Một phương pháp giải bài toán phát hiện trong mạng radar nhiều vị trí khi tín hiệu từ các đài Radar thành phần không độc lập thống kê - Nguyễn Đức Minh

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 40, 12 - 2015                               49 MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHÁT HIỆN TRONG MẠNG RADAR NHIỀU VỊ TRÍ KHI TÍN HIỆU TỪ CÁC ĐÀI RADAR THÀNH PHẦN KHÔNG ĐỘC LẬP THỐNG KÊ Nguyễn Đức Minh*  Tóm tắt: Bài báo trình bày các phương pháp giải bài toán phát hiện phân tán trong mạng radar nhiều vị trí khi tín hiệu từ các đài radar thành phần không độc lập thống kê. Các phân tích về một số phương pháp kinh điển giải bài toán phát hiện phân tán như: phương pháp giải sử dụng khai triển Bahadur-Lazarsfeld, phương pháp sử dụng thêm một biến ngẫu nhiên “ẩn” trung gian, phương pháp sử dụng công cụ toán học copulas và thống kê phi tham số, mà theo đó đều huớng đến việc biến đổi bài toán để có thể đưa về trường hợp đơn giản hơn đã giải được khi tín hiệu từ các đài radar thành phần là độc lập thống kê. Trong bài báo này, chúng tôi cũng đề xuất một phương pháp giải bằng cách tính trực tiếp các tích phân xác suất áp dụng cho một lớp các bài toán phát hiện phân tán cho phép giảm thiểu khối lượng tính toán khi mối tương quan của tín hiệu giữa các đài radar là đối xứng và bằng nhau. Từ khóa: Radar, Phát hiện phân tán, Tương quan, Tích phân xác suất. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong bài  toán phát hiện của  radar,  thực hiện  theo  tiêu  chuẩn Bayest hay  tiêu  chuẩn  Neyman-Pearson  mọi  tính  toán đều  dẫn  đến  việc  tìm  hàm  hợp  lý  (LR-Likehood  Ratio).  Với trường hợp các đài radar được kết nối thành mạng có một trung tâm hợp nhất dữ liệu,  các đài radar thành phần truyền về trung tâm hợp nhất các kết quả quan sát của mình. Tại  trung tâm hợp nhất các kết quả này sẽ được hợp nhất theo một quy luật xác định nhằm đưa  ra quyết định cuối cùng về việc có hay không có mục tiêu. Độ phức tạp của bài toán theo  tiêu chuẩn Neyman-Pearson phụ thuộc rất nhiều vào việc tín hiệu thu được từ các đài radar  thành phần là độc lập hay phụ thuộc.  Khi tín hiệu ở các đài radar thành phần là độc lập  thống kê chúng ta có thể sử dụng công thức tính tích các xác suất có điều kiện :    1 2 1   0,1( , ,..., ) ( ) ,    n n l i l i p y y y H p y H i       (1)  Lúc này quy luật quyết định ở trung tâm hợp nhất là quy luật ngưỡng trên cơ sở hàm  hợp  lý. Các  tác giả Thomopoulos, Viswanathan và  Bougoulias  [1]  cũng đã  chứng minh  rằng: điều kiện để kiểm định tỷ số hợp lý ở trung tâm hợp nhất là tối ưu khi kiểm định ở  các đài  thành phần cũng phải  là kiểm định  tỷ  số hợp  lý. Bài  toán phát hiện  trong mạng  radar nhiều vị  trí phân tán với giả thiết về tính độc lập của các phép quan sát  từ các đài  radar thành phần đã được giải quyết bởi các tác giả Chair-Varshney [2-3] và một số tác giả  khác. Tuy nhiên, giả  thiết về  tính độc  lập  thống kê  trong kết quả quan sát của các  trạm  radar trong mạng thường không phù hợp cho bài toán phát hiện phân tán trên thực tế. Hàm  mật độ xác suất liên kết tại trung tâm hợp nhất không thể biểu diễn được như là tích của  các hàm mật độ thành phần, đồng thời kiểm định tối ưu tại từng trạm radar trong mạng sẽ  không còn đơn thuần là kiểm định ngưỡng dựa trên tỷ số phù hợp nhất. Do đó, chúng ta  không thể sử dụng công thức nhân xác suất như ở (1). Bài toán không thể tìm được lời giải  hợp  lý do vấp phải khó khăn  là khối  lượng  tính  toán quá  lớn. Đã có  rất nhiều các công  trình nghiên cứu về vấn đề này,  tuy nhiên, các kết quả còn rời  rạc và  thường là giải bài  toán trong các điều kiện ràng buộc cụ thể.   Ra đa N. Đ. Minh, “Một phương pháp giải bài toán phát hiện trong mạng radar thống kê.”  50     2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐIỂN HÌNH 2.1. Phương pháp sử dụng khai triển Bahadur-Lazarsfeld Tác giả Drapopoulos-Lee (1991) đã mở rộng kết quả của Chair-Varshney (1986) cho  trường  hợp  các  quyết  định  cục  bộ  phụ  thuộc  thống  kê.  Họ  đã  sử  dụng  tất  cả  các  hệ  số  tương quan thay cho các xác suất quyết định có điều kiện liên kết. Theo ý tưởng tương tự  như vậy, tác giả Kam (1992) và các cộng sự [4] đã chuẩn hóa các quyết định cục bộ sau đó  sử dụng khai  triển của đa thức Bahadur-Lazarsfeld và các hệ số  tương quan được chuẩn  hóa để biểu diễn quy  luật hợp nhất  tối ưu cho  trường hợp các quyết định cục bộ  tương  quan trong bài toán quyết định nhị phân phân tán. Hàm mật độ xác suất (MĐXS) của các  quyết định nhị phân thành phần có tương quan với nhau có thể được biểu diễn thông qua  tích giữa các hàm MĐXS của các quyết định nhị phân thành phần độc lập thống kê và các  hệ số tương quan. Quy luật hợp nhất theo phương pháp này có dạng:  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12... 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 12... 1 2 (1 )(1 ) log ( ) log log (1 ) 1 ... .... log 1 ... .... i i i i i i n n M F M i i iM F F ij i j ijk i j k n n i j i j k ij i j ijk i j k n n i j i j k p p p u p p p z z z z z z z z z z z z z z z z                                        U    (2)  Trong đó:   1 2,   , , nu u u U  là vector của các quyết định tương quan.  iM p   và  iF p   tương ứng  là xác  suất  bỏ  sót mục  tiêu và xác  suất  báo động  lầm của  trạm  radar thứ I;   1 n i i z   là các hệ số tương quan và được xác định bởi:  12... 1 2 ( ) ( ) ..... .... ( ) (HÖ sè t­¬ng quan bËc 2) (HÖ sè t­¬ng quan bËc 3) (HÖ sè t­¬ng quan bËc n) ij i j ijk i j k n n z z P z z z P z z z P                       U U U U U U    (3)  Khi các hệ số tương quan được đặt bằng 0 thì quy luật hợp nhất tối ưu của bài toán lúc  này trở về với quy luật hợp nhất cho trường hợp độc lập thống kê mà các tác giả Chair- Varshney  đã  đưa  ra  trong  [2].  Ưu  điểm  chính  của  phương  pháp  sử  dụng  khai  triển  Bahadur-Lazarsfeld đó  là  có  thể giảm  thiểu  số  lượng  các phép  tính và đưa  ra  một  cách  tổng quát để giải các bài toán phát hiện khi không còn giả thiết về tính độc lập thống kê  cho từng kết quả quan sát của mỗi trạm radar thành phần trong mạng. Tuy nhiên, khó khăn  vẫn  còn  ở  chỗ  khi  số  lượng  các  đài  radar  trong  mạng  lớn  và  khi  các  hệ  số  tương  quan  không thể triệt tiêu hoặc coi bằng 0 thì gánh nặng tính toán là rất lớn và không thể vượt  qua. Bên cạnh đó, cũng  rất khó khăn để mở  rộng kết quả bài  toán cho  trường hợp  tổng  quát đối với những hệ thống có kiểm định thống kê đa giả thiết m-ary.  Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 40, 12 - 2015                               51 2.2. Phương pháp dùng biến ngẫu nhiên trung gian Phương pháp giải thứ hai cho bài toán phát hiện phân tán, được tác giả P.K.Varshney  [5] và các cộng sự đưa ra, đã xây dựng một mô hình khung cho lớp các bài toán phát hiện  phân tán dựa trên mô hình độc lập có điều kiện. Thông qua một biến ngẫu nhiên trung gian  được thêm vào để tạo ra sự độc lập có điều kiện giữa phép quan sát của các đầu thu thành  phần trong mạng. Mô hình đưa ra đã hợp nhất bài  toán phát hiện phân tán với các phép  quan sát độc lập và phụ thuộc. Nền tảng mới tách riêng sự ảnh hưởng lẫn nhau của các quy  luật quyết định cục bộ tối ưu cho bài  toán phụ thuộc giống như trường hợp với bài  toán  độc lập. Quy luật hợp nhất tối ưu tìm được sẽ là quy luật hợp nhất chung cho cả hai trường  hợp độc lập và phụ thuộc.  2.3. Phương pháp sử dụng lý thuyết Copulas Với việc hợp nhất các quyết định tương quan, lý thuyết copulas không yêu cầu các thông  tin về xác suất tiên nghiệm của phép quan sát từ các bộ phát hiện hay từ các quyết định. Lý  thuyết này xây dựng nên các hàm phân bố xác suất dựa trên một thủ tục lựa chọn copulas.  Trong [6] tác giả Ashok Sundaresan và các cộng sự đã trình bày nghiên cứu của mình với  một hệ thống các sensor phân tán hoạt động ở cùng một ngưỡng và chỉ biết về phân bố riêng  của các quan sát của từng sensor mà không biết xác suất tiên nghiệm của phân bố liên kết  của chúng. Quy luật hợp nhất ở trung tâm sử dụng tiêu chuẩn Neyman-Pearson. Kết quả cho  thấy  rằng quy  luật hợp nhất dựa  trên các hàm copulas  sẽ không  thể  tốt hơn phương pháp  Chair-Varshney nếu hàm phân bố được tạo ra sử dụng một hàm copulas có tham số xác định  mà không mô hình hoá đầy đủ hàm phân bố xác suất cơ sở của các phép quan sát. Để chọn  được hàm copulas tốt nhất cần một quá trình huấn luyện. Nhìn chung hướng nghiên cứu sử  dụng lý thuyết copulas còn mới và chưa có nhiều kết quả.  2.4. Phương pháp phi tham số Trong phương pháp phi tham số các yêu cầu kinh điển của mô hình thống kê tham số  đối với tín hiệu và nhiễu quan sát được sẽ được nới lỏng ra. Điều này có nghĩa là bài toán  kiểm định giả thuyết tổng hợp sẽ không bị ràng buộc chặt chẽ vào các hàm mật độ xác suất  với các họ tham số đặc biệt. Các sơ đồ phát hiện với tỷ số báo động lầm cố định (CFAR)  nhìn chung thường dựa trên các giả thuyết tham số với tham số thường là công suất nhiễu  chưa được biết. Những tham số này có thể thu được từ việc ước lượng các kết quả quan sát  để thu lấy xác suất báo động lầm cố định hoặc được giới hạn. Theo tác giả Jerry D. Gibson  và các cộng sự [7] phương pháp phi tham số tỏ ra tổng quát và hữu hiệu hơn phương pháp  tham số nhất  là đối với các  trường hợp phép quan sát  từ các sensor có  tương quan. Tuy  nhiên hạn chế chính của phương pháp phi tham số khi các phép quan sát là không độc lập  thống kê chính là việc không thể duy trì được tỷ số báo động lầm không đổi đối với một  ngưỡng phát hiện cố định khi các phép quan sát là tương quan hoặc hàm mật độ xác suất  của nhiễu nền thay đổi.   3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHÁT HIỆN PHÂN TÁN BẰNG CÁCH TÍNH TRỰC TIẾP CÁC TÍCH PHÂN XÁC SUẤT Bài toán tìm quy luật hợp nhất tối ưu khi các quyết định tương quan, một cách tự nhiên,  luôn  dẫn  tới  việc  tính  toán  các  tích  phân  đa  biến  của  các  hàm  mật  độ  xác  suất,  nhưng  không phải lúc nào cũng có thể tính được các tích phân phức tạp ấy. Việc giảm thiểu khó  khăn này có thể thực hiện bằng phương pháp giải bài toán bằng cách tính trực tiếp các tích  phân xác suất. Kết quả của việc tính toán các tích phân được áp dụng cho việc giải một lớp  các bài toán phát hiện phân tán. Tại trung tâm hợp nhất phép kiểm định tỷ số hợp lý có thể  viết như sau:  Ra đa N. Đ. Minh, “Một phương pháp giải bài toán phát hiện trong mạng radar thống kê.”  52     1 0 1 2 11 0 1 2 0 (u ,u ,..,u | )( | ) ( ) ( | ) (u ,u ,..,u | ) H N N H P HP H P H P H     u u u    (4)  Trong đó     là ngưỡng  tại  trung  tâm hợp nhất, được xác định bởi mức độ hiệu năng  theo yêu cầu. Nếu ràng buộc các trạm radar hoạt động với cùng một ngưỡng t và phân bố  trong phép quan sát của các trạm radar là đối xứng thì khi đó:   1 1 2 1 1 2 ... 