Luận văn Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann

Mục lục Trang Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Kỳ vọng có điều kiện và Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 - 13 1.1. Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Các đặc trưng của kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2. Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . . . . . . 14 - 30 2.1. Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Một dạng không giao hoán của Định lý Egoroff . . . . . . . 27 3. Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - 62 3.1. Kỳ vọng có điều kiện trong đại số von Neumann . . . . . . 31 3.2. Sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện và martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo. Hệ thống ký hiệu (Ω,F ,P) Không gian xác suất đầy đủ. G σ−đại số con của F. (Fn, n ∈ N) Dãy không giảm các σ - đại số con của F. (ξn, n ∈ N) Dãy các biến ngẫu nhiên tương thích với (Fn, n ∈ N). Lp Tập tất cả các biến ngẫu nhiên khả tích cấp p, 1 6 p 6∞. E(ξ) = ∫ Ω ξ(ω)dP Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ξ. EG(ξ) = E(ξ|G) Kỳ vọng có điều kiện của ξ biết G. τ ∈ T Thời điểm dừng bị chặn. H Không gian Hilbert. B(H) Tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. C∗ C∗ - đại số. A Đại số von Neumann A. A′ Hoán tập của A. ProjA Tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A. A∞ = W ∗{An;n > 1} Đại số von Neumann sinh bởi (An). φ Trạng thái trên A. Mở Đầu Lý thuyết xác suất và thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Các khái niệm đầu tiên của xác suất do các nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat (1601 - 1665) và Bailes Pascal (1623 - 1662) xây dựng từ thế kỷ thứ 17 dựa trên việc nghiên cứu các quy luật trong trò chơi may rủi. Sau gần 3 thế kỷ phát triển, lý thuyết xác suất đã được A.N. Kolmogorov tiên đề hoá. Có thể nói, cuốn sách "Các cơ sở của lý thuyết xác suất" do ông xuất bản lần đầu tiên bằng tiếng Đức, năm 1933 được coi là bằng chứng khai sinh ra xác suất hiện đại. Dựa trên nền tảng đó, nhiều hướng nghiên cứu chuyên sâu của xác suất đã ra đời, trong đó có lý thuyết về kỳ vọng có điều kiện và martingale. Đề tài luận văn của tôi: "Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann" là một phần nhỏ thuộc hướng nghiên cứu đó. Để có thể hiểu và nắm bắt được một số kết quả của đề tài, tôi xây dựng luận văn theo 3 chương như sau: Chương 1: Kỳ vọng có điều kiện và martingale. Chương 2: Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann. Chương 3: Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann. Hai chương đầu là nền tảng, trong đó một số đặc trưng của kỳ vọng có điều kiện trong không gian Lp và các dạng hội tụ trong đại số von Neumann được coi là quan trọng nhất. Nội dung chính của luận văn nằm trong Chương 3. ở đó, các Định lý 3.2.9 ; 3.2.11 và Định lý 3.2.16 về sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện trong đại số von 1 Neumann là đáng chú ý nhất. Hoàn thành được luận văn trên, trước tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Phan Viết Thư, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn. Tôi cũng muốn được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô thuộc Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học trường ĐHKHTN - ĐHQGHN và các thầy bên Viện Toán học đã giảng dạy, rèn luyện tôi trong suốt thời gian tôi học tập tại trường, cũng như tất cả các bạn lớp cao học khóa 2007 - 2009 đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Luận văn cũng là món quà nhỏ của tôi dành kính tặng bố mẹ, vợ con và những người thân trong gia đình đã dành những tình cảm yêu thương nhất cho tôi. Cuối cùng, do khả năng và thời gian có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo của các thầy cô, sự hợp tác của các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2009. Học viên: Đinh Thanh Tuấn. 2 Chương 1. kỳ vọng có điều kiện và martingale 1.1 Kỳ vọng có điều kiện Kỳ vọng có điều kiện là một công cụ cơ bản và hữu hiệu của lý thuyết xác suất. Vì vậy, trong phần này tôi xin trình bày vắn tắt các tính chất của toán tử kỳ vọng có điều kiện. Trước hết, ta có định nghĩa sau: 1.1.1. Định nghĩa. Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất đầy đủ, G là σ− đại số con của F và ξ ∈ L1. Ta gọi biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(ξ|G) hay EG(ξ) là kỳ vọng có điều kiện của ξ với G đã cho, nếu nó thoả mãn: i) E(ξ|G) là G− đo được và E(ξ|G) ∈ L1. ii) Với mọi A ∈ G, ta có: ∫ A E(ξ|G)dP = ∫ A ξdP. Chú ý: 1) Nếu ξ = 1A, A ∈ F thì P(A|G) := E(1A|G) được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện σ− đại số G đã cho. 2) Nếu η là biến ngẫu nhiên đã cho và G = σ(η) là σ− đại số sinh bởi η thì E(ξ|η) := E(ξ|G) được gọi là kỳ vọng có điều kiện của ξ biết η. 1.1.2. Ví dụ. Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất, (Bi)i∈K,K ⊂ N là một phân hoạch nào đó của Ω, G = σ{(Bi)i∈K} và ξ ∈ L1. Khi đó: EG(ξ) = ∑ k∈K EBk(ξ)1Bk với EBk(ξ) = 1 P(Bk) ∫ Bk ξdP, k ∈ K. 3 1.1.3. Các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện . Trong suốt mục này ta luôn giả thiết (Ω,F ,P) là không gian xác suất đầy đủ cố định, các biến ngẫu nhiên đều khả tích và G ⊂ F là σ− đại số con nào đó của F . Khi đó, kỳ vọng điều kiện có các tính chất sau: 1. Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c (h.c.c). 2. Nếu ξ > η(h.c.c) thì E(ξ|G) > E(η|G) (h.c.c). 3. Nếu a, b là hằng số ; ξ, η là các biến ngẫu nhiên thì: E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G) (h.c.c). 4. E(ξ|{φ,Ω}) = E(ξ) (h.c.c). 5. E(ξ|F) = ξ (h.c.c). 6. E ( E(ξ|G)) = E(ξ) (h.c.c). 7. Tính tương thích: Nếu G1,G2 là các σ− đại số con của F và G1 ⊂ G2 thì: E ( E(ξ|G2)|G1 ) = E(ξ|G1) = E ( E(ξ|G1)|G2 ) (h.c.c). 8. Tính không giãn:∣∣E(ξ|G)∣∣ 6 E(|ξ|∣∣G) (h.c.c) và ∣∣∣∣E(ξ|G)∣∣∣∣ 1 6 ||ξ||1. 9. Nếu ξ và G độc lập thì E(ξ|G) = E(ξ) (h.c.c). 10. Nếu η là G− đo được, E(|η|) <∞ và E(|ξη|) <∞ thì: E(ξη|G) = ηE(ξ|G) (h.c.c). Đối với kỳ vọng có điều kiện, ngoài những tính chất trên còn có một số tính chất quan trọng sau đây: Nhóm tính chất chuyển qua giới hạn: 11. Định lý hội tụ đơn điệu Levy: a) Nếu ξn ↑ ξ (h.c.c) và tồn tại n ∈ N sao cho E(ξ−n ) <∞ thì: E(ξn|G) ↑ E(ξ|G) (h.c.c). b) Nếu ξn ↓ ξ (h.c.c) và tồn tại n ∈ N sao cho E(ξ+n ) <∞ thì: E(ξn|G) ↓ E(ξ|G) (h.c.c). 12. Bổ đề Fatou: Giả sử η là biến ngẫu nhiên khả tích, khi đó: 4 a) Nếu ξn 6 η (h.c.c) thì E(lim ξn|G) 6 limE(ξn|G) (h.c.c). b) Nếu ξn > η (h.c.c) thì E(lim ξn|G) > limE(ξn|G) (h.c.c). 13. Định lý bị chặn Lebesgue: Giả sử η khả tích, |ξn| 6 η (h.c.c) và ξn h.c.c−−→ ξ, n ∈ N. Khi đó: E(lim n ξn|G) = lim n E(ξn|G) (h.c.c). 14. Bất đẳng thức Jensen: Giả sử ϕ : I → R là hàm lồi dưới, I ⊂ R và ξ là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong I. Khi đó, nếu ξ và ϕ(ξ) khả tích thì: ϕ ( E(ξ|G)) 6 E(ϕ(ξ)|G). Vì khuôn khổ có hạn của luận văn, cũng như các chứng minh chi tiết có thể tìm được trong [1] , [9] nên tôi xin phép được bỏ qua các giải thích cụ thể mà bước ngay sang phần quan trọng sau. 1.2 Các đặc trưng của kỳ vọng có điều kiện Trước tiên, ta sẽ nghiên cứu nó trên không gian L2. Trong không gian L2, ta có thể định nghĩa một tích vô hướng như sau: = ∫ Ω ξ.ηdP = E(ξ.η) ξ, η ∈ L2 Rõ ràng, tích vô hướng này xác định trên L2 chuẩn ||.||2 đã có: ||ξ||2 = ( ) 1 2 = (∫ Ω |ξ|2dP ) 1 2 . Vì ( L2, ||.||2 ) là không gian Banach nên ( L2, ) là không gian Hilbert. Từ kết quả thuộc về giải tích hàm ta thu được khẳng định sau đây: 1.2.1. Định lý. Nếu M là một không gian véc tơ con đóng của không gian Hilbert L2 thì mỗi phần tử ξ của L2 được biểu diễn duy nhất dưới dạng : ξ = η+ζ, trong đó η ∈ M ; ζ ∈ M⊥ với M⊥ = {H ∈ L2 := 0,M ∈ M}. 5 Từ nay về sau, ta gọi η là hình chiếu trực giao của ξ trên không gian M. 1.2.2. Bổ đề. Kỳ vọng điều kiện EG(.), hạn chế trên L2 là phép chiếu vuông góc từ không gian Hilbert L2 xuống không gian véc tơ con đóng L2(G) của nó, trong đó: L2(G) = { ξ ∈ L2 : ξ là G- đo được } . Chứng minh. Dễ thấy, L2(G) là không gian vectơ con đóng của không gian L2. Khi đó, nếu ξ ∈ L2 thì theo Định lý trên ta có ξ = η + ζ, η ∈ L2(G) và ζ ∈ L⊥2 (G). Với B ∈ G ta thấy 1B ∈ L2(G) nên:∫ Ω 1BζdP == 0, hay ∫ B ζdP = 0, suy ra ∫ B ξdP = ∫ B (η + ζ)dP = ∫ B ηdP, B ∈ G. Do đó, theo định nghĩa của E(.|G) ta có : η = E(ξ|G). Vậy EG(.) thu hẹp trên L2 là phép chiếu trực giao từ không gian L2 lên không gian L2(G), nghĩa là, nếu ξ ∈ L2 và η ∈ L2(G) thì: E(ξ|G) ∈ L2(G), và: ∫ Ω EG(ξ)ηdP = ∫ Ω ξηdP. 1.2.3. Định lý. Để toán tử tuyến tính T : L2 → L2 là toán tử kỳ vọng điều kiện, điều kiện cần và đủ là: T là phép chiếu trực giao, không âm và bất biến đối với hàm hằng. 6 Chứng minh. (⇒) Cho T : L2 → L2 là toán tử tuyến tính. Giả sử nó cũng là kỳ vọng điều kiện E(.|G) với G là σ− đại số con của F. Lúc đó, theo Bổ đề 1.2.2 thì T phải là phép chiếu trực giao từ L2 lên L2(G), hơn nữa theo Tính chất 1.1.3 thì T phải là toán tử không âm và bảo toàn hằng số. (⇐) Để chứng minh điều kiện đủ của định lý, ta đặt: M = {ξ ∈ L2 : Tξ = ξ}. Từ những giả thiết về T , dễ dàng kiểm tra được rằng M thỏa mãn các giả thiết của Hệ quả I.1.2- [6], tức là, tồn tại σ− đại số con G của F sao cho M = L2(G). Vậy T có hai tính chất cơ bản: 1) T (ξ) ∈ L2(G), ξ ∈ L2. 2) ∫ Ω T (ξ)ηdP = ∫ Ω ξηdP, với ξ ∈ L2, η ∈ L2(G). Đặc biệt với η = 1A, A ∈ G thì 1A ∈ L2(G), nên từ đẳng thức trên, ta có:∫ A T (ξ)dP = ∫ Ω T (ξ)1AdP = ∫ Ω ξ1AdP = ∫ A ξdP, và như vậy thì T (ξ) = E(ξ|G). Định lý được chứng minh. Sau đây, ta sẽ nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện trên không gian Lp 1.2.4. Định lý. Cho trước một số p > 1. Khi đó toán tử tuyến tính liên tục T từ Lp vào Lp là toán tử kỳ vọng có điều kiện (tức là T = E(.|G)) với G là σ− đại số con nào đó của F khi và chỉ khi T thoả mãn hai tính chất sau: i) ∫ Ω TξdP = ∫ Ω ξdP, ξ ∈ Lp. 7 ii) T (ξ.Tη) = Tξ.Tη với ξ ∈ Lp, η ∈ L∞. Chứng minh. Điều kiện cần suy ngay ra từ định nghĩa và tính chất kỳ vọng có điều kiện. Để chứng minh điều kiện đủ ta tiến hành theo hai bước sau: Bước 1: Ta chứng minh T (L∞) ⊂ L∞. Thật vậy, với ξ ∈ L∞, ta lập dãy (ξn, n ∈ N) trong Lp như sau: ξ1 = ξ; ξn+1 = ξ.T (ξn) với n > 1. Rõ ràng ξn ∈ Lp. Với n > 1 thì theo (ii) ta có: Tξn+1 = T (ξ.T (ξn)) = Tξ.T (ξn). Lại tiếp tục biểu diễn ξn như vậy, cuối cùng ta sẽ được Tξn = (Tξ)n. Vì (Tξ)n ∈ Lp với mọi n, nên suy ra Tξ ∈ Ls với mọi s <∞. Hơn nữa, do Tξn+1 = T (ξ.T ξn) và T liên tục nên:∥∥∥Tξn+1∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ.T ξn∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ . ∥∥∥Tξn∥∥∥ p . Vì: ∥∥∥Tξ∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ , nên: ∥∥∥(Tξ)n∥∥∥ p = ∥∥∥Tξn∥∥∥ p 6 (∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ )n . Nhưng: ∥∥∥(Tξ)n∥∥∥ p = ∥∥∥Tξ∥∥∥n np nên ∥∥∥Tξ∥∥∥n np 6 (∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ )n , suy ra: ∥∥∥Tξ∥∥∥ np 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ , với n > 1. Vì ta có Tξ ∈ ⋂ s<∞ Ls và họ chuẩn ∥∥∥Tξ∥∥∥ s s→∞−−−→ ∥∥∥Tξ∥∥∞, suy ra, nếu ξ ∈ L∞ 8 thì Tξ ∈ L∞ và ∥∥∥Tξ∥∥∥ ∞ 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ . Vậy ta đã chứng minh được T (L∞) ⊂ L∞. Bước 2: Xét đại số Λ = { ζ : ζ ∈ L∞, T (ξζ) = T (ξ).ζ ∀ξ ∈ Lp } , theo Mệnh đề I.1.5 - [6] thì Λ là đại số con của L∞ chứa giá trị hằng, suy ra Λ trong Lp sẽ có dạng Lp(G) với G là σ− đại số con đầy đủ nào đó của F . Lúc đó, nếu ζ ∈ Lp(G) thì tồn tại dãy con (ζn, n ∈ N) của Λ hội tụ trong Lp đến ζ. Vì T là toán tử liên tục từ Lp vào Lp nên ta có: T (ξ)ζn Lp−→ T (ξ)ζ, n ∈ N, ξ ∈ Lp, T (ξζn) Lp−→ T (ξζ), n ∈ N, ξ ∈ Lp Nhưng vì từng ζn ∈ Λ, nên ta cũng có: T (ξ)ζn = T (ξζn), n ∈ N. Điều này cho ta: T (ξ)ζ = T (ξζ), ξ ∈ Lp, ζ ∈ Lp. Do đó theo (i) thì:∫ Ω ξζdP = ∫ Ω T (ξζ) = ∫ Ω T (ξ)ζdP. Vậy với mọi A ∈ G cố định, lấy ζ = 1A ta nhận được∫ A ξdP = ∫ A T (ξ)dP. Cuối cùng để chứng minh T là toán tử kỳ vọng có điều kiện E(.|G) ta chỉ cần phải chứng minh rằng T (ξ) ∈ Lp(G), ξ ∈ Lp. Thật vậy, theo bước 1 và (ii) ta có : T (η) ∈ Λ ⊂ Lp(G), η ∈ L∞. Mặt khác nếu ξ ∈ Lp thì luôn tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (ηn, n ∈ N) của L∞ sao cho ηn Lp−→ ξ. Khẳng định này cùng với tính liên tục của T trong Lp kéo theo T (ηn) Lp−→ T (ξ), n ∈ N. Lưu ý rằng T (ηn) ∈ Λ nên T (ξ) ∈ Λ = Lp(G). Định lý được chứng minh. 9 1.3 Thời điểm dừng Ngoài kỳ vọng có điều kiện, thời điểm dừng cũng được xem như là một công cụ mạnh khác để nghiên cứu martingale. Công cụ này được hiểu một cách đơn giản như sau: Giả sử (ξn, n ∈ N) là dãy thu nhập của một người chơi nào đó trong trò chơi ngẫu nhiên hai người và Fn là σ− đại số các "thông tin" mà người chơi biết được cho tới ván thứ n, n ∈ N. Rõ ràng (Fn, n ∈ N) là dãy tăng và (ξn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên tương thích với (Fn, n ∈ N), nghĩa là từng ξn là Fn - đo được. Dựa vào dãy (Fn, n ∈ N), người chơi đưa ra một chiến lược hoặc chơi tiếp hoặc dừng lại. Thời điểm dừng được định nghĩa dưới đây chính là mô hình ngẫu nhiên của các chiến lược nói trên. 1.3.1. Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên τ : Ω → N gọi là thời điểm dừng đối với họ không giảm các σ− đại số con (Fn, n ∈ N) của F, nếu: {ω : τ (ω) = n} = {τ = n} ∈ Fn, n ∈ N. Hơn nữa, nếu tồn tại k ∈ N sao cho P(τ < k) = 1 thì τ gọi là thời điểm dừng bị chặn. Để cho tiện, từ nay về sau ta ký hiệu tập tất cả các thời điểm dừng bị chặn là T. Hơn thế, ta định nghĩa thứ tự: τ 6 σ nếu và chỉ nếu τ 6 σ(h.c.c). Lúc đó, (T,6) là một tập định hướng và N có thể coi là tập con của T. 1.3.2. Nhận xét. 10 i) Với τ ∈ T, ta định nghĩa Fτ = { A ∈ F : A ∩ {τ = n} ∈ Fn, n ∈ N } . Lúc đó Fτ là σ− đại số, hơn thế, nếu τ, σ ∈ T thoả mãn σ 6 τ (h.c.c) thì Fσ ⊂ Fτ . ii) E(ξ|Fτ ) = ∑ n∈N E(ξ|Fn) với ξ ∈ L1, τ ∈ T. 1.4 Martingale 