Báo cáo Khoa học Ứng dụng matlab giải mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập

ứng dụng matlab giải mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập Application of Matlab in solving linear electric circuit in the defining mode Nguyễn Thị Hiên1, Ngô Thị Tuyến1 SUMMARY The application of Matlab (Matrix - Laboratory) helps students as well as electric technical staff solve electric problems quickly, accurately; especially for electric circuit which has a large number of nodes and branches. The use of matrix to illustrate basic system of equations: Branch currents, round currents, potential nots... are important basis for analysing Matlab - used electric circuit by computers. Based on research into theory of algebraic matrix, circuit structure and application of Matlab software, we have established algorithm and programming software to solve electric circuit problems, using basic methods: branch current, round current, potential node. The program try run successfully and produced results similar to those of manual calculation, while saved a lot of time. We hope this article will help many people, especially Electric Engineering students to solve electric problems quickly and effectively. Key words: Branch circuits, round circuits, potential nodes, matrix. 1. ĐặT VấN Đề1 Lý thuyết mạch điện là một môn học rất quan trọng, là cơ sở để nghiên cứu các môn cơ sở khác và các môn chuyên môn của ngành Kỹ thuật điện. Với số l−ợng bài tập lớn, khối l−ợng tính toán nhiều, và nhất là phân tích mạch điện phức tạp có nhiều nút, nhánh, nên khi giải các bài toán thực tế và kiểm tra kết quả tính, sinh viên sẽ phải tốn nhiều công sức và dễ nhầm lẫn. Tr−ớc kia, sinh viên ngành Kỹ thuật điện th−ờng dùng các công cụ hỗ trợ thủ công: th−ớc tính Logarit, sau nữa là máy tính bỏ túi. Ngày nay, tin học và máy tính điện tử đã trở thành công cụ đắc lực giúp sinh viên giải quyết nhanh và thuận lợi các bài toán kỹ thuật. Tuy nhiên, với các ngôn ngữ lập trình: 1 Khoa Cơ Điện, Đại học Nông nghiệp I. Pascal, C, ..., việc phân tích mạch th−ờng chỉ dừng lại ở các bài toán mạch điện tuyến tính có thông số thực, điều này làm mất đi tính tổng quát của bài toán. Hơn nữa, đòi hỏi ng−ời sử dụng bắt buộc phải có kiến thức về lập trình. Sự ra đời của phần mềm ứng dụng Matlab đã mở ra nhiều triển vọng trong việc giải quyết các bài toán kỹ thuật. Với cấu trúc ngắn gọn, gần với t− duy toán học và đặc biệt xử lý dễ dàng đối với số phức, phần mềm này là công cụ mạnh để giải quyết nhanh và chính xác các bài toán phân tích mạch điện. 2. PHƯƠNG PHáP NGHIÊN CứU Từ những nghiên cứu lý thuyết về đại số ma trận, cấu trúc graph ứng dụng trong lý thuyết mạch điện kết hợp với khai thác các tiện ích của phần mềm Matlab, chúng tôi xây Tạp chí KHKT Nông nghiệp 2007: Tập V, Số 2: 80-86 Đại học Nông nghiệp I dựng thuật toán và lập trình giải các bài toán mạch điện bằng các ph−ơng pháp cơ bản: Ph−ơng pháp dòng nhánh, Ph−ơng pháp dòng vòng và điện thế điểm nút. 3. KếT QUả NGHIÊN CứU Bài toán đặt ra: biết sơ đồ cấu trúc của mạch (gồm m nhánh, n nút), biết thông số các phần tử, yêu cầu xác định dòng điện (điện áp) sinh ra trong các