Nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán mô hình hóa trạm điện - Nguyễn Khắc Điệp

Tài liệu Nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán mô hình hóa trạm điện - Nguyễn Khắc Điệp: Công nghệ thông tin N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được mô hình hóa trạm điện.” 112 NGHIÊN CỨU TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN MÔ HÌNH HÓA TRẠM ĐIỆN Nguyễn Khắc Điệp1*, Viktor Filimonovich Chystyakov2 Tóm tắt: Bài báo xem xét các hệ phương trình vi phân (PTVP) cải tiến đạo hàm riêng phụ thuộc vào một biến không gian. Giả thiết rằng, các ma trận dưới đạo hàm của hàm số véc tơ cần tìm đều suy biến trên tất cả miền xác định. Những hệ như vậy được gọi là hệ PTVP đại số đạo hàm riêng. Trong bài báo còn giới thiệu khái niệm về hệ chia tách. Từ hệ này ta có thể tìm ra cấu trúc nghiệm chung của PTVP đại số và xác định tính có nghiệm của bài toán biên ban đầu trong nhiều trường hợp. Và cuối cùng là giới thiệu mô hình mô tả trạm điện với thành phần cụ thể là bộ trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu, được viết bằng PTVP đại số đạo hàm riêng. Từ khóa: Phương trình vi phân đại số; Đạo hàm riêng; Hyperpo...

pdf12 trang | Chia sẻ: quangot475 | Ngày: 14/01/2021 | Lượt xem: 7 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán mô hình hóa trạm điện - Nguyễn Khắc Điệp, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Công nghệ thông tin N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được mô hình hóa trạm điện.” 112 NGHIÊN CỨU TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN MÔ HÌNH HÓA TRẠM ĐIỆN Nguyễn Khắc Điệp1*, Viktor Filimonovich Chystyakov2 Tóm tắt: Bài báo xem xét các hệ phương trình vi phân (PTVP) cải tiến đạo hàm riêng phụ thuộc vào một biến không gian. Giả thiết rằng, các ma trận dưới đạo hàm của hàm số véc tơ cần tìm đều suy biến trên tất cả miền xác định. Những hệ như vậy được gọi là hệ PTVP đại số đạo hàm riêng. Trong bài báo còn giới thiệu khái niệm về hệ chia tách. Từ hệ này ta có thể tìm ra cấu trúc nghiệm chung của PTVP đại số và xác định tính có nghiệm của bài toán biên ban đầu trong nhiều trường hợp. Và cuối cùng là giới thiệu mô hình mô tả trạm điện với thành phần cụ thể là bộ trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu, được viết bằng PTVP đại số đạo hàm riêng. Từ khóa: Phương trình vi phân đại số; Đạo hàm riêng; Hyperpolic; Hệ suy biến; Chỉ số; Mô hình hóa. 1. MỞ ĐẦU Xem xét hệ phương trình đạo hàm riêng (1) Trong đó, A(x,t,u), B(x,t,u), C(x,t,u) là các ma trận có kích thước ( n n ) , và lần lượt tương ứng là hàm véc tơ cần tìm và cho trước. Giả sử rằng, hệ (1) thỏa mãn det 0, det 0, det( ) 0 ( , ) , , ,U RnA B A B x t u          (2) trong đó λ- tham số vô hướng (trong trường hợp tổng quát là tham số phức). Trong bài báo cũng xem xét các điều kiện biên ban đầu ( , ) ( ), ( , ) ( ), ( , )0 0 ,Uu x t x u x t t x t    (3) trong đó, các hàm véc tơ cho trước ( ), ( )x t  là những hàm khả vi liên tục. Hệ phương trình dạng (1) thỏa mãn điều kiện (2) được gọi là hệ suy biến không thuộc dạng Cauchy–Kowalevski. Trong các tài liệu toán học quốc tế thường sử dụng thuật ngữ “PTVP đại số đạo hàm riêng” [4]. Ở các trường hợp đặc biệt, hệ phương trình dạng (1) có mối quan hệ lẫn nhau với các phương trình đạo hàm riêng, PTVP thường và phương trình đại số. Vào nửa sau của thế kỷ XX, các công trình nghiên cứu của Sergei Lvovich Sobolev [1] bắt đầu xuất hiện. Các nghiên cứu này đã chiếm một vị trí quan trọng trong lý thuyết