Luận văn Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa phương trình tích phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHẠM GIA KHÁNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHẠM GIA KHÁNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60. 46. 01 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Phạm Gia Khánh Bộ môn Toán, Khoa Sư Phạm, Đại học Cần Thơ. Thành phố Cần Thơ 2005 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: TS. Nguyễn Công Tâm Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Nguyễn Văn Nhân Khoa Thống kê-Toán-Tin học, Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Phạm Gia Khánh Bộ môn Toán, Khoa Sư Phạm, Đại học Cần Thơ. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án tại Trường Đại học Cần Thơ, vào lúc giờngày 10 tháng 09 năm 2005. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Cần Thơ. THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC Trang Chương 0. Phần mở đầu 3 Chương 1. Các công cụ chuẩn bị 7 1.1 Các không gian hàm 7 1.2 Không gian hàm .1),;,0( ∞≤≤ pXTLp 9 1.3 Phân bố có giá trị vectơ 10 1.4 Bổ đề về tính compact của Lions 14 1.5 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ).(QLp 14 Chương 2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 15 Định lý 2.1 16 Định lý 2.2 35 Định lý 2.3 35 Chương 3. Sự ổn định của nghiệm 36 Định lý 3.1 36 Chương 4. Xét một trường hợp cụ thể 41 Phần kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 3 CHƯƠNG 0. PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tơi xét bài tốn sau: Tìm một cặp các hàm ( , )u P thỏa: ( , ) ( , ) ( , ), (0,1), 0 , tt xx tu u b x t f u u F x t x t T− + = ∈Ω = < < (0.1) ),(),0( tPtux = (0.2) (1, ) 0,u t = (0.3) 0( ,0) ( ),u x u x= 1( ,0) ( ),tu x u x= (0.4) trong đĩ 0 1, , , ,u u b f F là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Hàm chưa biết ( , )u x t và giá trị biên chưa biết ( )P t thỏa một phương trình tích phân phi tuyến sau đây 0 ( ) ( ) ( (0, )) ( ) (0, ) , t P t g t H u t k t s u s ds= + − −∫ (0.5) trong đĩ , , kg H là các hàm cho trước. Trong [2], Đặng Đình Áng và Alain Phạm Ngọc Định đã thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm tồn cục cho bài tốn giá trị biên và ban đầu (0.1)-(0.4) với 0 1, ,u u P là các hàm cho trước và 1 ( , ) 0, ( , ) 1, ( , ) | |t t t F x t b x t f u u u uα α− = =⎧⎨ = < <⎩ , (0 1). (0.6) Bằng sự tổng quát hĩa của [2], Long và Alain Phạm [7, 10, 11], Long và Thuyết [13], Long và Dũng [14], Long, Tâm và Trúc [15], Hĩa và Ngọc [8] đã xét bài tốn (0.1), (0.3), (0.4) với 1b ≡ và liên kết với điều kiện biên khơng thuần nhất tại x = 0 cĩ dạng 0 (0, ) ( ) ( (0, )) ( , (0, )) . t xu t g t H u t k t s u s ds= + − −∫ (0.7) Các tác giả trên đã lần lượt cứu xét nĩ trong [10] với 0k ≡ , H(s)=hs, trong đĩ 0h > ; trong [7] với 0;k ≡ trong [10, 15] với ( ) ,H s hs= trong đĩ h>0. Một số 4 tính chất về compact và liên thơng của tập nghiệm của bài tốn (0.1)-(0.5) ứng với 1b ≡ cũng được xét trong [8]. Trong trường hợp 1b ≡ , H(s)=hs, trong đĩ h>0, bài tốn (0.1)-(0.5) được thành lập từ bài tốn (0.1)-(0.4), trong đĩ, hàm chưa biết u(x,t) và giá trị biên chưa biết ( )P t thỏa một bài tốn Cauchy sau đây cho một phương trình vi phân thường // 2( ) ( ) (0, ), 0 ,ttP t P t hu t t Tω+ = < < (0.8) /0 1(0) , (0) ,P P P P= = (0.9) trong đĩ 0,ω > 0,h ≥ 0 1, P P là các hằng số dương cho trước [11]. Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài tốn (0.1)-(0.4), (0.8), (0.9) với 1b ≡ , u0=u1=P0=0 và với b(x,t)f(u,ut)-F(x,t)=f1(u,ut) tuyến tính, nghĩa là, f1(u,ut)=Ku+λut, trong đĩ , K λ là các hằng số cho trước. Trong trường hợp sau, bài tốn (0.1)-(0.4), (0.8) và (0.9) là mơ hình tốn học mơ tả sự va chạm của một vật rắn và thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng([1,19]). Như vậy bài tốn nghiên cứu trong luận văn này là phi tuyến tương tự bài tốn được xét trong [1,19]. Trong trường hợp mà ( , ) ( , ) ( , )tb x t f u u F x t− = | | ( ),t tu sign uα 0 1,α< < bài tốn (0.1)-(0.4), (0.8) và (0.9) mơ tả sự va chạm của một vật rắn và thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở mặt bên, ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt. Từ (0.8), (0.9) ta biểu diễn P(t) theo 0 1, , , , (0, ) ttP P h u tω và sau đĩ tích phân từng phần ta thu được 0 ( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) , t P t g t hu t k t s u s ds= + − −∫ (0.10) trong đĩ ω ωω thuPthuPtg sin))0((cos))0(()( 1100 −+−= , (0.11) ( ) sin .k t h tω ω= (0.12) Bằng cách khử ẩn hàm P(t), ta thay thế điều kiện biên (0.2) bởi 5 0 (0, ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) . t xu t g t hu t k t s u s ds= + − −∫ (0.13) Khi đĩ, chúng ta đưa bài tốn (0.1)-(0.4), (0.8), (0.9) về (0.1)-(0.4), (0.10)- (0.12) hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.11)-(0.13). Cũng cùng loại với bài tốn trên, Long, Út và Trúc [16] đã cứu xét bài tốn biên thuộc dạng 0 1 1 1 0 ( ) ( , ), 0 1, 0 , (0, ) 0, ( ) (1, ) ( ), ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), ( ) ( ) (1, ) ( ) (1, ) ( ) ( ) (1, ) , tt xx t x t t t u t u Ku u f x t x t T u t t u t Q t u x u x u x u x Q t K t u t t u t g t k t s u s ds μ λ μ λ ⎧⎪ − + + = < < < <⎪⎪ =⎪⎪− =⎨⎪ = =⎪⎪ = + − − −⎪⎪⎩ ∫ (0.14) trong đĩ, 0 1 1 1, , , , , , , u u f g k Kμ λ là các hàm cho trước, ,K λ là các hằng số khơng âm cho trước. Cũng vậy, Long, Định và Diễm [17] nghiên cứu bài tốn biên phi tuyến dưới đây 1 1 0 1 0 | | | | ( , ), 0 1, 0 , (0, ) ( ), (1, ) (1, ) (1, ) 0, ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), ( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) , tt xx t t x x t t t u u K u u u u f x t x t T u t P t u t K u t u t u x u x u x u x P t g t hu t k t s u s ds α βλ λ ⎧⎪ − + + = < < < <⎪⎪− =⎪⎪ + + =⎨⎪ = =⎪⎪ = + − −⎪⎪⎩ ∫ (0.15) trong đĩ, 0 1, , , , u u f g k là các hàm cho trước, 1 1, , , , , h K K λ λ α và β là các hằng số khơng âm cho trước Luận văn được trình bày theo các chương mục sau Phần mở đầu tổng quan về bài tốn khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã cĩ trước đĩ, đồng thời nêu bố cục của luận văn. 6 Chương 1, chúng tơi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số khơng gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các khơng gian hàm quan trọng. Chương 2, chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu tồn cục của bài tốn (0.1)-(0.5). Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu và về tính compact. Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin. Một điều chú ý rằng, phương pháp xấp xỉ tuyến tính trong các bài báo [6,12,15, 18] khơng sử dụng được trong luận văn này và trong các bài báo [2, 4, 5 ,7, 10, 11, 13, 14]. Chương 3, chúng tơi chứng minh rằng nghiệm (u,P) của bài tốn (0.1)-(0.5) là ổn định đối với các hàm g, H và k. Chương 4, chúng tơi xét bài tốn cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm của bài tốn trên. Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. Nhìn chung các kết quả trình bày trong các chương 2, 3, 4 là một nới rộng nhỏ kết quả trong [13] như là một đĩng gĩp khá khiêm tốn của tác giả. 7 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ CƠNG CỤ CHUẨN BỊ 1. Các khơng gian hàm Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu sau (0,1), (0, ), TQ TΩ = = Ω× T>0, và bỏ qua định nghĩa các khơng gian hàm thơng dụng: ( ),mC Ω ( ),pL Ω ( ),mH Ω , ( ).m pW Ω Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau ( ) ,p pL LΩ = ( ) ,m mH HΩ = , ,( ) .m p m pW WΩ = Ta định nghĩa )(2 Ω= LH là khơng gian Hilbert đối với tích vơ hướng 1 0 , ( ) ( )u v u x v x dx= ∫ , 2, .u v L∈ (1.1) Ký hiệu ||.