1.4.1. Định nghĩa (dãy tương thích). Dãy các biến ngẫu nhiên (ξn, n ∈ N) được gọi là tương thích (thích nghi) với họ các σ− đại số F1 ⊂ F2 ⊂ .... ⊂ Fn ⊂ F, nếu ξn là Fn - đo được với mọi n ∈ N, tức là: ξn ∈ L0(Fn) với mọi n ∈ N. Từ đây trở đi, nếu ta không giả thiết gì thêm thì (Fn, n ∈ N) luôn được hiểu là một dãy không giảm các σ - đại số con đầy đủ của F ,Fn ↑ F và (ξn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, tương thích với (Fn, n ∈ N). Từ giả thiết này và Nhận xét 1.3.2, ta thấy mỗi dãy (ξn, n ∈ N) cảm sinh ra một dãy (suy rộng) các biến ngẫu nhiên khả tích (ξτ , τ ∈ T) tương thích với dãy không giảm các σ - đại số con (Fτ , τ ∈ T) của F, nghĩa là, từng ξτ là Fτ - đo được. Ta có định nghĩa sau: 1.4.2. Định nghĩa. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất. Khi đó, dãy (ξn, n ∈ N) được gọi là: a) martingale, nếu: Với mọi m 6 n thì E(ξn|Fm) = ξm. P − h.c.c b) martingale trên, nếu: Với mọi m 6 n thì E(ξn|Fm) 6 ξm P− h.c.c. c) martingale dưới, nếu: Với mọi m 6 n thì E(ξn|Fm) > ξm P− h.c.c. 11 Kết quả sau đây rất giản đơn nhưng cực kỳ quan trọng: 1.4.3. Mệnh đề. Ta có các khẳng định dưới đây: α) Dãy (ξn, n ∈ N) là martingale trên khi và chỉ khi dãy các số ( E(ξτ ), τ ∈ T ) là dãy không tăng. β) Dãy (ξn, n ∈ N) là martingale dưới khi và chỉ khi dãy các số ( E(ξτ ), τ ∈ T ) là dãy không giảm. γ) Dãy (ξn, n ∈ N) là martingale khi và chỉ khi tất cả các phần tử của dãy ( E(ξτ ), τ ∈ T ) đều bằng một hằng số cố định (nào đó). 1.4.4. Ví dụ. (1). Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên khả tích. Khi đó dãy ( ξn = E(ξ|Fn), n ∈ N ) là martingale và ta sẽ gọi là martingale chính quy. Thật vậy: i) (ξn, n ∈ N) là dãy tương thích vì E(ξ|Fn) là hiển nhiên đo được đối với Fn kéo theo ξn là đo được đối với Fn. ii) Do ξ khả tích nên: E (|ξn|) = E(|E(ξ|Fn)|)6 E((|ξ|) | Fn)= E(|ξ|) <∞ iii) ξn−1 = E(ξ|Fn−1) = E ( (ξ|Fn) | Fn−1 ) = E(ξn|Fm). (2). Giả sử (ηn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, độc lập với E(ηn) = 0, n ∈ N. Khi đó, dãy tổng riêng: S = η0 + η1 + ....+ ηn, là martingale đối với (Fn = σ(η0, η1, ..., ηn), n ∈ N). 12 (3). Giả sử (ζn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, độc lập với E(ζn) = 1, n ∈ N. Khi đó, dãy: S = n∏ k=0 ζk, là martingale đối với (Fn = σ(ζ0, ζ1, ..., ζn), n ∈ N). Do khuôn khổ có hạn của luận văn, nhiều tính chất và đặc trưng khác của toán tử kỳ vọng có điều kiện cũng như martingale chưa được nhắc đến. Những ai quan tâm có thể tìm đọc thêm trong [1] , [6] , [9] . . . . . . 13 Chương 2. Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann 2.1 Đại số von Neumann Trong phần này tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến đại số von Neumann. Trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa cơ bản sau: 2.1.1. Định nghĩa. Một không gian vectơ thực X được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita), nếu trong đó có xác định một hàm hai biến (x, y), gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y thỏa mãn các tính chất sau đây: i) (x, y) = (y, x) ii) (x+ y, z) = (x, z) + (y, z) iii) (αx, y) = α(x, y), với mọi α thực iv) (x, x) = ‖x‖2 Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi khái niệm và tính chất của không gian định chuẩn đều có thể áp dụng cho nó. Nói riêng, một không gian tiền Hilbert có thể đủ hoặc không đủ. Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert. 2.1.2. Định nghĩa. Một đại số A được gọi là một đại số Banach nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) A là không gian Banach; ii) Có một tích: AìA→ A sao cho, với mọi x, y, z ∈ A;λ ∈ C, ta có: (xy)z = x(yz), (x+ y)z = xz + yz, 14 x(y + z) = xy + xz, λ(xy) = (λx)y = x(λy) Hơn nữa, có một phần tử đơn vị e : ex = xe = x,∀x ∈ A; iii) ‖e‖ = 1; iv) ‖xy‖ 6 ‖x‖‖y‖, với mọi x, y ∈ A. 2.1.3. Định nghĩa. i) Một đại số A được gọi là một ∗ - đại số nếu A là một đại số phức cùng với phép tuyến tính liên hợp ∗ mà nó là một phản đẳng cấu, nghĩa là, với mọi x, y ∈ A và λ ∈ C, ta có: (x+ y)∗ = x∗ + y∗, (λx)∗ = λx∗, x∗∗ = x và (xy)∗ = y∗x∗. ii) Một chuẩn trên ∗ - đại số A thỏa mãn: ‖x∗x‖ = ‖x‖2, với mọi x ∈ A, gọi là một C∗- chuẩn. Nếu với chuẩn này, A đầy đủ thì A được gọi là một C∗ - đại số. 2.1.4. Tôpô lồi địa phương trên B(H). Cho H là không gian Hilbert. Ký hiệu B(H) là C∗− đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. Khi đó: i) Một tôpô lồi địa phương trong B(H) được cho bởi chuẩn toán tử: ‖x‖ = ‖x‖∞ = sup h∈H ‖h‖61 ‖xh‖. ii) Một tôpô mạnh trên B(H) là một không gian tôpô lồi địa phương liên kết với họ nửa chuẩn x 7→ ‖x(h)‖, với x ∈ B(H) và h ∈ H. Nói cách khác, dãy {xλ} hội tụ mạnh đến x khi và chỉ khi {xλ(h)} hội tụ đến x(h), với mọi h ∈ H. iii) Một tôpô σ−mạnh (hay siêu mạnh) trên B(H) được cho bởi nửa chuẩn: x 7→ ( ∞∑ i=1 ‖xhi‖2)1/2, 15 với {hi} là dãy các phần tử bất kỳ trong H, sao cho: ∑∞ i=1 ‖xhi‖2 <∞. iv) Một tôpô yếu trên B(H) là một không gian tôpô lồi địa phương liên kết với nửa chuẩn x 7→ |(x(h), g)|, với x ∈ B(H) và h, g ∈ H. Nói cách khác, dãy {xλ} hội tụ yếu đến x ∈ B(H) khi và chỉ khi ( (xλ − x)(h), g )→ 0 với mọi h, g ∈ H. v) Một tôpô σ−yếu (hay siêu yếu) trên B(H) được xác định bởi nửa chuẩn: x 7→ | ∞∑ i=1 (xhi, gi)|, với ∑∞ i=1 ‖hi‖2 <∞, và ∑∞ i=1 ‖gi‖2 <∞. 