PTVP, cho nên những hệ như vậy còn được gọi là hệ phương trình dạng Sobolev [2]. Hệ này có ý nghĩa lý thuyết và thực tiễn vô cùng to lớn. Hiện nay trong hầu hết các tài liệu chuyên sâu ( , , ) ( , , ) C( , , ) ( , ), u u A x t u B x t u x t u f x t t x        2 ( , ) = , [ , ], , ,0 1 0 1 U Rx t X T X x x T t t         ( , ), ( , )u u x t f x t  Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 113 đều đề cập đến vấn đề về tính giải được của bài toán biên ban đầu đối với hệ suy biến, tuy nhiên phần lớn là xem xét các trường hợp của hệ có ma trận là hằng số và vấn đề luận chứng cho các phương pháp giải số chưa được nghiên cứu chuyên sâu. Bên cạnh đó, việc tìm phương pháp giải số cho các hệ cụ thể không thuộc dạng Cauchy–Kowalevski sẽ có ý nghĩa thực tiễn vô cùng to lớn trong nhiều lĩnh vực như: thủy động lực học (phương trình Navier-Stokes), nhiệt lực học, kỹ thuật điện, v.v..(xem [1- 3, 9, 14]) . Trong hơn thập kỉ qua, việc áp dụng phương pháp nghiên cứu trong lý thuyết hệ PTVP thường với ma trận suy biến dưới đạo hàm bậc cao của hàm véc tơ cần tìm (gọi là PTVP đại số) trở nên phổ biến và ngày càng phát triển [5, 7, 11, 13]. Trong khuôn khổ bài báo này, nhóm nghiên cứu sẽ trình bày khái niệm về PTVP đại số đạo hàm riêng chia tách. Qua đó từ hệ này, giúp ta tìm ra cấu trúc nghiệm chung của PTVP đại số và xây dựng tính có nghiệm của bài toán biên ban đầu trong nhiều trường hợp. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu các mô hình trong kỹ thuật được biểu diễn dưới dạng PTVP đại số đạo hàm riêng, đó là mô hình của bộ trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu. Các kí hiệu, khái niệm, định nghĩa được sử dụng theo các tài liệu chuẩn chung từ các nhà nghiên cứu của Nga trong lĩnh vực PTVP [1, 6-15]. 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG CHIA TÁCH Dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm và khẳng định cần thiết cho các phần sau. Xem xét hệ 1 : A( , ) B( , ) ( , ), ( , ) ,Utx x t D u x t u f x t x t     (4) trong đó, A( , ), B( , ) ( )x t x t n n  - các ma trận, biến x được xem như là tham số. Định nghĩa 1. Toán tử 0 : ( , ) k j k j t j L x t D     có tính chất   1A( , ) B( , ) [B] ( ),C Ukk t t kx t D x t u D u u u         trong đó ( , ) ( )jL x t n n  - các ma trận từ ( )C U , gọi là toán tử chính quy trái của hệ (4), số k nhỏ nhất có thể được gọi là chỉ số của hệ (4). Bổ đề 1. Nếu như xác định được chỉ số k của hệ (4) thì xảy ra một trong 2 trường hợp sau: det A( , ) 0 ( , ) Ux t x t   khi 0k  hoặc det A( , ) 0, ( , ) Ux t x t  khi 0k  . Định lý 1. Giả sử: 1) trong hệ (4) thỏa A( , ),x t 2 1B( , ) ( ), ( );C U C Un kx t f  2) với hệ (4) tồn tại toán tử chính quy trái. Khi đó hệ có nghiệm với bất kì ( , )f x t và nghiệm tổng quát có thể được viết dưới dạng sau Công nghệ thông tin N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được mô hình hóa trạm điện.” 114 0 1 0 ( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) , t k j j t jt u V x t c x Wf x t Wf x t K x t s f x s ds C x t D f        (5) trong đó ( , )V x t  là ma trận có kích thước ( ( ))n d x , ( , , ), ( , )jK x t s C x t  các ma trận có kích thước ( )n n , 0, 1j k  , đều khả vi liên tục theo t , rank ( , ) ( )V x t d x t T   , ( )c x - hàm véc tơ bất kì. Định lí được xem như khẳng định đã được chứng minh trong [15] với trường hợp A( , )x t A( ), B( , ) B( ), ( , ) ( )t x t t f x t f t   . Xem xét lớp ( , , , )t xZ x t D D Z - các ma trận có kích thước ( )n n , chứa các phần tử là toán tử