|| để chỉ chuẩn sinh bởi tích vơ hướng (1.1), nghĩa là 1/ 21 2 0 || || , ( )u u u u x dx ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ , 2 .u L∈ (1.2) Ta định nghĩa 1{ : (1) 0},V v H v= ∈ = (1.3) và 1 0 , ', ' '( ) '( ) . V u v u v u x v x dx= = ∫ (1.4) V là khơng gian con đĩng của 1,H do đĩ, V là khơng gian Hilbert đối với tích vơ hướng của 1.H Mặt khác trên V thì 1|||| Hv và || || ', 'Vv v v= là hai chuẩn tương đương. Điều này cho bởi bổ đề sau Bổ đề 1.1. Phép nhúng 0 ( )V C Ω là compact và 0 ( )|| || || || VCv vΩ ≤ với mọi .v V∈ (1.5) Chứng minh bổ đề 1.1 khơng khĩ khăn. Bổ đề 1.2. Đồng nhất H với H’ ( đối ngẫu của H). Khi đĩ, ta cĩ ' 'V H H V≡  với các nhúng liên tục và nằm trù mật. 8 Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng H nhúng trong V’. Vì HV ⊂ , với mọi ,w H∈ ánh xạ: 1 0 : ( ) , ( ) ( ) w w T V IR v T v w v w x v x dx → = = ∫a (1.6) là tuyến tính liên tục trên V, tức là '.wT V∈ Ta xét ánh xạ: : ' ( ) .w T H V w T w T → =a (1.7) Khi đĩ ta cĩ: ', , , , , .w V VT v w v v V w H= ∀ ∈ ∀ ∈ (1.8) Ta sẽ chứng minh rằng tốn tử T thỏa các tính chất sau: (i) ': VHT → là đơn ánh, (ii) ' ,w VT w w H≤ ∀ ∈, (iii) { }HwTHT w ∈= :)( là trù mật trong V’. Chứng minh. (i) Dễ thấy rằng T tuyến tính. Nếu Tw = 0 thì ', , , 0, . w V Vw v T v v V= = ∀ ∈ Do V trù mật trong H, nên ta cĩ , 0, .w v v H= ∀ ∈ Do đĩ 0.w = Vậy T là đơn ánh, nghĩa là, một phép nhúng từ H vào V’. (ii) Ta cĩ, với mọi ,w H∈ ' , 1 , 1 sup , sup , v v w wV v V v v V v T T v w v ∈ = ∈ = = = , 1 , 1 sup . sup . . v v v V v v v V v w v w v w ∈ = ∈ = ≤ ≤ = 9 (iii) Ta chứng minh rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V’ và triệt tiêu trên T(H) thì cũng triệt tiêu trên V’. Coi L ( )''V∈ , với // /,, 0, ( ).w wV VL T T T H= ∀ ∈ Ta chứng minh rằng 0.L = Thật vậy, do V phản xạ, tức là / /( )V V≡ , theo nghĩa // / // / /, ,( ) , : , , .V V V VL V l V L z z l z V∀ ∈ ∃ ∈ = ∀ ∈ , (1.9) Lấy 'wz T V= ∈ , ta cĩ: '', ' ', 0 , , , , .w wV V V VL T T l w l w V= = = ∀ ∈ Do V trù mật trong H, nên ta cĩ: , 0, .w l w H= ∀ ∈ Vậy l = 0. Theo (1.9) ta cĩ: '', ' ', , , 0, '. V V V V L z z l z V= = ∀ ∈ Vậy L triệt tiêu trên V’. Chú thích 1.1. Từ bổ đề 1.2 ta dùng ký hiệu tích vơ hướng ,⋅ ⋅ trong L2 để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa V và V’. Chuẩn trong L2 được ký hiệu bởi ||.||. Ta cũng ký hiệu ||.||X để chỉ chuẩn trong một khơng gian Banach X và gọi X’ là khơng gian đối ngẫu của X. 1.2. Khơng gian hàm ( )0, ; , 1 .pL T X p≤ ≤ ∞ Cho X là khơng gian Banach thực đối với chuẩn ||.||X. Ta ký hiệu ( )0, ; , 1 ,pL T X p≤ ≤ ∞ là khơng gian các lớp tương đương chứa hàm ( ): 0,u T X→ đo được, sao cho ( ) , 0 ∞<∫ dttuT pX với 1 ,p≤ < ∞ hay ( ) ( )0 : , . ., 0, X M u t M a e t T∃ > ≤ ∈ với .p = ∞ Ta trang bị ( ) ∞≤≤ pXTLp 1 , ;,0 bởi chuẩn như sau: 10 ( ) ( ) pT p XXTL dttuu p /1 0 ;,0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∫ với 1 ,p≤ < ∞ hay ( ) X Tt XTL tuessu )(sup 0 ;,0 << =∞ ( ) ( ){ }inf 0 : , . ., 0,XM u t M a e t T≡ > ≤ ∈ với .p = ∞ Khi đĩ ta cĩ các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng cĩ thể tìm thấy trong Lions[9]. Bổ đề 1.3. (Lions[9]). ( ) ∞≤≤ pXTLp 1 , ;,0 là khơng gian Banach. Bổ đề 1.4. (Lions[9]). Gọi X’ là đối ngẫu của X. Khi đĩ ( )' 0, ; 'pL T X với 1 1 1, 1 , ' p p p + = < < ∞ là đối ngẫu của ( )0, ; .pL T X Hơn nữa, nếu X phản xạ thì ( )0, ;pL T X cũng phản xạ. Bổ đề 1.5. (Lions[9]). ( )( ) ( )1 0, ; ' 0, ; ' .L T X L T X∞= Hơn nữa các khơng gian ( ) ( )1 0, ; , 0, ; ' L T X L T X∞ khơng phản xạ. Chú thích 1.2. Nếu ( )pX L= Ω thì ( ) ( )( )0, .p pL 0,T;X L T= Ω× 1.3. Phân bố cĩ giá trị vectơ Định nghĩa 1.1. Cho X là một khơng gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D((0, T)) vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố cĩ giá trị trong X. Tập các phân bố cĩ giá trị trong X, ký hiệu là: ( ) )( )( )' 0, ; 0, ;D T X L D T X= ={ ( ) | ,0: XTDf → f tuyến tính liên tục}. Chú thích 1.3. Ta ký hiệu D(0,T) thay cho ( )( )0,D T hoặc ( )( )TCc ,0∞ để chỉ khơng gian các hàm số thực khả vi vơ hạn cĩ giá compact trong (0,T). Định nghĩa 1.2. Cho ∈f ( )' 0, ; .D T X Ta định nghĩa đạo hàm dt df theo nghĩa phân bố của f bởi cơng thức: 11 ( ), , 0, .df df , D T dt dt ϕϕ ϕ= − ∀ ∈ (1.10) Các tính chất: i/ Cho ( )0, ;pv L T X∈ ta làm tương ứng với nĩ bởi ánh xạ ( ) XTDTv →,0: như sau: ( ) 0 , ( ) ( ) , 0, . T vT v t t dt D Tϕ ϕ ϕ= ∀ ∈∫ (1.11) Ta cĩ thể nghiệm lại rằng ( )XTDTv ;,0'∈ . Thật vậy: j) Ánh xạ ( ) XTDTv →,0: là tuyến tính. jj) Ta nghiệm lại ánh xạ ( ) XTDTv →,0: là liên tục. Giả sử { } ( )TDj ,0⊂ϕ sao cho 0jϕ → trong ( )0,D T . Ta cĩ: 0 0 1/ 1/ ' ' 0 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | 0. T v j jX X T j X p pT T p jp jX T v t t dt v t t dt v t dt t dt ϕ ϕ ϕ ϕ →+∞ = ≤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ (1.12) Do đĩ, , 0v jT ϕ → trong X khi .j → +∞ Vậy ).;,0(' XTDTv ∈ ii/ Ánh xạ vv Ta là một đơn ánh, tuyến tính từ ( )XTLp ;,0 vào ).;,0(' XTD Do đĩ, ta cĩ thể đồng nhất .vT v= Khi đĩ ta cĩ kết quả sau Bổ đề 1.6. (Lions[9]) ( )XTLp ;,0 ⊂ ( )XTD ;,0' với phép nhúng liên tục. Đạo hàm trong ( )0, ; .pL T X Do bổ đề 1.6, phần tử ∈f ( )XTLp ;,0 ta cĩ thể coi f và do đĩ dt df là phần tử của ( )XTD ;,0' . Ta cĩ kết quả sau 12 Bổ đề 1.7.(Lions[9]) Nếu ∈f ( )XTL ;,01 và /f ∈ ( )XTL ;,01 thì f bằng hầu hết với một hàm liên tục từ [0, ] .T X→ Chứng minh bổ đề 1.7 bằng nhiều bước Bước 1: Đặt ( ) 0 ( ) ' . t H t f s ds= ∫ Khi đĩ [ ] XTH →,0: liên tục, vì ∈'f ( )XTL ;,01 . Trước hết, ta chứng minh rằng 'f dt df dt dH == theo nghĩa phân bố. Thật vậy: ( )TD ,0∈∀ϕ ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , ( ) ' ' ' ( ) ', . T T t T T s T dH d dH H t t dt dt dt dt d d f s ds t dt f s t dt ds dt dt f s s ds f ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (1.13) Vậy 'f dt df dt dH == trong ( )' 0, ; .D T X Bước 2: Ta suy ra rằng ,f H C= + theo nghĩa phân bố (C là hằng). Thật vậy, giả sử v = H – f. Ta cĩ v’ = 0 theo nghĩa phân bố (do bước 1). Ta sẽ chứng minh rằng v = C, theo nghĩa phân bố. Thật vậy v’=0 tương đương với ( ) ( ) ( ) 0 ' 0, 0, . T v s s ds D Tϕ ϕ= ∀ ∈∫ (1.14) Coi ϕ ( )TD ,0∈ ta cĩ thể viết ϕ dưới dạng '0 ψλϕϕ += , trong đĩ ( )0, ,D Tψ ∈ 0ϕ thoả ( )0 0 1 T s ds ϕ =∫ và ( ) 0 . T t dtλ ϕ= ∫ Thật vậy, vì ( ) ( )( ) 0 0 0 =−∫ dtttT λϕϕ nên nguyên hàm của ( )tt 0)( λϕϕ − triệt tiêu tại 0t = sẽ thuộc ( )0, .D T 13 Chọn ( ) =tψ ( )0 0 ( ) ( ) t s s dsϕ λϕ−∫ và trong (1.14), thay 'ϕ bởi 'ψ , ta thu được ( ) 0 ( ) '( ) 0, 0, T v s s ds D Tψ ϕ= ∀ ∈∫ hay [ ] ( )0 0 ( ) ( ) ( ) 0, 0, T v s s s ds D Tϕ λϕ ϕ− = ∀ ∈∫ hay ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, . T T T T v s s ds v s s ds t dt v t t dt D T ϕ λ ϕ ϕ ϕ ϕ = = ∀ ∈ ∫ ∫ ∫ ∫ (1.15) Đặt C = 0 0 ( ) ( ) , T v t t dtϕ∫ ta suy ra từ (1.15) rằng ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0, 0, . T v s C s ds D Tϕ ϕ− = ∀ ∈∫ Vậy v(t) = C trong ( )' 0, ; .D T X Bước 3: Ta sử dụng tính chất sau Nếu ( )1 0, ;w L T X∈ và ( ) 0 ( ) ( ) 0, 0, T w t t dt D Tϕ ϕ= ∀ ∈∫ thì ( ) 0≡tw với hầu hết ( )Tt ,0∈ . Điều này cĩ được là do ánh xạ wTw a từ ( )XTL ;,01 vào ( )XTD ;,0' là đơn ánh (tính chất ii/ ở trên). Từ các bước 1, 2, 3 ở trên ta suy ra rằng f = H + C, theo nghĩa phân bố. Tương tự ta cĩ bổ đề sau: Bổ đề 1.8. (Lions[9]) Nếu ∈f ( )XTLp ;,0 và /f ∈ ( )XTLp ;,0 thì f bằng hầu hết với một hàm liên tục từ [ ]0, .T X→ 14 1.4. Bổ đề về tính compact của Lions[9]. Cho ba khơng gian Banach X0, X1, X với X0 1XX ⊂⊂ với các phép nhúng liên tục sao cho: X0, X1 là phản xạ, (1.16) Phép nhúng 0X X là compact. (1.17) Với 0 < T <∞ , ∞≤≤ ip1 , 0,1,i = ta đặt ( ) ( ) ( ){ }0 10 10, 0, ; : ' 0, ; .p pW T v L T X v L T X= ∈ ∈ (1.18) Ta trang bị W(0,T) bởi chuẩn: ( ) 0 10 10, (0, ; ) (0, ; )' .p pw T L T X L T Xv v v= + (1.19) Khi đĩ, W(0,T) là một khơng gian Banach. Hiển nhiên W(0,T)⊂ ( )0 0, ; .pL T X Ta cũng cĩ kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact. Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[9]) Với giả thiết (1.16), (1.17) và nếu 1 , 0,1,ip i< < ∞ = thì phép nhúng ( ) ( )00, 0, ;pW T L T X là compact. Chứng minh bổ đề 1.9 cĩ thể tìm thấy trong Lions[9], trang 57. 1.5. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong Lq(Q). Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong Lq(Q) Bổ đề 1.10. Cho Q là tập mở bị chặn của ( ), , 1N qmIR và G G L Q q∈ < < ∞ sao cho ( ) ,qm L QG C≤ trong đĩ C là hằng số độc lập với m và mG G a.e. → trong Q. Khi đĩ GGm → yếu trong Lq(Q). Ta cũng dùng các ký hiệu u(t), . / ( ) ( ) ( ),tu t u t u t= = ( )..