nhánh, từ đó có thể kiểm tra cân bằng công suất. 3.1. Thiết lập các ma trận mô tả cấu trúc mạch điện a) Ma trận nhánh - nút Ma trận nhánh - nút A có số hàng là số nhánh, số cột là số nút độc lập của mạch điện Aij = 1 khi j là nút đầu của nhánh i; Aij = -1 khi j là nút cuối của nhánh i; Aij = 0 trong các tr−ờng hợp khác. b) Ma trận nhánh -vòng] Ma trận nhánh - vòng C có số hàng là số nhánh, số cột là số vòng độc lập của mạch điện. Cij = 1 khi nhánh i cùng chiều vòng j Cij = -1 khi nhánh i ng−ợc chiều vòng j Cij = 0 trong tr−ờng hợp nhánh i không thuộc vòng j Ví dụ: Cho graph gồm 6 nhánh, 4 nút nh− hình 1: 1 2 3 4 5 6 I II III 3 2 1 0 Hình 1. Ví dụ về một graph Ta có thể xây dựng đ−ợc các ma trận cấu trúc của mạch điện trên nh− sau: Nút Vòng A=                     − − − − − − 101 110 011 100 010 001 Nhánh; C =                     −− − −− 100 110 101 010 011 001 Nhánh Ma trận A, C cho biết cấu trúc của graph: Các phần tử trên một hàng của A cho biết nhánh đó nối giữa các điểm nào với nhau, ví dụ, hàng 2: nhánh 2 nối nút cơ sở với nút 2, trong mạch điện nó chỉ rõ chiều d−ơng của dòng điện trên nhánh ấy đồng thời cũng cho biết điện áp trên nhánh bằng hiệu số thế của cặp nút nào (ví dụ u2 = -ϕ2). Các phần tử trên một cột của một nút chỉ rõ tại nút đó có những nhánh nào đi ra khỏi ứng dụng Matlab giải mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập nút (giá trị 1) và nhánh nào đi vào nút (giá trị -1). Đối với ma trận C, các phần tử trên mỗi hàng chỉ rõ nhánh đó có tham gia vào vòng không, thuận chiều hay ng−ợc chiều vòng. Còn các phần tử trên một cột chỉ rõ vòng đó gồm những nhánh nào, cùng chiều hay ng−ợc chiều vòng. 3.2. Biểu diễn các ph−ơng pháp tính cơ bản bằng ma trận 3.2.1. Ph−ơng pháp dòng nhánh Hệ ph−ơng trình dòng nhánh là hệ ph−ơng trình viết theo định luật Kiêchôp I và II ( Nguyễn Bình Thành & cs, 1972):     = = ∑ ∑ ∑ kkk k EIZ 0I && & (3-1a) kI& , Zk, kE& - Dòng điện, tổng trở, sức điện động trên các nhánh. Nếu gọi nhI& - ma trận cột, biểu diễn dòng điện trên các nhánh; nhU& - ma trận cột, biểu diễn điện áp trên các nhánh; Znh - ma trận vuông kích th−ớc m x m, các phần tử trên đ−ờng chéo chính là tổng trở riêng các nhánh, Zij là tổng trở t−ơng hỗ giữa nhánh i và nhánh j; nutJ& - ma trận cột, biểu diễn nguồn dòng (phụ tải) ở các nút (độc lập), lấy dấu (+) khi đi vào nút, nguợc lại lấy dấu (-); nhE& - ma trận cột các sức điện động trên các nhánh, lấy dấu (+) khi cùng chiều các dòng nhánh, nguợc lại lấy dấu (-) Thì có thể viết hệ (3-1a) d−ới dạng ma trận:     = = nhE.TCnhI.nh.ZTC nutJnhITA && && (3-1b) Trong đó: AT, CT - Các ma trận chuyển vị của ma trận A, C. Đặt: D =         nh.ZTC TA (3-1c) G =         nhE.TC nutJ & & (3-1d) Khi đó: D. nhI& = G (3-1e) Hay: nhI& = D-1.G (3-2) D-1 - Ma trận nghịch đảo của ma trận D. 3.2.2. Ph−ơng pháp dòng vòng Hệ ph−ơng trình dòng vòng tổng quát, [2]:          =+++ =+++ =+++ ∑ ∑ ∑ p kVppp2V2p1V1p 2 kVpp22V221V21 1 kVpp12V121V11 EI.Z....I.ZI.Z ......... EI.Z....I.ZI.Z EI.Z....I.ZI.Z &&&& &&&& &&&& (3-3a) Dạng ma trận:               =                             Vp 2V 1V Vp 2V 1V pp2p1p p22221 p11211 E ... E E I ... I I . Z...ZZ ...... Z...ZZ Z...ZZ & & & & & & (3-3b) Hay viết gọn lại: ZV. VI& = VE& (3-3c) Trong đó: Nguyễn Thị Hiên, Ngô Thị Tuyến ZV =               pp2p1p p22221 p11211 Z...ZZ ...... Z...ZZ Z...ZZ - ma trận tổng trở vòng, [2], có thể tính theo ma trận tổng trở nhánh: Zv = CT.Znh.C VI& - ma trận cột dòng điện vòng VE& - ma trận sức điện động vòng, VE& = CT nhE& Tr−ờng hợp có nguồn dòng nhJ& trong các nhánh: VE& = CT. ( nhE& - Znh. nhJ& ) (3-3d) Khi đó: VI& = ZV-1. VE& (3-4) Dòng điện nhánh: nhI& = C. VI& + nhJ& (3-5) Điện áp nhánh: nhU& = Znh. nhI& - nhE& (3-6) 3.2.3. Ph−ơng pháp thế nút Hệ ph−ơng trình thế nút tổng quát, [2]:          +=+−−− +=−−+− +=−−− ∑∑ ∑∑ ∑∑ − −−−−− −− −− p kk 1n k1n1n,1n222n111n 2 kk 2 k1n1n2222121 1 kk 1 k1n1n1212111 YEJ.Y.....Y.Y ......... YEJ.Y.....Y.Y YEJ.Y....Y.Y &&&&& &&&&& &&&&& ϕϕϕ ϕϕϕ ϕϕϕ (3-7a) Dùng ma trận:             =                           −− −− −− − −−−− − − 1n 2n 1n 3 2 1 1n,1n12n11n 1n22221 1n11211 J ... J J ... . Y...YY ...... Y...ZY Y...YY ϕ ϕ ϕ & & & (3-7b) Hay: Ynut. ϕ& = dnutJ& (3-7c) Trong đó: Ynót - ma trận tổng dẫn nút, có thể xác định theo ma trận tổng trở nhánh Ynót= AT.Znh -1.A= AT.Ynh.A dnutJ& - Ma trận nguồn dòng tại các nút dnutJ& = nutJ& - AT.Ynh. nhE& (3-7d) Từ (3-7c), suy ra: ϕ& = Ynut-1. dnutJ& (3-8) Ma trận dòng điện nhánh: nhI& = Ynh. ( nhU& + nhE& ) (3-9) Ma trận điện áp nhánh: nhU& = A. ϕ& (3-10) ứng dụng Matlab giải mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập Từ điện áp và dòng điện nhánh, tính đ−ợc công suất nhánh (từ đó có thể kiểm tra điều kiện cân bằng công suất): Snh = Unh.conj (Inh) (3-11) Với: conj (Inh) là ma trận liên hợp phức của ma trận dòng nhánh. 3.3. Lập trình giải mạch điện bằng Matlab Matlab - chữ viết tắt của Matrix Laboratory - th− viện ma trận, là một phần mềm ứng dụng, dùng cho các tính toán dựa trên cơ sở dữ liệu về ma trận (Nguyễn Hoài Sơn & cs, 2000). Với hàng loạt các hàm toán học đã đ−ợc xác định tr−ớc, Matlab cho phép lập ch−ơng trình bằng các lệnh đơn giản, ngắn gọn, cấu trúc gần với t− duy toán học. Ch−ơng trình có thể lập trình trên cửa sổ Command Window hoặc l−u d−ới dạng các file trong cửa sổ soạn thảo (m-file) cho các lần sử dụng sau. a) Sơ đồ thuật toán Sơ đồ khối mô tả thuật toán đ−ợc cho ở Hình 2. Ph−ơng pháp thế nút Ph−ơng pháp dòng vòng Ph−ơng pháp dòng nhánh BEGIN Nhập số liệu bài toán Nhập các ma trận cấu trúc D=[A’;C’*Znh] G=[Jnut;C’*Enh] Inh=D\G Unh=Znh*Inh-Enh Snh=Unh.*conj (Inh) END Jdnut=Jnut-A'*Ynh*Enh Ynh=inv (Znh) Vnut=Ynut\Jdnut Unh=A*Vnut Inh=Ynh* (Unh+Enh) Ynut=A’*Ynh*A; Zv=C’*Znh*C; Ev=C’* (Enh-Znh*Jnh) Iv = Zv\Ev Inh=C*Iv + Jnh Nguyễn Thị Hiên, Ngô Thị Tuyến Hình 2. Sơ đồ khối mô tả thuật toán của bài toán phân tích mạch điện b) áp dụng Cho sơ đồ nh− hình 3, biết: R1 = 10 Ω; X1 = 10 Ω; R2 = 5 Ω ; X2 = 5 Ω; R3 = 30 Ω ; X3 = 40 Ω; hỗ cảm giữa các nhánh X13 = 20Ω; X23 = 10Ω, sức điện động 1E&= 100 V; 2E& = 100∠pi/6 V; J&= 2∠pi/3 A. Hãy tính dòng điện trong các nhánh bằng các ph−ơng pháp dòng nhánh, dòng vòng, thế nút. Số liệu đầu vào của bài toán là tổng trở, nguồn sức điện động các nhánh, nguồn dòng bơm vào các nút (nếu có), trên cơ sở đó có thể lập các ma trận tổng trở nhánh, sức