy ta cĩ: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) xy rD D r r f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ . Chú ý 1) ðổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên D là đường trịn hoặc elip. 2) ðể tìm 1 2( ), ( )r rϕ ϕ ta thay cos sin x r y r ϕ ϕ =  = vào phương trình của biên D. 3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O cắt biên D khơng quá 1 điểm thì: ( )2 0 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕpi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫ ∫ ∫ . 4) Nếu cực O nằm trên biên D thì: 2 1 ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫ ∫ ∫ . 5) Nếu biên D là elip thì đặt: cos {( , ) : 0 2 , 0 1} sin r x r a D r r y r b ϕ ϕ ϕ ϕ piϕ = ⇒ = ≤ ≤ ≤ ≤ = . VD 7. Biểu diễn tích phân ( , ) D f x y dxdy∫∫ trong tọa độ cực. Biết miền D là miền phẳng nằm ngồi (C1): (x – 1)2 + y2 = 1 và nằm trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4. VD 8. Tính diện tích hình ellip: 2 2 2 2 1 x y a b + ≤ . VD 9. Tính tích phân 2 2( )x y D I e dxdy− += ∫∫ với D là hình trịn 2 2 2x y R+ ≤ . VD 10. Tính diện tích miền D giới hạn bởi: y = –x, 2 2 2 23 3x y x y x+ = + − và 0y ≥ . Cơng thức Walliss 2 2 0 0 ( 1)!! , !! sin cos ( 1)!! . , 2 !! n n n n n xdx xdx n n n pi pi pi −  = =  −  ∫ ∫ lẻ chẵn . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 7 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRONG KHƠNG GIAN Oxyz • Trong khơng gian Oxyz, mặt bậc hai là tập hợp tất cả các điểm M(x; y; z) cĩ tọa độ thỏa phương trình: Ax2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz + L = 0. Trong đĩ A, B, C, D, E, F khơng đồng thời bằng 0. • Các dạng chính tắc của mặt bậc hai: 1) 2 2 2 2x y z R+ + = (mặt cầu); 2) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = (mặt elipxoit); 3) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = (hyperboloit 1 tầng); 4) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = − (hyperboloit 2 tầng); 5) 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + − = (nĩn eliptic); 6) 2 2 2 2 2 x y z a b + = (parabolit eliptic); 7) 2 2 2 2 2 x y z a b − = (parabolit hyperbolic – yên ngựa); 8) 2 2 2 2 1 x y a b + = (mặt trụ eliptic); 9) 2 2 2 2 1 x y a b − = (mặt trụ hyperbolic); 10) 2 2y px= (mặt trụ parabolic). ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 8 §2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1. Bài tốn mở đầu (khối lượng vật thể) • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V khơng đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) là ( ) ( , , )P x y zρ ρ ρ= = . Ta chia V tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Vi ta lấy điểm Pi(xi; yi; zi) và đường kính của ∆Vi là di. Khối lượng V xấp xỉ: 1 1 ( ) ( , , ) n n i i i i i i i i m P V x y z Vρ ρ = = ≈ ∆ = ∆∑ ∑ . Nếu tồn tại max 0 1 lim ( , , ) i n i i i id i x y z Vρ → = ∆∑ thì đĩ là khối lượng m của vật thể V. 2.2. ðịnh nghĩa • Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đo được V của khơng gian Oxyz. Chia miền V một cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Vi ta lấy Pi(xi; yi; zi) tùy ý và lập tổng tích phân 1 : ( , , ) n n i i i i i I f x y z V = = ∆∑ . Nếu max 0 1 lim ( , , ) i n i i i id i I f x y z V → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, khơng phụ thuộc vào cách chia V và cách chọn điểm Pi thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của f(x, y, z) trên V. Ký hiệu ( , , ) V I f x y z dV= ∫∫∫ . ðịnh lý. Hàm f(x, y, z) liên tục trong miền bị chặn, đĩng V thì khả tích trong V. • Nếu tồn tại tích phân, ta nĩi f(x, y, z) khả tích; f(x, y, z) là hàm dưới dấu tích phân; x, y, z là các biến tích phân. Nhận xét 1) Nếu chia V bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ thì ∆Vi = ∆xi.∆yi.∆zi hay dV = dxdydz. Vậy ( , , ) ( , , ) V V I f x y z dV f x y z dxdydz= =∫∫∫ ∫∫∫ . 2) Nếu ( , , ) 0f x y z ≥ trên V thì ( , , ) V I f x y z dxdydz= ∫∫∫ là khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất chiếm thể tích V là f(x, y, z). Nếu f(x, y, z) = 1 thì I là thể tích V. 3) Tích phân bội ba cĩ các tính chất như tích phân kép. 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba 2.3.1. ðưa về tích phân lặp a) Giả sử miền V cĩ giới hạn trên bởi mặt z = z2(x, y), giới hạn dưới bởi z = z1(x, y), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song với trục Oz. Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy. Khi đĩ: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) z x y V D z x y z x y D z x y f x y z dxdydz f x y z dz dxdy dxdy f x y z dz   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) y x z x yb V a y x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x y z x yd V c x y z x y f x y z dxdydz dy dx f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz. Giả sử miền V cĩ giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) bởi hai mặt y = y2(x, z) và mặt y = y1(x, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song Oy. Khi đĩ: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) y x z V D y x z y x z D y x z f x y z dxdydz f x y z dy dxdz dxdz f x y z dy   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : , z ( ) ( )}D x z a x b x z z x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z x y x zb V a z x y x z f x y z dxdydz dx dz f x y z dy=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : ( ) ( ), e }D x z x z x x z z f= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x z y x zf V e x z y x z f x y z dxdydz dz dx f x y z dy=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 9 c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz. Giả sử miền V cĩ giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) bởi hai mặt x = x2(y, z) và mặt x = x1(y, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song Ox. Khi đĩ: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z V D x y z x y z D x y z f x y z dxdydz f x y z dx dydz dydz f x y z dx   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : , z ( ) ( )}D y z c y d y z z y= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z y x y zd V c z y x y z f x y z dxdydz dy dz f x y z dx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : ( ) ( ), e }D y z y z y y z z f= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) y z x y zf V e y z x y z f x y z dxdydz dz dy f x y z dx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . ðặc biệt • Nếu {( , , ) : , c , e } [ , ] [ , ] [ , ] D x y z a x b y d z f a b c d e f = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = × × thì: ( , , ) ( , , ) fb d V a c e f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . VD 1. Tính tích phân 8 V I xyzdxdydz= ∫∫∫ với V = [1, 2] × [–1, 3] × [0, 2]. VD 2. Tính tích phân lặp 2 1 1 2 1 0 (4 ) x I dx dy z dz − = +∫ ∫ ∫ và dựng miền lấy tích phân V. VD 3. Tính tích phân V I ydxdydz= ∫∫∫ với V giới hạn bởi x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa độ. 2.3.2. ðổi biến tổng quát • ðặt ( , , ) ( , , ) ( , , ) x x u v w y y u v w z z u v w =  =  = và / / / / / / / / / ( , , ) ( , , ) u v w u v w u v w x x x x y zJ y y y u v w z z z ∂ = = ∂ . Giả sử các hàm x, y, z cĩ đạo hàm riêng liên tục trong miền đĩng, giới nội đo được Vuvw trong khơng gian Ouvw và 0J ≠ thì: ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )). . uvw V V f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw= ∫∫∫ ∫∫∫ . VD 4. Tính tích phân ( ) V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với : 2V x y z x y z x y z− + + + − + + + − ≤ . VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit 2 2 2 2 2 2 2: x y zV R a b c + + ≤ . 2.3.3. ðổi biến trong tọa độ trụ ðặt cos sin x r y r z z ϕ ϕ =  =  = , với 0, 0 2r ϕ pi≥ ≤ ≤ hoặc pi ϕ pi− ≤ ≤ . Ta cĩ: / / / / / / 2 / / / ( , , ) sin( , , ) r r r x x x x y zJ y y y r r z z z ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ∂ = = = ∂ . Khi đĩ ta cĩ: ( , , ) ( cos , sin , ). . r zV V f x y z dxdydz f r r z r drd dz ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫∫ ∫∫∫ . VD 6. Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt 2 2 4x y z+ = − , 2 2 2x y+ ≥ và z = 0. VD 7. Tính tích phân 2 2 V I z x y dxdydz= +∫∫∫ với V là miền hình trụ giới hạn bởi: 2 2 2x y y+ = , z = 0 và z = 1. VD 8. Tính tích phân 2 2 2( ) V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với V là miền hình nĩn giới hạn bởi các mặt: 2 2 2x y z+ = và z = 1. 2.3.3. ðổi biến trong tọa độ cầu ðặt sin cos sin sin cos x r y r z r θ ϕ θ ϕ θ =  =  = , với 0, 0 2 , 0r ϕ pi θ pi≥ ≤ ≤ ≤ ≤ hoặc pi ϕ pi− ≤ ≤ . Ta cĩ: / / / / / / / / / cos sin 0 ( , , ) sin cos 0( , , ) 0 0 1 r z r z r z x x x r x y zJ y y y r r r z z z z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − ∂ = = = = ∂ . Khi đĩ ta cĩ: 2 ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ). sin . r V V f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ= ∫∫∫ ∫∫∫ . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 10 §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI VD 9. Tính tích phân 2 2 2 1 V I dxdydz x y z = + + ∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi các mặt cầu: 2 2 2 1x y z+ + = và 2 2 2 4x y z+ + = . VD 10. Tính tích phân 2 2( ) V I x y dxdydz= +∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 4x y z+ + ≤ và 0z ≥ . 3.1. Diện tích, thể tích (xem nhận xét tích phân bội hai, ba). 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đĩng • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền đĩng D là: 1 ( , )( ) D f f x y dxdy S D = ∫∫ . VD 1. Tính giá trị trung bình của f(x, y) = xcosxy trong hình chữ nhật 0 x pi≤ ≤ , 0 1y≤ ≤ . • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y, z) trên miền đĩng Ω là: 1 ( , , )( )f f x y z dxdydzV Ω = Ω ∫∫ . VD 2. Tính giá trị trung bình của f(x, y, z) = xyz trong hình lập phương [0, 2] × [0, 2] × [0, 2]. 