vi phân dạng ( , ) , , 1, ij ij t x m z x t D D i j n      . Giả thiết rằng, với mỗi ma trận thuộc Z tồn tại toán tử ma trận duy nhất ( , , , )t xZ x t D D Z  , có mối quan hệ với ma trận ban đầu như sau ( , , , ) ( , ) ( , ), ( , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ).C Ut x t xZ x t D D x t x t Z x t D D x t x t x t         Nếu như hệ số của các toán tử ijw là hằng số thì lớp Z tạo thành ma trận đơn modula ( , )t xZ D D , được xác định bởi điều kiện 0det ( , )t xZ D D w const  . Tiếp theo ta sẽ làm quen với một lớp, được chúng tôi gọi là chia tách. Giả sử hệ (1) tuyến tính: ( , , ) ( , ), ( , , ) ( , ), ( , , ) ( , )A u x t A x t B u x t B x t C u x t C x t   . Giả thiết rằng tồn tại các ma trận ( , , , ), ( , , , )t x t xP x t D D Q x t D D Z với tính chất sau ( [ ] [ ] )t tP AD Qz BD Qz CQz   Λ (D ,D ) Λ (D ,D ) Λ (D ,D ) Λ (D ,D fx x x xt t t t11 12 13 14 1 0 Λ (D ,D ) Λ (D ,D ) Λ (D ,D ) fx x xt t t22 23 24 2 z= f0 0 Λ (D ,D ) Λ (D ,D )x xt t 333 34 f0 0 0 Λ (D ,D )xt 444 ) ,                              (6) trong đó: , ( , , , ), ( , , , ),u Qz P P x t D D Q Q x t D Dx xt t     ( , )1 2 3 4f f f f Pf x t     ( , ) ( , , , ) , , 1, 4,D D x t D D A D B D C i jx x xt t tij ij ij ij ij       ( , ), ( , ), ( , ),ij ij ij ij ij ijA A x t B B x t C C x t   với các khối chéo vuông có kích thước lần lượt tương ứng là 1 2 3 4, , ,n n n n , 1 2 3 4n n n n n    . Giả sử rằng, hệ (6) thỏa mãn điều kiện sau: Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 115 - ( , ) ;44 D D Zxt  (7) − với các toán tử 33 33 33 22 22 22: , : ,t xA D C B D C      (8) được xác định là toán tử chính quy trái theo định nghĩa 1 tương ứng theo tD và xD ; − tồn tại ma trận không suy biến khả vi liên tục ( , )R R x t trong miền U có tính chất sau 11 1 1 11 11 1 2( ) diag{ ( , ), ( , ), , ( , )}, ( , ) .Rn j R A B R x t x t x t x t         (9) Theo (7) ta có, 4 44 4( , ) .t xz D D f   Tiếp theo, xem xét hệ con 33 3 3( , ) ,t xD D z f   (10) trong đó 3 3 34 4( , ) .t xf f D D z    Biến đổi (10) thành dạng 33 33 3 3 3 33 3( ) ,t xA D C z f B D z     (11) và vì có sự tồn tại của toán tử chính quy trái đối với các toán tử (8) nên theo (5) nghiệm của hệ (10) thỏa mãn 3 0 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3, 3( , ) ( ) , ( , , ) ( , ) ( , ), t k j j t j ot z V x t c x W W K x t s t s ds C D x t          (12) trong đó ( , )V x t là ma trận có kích thước 3 3( )n d , 3 ( )c x - hàm véc tơ tùy úy, các ma trận 3 3,( , , ), jK x t s C có kích thước 3 3( )n n từ định lý 1. Sử dụng (12), thực hiện quá trình lặp 3, 1 3 3, 3 3,0 3 3 3 3 33 3 3 3 3, , , ( , ) ( )j j xz z z z W B D z f V x t c x              (13) Và giả thiết rằng, toán tử 3 lũy linh: bắt đầu với 3 3n  , suy ra 3 3 0   . 1 1 3 3( , ) ( ) [ ( , ) ( )] ... [ ( , ) ( )] ... .3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3z V x t c x V x t c x V x t c x f f f              (14) Với hệ con 22 2 2( , ) ,t xD D z f   (15) trong đó 2 2 23 3 24 4( , ) ( , )t x t xf f D D z D D z      , ta cũng có thể lập luận tương tự. Cụ thể, viết (15) dưới dạng 22 22 2 2 2 22 2( ) ,x tB D C z f A D z     và xây dựng toán tử tương ứng 2 . Sau đó thực hiện quá trình lặp, ở bước cuối cùng ta được 2 21 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , ) ( ) [ ( , ) ( )] ... [ ( , ) ( )] ... ,z V x t c t V x t c t V x t c t f f f             (16) Công nghệ thông tin N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được mô hình hóa trạm điện.” 116 trong đó 2 2 .n  Với