// ( ) ( )ttu t u t u t= = , ( ) ( ) ,xu t u t= ∇ ( ) ( )xx u t u t= Δ để lần lượt chỉ: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2( , ), , , , , , .u u u uu x t x t , x t x t , x tt xt x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ 15 CHƯƠNG 2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương này, chúng tơi trình bày định lý tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu tồn cục cho bài tốn: Tìm một cặp các hàm ( ( , ), ( ))u x t P t thỏa ( ) ( ) ( )( , ) , , , 0,1 , 0 ,tt xx tu u b x t f u u F x t x t T− + = ∈Ω = < < (2.1) (0, ) ( ),xu t P t= (2.2) (1, ) 0,u t = (2.3) ( ) ( ) ( )0 1,0 , ,0 ( ),tu x u x u x u x= = (2.4) 0 ( ) ( ) ( (0, )) ( ) (0, ) , t P t g t H u t k t s u s ds= + − −∫ (2.5) trong đĩ 0 1, , , , , , , u u b f F g H k là các hàm cho trước thỏa các điều kiện nào đĩ mà chúng ta sẽ đặt ra sau. Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đĩ rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các khơng gian hàm thích hợp nhờ một số các phép nhúng compact. Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin. Kết quả thu được trong chương này đã tổng quát hĩa kết quả trong [13] chứa đựng trường hợp ( , ) 1, ( , ) 0 b x t F x t= = như là một trường hợp riêng. Trước hết ta thành lập các giả thiết sau ( ) ( )( ) 0 1 1 2 2 0 1 1 3 1 4 2 5 (A ) ( [0, )), 0; (A ) , ; (A ) (0, ) T 0; (A ) (0, ) T 0 và (0) 0; A 0, T 0; b C b u H u L g H T k H T k F L T ∈ Ω× +∞ ≥ ∈ ∈ ∈ ∀ > ∈ ∀ > = ∈ Ω× ∀ > (A6) Hàm số ( )1H C IR∈ thoả (0) 0H = và tồn tại một hằng số 0 0h > sao cho 0 0 ˆ ( ) ( ) ,H H s ds h η η = ≥ −∫ với mọi IR;η ∈ 16 (F) Hàm số f: 2IR IR→ thoả (0,0) 0f = và các điều kiện (F1) f là đơn điệu khơng giảm đối với biến thứ hai, tức là ( )( , ( , ))( ) 0, , ,f u v f u v v v u v v IR.− − ≥ ∀ ∈% % % Tồn tại hai hằng số ( ], 0,1 α β ∈ và hai hàm số liên tục B1, B2: IR IR+ +→ sao cho (F2) ( ) ( )1, ( , )f u v f u v B u v v u, v, v IR,α− ≤ − ∀ ∈% % % (F3) ( ) % ( ) % %2, ( , )f u v f u v B v u u u, u, v IR.β− ≤ − ∀ ∈ Khi đĩ ta cĩ định lý sau. Định lý 2.1. Giả sử (A1)-(A6) và (F1)-(F3) đúng. Khi đĩ với mọi 0,T > tồn tại một nghiệm yếu ( , )u P của bài tốn (2.1)-(2.5) sao cho ( ) ( ) ( )2 20, ; , 0, ; , (0, ) 0, ,t tu L T V u L T L u t L T∞ ∞∈ ∈ ∈ (2.6) ( )1 0, .P H T∈ (2.7) Hơn nữa, nếu 1=β trong (F3) và các hàm số H, B2 thoả thêm các điều kiện, ( /6A ) 2 ( ), '( ) 1H C IR H s s IR,∈ > − ∀ ∈ (F4) 22 (| |) ( )TB v L Q∈ ( ), 0.Tv L Q T∀ ∈ ∀ > Khi đĩ nghiệm bài tốn là duy nhất. Chú thích 2.1. Kết quả này mạnh hơn kết quả trong [10]. Thật vậy, tương ứng với cùng bài tốn (2.1) – (2.5) với k(t) 0≡ và H(s) = hs, 0,h > các giả thiết sau đây đã dùng trong [10] mà khơng cần thiết sử dụng ở đây: 0 (2.8) B1, B2 là các hàm khơng giảm. (2.9) Chứng minh. Gồm nhiều bước Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Xét một cơ sở trực chuẩn đặc biệt trong V như sau: 17 j2 2( ) cos( ), (2 1) , j 1,2,... 1 2j jj w x x j πλ λλ= = − =+ được thành lập từ các hàm riêng của tốn tử Laplace 2 2 x∂ ∂− . Đặt 1 ( ) ( ) , m m mj j j u t c t w = = ∑ (2.10) trong đĩ )(tcmj thoả một hệ phương trình vi phân phi tuyến sau đây // /( ), ( ( ), ) ( ) (0) ( ) ( ( ), ( )), ( ), , m j m j m j m m j j u t w a u t w P t w b t f u t u t w F t w 1 j m, + + + = ≤ ≤ (2.11) 0 ( ) ( ) ( (0, )) ( ) (0, ) , t m m mP t g t H u t k t s u s ds= + − −∫ (2.12) 0 1 1 1 1 (0) ' (0) m m m mj j o j m m m mj j j u u w u u u w u α β = = ⎧ = = →⎪⎪⎨⎪ = = →⎪⎩ ∑ ∑ (2.13) Hệ phương trình (2.11)-(2.13) được viết lại dưới dạng // 2 / 2 1( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ( ), ( )), ( ), , || ||mj j mj m j m m j jj c t c t P t w b t f u t u t w F t w w λ − ⎡ ⎤+ = + −⎣ ⎦ (2.14) 0 ( ) ( ) ( (0, )) ( ) (0, ) , t m m mP t g t H u t k t s u s ds= + − −∫ (2.15) (0) , (0) 1 ./mj mj mj mjc c , j mα β= = ≤ ≤ (2.16) Bổ đề 2.1. Nghiệm của bài tốn Cauchy sau đây // 2 / ( ) ( ) ( ), 0, (0) , (0) , c t c t q t t c c λ α β ⎧ + = >⎪⎨ = =⎪⎩ (2.17) cho bởi cơng thức 0 sin( ) sin[ ( )]( ) cos( ) ( ) . tt tc t t q dλ λ τα λ β τ τλ λ −= + + ∫ (2.18) Chứng minh. Chứng minh cơng thức (2.18) khơng khĩ khăn, ta bỏ qua. mạnh trong 1,H mạnh trong 2 .L 18 Áp dụng bổ đề 2.1 cho hệ (2.14)-(2.16) với: / 2 ( ) ( ), , , , 1( ) ( ) (0) ( ) ( ( ), ( )), ( ), , || || mj j mj mj m j m m j j j c t c t q t P t w b t f u t u t w F t w w λ λ α α β β= = = =⎧⎪ −⎨ ⎡ ⎤= + −⎪ ⎣ ⎦⎩ ta được hệ (2.14)-(2.16) là tương đương với hệ phương trình vi tích phân sau 0 sin( ) sin[ ( )] ( ) cos( ) ( ) sin( ) cos( ) t j j mj mj j mj j j j mj j mj j t t c t t q d t t λ λ τα λ β τ τλ λ λα λ β λ −= + + = + ∫ [ / 2 0 2 0 0 sin[ ( )]1 ( ) (0) ( ) ( ( ), ( )), ( ), || || sin( ) cos( ) sin[ ( )]1 ( ) ( (0, )) ( ) (0, ) (0) || || t j m j m m j j jj j mj j mj j t j m m j jj t P w b f u u w F w d w t t t g H u k s u s ds w w τ λ τ τ τ τ τ τ τλ λα λ β λ λ τ τ τ τλ − ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ = + − ⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ]/( ) ( ( ), ( )), ( ),m m j j b f u u w F w dτ τ τ τ τ+ − 2 0 / 2 0 sin( ) sin[ ( )]1cos( ) ( ) (0) ( ), || || sin[ ( )]1 ( (0, )) (0) ( ) ( ( ), ( )), || || t j j mj j mj j j j jj t j m j m m j jj t t t g w F w d w t H u w b f u u w d w λ λ τα λ β τ τ τλ λ λ τ τ τ τ τ τλ − ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ − ⎡ ⎤− +⎣ ⎦ ∫ ∫ 2 0 0 (0) sin[ ( )] ( ) (0, ) . || || t j j m jj w t k s u s ds d w τλ τ τ τλ − ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (2.19) Ta viết lại (2.19) như sau / 2 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( (0, )) (0) ( ) ( ( ), ( )), || || mj mj t j m j m m j j c t G t N t H u w b f u u w d w τ τ τ τ τ τ = ⎡ ⎤− − +⎣ ⎦∫ 2 0 0 (0) ( ) ( ) (0, ) , || || t j j m j w N t k s u s ds d w τ τ τ τ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (2.20) 19 trong đĩ / 2 0 sin( ) ( ) , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) (0) . || || j j j t mj mj j mj j j j j j t N t G t N t N t N t F w g w d w λ λ α β τ τ τ τ ⎧ =⎪⎪⎨⎪ ⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦⎪⎩ ∫ (2.21) Khi đĩ, ta cĩ bổ đề sau Bổ đề 2.2. Giả sử (A1)-(A6) và (F1)-(F3) là đúng. Với 0T > cố định, khi đĩ, hệ (2.20)-(2.21) cĩ nghiệm cm=(cm1,cm2,,cmm) trên một khoảng [ ] [0, ].m0,T T⊂ Chứng minh. Ta bỏ qua chỉ số m, hệ (2.20)-(2.21) viết lại dưới dạng: c=Uc, (2.22) trong đĩ c=(c1,c2,,cm), Uc=((Uc)1,(Uc)2,,(Uc)m ), 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , t j j j jUc t G t N t Vc dτ τ τ= + −∫ (2.23) 1 2 0 ( ) ( ) ( , ( ), '( )) ( ) ( ( )) , t j j jVc t f t c t c t k t s f c s ds= + −∫ (2.24) / 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) (0) , || || t j mj j mj j j j j j G t N t N t N t F w g w d w α β τ τ τ τ⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦∫ (2.25) với IRIR 2m →:1 jf , IRIR m →:2 jf xác định bởi cơng thức 1 1 1 1 1( , , ) ( (0)) (0) ( ) ( , ), , || || m m m j i i j i i i i j i i ij f t c d H c w w b t f c w d w w w = = = ⎛ ⎞−= +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ (2.26) 2 1 (0) ( ) (0), 1 . || || m j j i i ij w f c c w j m w = = ≤ ≤∑ (2.27) Với mỗi 0, 0,mT M> > ta đặt 1 1{ ([0, ]; ) :|| || },mmS c C T IR c M= ∈ ≤ 1 0 0|| || || || || ' || ,c c c= + 0 1 0 || || sup | ( ) | , mt T c c t ≤ ≤ = 1 1 | ( ) | | ( ) |. m i i c t c t = = ∑ 20 Dễ thấy rằng S là tập con lồi đĩng và bị chặn của 1([0, ]; ).mmY C T IR= Dùng định lý điểm bất động Schauder ta sẽ chứng minh rằng tốn tử YSU →: xác định bởi (2.23)-(2.27) cĩ điểm bất động. Điểm bất động này là nghiệm của hệ (2.20). Đầu tiên ta sẽ chứng minh rằng U biến tập S vào chính nĩ. i/ Chú ý rằng 0( ) ([0, ]; )j mVc C T IR∈ với mọi 1 ([0, ]; ),mmc C T IR∈ do đĩ ta suy ra từ (2.23) và đẳng thức ∫ −+= t jjjj dVctNtGtUc 0 /// )())(()()()( τττ (2.28) rằng : .U Y Y→ Cho ,c S∈ ta suy ra từ (2.23), (2.28) rằng 1 1 0 1 1| ( )( ) | | ( ) | || || ,mUc t G t T Vcλ≤ + (2.29) / /1 1 0| ( ) ( ) | | ( ) | || ||mUc t G t T Vc≤ + . (2.30) Mặt khác, ta suy ra từ (A4), (A5), (F2), (F3) và (2.24) rằng 10 1 1 2 2((0, )) 1 || || [ ( , , ) || || ( , )] ( , ), m j jL T j Vc N f M T k N f M M Tβ = ≤ + ≡∑ (2.31) với mọi ,c S∈ trong đĩ 1 1 1( , , ) sup{| ( , , ) |:|| || ,|| || , 0 }m mj j R RN f M T f t y z y M z M t T= ≤ ≤ ≤ ≤ , (2.32) 2 2 2( , ) sup{| ( ) |:|| || }.mj j RN f M f y y M= ≤ (2.33) Do đĩ, từ (2.29)-(2.31) ta thu được 1 1* 1 1|| || || || (1 ) ( , ),mUc G T M Tβλ≤ + + (2.34) trong đĩ / /1* 0* 0* 1 1 0 0 || || || || || || sup | ( ) | sup | ( ) | t T t T G G G G t G t ≤ ≤ ≤ ≤ = + = + . Chọn M và sau đĩ chọn Tm>0 sao cho M>2||G||1* và 1 1(1 ) ( , ) . 