1 1 1 ... 1 0 1 ... ( ,..., | ) .... ( ) ... ( ,..., | ) .... N N N N Z Z N N u u u Z Z N N u u u p Z Z H dZ dZ p Z Z H dZ dZ         u    (5)  Trong  đó  u1,  u2,,uN  biểu  diễn  không  gian    hay  vùng  tương  ứng  của  tích  phân  tùy  thuộc vào việc ui=0 hay 1. Công thức (5) có thể được viết gọn lại như sau:  1 0 .... ( | ) .... ( | ) ( ) t t t t t t P H d P H d               z z Z Z Z Z u    (6)  Với  ( | ) ; ( 0,1)iP H i z Z  là hàm mật độ xác suất của các quan sát của radar dưới giả  thuyết Hi và là một hàm của hệ số tương quan ij . Từ kết quả nghiên cứu toán học của tác  giả  S.Santi  Gupta  [8]  về  việc  tính  tích  phân  xác  suất  với  các  biến  ngẫu  nhiên  phân  bố  chuẩn ta có công thức :                          1 2 1 2 1 2 1, ,..., ; ... , ,..., ; ... ntt t n n ij n ij nF t t t f x x x dx dx                     (7)  Để ý rằng (7) là tích phân cần tính và chính là tử và mẫu số của biểu thức (6)  Nếu  ma  trận  tương  quan   ij   của  các  ix   có  cấu  trúc:  ij (i j)i j      trong  đó  1 1i     khi đó biến  ix  có  thể được  tạo ra  từ (n+1) biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn  1 2, ,..., ; YnZ Z Z   bằng  việc  biến  đổi:  1i i i iX Z Y      ,  và  điều  này  dẫn  đến  công  thức:    1 2 1 2 2 1 ( , ,..., ;{ }) ( ) (1 ) n i i n ij i i t y f t t t F f y dy                      (8)  Nếu  ij   với mọi i, j khi đó công thức (7) trở thành:                                          1 22 ( , ,..., ;{ }) ( ) (1 ) n t yf t t t F f y dy                                         (9)  Với n,  t và ρ cho  trước có  thể  tính được  tích phân  trên bằng phương pháp khai  triển  chuỗi  tetrachoric và f(y) cùng với F(X) một cách  tương ứng  là hàm phân bố  tích  lũy và  hàm phân bố chuẩn. Tác giả S.Santi Gupta đã hoàn thiện một bảng tính của các tích phân  trên với n từ 0 đến 30 và ρ chạy từ 0 tới 1 với bước nhảy 0,05. Như vậy với các cơ sở toán  học đã trình bày, hoàn toàn có thể tìm được giá trị của biểu thức (6) thông qua cách tính  trực  tiếp  các  tích phân và do đó  tìm được  lời giải  cho một  lớp bài  toán phát hiện  trong  Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 40, 12 - 2015                               53 mạng  radar phân  tán nhiều vị  trí được kết nối  thành mạng khi các đài  radar  thành phần  hoạt động tại cùng một ngưỡng, có mối tương quan đối xứng và bằng nhau.  Xét một hệ thống gồm 3 trạm radar hoạt động tại cùng một ngưỡng t và mức tín hiệu S,  chịu ảnh hưởng của nhiễu Gaussian  trung bình 0  tương quan bằng nhau và bằng     sao  cho mật độ kết hợp tại các sensor có ma trận hiệp phương sai như dạng sau [10]:  1 1 1 , 0< <1.                    Tại trung tâm hợp nhất quy luật hợp nhất được sử dụng là quy luật hợp nhất OR. Với  dạng quy luật hợp nhất này trung tâm hợp nhất quyết định chấp nhận giả thuyết H0 (không  có mục tiêu) chỉ khi tất cả 3 trạm radar đều quyết định là không có mục tiêu. Từ đó, xác  suất báo động lầm của trung tâm hợp nhất có thể được viết dưới dạng như sau:  1 2 3 0 0 1 Pr( 0, 0, 0 | ) 1- ( | ) t t t u u u H P H d              Z Z Z                                          (10)  Trong đó:   0( | )P HZ Z  là hàm mật độ xác suất của các quan sát của các trạm radar