hệ con 11 1 1( , ) ,t xD D z f   (17) trong đó 11 1 12 2 13 3 14 44 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )t x t x t x t xf f D D z D D z D D D D f         , theo điều kiện (9) được gọi là hyperbolic và có họ nghiệm trong miền U [10]. Điều kiện (7) được đảm bảo và các toán tử 2 3,  lũy linh nếu như hệ con của ma trận có dạng 44 1 2 3 33 4 5 6 22 7 8 9 ( , ) , ( , ) , ( , ) , t x t x t x t x t x t x D D N D N D N D D N D N D N D D N D N D N             (18) trong đó, , 1, 2,...,9jN j   ma trận tam giác trên và 1 2 5 7, , ,N N N N có các phần tử trên đường chéo bằng 0, 3 4 6 8 9det 0, det 0, det 0, det 0, det 0 ( , ) .UN N N N N x t       Trong phương án rút gọn (18) có thể dễ dàng nhận thấy rằng, toán tử 0 1 1 3 3 5 3 5 4 5( , ) ( , ) ( , ) , t x t z x t x s N D z x s ds N N N         (19) là toán tử lũy linh. Trong đó, ( , )x t  matrizant của hệ 14 6[ ] ,tD v N N v   là ma trận tam giác trên. Đối với toán tử 3 , ta cũng thu được 4 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 2... , , [ ].t xz f f f n N N D N D              (21) 3. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU Giả sử trong hệ (1) có các ma trận , ,A B C  là ma trận hằng số. Định nghĩa 2. Biểu thức A B C   sẽ được gọi là chùm ma trận, trong đó ,  là tham số vô hướng, , ,A B C  là các ma trận vuông. Dưới đây ta cần đưa ra một số khẳng định. Bổ đề 2. [8] Nếu như trong hệ (5) các ma trận không phụ thuộc vào t : A( , ) A( ), B( , ) B( )x t x x t x  thì điều kiện cần và đủ để tồn tại toán tử chính quy trái khi cố định x X là hệ thức sau phải được thỏa mãn det[ A( ) B( )] 00 x x x X     đối với 0 . Hơn nữa, trong công thức (6) ( ) deg det[ A( ) B( )]d x x x  , trong đó deg  chỉ bậc của đa thức, 1 1( ) min{ : rank ( ) rank ( ), 1,2, , }, ( ) [ A( ) B( )] A( ).0 j j k x j C x C x j n C x x x x       Bổ đề 3. Giả sử chùm ma trận A B C   , xuất phát từ hệ (1), chính quy (regular) và 0 0( , ) ( , ), t x f x t e x t     trong đó ( , )x t là véc tơ đa thức tùy úy phụ thuộc vào x,t. Khi đó hệ (1) có nghiệm trong miền xác định U dưới dạng 0 0( , ) ( , )1 t x u x t e x t     , trong đó ( , ),1 x t cũng là véc tơ đa thức cùng bậc. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 117 Tính định thức của toán tử ma trận det ( , ) det( )D D AD BD Cx xt t    và phần bù đại số ( , ) ( , ) ,, 1 nM D D q D Dx xt tij i j ‖ ‖ trong đó ( , )ij x tq D D  là một vài đa thức của các toán tử ,x tD D . Giả sử rằng, trong hệ (1) 0 0( , ) ( , )t xf x t e x t   . Khi đó hệ này có nghiệm và đẳng thức sau thỏa mãn ( , )( ) det ( , ) ( , ) .t x t x t x n t xM D D AD BD C u D D E u M D D f     (20) Hệ (20) trở thành tổ hợp của n phương trình vô hướng det ( , ) ( , ) 1 n D D u q D D fx xt ti ij ij     , 1, 2, ..., ,i n trong đó 1 2 1 2( , ,..., ) , ( , ,..., ) ,n nu u u u f f f f      kí hiệu của chuyển vị. Ta chia ra thành các trường hợp: а) giả sử 0det ( , ) 0t xD D a const    . Khi đó nghiệm của hệ (20) là duy nhất: 10 1 ( , ) , 1, 2,..., ; n i ij x t i j u q D D f i n a     b) giả sử 11 0det ( , ) ... , 1 . l l t x l t l tD D a D a D a l n         Khi đó nghiệm của hệ (20) được viết dưới dạng sau 0 1, 1 2, 2 , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , t n i i i l i l ij x t i jt u c x q t c x q t c x q t K t s q D D f x s ds              (21) trong đó 1, 2, ,( ), ( ),..., ( )i i l ic x c x c x  hàm khả vi liên tục bất kì trong miền xác định, 1 ( ),q t 2 ( ),q t ..., ( )lq t  các tựa đa thức số mũ, bằng nghiệm của đa thức 1 1 0... , ( , ) l