Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian Metric - Hoàng Tùng Lâm

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 14 - 21 14 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC Hoàng Tùng Lâm, Hoàng Việt Anh, Nguyễn Bích Ngọc, Đinh Thị Thu Uyên2 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Bài báo này trình bày ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric giải một lớp các bài toán tìm điều kiện cho số hạng đầu đối với dãy truy hồi để dãy số đã cho hội tụ. Ngoài ra, nhóm tác giả nghiên cứu và đánh giá sai số giữa dãy lặp dạng 1 ( ) n n u f u   với giới hạn của nó. Từ khóa: Ánh xạ co, dãy lặp, điểm bất động, không gian metric, sai số, xấp xỉ. 1. Mở đầu Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong các ngành khoa học khác. Điển hình như trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của trình vi phân, tích phân,... Mặt khác, trong nhiều vấn đề của giải tích, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy số nói chung là một trong những vấn đề đáng quan tâm, đặc biệt là câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một dãy được cho bởi công thức truy hồi. Như đã biết, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy truy hồi có nhiều phương pháp khác nhau. Bài báo này tập trung vào nghiên cứu sự tồn tại giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi dựa vào nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric đầy. Một tính chất hữu ích đó là đối với một ánh xạ co trong không gian metric đầy, có thể tìm được (thông qua giới hạn của dãy lặp) điểm bất động của ánh xạ đã cho. Ngoài ra, nhiều trường hợp gặp khó khăn trong việc tìm giới hạn của dãy số (mặc dù ta biết dãy đã hội tụ), điều này đặt ra vấn đề nghiên cứu tốc độ hội tụ cũng như sai số đối với điểm bất động của dãy lặp đã cho. Phần cuối của bài báo, đền cập đến việc nghiên cứu vấn đề nói trên. 2. Định lý Banach về điểm bất động trong không gian metric Một số khái niệm cần thiết và Định lý Banach về ánh xạ co trong không gian metric ([1], [2]). Định nghĩa 2.1. Cho f là ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào chính nó. Khi đó ta gọi: (i) f là ánh xạ co trên X nếu tồn tại số  0,1k sao cho:       , , , , ,x y X d f x f y kd x y   hằng số k nói trên được gọi là hệ số co. (ii) f là ánh xạ không giãn trên X nếu: 2 Ngày nhận bài: 7/2/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 8/5/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Hoàng Việt Anh, e - mail: hoangvietanh2000@gmail.com 15       , , , ,x y X d f x f y d x y   (iii) f là ánh xạ co yếu trên X nếu       , , , , ,x y X x y d f x f y d x y    (iv) 0x X là điểm bất động của ánh xạ f nếu  0 0.f x x Từ đó đưa ra định lý của Stefan Banach về điểm bất động trong không gian metric. Định lý 2.2. (Banach) Mọi ánh xạ co từ một không gian metric đầy X vào chính nó có duy nhất một điểm bất động. Hơn nữa, với mọi 0x X dãy lặp   0n nf x  hội tụ tới điểm bất động duy nhất của f. Chứng minh. Tham khảo [1]. Nhận xét 2.3. (i) Từ Định lý 2.2, bài toán ngược được đưa ra như sau. Giả sử đã biết điểm bất động *x của f. Hãy tìm một dãy xấp xỉ cho *x , từ đó đánh giá sai số của dãy xấp xỉ đã xây dựng so với *x . (ii) Tiếp tục theo Định lý 2.2, với mọi 0 ,x X dãy lặp   0n nf x  hội tụ tới điểm bất động duy nhất *x X của .f Đánh giá tốc độ hội tụ về *x của dãy lặp nói trên. Thêm nữa, với sai số cho trước, hãy ước lượng n bé nhất có thể hay không? (iii) Trường hợp f là ánh xạ co yếu, có thể thấy Định lý 2.2 không đúng, xét