Bài giảng phần 1: Xác suất

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 1 1 CHÖÔNG 0: GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP Chöông naøy hoïc moät soá quy taéc ñeám thoâng duïng PHAÀN 1: XAÙC SUAÁT 2 I) NGUYEÂN LYÙ NHAÂN Moät coâng vieäc ñeå thöïc hieän coù 2 giai ñoaïn A, B. Giai ñoaïn A coù m caùch thöïc hieän, giai ñoaïn B coù n caùch thöïc hieän Hoûi coù bao nhieâu caùch thöïc hieän xong coâng vieäc? ÖÙng vôùi moãi caùch cuûa giai ñoaïn A, ta coù n caùch thöïc hieän giai ñoaïn B A 1 2 ....... m B B 1 2 .... n ..... 1 2 ...... n Vaäy: Coù m*n caùch ñeå thöïc hieän coâng vieäc 3  Ví duï 1: Moät ngöôøi coù 6 caùi aùo, 5 caùi quaàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch maëc ñoà?  HD: coâng vieäc maëc ñoà coù 2 giai ñoaïn ta phaûi thöïc hieän laàn löôït laø: maëc aùo, maëc quaàn.  Maëc aùo: coù 6 caùch  Maëc quaàn: coù 5 caùch  Vaäy ta coù: 6*5=30 caùch  Môû roäng: moät coâng vieäc ñeå thöïc hieän coù nhieàu giai ñoaïn. 4  Ví duï 2: Moät ngöôøi coù 4 caùi aùo, 3 caùi quaàn, 3 caùi noùn. Hoûi coù bao nhieâu caùch maëc ñoà vaø ñoäi noùn?  HD: Coâng vieäc maëc ñoà vaø ñoäi noùn coù 3 giai ñoaïn ta phaûi thöïc hieän laàn löôït laø: maëc aùo, maëc quaàn, ñoäi noùn.  Maëc aùo: coù 4 caùch  Maëc quaàn: coù 3 caùch  Ñoäi noùn: coù 3 caùch  Vaäy ta coù: 4*3*3=36 caùch ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 2 5 II) CHÆNH HÔÏP  Ví duï: Coù 5 böùc tranh vaø 7 caùi moùc treo treân töôøng. Coù bao nhieâu caùch treo 5 böùc tranh naøy (moãi moùc chæ treo 1 böùc tranh)?  HD: coâng vieäc treo tranh coù 5 giai ñoaïn sau:  gñ1: treo böùc tranh thöù 1. Ta choïn ra 1 moùc treo töø 7 caùi moùc treo, coù 7 caùch choïn. (coøn laïi 6 moùc treo)  gñ2: ........ 2............... 6 caùch ..... Coøn 5 moùc  gñ3: ......... 3............... 5 caùch ..... Coøn 4 moùc  gñ4: ......... 4.............. 4 caùch ..... Coøn 3 moùc  gñ5: ......... 5.............. 3 caùch .....  Theo nguyeân lyù nhaân ta coù: 7*6*5*4*3=2520 caùch treo 6 Nhaän xeùt  Moãi caùch treo 5 böùc tranh laø moät caùch laáy 5 caùi moùc treo töø 7 caùi moùc treo. Ñaây laø caùch laáy coù thöù töï, bôûi vì traät töï laáy caùc moùc khaùc nhau seõ cho ta caùc caùch treo tranh khaùc nhau.  Vaäy soá caùch laáy coù thöù töï 5 phaàn töû töø 7 phaàn töû ñöôïc tính nhö theá naøo? 7 ÑN: Moät chænh hôïp n chaäp k (chænh hôïp chaäp k cuûa n) laø 1 caùch laáy k phaàn töû khaùc nhau (coù ñeå yù thöù töï, traät töï saép xeáp) töø n phaàn töû khaùc nhau. Soá chænh hôïp : A(k,n)= )!