l l la a a K t s      - nhân của toán tử tích phân Volterra có đường chéo chứa các phần tử không, t s tùy úy theo t , tính đến bậc 1l  [12]; c) giả sử 11 0det ( , ) ... ,1 . k k t x k x k xD D b D b D b k n         Khi đó nghiệm của hệ (20) được viết dưới dạng sau 0 1, 1 2, 2 , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , x n i i i k i k ij x t i jx u c t q x c t q x c t q x K x s q D D f s t ds               (22) trong đó, 1, 2, ,( ), ( ),..., ( )i i k ic t c t c t hàm khả vi liên tục bất kì trong miền xác định , 1 ( ),q x 2 ( ),q x ..., ( )kq x - các tựa đa thức số mũ, bằng nghiệm của đa thức 1 1 0... , ( , ) k k k kb b b K t s        nhân của toán tử tích phân Volterra có đường chéo chứa các phần tử không x s bất kì theo x , tính đến bậc 1k  ; d) giả sử 1 1 det ( , ) ... , 0, 0,,0 1, ,00 0 nj n jj j D D D D D Dx x x n nt t tn jj nj j                  và nghiệm của đa thức det( )A B  là số thực và khác nhau. Khi đó hệ trở thành Công nghệ thông tin N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được mô hình hóa trạm điện.” 118 hyperpolic [10]. Thật vậy, trong trường hợp này 0, ,det ,detn n nA B   và tất cả nghiệm của đa thức khác không. Tuy nhiên, tập nghiệm của hệ (1) với các ma trận là hằng số và (22) lại không trùng nhau. Ví dụ 1. Giả sử cho hệ sau diag{1, 0} 0.D u ut   Tập nghiệm của hệ (1) có dạng ( ( ) 0)tu c x e  , còn tập nghiệm của hệ (22) được biểu diễn theo công thức 1( ( ) ( ) ) t tu c x e c x e   , trong đó 1( ), ( )c x c x  hàm vi phân liên tục tùy ý. Về vấn đề này, để có thể mô tả được đầy đủ tập nghiệm của hệ (1) với các ma trận hằng số thì cần bổ sung thêm một số điều kiện ban đầu. Để giải quyết điều đó, ta cần đưa vào một vài khái niệm. Giả sử rằng, chùm ma trận A B C   chính quy và tồn tại ma trận đơn modula ( , ), ( , )t x t xP D D Q D D , đưa hệ (1) với các ma trận hằng số về dạng (7), trong đó 44 0det ( , ) , t xD D a const   (23) 1 33 1 0 3det ( , ) ... ,1 , l l t x l t l tD D a D a D a l n         (24) 1 22 1 0 2det ( , ) ... , , 1 k k t x k x k xD D b D b D b k n         (25) 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1, , ,0 , 0 0 det ( , ) ... , 0, 0, n n jj j j t x j x t n j x t n n n j j D D D D D D               (26) và nghiệm của đa thức 11 11det( )A B  là số thực và khác nhau. Theo giả thiết đưa ra, chùm ma trận , 1, 2,3, 4ii ii iiA B C i    chính quy. Cho nên có thể xem ma trận iiC không suy biến mà không ảnh hưởng đến tính thống nhất. Nghiệm của hệ con 44 4 4( , )t xD D z f  thuộc hệ (7) khi thỏa mãn điều kiện (25) là duy nhất và có dạng 4 11 4 44 4 4 4 4 4 4 4 4( , ) , ... ,t xz D D f f f f n          (27) Trong đó, 14 44 44 44[ ]t xC A D B D    . Xem xét hệ con 33 3 3( , )t xD D z f  từ (7). Biến đổi chúng thành dạng (12) và nhờ tính chính quy của chùm ma trận 33 33A C  nên theo bổ đề 2 nghiệm của nó thỏa mãn (13). Quá trình lặp (14) kết thúc, bởi vì theo công thức (23), (26) cấp của đạo hàm theo x của ( , )f x t trong công thức của nghiệm không vượt quá n . Do đó, nghiệm của hệ con sẽ được biểu diễn ở dạng biểu thức (15). Với hệ con 22 2 2( , ) ,t xD D z f   trong việc sử dụng (24), (27) có thể đưa ra những lập luận tương tự. Nếu như tồn tại sự biến đổi tương tự Z , đưa đồng thời các ma trận 1 111 11 11 11,B A B C A C    thành dạng tam giác trên, thì họ nghiệm của hệ con Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 119 11 1 1( , )t xD D z f   có thể biểu diễn một cách rõ ràng trong điều kiện 1f  khả vi liên tục. Thật vậy, sau khi biến đổi