ánh xạ:       : 1, 1, 1 f x f x x x      Rõ ràng  1,X   là không gian đầy và:            1 1 , | | | | 1 | ||1 | | | , ., ,, d f x f y f x f y x y x y x y xy x y d x y x yy X x              Tuy nhiên   , ,f x x x X   chứng tỏ f không có điểm bất động trên .X Như vậy nếu f là ánh xạ co yếu trên không gian metric (thậm chí là đầy) X nói chung thì f có thể không tồn tại điểm bất động trong X. Tuy nhiên, khi X là không gian metric compact thì mọi ánh xạ co yếu trong X đều có điểm bất động duy nhất (Định lý 1.2 trong [3]). Ngoài ra, trong các bài toán được trình bày dưới đây, chỉ xét minh họa không gian với metric thông thường. Đồng thời như đã biết, mỗi tập con đóng và bị chặn X  đều là không gian metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên . 16 (iv) Trong Định lý 2.2, ánh xạ f được giả thiết là ánh xạ co. Tuy nhiên, có thể thấy (ví dụ Hệ quả 1.5 trong [4]) nếu mf f f f  (với m lần tích hợp thành) là ánh xạ co trên không gian metric đầy X, với m 1 nào đó thì f cũng có điểm bất động duy nhất *.x Hơn nữa, với mọi a X thì  nf a hội tụ về *.x Như vậy giả thiết f là ánh xạ co chỉ là điều kiện đủ để f có điểm bất động. 3. Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co xây dựng một số dãy xấp xỉ 3.1. Tìm điều kiện để dãy số có giới hạn Xét bài toán (thuộc đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2016 môn Giải tích) sau đây (xem [6]): Bài toán 1. Cho *{ }n nu  là dãy số xác định bởi các điều kiện   2 1 1, 2016 , 1n n nu a u u u n      Hãy tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy   *n nu  hội tụ. Từ đó tìm giới hạn của dãy đã cho khi nó hội tụ. Trong bài báo này, chúng ta sẽ tìm một hướng giải khác cho bài toán trên bằng cách dựa trực tiếp vào nguyên lý ánh xạ co nói trên. Cụ thể như sau: Đặt     2 2016 ,f x x x x    thì dãy đã cho là một dãy lặp xác định bởi  1 ( , 1n nu u n    Tìm một tập X mà trên đó f là ánh xạ co sao cho X là không gian metric đầy của . Thật vậy, nếu dãy đã cho hội tụ thì rõ ràng nó là dãy tăng và có giới hạn là 2016. Khi đó nếu 2016,a  từ công thức quy nạp, dãy đã cho không hội tụ. Hơn nữa cũng có thể thấy nếu 2015a  thì khi đó   2016f a  và tương tự như trên dãy cũng không hội tụ. Như vậy, nếu dãy   *n nu  hội tụ thì  2015, 2016 .a Ngược lại, giả sử  2015, 2016 ,a thì sẽ chứng minh trong trường hợp này f là ánh xạ co yếu trên không gian metric đầy [2015,2016].X  Như vậy, sẽ có:         , 1 2.2016 , , , . d f x f y f x f y x y x y x y x y X x y             Trong trường hợp này f là ánh xạ co yếu, tuy nhiên do  2015,2016X  là không gian metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên , theo Nhận xét 2.3 (iii), tồn tại duy nhất một điểm bất động của f trên  2015,2016 .X  Đồng thời theo Định lý 2.2, với 17 mọi  2015, 2016 ,a X  dãy    1 , 1 n n nu f u f a n     đều hội tụ tới điểm bất động của .f Dễ thấy do  2016 2016f  nên 2016 là điểm bất động duy nhất của .f Vậy điều kiện cần và đủ để dãy đã cho hội tụ là  2015, 2016 .a Hơn nữa, khi đó dãy đã cho hội tụ tới 2016 với mọi  2015, 2016 .a Bài toán 2. Cho   *n nu  là dãy số xác định bởi các điều kiện: 1u a , 2 1 .n n nu u u   Tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy đã cho hội tụ. Từ đó tìm giới hạn của dãy   *n nu  . Đặt    2f x x x x   thì dãy đã cho là dãy lặp xác định bởi    1 1 .n nu f u n   Tìm tập X  mà trên đó f là một ánh xạ co và X là không gian metric đầy của . Thật vậy: Do dãy đã cho giảm nên nếu dãy hội tụ thì rõ ràng giới hạn của nó phải là 0. Nếu 0 1a a   thì dãy đã cho