điện động nhánh, các ma trận cấu trúc... Bài toán có thể giải bằng ph−ơng pháp dòng nhánh, ph−ơng pháp dòng vòng hoặc ph−ơng pháp điện thế nút. Để giải bài toán, ta viết các lệnh sau trên MATLAB command window hoặc trong cửa sổ soạn thảo (m-file): 1 0 R 2 R3 R1 J E2 jX1 jX 2 jX3 * * * jX13 jX23 E 1 Hình 3. Sơ đồ mạch điện Clc %Nhap so liêu bai toan Z1=10 + j*10; Z2=5 + j*5; Z3=30 + j*40; E1= 100; E2= 100*exp (j*pi/6); J= 2*exp (j*pi/3); %Lap cac ma tran Enh=[E1;E2;0]; Jnut=[J]; Znh (1,1)=Z1; Znh (2,2)=Z2; Znh (3,3)=Z3; Znh (1,2)=0; Znh (2,1)=Znh (1,2); Znh (1,3)=-j*20; Znh (3,1)=Znh (1,3); Znh (2,3)=-j*10; Znh (3,2)=Znh (2,3); A = [-1;-1;1]; C=[1 0;0 1;1 1]; +%Giai bai toan bang phuong phap dong nhanh disp ('1.Phuong phap dong nhanh'); D=[A';C'*Znh]; G=[Jnut;C'*Enh]; Inh=D\G Unh=Znh*Inh-Enh Snh=Unh.*conj (Inh) %Giai bai toan bang phuong phap dong vong disp ('2.Phuong phap dong vong'); Jnh=[0;0;J]; Zv=C'*Znh*C; Ev=C'* (Enh-Znh*Jnh); Iv = Zv\Ev Inh=C*Iv + Jnh Unh=Znh*Inh-Enh Snh=Unh.*conj (Inh) % Giai bai toan bang phuong phap the nut disp ('3.Phuong phap the nut'); Ynh=inv (Znh); Ynut=A'*Ynh*A; Jdnut=Jnut-A'*Ynh*Enh; ứng dụng Matlab giải mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập Vnut=Ynut\Jdnut Unh=A*Vnut Inh=Ynh* (Unh+Enh) Snh=Unh.*conj (Inh) Trên màn hình MATLAB command window sẽ xuất hiện lần luợt: 1. Phuong phap dong nhanh Inh = 0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Unh = -85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Snh = 1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i 2.Phuong phap dong vong Iv = 0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i Inh = 0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Unh = -85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Snh = 1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i 3.Phuong phap the nut Vnut = 85.0321 +78.4440i Unh = -85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Inh = 0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Snh = 1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i 4. KếT LUậN Cấu trúc của mạch điện bất kỳ có m nhánh, n nút đều có thể đ−ợc mô tả bởi ma trận nút - nhánh A và ma trận nhánh - vòng C, nh− vậy ta có thể giải bài toán Lý thuyết mạch một cách đơn giản và dễ dàng bằng cách giải hệ ph−ơng trình các ma trận. Lập trình bằng Matlab có cấu trúc đơn giản, ngắn gọn, thuận tiện cho ng−ời sử dụng. Bài toán cho kết quả nhanh, chính xác, có thể tính với số phức một cách dễ dàng, đây là −u điểm nổi bật của Matlab so với các ngôn ngữ lập trình khác. Ch−ơng trình viết không thiên về lập trình tin học, gần gũi với lý thuyết của môn học, giúp sinh viên củng cố kiến thức môn học đồng thời có điều kiện kiểm tra kỹ năng tính toán của bản thân. Tài liệu tham khảo Nguyễn Hoài Sơn và cộng sự (2000), ứng dụng Matlab trong tính toán kỹ thuật. NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh. Nguyễn Bình Thành và cộng sự (1972), Cơ sở lý thuyết mạch, quyển 1. NXB Đại học Nguyễn Thị Hiên, Ngô Thị Tuyến và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, tr 25- 30, 99-108. ứng dụng Matlab giải mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập