Luận văn Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến trong khoa học ứng dụng

GIỚI THIỆU Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và áp dụng. Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý, cơ học, sinh học, ..., và đã được nghiên cứu một cách rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Quá trình tìm kiếm lời giải cho các bài toán biên góp phần rất lớn vào sự phát triển của nhiều kết quả lý thuyết trong giải tích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, ...) và giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Wavelet,...). Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán biên xuất hiện trong khoa học ứng dụng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [2, 3, 57] và các tài liệu tham khảo trong đó, cũng như trong các bài báo đăng trên các tạp chí khoa học có uy tín của nhiều tác giả như J. L. Lions [53, 54], H. Brezis [17, 19], F. E. Browder [20, 21], .... Số lượng các tạp chí có công bố các kết quả liên quan đến lĩnh vực này chiếm một tỉ lệ rất lớn, trong đó có các tạp chí chuyên về lĩnh vực bài toán biên như tạp chí Boundary Value Problem của nhà xuất bản Hindawi. Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung và lý thuyết các bài toán biên nói riêng đã được sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trong và ngoài nước. Hiện nay, có rất nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng với những điều kiện biên khác nhau như phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động, phương pháp đơn điệu, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới,.... Tuy nhiên, nói chung, chúng ta không có một phương pháp tổng quát cho phép tiếp cận mọi bài toán biên phi tuyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng. Việc lựa chọn phương pháp thích hợp để nghiên cứu các bài toán đó là một yếu tố rất quan trọng. Chính vì vậy, vấn đề 3 Giới thiệu 4 khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn. Luận án này trình bày những kết quả của chúng tôi trong việc nghiên cứu một số bài toán trong lý thuyết phương trình vi phân, đạo hàm riêng và phương trình vi tích phân. Dưới đây là một sự giới thiệu tổng quan về những nội dung có trong luận án. Nội dung thứ nhất liên quan đến các bài toán biên cho phương trình sóngmột chiều. Những kết quả đầu tiên về lĩnh vực này được cho bởi D’Alembert (1717 - 1793) và Euler (1707 - 1783), xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định. Mô hình toán học cho bài toán này, do D’Alembert đề nghị, có dạng ∂2u ∂t2 = c2 ∂2u ∂x2 , (1) trong đó u(x, t) là độ lệch theo phương thẳng đứng của dây, so với vị trí cân bằng, tại điểm x và thời gian t. Một mô hình khác cho bài toán vật lý tương tự đã được thiết lập bởi Kirchhoff [52] và Carrier [22]. Giả sử h là thiết diện và L là chiều dài sợi dây ở trạng thái cân bằng; E là môđun Young và P0 là lực căng ban đầu. Khi đó, mô hình Kirchhoff - Carrier cho dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định được xác định bởi phương trình ∂2u ∂t2 = ( P0 + Eh 2L ∫ L 0 ( ∂u ∂x )2 dx ) ∂2u ∂x2 . (2) Cho đến nay bài toán dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được quan tâm rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Nhiều kết quả định tính và định lượng đã được công bố liên quan đến các phương trình sóng một chiều cũng như nhiều chiều kết hợp với các điều kiện biên khác nhau [4, 5, 9, 13, 14, 15, 29, 30, 34, 36, 46, 50, 51, 81],.... Trong chương 1 của luận án này, chúng tôi khảo sát hai bài toán biên cho các phương trình thuộc dạng (1) hoặc (2) với một số