không hội tụ. Thật vậy, từ bảng biến thiên của f trên , nếu 0a  thì   0f a  và do dãy giảm nên không thể hội tụ về 0. Trường hợp 1a  thì 2 1 0,u a a   khi đó theo trường hợp trên dãy đã cho không thể hội tụ. Vậy nếu dãy hội tụ thì  0;1 .a Chứng minh f là ánh xạ co yếu trên không gian metric compact  0;1X  với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên . Như vậy, sẽ có:        2 2, 1 ( ) , , , , d f x f y x x y y x y x y x y d x y x y X x y               Từ đây tiếp tục theo Nhận xét 2.3 (iii), tồn tại duy nhất một điểm bất động của f trên  0;1 .X  Như vậy điều kiện cần và đủ để dãy đã cho hội tụ là [0,1].a Với phương pháp nêu trên, bạn đọc có thể tìm lời giải cho lớp các bài toán tương tự sau đây: Hãy xác định giá trị của 1u a để dãy cho bởi các trường hợp sau hội tụ: 1. Với  1 ln 1 , 1.n nu u n     2. Với 2 1 3 3 1, 1.n n nu u u n      3. Với 1 cos , 1.n nu x n    4. Với 1 sin , 1.n nu x n    5. Với 1 , 1. une nu e n      18 Như vậy bằng ngôn ngữ của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric đầy, có thể xây dựng nhiều dạng bài tập cũng như phương pháp giải các bài tập này một cách ngắn gọn và độc đáo. 3.2. Xây dựng một số dãy xấp xỉ Giả sử  là một hàm khả vi sao cho ' 0  trên tập .X  Khi đó xét hàm số:       , ' x f x x x     trên tập xác định nói trên. Rõ ràng 0x X là nghiệm của phương trình   0x  khi và chỉ khi 0x là điểm bất động của f. Như vậy nếu f là ánh xạ co trên không gian metric đầy X thì theo Định lý 2.2, với mọi 0x X sẽ có dãy lặp  0 , 1 nf x n  hội tụ tới điểm bất động *x của f, đồng nghĩa với dãy lặp nói trên hội tụ tới nghiệm *x của   0.x  Như vậy, nếu chưa biết nghiệm *x của   0x  thì có thể xấp xỉ *x bởi dãy lặp theo .f Ngược lại, nếu đã biết nghiệm *x thì có thể xây dựng được một dãy để sao cho dãy hội tụ tới *x đã biết, từ đó có thể đánh giá sai số cũng như tốc độ hội tụ về *x của dãy đã xét. Xét ví dụ minh họa đơn giản sau đây: Bài toán 3. Xét   2 1.x x x    Khi đó   0x  có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử nghiệm dương của  x là *.x Xây dựng một dãy xấp xỉ cho *.x Thật vậy, trước hết theo định nghĩa, có dãy lặp ứng với hàm      ' x f x x x     được cho bởi: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1 2 1 n n n n n n n x x x x x x x               Nói cách khác, đây là dãy lặp của hàm   2 1 . 2 1 x f x x    Mặt khác ta có với  , 1,x y   :                 2 21 1 , 2 1 2 1 1 1 5 1 1 5 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 5 1 2 2 1 2 1 1 2 1 , . 2 x y d f x f y x y x y x y x y x y x y d x y                                                        19 Do đó f là co trên =[0, ).  Như vậy theo Định lý 2.2, dãy lặp đối với f sẽ hội tụ với mọi giá trị 0x  cho trước tới điểm bất động x* không âm của f . Theo Định lý 2.2, với mọi giá trị x0 thì dãy lặp f n (x0)n  1 luôn hội tụ về điểm bất động duy nhất x * của f. Trong trường hợp này, xét với một số giá trị ban đầu của x0 để đánh giá tốc độ hội tụ về x * cụ thể trong bảng sau: Bảng 1. Giá trị của dãy lặp với các giá trị ban đầu khác nhau N xn xn xn xn xn 0 2 3 4 4,5 5 1 1 1,428571429 1,888888888 2,125 2,363636364 2 0,666666666 0,788359788 0,956072351 1,05595238 1,15007215 3 0,619047619 0,62929283 0,657273088 0,67448485 0,703807391 4 0,618034447 0.618090113 0,618699219 0,619390626 0,621089742 5 0,618033988 0,61803399 0,618034186 0,61803481 0,618038153 Dựa theo Bảng 1, nhận thấy * 0,618x  . 