3.3. Khối lượng • Cho một bản phẳng chiếm miền D đĩng trong Oxy cĩ khối lượng riêng (mật độ khối lượng) tại điểm M(x, y) thuộc D là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khối lượng của bản phẳng là: ( , ) D m x y dxdyρ= ∫∫ . • Cho một vật thể chiếm miền V đĩng trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) thuộc V là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khối lượng của vật thể là: ( , , ) V m x y z dxdydzρ= ∫∫∫ . VD 3. Tính khối lượng bản phẳng chiếm miền D giới hạn bởi 2 2 4x y+ ≤ , 0x ≥ và 0y ≥ . Biết khối lượng riêng là hàm ( , )x y xyρ = . 3.4. Momen tĩnh ðịnh nghĩa • Momen tĩnh của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y) trong Oxy đối với trục Ox, Oy theo thứ tự là: My=0 = my, Mx=0 = mx. • Momen tĩnh của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y, z) trong Oxyz đối với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Oxz theo thứ tự là: Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my. Cơng thức tính • Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D là: 0 0( , ) , ( , )y x D D M y x y dxdy M x x y dxdyρ ρ = = = =∫∫ ∫∫ . • Momen tĩnh của vật thể chiếm miền V trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V là: 0 0 0 ( , , ) , M ( , , ) , M ( , , ) . z V x V y V M z x y z dxdydz x x y z dxdydz y x y z dxdydz ρ ρ ρ = = = = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 3.5. Trọng tâm • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của bản phẳng là: ( , ) 1 ( , ) , ( , ) ( , ) 1y ( , ) . ( , ) D G D D D G D D x x y dxdy x x x y dxdy mx y dxdy y x y dxdy y x y dxdy mx y dxdy ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ Khi bản phẳng đồng chất thì ( , )x yρ là hằng số nên: 1 1 , y( ) ( )G GD D x xdxdy ydxdy S D S D = =∫∫ ∫∫ . • Cho vật thể chiếm thể tích V trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của vật thể là: 1 ( , , ) , 1y ( , , ) , 1 ( , , ) . G V G V G V x x x y z dxdydz m y x y z dxdydz m z z x y z dxdydz m ρ ρ ρ = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Khi vật thể đồng chất thì ( , , )x y zρ là hằng số nên: 1 , 1y , 1 z . G V G V G V x xdxdydz V ydxdydz V zdxdydz V = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ . VD 4. Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi 0, 0, 1x y x y≥ ≥ + ≤ . Biết ( , ) 2x y x yρ = + . VD 5. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất chiếm thể tích V giới hạn bởi mặt nĩn 2 2 2z x y= + , 0z ≥ và mặt cầu 2 2 2 1x y z+ + = . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 11 3.4. Momen quán tính ðịnh nghĩa • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y) đối với trục Ox, Oy và gốc tọa độ O theo thứ tự là: Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2 + y2). • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y, z) đối với trục Ox, Oy, Oz và gốc tọa độ O theo thứ tự là: Ix = m(y2 + z2), Iy = m(x2 + z2), Iz = m(x2 + y2) và IO = Ix + Iy + Iz = m(x2 + y2 + z2). • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y, z) đối với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Oxz thứ tự là: Iz=0 = mz2, Ix=0 = mx2, Iy=0 = my2. Cơng thức tính • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong mpOxy cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khi đĩ: ( ) 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) , ( , ) . x D y D O D I y x y dxdy I x x y dxdy I x y x y dxdy ρ ρ ρ = = = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ • Cho vật thể chiếm miền V trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khi đĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) x V y V z V O V I y z x y z dxdydz I x z x y z dxdydz I x y x y z dxdydz I x y z x y z dxdydz ρ ρ ρ ρ = + = + = + = + + ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ và 2 0 2 0 2 0 ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) . z V x V y V I z x y z dxdydz I x x y z dxdydz I y x y z dxdydz ρ ρ ρ = = = = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ VD 6. Tính Ix, Iy của hình D giới hạn bởi y2 = 1 – x, x = 0, y = 0. Biết khối lượng riêng là ( , )x y yρ = . VD 7. Tính IO của hình trịn 2 2 2 0x y Rx+ − ≤ . Biết 2 2( , )x y x yρ = + . Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT §1. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI I 1.1. ðịnh nghĩa • Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy cĩ phương trình tham số ( )x x t= , ( )y y t= với a t b≤ ≤ và f(x, y) là hàm số xác định trên L. Chia L thành n cung khơng dẫm lên nhau bởi các điểm chia ứng với 0 1 ... na t t t b= < < < = . Gọi độ dài cung thứ i là is∆ . Trên cung thứ i lấy điểm ( , )i i iM x y . Tổng 1 ( , ) n n i i i i I f x y s = = ∆∑ được gọi là tổng tích phân đường (loại 1) của hàm f(x, y) trên đường cong L. Giới hạn 0 1 lim ( , ) i n i i i max s i f x y s ∆ → = ∆∑ tồn tại được gọi là tích phân đường loại 1 của f(x, y) trên đường cong L. Ký hiệu là ( , ) L f x y ds∫ . Nhận xét 1) Tích phân đường loại 1 cĩ tất cả các tính chất của tích phân xác định. 2) Tích phân đường loại 1 khơng phụ thuộc vào chiều của L:   ( , ) ( , ) AB BA f x y ds f x y ds=∫ ∫ . 1.2. Phương pháp tính a) ðường cong L cĩ phương trình tham số • Nếu L cĩ phương trình ( )x x t= , ( )y y t= với a t b≤ ≤ thì: ( ) ( )2 2/ /( , ) ( ( ), ( ))b t t L a f x y ds f x t y t x y dt= +∫ ∫ . • Nếu L trong khơng gian cĩ phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= với a t b≤ ≤ thì: ( ) ( ) ( )2 2 2/ / /( , , ) ( ( ), ( ), ( ))b t t t L a f x y z ds f x t y t z t x y z dt= + +∫ ∫ . b) ðường cong L trong Oxy cĩ phương trình tổng quát • Nếu L cĩ phương trình ( )y y x= với a x b≤ ≤ thì: ( )2/( , ) ( , ( )) 1b x L a f x y ds f x y x y dx= +∫ ∫ . • Nếu L cĩ phương trình ( )x x y= với a y b≤ ≤ thì: ( )2/( , ) ( ( ), ) 1b y L a f x y ds f x y y x dy= +∫ ∫ . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 12 ðặc biệt • Nếu L cĩ phương trình y α= (hằng số) với a x b≤ ≤ thì: ( , ) ( , ) b L a f x y ds f x dxα=∫ ∫ . • Nếu L cĩ phương trình x α= (hằng số) với a y b≤ ≤ thì: ( , ) ( , ) b L a f x y ds f y dyα=∫ ∫ . c) ðường cong L trong tọa độ cực • Nếu L được cho trong tọa độ cực ( )r r ϕ= với α ϕ β≤ ≤ thì ta xem ϕ là tham số. Khi đĩ, phương trình của L là ( )cosx r ϕ ϕ= , ( ) siny r ϕ ϕ= , α ϕ β≤ ≤ và: ( )22 /( , ) ( ( )cos , ( )sin ) L f x y ds f r r r r d β ϕ α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= +∫ ∫ . VD 1. Tính L zds∫ với L là đường xoắn ốc trụ trịn xoay cĩ phương trình cosx a t= , siny a t= , z bt= , 0 2t pi≤ ≤ . VD 2. Tính ( ) L x y ds+∫ với L là tam giác cĩ các đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1). VD 3. Tính L xyds∫ với L là phần giao tuyến giữa mặt 2 22 2z x y= − − và 2z x= nằm trong gĩc phần tám thứ nhất từ điểm A(0; 1; 0) đến B(1; 0; 1). 1.3. Ứng dụng 1) ðộ dài cung L là L ds∫ , với f(x, y) = 1 hoặc f(x, y, z) = 1. 2) Nếu dây vật dẫn cĩ hình dạng L và hàm mật độ khối lượng ( , )x yρ phụ thuộc vào điểm M(x, y) trên L thì khối lượng của dây vật dẫn là ( , ) L m x y dsρ= ∫ . Trọng tâm G của L là: 1 ( , )G L x x x y ds m ρ= ∫ , 1 ( , )G L y y x y ds m ρ= ∫ . 3) Nếu dây vật dẫn cĩ hình dạng L và hàm mật độ khối lượng ( , , )x y zρ phụ thuộc vào điểm M(x, y, z) trên L thì khối lượng của dây vật dẫn là ( , , ) L m x y z dsρ= ∫ . Trọng tâm G của L là: 1 ( , , )G L x x x y z ds m ρ= ∫ , 1 ( , , )G L y y x y z ds m ρ= ∫ , 1 ( , , )G L z z x y z ds m ρ= ∫ . VD 4. Tính độ dài cung trịn 2 2 2 0x y x+ − = nằm trong gĩc thứ nhất từ A(2; 0) đến 1 3; 2 2 B       . VD 5. Cho một dây thép dạng nửa đường trịn trong mpOyz với phương trình 2 2 1y z+ = , 0z ≥ . Biết mật độ khối lượng ( , , ) 2x y z zρ = − . Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép. §2. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI II 2.1. Bài tốn mở đầu • Tính cơng sinh ra do lực ( )F F M=   tác dụng lên chất điểm M(x, y) di chuyển dọc theo đường cong L. Nếu L là đoạn thẳng AB thì cơng sinh ra là ( ). cos ,W F AB F AB F AB= =      . Chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia 0 1, ,..., nA A A . Trên mỗi cung 1i iA A− lấy điểm Mi(xi, yi) tùy ý. Chiếu ( )iF M  và 1i iA A−  lên trục Ox, Oy ta được: ( ) ( , ). ( , ).i i i i iF M P i Q jξ η ξ η= +    và 1 . .i i i iA A x i y j− = ∆ + ∆    . Khi đĩ, cơng W sinh ra: [ ] 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( , ) . n n i i i i i i n i i i i i i i W W F M A A P x Q yξ η ξ η − = = = ≈ = = ∆ + ∆ ∑ ∑ ∑   Vậy [ ] 1 0 1 lim ( , ) ( , ) i i n i i i i i i max A A i W P x Q yξ η ξ η − → = = ∆ + ∆∑ . 2.2. ðịnh nghĩa • Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác định trên đường cong L. Chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia 0 1, ,..., nA A A . Trên mỗi cung 1i iA A− lấy điểm Mi(xi, yi) tùy ý. Gọi ( )1 ,i i i iA A x y− = ∆ ∆  . Tổng [ ] 1 ( , ) ( , ) n n i i i i i i i I P x Q yξ η ξ η = = ∆ + ∆∑ được gọi là tổng tích phân đường (loại 2) của hàm P(x, y) và Q(x, y) trên đường cong L. Giới hạn 1 0 lim i i n max A A I − →  tồn tại được gọi là tích phân đường loại 2 của P(x, y) và Q(x, y) trên đường cong L. Ký hiệu là ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy+∫ . Nhận xét 1) Tích phân đường loại 2 cĩ tất cả các tính chất như tích phân xác định. 2) Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L vì khi thay đổi chiều thì ( )1 ,i i i iA A x y− = ∆ ∆  đổi dấu, do đĩ khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối:   ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) AB BA P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ = − +∫ ∫ . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 13 3) Từ định nghĩa tổng tích phân, ta cĩ thể viết:    ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) AB AB AB P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ = +∫ ∫ ∫ . • Nếu L là đường cong phẳng, kín lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) thì ta dùng ký hiệu: ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy+∫ . • ðịnh nghĩa tương tự: ( , , ) ( , , ) ( , , ) L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz+ +∫ . 