2m MT M Tβλ+ ≤ (2.35) Do đĩ, MUc ≤1|||| với mọi .c S∈ Nghĩa là, tốn tử U biến tập S vào chính nĩ. 21 ii/ Tiếp theo, ta chứng minh rằng tốn tử này là liên tục trên S. Cho Sdc ∈, ta cĩ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( )] . t j j j j jUc t Ud t N t Vc Vd dτ τ τ τ− = − −∫ (2.36) Do đĩ 0 0 1 1|| || || || .mUc Ud T Vc Vdλ− ≤ − (2.37) Tương tự, ta cũng thu được từ đẳng thức ∫ −−=− t jjjjj dVdVctNtUdtUc 0 /// )]()()())[(()()()()( ττττ (2.38) rằng / / 0 0|| ( ) ( ) || || || .mUc Ud T Vc Vd− ≤ − (2.39) Bây giờ, ta đánh giá số hạng ||Vc-Vd||0. Ta cĩ: 1 1 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( ), '( )) ( , ( ), '( )) ( )[ ( ( )) ( ( ))] . j j j j t j j Vc t Vd t f t c t c t f t d t d t k t s f c s f d s ds − = − + − −∫ (2.40) Từ các giả thiết (A4), (A5), (F2), (F3) và (2.40), ta suy ra tồn tại một hằng số KM>0 sao cho 10 0 0 0(0, )|| || || || || ' ' || (1 || || ) || ||M L TVc Vd K c d c d k c d β α⎡ ⎤− ≤ − + − + + −⎣ ⎦ (2.41) với mọi , .c d S∈ Từ (2.37), (2.39) và (2.41) chứng tỏ rằng YSU →: là liên tục. iii/ Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng tập US là một tập compact của Y. Cho , , ' [0, ]mc S t t T∈ ∈ . Từ (2.23) ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ') ( ) ( ')j j j jUc t Uc t G t G t− = − 0 ( ) ( ' ) ( ) ( ) t j j jN t N t Vc dτ τ τ τ⎡ ⎤+ − − −⎣ ⎦∫ (2.42) ' ( ' )( ) ( ) . t j j t N t Vc dτ τ τ− −∫ 22 Chú ý rằng, từ bất đẳng thức |||)()(| stsNtN jj −≤− với mọi , [0, ],mt s T∈ (2.43) kết hợp với (2.31) ta thu được 1 1 0 1 1 1 1| ( ) ( ') | | ( ) ( ') | ( ) | ' | . || || 1| ( ) ( ') | ( , )( ) | ' | . m m Uc t Uc t G t G t T t t Vc G t G t M T T t t λ β λ − ≤ − + + − ≤ − + + − (2.44) Tương tự, từ (2.28), (2.31) và (2.43), ta cũng thu được / / / /1 1 1| ( ) ( ) ( ) ( ') | | ( ) ( ') | ( , )( 1) | ' | .mUc t Uc t G t G t M T T t tβ λ− ≤ − + + − (2.45) Do SUS ⊂ và từ các đánh giá (2.44) và (2.45) ta suy ra rằng họ các hàm },{ ScUcUS ∈= là bị chặn và liên tục đồng bậc đối với chuẩn ||.||1 của khơng gian Y. Áp dụng định lý Arzela-Ascoli vào khơng gian Y, ta suy ra rằng US là compact trong Y. Do định lý điểm bất động Schauder, ta cĩ Sc∈ sao cho c=Uc, mà điểm bất động này là nghiệm của hệ (2.20) Bổ đề 2.2 chứng minh hồn tất.  Dùng bổ đề 2.2, với T>0 cố định, hệ (2.14)-(2.16) cĩ nghiệm ( ( ), ( ))m mu t P t trên một khoảng [0,Tm]. Các đánh giá tiên nghiệm dưới đây cho phép ta lấy Tm=T với mọi m. Bước 2. Các đánh giá tiên nghiệm Thay (2.15) vào (2.14), khi đĩ nhân phương trình thứ j của (2.14) bởi )(/ tcmj và lấy tổng theo j, sau đĩ, tích phân từng phần theo biến thời gian từ 0 đến t, nhờ các giả thiết (A2), (F1), ta cĩ 0 0 / / 0 0 / / 0 0 0 ( ) 2 ( (0, )) 2 ( (0)) (0) 2 (0) (0) 2 ( ) (0, ) 2 ( ) (0, ) 2 ( ) ( ( ),0), ( ) 2 ( ), ( ) 2 (0, ) ( ) (0, ) , m m m m m t t m m m m t t s m m m S t H u t H u S g u g t u t g s u s ds b s f u s u s ds F s u s ds u s ds k s u dτ τ τ Λ Λ≤ − + + + − + − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.46) trong đĩ 23 / 2 2( ) || ( ) || || ( ) || .m m m VS t u t u t= + (2.47) Khi đĩ, sử dụng (2.16), (2.47) và bổ đề 1.1, ta cĩ 100 3 1|)0()0(|2)0())0((2),0((2 CugSuHtuH mmmm ≤+++− ΛΛ (2.48) với mọi m và t. Tiếp tục sử dụng bổ đề 1.1 và bất đẳng thức 22 3 3 12 baab +≤ , , ,a b IR∀ ∈ ta thu được / 2 0 0 0 2 ( ) (0, ) 2 ( ) (0, ) 3 ( ) 3 | '( ) | 1 1( ) ( ) . 3 3 t t m m t m m g t u t g s u s ds g t g s ds + S t S s ds − + ≤ + + ∫ ∫ ∫ (2.49) Vẫn sử dụng bổ đề 1.1, từ (F3), ta suy ra / (1 ) / 2 2 0 0 2 2 0 2 ( ) ( ( ),0), ( ) 2 (0) ( ) (1 ) (0) ( ) (1 ) (0) , t t m m m t m b s f u s u s ds B b S s ds B b S s ds B b t β β β + ∞ ∞ ∞ − ≤ ≤ + + − ∫ ∫ ∫ (2.50) trong đĩ sup{ ( , ) : ( , ) [0, ]},b b x t x t T∞ = ∈Ω× / / 0 0 2 / 2 0 0 2 0 0 2 ( ), ( ) 2 || ( ) || . || ( ) || || ( ) || || ( ) || || ( ) || ( ) . t t m m t t m t t m F s u s ds F s u s ds F s ds u s ds F s ds S s ds ≤ ≤ + ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.51) Chú ý rằng, sau khi sử dụng tích phân từng phần, tích phân sau cùng trong (2.46) viết lại 24 / 0 0 0 / 0 0 2 (0, ) ( ) (0, ) 2 (0, ) ( ) (0, ) 2 (0, ) ( ) (0, ) . t s m m s m m t s m m I u s ds k s u d u t k s u d u s ds k s u d τ τ τ τ τ τ τ τ τ = − = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.52) Do đĩ / 0 0 0 1 2 | | 2 ( ) | ( ) | ( ) 2 ( ) | ( ) | ( ) . t t s m m m mI S t k t S d S s ds k s S d I I τ τ τ τ τ τ≤ − + − ≡ + ∫ ∫ ∫ (2.53) Số hạng thứ nhất trong vế phải của (2.53) được đánh giá nhờ vào bất đẳng thức 2 212 3 , 3 ab a b≤ + ta cĩ 21 0 0 1 ( ) 3 ( ) ( ) . 3 t t m mI S t k s ds S dτ τ≤ + ∫ ∫ (2.54) Tương tự, số hạng thứ hai của (2.53) được đánh giá nhờ vào bất đẳng thức Cauchy-Schwartz / 22 0 0 0 1 ( ) 3 | ( ) | ( ) . 3 t t t m mI S s ds t k s ds S dτ τ≤ +∫ ∫ ∫ (2.55) Từ (2.46)-(2.55), ta thu được 2 / 2 0 0 0 1 1| | ( ) 3 ( ) 3 | ( ) | ( ) . 3 3 t t t m mI S t k s ds t k s ds S dτ τ⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (2.56) Ta suy từ (2.46), (2.48)-(2.52) và (2.56) rằng 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , t m mS t D t D t S dτ τ≤ + ∫ (2.57) trong đĩ 2 / 21 1 2 0 ( ) 3(1 ) (0) 9 ( ) 9 | ( ) | , t D t C B b t g t g s dsβ ∞= + − + + ∫ (2.58) 2 / 22 2 0 0 ( ) 2 3(1 ) (0) 9 ( ) 9 | ( ) | . t t D t B b k s ds t k s dsβ ∞= + + + +∫ ∫ (2.59) 25 Vì 1 00, ) ([0, ]),H T C T(  từ các giả thiết (A2)-(A4), ta suy ra rằng ( )| ( ) | ii TD t C≤ , a.e. [0, ], ( 1,2), t T i∈ = (2.60) trong đĩ, ( )iTC là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Do bổ đề Gronwall, ta thu được từ (2.57)-(2.60) rằng (1) (2)( ) exp( ) , [0, ], 0 .m T T TS t C tC C t T T≤ ≤ ∀ ∈ ∀ > (2.61) Bây giờ ta cần một đánh giá tích phân 2/ 0 (0, ) . t mu s ds∫ Từ (2.13), (2.20), (2.21), ta thu được ( 1 1 / 2 1 0 (0, ) ( ) (0) sin( ) cos( ) (0) sin[ ( )]1- ( ) (0) ( ) ( ( ), ( )), || || m m mj j j m j mj j mj j j j tm j m j m m j j jj u t c t w t t w t P w b f u u w w λα λ β λ λ τ τ τ τ τλ = = = = ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ − +⎢⎢⎣ ∑ ∑ ∑ ∫ )( ), (0) j jF w d wτ τ ⎤− ⎦ ( ) 1 / 2 1 0 2 2 1 0 sin( ) cos( ) (0) sin[ ( )]1- ( ) ( ( ), ( )), ( ), (0) || || (0) sin[ ( )] - ( ) || || m j mj j mj j j j tm j m m j j j j jj tm j j m j jj t t w t b f u u w F w d w w w t P d w λα λ β λ λ τ τ τ τ τ τλ λ τ τ τλ = = = ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ( ) 1 / 2 10 2 2 10 sin( ) cos( ) (0) (0) sin[ ( )] - ( ) ( ( ), ( )), ( ), || || (0) sin[ ( )] - ( ) . || || m j mj j mj j j j t m j j m m j j j jj t m j j m j jj t t w w t b f u u w F w d w w t P d w λα λ β λ λ τ τ τ τ τ τλ λ τ τ τλ = = = ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑∫ ∑∫ (2.62) 26 Chú ý rằng 2 1 2 2 2 2 0 2( ) cos( ), (2 1) , 1, 2,... 21 2 1(0) , || || ( ) (0). 21 j j j j j j j j j w x x j j w w w x dx w πλ λλ λ ⎧ = = − =⎪ +⎪⎨⎪ = = =⎪ +⎩ ∫ Khi đĩ, (2.62) cĩ thể viết lại như sau 1 / 10 1 sin( ) (0, ) cos( ) (0) sin[ ( )] 2 ( ) ( ( ), ( )), ( ), || || || || sin[ ( )] - 2 ( ) m j m mj j mj j j j t m j j j m m j j j j m j m j j t u t t w t w w b f u u F d w w t P λα λ β λ λ τ τ τ τ τ τλ λ τ τλ = = = ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑∫ ∑ 0 . t dτ∫ (2.63) Đặt 1 sin( ) ( ) , m j m j j t K t λ λ== ∑ (2.64) 1 / 10 sin( ) ( ) cos( ) (0) sin[ ( )] 2 ( ) ( ( ), ( )), ( ), . || || || || m j m mj j mj j j j t m j j j m m j j j j t t t w t w w b f u u F d w w λγ α λ β λ λ τ τ τ τ τ τλ = = ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑ ∑∫ (2.65) Khi đĩ, (2.63) được viết lại như sau 0 (0, ) ( ) 2 ( ) ( ) . t m m m mu t t K t P dγ τ τ τ= − −∫ (2.66) Ta cần bổ đề sau mà chứng minh của nĩ cĩ thể tìm thấy trong [2]. Bổ đề 2.3. Tồn tại một hằng số C2>0 và một hàm dương liên tục D(t) độc lập với m sao cho / 2 / 2 2 0 0 | ( ) | ( ) || ( ) ( ( ), ( )) ( ) || , t t m m md C D t b f u u F dγ τ τ τ τ τ τ τ≤ + −∫ ∫ [0, ], 0 .t T T∀ ∈ ∀ > (2.67) 27 Bổ đề 2.4. Tồn tại hai hằng số (3)TC và (4)TC chỉ phụ thuộc vào T sao cho 2 2/ (3) (4) / 0 0 0 0 ( ) ( ) (0, ) , t s t s m m T T mds K s P d C C ds u dτ τ τ τ τ− ≤ +∫ ∫ ∫ ∫ [0, ], 0. t T T∀ ∈ ∀ > (2.68) Chứng minh. Tích phân từng phần, ta cĩ / / 0 0 ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) . s s m m m m m mK s P d K s P K s P dτ τ τ τ τ τ− = + −∫ ∫ (2.69) Khi đĩ 2 / 2 2 0 0 0 2 / 2 0 0 0 ( ) ( ) 2 (0) ( ) 2 ( ) | ( ) | t s t m m m m t s s m m ds K s P d P K s ds ds K r dr P d τ τ τ τ τ − ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 / 2 0 0 0 2 ( ) (0) | ( ) | . t t s m m mK s ds P ds P dτ τ⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ (2.70) Chú ý rằng từ (2.15), ta cĩ 0 / / / / / 0 (0) (0) ( (0)), ( ) ( ) ( (0, )) (0, ) ( ) (0, ) . m m m m m m P g H u P g H u u k s u s ds τ τ τ τ τ τ = +⎧⎪⎨ = + − −⎪⎩ ∫ (2.71) Dùng bất đẳng thức 2 2 2 2( ) 3( )a b c a b c+ + ≤ + + , , , ,a b c IR∀ ∈ ta suy ra từ (2.61), (2.71), (A3), (A4), (F2), (F3), rằng / 2 / 2 / 2 / 2 | | 0 0 0 / 2 2 0 0 | ( ) | 3 | ( ) | 3 max | ( ) | | (0, ) | 3 | ( ) | (0, ) . T s s s m m s C s s m P d g d H s u d s k r dr u r dr τ τ τ τ τ τ ≤ ≤ + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.72) Do vậy, từ (2.70)-(2.72), ta suy ra được 28 ( ) 2 / 0 0 22 / 2 0 0 0 / 2 / 2 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) (0) ( (0)) 3 | ( ) | 3 | ( ) | | (0, ) | t s m m t s m m t s m ds K s P d K s ds g H u t g d m H s ds u d τ τ τ τ τ τ τ ≤ − ⎡≤ + +⎢⎣ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ T|s| C + ax 2 2 2 0 ( ) | (0, ) t mt r dr u r dr ⎤⎥⎦∫ ∫ t / 0 3 + |k . 2 (2.73) Chú ý rằng với mỗi T>0, mK K→ mạnh trong L2(0,T) khi m → +∞ và dùng các giả thiết (A2)-(A5) và các kết quả (2.16), (2.61), (2.73) ta thu được (2.69). Vậy bổ đề 2.4 được chứng minh hồn tất.  Bổ đề 2.5. Tồn tại hai hằng số (5)TC và (6)TC chỉ phụ thuộc vào T sao cho / 2 (5) 0 | (0, ) | t m Tu d Cτ τ ≤∫ , [0, ], 0,t T T∀ ∈ ∀ > (2.74) / 2 (6) 0 | ( ) | t m TP d Cτ τ ≤∫ , [0, ], 0.t T T∀ ∈ ∀ > (2.75) Chứng minh. Vì (2.75) là hệ quả của (2.61) và (2.74) nên ta chỉ cần chứng minh (2.74). Từ (2.66), sử dụng bổ đề 2.3 và 2.4, ta thu được 2 / 2 / 2 / 0 0 0 0 2/ 2 0 (3) (4) / 2 0 0 | (0, ) | 2 | ( ) | 8 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) | (0, ) | . t t t s m m m m t m m t s T T m u s ds s ds ds K s P d C D t b f u u F ds C C ds u d γ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ≤ + − ≤ + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +8 8 (2.76) Mặt khác, từ (2.61) và các giả thiết (F2), (F3) ta cĩ 29 2/( ) ( ( ), ( )) ( )m mb t f u t u t F t− 2 2/ 22 2 22 / 2 2 1 2 | | 2 ( ) ( ( ), ( )) 2 ( ) 4 max ( ) ( ) 4 (0) ( ) 2 || ( ) || , T m m m m Vs C b t f u t u t F t b B s u t B b u t F t α β ∞ ∞≤ ≤ + ≤ + + (2.77) bởi vì 2|| || || ||,L α⋅ ≤ ⋅ với 0 1.α< ≤ Vì vậy, sử dụng (2.61) và (2.77), ta cĩ / (7)( ) ( ( ), ( )) ( , ) .m m Tb t f u t u t F x t C− ≤ (2.78) Từ (2.76) và (2.78) ta thu được bất đẳng thức / 2 8 (4) / 2 0 0 0 | (0, ) | 8 | (0, ) | . t t s m T T mu s ds C C ds u dτ τ≤ +∫ ∫ ∫ (2.79) Kết hợp với bổ đề Gronwall ta suy ra (2.74). Bổ đề 2.5 được chứng minh xong.  Bước 3. Qua giới hạn. Từ (2.15), (2.47), (2.61), (2.74), (2.75) và (2.78) ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của dãy {( , )},m mu P vẫn kí hiệu là {( , )},m mu P sao cho mu u→ trong (0, , )L T V∞ yếu *, (2.80) / / mu u→ trong 2(0, , )L T L∞ yếu *, (2.81) (0, ) (0, )mu t u t→ trong (0, )L T∞ yếu *, (2.82) / /(0, ) (0, )mu t u t→ trong 2 (0, )L T yếu, (2.83) /( , ) ( , )m mb x t f u u χ→ trong 2(0, , )L T L∞ yếu *, (2.84) mP P→ trong H1(0,T) yếu. (2.85) Do bổ đề compact của Lions ( xem bổ đề 1.9), ta suy ra từ (2.61), (2.74), (2.80) và (2.81) rằng, tồn tại một dãy con vẫn kí hiệu là {um}, sao cho (0, ) (0, )mu t u t→ mạnh trong 0 ([0, ]),C T (2.86) mu u→ mạnh trong L2(QT) và a.e. (x,t) trong QT. (2.87) 30 Vì H liên tục, ta suy ra từ (2.15), (2.86) rằng 0 ( ) ( ) ( (0, )) ( ) (0, ) ( ) t mP t g t H u t k t s u s ds P t→ + − − ≡∫ mạnh trong 0 ([0, ]).C T (2.88) Từ (2.85) và (2.88) ta thu được mP P≡ a.e trong QT. (2.89) Qua giới hạn trong (2.14) và nhờ (2.80), (2.81), (2.84), (2.88), (2.89) ta cĩ / ( ), ( ( ), ) ( ) (0) ( ), ( ), , .d u t v a u t v P t v t v F t v v V dt χ+ + + = ∀ ∈ (2.90) Ngồi ra, do u, um∈C0(0,T,L2) nên ta cĩ (0) (0)mu u→ mạnh trong L2 dẫn đến u(0)=u0. (2.91) Mặt khác, vì / ( ),mu t jw và / ( ),u t jw thuộc 0 ([0, ])C T nên / /( ), ( ),mu t u t⎯⎯→j jw w vì vậy u’(0)=u1. Lúc này, để chứng minh sự tồn tại của nghiệm bài tốn (2.1)-(2.5), ta chỉ cần chứng minh rằng /( , ) ( , ).b x t f u uχ = Ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.6. Giả sử u là nghiệm của bài tốn sau: utt – uxx + χ = F, 0 < x < 1, 0< t < T, (2.92) ux(0,t) = P(t), u(1,t) = 0, (2.93) u(x,0) = u0(x), ut(x,0) = u1(x), (2.94) u ∈ L∞(0,T;V), ut ∈ L∞(0,T;L2), và ut(0,t) ∈ L2(0,T). (2.95) Khi đĩ ta cĩ 2 2 0 0 2 2 1 0 1 1'( ) ( ) ( ) '(0, ) ( ) ( ), '( ) 2 2 1 1 . . [0, ]. 2 2 t t V V u t u t P s u s ds s F s u s ds u u a e t T χ+ + + − ≥ + ∈ ∫ ∫ (2.96) Hơn nữa, nếu u0 = u1 = 0 thì (2.96) xảy ra đẳng thức. Chứng minh bổ đề 2.6 cĩ thể tìm thấy trong [2]. 31 Bây giờ, từ (2.14) – (2.16), ta cĩ 0 ( ) ( ( ), ' ( )) ( ), ' ( )m m m t b s f u s u s F s u s ds−∫ 2 2 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 1' ( ) ( ) ( ) ' (0, ) . 2 2 m m v t m m m mv u u u t u t P s u s ds = + − − − ∫ (2.97) Do bổ đề 2.6 ta suy từ (2.16), (2.80), (2.81), (2.83), (2.88) và (2.97), rằng 0 limsup ( ) ( ( ), ' ( )) ( ), ' ( ) t m m m m b s f u s u s F s u s ds →+∞ −∫ 2 2 2 1 0 2 0 0 1 1 1 '( ) 2 2 2 1 ( ) ( ) '(0, ) 2 ( ) ( ), '( ) , . . [0, ]. v t v t u u u t u t P s u s ds s F s u s ds a e t Tχ ≤ + − − − ≤ − ∈ ∫ ∫ (2.98) Bằng cách lập luận giống như trong [10] ta chứng minh được rằng /( , ) ( , )b x t f u uχ = a.e. trong QT. Sự tồn tại nghiệm được chứng minh. Bước 4. Sự duy nhất nghiệm. Bây giờ ta giả sử rằng β =1 trong (F3) và H thỏa /6( ).A Giả sử 1 1( , ),u P 2 2( , )u P là hai nghiệm của bài tốn (2.1) –(2.5). Khi đĩ 1 2 ,u u u= − 1 2P P P= − thỏa bài tốn sau đây. 32 [ ]1 1 2 2 1 2 1 2 0 / 2 / 2 '' 0, 0 1, 0 , (0, ) ( ), (1, ) 0, ( ,0) '( ,0) 0, ( , ) ( , ' ) ( , ' ) , ( ) ( ) ( ) ( (0, )) ( (0, )) ( ) (0, ) , (0, ; ), (0, ; ), (0, ) (0, ), xx x t i i i i u u x t T u t P t u t u x u x b x t f u u f u u P t P t P t H u t H u t k t s u s ds u L T V u L T L u t L T P χ χ ∞ ∞ − + = < < < < = = = = = − = − = − − − ∈ ∈ ∈ ∫ 1 (0, ), 1, 2.H T i ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ∈ =⎩ (2.99) Sử dụng bổ đề 2.6, với 0 1 0,u u= = 0,F = ta thu được 2 2 0 0 1 1'( ) ( ) ( ) '(0, ) 2 2 ( ) ( ), '( ) 0 . [0, ]. t V t u t u t P s u s ds s F s u s ds a e t Tχ + + + − = ∈ ∫ ∫ (2.100) Đặt 2 2 1 1 2( ) '( ) ( ) , ( ) ( (0, )) ( (0, )). Vt u t u t H t H u t H u tσ = + = − (2.101) Thay P(t),χ vào (2.100) và chú ý rằng hàm f là khơng giảm đối với biến thứ hai, ta cĩ ( ) 1 0 / / 1 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 ( ) '(0, ) 2 ( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) . '( ) 2 '(0, ) ( ) (0, ) . t t t s t H s u s ds b s f u s u s f u s u s u s ds u s ds k s r u r dr σ + ≤ − + − ∫ ∫ ∫ ∫ (2.102) Dùng giả thiết (F3), ta suy ra rằng ( )/ / /1 2 2 2 2 2( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ) ( ) .Vf u s u s f u s u s B u s u s− ≤ (2.103) Dùng tích phân từng phần trong tích phân cuối cùng trong (2.102) ta được 33 . 