4. Đánh giá sai số xấp xỉ Giả sử f là ánh xạ co trên X với hệ số co 0< k <1. Khi đó từ phép chứng minh của Định lý 2.2 sẽ có đánh giá:     0 0, * , 1 n n k d x x d f x x k   (*) Như vậy nếu với 0x cho trước, có thể đánh giá được sai số giữa các phần tử  1n nx f x  của dãy lặp    *0n nf x  với điểm bất động *x của .f Dựa vào nhận xét trên, sẽ đánh giá sai số trong các dãy cho trong Bài toán 1 và Bài toán 2 nêu trên. Bài toán 4. Đánh giá sai số trong Bài toán 3. Trước hết, nếu chọn 0 1 . 2 x  Khi đó:     0 0 0 0 2 , | | 1 1 1 12 1 2 8 2. 1 2 d f x x f x x           Từ đó theo (*) ta có: 20     0 0 1 +2 , * , 1 1 1 1 . = 2 8 2 n n n n k d x x d f x x k     (**) Dựa vào đánh giá (**), có thể đánh giá sai số của dãy lặp đã cho với điểm bất động (chính là giới hạn của dãy) cần tìm x* Chẳng hạn với n =7 thì vế phải của (**) nhỏ hơn 0,002. Trong khi đó nếu chọn x0 =1 thì với đánh giá tương tự trên khi n = 7 vế phải của (**) nhỏ hơn 0,005. Cuối cùng, xét ví dụ sau với dụng ý rằng, đôi khi xét dãy un+1 =f(un) thì việc nghiên cứu điểm bất động của f như đã làm ở trên gặp nhiều khó khăn. Một trong những gợi ý đó là ta có thể áp dụng Nhận xét 2.3 (iv). Bài toán 5. Cho *{ }n nu  là dãy số xác định bởi các điều kiện 1 1, , 1 nu nu a u e n      Hãy tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy đã cho hội tụ. Từ đó đánh giá sai số của dãy lặp đối với giới hạn của dãy trong trường hợp hội tụ. Bây giờ chứng minh   xf x e không là ánh xạ co trên . Thật vậy, điều này suy ra từ đánh giá       ( 1 , 0 1, 0d f f d   nên f không là ánh xạ co. Tuy nhiên  2 xef x e  lại là ánh xạ co trên . Thật vậy,  2 xef x e  là hàm khả vi trên và:    2 1 1 1 ' x x e f x e e    Theo Định lý Lagrange, ,x y  tồn tại điểm c nằm giữa x và y để:        1 'f x f y f c x y x y e      hay        1 , , .d f x f y d x y e  Điều này chứng tỏ 2f là ánh xạ co trên không gian metric đầy . Khi đó áp dụng Nhận xét 2.3 (iv), với mọi 0x X thì  0 nf x hội tụ về điểm bất động *x duy nhất của .f Ngoài ra, đã biết điểm bất động của f là hoành độ của giao điểm của hai đồ thị hàm số   xf x e và   .f x x Mặt khác, có thể thấy hai đồ thị nói trên giao nhau tại duy nhất 21 một điểm  0, 1 .a Tính chất này gợi ý chỉ cần xét hàm f trong không gian metric compact  0, 1 .X  Điều này sẽ cho thấy tốc độ hội tụ càng nhanh về điểm bất động của f khi giá trị ban đầu 0x càng gần với  0, 1 .X  Việc đánh giá sai số được thực hiện tương tự Bài toán 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. N. Comogonov, X. V. Fomin (1971). Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích hàm, tập 2. Nhà xuất bản Giáo dục. [2] Phạm Minh Thông (2007). Không gian tôpô, Độ đo - Tích phân. Nhà xuất bản Giáo dục. [3] R. Agarwal, M. Meehan and D. O’Regan (2001). Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University Press, ISBN 0-511-03258-7. [4] V. Pata (2008). Fixed Point Theorems and Applications, Dipartimento di Matematica “F. Brioschi” Politecnico di Milano. [5] Kỷ yếu “Kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc lần thứ 24”, Quy Nhơn năm 2016. SOME APPLICATIONS OF CONTRACTION MAPPING PRINCIPLE IN METRIC SPACES Hoang Tung Lam, Hoang Viet Anh, Nguyen Bich Ngoc, Dinh Thi Tu Uyen Tay Bac University Abstract: This paper, presented the applications of the principle of contraction mappings in metric space to find conditions for the first term of iterates sequence to convergence. Moreover, we also study and estimate the error of the iterates sequence 1 ( ) n n u f u   with its limits. Keywords: Approximation, contraction mapping, error, fixed point, iterates sequence, metric space.