2.3. Phương pháp tính a) ðường cong L cĩ phương trình tham số • Nếu L cĩ phương trình ( )x x t= , ( )y y t= thì:  / / ( , ) ( , ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) . B A AB t t t t P x y dx Q x y dy P x t y t x Q x t y t y dt +  = +  ∫ ∫ • Nếu L trong khơng gian cĩ pt ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= :  / / / ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) . ( ( ), ( ), ( )) B A AB t t t t t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz P x t y t z t x Q x t y t z t y dt R x t y t z t z + +  + =   +   ∫ ∫ b) ðường cong L trong Oxy cĩ phương trình tổng quát • Nếu L cĩ phương trình ( )y y x= thì:  /( , ( )) ( , ( )). B A x x xAB Pdx Qdy P x y x Q x y x y dx + = + ∫ ∫ . • Nếu L cĩ phương trình ( )x x y= thì:  /( ( ), ). ( ( ), ) B A y y yAB Pdx Qdy P x y y x Q x y y dy + = + ∫ ∫ . ðặc biệt • Nếu L cĩ phương trình y α= (hằng số) thì:  ( , ) ( , ) ( , ) B A x xAB P x y dx Q x y dy P x dxα+ =∫ ∫ . • Nếu L cĩ phương trình x α= (hằng số) thì:  ( , ) ( , ) ( , ) B A y yAB P x y dx Q x y dy Q y dyα+ =∫ ∫ . VD 1. Tính L xdy ydx−∫ với L là elip 2 2 2 2 1 x y a b + = lấy theo chiều dương. VD 2. Tính ( ) ( ) L x y dx x y dy− + +∫ với L là đường nối điểm O(0; 0) với A(1; 1) trong các trường hợp: a) đường thẳng y = x; b) đường y = x2; c) đường y x= . VD 3. Tính L dx ydy dz− +∫ với L là đường xoắn ốc trụ trịn xoay cĩ phương trình cosx t= , siny t= , 2z t= từ điểm A(1; 0; 0) đến (0; 1; )B pi . 2.4. Cơng thức Green (liên hệ với tích phân kép) • Cho miền D là miền liên thơng, bị chặn, cĩ biên L Jordan kín trơn từng khúc. Chiều dương của L là chiều mà khi di chuyển ta thấy miền D nằm về phía tay trái. • Nếu các hàm số P(x, y) và Q(x, y) cĩ các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên D thì: ( )/ / ( , ) ( , )x y D L Q P dxdy P x y dx Q x y dy− = +∫∫ ∫ . Hệ quả 1( ) 2 D S D xdy ydx ∂ = −∫ . VD 4. Tính diện tích của elip 2 2 2 2 1 x y a b + = . VD 5. Tính 2 2( ) ( 2 )y L xarctgx y dx x xy y e dx−+ + + +∫ , với L là 2 2 2 0x y y+ − = . VD 6. Tính 2 2 L xdy ydx x y − +∫ trong các trường hợp: a) L là đường cong kín khơng bao gốc O; b) L là đường cong kín bao gốc O. 2.5. ðiều kiện tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân ðịnh lý • Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền đơn liên D. Khi đĩ, bốn mệnh đề sau tương đương: 1) / / , ( , )y xP Q x y D= ∀ ∈ . 2) ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy+ =∫ dọc theo mọi đường kín L nằm trong D. 3)  ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy+∫ , trong đĩ AB nằm trong D, chỉ phụ thuộc vào hai mút A, B mà khơng phụ thuộc vào đường nối A với B. 4) Biểu thức P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân tồn phần của hàm u(x, y) nào đĩ trong miền D. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 14 §3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Hệ quả • Nếu P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân tồn phần của hàm u(x, y) nào đĩ trong miền D, nghĩa là / / , ( , )y xP Q x y D= ∀ ∈ thì:  ( , ) ( , ) ( ) ( ) AB P x y dx Q x y dy u B u A+ = −∫ . VD 7. Tính 2 2 2 2 L x y x ydx dy x y x y − + + + +∫ với L là đường trơn từng khúc nối A(1; 1) và B(2; 2) nằm trong miền D khơng chứa gốc tọa độ O. 3.1. ðịnh nghĩa • Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên mặt S. Chia S một cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm ( , , )i i i iM ξ η ζ tùy ý và lập tổng tích phân 1 ( , , ) n n i i i i i I f Sξ η ζ = = ∆∑ . Nếu max ( ) 0 1 lim ( , , ) i n i i i id S i I f Sξ η ζ ∆ → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, khơng phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm Mi thì số I được gọi là tích phân mặt loại 1 của f(x, y, z) trên S. Ký hiệu ( , , ) S I f x y z dS= ∫∫ . 3.2. Phương pháp tính a) Chiếu S lên Oxy • Nếu S cĩ phương trình z = z(x, y) và S cĩ hình chiếu trên Oxy là D thì: ( ) ( )2 2/ /( , , ) ( , , ( , )) 1 x y S D f x y z dS f x y z x y z z dxdy= + +∫∫ ∫∫ . b) Chiếu S lên Oxz • Nếu S cĩ phương trình y = y(x, z) và S cĩ hình chiếu trên Oxz là D thì: ( ) ( )2 2/ /( , , ) ( , ( , ), ) 1 x z S D f x y z dS f x y x y z y y dxdz= + +∫∫ ∫∫ . c) Chiếu S lên Oyz • Nếu S cĩ phương trình x = x(y, z) và S cĩ hình chiếu trên Oyz là D thì: ( ) ( )2 2/ /( , , ) ( ( , ), , ) 1 y z S D f x y z dS f x y z y z x x dydz= + +∫∫ ∫∫ . VD 1. Tính S I zdS= ∫∫ , trong đĩ S là phần mặt nĩn 2 2 2z x y= + với 0 1z≤ ≤ . VD 2. Tính 2 2 2( ) S I z x y dS= +∫∫ , trong đĩ S là phần mặt cầu 2 2 2 4x y z+ + = với 0x ≥ , 0y ≥ . §4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 1) Diện tích mặt S là S dS∫∫ . 2) Nếu mặt S cĩ hàm mật độ khối lượng là ( , , )x y zρ thì khối lượng của mặt S là: ( , , ) S m x y z dSρ= ∫∫ . Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của mặt S là: 1 1( , , ) , y ( , , ) , 1 ( , , ) . G G S S G S x x x y z dS y x y z dS m m z z x y z dS m ρ ρ ρ = = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ 4.1. ðịnh nghĩa 4.1.1. Mặt định hướng • Mặt trơn S được gọi là mặt định hướng nếu pháp vector đơn vị n  xác định tại mọi điểm M thuộc S (cĩ thể trừ biên S) biến đổi liên tục khi M chạy trên S. Mặt định hướng cĩ hai phía, phía mà nếu đứng trên đĩ thì n  hướng từ chân lên đầu là phía dương, ngược lại là phía âm. • Hướng của biên S là hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ ngọn của n  . • Khi mặt S khơng kín, ta gọi phía trên là phía mà n  lập với tia Oz gĩc nhọn, ngược là là phía dưới. Khi mặt S kín ta gọi phía trong và phía ngồi. • Mặt trơn từng khúc S là định hướng được nếu hai phần trơn bất kỳ của S nối với nhau bởi đường biên C cĩ định hướng ngược nhau. 4.1.2. ðịnh nghĩa tích phân mặt loại 2 • Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên mặt định hướng, trơn từng khúc S. Chia S một cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm ( , , )i i i iM ξ η ζ tùy ý. Gọi Di là hình chiếu của ∆Si lên Oxy kèm theo dấu dương nếu ∆Si cĩ định hướng trên, ngược lại là dấu âm. Lập tổng tích phân ( ) 1 ( , , ). n n i i i i i I f S Dξ η ζ = =∑ . Nếu ( ) max ( ) 0 1 lim ( , , ). i n i i i id S i I f S Dξ η ζ ∆ → = = ∑ tồn tại hữu hạn, khơng phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm Mi thì số I được gọi là tích phân mặt loại 2 của f(x, y, z) trên mặt định hướng S. Ký hiệu ( , , ) S f x y z dxdy∫∫ . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 15 • Tương tự, khi chiếu S lên Ozx và Oyz ta cĩ ( , , ) S f x y z dzdx∫∫ và ( , , ) S f x y z dydz∫∫ . • Kết hợp cả 3 dạng trên ta được tích phân mặt loại 2 của các hàm P, Q, R trên S: ( , , ) ( , , ) ( , , ) S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy+ +∫∫ . Nhận xét • Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu. • Nếu S kín thì tích phân cịn được ký hiệu là: S Pdydz Qdzdx Rdxdy+ +∫∫ . 4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 • Cho mặt định hướng trơn từng khúc S cĩ pháp vector đơn vị n  . Gọi , , α β γ lần lượt là gĩc hợp bởi n với các tia Ox, Oy, Oz. Khi đĩ: ( cos cos cos ) . S S Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSα β γ + + = + + ∫∫ ∫∫ Trong đĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2/ / 2 2 2 2/ / / / 1 cos , 1 1 1 cos , cos . 1 1 y z x z x y x x y y z z α β γ = + + = = + + + + 4.3. Phương pháp tính a) Nếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oxy là miền Dxy và cĩ phương trình z(x, y) thì: ( , , ) ( , , ( , )) xyS D R x y z dxdy R x y z x y dxdy= ±∫∫ ∫∫ . (dấu + hay – tùy thuộc vào mặt ở phía trên hay dưới). b) Nếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oxz là miền Dxz và cĩ phương trình y(x, z) thì: ( , , ) ( , ( , ), ) xzS D Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx= ±∫∫ ∫∫ . c) Nếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oyz là miền Dyz và cĩ phương trình x(y, z) thì: ( , , ) ( ( , ), , ) yzS D P x y z dydz P x y z y z dydz= ±∫∫ ∫∫ . VD 1. Tính S zdxdy∫∫ , với S là phía ngồi của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = . VD 2. Cho ( ) ( ) ( ) S I y z dydz z x dzdx x y dxdy= − + − + −∫∫ , với S là phía ngồi của mặt nĩn 2 2 2x y z+ = , 0 4z≤ ≤ . Chuyển tích phân về loại 1 rồi tính I. 4.4. Cơng thức Stokes • Cho S là mặt định hướng trơn từng khúc cĩ biên S∂ trơn từng khúc và khơng tự cắt. Giả sử P, Q, R là các hàm cĩ đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S. Khi đĩ: ( ) ( ) ( )/ / / / / / . S y z z x x y S Pdx Qdy Rdz R Q dydz P R dzdx Q P dxdy ∂ + + = − + − + − ∫ ∫∫  (Hướng của S∂ là hướng dương phù hợp với hướng của S). VD 3. Tính C ydx zdy xdz+ +∫ , với C là đường trịn giao của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = và mặt phẳng 0x y z+ + = và hướng tích phân trên C là hướng dương khi nhìn từ ngọn tia Oz. 4.5. Cơng thức Gauss – Ostrogradski • Cho V là một khối giới nội với biên S trơn từng khúc. Giả sử P, Q, R là các hàm cĩ đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V. Khi đĩ: ( )/ / /x y z S V Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdydz+ + = + +∫∫ ∫∫∫ . (Tích phân S ∫∫ lấy theo phía ngồi của S). VD 4. Tính 3 3 3 S x dydz y dzdx z dxdy+ +∫∫ , với S là phía ngồi của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = . Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • Một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân. VD 1. y’ – 2y = 1; (x + y)dy – 2ydx = 0; 2y’’ – 3y’ + y = 0; 2 0dy dz dx dx + = . • Cấp cao nhất của đạo hàm chứa trong phương trình vi phân (ptvp) được gọi là cấp của ptvp đĩ. VD 2. y’ = 3x và 2dy x dx = là ptvp cấp 1; y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp cấp 2. • Dạng tổng quát của ptvp cấp n là F(x, y, y’,…, y(n)) = 0(*), nếu từ (*) ta giải được theo y(n) thì ptvp cĩ dạng: y(n) = f(x, y, y’,…, y(n–1)). • Nghiệm của ptvp F(x, y, y’,…, y(n)) = 0 trên khoảng K là 1 hàm số y = φ(x) xác định trên K sao cho khi thay y = φ(x) vào ptvp ta được đồng nhất thức trên K. Phương trình vi phân cĩ vơ số nghiệm sai khác hằng số C. • Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nĩ. • ðồ thị của nghiệm y = φ(x) được gọi là đường cong tích phân. VD 3. Các hàm số y = ex, y = e–x, y = C1ex + C2e–x đều là nghiệm của y’’ – y = 0. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 16 §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình cĩ dạng tổng quát F(x, y, y’) = 0 (*), nếu từ (*) ta giải được theo y’ thì y’ = f(x, y). • Giải ptvp cấp 1 với điều kiện đầu y(x0) = y0 là đi tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu, hay tìm 1 đường cong tích phân của ptvp đi qua điểm M0(x0; y0). VD 1. Giải ptvp 0y x′ − = , biết đường cong tích phân đi qua điểm M(2; 1). • Nghiệm của ptvp chứa hằng số C là nghiệm tổng quát, nghiệm chứa hằng số C0 cụ thể là nghiệm riêng và nghiệm khơng nhận được từ nghiệm tổng quát là nghiệm kỳ dị. VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp 21y y′ = − . VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong y = Cx2. 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 cĩ biến phân ly • Ptvp cĩ biến phân ly cĩ dạng: ( ) ( ) (1)f x dx g y dy+ . Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) ta được nghiệm tổng quát: ( ) ( )f x dx g y dy C+ =∫ ∫ . VD 4. Giải ptvp 2 2 01 1 xdx ydy x y + = + + . Chú ý Ptvp 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y dx f x g y dy+ = (1’) được đưa về dạng (1) như sau: + Nếu g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghiệm của (1). + Nếu f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghiệm của (1). + Nếu 1 2( ) 0, ( ) 0g y f x≠ ≠ thì: 1 2 2 1 ( ) ( )(1') 0( ) ( ) f x g ydx dyf x g y⇒ + = (dạng (1)). VD 5. Giải ptvp ( 2)y xy y′ = + . VD 6. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy+ + − − = . VD 7. Giải ptvp xy’ + y = y2 thỏa điều kiện đầu 1(1) 2 y = . 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 • Hàm hai biến f(x, y) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y). Chẳng hạn, các hàm ( , ) 2 3 x yf x y x y − = + , 2 ( , ) 2 3 x xyf x y x y − = + , f(x, y) = x2 + xy là đẳng cấp bậc 0, 1, 2 tương ứng. • Cho hàm f(x, y) đẳng cấp bậc 0 hay ( , ) yf x y x ϕ  =     . Khi đĩ, ptvp đẳng cấp cĩ dạng: ( , ) (2)y f x y′ = . Phương pháp giải • ðặt y u y u xu x ′ ′= ⇒ = + . • (2) ( ) ( ) du dx u xu u u u x ϕ ϕ ′⇒ + = ⇒ = − ( )( ) 0u u xϕ − ≠ ≠ (ptvp cĩ biến phân ly). VD 9. Giải ptvp 2 2x xy yy xy − + ′ = . VD 10. Giải ptvp x yy x y + ′ = − với điều kiện đầu y(1) = 0. 2.2.3. Phương trình vi phân tồn phần • Cho ptvp cĩ dạng: ( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy+ = với điều kiện / / x yQ P= trong miền phẳng D. Nếu tồn tại hàm u(x, y) sao cho du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) được gọi là ptvp tồn phần. • Nghiệm tổng quát của (3) là u(x, y) = C. Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta cĩ / x u P= (3a) và /yu Q= (3b). Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo x: ( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C yϕ= = +∫ (3c), với C(y) là hàm theo biến y. Bước 3. ðạo hàm (3c) theo y: / / ( )y yu C yϕ ′= + (3d). Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C(y), thay vào (3c) ta được u(x, y). VD 11. Cho phương trình vi phân: 2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy+ + + + + = (*). a) Chứng tỏ (*) là ptvp tồn phần. b) Giải ptvi (*). VD 12. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy+ − + + = . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 17 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 cĩ dạng: ( ) ( ) (4)y p x y q x′ + = . • Khi f(x) = 0 thì (4) được gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) Bước 1. Tìm biểu thức ( )( ) p x dxA x e−∫= . Bước 2. Tìm biểu thức ( )( ) ( ). p x dxB x q x e dx∫= ∫ . Bước 3. Nghiệm tổng quát là [ ]( ) ( )y A x B x C= + . Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng: ( )( ) p x dxy C x e−∫= . VD 13. Giải pt 2 0y x y′ − = thỏa điều kiện x = 3, y = – e9. VD 14. Giải pt sincos xy y x e−′ + = . VD 15. Giải pt 2( )y x y y′ + = . 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli cĩ dạng: ( ) ( ) (5)y p x y q x yα′ + = . • Khi α = 0 hoặc α = 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là phương trình cĩ biến phân ly. Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) + Với 0y ≠ , biến đổi: 1(5) ( ) ( ) ( ) ( )y yp x q x y y p x y q x y y α α α α − − ′ ′⇒ + = ⇒ + = . + ðặt 1 (1 )z y z y yα αα− −′ ′= ⇒ = − thì (5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q xα α′⇒ + − = − (pt tuyến tính cấp 1). Chú ý • Phương trình Bernoulli luơn cĩ nghiệm kỳ dị là y = 0. VD 16. Giải ptvp 2yy xy x ′ + = với điều kiện x = 1, y = 1. VD 17. Giải ptvp 3 22y xy x y′ − = . VD 18. Giải ptvp 3 sin 2dy dyx y y x dx dx + = . §3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 3.1. Các dạng phương trình cơ bản 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Dạng phương trình: ( ) (1)y f x′′ = . Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần. VD 1. Giải ptvp 2y x′′ = . VD 2. Giải ptvp 2xy e′′ = với 7 3(0) , (0) 4 2 y y′= − = . 3.1.2. Phương trình khuyết y • Dạng phương trình: ( , ) (2)y f x y′′ ′= . Phương pháp giải • ðặt z = y’ để đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. VD 3. Giải ptvp yy x x ′ ′′ = − . VD 4. Giải ptvp ( 1) 0 1 yy x x x ′ ′′ − − − = − với y(2) = 1 và y’(2) = –1. 