Cơ sở về trường điện từ

Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 7 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Chương 2 Cơ sở về trường điện từ Nền tảng cho tất cả truyền thông vô tuyến là dựa trên hiểu biết về bức xạ và sự thu nhận của các anten vô tuyến cũng như sự lan truyền của trường điện từ giữa các anten này. Bất kỳ dạng thông tin vô tuyến nào được sử dụng hay hệ thống điều chế đặc biệt nào được lựa chọn, thông tin vô tuyến đều dựa trên các quy luật của vật lý. Sự bức xạ, sự lan truyền, và sự thu nhận có thể được giải thích thông qua việc sử dụng một phương trình cơ bản của Maxwell. 2.1. Các phương trình Maxwell Thiên tài James Clerk Maxwell đã kết hợp các công việc trước đây của Michael Faraday, Andre Marie Ampere, và Carl Fredrick Guass thành một lý thuyết trường điện từ duy nhất. Các phương trình của Maxwell được đưa ra như sau : Định luật Faraday B E t      (2.1) Định luật Ampere D H J t       (2.2) Định luật Gauss { ̅ ̅ Với: E : Vectơ cường độ điện trường [V/m] D : Mật độ thông lượng điện Coulomb/ 2m (C/ 2m ). H : Vectơ cường độ từ trường [A/m]. B : Mật độ thông lượng từ Tesla = Weber/ 2m (T = Wb/ 2m ). Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 8 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ J : Mật độ dòng điện tổng [A/ 2m ].  : Mật độ điện tích [C/ 3m ]. Mật độ thông lượng điện và cường độ điện trường được liên hệ với nhau thông qua hằng số điện môi của môi trường : D E (2.5) Mật độ thông lượng từ và cường độ từ trường được liên hệ với nhau thông qua độ từ thẩm của môi trường : B H (2.6) Với : 0r   : hằng số điện môi của môi trường (F/m) 0 : hằng số điện môi trong không gian tự do = 8.85 x 10-12 F/m 0r   : độ từ thẩm của mooi trường (H/m) 0 : độ từ thẩm trong không gian tự do = 4π x 10-7 H/m Với không có các nguồn hiện hành và biễu diễn các trường như là các pha sE và sH , các phương trình của Maxwell có thể viết dưới dạng pha như sau : s sE j H   (2.7) ( )s sH j E    (2.8) . 0sE  (2.9) . 0sH  (2.10) Dạng phasor của các phương trình Maxwell giả sử rằng các trường được biểu diễn dưới dạng phức như dạng sin hoặc có thể khai triển thành dạng sin, đó là    Re ;j t j ts sE E e H H e   . Vì thế các nghiệm của các phương trình từ (2.7) đến (2.10) phải là nghiệm dạng sin. Một trong các nghiệm là phương trình sóng Helmholtz. 2.2. Phương trình sóng Helmholtz Ta có thể giải quyết vấn đề truyền sóng trong không gian tự do bằng cách lấy xoáy hai vế của phương trình (2.7) và khử sH bằng cách sử dụng phương trình (2.8). Kết quả được viết lại như sau: ( )s sE j j E      (2.11) Ta có thể dẫn ra một vectơ đã biết 2( . )s s sE E E    . Bởi vì trong không gian tự do không có sự tồn tại của các nguồn, phân kỳ của sE bằng 0 được cho bởi phương trình (2.9). Vì thế phương trình (2.11) có thể được viết như sau: 2 2 0s sE E   (2.12) Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 9 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Với: 2 ( )j j     (2.13) Phương trình (2.12) được gọi là vectơ phương trình sóng Helmholtz và  được biết như là hằng số lan truyền. Bởi vì  hiển nhiên là một giá trị phức, nó có thể được biểu diễn đơn giản như sau: j    (2.14) Với  là hệ số suy giảm (Np/m) và  là hệ số pha (rad/m). Thông qua thao tác đơn giản với phần thực của 2 và biên độ của 2 , có thể rút ra các phương trình riêng cho  và  như sau: 21 ( ) 1 2             (2.15) 21 ( ) 1 2             (2.16) Có thể thấy rằng hệ số suy giảm trong phương trình (2.15) và hệ số pha trong phương trình (2.16) là các hàm số của tần số góc  , các thông số cơ bản  và  , độ điện dẫn của môi trường. Số hạn   được xem như tổn hao tiếp xúc. Hình 2.1 /  so với tổn hao tiếp xúc Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 10 