( ! kn nknA  Vôùi n!=1*2*3*...*n , quy öôùc 0!=1 Ví duï: Theo ví duï treân ta coù: Moät caùch treo 5 böùc tranh laø 1 caùch choïn ra 5 moùc treo khaùc nhau töø 7 moùc treo (coù ñeå yù ñeán vò trí cuûa chuùng) Moãi caùch treo laø 1 chænh hôïp 7 chaäp 5: A(5,7)=7*6*5*4*3 8  NX: moãi k phaàn töû laáy ra töø n phaàn töû taïo thaønh 1 nhoùm.  Caùc nhoùm khaùc nhau do:  -caùc phaàn töû trong nhoùm khaùc nhau  Vd: 1234 khaùc 3456  -thöù töï, traät töï saép xeáp cuûa caùc phaàn töû trong nhoùm khaùc nhau  Vd: 1234 khaùc 3412 ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 3 9 3) Hoaùn vò:  Coù n phaàn töû khaùc nhau.  Moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû naøy laø 1 caùch saép xeáp n phaàn töû naøy theo 1 thöù töï xaùc ñònh.  NX: Ta thaáy hoaùn vò laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa chænh hôïp, vôùi k=n ?  Soá hoaùn vò: P(n)=n! (=A(n,n))  Ví duï: Coù 4 ngöôøi.  Coù bao nhieâu caùch xeáp 4 ngöôøi naøy:  a)ngoài thaønh haøng daøi  b)ngoài thaønh voøng troøn  c)ngoài vaøo baøn troøn coù ñaùnh soá 10 HD: a) A B C D 1 2 3 4 Moãi caùch xeáp 4 ngöôøi naøy laø 1 hoaùn vò cuûa 4 ngöôøi naøy => coù 4! Caùch b) 1 2 Choïn ra 1 ngöôøi laøm moác, ta thaáy vò trí baét ñaàu cuûa ngöôøi naøy khoâng quan troïng (ví duï: A laøm moác, A ôû vò trí 1 cuõng töông töï nhö A ôû vò trí 2) Chæ saép xeáp 3 ngöôøi coøn laïi : coù 3! Caùch c) 4! 11 4) Toåû hôïp: Moät toå hôïp n chaäp k laø 1 caùch laáy k phaàn töû khaùc nhau (khoâng ñeå yù thöù töï saép xeáp) töø n phaàn töû khaùc nhau Soá toå hôïp : C(k,n)= )!(! ! knk nknC  VD: Moät phoøng laøm vieäc cuûa 1 coâng ty coù 30 nhaân vieân. a) Coù bao nhieâu caùch giaùm ñoác choïn ra BLÑ phoøng goàm 3 ngöôøi. b) BLÑ phoøng goàm: tröôûng phoøng, phoù phoøng, thö kyù. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ra BLÑ phoøng. 12 HD:  a) Moät BLÑ phoøng laø 1 caùch choïn 3 ngöôøi töø 30 ngöôøi (choïn tuøy yù, khoâng quan taâm thöù töï saép xeáp) => Moãi caùch choïn laø 1 toå hôïp. Soá caùch choïn laø C(3,30)  b) Caùch 1: Vì 3 ngöôøi trong BLÑ coù chöùc vuï roõ raøng: TP, PP, TK => coù ñeå yù thöù töï saép xeáp  Soá caùch choïn laø A(3,30)  Caùch 2: coâng vieäc choïn BLÑ phoøng coù 3 giai ñoaïn:  gñ1: choïn TP: coù 30 caùch  gñ2: choïn PP: coù 29 