2.1.5. Định nghĩa. Với mỗi tập con A ⊂ B(H), ta ký hiệu A′ là hoán tập của A, tứclà: A′ = {y ∈ B(H) : xy = yx,∀x ∈ A}. Dễ dàng chỉ ra được A′ là đóng yếu. Nếu A′ là tự liên hợp thì A′ là một C∗− đại số. Từ nay về sau ta sẽ ký hiệu A′′ thay cho (A′)′ 2.1.6. Định nghĩa. Một C∗− đại số con đóng yếu A ⊂ B(H) được gọi là một đại số von Neumann. Nói cách khác, một C∗− đại số con A ⊂ B(H) là đại số von Neumann nếu A = A′′ và 1 ∈ A. 2.1.7. Định lý. Nếu A là một đại số von Neumann thì A′′ = A. Chứng minh. Cho A tác động trên một không gian Hilbert H, với mọi n nguyên dương, ta đặt H(n) = H⊕...⊕H (n lần). Mọi phần tử trong B(H(n)) được cho bởi ma trận (bij)nxn các phần tử thuộc B(H). Với x ∈ A, đặt ∧x = δijx và cho A(n) là tập tất cả các toán tử thỏa mãn các điều kiện trên. Rõ ràng A(n) là một đại số von Neumann. Cho (bij) ∈ B(H(n)). Khi đó bij ∈ A′(n) (hoán 16 tập của A(n)) nếu và chỉ nếu bij ∈ A′, với mọi i, j. Vì vậy, nếu y ∈ A′′ thì y = (δijy) ∈ A′′(n). Cho g = h1⊕h2⊕ ...⊕hn là một phần tử cố định của H(n), và ký hiệu A(n)g là bao đóng của tập {∧xg;x ∈ A}. Cho p là một phép chiếu trực giao lên A(n)g. Khi đó, theo (A2) - [7], p ∈ A′(n) và A(n)g là bất biến theo ∧y, với y ∈ An. Điều này có nghĩa là, với mỗi ε > 0, tồn tại một toán tử z ∈ A sao cho A(n)g thỏa mãn ‖∧yg − ∧zy‖ < ε, tức là: ∑n i=1 ‖yhi − zhi‖2 < ε. Điều này chứng tỏ A trù mật trong A′′ trong tôpô toán tử mạnh, vì thế trong tôpô toán tử yếu, ta có A = A′′. Định lý được chứng minh. 2.1.8. Định nghĩa. Một phiếm hàm tuyến tính φ trên A được gọi là dương nếu φ(x) > 0, với mọi x ∈ A+. Phiếm hàm φ được gọi là chính xác nếu φ(x) = 0 suy ra x = 0, với mọi x ∈ A+. 2.1.9. Nhận xét. i) Dễ dàng kiểm tra được rằng, nếu φ là phiếm hàm tuyến tính dương trên A thì φ(x∗) = φ(x). Nếu φ là một phiếm hàm dương trên A, thì với mọi x, y ∈ A, ta có: (∗) ‖φ(y∗x)‖2 6 φ(y∗y)φ(x∗x). Thật vây, với mỗi λ ∈ C, ta có: φ(λx+ y)∗(λx+ y) > 0. Với λ = tφ(x∗y)|φ(y∗x)|−1 và t ∈ R, ta có: t2φ(x∗x) + 2tφ(y∗x) + φ(x∗y) 6 0. Điều này suy ra (∗). ii) Mọi phiếm hàm tuyến tính dương φ là bị chặn và ‖φ‖ = φ(1). Thật vậy, ta có: |φ(x)| 6 φ(1)1/2φ(x∗x)1/2, và x∗x 6 ‖x∗x‖1. Do đó: φ(x∗x) 6 ‖x∗x‖φ(1), và |φ(x)| 6 φ(1)‖x‖. 17 2.1.10. Định lý GNS (Gelfand - Naimark - Segal) (xem [7]). Với mỗi phiếm hàm tuyến tính dương φ trên A, có một biểu diễn cyclic {pi,K} của A với một vectơ cyclic ξφ, sao cho: ( piφ(x)ξφ, ξφ ) = φ(x) với mọi x ∈ A. Chứng minh. Với x, y ∈ A, đặt = φ(y∗x). Khi đó A trở thành một không gian tiền Hilbert. Từ : |φ(y∗x)|2 6 φ(y∗y)φ(x∗x), tập M các phần tử x ∈ A sao cho φ(x∗x) = 0 cũng là tập các phần tử x ∈ A sao cho φ(y∗x) = 0, với mọi y ∈ A. Đây là ideal trái của A và không gian thương A/M là một không gian tiền Hilbert Hausdorff. Đặt Kφ là mở rộng của nó. ánh xạ chính tắc T của A lên A/M là một ánh xạ tuyến tính của A lên không gian con tuyến tính trù mật của Kφ. Hơn nữa, với x ∈ A thì tích trái xác định bởi x (tức là y→ xy) xác định bằng cách qua không gian thương có một toán tử tuyến tính ∼x trong A/M. Cho y ∈ A cố định, đặt φy(x) = φ(y∗xy). Khi đó φ là một phiếm hàm tuyến tín nên φ(y∗x∗xy) = φy(x∗x) 6 ‖x∗x‖φy(1) = ‖x∗x‖φ(y∗y). Từ bất đẳng thức này suy ra toán tử ∼x có chuẩn 6 1. Thật vậy, với y ∈ A ta có: = φ(y∗x∗xy) 6 ‖x∗x‖φ(y∗y) = ‖x‖2 . Do đó ∼x mở rộng tới một toán tử tuyến tính liên tục piφ(x) tác động trong Kφ. Dễ dàng kiểm tra được x→ piφ(x) là một ∗− đồng cấu thoả mãn 1H → 1K. Chẳng hạn, với mỗi x, y, z ∈ A thì: < piφ(x) ∗Ty, Tz > = = 18 = φ(z∗x∗y) = = . Do đó piφ(x)∗ = piφ(x∗). Hơn nữa, đặt: ξφ = T (1H) ∈ Kφ, ta có: piφ(x)ξφ = piφT (1) = T (x), nên ξφ là cyclic đại diện cho pi(A). Cuối cùng: = = = φ(x). Định lý được chứng minh. 2.1.11. Nhận xét. Nếu φ là chính xác, thì M = 0 và điều kiện piφ(x)ξφ = 0 suy ra T (x) = 0, nghĩa là: x ∈M, từ đó x = 0. Như vậy, trong trường hợp này, ξφ cũng là tách đối với A và hiển nhiên piφ là ∗−đẳng cấu từ A lên pi(A). Biểu diễn {Kpi, piφ} xây dựng ở trên được gọi là biểu diễn cyclic liên kết với φ. Nó cũng được ký hiệu bởi {Kpi, piφ, ξφ} để chỉ ra vectơ cyclic ξφ. 2.1.12. Định lý. Cho φ là một phiếm hàm tuyến tính trên B(H). Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: i) φ(x) = ∑n k=1(xhk, gk), với mỗi gk, hk ∈ H, k = 1, ..., n và với mọi x ∈ B(H); ii) φ là liên tục yếu; iii) φ là liên tục mạnh. Chứng minh. Rõ ràng (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii). Ta sẽ chứng minh (iii)⇒ (i). Giả sử rằng φ là liên tục mạnh. Vì vậy, tồn tại các vectơ h1, h2, ..., hn ∈ H sao cho: n∑ k=1 ‖x(hk)‖2 < 1, suy ra |φ(x)| 6 1. 19 Điều này cho ta: (∗) |φ(x)| 6 ( n∑ k=1 ‖x(hk)‖2)1/2. Xét H(n) và B(H(n)) như trong Định lý 2.1.7, ta có, với x ∈ B(H), đặt ∧ x = δijx ∈ B(H(n)). Cho h(n) = h1 ⊕ h2 ⊕ ...⊕ hn, với hj xác định tương tự như trong (∗). Đặt: ψ( ∧ xh(n)) = φ(x) Công thức này cho ta một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con đóng của H(n) sinh bởi các véctơ ∧xh(n), x ∈ H và thỏa mãn: |ψ(∧xh(n))| 6 ‖∧xh(n)‖ Từ định lý biểu diễn Riesz, có một véctơ g = g1 ⊕ g2 ⊕ ...⊕ gn trong H sao cho: φ(x) = ( ∧ xh(n), g(n)) = n∑ k=1 (xhk, hk). Định lý được chứng minh. 2.1.13. Định nghĩa. Một phiếm hàm tuyến tính dương φ trên A được gọi là một trạng thái nếu φ(1) = 1. 2.1.14. Định lý. Cho φ là một trạng thái trên đại số von Neumann A, tác động trong H. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương: i) φ là chuẩn, ii) φ là liên tục yếu trên hình cầu đơn vị trong A, iii) φ là liên tục σ−yếu, iv) Có một toán tử x của lớp vết trên H sao cho φ(y) = tr(xy),∀y ∈ A, v) φ(x) = ∑ (xhi, hi), với ∑ ‖hi‖2 <∞. 20 Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Từ Định lý 2.1.12, ta tìm một phép chiếu p ∈ A, sao cho φ(.p) là liên tục yếu và φ(p⊥) < ε. Nếu (xi) là dãy bị chặn hội tụ yếu đến 0, thì: ‖φ(xi)‖ 6 ‖φ(xip)‖+ ‖φ(xi(1− p))‖ 6 ‖φ(xip)‖+ φ(x∗ixi)1/2φ(1− p)1/2 6 ‖φ(xip)‖+ ‖xi‖‖φ‖1/2ε1/2. Nghĩa là: {φ(xi)} hội tụ đến 0. (ii) ⇒ (iii). Vì φ là liên tục yếu trong hình cầu đơn vị trên A, nên nó là liên tục σ−yếu trên mọi hình cầu xung quanh điểm gốc. Nhưng vì tôpô σ−yếu trên A là tôpô yếu∗ liên kết với A∗ nên đủ để áp dụng Định lý của Krein - Smulian. Từ A.24 - [7] ta có (iii) → (iv). Chứng minh được tính tương đương (iii) ↔ (iv) là đủ để có một lớp toán tử vết dương trong đường chéo từ x = ∑ ∧ λ ∧ ek, với λk(ek) là giá trị riêng (vectơ riêng đơn vị) và λk > 0, với ∑ k λk = trx <∞. Dễ dàng kiểm tra được (iv) → (ii). Từ (ii) → (i) là hiển nhiên. Định lý được chứng minh. 2.2 Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong đại số von Neumann. Cho A là một đại số Von Neuman trong không gian Hilbert phức H. A′ là hoán tập của A. φ là một trạng thái trên A. A+ là lớp các phần tử dương trong A. Ký hiệu Proj A là tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A. Với p ∈ Proj A ta luôn có p⊥ = 1−p. Ta sẽ viết 1 là toán tử đồng nhất trong A. Với mỗi tập con Borel Z trên đường thẳng thực và toán tử tự liên hợp trong A ta kí hiệu eZ(x) là phép chiếu phổ của x tương ứng Z. Cho x ∈ A ta đặt | x |2= x∗x. Ta bắt đầu với một vài so sánh sau. 21 Trong không gian xác suất (Ω,F ,P), đặt L∞(Ω,F ,P) là đại số (hoặc lớp tương đương) các hàm bị chặn cốt yếu nhận giá trị phức F− đo được trên Ω. Nó có thể xem như một đại số von Neumann trên L2(Ω,F ,P) nếu ta đồng nhất các hàm g ∈ L∞ với toán tử nhân ag : f → fg với f ∈ L2. Đại số A = L∞(Ω,F ,P) có một trạng thái vết chuẩn chính xác τP cho bởi công thức τP(f) = ∫ Ω fdP. Theo định lý Egoroff thì sự hội tụ P− hầu chắc chắn của một dãy (fn) từ A là tương đương với sự hội tụ hầu đều của nó. Rõ ràng rằng có thể biểu diễn sự hộ tụ hầu chắc chắn như các phần tử của đại số A mà không xem xét trên không gian cơ sở Ω. Chúng ta có thể khẳng định lại sự hội tụ hầu chắc chắn theo nghĩa L∞− chuẩn, trạng thái τP và các hàm đặc trưng (của các tập "lớn"). Từ quan điểm trên ta xem xét định nghĩa sau: 2.2.1. Định nghĩa. Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ. Ta nói rằng một dãy (xn) các phần tử của A hội tụ hầu đều tới một phần tử x ∈ A nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε và thoả mãn ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. 2.2.2. Nhận xét. Ta chú ý rằng ở định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn φ. Và từ đó hội tụ hầu đều được định nghĩa tương đương với hai điều kiện sau: (∗) Với bất kì lân cận mạnh của toán tử đồng nhất trong A tồn tại một phép chiếu p sao cho ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. (∗∗) Với mọi trạng thái chuẩn chính xác φ trên A và ε > 0 tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε và thoả mãn ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. Các điều kiện trên được suy ngay từ giả thiết nếu φ là một trạng thái 22 chuẩn chính xác thì tôpô mạnh trong hình cầu đơn vị S trong A có thể được metric hoá bởi công thức: dist(x, y) = φ[(x− y)∗(x− y)] 12 . 