0 0 0 0 0 2 '(0, ) ( ) (0, ) 2 (0, ) ( ) (0, ) 2 (0, ) '( ) (0, ) . t s s t s J u s ds k s r u r dr u t k t r u r dr u s ds k s r u r dr = − = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.104) Ta suy ra từ (2.101) và (2.104) rằng 1 1 2 2 2 0 0 1 22 0 0 2 1 1 0 0 1 22 1 0 0 2 ( ) ( ) ( ) 2 '( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) 2 '( ) ( ) , 0. t t t t t t t t J t k r dr r dr t k r dr r dr t k r dr r dr t k r dr r dr σ σ σ β σ σβ σ β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + ⎛ ⎞+ ∀ >⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.105) Đặt 1 2(0, ; )1,2 , min '( ), ''( ) | . |i L T V s Mi s M M max u m H s m max H s∞ ≤= ≤ = = = (2.106) Từ giả thiết (A6) ta cĩ 1.m > − Mặt khác, do tích phân từng phần và (2.106), ta suy ra rằng ( ) 1 1 2 0 0 0 1 2 2 0 1 2 2 2 0 0 2 2 1 2 1 2 0 2 1 2 ( ) '(0, ) 2 ( (0, ) (0, )) '(0, ) (0, ) '( (0, ) (0, )) (0, ) ''( (0, ) (0, ))( ' (0, ) '(0, )) (0, ) (0, ) ' (0, ) ' (0, ) t t t t dH s u s ds H u s u s ds u s ds d u t H u s u s ds u s ds H u s u s u s u s d m u t m u s u s u s ds m u θθ θ θ θ θ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ = + − + + ≥ − + ≥ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )2 1 2 0 (0, ) ( ) ' (0, ) ' (0, ) . t t m s u s u s dsσ− +∫ (2.107) Từ (2.102) – (2.104) và (2.107) ta thu được 34 . ( ) ( ) 2 1 2 1 2 0 2 2 0 ( ) (0, ) ( ) ' (0, ) ' (0, ) ' ( ) ( ) ( ). t t t m u t m s u s u s ds b B u s s ds J t σ σ σ η∞ + ≤ + + + ≡ ∫ ∫ (2.108) Chú ý từ (2.106), ta cĩ 2 21 1(1 ) (0, ) ( ) (0, ) ( ).m u t t m u t tσ η+ ≤ + ≤ (2.109) Ta suy ra từ (2.105), (2.108) và (2.109) rằng [ ] 21 2 1 2 2 2 1 2 2 2 0 2 1 1 222 2 1 0 0 0 1 2 ( ) (1 ) (0, ) (1 ) ( ) (1 ) ' (0, ) ' (0, ) ) ( ' ( ) ) ( ) (1 ) ( ) 1(1 ) ( ) 2 '( ) ( ) , 0, 0. t t t t t m m u t t m u s u s b B u s s ds t k r dr t k r dr s ds σ β β η β σ β β σ β σβ β β ∞ + + + ≤ + ⎡ ⎤≤ + + +⎣ ⎦ + + ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ ∀ > ∀ > ∫ ∫ ∫ ∫ (2.110) Chọn 1 20, 0β β> > sao cho 1 2 1 2 11 1(1 ) , (1 )2 2m mβ β β+ + ≥ + ≤ và đặt 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 (0, ) (0, ) 1 ( ) 2(1 ) ( ' (0, ) ' (0, ) ) ( ' ( ) ) 1 2 ' . L T L T R t m u s u s b B u s k T k β β ∞⎡= + + +⎣ ⎤+ + ⎦ (2.111) Khi đĩ từ (2.110) và (2.111) ta cĩ 2 21 0 ( ) (0, ) ( )[ ( ) (0, )] , t t u t R s s u s dsσ σ+ ≤ +∫ (2.112) hay 2( ) (0, ) 0t u tσ + ≡ nhờ bổ đề Gronwall. Định lý 2.1 được chứng minh hồn tất.  Chú thích 2.2. Điều kiện k(0) = 0 trong (A4) là kỹ thuật, ta cĩ thể bỏ qua. Trong trường hợp riêng của H với H(s)=hs, h>0, định lý sau đây là hệ quả của định lý 2.1. 35 Định lý 2.2. Giả sử (A1)-(A4) và (F1)-(F3) đúng. Khi đĩ, với mỗi 0,T > bài tốn (2.1)-(2.5) cĩ ít nhất một nghiệm yếu (u,P) thỏa (2.6), (2.7). Hơn nữa nếu 1β = trong (F3) và hàm B2 thỏa (F4), khi đĩ nghiệm này là duy nhất.  Định lý 2.2 cho cùng kết quả trong [11] nhưng giả thiết “B1 khơng giảm” đã dùng trong [11] thì khơng cần thiết ở đây. Trong trường hợp riêng với k(t) ≡ 0, kết quả sau đây là hệ quả của định lý 2.1 Định lý 2.3. Giả sử (A1), (A2), (A3), (A5) và (F1)-(F3) đúng. Khi đĩ với mỗi 0,T > bài tốn (2.1)-(2.4) tương ứng với P = g cĩ ít nhất một nghiệm yếu thoả (2.6). Hơn nữa, nếu 1β = trong (F3) và nếu các hàm H và B2 lần lượt thỏa các giả thiết /6( )A và (F4), khi đĩ nghiệm này là duy nhất. Chú thích 2.3. Giống như chú thích 2.2, định lý 2.3 cũng cho cùng kết quả trong [7] nhưng giả thiết: “B1 khơng giảm” đã dùng trong [7] thì khơng cần thiết ở đây. 36 CHƯƠNG 3. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM Trong phần này, ta giả sử rằng 1β = trong (F3) và các hàm H, B2 lần lượt thoả /6( )A , (F4). Do định lý 2.1 bài tốn (2.1)-(2.5) cĩ nghiệm duy nhất (u,P) phụ thuộc vào g, k, H. u = u(g,k,H), P = P(g,k,H), (3.1) trong đĩ g, k, H thoả các giả thiết (A3)-(A6) và u0, u1, b, f là các hàm cố định thoả (A1),(A2), (F1)-(F4). Ta đặt 2 0 0 0 0 / / 0 ( , ) ( ) : (0) 0, ( ) , ( ) 1, , sup( ( ) ( ) ) ( ), 0 , s M h H H C IR H H s ds h H x x IR H s H s H M M ≤ ⎧⎪ℑ = ∈ = ≥ −⎨⎪⎩ ⎫> − ∀ ∈ + ≤ ∀ > ⎬⎭ ∫x trong đĩ ho > 0 là hằng số cho trước và H0 : IR+ → IR+ là hàm số cho trước. Khi đĩ ta cĩ định lý sau. Định lý 3.1 Giả sử 1β = và (A1), (A2), (F1)-(F4) đúng. Khi đĩ, với mỗi T > 0, nghiệm của bài tốn (2.1)-(2.5) là ổn định đối với dữ kiện g, k, H, tức là Nếu (g,k,H), 1 1 0 0( , , ) (0, ) (0, ) ( , ), (0) (0) 0,j j j jg k H H T H T h H k k∈ × ×ℑ = = sao cho ( , , ) ( , , )j j jg k H g k H→ trong [ ]1 1 1(0, ) (0, ) ( , )H T H T C M M× × − mạnh, khi j → +∞, với mọi M>0. (3.2) Khi đĩ 37 (uj, ,/ju uj(0,t),Pj) → (u, u’, u(0,t), P) trong 2 0 0(0, ; ) (0, ; ) ([0, ]) ([0, ])L T V L T L C T C T∞ ∞× × × (3.3) mạnh, khi j → +∞, với mọi M, trong đĩ uj = u(gj,kj,Hj), Pj =P(gj,kj,Hj). Chứng minh. Trước hết, ta chú ý rằng, nếu các dữ kiện (g,H,K) thoả 1 10 0 0 0(0, ) (0, ) , , ( , ), H T H T g G k K H h H≤ ≤ ∈ℑ (3.4) Khi đĩ, các đánh giá tiên nghiệm cho các dãy {um } và {Pm} trong chứng minh của định lý 2.1 thoả [ ]2 2/ 2( ) ( ) , 0, , 0,m m TVu t u t C t T T+ ≤ ∀ ∈ ∀ > (3.5) [ ]2/ 2 0 (0, ) , 0, , 0, t m Tu s ds C t T T≤ ∀ ∈ ∀ >∫ (3.6) [ ]2/ 2 0 ( ) , 0, , 0, t m TP s ds C t T T≤ ∀ ∈ ∀ >∫ (3.7) trong đĩ CT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào 0 1 0 0 0, , , , , , T u u f G K h (độc lập với g, k, h) Do đĩ, giới hạn (u,P) trong các khơng gian hàm thích hợp của dãy {(um,Pm)} được xác định bởi (2.14)–(2.16), là nghiệm của bài tốn (2.1)–(2.5) tương ứng với (g,k,H) = (gj,kj,Hj) thoả [ ]2 2/ 2( ) ( ) , 0, , 0,j j TVu t u t C t T T+ ≤ ∀ ∈ ∀ > (3.8) [ ]2/ 2 0 (0, ) , 0, , 0, t j Tu s ds C t T T≤ ∀ ∈ ∀ >∫ (3.9) 38 [ ]2/ 2 0 ( ) , 0, , 0. t j TP s ds C t T T≤ ∀ ∈ ∀ >∫ (3.10) Đặt % , , .jjj j jjg g g k k k H H H= − = − = − (3.11) Khi đĩ, vj = uj – u và Qj = Pj – P, thoả bài tốn sau // / 0, 0 1, 0 , (0, ) ( ), (1, ) 0, ( ,0) ( ,0) 0, j jxx j jx j j j j v v x t T v t Q t v t v x v x χ⎧ − + = < < < <⎪⎪ = =⎨⎪ = =⎪⎩ (3.12) ( ) / / 0 ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) ( ) ( (0, )) ( (0, )) ( ) (0, ) , j j j t j j jj b x t f u u f u u Q t g t H u t H u t k t s v s ds χ⎧ = −⎪⎨ = + − − −⎪⎩ ∫ (3.13) 0 ˆ ( ) ( ) ( (0, )) ( ) (0, ) . t j j j j j jg t g t H u t k t s u s ds= + − −∫ %%% (3.14) Sử dụng bổ đề 2.6 với u0 = u1 = 0, F = 0, ,jχ χ= P = Qj ta cĩ 2 2/ / / 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ) 2 ( ), ( ) . 0. t t j j j j j jv v t v t Q s v s ds s v s dsχ+ + + =∫ ∫ (3.15) Đặt 2 2/ 2( ) ( ) ( ) (0, ),j j j jvS t v t v t v t= + + (3.16) / // 1 2min ( ) 1, max | ( ) | . T Ts C s C m H s m H s≤ ≤= > − = (3.17) Khi đĩ ta cĩ được bất đẳng thức sau đây 39 ( ) 2 2/ 2 1 / 2 0 22 / 0 0 / / 2 0 ( ) ( ) (0, ) ( ( ) ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ) (0, ) ( ) j j jV t j j t t jj j j j v t v t m v t b B u s S s ds S t g t g s ds S s ds m u s u s S s ds ε εε ∞ + + ≤ + ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ + + ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 (0, ) (0, ) 0 11 ' ( ) ( ), t t j jL T L T k T k S s ds tηε ⎛ ⎞+ + + ≡⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ (3.18) với mọi ε > 0 và t∈ [0,T]. Ta chú ý rằng 22 (0, ) ( ) ,j j Vv t v t≤ do đĩ ( ) 2 22 / 21 11 (0, ) ( ) ( ) (0, ) ( ).j j j j jvm v t v t v t m v t tη+ ≤ + + ≤ (3.19) Nhân hai vế của (3.19) bởi một số δ > 0 và cộng với (3.18), ta cĩ [ ]2 2/ 21 1 22 / 0 0 ( ) ( ) (1 ) (0, ) (1 ) ( ) 1 ˆ ˆ(1 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) , j j jv j t j j j t j j v t v t m m v t t S t g t g t ds r T s S s ds δ δ η δ ε ε ε + + + + ≤ + ⎡ ⎤⎛ ⎞≤ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ + ∫ ∫ (3.20) với mọi ε > 0, δ > 0 và t∈ [0,T], trong đĩ ( ) 2 2 2 2 2(0, ) (0, ) / / 2 1( , , ) 1 ' ( '( ) ) (0, ) (0, ) . j L T L T j r T s k T k b B u s m u s u s ε ε ε ∞= + + + + + + (3.21) Chọn δ > 0 và ε > 0 sao cho (1+m1)δ + m1 ≥ 1 ,2 ε(1+δ) ≤ 1 2 . Chú ý rằng 1 0(0, ) ([0, ]),H T C T  nên từ (3.20), ta cĩ 40 ,),,()1(2ˆˆ1)1(2)( 0 2 ),0( )1( 1 ∫+++≤ T jTHjTj dssTrgCtS εδεδ (3.22) trong đĩ )1(ˆTC là một hằng số phụ thuộc vào T. Do bổ đề Gronwall, ta thu được từ (3.20) rằng 1 2(1) (0, ) 0 1 ˆ ˆ( ) 2(1 ) exp 2(1 ) ( , , ) , T j T j jH T S t C g r T s dsδ δ εε ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (3.23) với mọi t∈[0,T]. Mặt khác, ta thu được từ (3.9), (3.13), và (3.21), rằng [ ],,0,ˆˆ)( 2 ),0( )2( 1 TtgCtS THjTj ∈∀≤ (3.24) 2 1/ 2 (0, ) 0 ˆ( ) ( ) max '( ) ( ) ( ) . T t j j j jL Ts C Q t g t H s S t k S s ds ≤ ⎛ ⎞≤ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (3.25) Ta dùng một lần nữa phép nhúng H1(0,T)  C0([0,T]). Khi đĩ, ta suy từ (3.24) và (3.25) rằng [ ]0 1 2(3) ( 0, ) (0, ) ˆ ˆ .j T jC T H TQ C g≤ (3.26) Ở bước cuối cùng, ta chỉ cần chứng minh rằng 1 2 (0, ) ˆlim 0.j H Tj g→+∞ = (3.27) Thật vậy, từ (3.14) kết hợp với (3.9), ta suy ra bất đẳng thức sau % [ ]1 1 11 2 (0, ) (0, ) ( , )(0, ) . T T jjT Tj j H T H T C C CH T g g TC k T C H − ≤ + + + Định lý 3.1 được chứng minh hồn tất.  41 CHƯƠNG 4. XÉT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Trong chương này ta xét một bài tốn cụ thể sau: Tìm một cặp các hàm (u,P) thỏa ( , ), (0,1), 0 ,tt xx tu u Ku u F x t x t Tλ− + + = ∈Ω = < < (4.1) ux(0,t) = P(t), (4.2) u(1,t) = 0, (4.3) u(x,0) = u0(x), ut(x,0) = ut(x), (4.4) trong đĩ K, λ là các hằng số cho trước, các hàm u0, u1, f, F cũng cho trước, hàm chưa biết u(x,t) và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa một bài tốn Cauchy sau đây cho bởi phương trình vi phân thường // ( )P t + 2ω P(t) = hutt(0,1), 0<t<T, (4.5) P(0) = P0 , / 1(0)P P= , (4.6) trong đĩ 0 10, 0, ,h P Pω > ≥ là các hằng số cho trước [11]. Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài tốn (4.1)-(4.6) với u0 = u1 = P0 = 0 và với F(x,t) = 0. Trong trường hợp này của bài tốn (4.1)-(4.6) là mơ hình tốn học miêu tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1]. Từ (4.5), (4.6) ta biểu diễn P(t) theo P0, P1, ω , h, utt(0,t) và sau đĩ tích phân từng phần, ta thu được P(t) = g(t) + hu(0,t) - ∫ −t dssustk 0 ,),0()( (4.7) trong đĩ ω ωω thuPthuPtg sin))0((cos))0(()( 1100 −+−= , (4.8) ( ) sin .k t h tω ω= (4.9) Bằng cách khử ẩn hàm P(t), ta thay thế điều kiện biên (4.2) bởi 42 0 (0, ) ( ) (0,1) ( )(0, ) . t xu t g t hu k t s s ds= + − −∫ (4.10) Khi đĩ chúng ta đưa bài tốn (4.1)-(4.6) về bài tốn (4.1)-(4.4), (4.7)-(4.10). Ta xét bài tốn cụ thể với u0 = u1 = P0 = F(x,t) = 0, P1 = h = ω =1, K = 1, πλ = . Khi đĩ 0 ( ) ( ) sin , ( ) sin (0, ) sin( ) (0, ) . t g t k t t P t t u t t s u s ds = =⎧⎪⎨ = + − −⎪⎩ ∫ (4.11) Chúng ta sử dụng xấp xỉ Galerkin để tìm nghiệm xấp xỉ theo dạng 1 ( ) ( ) , m m mj j j u t c t = = ∑ w (4.12) trong đĩ 2 2( ) cos( ), (2 -1) , 1, 2,..... 21j j jj pw x l x l j j l = = =+ (4.13) là một cơ sở trực chuẩn đặc biệt trong V được thành lập từ các hàm riêng của tốn tử Laplace 2 2/ x−∂ ∂ như đã nĩi ở chương 2. Các hàm cmj(t) trong (4.12) thỏa một hệ phương trình vi - tích phân sau đây // /( ), ( ( ), ) ( ) (0) ( ) ( ), ( ), , 1 , m j m j m j m m j j u t w a u t w P t w Ku t u t w F t w j m λ+ + + + = ≤ ≤ (4.14) / / 1 1 (0) (0) 0, (0) (0) 0, m m m mj j m mj j j j u c w u c w = = = = = =∑ ∑ (4.15) ∫ −−+= t mmm dssustuttP 0 .),0()sin()1,0(sin)( (4.16) Hệ phương trình (4.14)-(4.16) được viết lại dưới dạng ( )// 2 /2 / 1( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ), ( ), , (0) (0) 0, 1 , m j mj m j m m j j j mj mj c t c t P t w u t u t w F t w w c c j m λ π−⎧ + = + + −⎪⎪⎨⎪ = = ≤ ≤⎪⎩ (4.17) hay là 43 ( )// / 2 2 / 1( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (0) ( ), , (0) (0) 0, 1 . mj mj j mj m j j j mj mj c t c t c t P t w F t w w c c j m π λ⎧ + + + = − +⎪⎪⎨⎪ = = ≤ ≤⎪⎩ (4.18) Ta sử dụng các bổ đề sau Bổ đề 4.1. Nghiệm của bài tốn Cauchy sau đây 2 0 1 "( ) ( ) ( ), 0, (0) , '(0) , y t y t H t t y y y y μ⎧ + = >⎨ = =⎩ (4.19) cho bởi cơng thức [ ] .)()(sin)sin()cos()( 0 10 ττμ τμ μ μμ dHttytyty t∫ −++= (4.20) Bổ đề 4.2. Nghiệm của bài tốn Cauchy sau đây 2 0 1 "( ) '( ) (1 ) ( ) ( ) , 0, (0) , '(0) , jd t d t d t Q t t d d d d π λ⎧ + + + = >⎪⎨ = =⎪⎩ (4.21) cho bởi cơng thức 0 1 0 0 2 2 2 sin ( )sin( ) ( ) exp( ) cos( ) ( ) exp( ) ( ) , 2 2 2 1 1 ( 1) . 4 t jj j j j j j tttd t d t d d Q d j j μ τμπ π πτμ τ τμ μ πμ μ λ π ⎧ ⎡ ⎤⎡ ⎤−− ⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥= + + +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎨⎪⎪ = ≡ + − = + −⎩ ∫ (4.22) Chứng minh. Chứng minh bổ đề 4.1 khơng khĩ khăn, ta bỏ qua nĩ. Để nghiệm lại (4.22) là nghiệm của (4.21), ta chỉ cần lấy đạo hàm của (4.22) rồi thay trực tiếp vào (4.21). Ngược lại coi d(t) là nghiệm của (4.21), khi đĩ )() 2 exp()( tdtty π= là nghiệm của bài tốn Cauchy (4.19) với 0 0 1 1 0( ) exp( ) ( ) , , .2 2 ttH t e Q t y d y d dπ π= = = + (4.23) Áp dụng bổ đề 4.1, ta sử dụng cơng thức (4.20), ta thu được cơng thức (4.22). Trở lại hệ (4.18), ta áp dụng bổ đề 4.2 với 44 0 1 2 ( ) ( ), 0, 0, 1( ) ( ) ( ) (0) ( ), . mj mj m j j j d t c t d d Q t Q t P t w F t w w = = =⎧⎪⎪⎨ ⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦⎪⎪⎩ (4.24) Ta viết nghiệm của hệ (4.18) như sau ( ) 2 0 ( ) 2 2 0 ( ) 2 0 0 sin ( ) ( ) ( ) sin ( )1 ( ) (0) ( ), sin ( )2 (0, ) sin( ) (0, ) = = t tj mj mj j t tj m j j jj t tj m m jj t c t e Q d t e P w F w d w t e u s u s ds d w π τ π τ π ττ μ τ τ τμ μ τ τ τ τμ μ τ τ τ τμ − − − ⎡ ⎤−⎣ ⎦= ⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 0 sin ( )1 sin (0) ( ), . t tj j j jj t e w F w d w π τμ τ τ τ τμ −⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦∫ (4.25) Thay 1 (0, ) ( ) (0) m m mi i i u t c t w = = ∑ vào (4.25) và ta viết lại nĩ dưới dạng ( ) ( ) ( ) ( ), 1 ,mj m j mjc t Lc t G t j m= + ≤ ≤ (4.26) trong đĩ ( ) 2 1 0 0 sin ( )2( ) ( ) (0) ( ) sin( ) ( ) , tm tj m j i mi mi i jj t Lc t w e c s c s ds d w π ττμ τ τ τ τμ − = ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ ∫ (4.27) và ( ) 2 2 0 sin ( )1( ) sin (0) ( ), , 1 . t tj mj j j jj t G t e w F w d j m w π τμ τ τ τ τμ −⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − + ≤ ≤⎣ ⎦∫ (4.28) Khi đĩ ta cĩ bổ đề sau Bổ đề 4.3. Với T>0 cố định, khi đĩ, hệ (4.26) –(4.28) cĩ nghiệm duy nhất cm = (cm1,cm2,,cmm) trong ([0, ]; ).mmC T IR với một ( ]0,mT T∈ nào đĩ. 45 Chứng minh. Chú ý rằng tốn tử 1 2( , ,..., )mL L L L= xác định bởi (4.27) là tốn tử tuyến tính trong ([0, ]; ).mmC T IR Ta đặt 0 sup ( ) m i 1m m mi t T c c t∞ ≤ ≤ = = ∑ là chuẩn trong ([0, ]; ).mmC T IR Mặt khác, với mọi 1 2( , ,..., ) ([0, ]; ),mm m m mm mc c c c C T IR= ∈ ta cĩ 1 ( ) 2 1 1 0 0 ( ) ( ) sin ( )2 (0) ( ) sin( ) ( ) . m m j j tm m tj i mi mi j i jj Lc t t w e c s c s ds d w π ττμ τ τ τ τμ = − = = ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦≤ + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ (4.29) Chú ý rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0) 2 /(1 ) 2 / 1, 1 (0) /(1 ) 1 ( 1) /(1 ), 2 1 1 ( 1) , 4 1 (1 ) / 1 ( 1) . j j j j j j j j j j j j j j w w w j j j j j j w λ π μ μ μ λ π λ πμ μ λ π λ πμ ⎧ = + ≤ <⎪⎪ ⎡ ⎤= = + = + − +⎪ ⎣ ⎦⎪⎪⎨ = = + − = + −⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= + + −⎪ ⎣ ⎦⎪⎩ Ta suy từ (4.29) rằng ( ) 2 1 1 1 0 0 ( ) 2 1 0 sin ( )2( ) ( ) 2 / ( ) ( ) sin ( )22 / tm m m tj m j mi mi j j i jj tm tj m m j jj t Lc t e c c s ds d w t e c c d w π ττ π τ μ τπ τ τμ μ τπ τ τμ − = = = − ∞ ∞= ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎡ ⎤≤ +⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ 2 1 10 2 1 1 2 12 / (1 ) 1/ (2 ) 11/ (2 ) 11/ (2 ) 1/ tm m m m j jj j j j m m j j j m m m m j j j c d c t t w w c t t w c T T w c π τ τ πμ μ π μ π μ π ∞ ∞= = ∞ = ∞ = ≤ + = + = + ≤ + = ∑ ∑∫ ∑ ∑ 2 2 1 1 (2 ) . 1 ( 1) m j m m m j T T j j λ π∞ = ++ + −∑ (4.30) 46 Do đĩ 2 2 1 1 1/ (2 ) . 1 ( 1) m j m m m m j Lc T T c j j λπ π∞ ∞= +≤ + + −∑ (4.31) Chọn Tm > 0 sao cho 2 2 1 1 1/ (2 ) 1. 1 ( 1) m j m m m j T T j j λρ π π= +≡ + <+ −∑ (4.32) Vậy tốn tử m m mc Lc G+a là ánh xạ co từ ([0, ]; )mC T IR vào chính nĩ. Do đĩ bổ đề 4.3 được chứng minh.  Chú thích 4.1. Từ kết quả này, nghiệm 1 2( , ,..., )m m m mmc c c c= của hệ (4.26)-(4.28) được xấp xỉ bởi dãy lặp{ })(kmjc như sau ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)2 1 0 0 (0) ( ) ( ) ( ) ( ) sin ( )2 (0) ( ) sin( ) ( ) ( ), 1,2,..., 1 , 0, 1 , k k mj m j mj tm tj k k i mi mi i jj mj mj c t Lc t G t t w e c s c s ds d w G t k j m c j m π ττμ τ τ τ τμ − − − − = ⎧ = +⎪ ⎡ ⎤−⎪ ⎡ ⎤⎣ ⎦= − + −⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎣ ⎦⎪ + = ≤ ≤⎪⎪ = ≤ ≤⎩ ∑ ∫ ∫ (4.33) trong đĩ ( ), 1 , mjG t j m≤ ≤ được xác định như (4.28). Khi đĩ mkm cc →)( trong ([0, ]; )mC T IR và thỏa đánh giá sai số ( ) 2 2 1 1 1 1/ (2 ) 1. 1 ( 1) mk k m m m m m j m m j G c c T T j j ρρ λρ π π ∞ = ⎧ − ≤ ∀ =⎪ −⎪⎨ +⎪ ≡ + <⎪ + −⎩ ∑m , k 1,2,... „ (4.34) Chú thích 4.2. Ta đã thiết lập nghiệm ( )mc t của hệ (4.26)-(4.28) trên đoạn 0 .mt T≤ ≤ Ta cĩ thể kéo dài nghiệm này trên một đoạn 0 t T≤ ≤ như sau. Trước hết, ta đặt 0 mt T= và [ ]0 0( ) ( ), 0 .m m mc t c t t t T= ≤ ≤ ≡ Giả sử [ ]1 0, 1( ; )mmc C t t IR⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ với t0 < t1 ≤ T sao cho hàm [ ]1( 0, ; )mmc C t IR∈ cho bởi 47 [ ] [ ] 0 0 1 0 1 ( ), 0 , ( ) ( ), , m m m c t t t c t c t t t t ⎧ ≤ ≤⎪= ⎨ ≤ ≤⎪⎩ (4.35) là nghiệm của hệ (4.26)-(4.28) trên khoảng 0 ≤ t ≤ t1. Khi đĩ với [ ] )(1 tcm trên đoạn 0 1t t t≤ ≤ , là nghiệm của hệ sau [ ] 0 1 ( ) 2 1 0 0 ( ) 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) sin ( )2( ) (0) ( ) sin( ) ( ) sin ( )2( ) (0) ( ) sin( ) ( ) m mj m j tm tj mj i mi mi i jj t tj mj i mi mi jj c t G t Lc t t G t w e c s c s ds d w t G t w e c s c s ds w π ττ π ττ μ τ τ τ τμ μ τ τ τμ − = − = + ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦= + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤−⎣ ⎦= + − + − ∑ ∫ ∫ ∫ 0 1 ( ) 2 1 0 sin ( )2 (0) ( ) sin( ) ( ) m i tm tj i mi mi i jtj d t w e c s c s ds d w π ττ τ μ τ τ τ τμ = − = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦+ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 ( ) 0 02 1 0 0 ( 1 02 1 0 sin ( )2( ) (0) ( ) sin( ) ( ) sin ( )2 (0) ( ) sin( ) ( ) tm tj mj i mi mi i jj ttm tj i mi mi i jtj t G t w e c s c s ds d w t w e c s c s ds w π ττ π τ μ τ τ τ τμ μ τ τ τμ − = − = ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦+ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⎡⎣ ⎦+ − + −⎢⎢⎣ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ = [ ] 0 1sin( ) ( )mi t s c s ds d τ τ τ⎤+ − ⎥⎥⎦∫ [ ] [ ] [ ] 0 0 0 ( ) 0 02 1 0 0 ( ) 02 1 0 sin ( )2( ) (0) ( ) sin( ) ( ) sin ( )2 (0) sin( ) ( ) 2 ( tm tj mj i mi mi i jj ttm tj i mi i jtj i j t G t w e c s c s ds d w t w e s c s ds d w w w π ττ π τ μ τ τ τ τμ μ τ τ τμ − = − = ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦= + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 ( ) 1 12 1 1 1 1 sin ( ) 0) ( ) sin( ) ( ) ( ) ( ) ( ), tm tj mi mi i jt t mj m j t e c s c s ds d G t L c t π ττμ τ τ τ τμ − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ≡ + ∑ ∫ ∫ (4.36) hay [ ] [ ] [ ]1 1 1[1] 1( ) ( ) ( ) ( ), , ,mj mj m jc t G t L c t t t j m= + ≤ ≤ ≤ ≤0 t 1 (4.37) 48 trong đĩ [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 ( )1 1 1 12 1 sin ( )2( ) ( ) (0) ( ) sin( ) ( ) , tm tj m j i mi mi i jt tj t L c t w e c s c s ds d w π ττμ τ τ τ τμ − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦= − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ (4.38) [ ] [ ] [ ] 0 0 0 ( )1 0 [0]2 1 0 0 ( ) 02 1 0 sin ( )2( ) ( ) (0) ( ) sin( ) ( ) sin ( )2 (0) sin( ) ( ) , tm tj mj mj i mi mi i jj ttm tj i mi i jtj t G t G t w e c s c s ds d w t w e s c s ds d w π ττ π τ μ τ τ τ τμ μ τ τ τμ − = − = ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦= + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ 0 t 1, .t t j m≤ ≤ ≤ ≤ 1 (4.39) Chú ý rằng tốn tử [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 2( , ,..., )mL L L L= xác định bởi (4.38) là tốn tử tuyến tính trong [ ]1 0 1( , ; ).mX C t t IR= Ta đặt 1 0 1 sup ( )m miX t t t c c t ≤ ≤ = ∑m i=1 là chuẩn trong [ ]1 0 1( , ; ).mX C t t IR= Mặt khác, với mọi [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 2 1 0 1( , ,......., ) ( , ; ),mm m m mmc c c c X C t t IR= ∈ = ta cĩ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 12 1 1 ( ) 1 12 1 1 ( ) ( ) sin ( )2 (0) ( ) sin( ) ( ) sin ( )2 2 / ( ) ( ) m m j j tm m tj i mi mi j i jt tj tm m tj mi mi j i jt tj L c t t w e c s c s ds d w t e c c s ds d w π ττ π ττ μ τ τ τ τμ μ τπ τ τμ = − = = − = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦≤ + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦≤ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ [ ] [ ] 1 1 0 ( ) 1 12 0 1 sin ( )22 / ( ) tm tj m mX Xj jtj t e c t c d w π τμ τπ τ τμ − = ⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎡ ⎤≤ + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 22 / (1 ) 11/ ( ) 2 11/ ( ) 2 . tm m X j tj j m m X j j j m m X j j j c t d w c t t t t w c t t t t w π τ τμ π μ π μ = = = ≤ + − = − + − ≤ − + − ∑ ∫ ∑ ∑ (4.40) 49 Chọn t1 = 2t0 . Khi đĩ ta cĩ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 0 2 1 11/ (2 ) 1 1/ (2 ) 1 ( 1) 1 1/ (2 ) , 1 ( 1) m m m m mX X j j j m j m m m Xj m j m m mX Xj L c T T c w T T c j j t t c c j j π μ λπ π λπ ρπ = = = ≤ + ++ + − += + =+ − ∑ ∑ ∑ = (4.41) với 1 )1(1 1 )2(/1 1 2 2 00 <−+ ++≡ ∑ = m j j m jj tt π λπρ như (4.32). Vậy tốn tử m m mc L c G+a[1] [1] [1] [1] là co từ [ ]1 0 0( , 2 ; )mX C t t IR= vào chính nĩ. Do đĩ tốn tử này cĩ một điểm bất động [ ]1 0 0( , 2 ; ).mmc X C t t IR∈ =[1] Vậy hàm cm cho bởi cơng thức (4.35) với 1 02t t= là nghiệm của hệ (4.26)-(4.28) trên 00 2t t≤ ≤ . Lý luận tương tự ta cũng kéo dài nghiệm của hệ trên 0 t T≤ ≤ bằng cách nối liên tục các hàm [ ]2 0 0( 2 ,3 ; )mmc X C t t IR∈ =[2] , [ ]3 0 0( 3 , 4 ; ),mmc X C t t IR∈ =[3] trong đĩ các hàm mc[2] , mc[3] , là nghiệm của các hệ phương trình tích phân được cho tương tự như trên.  50 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và cĩ hệ thống. Tác giả cũng học tập được phương pháp nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, thảo luận trong nhĩm sinh hoạt học thuật tại thành phố Hồ Chí Minh do Thầy hướng dẫn tổ chức. Chúng tơi cũng học tập được cơng cụ của Giải tích hàm phi tuyến để khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài tốn biên phi tuyến, chẳng hạn như: phương pháp Galerkin liên hệ với các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật về tính compact và hội tụ yếu. Trong phần này, chúng tơi cũng cĩ dịp sử dụng được định lý Schauder trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin. Chúng tơi đã cụ thể các vấn đề trên vào một ví dụ trình bày trong chương 4, để minh họa phương pháp tìm nghiệm của bài tốn trên. Các kết quả thu được ở các chương 2, 3, 4 nhìn chung cũng là một đĩng gĩp khá khiêm tốn của tác giả. Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi từ sự đĩng gĩp và chỉ bảo của Quý Thầy Cơ trong và ngồi Hội đồng. 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều, Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J. Mech. NCSR, Vietnam, XIII (2) (1991), 1-7. [2] Đặng Đình Áng, Alain Phạm Ngọc Định, Mixed problem for some semilinear wave equation with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 12 (1988), 581-592. [3] R. A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork, 1975. [4] Maitine Bergounioux, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 43 (2001), 547-561. [5] Alain Phạm Ngọc Định, Sur un problème hyperbolique faiblement nonlinéaire en dimension 1, Demonstratio Math. 16 (1983), 269-289. [6] Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math. 19 (1986), 45-63. [7] Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long, The semilinear wave equation associated with a nonlinear boundary, Demonstratio Math. 30 (1997), 557-572. [8] Lê Hồn Hĩa, Lê Thị Phương Ngọc, The connectivity and compactness of solution set of an integral equation and weak solution set of an initial boundary value problem, Demonstratio Math., 39 (2006) (to appear). [9] J. L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non- linéaires, Dunod-Gauthier-Villars, Paris, 1969. [10] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, On the quasilinear wave: ( , ) 0tt tu u f u u− Δ + = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19 (1992), 613-623. 52 [11] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal. 24 (1995), 1261-1279. [12] Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm, On the nonlinear wave equation ( , , , , )ux xtt tu u f x t u u u− = associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 29 (1997), 1217-1230. [13] Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math. 36 (2003), No.4, 915-938. [14] Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng, A nonlinear wave equation associated with a nonlinear integral equation involving boundary value, Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2004 (2004), No. 103, pp.1-21. ISSN: 1072-6691. URL: or [15] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Cơng Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc, On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math., 38 (2005), No.2, 365-386. [16] Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc, On a shock problem involving a linear viscoelastic bar, J. Nonlinear Analysis, (2005) (to appear). [17] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm, On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, J. Boundary Value Problems, (2005) (to appear). [18] E.L.Ortiz, Alain Phạm Ngọc Định, Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method, SIAM J. Math. Anal. 18 (1987), 452-464. [19] Nguyễn Phú Vinh, Dao động của vật rắn và thanh đàn hồi với ràng buộc đàn hồi nhớt ở mặt bên, Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ, ĐHQG Tp. HCM, Tập 6, Số 12, (2003), 5-14.