dưới  giả thuyết H0 và chúng là một hàm của hệ số tương quan   . Sử dụng các kết quả trong  [7],[8] chúng ta định nghĩa các hàm sau:   (x) (x) nnF F      1 2 1 1 ( | ) Pr( , ,.., ) ( ) 1 ( 1) ( | ) ( | ) n n n n k n k k n n n k k F t x t x t x t t y F f y dy F t F t                           Trong đó:   2 1 [1 ( 1) ][1 ( 2) ] 1 ( 2) i n i i n                  Và  (y)f  cùng với  ( )F X  tương ứng là hàm mật độ phân bố chuẩn và hàm phân bố tích  lũy. Từ đó, phương trình (10) có thể viết như sau:  31 ( ) , 0 1 1 t y F f y dy                                       (11)  Với ngưỡng thu được từ (11) chúng ta tính toán xác suất phát hiện tại  trung tâm hợp  nhất như sau:  31 ( ) , 0 1 1 d t s y P F f y dy                             (12)  Ra đa N. Đ. Minh, “Một phương pháp giải bài toán phát hiện trong mạng radar thống kê.”  54     Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của xác suất phát hiện đúng  dP  vào mức tín hiệu S (dB)  được cho như ở hình vẽ 2.   1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tín hiệu S (dB) X á c x u ấ t p h á t h iệ n P d Phụ thuộc Pd vào S ( với số trạm N=3), sử dụng quy luật hợp nhất OR Rho=0.2; Beta=7E-4; ngưỡng t=3.5 Rho=0.2; Beta=1E-3; ngưỡng t=3.4 Rho=0.2; Beta=1E-3; ngưỡng t=3.3 Hình 1. Pd phụ thuộc S(dB) khi ngưỡng tại các đài radar thành phần thay đổi..  1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tín hiệu S(dB) X á c s u ấ t p h á t h iệ n P d Phụ thuộc Pd vào S(dB) với quy luật hợp nhất OR khi Rho thay đổi Rho=0.2; Beta=7.0E-4; ngưỡng t=3.5 Rho=0.6; Beta=6.6E-4; ngưỡng t=3.5 Rho=0.9; Beta=4.8E-4; ngưỡng t=3.5 Hình 2. Phụ thuộc của Pd vào S(dB) khi  thay đổi với số trạm radar N=3 và trung tâm hợp nhất sử dụng quy luật hợp nhất OR.  Dễ thấy rằng với một tỷ số báo động lầm xác định tại trung tâm hợp nhất thì khi mức  ngưỡng của các đài radar thành phần thay đổi, xác suất phát hiện đúng  DP  được cải thiện  đáng kể. Cùng với công thức (12) và các tích phân được tính sẵn theo phương pháp trình  bày ở trên chúng ta rất dễ dàng có thể khảo sát đặc tuyến phát hiện của hệ thống mạng các  đài radar phân tán khi số đài (N) tăng lên cũng như khi hệ số tương quan    thay đổi mà  không chịu gánh nặng tính  toán như thông thường với các phương pháp khác. Các bảng  tính tích phân cho phép chúng ta khảo sát với số đài N lên đến 12. Phương pháp tính trực  tiếp các tích phân xác suất cho phép giải quyết bài toán phát hiện trong mạng các đài radar  phân tán khi tín hiệu từ các đài radar thành phần không độc lập thống kê trong trường hợp  cụ thể này, một cách nhanh chóng, chính xác và tường minh.  4. KẾT LUẬN Bài báo đã trình bày tổng quát về bài toán phát hiện phân tán trong mạng radar nhiều vị  trí khi tín hiệu từ các đài thành phần không độc lập thống kê. Một số phương pháp giải bài  toán đã được đưa ra thảo luận theo tiêu chuẩn Neyman-Pearson. Với đề xuất giải bài toán  phát hiện phân tán bằng phương pháp tính các tích phân xác suất và thông qua ví dụ đã cho  chúng ta một lời giải tường minh và trực tiếp cho một lớp các bài toán phát hiện phân tán khi  tín hiệu từ các đài thành phần có tương quan đối xứng, bằng nhau và các đài hoạt động tại  cùng một ngưỡng. Phương pháp giải có thể được áp dụng cho các mô hình nhiễu khác nhau  miễn là có thể đưa về dạng tích phân theo công thức (9). Khối lượng và sự phức tạp của các  phép tính đã giảm đi rất nhiều, không còn là gánh nặng khi các kết quả tính toán các tích  phân xác suất hoàn toàn được tìm thấy trong các bảng tính sẵn. Hạn chế của phương pháp đó  chính là số đài bị giới hạn bởi kết quả bảng tính và bước nhảy của hệ số tương quan có thể  chưa đủ nhỏ trong những trường hợp yêu cầu khảo sát kỹ lưỡng. Những hạn chế này hoàn  toàn có thể vượt qua khi chúng ta thực hiện tính toán các tích phân bằng máy tính.   