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Một môi trường có tổn hao tiếp xúc < 0.01, vật liệu đó được xem là chất cách điện tốt. Các vật liệu xây dựng trong nhà, như là gạch hoặc là bê tông, tổn hao tiếp xúc có giá trị gần bằng 0.1 tại tần số 3Ghz. Khi tổn hao tiếp xúc là >100, vât liệu được xem là chất dẫn điện tốt. Hình 2.1 là đồ thị của /  so với tổn hao tiếp xúc. Ta cũng có thể giải quyết sự lan truyền của trường từ trong không gian tự do bằng cách lấy xoáy hai vế của phương trình (2.8) và thế phương trình (2.7) để có được phương trình Helmholtz cho sH 2 2 0s sH H   (2.17) Hệ số lan truyền đã được đưa ra trong phương trình (2.14). 2.3. Sự lan truyền trong hệ tọa độ vuông góc Các phương trình vectơ Helmholtz trong biểu thức (2.12) có thể được tính trong bất kỳ hệ tọa độ trực giao bằng cách thay thế thích hợp toán tử del (  ) cho hệ tọa độ đó. Chúng ta giả sử trước hết trong hệ tọa độ vuông góc. Hình 2.2 cho thấy mối quan hệ một hệ tọa độ vuông góc với bề mặt trái đất. Giả sử rằng trục z vuông góc với bề mặt trong khi đó hệ trục x và y thì song song.Giả sử trường điện được phân cực theo hướng z và chỉ lan truyền theo hướng x. Hình 2.2 Mối quan hệ giữa hệ tọa độ vuông góc và bề mặt trái đất Vậy biểu thức (2.12) có thể được rút gọn : 2 2 2 0xs xs d E E dx   (2.18) Nghiệm phương trình có dạng : 0 1( ) x x zsE x E e E e    (2.19) Giả sử trường chỉ lan truyền theo chiều dương của hướng x và xác định tại vô cùng thì 1E phải bằng 0 0( ) x zsE x E e  (2.20) Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 11 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Chúng ta có thể biến đổi ngược pha của biểu thức (2.20) lại miền thời gian bằng thêm vào j te  . Do đó    ( )0 0ˆ ˆ( , ) Re Rex j t x j t xE x t E e e z E e e z        (2.21) Hoặc 0 ˆ( , ) os( - )xE x t E e c t x z   (2.21) Hình 2.3 cho thấy một đồ thị ví dụ về sự lan truyền đã được chuẩn hóa của trường E tại một điểm cố định trong miền thời gian. Hằng số suy hao trong công thức (2.21) tượng trưng cho một môi trường với độ dẫn điện đồng nhất lí tưởng.Thực tế các mô hình truyền sóng vô tuyến, sự suy hao còn bị ảnh hưởng bởi sự hiện diện của các khí trong khí quyển, các đám mây, sương mù, mưa, và hơi nước. Điều này đặc biệt đúng cho tần số lan truyền lớn hơn 10Ghz. Hình 2.3 Sự lan truyền của trường E. Hình 2.4 Sự suy hao bởi hơi nước tại mực nước biển. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 12 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Vì vậy, các mô hình phức tạp hơn thì cần thiết để mô tả đầy đủ và chính xác độ suy hao của tín hiệu. Ba sự tham chiếu tốt để giải thích độ suy hao không khí do các hệ số khác là Collin, Ulaby, Moore, Fung, và Elachi. Hình 2.4 cho thấy độ suy hao do sự cộng hưởng của các phân tử nước ngưng tụ. Điều kiện cộng hưởng có thể xảy ra tại tần số khoảng 22Ghz. Phương trình để vẽ hình 2.4 được lấy từ Frey. 2.4. Sự lan truyền trong hệ tọa độ cầu Ta cũng có thể tính toán được sự lan truyền của trường điện từ một điểm nguồn vô hướng trong hệ tọa độ cầu. Các phương trình sóng vô trước kia gần như được phát triển thông qua vectơ và thế vô hướng như được trình bày trong Collin [4] hoặc trong Balanis [8]. Tuy nhiên, một dẫn xuất nhỏ, mặc dù kém chính xác có thể được rút ra từ công thức (2.12) trong hệ tọa độ cầu. Dẫn xuất này giả sử là một điểm nguồn đẳng hướng. Hình 2.5 cho thấy một hệ tọa độ cầu trên trái đất. Hình 2.5 Hệ tọa độ cầu so với trái đất Chúng ta giả sử nguồn là đẳng hướng như vậy nghiệm điện trường không phải là hàm của ( , )  . (Lưu ý rằng chúng ta không giả sử rằng nguồn vô hướng là một dipole vô cùng bé.). Giả sử trường điện được phân cực theo hướng  và nó chỉ là một hàm theo r, chúng ta có thể viết biểu thức (2.12) trong hệ tọa độ cầu như sau: 2 2 2( ) 0s s dEd r r E