caùch  gñ3: choïn TK: coù 28 caùch  Vaäy coù: 30*29*28 caùch ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 4 13  Caùch 3: Chia thaønh 2 gñ:  gñ1: choïn tuøy yù 3 ngöôøi töø 30 ngöôøi: coù C(3,30) caùch  gñ2: öùng vôùi 3 ngöôøi ñöôïc choïn, chæ ñònh 1 ngöôøi laøm TP, 1 ngöôøi laøm PP, 1 ngöôøi laøm TK: coù 3! Caùch  Vaäy coù: C(3,30)*3! Caùch  NX: A(k,n)=C(k,n)*k!  NX:  Toå hôïp: caùc nhoùm khaùc nhau do caùc phaàn töû trong nhoùm khaùc nhau 14 Bình loaïn:  Qua VD naøy baïn coù caûm nhaän ñöôïc söï “voâ thöôøng” cuûa cuoäc ñôøi! Ta coù 2 caùch choïn:  C1: Choïn 3 ngöôøi coù chæ ñònh chöùc vuï ngay töø ñaàu.  C2: Choïn tuøy yù 3 ngöôøi, sau ñoù môùi chæ ñònh chöùc vuï cho töøng ngöôøi.  Theo baïn thì 2 caùch choïn naøy coù cho cuøng keát quaû nhö nhau?!  Döôùi goùc ñoä khoa hoïc töï nhieân: c1 vaø c2 cho cuøng 1 keát quaû. 15 Bình loaïn: tieáp theo  Döôùi goùc ñoä khoa hoïc xaõ hoäi: c1 vaø c2 cho keát quaû khaùc nhau “1 trôøi 1 vöïc”! Taïi sao ö?!  Khi GÑ choïn ra 3 ngöôøi, trong thôøi gian chuaån bò chæ ñònh chöùc vuï cho töøng ngöôøi thì caùc ngöôøi naøy ñaõ lo “vaän ñoäng haäu tröôøng” cho chöùc vuï cuûa mình roài, ai vaän ñoäng “maïnh hôn” thì seõ ñöôïc laøm TP.  Baïn seõ noùi: “Khôø quaù! Ai laïi ñeå cho c2 xaõy ra. Khi GÑ chæ môùi döï ñònh choïn BLÑ thoâi thì phaûi lo vaän ñoäng cho chöùc vuï TP roài chöù”.  ???????!!!!!!!  ÖØ! Khôø thieät! 16 5) Chænh hôïp laëp:  Ví duï: Tín hieäu Moùc coù ñoä daøi laø 4 tín aâm. Moãi tín aâm laø Tít (T) hoaëc te (t)  Vd: TTTT, TTTt, tTTT, TTtt, Tttt, tttt...  Hoûi coù bao nhieâu tín hieäu Moùc ñöôïc taïo thaønh?  HD:  Taâ1 Taâ2 Taâ3 Taâ4  2 2 2 2  Vaäy coù: 2*2*2*2=24 tín hieäu Moùc ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 5 17 • ÑN: Moät chænh hôïp laëp n chaäp k laø 1 caùch choïn ra k phaàn töû ( coù ñeå yù thöù töï) töø n phaàn töû khaùc nhau. Moãi phaàn töû coù theå laëp laïi nhieàu laàn (toái ña laø k laàn) • Soá chænh hôïp laëp: A*(k,n)= knA ~ =nk • NX: k coù theå lôùn hôn n 18 6) Hoaùn vò laëp:  Nhaéc laïi: Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû khaùc nhau laø: P(n)=n!  Ta coùù n phaàn töû, trong ñoù coù:  n1 phaàn töû coù cuøng tính chaát A1  n2 phaàn töû coù cuøng tính chaát A2  ..................  nk phaàn töû coù cuøng tính chaát Ak  vôùi n1+n2+...+nk=n  Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû naøy laø: n! /(n1! n2! ...nk!) 19  Ví duï: Coù 10 ngöôøi ñònh cö vaøo 3 nöôùc: Anh, Phaùp, Myõ.  Nöôùc Anh nhaän 3 ngöôøi, nöôùc Phaùp nhaän 3 ngöôøi, nöôùc Myõ nhaän 4 ngöôøi  Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp?  HD: Ta coù 10 ngöôøi, trong ñoù coù:  3 ngöôøi coù cuøng tính chaát A1 (cuøng ñònh cö ôû Anh)  3 ngöôøi coù cuøng tính chaát A2 (cuøng ñònh cö ôû Phaùp)  4 ngöôøi coù cuøng tính chaát A3 (cuøng ñònh cö ôû Myõ)  Vaäy coù: 10! / (3! 3! 4!) Caùch  Caùch 2: duøng nguyeân lyù nhaân? 20  Caùch 2: Chia thaønh 3 gñ:  gñ1: Saép 3 ngöôøi vaøo nöôùc Anh (khoâng chuù yù traät töï saép xeáp cuûa 3 ngöôøi naøy): coù C(3,10) caùch => coøn laïi 7 ngöôøi saép xeáp vaøo 2 nöôùc Phaùp, Myõ  gñ2: Saép 3 ngöôøi (trong 7 ngöôøi coøn laïi) vaøo nöôùc Phaùp: coù C(3,7) caùch  gñ3: Saép 4 ngöôøi (trong 4 ngöôøi coøn laïi) vaøo nöôùc Myõ: coù C(4,4)=1 caùch  Vaäy coù: C(3,10)*C(3,7)*C(4,4) caùch ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 6 21 TOÙM LAÏI  Toång keát caùc quy taéc ñeám.  Ta coù baøi toaùn toång quaùt sau: coù n phaàn töû, choïn ra k phaàn töû. Caùc tröôøng hôïp:  a)neáu khoâng ñeå yù thöù töï: toå hôïp  b)Neáu coù ñeå yù thöù töï:  b1)Neáu k=n:  *Neáu n phaàn töû khaùc nhau: hoaùn vò  *Neáu trong n phaàn töû coù caùc phaàn töû coù cuøng tính chaát: hoaùn vò laëp  b2)Neáu k≠n vaø neáu k phaàn töû laáy ra khaùc nhau: chænh hôïp  b3)Neáu caùc phaàn töû coù theå laëp laïi (toái ña k laàn): chænh hôïp laëp Neáu ta khoâng aùp duïng ñöôïc caùc quy taéc: chænh hôïp, chænh hôïp laëp, toå hôïp, hoaùn vò, hoaùn vò laëp: duøng quy taéc nhaân (chia coâng vieäc ra thaønh 1 soá giai ñoaïn) 22 Baøi taäp 1  Lôùp coù 30 sv, coù 20 nam. Trong 1 buoåi khieâu vuõ, coù bao nhieâu caùch:  a)Choïn ra 1 ñoâi (1nam vaø 1 nöõ)  b)Choïn ra 3 nam, 3 nöõ  c)Choïn ra 3 ñoâi 23 Hd1:  a)Coù C(1,20)*C(1,10) caùch  b)Coù C(3,20)*C(3,10) caùch  c)Chia thaønh 2 gñ:  gñ1: choïn ra 3 nam, 3 nöõ: coù C(3,20)*C(3,10) caùch  gñ2: öùng vôùi 3 nam, 3 nöõ vöøa choïn => baét ñoâi (coá ñònh nöõ, cho 3 nam choïn 3 nöõ) => moãi caùch baét ñoâi laø 1 hoaùn vò cuûa 3 nam => coù 3! Caùch baét ñoâi  Vaäy coù: C(3,20)*C(3,10)*3! Caùch 24 bt2  Ñeå baùo tín hieäu treân bieån ngöôøi ta duøng 5 côø vôùi 7 maøu khaùc nhau  (Vd: Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ laø tín hieäu SOS, T V T X T)  Hoûi coù bao nhieâu tín hieäu, coù:  a)5 maøu khaùc nhau  b)coù maøu tuøy yù  