TÀI LIỆU THAM KHẢO  [1]  S. C. A. Thomopoulos, R. Viswanathan, and D. K. Bougoulias, “Optimal distributed decision fusion,” IEEE Trans. Aerospace Elect. Syst., Vol. 25, pp. 761–765,1989.  Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 40, 12 - 2015                               55 [2].  Chair,  Z.,  and  Varshney,  .P.R  (1986),  “Optimum data fusion in multiple sensor detection systems”.  IEEE  transaction  on  Aerospace  and  Electronic  Systems.  Vol. AES-22 (1986), 98-101.  [3].  R.Viswanathan.,  P.  K.Varshney    (1997).,  “Distributed Detection With Multiple Sensors- Part I-Fundamentals”. Proceedings of IEEE, Vol. 85, No. 1, January 1997.  [4].  Moshe  Kam,  Qiang  zhu  and  W.  Steven  Gray,.  “On distributed detection with correlated local detectors”. IEEE transaction on Aerospace and Electronic Systems,.  Vol 28 (July 1992), 916-920.  [5].  H. Chen, P.K. Varshney, and B. Chen, “A novel framework for distributed detection with dependent observations”, IEEE Transactions on Signal Processing, 60(3), 1409– 1419, March 2012.  [6].  A. Sundaresan, P.K. Varshney,  and N.S.V.Rao,  “Copula-based fusion of correlated decisions”, IEEE transactions on Aerospace and Elec. systems, 47(1), 454-471, 2011.  [7].  Jerry  D.  Gibson,  Jame  L.  Melsa.,  “Introduction to nonparametric detection with applications”,. Math. in science and engineering, Vol.119. Academic Press Inc,1975.  [8].  Gupta, S.S. (1963).,“Probability integrals of multivariate normal and multivariate t”.  Annal of Mathematical Statistics, 34 (Sep-Dec 1963).  [9].  Steck,  G.P.,  and  Owen,  D.B.  (1962).,  “A note on the equicorrelated multivariate normal distribution”. Biometrika, 49 (1962), 269-271.  [10].  V.  Aalo,  R.  Viswanathan,  “On distributed detection with correlated sensors-two examples”, IEEE Trans. On Aerospace and Electro. Systems Vol.25, 1989.  ABSTRACT A METHOD TO SOLVE THE DISTRIBUTED DETECTION PROBLEM IN MULTI  POSITION RADAR NETWORKS WHEN SIGNALS FROM RADAR STATIONS ARE  STATISTICALLY DEPENDENT  The article refers to the methods of solving a problem about distributed detection in multi-position radar networks when signals from each radar station are statistically dependent. The analysis of some classical methods of solving the distributed detection problem, based on using Bahadur-Lazarsfeld series expansion, adding a random “hidden” variable, mathematical method using copulas tools, non-parametric statistics, which are all tend to change problem to a more simple case solved when the signals from radar stations are statistically independent. This paper proposes a solution to solve the problem by calculating probability integrals directly, applied to a class of distributed detection problems, enabled get rid of computational complexity when the correlation of signals from radar stations are symmetric and equal. Keywords: Radar, Distributed detection, Correlation, Probability integral Nhận bài ngày 31 tháng 10 năm 2015 Hoàn thiện ngày 23 tháng 11 năm 2015 Chấp nhận đăng ngày 25 tháng 12 năm 2015 Địa chỉ: Trung tâm Đào tạo đại học Mở, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông;                *Email: minhnd@ptit.edu.vn