Chủ đề: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chủ đề I A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊNVÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: I / Hàm số : 1) Tập xác định : +/ D = R \{ - . } 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = . y’ > 0 ( y’ < 0 ) , D +/ Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (.) và (..) +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị . + / Tiệm cận và Giới hạn : và => tiệm cận ngang : y = . ? và ? => tiệm cận đứng : x = . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ + ∞ y’ ? ? y ? ? 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = . *Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = , Y X O *Đồ thị nhận giao điểm I(;) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) . y’ = 0 Xét dấu y’: +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = . Hàm số đạt cực đại tại x = ., yCĐ = . + / Giới hạn ở Vô cực : ? ; ? . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ ? ? ? + ∞ y’ ? ? ? y ? ? ? 3) Đồ thị : Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng. Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác Y X O Đồ thị : III / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = 3ax2 + 2bx + c . y’ = 0 xi = ? ; f(xi) = ? . Xét dấu y’: +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = . Hàm số đạt cực Đại tại x = ., yCĐ = . + / Giới hạn ở Vô cực : ? ; ? . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ ? ? ? + ∞ y’ ? ? ? y ? ? ? 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d . +) Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : +) Đồ thị : Y X O Bài tập mẫu dạng 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) b)y = c). d)y = Cách giải: a) 1) Tập xác định : +/ D = R \{ .. } 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = y’ 0 , D +/ Hàm số đồng biến trên các khoảng (.) và (..) +/ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (.) và (..) +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị . + / Tiệm cận và Giới hạn : và => tiệm cận ngang : y = và => tiệm cận đứng : x =. . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ .. + ∞ y’ .. .. y .. .. 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = . . *Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x =.. Y X O *Đồ thị nhận giao điểm I(..;..) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Bài tập mẫu dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số a) b) y = –x4 + 2x² + 3 Cách giải: a) 1) Tập xác định : +/ D = . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = x3 + x = 2x(.. x2 + ) . y’ = 0 Xét dấu y’: +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = . Hàm số đạt cực đại tại x = ., yCĐ = . + / Giới hạn ở Vô cực : ; . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ + ∞ y’ y 3) Đồ thị : Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng. Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = . Các điểm khác Y X O Đồ thị : Bài tập mẫu dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1. b)y = x³ – 2x² + x – 2 c) Cách giải: a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1 1) Tập xác định : +/ D = . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = x2 + x + . y’ = 0 xi = ; f(xi) = . Xét dấu y’: +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = . Hàm số đạt cực Đại tại x = ., yCĐ = . + / Giới hạn ở Vô cực : . ; .... . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ + ∞ y’ y 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = .. . +) Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = .. ., Các điểm khác : +) Đồ thị : Y X O B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C ) 2/ y = ax4 + bx2 + c ( C ) 3/ ( C ) Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : 1/ Tại điểm M0 (x0 ; y0 ) Xác định: x=x0y0=y'x0= Viết phương trình: y= y'x0x-x0+ y0 2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) Trong đó k.k’ = -1 k = . thế k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*) 5/ Đi qua điểm M1 (x1 ; y1 ) € ( C ) : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x1 ) + y1 ( * ) k = f’(x1) ; thế k , x1 , y1 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm Bài 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2). (2) ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m ) Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d) Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ). Bài 3 : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ? Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x) = f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm . --------------------------------------------------- Bài tập mẫu dạng 1: Bài 1: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): Tại điểm A (-1; 7). b)Tại điểm có hoành độ x = 2. c)Tại điểm có tung độ y =5. Cách giải: a/ Ta có : y’(x)= Tại điểm ( ; . ) Xác định: x0=y0=y'x0= Viết phương trình: y= x- + Bài 2: Cho đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0. Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): tại các giao điểm của (C) với đường thẳng (d): . ------------------------------------------------- Bài tập mẫu dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6. Cách giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) k = y’(x0 ) Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6 => k = Với y’= giải phương trình .. => x0 = ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) => y0 =... Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. y =. Bài tập mẫu dạng 2: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3 --------------------------------------------------------------------------------- Bài tập mẫu dạng 3: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng . Cách giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) Vì tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng => k’= => k . = -1 k = Với y’= giải phương trình .. => x0 = ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) => y0 =... Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. y =. Bài tập mẫu dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): . Bài tập mẫu dạng Biện luận theo m số nghiệm của phương trình Cho hàm số: có đồ thị (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm: . Cách giải: b) (2) x4 - x2 + = Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = . TH1: phương trình vô nghiệm khi : TH2: phương trình có 2 nghiệm khi : TH3: phương trình có 3 nghiệm khi : TH4: phương trình có 4 nghiệm khi : --------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập mẫu dạng Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ? Cho hàm số a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm m để đường thẳng d: y = –x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Cách giải: b) Số giao điểm của với đường thẳng d: y = –x + m , bằng số nghiệm phương trình : = –x + m . = –x + m .= (-x+m)() =0 . Từ đó điều kiện của m là:.. . --------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 1: Tìm m để hàm số: đạt cực tiểu tại x = -2. Bài 2:Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực đại tại. Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số Bài toán 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn ? Phương pháp: Tính Giải phương trình , để tìm các nghiệm Tính các giá trị và GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm. Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng. Phương pháp: Tìm tập xác định Tính Giải phương trình (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn . Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên GTLN,GTNN. ------------------------------------------------------------ Bài tập mẫu dạng 1Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn Cách giải : Ta có , , Kết luận: ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập tương tự dạng 1 Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số a) trên đoạn . b) trên đoạn . c) trên đoạn . Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số a) trên đoạn . b) trên đoạn . c) d) trên đoạn . Bài tập mẫu dạng 2 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số:   Hướng dẩn giải: Tập xác định : D=[0;2] Bảng biến thiên: x y’ y Kết luận: --------------------------------------------------------------------------------- Bài tập tương tự dạng 2 Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số a) b) c) Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là một số cho trước Phương pháp giải: Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số để hàm số có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn là (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau. Chú ý: Hàm số liên tục trên Cách 1: Tính đạo hàm Gải phương trình để tìm các nghiệm Tính các giá trị và Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là Giải phương trình để tìm nghiệm Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán. Cách 2: Xác định điều kiện để bất phương trình : được thỏa mãn Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện vừa nêu Xác định điều kiện để phương trình: có nghiệm Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán. Cách 3: Tính đạo hàm Giải phương trình  để tìm các nghiệm Tính các giá trị và Lần lượt giải các phương trình: để tìm các nghiệm  của chúng Thay vào hàm số và kiểm  tra trực tiếp xem giá trị  thực sự thỏa bài toán để nhận  hoặc loại giá trị Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán. Bài tập 1: Xét hàm số: . Xác định giá trị của tham số $latex m$ sao cho hàm số giá trịlớn nhất trên là Hướng dẩn giải: Ta có đạo hàm : , vậy   x=m Nhận xét rằng : , Do vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên  hoặc tại hoặc tại , suy ra      (1)     (2) Do , nên từ (1) suy ra Do , nên từ (2) suy ra Với , thay vào hàm số ta được: . Bảng biến thiên: (các em tự lập) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên là , suy ra không thỏa bài toán Suy ra loại Với , thay vào hàm số ta được : Bảng biến thiên: (các em tự lập) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên là Suy ra giá trị thỏa mãn bài toán . Kết luận: Giá trị cần tìm :