tương tự hệ phương trình cuối cùng 1 1 1 1 1( ) ( ) ( , ),t xD v ZBZ D v ZCZ v Zf x t z Z v       (28) sẽ có dạng ( , ),t xD w bD w cw g x t   trong đó ,b c  là những phần tử trong ma trận của hệ, , ( , )w g x t  thành phần sau cùng của hàm véc tơ 1, ( , )v Zf x t  . Công thức sau được thừa nhận là đúng ( ) 0 ( , ) ( ,0) ( ( ), ) , t ct c t sw x t e x bt e g x b t s s ds       (29) trong đó ( , )x t  hàm tùy ý. Thay (26) vào (25) ta giảm kích thước của hệ xuống 1 đơn vị. Thực hiện tương tự sau 1j n bước ( 1j n ) ta xây dựng được nghiệm chung của hệ (29), và suy ra 11 1 1( , )t xD D z f   . Hướng thứ hai để giải quyết vấn đề về tính giải được của hệ con 11 1 11 1 11 1 1t xA D z B D z C z f    là dựa trên giả thiết rằng, nghiệm của đa thức 11 11det( )A B  là số thực và là nghiệm đơn [10]. Khi đó biến đổi tương tự hệ sẽ có dạng 11 1 2 ( , ), diag{ , , , }.t x nD v DD v Cv Zf x t D         Xuất hiện câu hỏi về điều kiện để rút gọn từ hệ (1) sang hệ (7) Bổ đề 4. Để rút gọn từ hệ (1) với các ma trận là hằng số sang hệ (7) thì điều kiện cần là đa thức đặc trưng của hệ (1) phải thỏa mãn 1 1 0 1 1 0 1 0det( ) ( ... )( ... ) l l l k k l l k kA B C a a a a a b b b                    1 1 1 1 1 1 1 1 0 1, , ,0 , 0 0 ( ... ), 0, 0. n n jj j j j n j n n n j j                   Điều kiện đủ đơn giản nhất là 0C  . Trong trường hợp này sẽ tồn tại ma trận hằng P,Q với tính chất 32 1 3 25 7 5 7 ( ) diag{ , , } diag{ , , }, 0, 0,nnn n nP A B Q E N E J E N N N        trong đó 1 2 3.n n n n   Trường hợp này có thể tham khảo trong [11]. Câu hỏi về tính giải được của bài toán (1), (3) đối với hệ có ma trận là hằng số bằng giả thiết Q là ma trận biến đổi hằng số. Hiện tại vẫn chưa giải quyết được làm sao để biến đổi các điều kiện biên ban đầu khi thay biến ( , )t xu Q D D z trong trường hợp chung. Nếu như thừa nhận điều kiện giả thiết về hằng số, thì có thể biểu diễn    1 10 1 2 3 4 0 1 2 3 4( , ) ( ) ., ( , ) ( )z x t Q t z x t Q x                        (30) Công nghệ thông tin N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được mô hình hóa trạm điện.” 120 Theo các công thức (29), (15), (17), ta xây dựng điều kiện cho tính giải được qua định lí dưới đây. Định lí 2. Giả sử:1) chùm ma trận với các ma trận là hằng số A B C   là chính qui và tồn tại ma trận đơn modula ( , )t xP D D và ma trận hằng số không suy biến Q chuyển hệ (1) thành dạng (7);. 2) 2 1 2 1 2 1( , ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )C C Cn n nf x t U t T x X       , trong đó  bậc cao nhất của toán tử vi phân trong ma trận ( , )t xP D D ; 3) sẽ tìm được hàm véc tơ 2 3( ), ( )c t c x sao cho đối với điều kiện biên ban đầu từ công thức (32) thỏa mãn điều kiện sau: 3 3 0 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 |( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ... } ,t tx V t c x V t c x V t c x f f f                3 2 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 |( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ... } ;x xt V x c t V t c t V t c t f f f                4) các hệ thức sau được thỏa mãn 3 3 0 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 |( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ... } ,x xt V t c x V t c x V t c x f f f                3 2 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 |( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ... } ;t tx V x c t V t c t V t c t f f f                4 0 1 4 4 4 4 4 4 4 4 |( ) { ... , } ,t tt f f f n        4 0 1 4 4 4 4 4 4 4 4 |( ) { ... , } ,x xx f f f n        5) hàm véc tơ 1 1( ), ( )t x  thỏa mãn tại điểm 0 0( , )x t , đặc biệt, 1 0 1 0( ) ( )t x  và tất cả nghiệm của đa thức 11 11det( )A B  là nghiệm đơn và số thực, trong đó ở công thức (9) tất cả 0j  ; Khi đó trong miền U xác định được ít nhất một nghiệm của hệ (1), (3). Để xây dựng các điều kiện đảm bảo tính duy nhất của nghiệm ta cần bổ sung thêm yêu cầu cho các điều kiện ban đầu của bài toán. Bổ đề 5. Giả sử các điều kiện của định lí 1 được thỏa mãn và ma trận con ở phần bên phải của đẳng thức (7) có dạng (19). Khi đó bài toán (1), (3) có nghiệm duy nhất trong miền U . 4. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BỘ TRAO ĐỔI NHIỆT BỨC XẠ, ĐỐI LƯU Vấn đề điều khiển các trạm nhiệt điện là một trong những vấn đề nóng hổi nhất hiện nay. Để giải quyết vấn đề này, cần phải tạo ra các mô hình toán học của các trạm nhiệt điện. Trong công trình nghiên cứu [6] đã trình bày mô hình tổ hợp của trạm nhiệt điện. Các quá trình trao đổi nhiệt trong mô hình này được viết bằng PTVP thường. Các tính toán trong mô hình này cũng đã chỉ ra rằng, một số chế độ của tổ hợp hoạt động không đúng với yêu cầu thực tế, bởi các phương pháp áp dụng mô hình hóa bộ trao đổi nhiệt đã gây ra những sai sót đó. Nhưng do các yêu cầu cần mô hình hoạt động trong thời gian thực cũng như những kỹ thuật tính toán Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 121 lúc đó chưa phát triển nên người ta phải lựa chọn giải pháp như vậy. Còn hiện nay một trong những mô hình thích hợp nhất là mô hình dựa trên các PTVP đại số đạo hàm riêng dạng (1). Dưới đây sẽ trình bày mô hình mô tả bộ trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu được viết bằng PTVP đại số đạo hàm riêng: nước chảy trong ống được đun bằng khí nóng. Theo định luật bảo toàn, ta thu được các phương trình sau: 1) phương trình năng lượng đối với nước  ( , ) ) 0;n nn n n n n n n I I f G F t I p x             (31) 2) phương trình cân bằng với thành ngăn cách [ ( , ) )] ( , ) 0; g k k n n n g g luch g I M c F t I p F Q x c                      (32) 3) phương trình năng lượng cho dòng khí 0; g g g g g g g g g I I I f G F x c                    (33) 4) phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa tiêu hao áp suất và cân bằng năng lượng ( , , ) 0;n nI p G  (34) 5) mối tương quan khép kín xác định điều kiện truyền nhiệt và phương trình trạng thái. Trong đó   thời gian; x  chiều dài thiết bị; *I  entanpi của các dòng;   ** , , ;n g k t  nhiệt độ của các dòng (nước, khí, kim loại); ;   nhiệt độ của thành; *  mật độ; *G  khối lượng lưu lượng; *M  khối lượng; *F  bề mặt đun nóng; *c  nhiệt dung;   hệ số tỏa nhiệt; p  áp lực, luchQ  nhiệt bức xạ. Các đại lượng cần tìm là , , , , .n g nI I p G Các kết quả tính toán cho thấy có sự cải thiện đáng kể về kết quả mô phỏng với việc sử dụng hệ có tham số phân bố có dạng (31)- (34). 5. KẾT LUẬN Trong bài báo này tác giả đưa ra các điều kiện về tính giải được của bài toán biên ban đầu dạng (1), (3). Các kết quả thu được làm tiền đề cho việc nghiên cứu hệ gần tuyến tính và xây dựng phương pháp giải nghiệm số hiệu quả nhất cho bài toán (1), (3). Từ đó tạo cơ sở đúng đắn cho việc áp dụng vào các bài toán mô hình hóa sử dụng PTVP đại số đạo hàm riêng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật . Công nghệ thông tin N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được mô hình hóa trạm điện.” 122 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. C.Л.