2.2.3. Định lý. Cho A là một đại số von Neumann với một trạng thái chuẩn chính xác φ. Với các dãy bị chặn các toán tử (xn) từ A thì sự hội tụ hầu đều có thể hiểu như hội tụ mạnh của dãy (xn). Chứng minh. Cho xn → 0 hầu đều. Biểu diễn GNS của A liên kết với φ là một trạng thái chuẩn và chính xác. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng A tác động lên không gian Hφ các biểu diễn GNS theo cách chuẩn. Trong trường hợp đặc biệt ta có φ(x) = (xξ, ξ) với x ∈ A và ξ là một một vectơ cyclic tách trong Hφ. Cho ε > 0 và ‖x‖ 6 1. Khi đó, tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε và ‖xnp‖ → 0. Đặt y ∈ A′ (A′ là hoán tập của A với chuẩn ‖.‖φ trong Hφ), ta có: ‖xnyξ‖φ 6 ‖xnpyξ‖φ + ‖xn(1 − p)yξ‖φ. Nhưng: ‖xnpyξ‖φ 6 ‖xnp‖.‖yξ‖φ < 0 với n đủ lớn, và: ‖xn(1 − p)yξ‖φ = ‖yxn(1− p)ξ‖φ 6 ‖xny‖.‖(1− p)ξ‖φ = ‖xny‖[φ(1− p)] 12 6 ‖xny‖ε 12 . Điều này chỉ ra rằng xnyξ → 0 với mọi y ∈ A′. Vì tập các vectơ {yξ, y ∈ A′} trù mật trong Hφ và (xn) bị chặn đều nên sự hội tụ mạnh (σ− mạnh) của xn dần về 0. 2.2.4. Nhận xét. Trong Định nghĩa 2.2.1, chúng ta đã giới thiệu tổng quát khái niệm hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann trong phạm vi khái niệm của 23 sự hội tụ hầu chắc chắn. Chúng ta cũng có thể xem xét trường hợp không giao hoán đối với khái niệm này. Cho A trước hết là đại số von Neumann cùng với trạng thái chuẩn chính xác φ. Ta xem xét bốn điều kiện sau của xn và x trong A: i) Với mọi ε > 0, có một phép chiếu p trong A, với φ(1 − p) < ε và số N nguyên dương sao cho: ‖(xn − x)p‖ N. ii) Với mọi ε > 0, có một phép chiếu p trong A, với φ(1 − p) < ε, sao cho: ‖(xn − x)p‖ → 0, n→∞. iii) Với mọi ε > 0, có một dãy các phép chiếu (pn) trong A tăng dần đến 1 (trong tôpô mạnh), sao cho: ‖(xn − x)pn‖ < ε, với n = 1, 2, ... iv) Với mọi phép chiếu p khác không trong A có một phép chiếu q khác không trong A sao cho q 6 p và: ‖(xn − x)q‖ → 0, n→∞. Hiển nhiên, điều kiện (ii) có nghĩa là dãy (xn) hội tụ hầu đều đến x. Nếu các điều kiện (i) hoặc (iii) hoặc (iv) thỏa mãn thì xn được gọi là hội tụ đến x đóng trên các tập lớn hơn hoặc hội tụ hầu khắp nơi hoặc tựa đều. Rõ ràng, trong trường hợp một đại số von Neumann giao hoán L∞(Ω,F ,P) thì cả bốn điều kiện trên đều tương đương với hội tụ P - hầu chắc chắn. 2.2.5. Định lý. Cho A là một đại số von Neumann cùng với trạng thái chuẩn chính 24 xác φ. Với mọi dãy bị chặn (xn) trong A, các điều kiện từ (i) đến (iv) trong (2.2.4) là tương đương. Chứng minh. Chúng ta giả sử rằng x = 0 và ‖xn‖ 6 1, với n = 1, 2, .... Cho p ∈ Proj A, y ∈ A và φ(p|y|2p) < ε4 < 1. Tiếp theo, đặt: q = pe[p,ε2 ]{p|y|2y}. Ta có: q 6 p, φ(p− q) 6 ε và ‖yq‖ < ε. Thật vậy, rõ ràng: q 6 p. Tuy nhiên: φ(p− q) 6 ε2φ(p|y|2p) < ε, và: ‖yq‖2 = ‖q|y|2q‖ = ‖qp|y|p‖ < ε2. Ta chú ý rằng: Với y ∈ A, ‖y‖ 6 1 và q, r ∈ Proj A, nếu ‖q⊥r‖ < α và ‖yq‖ < β, thì ‖yr‖ < α+ β. Điều này đủ để đánh giá: ‖yrξ‖ 6 ‖yq⊥rξ‖ + ‖yqrξ‖. Từ thực tế vừa chứng minh ta dễ dàng suy ra điều kiện (i) (∗) Với mỗi ε > 0 và q ∈ Proj A, có một phép chiếu r ∈ A sao cho: r 6 q, φ(q − r) < ε và ‖xnr‖ < ε với n đủ lớn. Thật vậy, cho 0 < εn → 0. Từ (i), ta có thể tìm một dãy (rn) ⊂ Proj A, với φ(r⊥n ) < εn và một dãy nguyên dương m(n) sao cho: ‖xmrn‖ < εn, với m > mn. Cho trước q ∈ Proj A. Khi đó, từ tính chuẩn của φ thì φ(qr⊥n q)→ 0 và ta có thể cố định n0 sao cho ε > εn0 và φ(qr⊥n q) < ε4. Đặt: r = qeqr⊥n q[0, ε 2). Ta có: φ(q − r) < ε và ‖r⊥n r‖ < ε Hơn nữa: ‖xmr‖ m(n0). Để chứng minh (i)→ (ii), ta cố định ε > 0 và giả sử rằng đã có (i). Từ (∗), chúng ta tìm một dãy (pn) ⊂ Proj 25 A sao cho: 1 = p1 > p2 > ..., φ(pn − pn+1) m(n). Đặt p = inf k pk. Khi đó: φ(p⊥) = ∑ n φ(pn − pn+1), và: ‖xmp‖ 6 ‖xmpn0‖ m(n0). Điều này có nghĩa là xm → 0 hầu đều. Chỉ với một điều chỉnh dễ dàng của chứng minh trên ta có thể chỉ ra được (i) → (iv). Đó là, cho trước 0 6= p ∈ Proj A và ε > 0, ta tìm được một dãy các phép chiếu: 1 = p1 > p2 > ..., với ‖xmpn‖ m(n), và: φ(pn − pn+1) < 2−(n+1)φ(p). Đặt q = inf k pk là đủ để có điều cần của Định lý. Chứng minh (ii)→ (i) là tầm thường. Bây giờ, giả sử rằng ta đã có (iii), cho ε > 0, tồn tại các phép chiếu pn trong A, mà: pn ↑ 1 và ‖xnpn‖ 1 − ε, với n > m, nghĩa là ta có (i). Do đó ta có: (iii)→ (i). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (iv) → (iii). Cho ε > 0, 0 < εk < εk+1 → ε và 0 < δk → 0. Để chứng minh (iii), ta tìm một dãy tăng (qk) ⊂ Proj A và một dãy tăng các số nguyên dương (nk), sao cho: φ(p⊥k ) nk (Chúng ta có thể đặt p1 = ... = pn1 = 0, pn1+1 = ... = p2 = q1, etc). Như vậy đủ để chỉ ra rằng, nếu ε 0 và ‖xnp‖ l, p ∈ Proj A thì tồn tại q ∈ Proj A và l′ > l sao cho: q > p, φ(q⊥) l′. 26 Cho (pt, t ∈ T ) là một họ maximal các phép chiếu trực giao lẫn nhau trong A, sao cho: pt 6 p⊥ và ‖xnpt‖ → 0, n→∞, với mọi t ∈ T. Họ này là hầu hết đếm được ( vì có một trạng thái chuẩn chính xác φ trên A). Vì φ là chuẩn và chính xác, nên từ (iv) có tồn tại một dãy (pk) các phép chiếu tự trực giao trong A, sao cho: ∞∑ k=1 pk = p ⊥ và ‖xnpk‖ → 0, n→, k = 1, 2, ... Lấy N đủ lớn, ta đạt được: φ(p⊥ − N∑ k=1 pk) < δ, và, do đó: φ(q⊥) < δ với q = p + ∑N k=1 pk. Hơn nữa, ‖xnq‖ < ε′ với n đủ lớn. Định lý được chứng minh. Để kết thúc phần này, ta đưa ra khái niệm sau: 2.2.6. Định nghĩa. Một dãy (xn) trong A được gọi là hội tụ hai phía hầu đều đến x ∈ A nếu với mọi ε > 0, tồn tại một phép chiếu p ∈ A, sao cho: φ(1− p) < ε và ‖p(xn − x)p‖ → 0, n→∞. 2.3 Một dạng không giao hoán của Định lý Egoroff. Chúng ta bắt đầu với mệnh đề sau: 2.3.1. Mệnh đề. Cho A là một đại số von Neumann tác động trong không gian Hilber H. Nếu dãy (xi) trong A hội tụ mạnh tới x0 thì với mọi ε > 0 tồn tại một dãy (pi) ⊂ ProjA sao cho pi → 1 mạnh và ‖(xi − x0)pi‖ < ε với mọi i = 1, 2, ... 27 Chứng minh. Ta giả sử rằng ‖xi‖ 6 1 và x0 = 0. Đặt yi = x∗ixi. Khi đó với mọi h ∈ H ta có: ‖yih‖ = ‖x∗ixih‖ 6 ‖x∗i‖‖xih‖ 6 ‖xih‖. Do đó(yi) hội tụ mạnh tới 0. Đặt pi = ei([0, ε2]) với ei(1) là độ đo phổ của yi. Khi đó yi = ∫ 1 0 uei(du) > ε2 ∫ [ε2,1] u ε2 (du) > ε2(1 − pi), Điều này có nghĩa là (pi) hội tụ mạnh tới 1. Hơn nữa, ta có: ‖xipi‖2 = ‖pix∗ixipi‖ 6 ‖x∗ixipi‖ = ‖yipi‖ < ε2. Mệnh đề được chứng minh. 2.3.2. Định lý không giao hoán Egoroff Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ và (xn) là một dãy trong A hội tụ tới x trong tôpô toán tử mạnh. Khi đó với mọi phép chiếu p ∈ A và ε > 0 bất kì tồn tại một phép chiếu q 6 p trong A và một dãy con xnk của xn thoả mãn: φ(p− q) < ε và ‖(xnk − x)q‖ → 0 khi k →∞. Chứng minh. Ta giả sử rằng p = 1 và x = 0. Theo Mệnh đề 2.3.1, tồn tại một dãy(pn) của các phép chiếu trong A thoả mãn ‖xnpn‖ < 12 và pn → 1 mạnh. Chọn chỉ số n1 sao cho φ(1 − pn) n1. Đặt q1 = pn1 . Như vậy φ(1 − q1) < ε2, ‖xn1q1‖ < 12 và tất nhiên rằng xnq1 → 0 mạnh. Ta đưa ra đại lượng y(1)n = q1x∗nxnq1. Khi đó ta có một dãy bị chặn trong q1Aq1 hội tụ mạnh về 0. Cũng với cách đặt trên ta tìm được một dãy (q(1)n ) các phép chiếu trong q1Aq1 thoả mãn q(1)n → q1 mạnh và ‖y(1)n q(1)n ‖ < 122 . Ta chọn chỉ số n2 > n1 sao cho φ(q1 − q(1)n ) < ε22 và ‖y(1)n2 q2‖ < 122 . 28 Tiếp tục, đặt: q2 = q(1)n2 , ta được: q2 6 q1, φ(q2 − q1) < ε 22 và ‖y(1)n2 q2‖ < 1 22 . Mặt khác: ‖xnq2‖2 = ‖q2x∗nxnq2‖ = ‖q2q1x∗nxnq1q2‖ = ‖q2y(1)n q2‖ 6 ‖y(1)n q2‖ < 1 22 với n > n2. Từ đó ‖xmq2‖ < 122 . Như vậy ta xây dựng được một dãy giảm (qn) của các phép chiếu trong A và một dãy các chỉ số n1 < n2 < ... thoả mãn: ‖xnkqk‖ < 1 2k , φ(qk − qk+1) < ε 2k . Đặt p = inf k q ta được: φ(1− q) 6 ε và ‖xnkq‖ < 1 2k → 0. Định lý được chứng minh. 2.3.3. Nhận xét. Sự hội tụ điểm trong đại số von Neumann đã được giới thiệu đầu tiên bởi I. Segal và đã được sử dụng có hệ thống trong lý thuyết không giao hoán của tích phân. Lý thuyết này đã được phát triển độc lập bởi Segal và Dixmier đối với các vết nửa hữu hạn. Hiện nay, có tồn tại một lý thuyết không chỉ đối với các vết mà còn đối với trạng thái và cao hơn. Chúng ta chú ý rằng mối quan hệ giữa các loại hội tụ trong đại số von Neumann đã được thảo luận bởi Segal, Ogasawara, Yoshinaga, Padmanabhan, Lance, Stinespring, Batty và gần đây là Petz và Paszkiewicz. Đặc biệt, D. Petz đã giới thiệu khái niệm hội tụ tựa đều và A. Paszkiewicz đã thảo luận các mối quan hệ giữa các loại hội tụ điểm của các dãy toán tử không bị chặn. Ông đã chứng minh được rằng một dãy bị chặn hội tụ hầu đều là trùng với hội tụ tựa đều. Định lý Egoroff dạng không giao hoán được chứng minh bởi Saito. Các vấn 29 đề thảo luận trong phần này được liên hệ chặt chẽ bởi Radin, trong đó có nêu khái niệm trạng thái φ− almost trên một C∗− đại số, với φ là một vết trên A′′ (song hoán tập). Ông đã chứng minh được rằng bất cứ ∗− tự đẳng cấu của A′′ là được thực hiện bởi một số phép biến đổi điểm trong không gian trạng thái của A, xác định mọi φ− almost. Một dạng tổng quát hơn (khi φ là một trạng thái tùy ý) được xem xét bởi Luczak. 30