điểm khác biệt so với các kết quả trước đó. Bài toán 1. Chúng tôi khảo sát sự tồn tại nghiệm địa phương của phương trình Giới thiệu 5 Kirchhoff phi tuyến utt − µ ( t, ‖u‖22, ‖ux‖22 ) uxx = f (x, t, u), (x, t) ∈ Ω× (0, T), (3) kết hợp với các điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất ux(0, t)− h0u(0, t) = ux(1, t) + h1u(1, t) = 0, (4) và các điều kiện đầu u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x). (5) Phương trình dạng (3) kết hợp với các loại điều kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như Cousin [30], Frota [38], Miranda [50, 51], Medeiros [74], Yang [102], .... Các bài báo này chú ý đến những khía cạnh khác nhau như sự tồn tại và duy nhất của nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục; sự ổn định của nghiệm cũng như các phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... Trong [75, 76], Mederios và các tác giả đã cung cấp khá nhiều kết quả toán học liên quan đến các phương trình Kirchhoff cùng dạng với (3). Như một sự tiếp nối và mở rộng các công trình trước đây [35, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 84], ở đó phương pháp xấp xỉ tuyến tính được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của một dãy lặp hội tụ bậc một hoặc bậc hai về nghiệm địa phương của các mô hình tương ứng, trước hết chúng tôi xây dựng một dãy lặp phi tuyến {um}m∈Z+ xác định bởi u0 = 0 và với mọi m ∈ N, um là nghiệm của phương trình ∂2um ∂t2 − µ ( t, ‖um‖22, ‖umx‖22 ) umxx = f (x, t, um−1) + N−1 ∑ i=1 1 i! ∂i f ∂ui (x, t, um−1) (um − um−1)i , (6) thỏa các điều kiện (4)− (5). Sự tồn tại của dãy {um}m∈Z+ như thế được chứng minh bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận compắc. Khi đó, nếu µ ∈ C1 (R3+) và f ∈ CN ([0, 1]×R+ ×R), chúng Giới thiệu 6 tôi chứng minh dãy {um} hội tụ về nghiệm duy nhất u của bài toán (3)− (5) với tốc độ hội tụ bậc N theo nghĩa như sau ‖um − u‖L∞(0,T;H1) + ‖ · um − ·u‖L∞(0,T;L2) ≤ C ( ‖um−1 − u‖L∞(0,T;H1) + ‖ · um−1 − ·u‖L∞(0,T;L2) )N , (7) với mọi m ≥ 1, trong đó C là một hằng số không phụ thuộc m. Kết quả trên đây đã được công bố trong [T5]. Ngoài ra, sử dụng phương pháp này, chúng tôi cũng thu được những kết quả tương tự cho một số mô hình khác, đã được công bố trong [T7, T8, T9]. Bài toán 2. Một phương trình sóng tuyến tính kết hợp với các điều kiện biên loại hai điểm được quan tâm nghiên cứu. Cụ thể chúng tôi xét bài toán sau utt − uxx + Ku+ λut = f (x, t), (x, t) ∈ Ω× (0,∞), (8) ux(0, t) = h0u(0, t) + λ0ut(0, t) + h˜1u(1, t) + λ˜1ut(1, t) + g0(t), (9) −ux(1, t) = h1u(1, t) + λ1ut(1, t) + h˜0u(0, t) + λ˜0ut(0, t) + g1(t), (10) u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), (11) trong đó h0, h1, λ0, λ1, h˜0, h˜1, λ˜0, λ˜1, K, λ là các hằng số và u0, u1, f , g0, g1 là các hàm số cho trước. Mặc dù phương trình (8) là rất cổ điển và đã được nghiên cứu nhiều [18, 67], ..., nhưng điểm khác biệt chính của bài toán (8)− (11) so với các kết quả trước đó là cấu trúc hai điểm của điều kiện biên. Cấu trúc này có thể xem như là sự mở rộng các bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân thường sang các phương trình đạo hàm riêng mà, theo hiểu biết của chúng tôi, vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Để giải quyết những khó khăn xuất phát từ điều kiện biên chúng tôi sử dụng một bất đẳng thức liên quan đến dạng toàn phương ( xem Phụ lục D.5). Nhờ đó, sự tồn tại duy nhất và tính chính quy của nghiệm toàn cục được chứng minh với các giả thiết thích hợp. Ngoài ra, chúng tôi cũng thiết lập một kết quả về tính chất tắt dần theo hàm mũ của nghiệm bằng phương pháp Lyapunov. Các kết quả này được công bố trong [T6]. Giới thiệu 7 Nội dung thứ hai của luận án, được trình bày trong chương 2, đề cập đến một bài toán biên xuất hiện trong lý thuyết dao động của các vật liệu đàn hồi nhớt. Mô hình mà chúng tôi nghiên cứu có dạng utt − uxx + t∫ 0 k(t− s)uxx(s)ds+ Kψp(u) + λψq(ut) = f (x, t), (x, t) ∈ Ω×R+, (12) ux(0, t) = u(0, t), ux(1, t) + ηu(1, t) = g(t), (13) u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), (14) trong đó ψr(z) = |z|r−2z; K,λ, η ≥ 0; p, q ≥ 2 là các hằng số và u0, u1, f , g là các hàm số cho trước. Trong tài liệu chuyên khảo [89], các tác giả đã phân loại và trình bày nhiều kết quả liên quan đến những mô hình toán học mô tả chuyển động của các vật liệu đàn hồi nhớt. Nói chung, những kết quả đó tập trung vào một số vấn đề như sự tồn tại nghiệm địa phương, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm toàn cục, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞, ..., bằng cách sử dụng định lý hàm ẩn, phương pháp năng lượng, phương pháp nửa nhóm, .... Sử dụng các đánh giá năng lượng kết hợp với tính chất của nhân xác định dương mạnh (xem [94, 95]), Dafermos và Nohel [32] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của phương trình utt = φ (ux)x + ∫ t 0 k′(t− s)ψ (ux(s))x ds+ f (x, t), (x, t) ∈ Ω×R+, (15) kết hợp với các điều kiện biên loại Dirichlet và các điều kiện đầu (14). Điểm đáng lưu ý trong kết quả này là giả thiết về tính xác định dương mạnh của k, k′ và k′′. Tính chất này đã được sử dụng bởi nhiều tác giả trong việc khảo sát các phương trình tích phân và vi tích phân dạng Volterra (xem [31, 48, 94]...). Tính xác định dương mạnh còn được sử dụng cho các phương trình vi tích phân bậc phân số. Chẳng hạn như, trong [77], Messaoudi, Houari và Tatar đã chứng minh sự tồn tại toàn cục cũng như tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm Giới thiệu 8 của bài toán utt − uxx − ∫ t 0 kα,β(t− s)uxxt(s)ds = a |u|p−2 u, x ∈ (0, 1), u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ (0, 1) trong đó nhân kα,β(t) = t −αe−βt Γ(1−α) , với Γ là hàm Gamma, là hàm xác định dương mạnh. Bên cạnh đó, có nhiều kết quả khác nghiên cứu sự tồn tại toàn cục và dáng điệu tiệm cận khi t → ∞, cho các mô hình tương tự mà không sử dụng tính xác định dương mạnh của nhân [10, 11, 23, 24, 25, 26]. Trong [23], các tác giả đã nghiên cứu phương trình utt − ∆u+ ∫ t 0 g(t− s)∆u(s) ds+ a(x)ut + |u|γ u = 0, trongU × (0,+∞), (16) với điều kiện biên Dirichlet, trong đó U ⊂ Rn là một tập mở bị chặn và a : U → R+ là hàm số có thể triệt tiêu trên một phần của U. Với nhân g thỏa điều kiện 1− ∫ ∞ 0 g(s)ds > 0, −ζ1g(t) ≤ g′(t) ≤ −ζ2g(t), t ≥ 0, (17) họ đã thiết lập tính chất tắt dần theo hàm mũ của nghiệm. Kết quả này sau đó đã được cải tiến bởi Berrimi và Messaoudi [10] với các điều kiện yếu hơn của a và g. Trong [26], Cavalcanti và Oquendo đã xét phương trình utt − k0∆u+ ∫ t 0 div [a(x)g(t− s)Ou(s)] ds+ b(x)h (ut) + f (u) = 0, (18) với các giả thiết tương tự (17) đối với nhân g và a(x) + b(x) ≥ ρ > 0, với mọi x ∈ U. Họ đã cải tiến kết quả của [23] bằng cách chứng minh rằng nghiệm sẽ tắt dần theo hàm mũ nếu g tắt dần theo hàm mũ và h tuyến tính còn nghiệm sẽ tắt dần theo bậc đa thức nếu g tắt dần theo đa thức và h là một hàm phi tuyến. Với các dữ kiện đầu bé, Berrimi và Messaoudi [11] đã chứng minh sự tồn tại toàn cục và tắt dần theo hàm mũ của nghiệm của phương trình utt − ∆u+ ∫ t 0 g(t− s)∆u(s) ds = |u|γu, trongU × (0,+∞), (19) Giới thiệu 9 kết hợp với các điều kiện biên Dirichlet, trong đó hàm g thỏa các điều kiện yếu hơn trong [26]. Tiếp thu một số ý tưởng từ các kết quả trên vào bài toán (12) − (14), trước hết chúng tôi chứng minh hai kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm với các giả thiết về nhân k yếu hơn trong [10, 11, 23, 24, 25, 26]. Đầu tiên, khi k ∈ W2,1(0, T) và (u0, u1) ∈ H2 × H1, f ∈ W1,2(QT), g ∈ H2(0, T), sự tồn tại của nghiệm yếu u thỏa điều kiện u ∈ L∞ ( 0, T;H2 ) , ut ∈ L∞ ( 0, T;H1 ) , utt ∈ L∞ ( 0, T; L2 ) , (20) được chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận về tính compắc. Tiếp đó, sử dụng kết quả vừa trình bày và phương pháp xấp xỉ thông qua tính trù mật, chúng tôi đã mở rộng kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu khi các dữ kiện xuất hiện trong bài toán yếu hơn trường hợp nêu trên, cụ thể là, khi (u0, u1) ∈ H1 × L2, f ∈ L2(QT) và k, g ∈ H1(0, T). Tất nhiên, khi đó tính trơn của nghiệm yếu cũng giảm đi, u′ ∈ L∞ ( 0, T;H1 ) , u′ ∈ L∞ ( 0, T; L2 ) ∩ Lq (QT) . (21) Một vấn đề đáng lưu ý là, với các dữ kiện đầu như trong trường hợp thứ hai, sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình (12) ứng với k = 0, kết hợp với các loại điều kiện biên khác nhau, thường được chứngminh bằng phương pháp đơn điệu (xem [70]). Tuy nhiên, theo chúng tôi, phương pháp này tỏ ra không phù hợp cho bài toán (12)− (14). Cũng trong trường hợp k ∈ W2,1(0, T), chúng tôi xét dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi η → 0+ và thu được một khai triển tiệm cận đến cấp N của nghiệm bài toán nhiễu theo tham số η. Kết quả này phần nào đó tổng quát hóa các kết quả có trong [59, 61, 66, 67, 68]. Tiếp theo, cũng đề cập đến việc khai triển tiệm cận, chúng tôi xét bài toán (12)− (14) như bài toán nhiễu theo ba tham số bé K,λ, η và tìm một khai triển tiệm cận cho nghiệm của nó. Việc khai triển tiệm cận nghiệm của các bài toán biên theo một tham số đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Tuy nhiên, theo Giới thiệu 10 hiểu biết của chúng tôi, có rất ít kết quả liên quan đến vấn đề khai triển tiệm cận theo nhiều nhiều tham số, đặc biệt là tìm khai triển bậc cao. Để giải quyết những khó khăn gặp phải chúng tôi đã xây dựng một bổ đề liên quan đến việc tìm các hệ số trong lũy thừa bậc cao của một đa thức nhiều biến (xem Phụ lục E, Bổ đề E.2). Cuối cùng, với một số điều kiện bổ sung cho nhân k, tương tự trong [11], chúng tôi chứng minh tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm bằng cách sử dụng một phiếm hàm Liapunov thích hợp. Ở đây, chúng tôi lựa chọn phương pháp phiếm hàm Liapunov từ ý tưởng trong [11]. Hơn nữa, phương pháp sử dụng bất đẳng thức Nakao [81] tỏ ra không thích hợp cho bài toán của chúng tôi. Kết quả này góp phần làm phong phú thêm những kết quả nghiên cứu tính tắt dần của các hệ thống dao động [45, 50, 73, 78, 79, 80, 85, 87, 99] Những kết quả của chúng tôi về bài toán (12)− (14) đã được công bố trong hai bài báo [T1, T4]. Chương 3 dành cho việc khảo sát sự tồn tại nghiệm dương của một bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân cấp hai. Đây là một lĩnh vực có những ứng dụng rộng rãi trong các ngành khác nhau của khoa học và kỹ thuật, chẳng hạn lý thuyết lớp biên trong cơ học chất lỏng; lý thuyết truyền nhiệt; lý thuyết điều khiển,.... Đọc giả quan tâm có thể xem [2] và các tài liệu tham khảo trong đó. Việc nghiên cứu các bài toán biên như thế đã được khởi đầu bởi các công trình của Il’in và Moiseev [49], Gupta [42]. Kể từ đó, nhiều công trình liên quan đến sự tồn tại nghiệm cũng như sự tồn tại nghiệm dương của các bài toán biên nhiều điểm phi tuyến đã được công bố. Những công trình này sử dụng các phương pháp khác nhau như định lý điểm bất động Leray - Schauder, các định lý về chỉ số điểm bất động, định lý điểm bất động Krasnoselskii, định lý điểm bất động Leggett - Wiliams, hoặc phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới ... (xem [28, 33, 37, 41, 71, 72, 96, 100, 101, 103] và các tài liệu tham khảo trong đó). Gần đây, Han [43] đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dương của bài toán biên Giới thiệu 11 ba điểm  x′′(t) = f (t, x(t)), 0 < t < 1,x′(0) = 0, x(η) = x(1), (22) với η ∈ (0, 1). Điểm quan trọng trong kết quả này là giả thiết về hàm f (t, x). Khác với nhiều kết quả trước, trong đó f (t, x) phải là một hàm không âm, Han đã chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của bài toán (22) với giả thiết f (t, x) ≥ −ax, ∀(t, x) ∈ [0, 1]×R+, trong đó a là một hằng số dương thích hợp. Nhằm nới rộng kết quả trong [43], chúng tôi xét phương trình (22)1 kết hợp với các điều kiện biên nhiều điểm x′(0) = 0, x(1) = m−2 ∑ i=1 αix(ηi), (23) trong đó m ≥ 3, 0 < η1 < η2 < · · · < ηm−2 < 1 và αi ≥ 0, sao cho ∑m−2i=1 αi < 1. Ở đây những kết quả của chúng tôi đa dạng hơn trong [43]. Ngoài việc chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của bài toán (22)1 - (23) bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii, chúng tôi còn thu được kết quả về sự tồn tại này thông qua phương pháp lặp đơn điệu, tất nhiên với một số giả thiết được tăng cường cho hàm f (t, x). Hơn nữa, tính chất compắc của tập các nghiệm dương cũng được thiết lập. Ngoài phần giới thiệu và nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương (I, II, III) như trên đã nói, luận án còn có các phần sau 1. Phần kết luận. Tóm tắt các nội dung chính của luận án, đồng thời cũng nêu ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu. 2. Phần phụ lục. Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, giải tích thực, một số bất đẳng thức cũng như vài kết quả có liên quan đến đa thức, v. v. nhằm phục vụ cho các chương chính. 3. Danh mục công trình của tác giả. Giới thiệu 12 4. Tài liệu tham khảo. Toàn bộ các kết quả được trình bày trong luận án này đã được công bố trong [T1, T3-T6]. Ngoài ra, phương pháp nghiên cứu ở đây cũng được áp dụng thành công cho một số bài toán khác và đã công bố trong [T2, T7-T9]. Một phần trong số các kết quả này đã được báo cáo tại "Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VII, Qui Nhơn 04 - 08/08/2008" và một số hội nghị khoa học khác. Cuối cùng, để tiện theo dõi, chúng tôi có một số điểm lưu ý như sau  Trong toàn bộ luận án, ta sử dụng các ký hiệu C0, C1 để chỉ các hằng số phụ thuộc vào h0 > 0, h1 ≥ 0. Cụ thể hơn, xem Bổ đề A.9 - Phục lục A, C0 = min{1, h0}, C1 = max{1, h0, 2h1}.  Chúng tôi sử dụng thuật ngữ "nghiệm yếu" để chỉ nghiệm của một bài toán giá trị biên đầu, trong đó tính trơn của nó không đủ để khẳng định nghiệm đó là "nghiệm cổ điển". Trong những hoàn cảnh khác nhau, thuật ngữ này sẽ được hiểu theo một ý nghĩa nào đó (sẽ được nói rõ) phụ thuộc vào tính trơn của "nghiệm yếu" đang xét.  Các ký hiệu CT và C, nếu không có giải thích gì thêm, dùng để chỉ các hằng số dương phụ thuộc vào T và độc lập với T một cách tương ứng. Các hằng số này có thể khác nhau trong những trường hợp khác nhau.  Ta qui ước đánh số liên tục cho các định nghĩa, bổ đề, định lý và hệ quả trong khuôn khổ từng chương bởi các nhóm ba thành phần. Chẳng hạn như, ta viết "Định lý 2.1.3" với ý nghĩa rằng đây là định lý thứ 3 thuộc chương 2, mục 1.  Việc đánh số các công thức được thực hiện một cách tương tự.