Соболев, «Об одной новой задаче математической физики», Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 18, pp. 3-50, 1954. [2]. G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov, Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators, Utrecht-Boston: VSP, 2003. [3]. M. Gunther, P. Rentrop, PDAE-Netzwerkmodelle in der elektrischen schaltungssimulation, Preprint 99/3. Universitet Karlsruhe, IWRMMM, 1999. [4]. S. M. Wade, I.B. Paul, "A differentiation index for partial differential- algebraic equations", SIAM J. Sci. Comp., vol. 21, no. 6, pp. 2295-2316, 2000. [5]. S.L. Campbell, W. Marzalek, "The Index of Infinite Dimensional Implicit System", Mathematical and Computer Modelling of System, vol. 5, no. 1, pp. 18-42, 1999. [6]. А.А. Логинов, Э.А. Таиров, В.Ф.Чистяков, «Алгебро - дифференциальная система математической модели энергоблока ТЭС», ИСЭМ СО РАН, pp. 119-122, 1998. [7]. Ю. Бояринцев, "Применение обобщенных обратных матриц к решению и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка", СЭИ СО АН СССР, pp. 123-141, 1984. [8]. В.Ф. Чистяков, М. Пешич, "О непрерывной зависимости решений линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений от параметра", Дифференциальные уравнения, vol. 45, no. 3, pp. 363-372, 2009. [9]. Г.В. Демиденко, С.В. Успенский, Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной, Новосибирск: Науч.кн., 1998. [10]. И.Г.Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Москва, Ленинград: Государственное издательство технико- теоретической литературы, 1950. [11]. О.В. Бормотова, В.Ф. Чистяков, "О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской", Журн. вычислит. математики и мат. физики, vol. Т.44, no. 8, pp. 1380-1387, 2004. [12]. И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М: Наука, 1961. [13]. С.В. Гайдомак, В.Ф. Чистяков, "О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,k)", Вычислительные технологии, vol. 10, no. 2, pp. 45-59, 2005. [14]. Э.А. Таиров, В.В. Запов, "Интегральная модель нелинейной динамики Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 123 парогенерирующего канала на основе аналитических решений", ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, vol. 3, pp. 14-20, 1991. [15]. Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков, Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования, Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. ABSTRACT STUDY OF SOLVABILITY OF PARTIAL DIFFERENTIAL ALGEBRAIC EQUATIONS AND APPLYING IT FOR MODELING PROBLEM OF POWER STATION This paper considers evolutionary system of partial differential equations depending on a space variable. The matrices multiplying the derivatives of the sought vector function are assumed to be singular. Such systems are commonly called partial algebraic differential equations. In this paper, we introduce a notion of split systems. From this system, we can investigate the structure of general solutions of differential algebraic equations and, in some cases, we can establish solvability of initial-boundary value problems. Keywords: Differential-algebraic equations; Partial derivative; Hyperbolic; Singular system, Index; Modeling. Nhận bài ngày 27 tháng 6 năm 2018 Hoàn thiện ngày 27 tháng 9 năm 2018 Chấp nhận đăng ngày 05 tháng 11 năm 2018 Địa chỉ: 1 Viện CNTT/ Viện KH-CN QS; 2 Viện nghiên cứu động lực học và lí thuyết tự động / Viện Hàn lâm KH Nga. * Email: diep62@mail.ru.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdf12_diep_8414_2150531.pdf
Tài liệu liên quan