dr dr    (2.22) Đối với các trường hữu hạn, nghiệm có thể có dạng : 0( ) r s E e E r r     (2.23) Như trước, chúng ta có thể biểu diễn pha của của biểu thức (2.23) trong miền thời gian: 0 ˆ( , ) os( ) rE e E r t c t r r        (2.24) Sự khác biệt giữa biểu thức (2.23) trong hệ tọa độ cầu và biểu thức (2.20) trong hệ tọa độ vuông góc do thực tế có một điểm nguồn tạo ra sự lan truyền sóng, do đó dẫn Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 13 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ đến sự phụ thuộc 1/r. Hệ số này bị giới hạn bởi mặt cầu trải rộng ngụ ý rằng bởi vì bức xạ phát ra từ một điểm nguồn, trường này lan ra như trên một mặt cầu bán kính r. Vì tất cả các anten chiều dài hữu hạn được dùng để phát ra sóng vô tuyến, tất cả sự lan truyền các trường điện ở xa chịu một tổn hao trải rộng hình cầu như các hệ số đã được thảo luận trước đó. Nghiệm được mô tả trong biểu thức (2.23) và (2.24) có dạng đồng nhất với các nghiệm cổ điển được suy ra. Các giới hạn E0 có thể được xem như phụ thuộc vào chiều dài hữu hạn của nguồn. 2.5. Các điều kiện bờ của trường điện Mọi đặc tính của trường điện và trường từ bị ảnh hưởng và bị phá vỡ bởi các bờ (biên). Các bờ (biên) làm ngắt quảng dòng chảy của sự lan truyền các trường. Tất cả các vật liệu không liên tục làm tăng phản xạ, truyền dẫn, khúc xạ, và bị phân tán các trường. Những trường hỗn loạn này làm tăng điều kiện đa đường tồn tại trong kênh truyền. Khi số lượng vật liệu không liên tục tăng lên, số tín hiệu đa đường tăng lên. Điều kiện bờ cho trường điện phải được đưa vào để xác định bản chất của sự phản xạ, sự truyền dẫn, hoặc là sự khúc xạ giữa môi trường điện môi. Các điều kiện tán xạ hoặc nhiễu xạ được tính toán cho các cấu tạo khác nhau. Những phần này sẽ được thảo luận trong phần 2.8. Hai phương trình Maxwell dạng tích phân có thể được dùng để xây dựng các điều kiện bờ trường điện. Sự bảo toàn năng lượng được cho bởi :  ldE (2.25) Và bảo toàn dòng điện được cho như sau :   encQSdD (2.26) Phương trình (2.25) có thể được dùng để tìm tiếp tuyến điều kiện bờ (Et) và phương trình (2.26) có thể được dùng để tìm pháp tuyến điều kiện bờ. Chúng ta hãy tính lại cường độ điện trường và mật độ thông lượng điện khi có quan hệ các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến với bờ. t nE E E  (2.27) t nD D D  (2.28) Hình 2.6 cho thấy bờ giữa hai môi trường và tiếp tuyến và pháp tuyến các trường điện tương ứng trên mỗi mặt của bờ. Áp dụng công thức (2.25) cho vòng kín trong hình 2.6, và cho phép kích thước của vòng trở nên rất nhỏ so với bán kính cong của bờ, chúng ta tìm được sự rút gọn của tích phân đường : 2 2 2 1 0 2 2 t n n t h h E l E E E l         (2.29) Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 14 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Hình 2.6 Bờ điện môi với trường E. Hình 2.7 Bờ điện môi với mật độ thông lượng điện. Chiều cao của vòng kín 0h  , biểu thức (2.29) trở thành : 1 2t tE E (2.30) Như vậy, tiếp tuyến E là liên tục qua bờ giữa hai chất điện môi. Hình 2.7 cho thấy bờ giữa hai môi trường và tiếp tuyến và pháp tuyến của các mật độ thông lượng điện tương ứng trên mỗi mặt của bờ. Mặt phân cách (mặt biên) có mật độ điện tích mặt s . Áp dụng công thức (2.26) cho mặt trụ kín trong hình 2.7, và giả sử kích thước mặt trụ là rất nhỏ so với bán kính cong của bờ, chúng ta có được công thức rút gọn của tích phân mặt như sau : 2 1n n sD s D s s     hoặc 2 1n n sD D   (2.31) Như vậy, bình thường D là không liên tục qua một biên của vật liệu do mật độ điện tích mặt tại điểm đó. Ta có thể áp dụng hai điều điều kiện bờ trong biểu thức (2.30) và (2.31) để tính toán đặc tính khúc xạ của hai chất điện môi khác nhau. Giả sử rằng điện tích mặt tại biên giữa hai vật liệu là không ( 0)s  . Dựng mặt vuông góc nˆ , hướng vào vùng , như trong hình 2.8. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 15 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Hình 2.8 D và E tại biên chất điện môi 1E và 1D bị lệc góc 1 so với pháp tuyến mặt. 2E và 2D bị lệch góc 2 so với pháp tuyến mặt. Áp dụng điều kiện bờ trong biểu thức (2.30) ta được : 1 1 1 2 2 2sin sint tE E E E    hoặc 1 1 2 2sin sinE E  (2.32) Chúng ta có thể áp dụng cách làm tương tự để thỏa mãn điều kiện bờ của công thức (2.31) : 1 1 1 1 2 2 2 2cos cosn nE D D E      hoặc 1 1 1 2 2cos cosE E    (2.33) Chia biểu thức (2.32) cho (2.33) ta có thể đơn giản đại số để có được mối quan hệ giữa hai góc của trường E tương ứng. 1 1 2 2 tan tan r r      (2.34) Ví dụ 2.1 Hai chất điện môi nửa vô hạn dùng chung một biên (bờ) trên mặt 0z  . Không có dòng điện mặt trên biên (bờ). Cho 0,z  1 4,r  0z  , 2 8.r  Nếu 0 1 30  , góc 2 ?  Giải Minh họa bằng hình 2.9 Hình 2.9 Ví dụ 2.1 Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 16 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Áp dụng công thức (2.34) : 1 02 2 1 1 tan tan 49.1r r           Ví dụ 2.2 Hai chất điện môi nửa vô hạn dùng chung một biên (bờ) trên mặt 0z  . Không có dòng điện mặt trên biên (bờ). Cho 0z  , 1 4r  . Cho 0z  , 2 8r  . Với 1 ˆ ˆ ˆ2 4 6E x y z   , trường điện trong miền là gì ? Giải Áp dụng công thức (2.34) bằng cách tìm góc 1 từ phương trình 1E . Tuy nhiên, sẽ đơn giản hơn nếu áp dụng điều kiện bờ của công thức (2.30) và (2.31). Bằng cách sử dụng công thức (2.30) : 1 2 ˆ ˆ2 4t tE x y E   Ngoài ra, 2 2 0 2 0 2 ˆ, 8 ,n r n nD E E z    và 1 1 0 1 0 ˆ, 4 (6 )n r nD E z    . Bằng cách sử dụng 2 3nE  : 2 ˆ ˆ ˆ2 4 3E x y z   2.6. Các điều kiện bờ của trường từ Các điều kiện biên của trường từ là đối ngẫu của các điều kiện bờ ( biên ) của các trường điện. Hai phương trình còn lại của Maxwell dạng tích phân có thể được dùng để xây dựng công thức điều kiện bờ (biên) trường từ. Đây là những qui luật mạch của Ampere :   IldH (2.35) Bảo toàn thông lượng từ được cho như sau : 0 dSB (2.36) Công thức (2.35) có thể được dùng để tiếp tuyến điều kiện bờ (biên) ( tH ) và công thức (2.36) có thể được dùng pháp tuyến điều kiện bờ (biên) (Bn). Tính lại cường độ từ trường và thông lượng từ trường khi có các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến tương ứng với điều kiện bờ từ trường. t nH H H  (2.37) t nB B B  (2.38) Hình 2.10 cho thấy biên (bờ) giữa hai môi trường và tiếp tuyến và pháp tuyến của trường từ tương ứng mỗi bên của bờ. Ngoài ra, mật độ dòng điện mặt K chảy dọc theo bờ. Dùng công thức (2.37) cho vòng kín trong hình 2.10, và giả sử kích thước vòng kín là rất nhỏ so với bán kính cong của bờ, chúng ta có được dạng đơn giản của tích phân đường như sau: Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 17 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ 2 2 1 1 2 2 t n n t h h H l H H H l K l          (2.39) Hình 2.10 Bờ trường từ với trường E Khi chiều cao vòng kín 0h  , công thức (2.39) trở thành : 1 2t tH H K  (2.40) Do đó, tiếp tuyến H là không liên tục qua bờ giữa hai vật liệu từ. Hình 2.11 cho thấy biên (bờ) giữa hai môi trường và tiếp tuyến và pháp tuyến mật độ thông lượng từ tương ứng mỗi phía của biên (bờ). Biên không tương ứng với điện tích bề mặt từ bởi vì từ trường đơn cực không tồn tại. Dùng công thức (2.36) cho mặt trụ kín trong hình 2.11, và giả sử kích thước mặt từ rất nhỏ so với bán kính cong của bờ, ta có công thức tích phân mặt dạng đơn giản sau : 2 1 0n nB s B s    hoặc 2 1n nB B (2.41) Như vậy, tiếp tuyến B không liên tục qua biên vật liệu từ. Ta có thể dùng hai điều kiện bờ trong công thức (2.41) để tính toán đặc tính khúc xạ từ của hai vật liệu từ khác nhau. Giả sử mật độ điện tích mặt