3.1.3. Phương trình khuyết x • Dạng phương trình: ( , ) (3)y f y y′′ ′= . Phương pháp giải • ðặt . dz dz dy dz z y y z z dx dy dx dy ′ ′′ ′= ⇒ = = = = để đưa về pt biến số phân ly. VD 5. Giải ptvp ( )22 1yy y′′ ′= + . VD 6. Giải ptvp 2 (1 2 ) 0y y y′′ ′+ − = với 1(0) 0, (0) 2 y y′= = . 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 3.2.1. Phương trình thuần nhất • Dạng phương trình: 1 2 0 (4)y a y a y′′ ′+ + = (a1, a2 là các hằng số). Phương pháp giải • Xét phương trình đặc trưng của (4): 2 1 2 0k a k a+ + = (5). 1) Trường hợp 1: (5) cĩ hai nghiệm thực phân biệt k1, k2. Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng 1 21 2, k x k xy e y e= = và nghiệm tổng quát là 1 21 2 k x k xy C e C e= + . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 18 2) Trường hợp 2: (5) cĩ nghiệm kép thực k. Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng 1 2, kx kxy e y xe= = và nghiệm tổng quát là 1 2 kx kxy C e C xe= + . 3) Trường hợp 3: (5) cĩ hai nghiệm phức liên hợp k iα β= ± . Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng 1 2cos , sin x xy e x y e xα αβ β= = và nghiệm tổng quát: ( )1 2cos sinxy e C x C xα β β= + . VD 7. Giải ptvp 2 3 0y y y′′ ′+ − = . VD 8. Giải ptvp 6 9 0y y y′′ ′− + = . VD 9. Giải ptvp 2 7 0y y y′′ ′+ + = . 3.2.2. Phương trình khơng thuần nhất • Dạng phương trình: 1 2 ( ) (6)y a y a y f x′′ ′+ + = (a1, a2 là các hằng số). Phương pháp giải • Nếu (4) cĩ hai nghiệm riêng y1(x), y2(x) thì (6) cĩ nghiệm tổng quát là 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )y C x y x C x y x= + . • ðể tìm C1(x) và C2(x), ta giải hệ Wronsky: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C x y x C x y x C x y x C x y x f x ′ ′+ =  ′ ′ ′ ′+ = . VD 10. Giải ptvp 1 cos y y x ′′ + = . ðịnh lý • Nghiệm tổng quát của (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của (4) với 1 nghiệm riêng của (6). VD 11. Cho phương trình vi phân: 22 2 (2 ) xy y y x e′′ ′− + = + (*). a) Chứng tỏ (*) cĩ 1 nghiệm riêng là 2 xy x e= . b) Tìm nghiệm tổng quát của (*). VD 12. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp: 2sin 2 4cos 2y y x x′′ ′+ = + biết 1 nghiệm riêng là cos 2y x= − . ðịnh lý (nguyên lý chồng nghiệm) • Cho ptvp 1 2( ) ( ) ( ) ( ) (9)y p x y q x y f x f x′′ ′+ + = + . Giả sử y1(x) và y2(x) lần lượt là nghiệm riêng của 1( ) ( ) ( )y p x y q x y f x′′ ′+ + = , 2( ) ( ) ( )y p x y q x y f x′′ ′+ + = thì y(x) = y1(x) + y2(x) là nghiệm riêng của (9). VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp 22cosy y x′′ ′− = . Biết: 1y y′′ ′− = cĩ nghiệm riêng 1y x= − , cos 2y y x′′ ′− = cĩ nghiệm riêng 2 2 1 cos2 sin 2 10 10 y x x= − − . §4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 4.1. Khái niệm cơ bản • Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1 cĩ dạng: / 1 1 1 2 / 2 2 1 2 / 1 2 ( , , ,..., ) ( , , ,..., ) ................................. ( , , ,..., ) n n n n n y f x y y y y f x y y y y f x y y y  =  =    = , trong đĩ x là biến số độc lập và y1(x), y2(x),…, yn(x) là các hàm số cần tìm. • Bộ n hàm số 1 2( , , ,..., ), 1,i i ny x C C C i nϕ= = thỏa hệ ptvp là nghiệm. • Mọi ptvp cấp n dạng ( ) ( 1)( , , ,..., )n ny f x y y y −′= đều cĩ thể đưa về dạng hệ ptvp chuẩn tắc cấp 1 bằng cách đặt ( 1) 1 2, ,..., n n y y y y y y−′= = = . Khi đĩ, ta được hệ: / 1 2 / 2 3 / 1 / 1 2 .......... ( , , ,..., ) n n n n y y y y y y y f x y y y −  =  =    =  = . 4.2. Phương pháp giải a) Phương pháp khử đưa về phương trình vi phân cấp cao VD 1. Giải hệ phương trình: 5 4 5 y y z z y z ′ = +  ′ = + . VD 2. Giải hệ phương trình: y z z y ′ =  ′ = . b) Phương pháp ma trận • / / 1 11 1 12 2 1 11 / / 22 21 1 22 2 2 2 // 1 1 2 2 ... ... ..................................................... ... n n n n nnn n n nn n y a y a y a y yy yy a y a y a y y A yyy a y a y a y  = + + +          = + + +    ⇔ =          = + + +    , với ( )ijA a= . Giả sử phương trình đặc trưng det( ) 0A Iλ− = cĩ n nghiệm phân biệt , 1,i i nλ = . Với mỗi iλ cĩ vector riêng 1 2( , ,..., )i i nip p p . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A3DH Trang 19 Khi đĩ, hệ ptvp cĩ hệ nghiệm cơ bản là: 1 1 1 2 2 2 11 11 21 21 1 1 12 12 22 22 2 2 1 1 2 2 , ,..., , ,..., ................................................................ , ,..., n n n x x x n n x x x n n x x x n n n n nn nn y p e y p e y p e y p e y p e y p e y p e y p e y p e λ λ λ λ λ λ λ λ λ  = = =  = = =    = = = và nghiệm tổng quát là 1 1 11 2 12 1 2 1 21 2 22 2 1 1 2 2 ... ... ................................................. ... n n n n n n n n nn y C y C y C y y C y C y C y y C y C y C y = + + +  = + + +    = + + + . VD 3. Giải hệ phương trình: 2 4 3 y y z z y z ′ = +  ′ = + . ðặc biệt • Hệ ptvp cĩ dạng 11 22 / 11 1 11 11 / 22 2 22 22 / 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ...... ... 0 0 ... nn x x x nn n nn nn y yy C e y yy C e y yy C e λ λ λ λ λ λ                            = ⇔ =                               . VD 4. Giải hệ phương trình: 3 2 y y z z u u ′ = −  ′ =  ′ = . …………………………………..Hết…………………………………