c)2 côø keá nhau khoâng ñöôïc cuøng maøu ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 7 25 Hd2:  a)Coù A(5,7) tín hieäu  B) 75 tín hieäu  c) Ñ X Ñ V T Ñ T X V Ñ  c1 c2 c3 c4 c5 c1 c2 c3 c4 c5  Côø 1: coù 7 caùch choïn maøu  2: coù 6 caùch  3: coù 6  4: coù 6  5:coù 6  Vaäy coù: 7*6*6*6*6*6 tín hieäu  NX: söï khaùc nhau giöõa caâu b vaø c 26 Bt3:  Moät maõ teân nhaân vieân (MTNV) goàm coù 3 chöõ soá. Vd: 000, 001, 023, 345,...  Hoûi:  a)Coù bao nhieâu MTNV ñöôïc taïo ra töø 3 chöõ soá?  b)Coù bao nhieâu MTNV coù 3 chöõ soá khaùc nhau  c)Coù bao nhieâu MTNV coù 3 chöõ soá truøng nhau  d)Coù bao nhieâu MTNV coù 2 chöõ soá truøng nhau 27 Hd3:  Caùc chöõ soá laáy töø taäp A={0,1,2,...,9}  a) cs1 cs2 cs3  10 10 10  Vaäy coù : 103=1000 MTNV  b)Coù A(3,10) MTNV  c)Coù 10 MTNV  d)Chia thaønh 3 gñ:  gñ1: Choïn ra 2 chöõ soá khaùc nhau (tuøy yù) töø taäp A: coù C(2,10) caùch  gñ2: Töø 2 chöõ soá ñaõ choïn, choïn ra 1 chöõ soá laøm chöõ soá truøng: coù C(1,2) caùch =>ta coù 3 chöõ soá (trong ñoù coù 2 chöõ soá truøng)  gñ3: Saép xeáp 3 chöõ soá naøy ñeå taïo thaønh caùc MTNV khaùc nhau: coù 3!/ 2! Caùch  Vaäy coù: C(2,10)*C(1,2)* 3!/2! MTNV  Caùch2: caâu d)= caâu a) –caâu b) –caâu c) 28 Bt4:  Coù caùc chöõ soá : 1,2,3,4,5  Coù bao nhieâu caùch saép xeáp 5 chöõ soá naøy sao cho nhoùm chöõ soá chaún vaø nhoùm chöõ soá leû taùch bieät nhau?  Td: 13524, 15324, 42351, 24351  Khoâng xeùt: 21354 ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 8 29 Hd4:  Coâng vieäc coù 3 gñ:  Gñ1: chia caùc chöõ soá thaønh 2 nhoùm: nhoùm CS chaún, nhoùm CS leû. Saép xeáp 2 nhoùm naøy: coù 2! Caùch. (TD: 13524, 24135)  Gñ2: saép xeáp caùc CS leû trong nhoùm CS leû: coù 3! Caùch. (TD: 135,531,351)  Gñ3: saép xeáp caùc CS chaún trong nhoùm CS chaún: coù 2! Caùch.  Theo NLN, ta coù 2! 3! 2! = 2*6*2= 24 caùch  30 Phuï luïc: Caùc haøm tính toaùn thoâng duïng trong EXCEL COMBIN(8,2) = 28C , PERMUT(100,3) = 3 100A FACT(5) = 5! , POWER(5,2) = 25 ~A = 52 MULTINOMIAL(4,2,3) = !3!2!4 !9 LN(e) = 1 , LN(5) = 1,6094 LOG10(5) = log10(5) = lg(5) = 0,6990 LOG10(10) = 1  31  Quy öôùc: Quyeån (*) laø quyeån:  BAØI TAÄP XSTK, ThS. Leâ Khaùnh Luaän & GVC. Nguyeãn Thanh Sôn & ThS. Phaïm Trí Cao, NXB Thoáng keâ 2009.  Xem theâm 1 soá daïng baøi taäp veà quy taéc ñeám ôû quyeån (*). 32 Môøi gheù thaêm trang web:      www37.websamba.com/phamtricao www.phamtricao.web1000.com