tại biên của hai vật liệu là 0 (K=0). Hình 2.11 Biên của hai chất điện môi với mật độ thông lượng điện Tương tự như phần 2.5, chúng ta đơn giản đại số để có được mối quan hệ giữa hai góc của các đường sức từ tương ứng : 1 1 2 2 tan tan r r      (2.42) Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 18 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Các ví dụ 2.1 và 2.2 có thể áp dụng cho trường từ với các giá trị tương ứng cho độ từ thẩm tương ứng cho cùng kết quả. Bởi vì trường điện và trường từ và môi trường điện và môi trường từ là đối ngẫu với nhau. 2.7. Sự phản xạ sóng phẳng và hệ số truyền sóng Các tín hiệu đa đường là hệ quả của việc phản xạ tín hiệu bị truyền, truyền dẫn, và nhiễu xạ từ các cấu trúc khác nhau trên đường truyền đến phía thu. Trong phần này chúng ta sẽ nói về sự phản xạ và truyền sóng phẳng. Một hướng của tính toán giới hạn đa đường có thể dự đoán sự phản xạ và truyền dẫn qua các vật liệu khác nhau. Các điều kiện bờ của công thức (2.30) và (2.40) có thể được dùng để tính các hệ số phản xạ và hệ số truyền sóng. Dạng đơn giản nhất là để dự đoán sự phản xạ và sự truyền sóng qua một mặt phẳng biên tới vuông góc. Có thể tìm hiểu chi tiết trong Sadiku [1]. 2.7.1. Tia tới vuông góc Hình 2.12 cho thấy một sóng phẳng tới vuông góc trên mặt phẳng biên của vật liệu. isE và isH tượng trưng cho trường tới, ở dạng pha sự lan truyền sóng theo chiều dương trục z. rsE và rsH tượng trưng cho trường truyền đi lan truyền theo chiều dương của trục z. Các công thức chính xác cho các trường E và H được cho bởi các công thức sau: Hình 2.12 Sóng phẳng tới vuông góc trên biên của vật liệu tại z=0 Các trường đến: 1 is 0 ˆ( ) ziE z E e x  (2.43) 10 is 1 ˆ( ) zi E H z e y   (2.44) Các trường phản xạ: 1 rs 0 ˆ( ) zrE z E e x  (2.45) Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 19 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ 10 rs 1 ˆ( ) zr E H z e y    (2.46) Các trường được truyền đi: 2 ts 0 ˆ( ) ztE z E e x  (2.47) 20 rs 2 ˆ( ) zt E H z e y   (2.48) Trở kháng sóng được cho bởi: 1 1 1 1 1 1 j        = trở kháng sóng của môi trường 1 2 2 2 2 2 1 j        = trở kháng sóng của môi trường 2 Rõ ràng là trở kháng sóng phụ thuộc vào tổn hao tiếp xúc cũng như là hằng số lan truyền trong hai môi trường. Giả sử rằng không có dòng điện trên bề mặt tại biên và dùng điều kiện bờ tiếp xúc của công thức (2.30) và (2.40), một trong hai có thể suy ra các hệ số phản xạ và truyền dẫn tương ứng như sau : 2 1 2 1 RjR R e          (2.49) 2 2 1 2 TjT T e        (2.50) Biết được hệ số phản xạ và hệ số truyền sóng R và T, có thể tính toán trường điện tổng trong miền 1 và 2. Trường điện tổng trong vùng một được tính như sau : 1 1 1 is 0 ˆz z s rs iE E E E e Re x        (2.51) Trong khi đó trường điện tổng ở vùng 2 là : 2 2 0 ˆz sE TE z  (2.52) Khi tồn tại một hệ số phản xạ khác không và vùng một là không tổn hao, một sóng đứng được xây dựng. Sóng đứng này tạo ra một dạng can nhiễu, là một hàm của khoảng cách tính từ bờ. Can nhiễu này là một ví dụ đơn giản của fading nó xuất hiện nhiều trong các ứng dụng không dây. Là cơ sở dể suy ra đường bao sóng đứng này. Trường tổng trong miền một có thể được viết lại sử dụng dạng cực của hệ số phản xạ. Giả sử rằng miền một là không tổn hao (i.e., 1 0  ) Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 20 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ 1 1( ) 1 0 ˆRj z j z s iE E e R e x        (2.53) Kết hớp phần thực và phần ảo trong biểu thức (2.53) ta có được : 1 0 1 1[ os( z) os( z )s i RE E c R c      ( /2)1 1 ˆ( sin( z ) sin( z)) ]jRR e x     (2.54) Chúng ta có thể biến đổi pha của biểu thức (2.54) sang dạng thời gian tức thời: 1 0 1 1( , ) [( os( z) os( z )) osi RE z t E c R c c t     1 1( sin( z ) in( z))sin ]RR t      (2.55) Do biểu thức (2.55) chứa hai thành phần vuông pha, chúng ta có thể tìm độ lớn như sau: 2 2 1 0 1 1 1 1( ) ( os( z) os( z )) (sin( z) sin( z ))i R RE z E c R c R           2 0 11 2 os(2 z )i RE R R c      (2.56) Công thức (2.56) có cực trị khi giới hạn cosin hoặc -1 hoặc +1. Do đó giá trị cực đại và cực tiểu là: 2 1 0 0max 1 2 (1 )i iE E R R E R     (2.57) 2 1 0 0min 1 2 (1 )i iE E R R E R     (2.58) Tỉ số sóng đứng s được định nghĩa là tỉ số của 1 1ax min / m E E . Ví dụ 2.3 Một biên tồn tại giữa hai miền tại miền một là không gian tự do và miền hai có các giá trị 2 0  , 2 04  và 2 0  . Nếu 0 1iE  , dùng matlab để vẽ hình sóng đứng trong dải 14 0z    . Hình 2.13 Đồ thị sóng đứng cho sóng tới vuông góc 2 1 / 2  Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 21 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Giải Tìm hệ số phản xạ 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 3 3 4 jR e                Dùng công thức (2.56) và Matlab, đồ thị sóng đứng như hình 2.13. Tia tới vuông góc là một trường hợp đặc biệc của tia tới xiên. Tia tới xiên sẽ được thảo luận ở phần kế 2.7.2. Sự tới xiên góc (tia tới bị lệch) Trường hợp tới xiên góc thì phức tạp hơn nhiều so với trường hợp tới vuông góc và ta có thể tìm hiểu về dẫn xuất cao độ của các hệ số truyền dẫn và phản xạ ở Sadiku [1]. Hệ số truyền dẫn và hệ số phản xạ của trường hợp tới xiên góc được gọi là hệ số Fresnel. Chỉ có những phần nổi bật mới được đưa ra trong phần thảo luận này. Hình 2.14 mô tả một trường tới trên một biên. Giả sử cả hai môi trường là không tổn hao. Trường điện song song với mặt phẳng của tia tới. Mặt phẳng của tia tới là mặt phẳng chứa bề mặt tiếp tuyến và hướng của sự lan truyền. Các góc i , r , và t là các góc của tia tới, phản xạ, và truyền dẫn đối với tiếp tuyến mặt (trục x ). Ta có thể xác định hai định luật bằng cách áp dụng cẩn thận các điều kiện bờ trong công thức (2.30) và (2.40). Hình 2.14 Phản xạ và truyền dẫn phân cực song song Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 22 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Trước hết là định luật Snell về sự phản xạ phat biểu rằng góc phản xạ bằng với góc tới. (Đặc tính này được gọi là phản xạ gương.) r i  (2.59) Kết quả thứ hai là hệ quả của việc bảo toàn pha được gọi là định luật của Snell về sự khúc xạ. 1 2sin sini t    (2.60) Phân cực song song. Hình 2.14 cho thấy trường tới trong trường hợp phân cực song song. Hệ tọa độ được xoay từ hệ tọa độ trong hình 2.12 để chỉ ra rằng sự phản xạ từ bề mặt nằm ngang. Đây là trường hợp của các anten được đặt cao hơn mặt đất. Trường được phân cực song song bởi vì trường E nằm trên mặt phẳng của tia tới, mặt phẳng x-y. Các trường điện tới, phản xạ, và truyền đi được cho bởi các công thức : 1(ysin cos ) is 0 ˆ ˆ( os sin ) i ij zi iE E c y z e       (2.61) 1(ysin cos ) rs || 0 ˆ ˆ( os sin ) i ij zi iE R E c y z e        (2.62) 2 (ysin cos ) rs || 0 ˆ ˆ( os sin ) t tj zt tE T E c y z e        (2.63) Với hệ số phản xạ và hệ số truyền dẫn là : 2 1 || 2 1 os os os os t i t i c c R c c            (2.64) Và 2 || 2 1 2 os os os i t i c T c c         (2.65) Giá trị của os tc  trong biểu thức (2.64) và (2.65) có thể được tính một cách dễ dàng bằng cách sử dụng biểu thức (2.60) : 2 21 1 2 2 os 1 sin 1 sint t ic         (2.66) Hình 2.15 là đồ thị độ lớn của hệ số phản xạ và hệ số truyền dẫn trong trường hợp cả hai môi trường đều không có từ tính và không tổn hao. Các hằng số điện môi tương ứng là 1 0  và 2 02  , 08 , 032 . Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 23 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Hình 2.15 Độ lớn của hệ số phản xạ và hệ số truyền dẫn cho trường hợp phân cực song song Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 24 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Hình 2.16 Phân cực vuông góc sự phản xạ và sự truyền dẫn Phân cực vuông góc. Trường tia tới, trong trường hợp phân cực vuông góc này, được chỉ định ở Hình 2.16. Các trường điện tới, phản xạ và phát đi được cho bởi : (ysin cos ) is 0 ˆ i i ij zE E xe     (2.67) (ysin cos ) rs 0 ˆ i i ij zE R E xe     (2.68) 2 (ysin cos ) ts 0 ˆ t tj zE T E xe     (2.69) Hệ số phản xạ và hệ số truyền dẫn là : 2 1 2 1 os os os os i t i t c c R c c            (2.70) 2 2 1 os os os i i t c T c c         (2.71) Hình 2.17 là đồ thị độ lớn của hệ số phản xạ và hệ số truyền dẫn trong trường hợp cả hai môi trường đều không có từ tính và không tổn hao. Các hằng số điện môi tương ứng là 1 0  và 2 02  , 08 , 032 . Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 25 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Hình 2.17 Độ lớn của hệ số phản xạ và hệ số truyền dẫn cho trường hợp phân cực vuông góc 2.8. Sự lan truyền trên mặt đất phẳng Chúng ta đã thảo luận về các hệ số phản xạ của sóng phẳng cho phân cực song song và vuông góc, phần này chúng ta đi phân tích sự lan truyền của sóng phẳng trên mặt đất phẳng. Mặc dù là trái đất có độ cong, và độ cong này ảnh hưởng lên việc lan truyền trong khoảng cách xa, nhưng trong phần nay ta chỉ giới hạn sự lan truyền trong khoảng cách ngắn và mặt đất là bằng phẳng. Điều này cho phép chúng ta khái quát hóa quá trình truyền sóng. Sự lan truyền sóng trong mặt đất phẳng là một bắt đầu quan trọng trong việc hiểu được một cách tổng quát về vấn đề đa đường trong sự lan truyền sóng, bởi vì mô hình mặt đất phẳng cho phép chứa một đường thứ hai gián tiếp. Chính đường thứ hai này tạo ra can nhiễu ảnh hưởng tại bộ thu. Xem như phát đẳng hướng và anten thu như trong hình 2.18. Anten phát có chiều cao h1, và anten thu có chiều cao là h2 , và hai anten cách nhau khoảng cách d trên mặt phẳng nằm ngang. Hệ số phản xạ từ bề mặt trái đất là R và có thể được xấp xỉ bằng Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 26 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ công thức hoặc (2.64) hoặc công thức (2.70). Chú ý rằng R là số phức cho sự phản xạ từ mặt đất. Hình 2.18 Mô hình mặt đất phẳng với hai anten đẳng hướng Tín hiệu thu bao gồm đường đến trực tiếp cũng như tín hiệu bị phản xạ tại điểm y. Tín hiệu tổng hợp của đường tới trực tiếp và gián tiếp tương ứng với công thức sau: 1 2 1 2 jkr jkre e R r r    (2.72) K là hệ sóng được co bởi công thức : 2 2 2 2 2 x y zk k k k     (2.73) Với 2 /k      Hệ số phản xạ R có thể viết dạng phức bình thường hoặc dạng jR R e  . Bằng cách đơn giản đại số ta có được : 2 2 1 2 1( )r d h h   (2.74) 2 2 2 2 1( )r d h h   (2.75) Đặt hệ số của đường đến trực tiếp ra ngoài biểu thức (2.72) ta được : 1 2 1( )1 1 2 1 jkr jk r rre R e r r        (2.76) Độ lớn của thành phần thứ hai trong công thức (2.76) được gọi là hệ số độ lợi đường truyền F hay còn gọi là độ lợi đỉnh, được định nghĩa trong Bertoni [9]. 2 1( )1 2 1 jk r r r F R e r    (2.77) Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 27 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Hệ số này tương tự như hệ số sắp xếp (arry factor) cho mảng có hai phần tử khoảng cách là 12h . Ngoài ra, điểm phản xạ tại y là giải pháp cho vấn đề đại số đơn giản và được cho như sau : 1 1 2/ ( )y dh h h  . Dùng định nghĩa hệ số độ lợi đường truyền, ta có thể viết lại công thức (2.76) : 1 1 jkre F r  (2.78) Giả sử chiều cao các anten 1 2 1 2, ,h h r r , chúng ta có thể khai triển nhị thức của biểu thức (2.74) và (2.75) để đơn giản hóa khoảng cách : 2 2 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) 2 h h r d h h d d       (2.79) 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 h h r d h h d d       (2.80) Hiệu số độ dài đường truyền là : 1 2 2 1 2h h r r d   (2.81) Ở khoảng cách xa giả sử rằng 1 2/ 1r r  . Theo những điều kiện này ta có được góc phẳng (shallow grazing angle) tại điểm phản xạ. Do đó, 1R   . Thay R và công thức (2.81) vào hệ số độ lợi đường truyền (path gain factor), ta có được : 1 2 1 222 sin 2 sin kh h h h F d d    (2.82) Hình 2.19 là đồ thị của F theo 2 /h  với 1 5h m , 200d m . Rõ ràng là tín hiệu thu thay đổi từ không đến hai, cường độ tín hiệu đến theo đường trực tiếp do cấu trúc và sự giảm can nhiễu tạo ra bởi đường tín hiệu tới gián tiếp. Hệ số độ lợi đường truyền (path gain factor ) có thể dùng để vẽ đồ thị vùng hoạt động. Chi tiết về vẽ đồ thị vùng hoạt động có thể tìm hiểu trong [4]. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 28 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Hình 2.19 Hệ số độ lợi đường truyền 2.9. Nhiễu xạ lưỡi dao Các trường được thu bị phá vỡ bởi sự phản xạ từ mặt đất, các đường truyền sóng có thể được tạo ra do sự nhiễu xạ từ các đồi núi, các tòa nhà và các vật thể khác. Các cấu trúc này có thể không ở vị trí các góc để tạo ra phản xạ gương (specular reflection); Tuy nhiên, nó có thể tạo ra giới hạn nhiễu xạ tại trường thu tổng. Hình 2.20 cho thấy một ngọn đồi có chiều cao h nằm giữa anten phát và anten thu.Ngọn đồi này có thể được làm mô hình như là nửa mặt phẳng (half-plane) hay cạnh lưỡi dao (knife edge). Giả sử không có phản xạ gương (specular reflection) tại đỉnh đồi, và ngọn đồi chặn bất cứ sự phản xạ nào từ đất đến anten thu. Do đó trường thu chỉ bao gồm đường truyền trực tiếp và đường nhiễu xạ. hc là chiều cao tự do (clearance height) từ knife-edge cho đến đường tia đến trực tiếp. hc < 0 tương đương với lưỡi dao (knife-edge) nằm phía dưới đường truyền thẳng và hai đường truyền sóng tồn tại như trong hình. Nếu hc > 0 thì lưỡi dao (knife-edge) làm che khuất tia tới trực tiếp. Lúc này chỉ có thành phần nhiễu xạ bị thu. d1 và d2 là khoảng cách nằm ngang của bề mặt lưỡi dao (knife-edge) (d= d1 + d2). Trường bị nhiễu xạ cho phép thu được tín hiệu ngay cả khi đường truyền thẳng bị che khuất. Nếu anten thu không có đường truyền trực tiếp đến anten phát thì anten thu nằm trong miền bóng vô tuyến (shadow region). Ngược lại anten thu trong tầm nhìn thẳng so với anten phát thì anten thu nằm trong vùng lit (lit region). Nguồn gốc của phương pháp cho trường nhiễu xạ có thể được làm rõ trong Collin [4] hoặc trong Jordan và Balmain [10]. Hệ số độ lợi đường truyền (path gain factor) cho trường hợp nhiễu xạ : 2 /21 2 c j u d H F e du      (2.83) Với : Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 29 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ 1 2 2 c c d H h d d  Hình 2.20 knife-edge diffraction từ một ngọn đồi Vì vậy, ta có thể thay thế hệ số độ lợi đường truyền (path gain factor) F trong trường hợp mặt đất phẳng với hệ số độ lợi đường truyền (path gain factor) cho nhiễu xạ. Thay vào công thức (2.78) ta được : jkr d e F r  (2.84) Hình 2.21 là đồ thị hệ số độ lợi hàm truyền Fd (path gain factor) theo giá trị của Hc. Từ đồ thị ta thấy, khi cạnh lưỡi dao (knife-edge) nằm phía dưới tầm nhìn thẳng ( hc < 0), có thành phần can nhiễu tại pha vào và ra của đường truyền trực tiếp và đường truyền bị nhiễu xạ. Tuy nhiên, khi cạnh lưỡi dao ( knife-edge ) nằm phía trên tầm nhìn thẳng ( hc > 0 ) thì không tồn tại đường truyền trực tiếp và trường giảm sâu hơn vào vùng bóng vô tuyến (shadow region) một cách nhanh chóng. Trong trường hợp hc = 0 hệ số độ lợi đường truyền (path gain factor ) là 0.5 cho thấy rằng trường thu giảm 6dB từ đường truyền trực tiếp. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 30 Chương 2 Cơ sở về Trường điện từ Hình 2.21 Hệ số độ lợi đường truyền cho nhiễu xạ knife-edge